精品解析：辽宁鞍山市海城同泽中学2025-2026学年高二下学期3月考试数学试题

2025-2026学年度下学期高二3月考试 数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 数列的一个通项公式为（    ） A. B. C. D. 2. 等比数列中，若，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 已知{an}满足a1＝a2＝1，，则a6－a5的值为(　　) A. 48 B. 96 C. 120 D. 130 4. 已知数列满足，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 设等差数列的前n项和为，，，则公差d的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知等差数列和前项和为分别为和，若，则的值为（ ） A B. C. D. 7. 如图甲是第七届国际数学家大会（简称ICME-7）会徽图案，会徽的主题图案是由图乙的一连串直角三角形演化而成的.，为直角顶点，设这些直角三角形的周长从小到大组成的数列为，令，为数列的前项和，则（ ） A. 15 B. 11 C. 13 D. 14 8. 已知数列是首项为1，公差为2的等差数列，数列是首项为1，公比为2的等比数列，设，在数列的相邻两项之间插入个3，得到新的数列，记数列的前n项和为，则使成立的n的最小值为（ ） A. 346 B. 347 C. 515 D. 516 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 若为等比数列，则下列结论正确的是（ ） A. 数列一定是等比数列 B. 数列（其中且）一定是等比数列 C. 数列一定是等比数列 D. 数列是单调递增数列的充分条件是首项且公比. 10. 已知数列中，，，，其前项和为，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知数列满足，且，则（ ） A. 存在唯一的实数，使得为常数列 B. 当时，为递减数列 C. 当时，的取值范围为 D. 当时，前项和为，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 设等比数列的前项和是.已知,，则____________. 13. 设是数列的前项和，且，，则________，________ 14. 已知等差数列的各项均为正数，记其前项和为，若数列是等差数列，且与的公差相等，则___________． 四、解答题：本题共5小题，共计77分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）已知数列满足，求的通项公式． （2）已知数列的前项和为．求数列的通项公式； 16. 在①，②是，的等差中项，③．这三个条件中任选一个作为已知条件，补充在下面的问题中，然后解答补充完整的题． 已知正项等比数列的前n项和为，，且满足______（只需填序号）． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分． 17. 已知数列 满足 （1）求数列的通项公式 （2）若数列 满足 ，求数列的前 项和 18. 设数列的各项都是正数，为数列的前n项和，且对任意.都有，，，（e是自然对数的底数，）. （1）求数列、的通项公式； （2）求数列前n项和； （3）试探究是否存在整数，使得对于任意，不等式恒成立？若存在，求出值；若不存在，请说明理由. 19. 已知：公差不为零的等差数列，其前项和为，，等比数列的前三项分别是，，. （1）求数列的前项和； （2）设，是否存在正整数和实数，使得，，，按适当顺序排列后可以构成等差数列，若存在，求出所有满足条件的的值，若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度下学期高二3月考试 数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 数列的一个通项公式为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据数列的定义和规律求解即可. 【详解】将数列7，25，79，241，… 的各项都加上2后为9，27，81，243，… ， 故该数列的一个通项公式为. 故选：C. 2. 等比数列中，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】根据等比数列的基本性质可得：， 又因为， 所以 ， 即，得， 因此. 3. 已知{an}满足a1＝a2＝1，，则a6－a5的值为(　　) A. 48 B. 96 C. 120 D. 130 【答案】B 【解析】 【详解】由可知是等差数列，公差为1，首项为＝1，∴＝n，累乘得an＝(n－1)(n－2)×…×3×2×1(n≥2)，∴a6－a5＝120－24＝96.选B. 4. 已知数列满足，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，得到，再利用等比数列的定义求解. 【详解】因为，所以． 因为，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列， 所以，所以， 故． 故选：C 5. 设等差数列的前n项和为，，，则公差d的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由等差数列前项和公式代入已知条件解不等式. 【详解】由题可知， 则， 即， 解得． 6. 已知等差数列和的前项和为分别为和，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的求和公式，设，，求出即可得解. 【详解】， 令，则， 所以，， 所以， 故选：B 7. 如图甲是第七届国际数学家大会（简称ICME-7）的会徽图案，会徽的主题图案是由图乙的一连串直角三角形演化而成的.，为直角顶点，设这些直角三角形的周长从小到大组成的数列为，令，为数列的前项和，则（ ） A. 15 B. 11 C. 13 D. 14 【答案】D 【解析】 【分析】根据图形的特征可得到第个直角三角形的斜边的长，进而得到第个直角三角形的周长对应的数列为，代入可得到数列，最后通过分母有理化对数列进行裂项后即可求得. 【详解】第个直角三角形的斜边，； 所以，即； 所以第个直角三角形的周长； 所以， 所以. 故选：D. 8. 已知数列是首项为1，公差为2的等差数列，数列是首项为1，公比为2的等比数列，设，在数列的相邻两项之间插入个3，得到新的数列，记数列的前n项和为，则使成立的n的最小值为（ ） A. 346 B. 347 C. 515 D. 516 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据已知条件求出和，进而得到数列然后分析数列的构成，计算出数列中前k组的项数和前k组的和，通过比较前k组的和与2026的大小关系，确定k的值，最后求出使成立的n的最小值即可求解. 【详解】由题可知，，所以， 数列是在数列的相邻两项之间插入个3得到的， 那么数列中前k组共有项， 根据等比数列求和公式可得， 所以前k组共有项， 前k组和为， 因为， ， 所以前k组的和为， 当，前8组共有项，前8组的和为， 当，前9组共有项，前9组的和为， 求使成立的n的最小值 因为，所以n的最小值在第9组中。 从第263项开始到第518项都是3，第519项是，， 即从第263项开始往后数254个3， 此时. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 若为等比数列，则下列结论正确的是（ ） A. 数列一定是等比数列 B. 数列（其中且）一定是等比数列 C. 数列一定是等比数列 D. 数列是单调递增数列的充分条件是首项且公比. 【答案】ABD 【解析】 【分析】先设出的公比为，即，从而得到，A正确；因为且，所以，B正确；C选项可举出反例；D选项，写出是单调递增数列，包含两种情况，得到D正确. 【详解】因为为等比数列，设公比为，即， 则，故数列一定是等比数列，A正确； 因为且，所以， 故数列（其中且）一定是等比数列，B正确； 若，此时为常数列，则，故不是等比数列，C错误； 数列是单调递增数列，包含两种情况，一是首项且公比，二是且公比， 故数列是单调递增数列的充分条件是首项且公比，D正确. 故选：ABD 10. 已知数列中，，，，其前项和为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题意可得、，结合等差数列的定义和通项公式可得，即可判断AB；结合数列的单调性即可判断C；结合放缩法计算即可判断D. 【详解】由，得， 所以数列是以为公差的等差数列， 而，，所以，得，故A正确； 所以，得，故B正确； 令，解得，对于， 为正，且依次递增； 为负，且依次递增， 所以，故C错误； ，故D正确. 故选：ABD 11. 已知数列满足，且，则（ ） A. 存在唯一的实数，使得为常数列 B. 当时，为递减数列 C. 当时，的取值范围为 D. 当时，前项和为，则 【答案】BCD 【解析】 【详解】对于A.由条件可知，， 若，则，为常数列， 若，则，为常数列，故A错误； 对于B.因为，当时，，所以， 由可知，对所有，都有， 两边取以10为底的对数， 所以数列是以为首项，2为公比等比数列， 所以， 即，， 因为，且单调递增，所以数列单调递减，故B正确； 对于C.，， 因为恒成立， 所以，得，故C正确； 对于D.当时，， 所以数列是以为首项，2为公比的等比数列， 所以， 即，， ， 而数列是以1为首项，2为公比的等比数列， 所以前项和为， 所以，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 设等比数列的前项和是.已知,，则____________. 【答案】13 【解析】 【分析】根据等比数列片段和的性质即可求解. 【详解】因为是等比数列的前项和且， 所以，， 也成等比数列， 则. 因为,， 所以，解得. 所以. 故答案为：. 13. 设是数列的前项和，且，，则________，________ 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由，可得，即，根据等差数列的定义及通项公式求出，从而求得. 【详解】是数列的前项和，且，， 令，则，，解得． 又，整理得（常数）， 即（常数）， 故数列是以为首项，为公差的等差数列． 所以，故． 14. 已知等差数列的各项均为正数，记其前项和为，若数列是等差数列，且与的公差相等，则___________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据等差数列通项公式以及的关系式可得或，分别验证计算可得. 【详解】设等差数列的公差为，则等差数列的公差也为， 设，则， 当时，， 当时，， 因为需满足， 即，故，所以， 因为数列的公差为， 所以，解得或， 若，则，与等差数列各项均为正数不符，舍去； 若，则，对任意的，符合题意， 故． 四、解答题：本题共5小题，共计77分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）已知数列满足，求的通项公式． （2）已知数列的前项和为．求数列的通项公式； 【答案】（1）.（2）. 【解析】 【分析】（1）运用裂项相消法、累加法进行求解即可； （2）根据之间的关系，结合等比数列的定义和通项公式进行求解即可. 【详解】（1）由， 当时，， 所以 ， 显然也适合， 所以. （2）因为， 所以 当时，， ，得，所以， 因为， 所以当时，. 16. 在①，②是，的等差中项，③．这三个条件中任选一个作为已知条件，补充在下面的问题中，然后解答补充完整的题． 已知正项等比数列的前n项和为，，且满足______（只需填序号）． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设正项等比数列的公比为，选①：由，得到，结合，求得，得到；选②：得到，结合，求得，得到；选③：由，当时，求得，得到，当时，求得进而得到； （2）由（1）求得，得到，结合等比数列的求和公式，即可求解. 【小问1详解】 解：设正项等比数列的公比为， 选①：由，得，所以， 又由，可得，解得或（舍去）， 所以. 选②：由是，的等差中项，可得， 又因为，可得，即， 解得或（舍去）， 所以 选③：由， 当时，，解得或（舍去），所以， 当时，， 所以；验证当时，满足， 所以 【小问2详解】 解：由（1）知，所以， 所以，可得， 所以 ． 17. 已知数列 满足 （1）求数列的通项公式 （2）若数列 满足 ，求数列的前 项和 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由累加法结合等差数列的求和公式可得； （2）分和两种情况利用等差数列的求和公式求解. 【小问1详解】 由已知可得， 故当时，， ， ， ……. ， 累加后可得， 所以， 当时，代入成立， 所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 ， 当时，， 此时 ； 当时，， ， 综上 18. 设数列的各项都是正数，为数列的前n项和，且对任意.都有，，，（e是自然对数的底数，）. （1）求数列、的通项公式； （2）求数列的前n项和； （3）试探究是否存在整数，使得对于任意，不等式恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）； （2） （3）2 【解析】 【分析】（1）根据与的关系可求得数列，两边同时取对数可求得； （2）先求出的通项公式，再根据错位相减法可求得前n项和； （3）将不等式化简，求得各自的最值，即可求得结果. 【小问1详解】 对于，当时，，即， 因为，所以， 当时，， 两式相减可得， 化简可得，因为数列的各项都是正数， 所以， 所以数列是以1为首项，公差为1的等差数列， 根据； 对于，则，即， 因为，所以，所以是以1为首项，公比为2的等比数列， 则，所以； 【小问2详解】 由（1）可得，， 所以， 则 ， 所以， ，即， 所以； 【小问3详解】 由（1）可得，所以， 因为，所以， 因为对于任意，不等式恒成立， 所以对于任意，不等式恒成立， 当时，， 当时，， 根据基本不等式可得，当且仅当时，等号成立； 当时，；当时，；当时，， 又当时，， 所以数列在上单调递增， 所以，， 要使不等式恒成立， 满足条件的整数为2. 【点睛】关键点点睛： （1）题目中给出数列前项和的公式，求通项公式时，通常用； （2）如果是一个等差数列乘一个等比数列，则这个数列的前项和要用错位相减法求解； （3）对于不等式恒成立问题，若恒成立，则，若恒成立，则. 19. 已知：公差不为零的等差数列，其前项和为，，等比数列的前三项分别是，，. （1）求数列的前项和； （2）设，是否存在正整数和实数，使得，，，按适当顺序排列后可以构成等差数列，若存在，求出所有满足条件的的值，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）和为；（2）存在，的值为或或． 【解析】 【分析】（1）由等差数列前项和公式和等比数列的性质列出关于和公差的方程组，解出后可得，，由此可得的首项和公比，得，用错位相减法求数列的前项和； （2）求得，假设存在正整数和实数，使得，，，按适当顺序排列后可以构成等差数列，再计算相邻两项的差，以确定数列的单调性，前3项递增，从第3项开始向后递减，这样当时，新等差数列中，，的顺序可不变（也可相反），计算和，分别解方程＝， ，，无不小于3的整数解即不存在，最后再讨论和求得的值． 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，则由得，，∵，∴， ∴，， ，，∴，∴， ， 设数列的前项和为， ， ， 两式相减得， ∴； （2）由（1）， 假设存正整数和实数，使得，，，按适当顺序排列后可以构成等差数列， ， 易知时，，时，， ∴数列中递增，从开始递减，是最大项． 若，则，，，，按适当顺序排列后可以构成等差数列，，，的顺序不变（或相反）， 由于，， 若，则，无整数解．∴，，不可能是新等差数列相邻三项， 因此插在，，之间，是新等差数列的第2项或第3项， 若，不合，舍去， 若，则，无整数解． 时，分别为，则成等差数列，， 时，分别为，则成等差数列，成等差数列，∴或． 综上所述，存在正整数和实数，使得，，，按适当顺序排列后可以构成等差数列，时，，时，或． 【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式，等差数列的前项和公式，等比数列的性质，错位相减法求和，考查数列存在性命题，利用等差数列的定义确定数列的存在性．考查了分类讨论思想，逻辑推理能力，分析问题解决问题的能力．属于难题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $