专题02 平行线的判定、命题和平移10大考点（期中真题汇编，天津专用）七年级数学下学期新教材人教版

专题02 平行线的判定、命题和平移 10大高频考点概览 考点01 平行线的性质定理 考点02平行线性质求角度 考点03 平行线的性质探究角度之间的关系 考点04 平行线判定与性质的证明 考点05 平行线判定与性质求角度 考点06 定义、命题、定理 考点07 图形的平移 考点08平移作图 考点09 根据平移性质求解 考点10 根据平移性质解决实际问题 ( 地 城 考点0 1 平行线的性质定理 ) 1．（24-25七年级下·天津·期中）如图，将一个含角的直角三角尺与直尺如图放置，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·天津静海·期中）如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠BAD=70°，∠BCD=n°，则∠BED的度数为_____________度． 3．（24-25七年级下·天津北辰·期中）命题“内错角相等”是___________（填“真”或“假”）命题，把此命题改写成“如果……那么……”的形式___________． 4．（24-25七年级下·天津河北·期中）如图，，，是上一点且平分． (1)请判断与的位置关系，并说明理由． (2)若，，求的度数． 5．（24-25七年级下·天津·期中）已知，是反向延长线上的一点． (1)如图①，若，平分，，则的大小为______（度），的大小为______（度），的大小为______（度）． (2)如图②，若，是的平分线，，求的大小． 6．（24-25七年级下·天津·期中）如图1，已知直线，点C为射线上一动点，过点C作交于点D，点E在线段上，． (1)写出一个与相等的角____________________（写一个即可）； (2)如图2，点F在线段上，，．求的度数； (3)点F是直线上的一点，，，，在点C的运动过程中（点C与点B不重合，点A与点F不重合），求的度数（结果用表示）． ( 地 城 考点 02 平行线性质求角度 ) 1．（24-25七年级下·天津·期中）如图，已知直线． (1)在图中，点在直线上，点在直线上，，，求的度； (2)如图，若平分，平分，且，求的度数； (3)如图，若，，直线与直线相交于点，则 ．（用含有的代数式表示） 2．（24-25七年级下·天津东丽·期中）玩转三角板．在一副三角板与中，，．将这副三角板按图1的方式放置在两条平行线之间（点落在直线上，边与直线重合，点在同一条直线上，固定三角板）． (1)如图1，的度数为___________； (2)如图2，将三角板绕点逆时针方向旋转，边与三角板的边相交于点，试问：的值是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由； (3)在图1的基础上，将三角板绕点逆时针方向旋转，至边与直线首次重合时停止运动．设的度数为，试探究：在旋转的过程中，当为何值时，三角板的边与三角板的一条边平行？求出符合条件的的值． 3．（24-25七年级下·天津·期中）如图，，分别平分和． (1)求证：． 请把下列解题过程补充完整，并在括号内注明理由． 证明：（已知）， ______（______）． 分别平分和（已知）， ，（______）， ． ____________（______）． （______）． (2)若，则的大小为______（度）． ( 地 城 考点 03 平行线的性质探究角度之间的关系 ) 1．（24-25七年级下·天津西青·期中）先阅读再解答： (1)如图1，，求证：． （提示：可以考虑把变成两个角的和，过点作一条直线，则有，再设法证明，需证，这可通过已知和得到．） (2)已知：如图2，，求证：． (3)已知：如图3，，，求证：． 2．（24-25七年级下·天津·期中）【问题背景】同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形（如图1），我们就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系． （1）如图（1），，为，之间一点，连接，，得到，试探究与，之间的数量关系，并说明理由． （2）如图（2），若在之间，，平分，，求与的数量关系； （3）如图（3），射线从开始，绕点以每秒的速度逆时针旋转，同时射线从开始，绕点以每秒的速度逆时针旋转，直线与直线交于，若直线与直线相交所夹的锐角为，直接写出运动时间秒的值． ( 地 城 考点 04 平行线判定与性质的证明 ) 1．（24-25七年级下·天津·期中）完成下面的计算，并在括号内标注理由． 已知：，．  求证：． 证明：∵（已知） ∴______（ ） ∴ _______ （ ） 又∵（已知） ∴____________（            ） ∴ （ ） 2．（24-25七年级下·天津·期中）如图，点，，在一条直线上，于点，于点，交于点，若与相等，则平分吗？为什么？请把下面的解题过程补充完整并在括号内填写依据． 解：相等． 于点，于点， ， ________________________（___________________）， _______________（_________________） __________________（两直线平行，同位角相等）， ， _______=_________， 平分． 3．（24-25七年级下·天津滨海新区·期中）完成下面的证明： 如图， 已知，求证：． 证明： ， （ ） （ ） 即 ， ， ， （ ） （ ） 又， （ ） 4．（24-25七年级下·天津和平·期中）如图，已知，，求证：． 5．（24-25七年级下·天津河西·期中）完成下面的证明： 如图，已知，，．求证：． 证明：， ． ______．（   ） ______．（   ） ， ______． ______．（   ） （   ） 6．（24-25七年级下·天津·期中）如图1，，的平分线交于点G，． (1)求证：； (2)如图2，若，的平分线交线段于点E、交射线于点F．求的度数； (3)如图3，线段上有一点P，满足，过点C作．若在直线上取一点M，使，请直接写出的值． ( 地 城 考点 05 平行线判定与性质求角度 ) 1．（24-25七年级下·天津·期中）如图，，，垂足分别为D、F，，若，求的度数． 2．（24-25七年级下·天津南开·期中）根据条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由． 如图，，，平分，，． 求的度数． 证明：，（_____）， ∴_______（______________）． （_______）（______________）． ， ， 又∵平分，（已知）， （______________）． ， ． ∵， （_______）（______________）． 3．（24-25七年级下·天津河西·期中）已知：如图，，． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 4．（24-25七年级下·天津南开·期中）如图1，在平面直角坐标系中；，且满足，过作轴于． (1)___________，___________，三角形的面积___________； (2)若过作交轴于，，分别平分，，如图2，求的度数； (3)在轴上存在点，使得三角形和三角形的面积相等，则点坐标为___________． 5．（24-25七年级下·天津河东·期中）如图1，在平面直角坐标系中，且满足，过点C作轴于点B． (1)请写出点A（___，___）、点B（___，___）的坐标； (2)如图2，过点B作交y轴于D，且，分别平分与，求的度数； (3)如图1，在y轴上是否存在点P使得和的面积相等？若存在，直接写出点P坐标． 6．（24-25七年级下·天津和平·期中）如图1，点，且满足．         (1)直接写出M、N的坐标：M________，N________； (2)点P以每秒2个单位长度从点M向y轴负半轴运动，同时，点Q以每秒3个单位长度从N点向x轴正半轴运动，直线交于点D，设点P，Q运动的时间为t秒． ①当时，求的面积； ②当时． （Ⅰ）用代数式表示的面积和； （Ⅱ）求证：； ③如图2，当时，在线段上任取一点，连接．点G为的角平分线上一点，且满足，请将图2补全，并直接写出、、之间的数量关系． ( 地 城 考点 06 定义、命题、定理 ) 1．（24-25七年级下·天津东丽·期中）有下列5个命题，其中真命题的个数为（   ） ①两个锐角之和一定是钝角；②直角小于钝角；③同位角相等，两直线平行；④内错角互补，两直线平行；⑤如果，，那么． A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25七年级下·天津·期中）下列命题是假命题的是（　　） A．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．两直线平行，内错角相等 C．同位角相等，两直线平行 D．相等的角是对顶角 3．（24-25七年级下·天津红桥·期中）下列命题是真命题的是（    ） A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B．正数与负数的和为0 C．相等的角是对顶角 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 4．（24-25七年级下·天津南开·期中）下列命题中： ①对顶角相等； ②在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行； ③如果两个实数的平方相等，那么这两个实数也相等； ④立方根等于它本身的实数只有或； ⑤二元一次方程的整数解只有组． 其中真命题有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 ( 地 城 考点 07 图形的平移 ) 1．（24-25七年级下·天津北辰·期中）年初，一款由杭州深度求索公司开发的软件在人工智能上取得了新的突破．平移如图所示的图标，能得到下列图形中的（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·天津·期中）窗棂是中国传统木构建筑的框架结构设计，在园林设计中常常可以看到．下列窗棂图案中可以看作由一个“基本图案”经过平移得到的是（　　） A．四钱纹样式 B．梅花纹样式 C．拟日纹样式 D．海棠纹样式 3．（24-25七年级下·天津·期中）2024年5月3日，作为中国探月四期工程的“关键一环”，嫦娥六号探测器由长征五号遥八运载火箭发射成功，它将完成月背采样返回等重要任务．下图中国探月标识以中国书法的笔触，抽象地勾勒出一轮圆月，一双脚印踏在其上，象征着月球探测的终极梦想．在选项的四个图中，能由下图经过平移得到的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·天津静海·期中）在选项的四个图中，能由给出的图形经过平移得到的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·天津南开·期中）下列生活现象中，是平移的是（   ） A．水平拉动抽屉的过程 B．将一张纸片对折 C．教室门的打开 D．荡秋千 ( 地 城 考点 08 平移作图 ) 1．（24-25七年级下·天津滨海新区·期中）如图， 已知长方形， 点 (1)点D的坐标为 ； (2)将长方形向左平移2个单位长度，然后再向上平移3个单位长度，可以得到长方形 ，画出平移后的图形，并写出点 A、C的对应点的坐标． 2．（24-25七年级下·天津静海·期中）如图，在直角坐标系中． (1)请写出各顶点的坐标； (2)若把向上平移2个单位，再向左平移1个单位得到，写出，，的坐标，并在图中画出平移后图形； (3)求出的面积． 3．（24-25七年级下·天津河西·期中）如图，在平面直角坐标系中，为原点，平行四边形的顶点，，，．将这个平行四边形向左平移个单位长度，得到平行四边形，点，，，的对应点分别为，，，． (1)当时，在下图中画出平行四边形；并直接写出四个顶点的坐标：点的坐标为______，点的坐标为______，点的坐标为______，点的坐标为______； (2)在（1）的条件下，求平移前后的两个平行四边形重合部分的面积； (3)在平行四边形向左平移过程中，若重合部分的面积为，求此时的值和点的坐标．（直接写出结果即可） 4．（24-25七年级下·天津南开·期中）已知三角形的边上任意一点经过一次平移后的对应点为． (1)将三角形作同样的平移得到三角形，在图中画出三角形，并直接写出的坐标； (2)三角形的面积为___________； (3)连接，为上的动点，直接写出长的最小值． 5．（24-25七年级下·天津·期中）在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，位置如图． (1)将向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度得到，请在图中作出平移后的三角形； (2)内一点随一起平移，得到对应点，则_______，_______． (3)求出的面积． 6．（24-25七年级下·天津滨海新区·期中）如图，已知∶ (1)写出点坐标为________；点坐标为________； 点坐标为_______； (2)求出的面积； (3)把向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到（画图），则点坐标为________，点坐标为_______，坐标为_______． ( 地 城 考点 09 根 据平移性质求解 ) 1．（24-25七年级下·天津河西·期中）如图，将三角形沿方向平移至三角形，线段与相交于点，则下列说法中不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·天津和平·期中）下列关于平移的特征中不正确的是（   ） A．平移后的图形和原来的图形的对应线段必定平行 B．平移后对应点所连的线段必定平行或在同一直线上 C．平移前线段的中点经过平移后一定也是线段的中点 D．平移前后图形的形状和大小都没有发生变化 3．（24-25七年级下·天津南开·期中）如图，两个直角三角形重叠在一起，将沿方向平移得到，，，下列结论：；；；；⑤阴影部分的面积为．其中正确的是（    ） A．①②③④⑤ B．②③④⑤ C．①②③⑤ D．①②④⑤ 4．（24-25七年级下·天津·期中）如图，在一块长为，宽为的长方形场地上，有一条弯曲的道路，其余的部分为绿化区，道路的左边线向右平移就是它的右边线，则绿化区的面积是______． 5．（24-25七年级下·天津北辰·期中）如图，将直角三角形沿向右平移个单位得到直角三角形．已知，则图中阴影部分面积为___________． 6．（24-25七年级下·天津河东·期中）在直角梯形中，与为直角，，，将梯形沿着射线平移得到梯形，与交于点M，若，，求图中阴影部分的面积． ( 地 城 考点 10 平移性质的实际应用 ) 1．（24-25七年级下·天津南开·期中）如图，在一块长为、宽为的长方形地面上，有一条弯曲的柏油马路，马路的任何地方的水平宽度都是，其他部分都是草地，则草地的面积为________． 2．（24-25七年级下·天津南开·期中）如图，某公园里一处长方形风景欣赏区，为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为1米．若米，米，小明沿着小路的中间从入口E处走到出口F处，则他所走的路线（图中虚线）长为_______． 3．（24-25七年级下·天津·期中）某商场重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺设一种红色的地毯．已知这种地毯的批发价为每平方米10元，主楼梯的宽为3米，其侧面如图所示，则购买地毯至少需要______元． 4．（24-25七年级下·天津南开·期中）在图①中，将线段向右平移1个单位得到线段，从而得到封闭图形（即阴影部分）：在图②中，将折线向右平移1个单位得到折线，从而得到封闭图形（即阴影部分）． (1)图①，图②图形中，除去阴影部分后，将剩余部分拼在一起就是如图③的图形，若剩余部分的面积分别是（图①，图②长方形的长均为个单位，宽均为个单位），则___________，___________，___________（填“”或“”或“”）； (2)如图④，一块长方形场地由一条弯曲的小路和草地组成．这条弯曲的小路（即阴影部分）任何地方的水平宽度都是，除去小路部分后，空白部分表示的草地的图形可拼在一起形成一个正方形，若这个正方形的面积是，则原长方形场地的长为___________，宽为___________？ (3)如图⑤，一块长方形场地由两条弯曲的小路（阴影部分）和草地组成．竖直方向小路任何地方的水平宽度都是，水平方向小路任何地方的竖直宽度都是．除去小路部分后，空白部分表示草地的图形拼在一起形成一个长方形，且这个长方形的长是宽的2倍，面积是．计划用不超过5100元的总费用将两条小路改铺成鹅卵石路面，若每平方米路面的铺设费用（人工费材料费）约为200元，请问总预算5100元够吗？并说明理由． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $耐学科网 www.zxxk.com 专题02 平行线的判定、 目目 考点01 平行线的性质定理 B 2. (35+) 假 如果两个角是内错角，那么这两个角相等 4. 【详解】(1)解：FP∥EC,理由如下， :∠DFE=72°， ∠BFC=∠DFE=72°， :FP平分∠BFC, :∠PFC=∠BFC=x72°=36°， 2 2 又：∠2=36°， ∠PFC=∠2， FP∥EC. （2)解：：∠1=2∠2，∠2=36°， .∠1=2×36°=72°， ∠DFE=72°， .∠DFE=∠1， DF∥AB, 又：∠D=121°， .∠A=180°-∠D=180°-121°=59°. 5. 【详解】(1)解：：AB‖CD,∠ABC=70°， .∠BCD=∠ABC=70°， :CM平分∠BCD, 1/28 让教与学更高效 命题和平移 命学科网 WWv ∴.∠BCM=∠BCD=×70°=35°， 2 :CN⊥CM, .∠MCN=90°， :.∠BCN=∠MCN-∠BCM=90°-35°=55°， 故答案为：70,35,55， (2)解：：AB‖CD,∠ABC=40°， .∠BCE=180°-∠ABC=140°， :CN是∠BCE的平分线， BCN=ZRCE=140°=7 :CN⊥CM, :∠NCM=90°， LBCM=∠NCM-∠BCN=90°-70°=20°. 6. 【详解】(1)解：与∠ADC相等的角为LDCG, :AD∥BC, .∠ADC=∠DCG, :AB∥DC, .LDCG=∠ABC, .∠ABC=LADC, 与∠ADC相等的角为LDCG,LABC, 故答案为：∠DCG(或∠ABC); (2)解：：∠ECF=60°，∠DCE=90°， ∠FCD=90°-60°=30°， 又：∠FCG=90°， ∠FCB=90°， :∠BCD=∠FCD+∠FCB=30°+90°=120°； (3)解：有两种情况： 如图，点F在线段AD上， v.Zxxk.com ∠ABC, 2/28 让教与学更高效 命学科网 WW D :∠DCE=∠FCG=90°， G LECF+LFCD=90°，LDCG+∠FCD=90°， .∠DCG=∠ECF=, 又，CD∥AB, :ZABC ZDCG=a, :AD∥BC, :∠BAF+∠ABC=180°， :∠BAF=180°-∠ABC=180°-. 如图，点F在DA延长线上， FA D :∠DCE=∠FCG=90°， B C G .∠ECF+∠FCD=90°，∠DCG+∠FCD=90°， :ZDCG=ZECF =a, 又：CD∥AB, :ZABC ZDCG=a, :AD∥BC, :∠BAF=LABC=a, 综上所述，∠BAF的度数为180°-a或a 目目 考点02 平行线性质求角度 y 【详解】(1)解：如图1，过点E作EF∥AB, A、 M B E C D N 图1 v.zxx k.com 3/28 让教与学更高效 而学科网 www zxxk.com :AB∥CD, .AB∥EF∥CD, ∴∠MEF=∠BME=20°，∠END=∠NEF, :∠MEF=50°， .LEND=LNEF=∠MEF-∠MEF=50°-20°=30°； (2)解：如图2，过点E作EH∥AB,设AB与GN相交于点P, G M -B H--- D 图2 :AB∥CD, ∴AB∥EH∥CD, ∠MEH=∠BME,∠NEH=∠DNE, ∴.∠MEN=LMEH+∠NEH=LBME+LDNE, 设∠CNE=2a,∠AMG=2B,则∠DNE=180°-2a, :GN平分LCNE,FE平分∠AMG, a∠CNG=∠CNE=a,∠BME=∠awF=AwG=B. :.∠MEN=∠BME+∠DNE=B+180°-2a=180°-2a+B, :AB∥CD, ∴.∠BPN=∠CNG=a, ∠G=∠BPN-∠AMG=au-2B, :∠G+2∠E=60°， 2 :-2B+(180°-2a+B)=60°， 解得B=20°， ∴.∠AMG=40°； (3)解：如图3，过点E作EG∥AB,过点F作FH∥CD, 4/28 上教与学更高效 耐学科网 www.zxxk.com M H-、-- 图3 AB∥CD, GE∥AB∥CD∥FH, 设∠ABM=x,∠CDN=y, :GE∥AB∥CD, .ZABE =(n+1x,CDE =(n+1 y, ∠GEB=180°-∠ABE=180°-n+1x,∠GED=180°-∠CDE= .ZE=ZGED-ZGEB=-(n+1y+(n+1)x=(n+1)(x-y), AB∥CD∥FH, :∠HFM=∠ABM=x,∠HFN=∠CDN=y, ∠F=∠HFM-∠HFN=x-y, ∠F x-y 1 ∠E(n+1)(x-y)n+1 故答案为： 1 n+1 【详解】(1)解：：PQ∥MN,∠EDF=45°，点C,E,A,D在同 ∠ACP=LEDF=45°， .∠ACB=30°， :∠BCP=∠ACP-∠ACB=15°， 故答案为：15°. (2)解：∠C0F-∠ACP为定值，求解如下： 如图，过点0作OG∥P9, 5/28 让教与学更高效 180°-n+1y, 条直线上， 命学科网 E M 0 .∠ACP=∠COG, PQ∥MN, .OG∥MN, .∠F0G=∠EFD=45°， .∠C0F=∠C0G+∠F0G=∠ACP+ ∠C0F-∠ACP=45°. (3)解：①如图，当AB∥EF时， B M D LABE=∠DEF=90°， :LABC=90°， .∠ABE+∠ABC=180°， 点C,B,E,D在同一条直线上， a°=LACD=∠ACB=30°， 即此时a=30; ②如图，当AB∥DF时， P M :PQ∥MN,即PO DF, AB∥PQ, .∠ACQ=∠BAC=60°， 又：PQ∥MN,∠EDF=45°， www.zxxk.com 45°， 6/28 让教与学更高效 耐学科网 www .zxxk.com :LDCP=∠EDF=45°， °=∠ACD=180°-∠ACQ-∠DCP=75°， 即此时a=75; ③如图，当AB∥DE时， a°=∠ACD=180°-∠BAC=120°， 即此时a=120; 综上，在旋转的过程中，当a=30或75或120时，三角板ABC的边AB与 3. 【详解】(1)证明：：DE∥BC(已知)， .∠ADE=∠ABC(两直线平行，同位角相等). :DF,BE分别平分∠ADE和∠ABC(已知)， ∠0F-ADE,∠BE=号8C(角Y分线的定义)， LADF=∠ABE :DF∥BE(同位角相等，两直线平行)· ∠FDE=∠DEB(两直线平行，内错角相等)· 故答案为：∠ABC;两直线平行，同位角相等；角平分线的定义；DF; 两直线平行，内错角相等 (2)解：：BE平分∠ABC,∠ABC=62°， ∠8C=4c=x62-31, DE∥BC, ∠DEB=LEBC=31° 故答案为：31 目目 考点03 平行线的性质探究角度之间的关系 7/28 让教与学更高效 三角板DEF的一条边平行， BE；同位角相等，两直线平行： 学科网 www.zxxk.com 【详解】(I)证明：过E点作直线EF∥AB, A B .∠B=∠1， :AB∥CD, EFI‖CD, .∠D=∠2， .∠BED=∠1+∠2 .LBED=∠B+LD; (2)证明：过点E作EF∥AB, B D :AB∥CD, .AB∥EF∥CD, :∠B+∠1=180°，∠D+∠2=180°， :∠BED=∠1+∠2， LBED=180°-∠B+180°-∠D=360°-∠B+∠D: (3)证明：过点F作FG∥AB,过点E作EH∥AB, A B F751------G H----- ④E C D :AB∥CD, AB∥CD∥FG∥EH, ∠ABF=∠1，∠DCE=∠4，∠2=∠3， :∠ABF=∠DCE, .∠1=∠4， 8/28 让教与学更高效 命学科网 www.zxxk.com :∠BFE=∠1+∠2，LFEC=∠3+L4, :∠BFE=∠FEC. 2. 【详解】解：(1)过点E作EF∥AB, M B E--- :AB∥CD, D (1) AB∥EF∥CD, ∠AEM=∠MEF,∠CNE=∠NEF, ∴.∠AEF+∠CNE=∠MEF+∠NEF=∠MEN, 即∠MEN=∠AEF+∠CNE; (2)如图， M A 1》 B 3y —D 设∠BMF=y,则∠EMF=3y,设∠ENF=x,则∠DNF=x, 由(1)知，∠E=∠AME+∠CNE=(180°-4y)+(180°-2x)=360°-4y-2x, 同理可得∠F=x+y, :∠F=2LE, .x+y=2(360°-4y-2x, ∴.9y+5x=720°， 由∠AME=180°-4y,得y=4180°-∠AME), 由∠CvE=180°-2x,得x=2180°-∠CNE), 将x=)180°-∠CNE),y=180°-∠AME)f代入9y+5x=720°， 4 可得9∠AME+10∠CNE=540°； (3)将直线EM的点M平移与直线NF的N点重合，如图， 9/28 教与学更高效 耐学科网 www.zxxk.com B D NM) E N 根据题意得，∠DME,=10°t,∠DNF=25°t, 则∠FNE,=10t, :直线EM与直线NF相交所夹的锐角为30°， ∴.∠FNE=30°， .∠FNE1=30°， .25°t-10°t=30°， t=2: M B E D N(M) 根据题意得，∠DNM1=10t,∠CNE,=25t-180°， :直线EM与直线NF相交所夹的锐角为30°， .∠M,NE=30°， ∴.∠CNE,+∠MNE=∠DNM,, 即25t-180°+30°=10°t, .t=10; 10/28 让教与学更高效 专题02 平行线的判定、命题和平移 10大高频考点概览 考点01 平行线的性质定理 考点02平行线性质求角度 考点03 平行线的性质探究角度之间的关系 考点04 平行线判定与性质的证明 考点05 平行线判定与性质求角度 考点06 定义、命题、定理 考点07 图形的平移 考点08平移作图 考点09 根据平移性质求解 考点10 根据平移性质解决实际问题 ( 地 城 考点0 1 平行线的性质定理 ) 1．（24-25七年级下·天津·期中）如图，将一个含角的直角三角尺与直尺如图放置，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平角，平行线的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 由平行线的性质得到，继而得到，即可得到答案． 【详解】解：如图， 由题得， ， ， ， 故选：B． 2．（24-25七年级下·天津静海·期中）如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠BAD=70°，∠BCD=n°，则∠BED的度数为_____________度． 【答案】（35+） 【分析】过点E作EF∥AB，则由已知可得EF∥CD，由平行线的性质可得∠BED=∠ABE+∠EDC；由角平分线的性质可得∠ABE＝∠CBE＝∠ABC，∠ADE＝∠CDE＝∠ADC，从而可求得∠BED的度数． 【详解】过点E作EF∥AB，如图， 则∠BEF=∠ABE； ∵AB∥CD ∴∠ABC=∠BCD=n°，∠ADC=∠BAD=70°，EF∥CD， ∴∠FED=∠EDC ∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC， ∴∠ABE＝∠CBE＝∠ABC=，∠ADE＝∠EDC＝∠ADC=35°， ∴∠BED=∠BEF+∠FED=∠ABE+∠EDC=（35＋n）°． 故答案为：（35＋n）． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，作EF∥AB是解题的关键． 3．（24-25七年级下·天津北辰·期中）命题“内错角相等”是___________（填“真”或“假”）命题，把此命题改写成“如果……那么……”的形式___________． 【答案】 假 如果两个角是内错角，那么这两个角相等 【分析】本题考查了命题的改写，真假命题的判定，掌握命题的判定和改写方法是关键． 根据内错角的定义及数量关系判定真假命题，确定题设和结论进行改写即可． 【详解】解：∵两直线平行，内错角相等， ∴内错角相等是假命题， 改写：如果两个角是内错角，那么这两个角相等， 故答案为：①假；②如果两个角是内错角，那么这两个角相等 ． 4．（24-25七年级下·天津河北·期中）如图，，，是上一点且平分． (1)请判断与的位置关系，并说明理由． (2)若，，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． （1）根据角平分线的性质可得，根据内错角相等两直线平行即可证明； （2）根据同位角相等两直线平行得，再根据两直线平行同旁内角互补即可解答． 【详解】（1）解：，理由如下， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 5．（24-25七年级下·天津·期中）已知，是反向延长线上的一点． (1)如图①，若，平分，，则的大小为______（度），的大小为______（度），的大小为______（度）． (2)如图②，若，是的平分线，，求的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分形的定义，垂直的定义，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）由平行线的性质得到，继而得到，由得到，求出； （2）由平行线的性质得到，得到，求出． 【详解】（1）解：，， ， 平分， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：，， ， 是的平分线， ， ， ， ． 6．（24-25七年级下·天津·期中）如图1，已知直线，点C为射线上一动点，过点C作交于点D，点E在线段上，． (1)写出一个与相等的角____________________（写一个即可）； (2)如图2，点F在线段上，，．求的度数； (3)点F是直线上的一点，，，，在点C的运动过程中（点C与点B不重合，点A与点F不重合），求的度数（结果用表示）． 【答案】(1)（或） (2) (3)的度数为或 【分析】本题主要考查了平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等． （1）根据同角的余角相等以及平行线的性质，即可得到与相等的角； （2）根据，可得，再根据，即可得到； （3）分两种情况讨论：当点F在线段上；点F在延长线上，根据平行线的性质，即可得到的度数为或． 【详解】（1）解：与相等的角为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴与相等的角为， 故答案为：（或）； （2）解：，， ， 又， ， ； （3）解：有两种情况： 如图，点F在线段上， ， ，， ， 又， ， ， ， ． 如图，点F在延长线上， ， ，， ， 又， ， ， ， 综上所述，的度数为或． ( 地 城 考点 02 平行线性质求角度 ) 1．（24-25七年级下·天津·期中）如图，已知直线． (1)在图中，点在直线上，点在直线上，，，求的度； (2)如图，若平分，平分，且，求的度数； (3)如图，若，，直线与直线相交于点，则 ．（用含有的代数式表示） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）过点作，可得，进而根据平行线的性质解答即可； （）过点作，设与相交于点，可得，进而由平行线的性质得，设，，由角平分线的定义得，，即得，再根据平行线和三角形外角性质可得，进而由得到，解方程求出的值即可求解； （）过点作，过点作，可得，设，，则，，由平行线的性质得，，即得，，最后代入计算即可求解； 本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，三角形外角性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：如图1，过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴； （2）解：如图2，过点作，设与相交于点， ∵， ∴， ∴，， ∴， 设，，则， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴； （3）解：如图3，过点作，过点作， ∵， ∴， 设，， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（24-25七年级下·天津东丽·期中）玩转三角板．在一副三角板与中，，．将这副三角板按图1的方式放置在两条平行线之间（点落在直线上，边与直线重合，点在同一条直线上，固定三角板）． (1)如图1，的度数为___________； (2)如图2，将三角板绕点逆时针方向旋转，边与三角板的边相交于点，试问：的值是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由； (3)在图1的基础上，将三角板绕点逆时针方向旋转，至边与直线首次重合时停止运动．设的度数为，试探究：在旋转的过程中，当为何值时，三角板的边与三角板的一条边平行？求出符合条件的的值． 【答案】(1) (2)为定值，这个定值为 (3)30或或 【分析】本题考查了平行线的性质、平行公理推论等知识，熟练掌握平行线的性质，并正确分情况讨论是解题关键． （1）先根据平行线的性质可得，再根据角的和差求解即可得； （2）过点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，然后根据平行线的性质可得，最后根据即可得； （3）分三种情况：①，②和③，利用平行线的性质求解即可得． 【详解】（1）解：∵，，点在同一条直线上， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． （2）解：为定值，求解如下： 如图，过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：①如图，当时， ∴， ∵， ∴， ∴点在同一条直线上， ∴， 即此时； ②如图，当时， ∵，即， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 即此时； ③如图，当时， ∴， 即此时； 综上，在旋转的过程中，当或或时，三角板的边与三角板的一条边平行． 3．（24-25七年级下·天津·期中）如图，，分别平分和． (1)求证：． 请把下列解题过程补充完整，并在括号内注明理由． 证明：（已知）， ______（______）． 分别平分和（已知）， ，（______）， ． ____________（______）． （______）． (2)若，则的大小为______（度）． 【答案】(1)；两直线平行，同位角相等；角平分线的定义；；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等 (2)31 【分析】本题考查角平分线的定义，平行线的判定及性质，熟练掌握平行线的判定及性质是解题的关键． （1）根据解题过程，结合平行线的判定及性质，角平分线的定义即可解答； （2）由平分，得到，再由平行线的性质即可解答． 【详解】（1）证明：（已知）， （两直线平行，同位角相等）． 分别平分和（已知）， ，（角平分线的定义）， ． （同位角相等，两直线平行）． （两直线平行，内错角相等）． 故答案为：；两直线平行，同位角相等；角平分线的定义；；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等 （2）解：∵平分，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：31 ( 地 城 考点 03 平行线的性质探究角度之间的关系 ) 1．（24-25七年级下·天津西青·期中）先阅读再解答： (1)如图1，，求证：． （提示：可以考虑把变成两个角的和，过点作一条直线，则有，再设法证明，需证，这可通过已知和得到．） (2)已知：如图2，，求证：． (3)已知：如图3，，，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查平行线性质和平行公理的推论，灵活运用平行线的性质证明，构造辅助线是解题的关键． （1）过点作直线，则，根据平行线的性质得到，，再由角的和差即可求证； （2）过点E作，，则，由，再代入即可求证； （3）过点作，过点作，那么，则，由，得到，再由角的和差即可证明． 【详解】（1）证明：过点作直线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴； （2）证明：过点E作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）证明：过点作，过点作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 2．（24-25七年级下·天津·期中）【问题背景】同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形（如图1），我们就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系． （1）如图（1），，为，之间一点，连接，，得到，试探究与，之间的数量关系，并说明理由． （2）如图（2），若在之间，，平分，，求与的数量关系； （3）如图（3），射线从开始，绕点以每秒的速度逆时针旋转，同时射线从开始，绕点以每秒的速度逆时针旋转，直线与直线交于，若直线与直线相交所夹的锐角为，直接写出运动时间秒的值． 【答案】（1），理由见解析（2）（3）或或 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义、一元一次方程的应用，解题的关键是利用已知的结论和使用动态的思想求解． （1）过点作，根据平行线定理及性质得出，，再根据角的和差即可得出答案； （2）设，则，设，则， 由（1）知，，，可列出，再代入化简即可得出答案； （3）将直线将直线的点M平移与直线的N点重合，根据运动的角度为，结合题意将角度转化为、、角度差，结合题意列出对应的角度和差关系求解即可得出答案． 【详解】解：（1）过点作， ， ， ，， ， 即； （2）如图， 设，则，设，则， 由（1）知，， 同理可得， ， ， ， 由，得， 由，得， 将，代入， 可得； （3）将直线的点M平移与直线的N点重合，如图， 根据题意得，，， 则， 直线与直线相交所夹的锐角为， ， ， ， ； 根据题意得，，， 直线与直线相交所夹的锐角为， ， ， 即， ； 根据题意得，，， 直线与直线相交所夹的锐角为， ， ， 即， ； 综上所述，或或． ( 地 城 考点 04 平行线判定与性质的证明 ) 1．（24-25七年级下·天津·期中）完成下面的计算，并在括号内标注理由． 已知：，．  求证：． 证明：∵（已知） ∴______（ ） ∴ _______ （ ） 又∵（已知） ∴____________（            ） ∴ （ ） 【答案】，内错角相等，两条直线平行；，两条直线平行，内错角相等；，，等量代换；同位角相等，两条直线平行 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定的综合应用，首先得到，求出，等量代换得到，即可得到． 【详解】证明：∵（已知）， ∴（内错角相等，两条直线平行 ）， ∴（ 两条直线平行，内错角相等）， 又∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（同位角相等，两条直线平行）． 2．（24-25七年级下·天津·期中）如图，点，，在一条直线上，于点，于点，交于点，若与相等，则平分吗？为什么？请把下面的解题过程补充完整并在括号内填写依据． 解：相等． 于点，于点， ， ________________________（___________________）， _______________（_________________） __________________（两直线平行，同位角相等）， ， _______=_________， 平分． 【答案】；；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；；； 【分析】本题考查了平行线的判定及性质，由平行线的判定方法得 ，由平行线的性质得，即可得证；能熟练利用平行线的判定及性质是解题的关键． 【详解】解：相等． 于点，于点， ， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，内错角相等）， （两直线平行，同位角相等）， ， =， 平分． 故答案为：；；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；；；． 3．（24-25七年级下·天津滨海新区·期中）完成下面的证明： 如图， 已知，求证：． 证明： ， （ ） （ ） 即 ， ， ， （ ） （ ） 又， （ ） 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，垂直的定义，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．先根据平行线的性质得到，再根据余角的性质得到，再根据平行线的判定及性质即可得到结论． 【详解】证明： ， （两直线平行，内错角相等）， （已知）， ，即 ， ， ， （等量代换）， （内错角相等，两直线平行）， 又， （平行于同一直线的两条直线互相平行）． 4．（24-25七年级下·天津和平·期中）如图，已知，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，根据平行线的性质可得，等量代换得出，即可证明，从而得出，根据对顶角相等，等量代换，即可得证． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 5．（24-25七年级下·天津河西·期中）完成下面的证明： 如图，已知，，．求证：． 证明：， ． ______．（   ） ______．（   ） ， ______． ______．（   ） （   ） 【答案】见解析 【分析】本题考查平行线的判定和性质，根据平行线的判定方法和性质，进行作答即可，熟练掌握平行线的判定和性质，是解题的关键． 【详解】证明：， ． ．（内错角相等，两直线平行） ．（两直线平行，内错角相等） ， ． ．（内错角相等，两直线平行） （两直线平行，内错角相等） 6．（24-25七年级下·天津·期中）如图1，，的平分线交于点G，． (1)求证：； (2)如图2，若，的平分线交线段于点E、交射线于点F．求的度数； (3)如图3，线段上有一点P，满足，过点C作．若在直线上取一点M，使，请直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)4或 【分析】（1）根据平行线的性质与角平分线即可证明； （2）先根据直角的平分线得：，由平行线的性质得：，，，最后根据外角的性质可得的度数； （3）有两种情况：①当M在的下方时，如图5，设，先根据已知计算，，根据平行线的性质得：，根据角的和与差计算，的度数，可得结论；②当M在的上方时，同理可得结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵平分，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （3）解：有两种情况： ①当M在的下方时，如图， 设， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴； ②当M在的上方时，如图， 设， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴． 综上，的值是4或． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、三角形外角的性质、平行线的判定与性质及角的和与差，注意分类讨论思想的运用． ( 地 城 考点 05 平行线判定与性质求角度 ) 1．（24-25七年级下·天津·期中）如图，，，垂足分别为D、F，，若，求的度数． 【答案】 【分析】此题考查的是平行线的判定及性质，掌握平行线的各个判定定理及性质定理是解决此题的关键． 首先得到，推出，等量代换得到，证明出，即可得到． 【详解】解：∵，， ∴（垂直定义）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∵， ∴（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴ （两直线平行，同位角相等）， ∵， ∴ ． 2．（24-25七年级下·天津南开·期中）根据条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由． 如图，，，平分，，． 求的度数． 证明：，（_____）， ∴_______（______________）． （_______）（______________）． ， ， 又∵平分，（已知）， （______________）． ， ． ∵， （_______）（______________）． 【答案】已知；；平行于同一直线的两直线互相平行；；两直线平行，同旁内角互补；角平分线定义；；两直线平行，内错角相等 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，根据平行线的公理得出，根据平行线的性质得出，求出，根据角平分线的定义求出，最后根据平行线的性质求出结果即可． 【详解】证明：，（已知）， ∴（平行于同一直线的两直线互相平行）， （两直线平行，同旁内角互补）， ， ， 又∵平分，（已知）， （角平分线定义）， ， ， ∵， ∴（两直线平行，内错角相等）． 3．（24-25七年级下·天津河西·期中）已知：如图，，． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了平行线的判定和性质，证明是关键． （1）证明，得到，即可得到答案； （2）由平行线的性质和等量代换得到，即可证明，根据平行线的性质即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ， 又， ； （2）解：， ， ， ， ， ． 4．（24-25七年级下·天津南开·期中）如图1，在平面直角坐标系中；，且满足，过作轴于． (1)___________，___________，三角形的面积___________； (2)若过作交轴于，，分别平分，，如图2，求的度数； (3)在轴上存在点，使得三角形和三角形的面积相等，则点坐标为___________． 【答案】(1)，5，20 (2) (3)或 【分析】（1）根据非负数的性质确定的值，进而可知点的坐标，即可求得三角形的面积； （2）过点作，结合角平分线的定义、平行线的性质，分别证明，，利用角平分线性质求解即可； （3）设点，分当点在轴上方和点在轴下方两种情况讨论，过点作，过点作于点，过点作于点，利用求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴三角形的面积． 故答案为：，5，20； （2）过点作，如下图， ∵，， ∴， ∴ ∴， 同理，， 又∵平分，平分 ， ∴， ∴； （3）设点，分两种情况讨论： 当点在轴上方时，如图， 过点作，过点作于点，延长交于点， 由题意， 则，，，， ∵， ∴， 解得，即； 当点在轴下方时，如图， 过点作，过点作于点，延长交于点， 由题意，， 则，，，， ∵， ∴， 解得，即． 综上所述，点坐标为或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了非负数的性质、坐标与图形、平行线的性质、角分线的定义以及一次函数的应用等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 5．（24-25七年级下·天津河东·期中）如图1，在平面直角坐标系中，且满足，过点C作轴于点B． (1)请写出点A（___，___）、点B（___，___）的坐标； (2)如图2，过点B作交y轴于D，且，分别平分与，求的度数； (3)如图1，在y轴上是否存在点P使得和的面积相等？若存在，直接写出点P坐标． 【答案】(1)、； (2) (3)存在， P点的坐标为或． 【分析】本题考查了非负数的性质，平行线的判定和性质，角平分线的定义，坐标与图形，一元一次方程的应用，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键． （1）根据绝对值和算术平方根的非负性，求出、的值，即可得到答案； （2）过E作，根据平行线的性质和平角的定义，得到，再结合角平分线的定义，得到，即可得到答案； （3）分两种情况讨论：①当P在y轴正半轴上时，如图，过点P作轴交的延长线于M，过A作轴交的延长线于N；②当P在y轴负半轴上时，如图，过P作轴交的延长线于M，过A作交于N．根据和的面积相等分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：， ，， ，， ，， 故答案为：、； （2）解：如图，过E作， 轴， 轴，， ． 又， ， ． ， ， ，． ，分别平分，， ，， ； （3）解：①当P在y轴正半轴上时，如图，过点P作轴交的延长线于M，过A作轴交的延长线于N， 由题意可知，，，， 设点，则，，，． ， ， ， 解得， 即点P的坐标为． ②当P在y轴负半轴上时，如图，过P作轴交的延长线于M，过A作交于N． 设点，则，，． ， ， 解得， 点P的坐标为． 综上所述，P点的坐标为或． 6．（24-25七年级下·天津和平·期中）如图1，点，且满足．         (1)直接写出M、N的坐标：M________，N________； (2)点P以每秒2个单位长度从点M向y轴负半轴运动，同时，点Q以每秒3个单位长度从N点向x轴正半轴运动，直线交于点D，设点P，Q运动的时间为t秒． ①当时，求的面积； ②当时． （Ⅰ）用代数式表示的面积和； （Ⅱ）求证：； ③如图2，当时，在线段上任取一点，连接．点G为的角平分线上一点，且满足，请将图2补全，并直接写出、、之间的数量关系． 【答案】(1) (2)①1；②，；（Ⅱ）证明见解析；③或 【分析】本题考查的是非负数的性质，坐标与图形，三角形的面积的计算，平行线的性质，平行公理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． （1）由非负数的性质可得：，，从而可得答案； （2）①求出此时的长，进而得到的长，再根据三角形面积计算公式求解即可； ②（Ⅰ）求出此时的长，再根据三角形面积计算公式求解即可；（Ⅱ）根据（Ⅰ）所求可得，再根据图形面积之间的关系可证明结论； ③先根据题意补全图形，设，设，则，再求出，的度数，再进一步可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴，， 解得：，， ∴点， 故答案为：； （2）解：①当时，点Q的运动路程为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②（Ⅰ）由题意得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ； （Ⅱ）由（Ⅰ）得， ∴， ∴； ③如图，补全图形如下： 当点在上方时， ∵点为的角平分线上一点， ∴设， ∵， 设，则， 如图，∵， ∴， 过作， ∴， ∴，， ∴， 过作，而， ∴， ∴，， ∴， 而， ∴， ∴， ∴； 当点在下方时， ∵点为的角平分线上一点， ∴设， ∵， ∴设，则， ∵， ∴， 过作， ∴， ∴，， ∴， 过作，而， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 综上所述，或． ( 地 城 考点 06 定义、命题、定理 ) 1．（24-25七年级下·天津东丽·期中）有下列5个命题，其中真命题的个数为（   ） ①两个锐角之和一定是钝角；②直角小于钝角；③同位角相等，两直线平行；④内错角互补，两直线平行；⑤如果，，那么． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查命题，正确的命题叫真命题；错误的命题叫假命题，根据锐角、钝角、直角的概念、平行线的判定定理以及等式的传递性判断即可得到答案，熟悉学过的相关性质定理是解决问题的关键． 【详解】解：命题①：两个锐角之和一定是钝角， 锐角是小于的角，若两个锐角分别为和，和为，仍为锐角，故命题①为假命题； 命题②：直角小于钝角， 直角为，钝角大于且小于，显然直角小于钝角，故命题②为真命题； 命题③：同位角相等，两直线平行， 根据平行线判定定理，同位角相等则两直线平行，故命题③为真命题； 命题④：内错角互补，两直线平行， 平行线判定定理中要求内错角相等，而非互补，若内错角互补（如和），两直线不平行，故命题④为假命题； 命题⑤：若，，则， 根据等式的传递性，该命题成立，故命题⑤为真命题； 综上所述，真命题为②③⑤，共3个， 故选：C． 2．（24-25七年级下·天津·期中）下列命题是假命题的是（　　） A．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．两直线平行，内错角相等 C．同位角相等，两直线平行 D．相等的角是对顶角 【答案】D 【分析】本题主要考查命题与定理知识，根据平行线的性质、垂直以及对顶角相等等知识判断即可． 【详解】解：A、同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，为真命题； B、两直线平行，内错角相等，为真命题； C、同位角相等，两直线平行，为真命题； D、相等的角不一定是对顶角，故原命题为假命题； 故选：D． 3．（24-25七年级下·天津红桥·期中）下列命题是真命题的是（    ） A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B．正数与负数的和为0 C．相等的角是对顶角 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】D 【分析】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．根据对顶角的概念、平行线的性质、垂直的定义判断． 【详解】解：解：A、两条直线被第三条直线所截，同位角不一定相等，为假命题，不符合题意； B、正数与负数的和不一定为0，为假命题，不符合题意； C、相等的角不一定是对顶角，为假命题，不符合题意； D、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确，为真命题，符合题意． 故选：D． 4．（24-25七年级下·天津南开·期中）下列命题中： ①对顶角相等； ②在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行； ③如果两个实数的平方相等，那么这两个实数也相等； ④立方根等于它本身的实数只有或； ⑤二元一次方程的整数解只有组． 其中真命题有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】根据对顶角相等、平行线的判定、实数的乘方、立方根的概念、二元一次方程的解判断即可． 【详解】解：对顶角相等，是真命题； 在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行，是真命题； 如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等或互为相反数，故本小题命题是假命题； 立方根等于它本身的实数只有或或，故本小题命题是假命题； 二元一次方程的整数解有无数组，故本小题命题是假命题； 故选：． 【点睛】此题考查了命题的真假判断，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题，解题的关键是要熟悉课本中以上知识的性质定理． 故选：A ( 地 城 考点 07 图形的平移 ) 1．（24-25七年级下·天津北辰·期中）年初，一款由杭州深度求索公司开发的软件在人工智能上取得了新的突破．平移如图所示的图标，能得到下列图形中的（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平移，即“某一基本的平面图形沿着一定的方向移动，这种图形的平行移动，简称为平移”．根据平移由移动方向和距离决定，不改变方向、形状以及大小进行判断，即可得到答案． 【详解】解：由已知图形可知，只有B选项图形可以通过平移得到， 故选：B． 2．（24-25七年级下·天津·期中）窗棂是中国传统木构建筑的框架结构设计，在园林设计中常常可以看到．下列窗棂图案中可以看作由一个“基本图案”经过平移得到的是（　　） A．四钱纹样式 B．梅花纹样式 C．拟日纹样式 D．海棠纹样式 【答案】A 【分析】本题考查了图形的平移，根据平移只改变位置，不改变大小，形状和方向，进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：由平移只改变位置，不改变大小，形状和方向可知，四个选项中只有A选项中的图案可以有平移得到， 故选：A． 3．（24-25七年级下·天津·期中）2024年5月3日，作为中国探月四期工程的“关键一环”，嫦娥六号探测器由长征五号遥八运载火箭发射成功，它将完成月背采样返回等重要任务．下图中国探月标识以中国书法的笔触，抽象地勾勒出一轮圆月，一双脚印踏在其上，象征着月球探测的终极梦想．在选项的四个图中，能由下图经过平移得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了利用平移设计图案，根据平移只改变图形的位置，不改变图形的方向，形状与大小解答，熟练掌握图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的方向，形状和大小是解决此题的关键． 【详解】观察各选项图形可知，B选项的图案可以通过平移得到， 故选：B． 4．（24-25七年级下·天津静海·期中）在选项的四个图中，能由给出的图形经过平移得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是平移的概念，把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同，新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等． 【详解】解：A选项图形中，是经过旋转得到故不符合题意； B选项图形中，是经过翻转得到故不符合题意； C选项图形中，改变了图形的大小故不符合题意； D选项图形中，是经过平移得到的图形，故符合题意． 故选：D． 5．（24-25七年级下·天津南开·期中）下列生活现象中，是平移的是（   ） A．水平拉动抽屉的过程 B．将一张纸片对折 C．教室门的打开 D．荡秋千 【答案】A 【分析】本题考查的是平移的含义，平移是指物体在平面内沿某一方向移动，不改变形状、大小和方向；根据平移的定义逐一分析即可． 【详解】解：A选项：水平拉动抽屉时，抽屉整体沿水平方向移动，各点运动方向、距离相同，符合平移定义． B选项：对折纸片属于翻折，改变了方向，属于轴对称，不是平移． C选项：教室门绕门轴旋转，属于旋转运动，而非平移． D选项：荡秋千是绕固定点摆动，属于旋转运动． 综上，只有A选项是平移现象． ( 地 城 考点 08 平移作图 ) 1．（24-25七年级下·天津滨海新区·期中）如图， 已知长方形， 点 (1)点D的坐标为 ； (2)将长方形向左平移2个单位长度，然后再向上平移3个单位长度，可以得到长方形 ，画出平移后的图形，并写出点 A、C的对应点的坐标． 【答案】(1) (2)作图见解析，点的坐标为，点的坐标为 【分析】本题考查平面直角坐标系中图形的平移，理解并掌握平移的法则是解题关键． （1）根据长方形的性质得到点D的坐标即可； （2）根据平移的性质得到点A，B，C，D的对应点，然后连接得到四边形即可，然后根据点的位置写出坐标即可． 【详解】（1）解：∵点D的横坐标与点的横坐标相同，点的纵坐标与点的纵坐标相同， ∴点D的坐标为， 故答案为：； （2）解：如图，即为所作； ∴点的坐标为，点的坐标为． 2．（24-25七年级下·天津静海·期中）如图，在直角坐标系中． (1)请写出各顶点的坐标； (2)若把向上平移2个单位，再向左平移1个单位得到，写出，，的坐标，并在图中画出平移后图形； (3)求出的面积． 【答案】(1) (2)图见解析， (3)7 【分析】本题主要考查了坐标与图形，坐标与图形变化—轴对称，数值相关知识是解题的关键． （1）根据平面直角坐标系写出各点的坐标即可； （2）根据网格结构找出平移后的对应点的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出的坐标； （3）利用所在长方形的面积减去四周三个直角三角形的面积，列式计算即可． 【详解】（1）解：根据平面直角坐标系的特点可得： ； （2）平移后的图形如图所示： 根据平移特点，向上平移2个单位纵坐标加2，再向左平移1个单位横坐标减1， 则：； （3）解： ． 3．（24-25七年级下·天津河西·期中）如图，在平面直角坐标系中，为原点，平行四边形的顶点，，，．将这个平行四边形向左平移个单位长度，得到平行四边形，点，，，的对应点分别为，，，． (1)当时，在下图中画出平行四边形；并直接写出四个顶点的坐标：点的坐标为______，点的坐标为______，点的坐标为______，点的坐标为______； (2)在（1）的条件下，求平移前后的两个平行四边形重合部分的面积； (3)在平行四边形向左平移过程中，若重合部分的面积为，求此时的值和点的坐标．（直接写出结果即可） 【答案】(1)图见解析，，，， (2)3 (3)， 【分析】本题考查坐标与平移，熟练掌握平移的性质，是解题的关键： （1）根据平移规则，确定点的坐标，画出平行四边形即可； （2）根据图形得到重合部分的面积为平行四边形的面积，进行求解即可； （3）根据重合部分的面积为平行四边形的面积，过点作轴，得到重叠部分的面积为：，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，作图如下： ∵将这个平行四边形向左平移个单位长度，得到平行四边形， ∴，，，， 即：，，，； （2）由图可知，重合部分的面积为平行四边形的面积，连接， ∵，，，， ∴轴，， ∴轴， ∴， ∴重叠部分的面积为：； （3）同（2）可知：重合部分的面积为平行四边形的面积，过点作轴， ∵，， ∴，， 由平移可知：， ∴， ∴重叠部分的面积为：， ∴， ∴， ∴，即：． 4．（24-25七年级下·天津南开·期中）已知三角形的边上任意一点经过一次平移后的对应点为． (1)将三角形作同样的平移得到三角形，在图中画出三角形，并直接写出的坐标； (2)三角形的面积为___________； (3)连接，为上的动点，直接写出长的最小值． 【答案】(1)见详解， (2)11 (3)3 【分析】本题主要考查了平移变换、坐标与图形、垂线段最短等知识，根据题意确定三角形的平移方式是解题关键． （1）根据题意确定该三角形的平移方式，再确定点的位置并顺次连接即可得到三角形，然后确定的坐标即可； （2）根据割补法求出三角形的面积即可； （3）由点，的坐标可知轴，故当，即点的横坐标相同时，的长取最小值，即可获得答案． 【详解】（1）解：根据题意可知，三角形的边上任意一点经过一次平移后的对应点为， 则该三角形的平移方式为向右平移4个单位长度，向上平移3个单位长度， 故平移后三角形的位置如下图所示， 此时； （2）三角形的面积． 故答案为：11； （3）连接， ∵，， ∴轴， 当，即点的横坐标相同时，的长取最小值，如下图， ， 此时． 5．（24-25七年级下·天津·期中）在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，位置如图． (1)将向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度得到，请在图中作出平移后的三角形； (2)内一点随一起平移，得到对应点，则_______，_______． (3)求出的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，坐标与图形，解题的关键是掌握平移变换的性质． （1）根据“上加下减，左减右加”的平移规律得到A、B、C对应点的坐标，描出，再顺次连接即可； （2）根据“上加下减，左减右加”的平移规律求解即可； （3）利用割补法求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：∵将向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度得到，内一点随一起平移，得到对应点， ∴； （3）解；． 6．（24-25七年级下·天津滨海新区·期中）如图，已知∶ (1)写出点坐标为________；点坐标为________； 点坐标为_______； (2)求出的面积； (3)把向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到（画图），则点坐标为________，点坐标为_______，坐标为_______． 【答案】(1)；； (2) (3)，， 【分析】（1）直接根据图形写出点A，B，C的坐标，即可； （2）用所在长方形的面积减去其周围的三个三角形的面积，即可； （3）根据平移的性质画出图形，即可． 【详解】（1）解：写出点A坐标为；点B坐标为；点C坐标为； 故答案为：；； （2）解：的面积； （3）解：如图所示，即为所求； 由图得：点坐标为，点坐标为，坐标为． 故答案为：，， ( 地 城 考点 09 根 据平移性质求解 ) 1．（24-25七年级下·天津河西·期中）如图，将三角形沿方向平移至三角形，线段与相交于点，则下列说法中不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查图形的平移，根据平移的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵将三角形沿方向平移至三角形， ∴， ∴， ∴， 条件不足，不能得到； 综上，只有B选项不一定正确； 故选B． 2．（24-25七年级下·天津和平·期中）下列关于平移的特征中不正确的是（   ） A．平移后的图形和原来的图形的对应线段必定平行 B．平移后对应点所连的线段必定平行或在同一直线上 C．平移前线段的中点经过平移后一定也是线段的中点 D．平移前后图形的形状和大小都没有发生变化 【答案】A 【分析】根据平移基本性质，由平移不改变图形的形状大小和方向来分析作答．此题考查平移的性质，解题关键在于掌握其性质定义． 【详解】解：A. 平移后的图形和原来的图形的对应线段不一定平行，也可能共线，原说法不正确，符合题意； B. 平移后对应点所连的线段必定平行或在同一直线上，说法正确，不符合题意； C. 平移前后的两个图形全等，则平移前线段的中点经过平移后一定也是线段的中点，说法正确，不符合题意； D. 平移前后不改变图形的形状和大小，只改变了图形的位置，说法正确，不符合题意； 故选：A 3．（24-25七年级下·天津南开·期中）如图，两个直角三角形重叠在一起，将沿方向平移得到，，，下列结论：；；；；⑤阴影部分的面积为．其中正确的是（    ） A．①②③④⑤ B．②③④⑤ C．①②③⑤ D．①②④⑤ 【答案】A 【分析】本题主要考查了平移的性质，平行线的性质，根据平移的性质得到，，，，据此可判断①；再由线段的和差关系可判断②；求出的长即可判断③；再由平行线的性质即可判断④；证明阴影部分的面积即可判断⑤． 【详解】解：由平移的性质可得，，，，故①正确 ∴，即，故②正确； ∵， ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴，故④正确； 阴影部分的面积 ，故⑤正确； 故选：A． 4．（24-25七年级下·天津·期中）如图，在一块长为，宽为的长方形场地上，有一条弯曲的道路，其余的部分为绿化区，道路的左边线向右平移就是它的右边线，则绿化区的面积是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了长方形面积，平移．解决问题的关键是熟练掌握长方形的面积公式，平移性质． 根据平移性质得到绿化区的总长，再根据长方形的面积公式计算即可． 【详解】解：绿化区的面积是， 故答案为：． 5．（24-25七年级下·天津北辰·期中）如图，将直角三角形沿向右平移个单位得到直角三角形．已知，则图中阴影部分面积为___________． 【答案】15 【分析】本题考查了图形平移的性质，掌握平移的性质得到是关键． 根据平移得到，根据题意得到，由此即可求解． 【详解】解：∵将直角三角形沿向右平移个单位得到直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：15 ． 6．（24-25七年级下·天津河东·期中）在直角梯形中，与为直角，，，将梯形沿着射线平移得到梯形，与交于点M，若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】45 【分析】本题考查了平移的性质，直角梯形，先根据图形平移的性质得出，，再根据，得出，，最后根据计算即可得出结论． 【详解】解：∵直角梯形由直角梯形平移而成， ∴，， ∵，， ∴，， ∴． ∴图中阴影部分的面积为45． ( 地 城 考点 10 平移性质的实际应用 ) 1．（24-25七年级下·天津南开·期中）如图，在一块长为、宽为的长方形地面上，有一条弯曲的柏油马路，马路的任何地方的水平宽度都是，其他部分都是草地，则草地的面积为________． 【答案】300 【分析】本题考查有理数混合运算，生活中的平移现象，化曲为直是解决此题的关键． 根据图形的特点，可以把小路的面积看作是一个底是1米，高是15米的平行四边形，根据平行四边形的面积=底×高，长方形的面积=长×宽，用长方形的面积减去小路的面积即可． 【详解】解：由题意可得，草地的面积为， 故答案为：300． 2．（24-25七年级下·天津南开·期中）如图，某公园里一处长方形风景欣赏区，为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为1米．若米，米，小明沿着小路的中间从入口E处走到出口F处，则他所走的路线（图中虚线）长为_______． 【答案】98米 【分析】此题主要考查了生活中的平移现象，根据已知得出所走路径是解决问题的关键． 根据已知可以得出此图形可以分为横向与纵向分析，横向距离等于，纵向距离等于，求出即可． 【详解】解：利用已知可以得出此图形可以分为横向与纵向分析，横向距离等于，纵向距离等于， 图是某公园里一处矩形风景欣赏区，长米，宽米， 所走的路线（图中虚线）长为（米）， 故答案为：98米． 3．（24-25七年级下·天津·期中）某商场重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺设一种红色的地毯．已知这种地毯的批发价为每平方米10元，主楼梯的宽为3米，其侧面如图所示，则购买地毯至少需要______元． 【答案】252 【分析】本题考查了生活中的平移现象，熟练掌握平移的性质是解题的关键； 利用平移和平行分别将楼梯水平方向的线段沿竖直方向向下平移到上，竖直方向的线段沿水平方向向左平移到上，于是铺地毯的横向线段的长度之和就等于横向直角边的长度，纵向线段的长度之和就等于纵向直角边的长度，然后求出面积进行计算，即可解答． 【详解】解：如图： 地毯的总长度至少为(米)． 此时，总面积为 (平方米)， 所以购买地毯至少需要(元)． 4．（24-25七年级下·天津南开·期中）在图①中，将线段向右平移1个单位得到线段，从而得到封闭图形（即阴影部分）：在图②中，将折线向右平移1个单位得到折线，从而得到封闭图形（即阴影部分）． (1)图①，图②图形中，除去阴影部分后，将剩余部分拼在一起就是如图③的图形，若剩余部分的面积分别是（图①，图②长方形的长均为个单位，宽均为个单位），则___________，___________，___________（填“”或“”或“”）； (2)如图④，一块长方形场地由一条弯曲的小路和草地组成．这条弯曲的小路（即阴影部分）任何地方的水平宽度都是，除去小路部分后，空白部分表示的草地的图形可拼在一起形成一个正方形，若这个正方形的面积是，则原长方形场地的长为___________，宽为___________？ (3)如图⑤，一块长方形场地由两条弯曲的小路（阴影部分）和草地组成．竖直方向小路任何地方的水平宽度都是，水平方向小路任何地方的竖直宽度都是．除去小路部分后，空白部分表示草地的图形拼在一起形成一个长方形，且这个长方形的长是宽的2倍，面积是．计划用不超过5100元的总费用将两条小路改铺成鹅卵石路面，若每平方米路面的铺设费用（人工费材料费）约为200元，请问总预算5100元够吗？并说明理由． 【答案】(1)；； (2)长：，宽 (3)总预算5100元不够；理由见解析 【分析】本题主要考查了平移的性质，算术平方根的应用，无理数的估算，解题的关键是理解题意，熟练掌握平移的性质． （1）根据长方形面积公式进行解答即可； （2）设除去小路后的图形拼在一起形成的正方形边长为，根据正方形的面积是列出方程，求出x的值即可； （3）设空白部分表示草地的图形拼在一起的长方形宽为，长为，根据这个长方形的面积为，列出方程，解方程得出y的值，然后求出两条小路的总面积，再求出需要的费用，即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意得：；； ∴， 故答案为：；；； （2）解：设除去小路后的图形拼在一起形成的正方形边长为，则： ， （负值舍负）， 长方形场地的长， 长方形场地的宽． （3）解：设空白部分表示草地的图形拼在一起的长方形宽为，长为， 则， （负值舍去）， 长方形场地的宽， 长方形场地的长， 则两条小路的总面积为：， 将两条小路改铺成鹅卵石路面的总费用元， ∵ ， ∴ ∴ ∴ 答：总预算5100元不够． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $