专题01 相交线与平行线的判定8大考点（期中真题汇编，天津专用）七年级数学下学期新教材人教版

专题01 相交线与平行线的判定 8大高频考点概览 考点01 对顶角 考点02 邻补角 考点03 垂线和垂线段 考点04 点到直线的距离 考点05 三线八角 考点06 平行线 考点07 平行公理及其推论 考点08 平行线的判定 ( 地 城 考点01 对顶角 ) 1．（24-25七年级下·天津红桥·期中）如图，一束光线从空气中照射到水中，会发生折射现象，其中为入射光线，为折射光线，直线为法线，点，，在同一条直线上．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了对顶角的性质．先求得，再利用角的和差计算即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：A． 2．（24-25七年级下·天津·期中）下列命题正确的是（   ） A．相等的两个角是对顶角 B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．同旁内角互补 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】D 【分析】本题主要考查命题与定理知识，熟练掌握对顶角的性质、平行线的判定及性质、平行公理、垂直公理等知识是解答此题的关键，逐一分析各选项的正确性：A选项忽略了对顶角以外的等角情况；B选项未限定“直线外一点”，导致命题不严谨；C选项缺少两直线平行的前提条件；D选项符合平面几何中垂线的唯一性，即可作答． 【详解】解：A、相等的角不一定是对顶角，例如平行线中的同位角相等，故该选项不符合题意； B、平行公理要求“过直线外一点”才有且仅有一条平行线，而选项未排除点在直线上的情况，故该选项不符合题意； C、同旁内角互补需满足两直线平行，否则不成立，故该选项不符合题意； D、根据平面几何性质，过一点（无论是否在直线上）有且仅有一条垂线，故该选项符合题意； 故选：D 3．（24-25七年级下·天津·期中）下列命题中，是真命题的是（　  　） A．相等的角是对顶角 B．两直线平行，同旁内角相等 C．若，，则 D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】D 【分析】本题考查了命题，根据对顶角的定义、平行线的性质和判定、平行公理逐项判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：、相等的角不一定是对顶角，该选项命题是假命题，不合题意； 、两直线平行，同旁内角互补，该选项命题是假命题，不合题意； 、若，，则，该选项命题是真命题，符合题意； 、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，该选项命题是假命题，不合题意； 故选：． 4．（24-25七年级下·天津·期中）如图，直线，相交于点O，，，平分，给出下列结论：当①时，；②与相等的角有三个；③为的平分线；④．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查对顶角，角平分线定义，余角的性质，垂直的定义，由余角的性质得到，由角平分线定义，对顶角的性质，余角的性质即可得到与相等的角有三个，由平角定义推出． 【详解】解：①∵， ∴， 当时，，正确， 故①符合题意； ②∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴与相等的角有三个，正确， 故②符合题意； ③∵平分， ∴， ∵， ∴不一定等于， ∴不一定是的平分线， 故③不符合题意； ④，正确， 故④符合题意． 其中正确的结论有3个． 故选：C． 5．（24-25七年级下·天津西青·期中）下列命题，真命题的个数是（   ） ①对顶角相等；②相等的角是对顶角；③同位角相等； ④两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了判断命题真假，平行线的性质，对顶角的定义和性质，有公共顶点，且角的两边互为反向延长线的两个角互为对顶角，且对顶角相等，据此可判断①②，根据平行线的性质可判断③④． 【详解】解：①对顶角相等，原命题是真命题； ②相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题； ③两直线平行，同位角相等，原命题是假命题； ④两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，原命题是真命题． ∴真命题有2个， 故选：B． 6．（24-25七年级下·天津南开·期中）下列命题： ①相等的角是对顶角；②互补的角就是邻补角；③两条直线被第三条直线所截，同位角相等；④在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；⑤邻补角的平分线互相垂直；⑥两个无理数的和仍为无理数．其中真命题的个数（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查的是真假命题的判断，无理数的含义，逐一判断各命题的真假，结合对顶角、邻补角、同位角、垂线性质及无理数的定义进行分析即可． 【详解】解：对顶角相等，但相等的角未必是对顶角（如平行线的同位角），故①为假命题； 互补的角就是邻补角．错误．互补的角只需和为，但邻补角还需相邻且有一条公共边．故②为假命题； 两条直线被第三条直线所截，同位角相等．错误．仅当两直线平行时同位角才相等，否则不成立．故③为假命题； 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．正确．符合垂线的唯一性公理．故④为真命题； 邻补角的平分线互相垂直．正确．邻补角和为，平分后形成的角为，故垂直．故⑤为真命题； 两个无理数的和仍为无理数． 错误．反例：与的和为0（有理数）．故⑥为假命题； 综上，真命题为④和⑤，共2个． 故选C． 7．（24-25七年级下·天津西青·期中）在图中，与是对顶角的是（   ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了对顶角的定义，有公共顶点，且角的两边互为反向延长线的两个角叫做对顶角，据此求解即可． 【详解】解：由对顶角的定义可得，四个选项中，只有C选项中的与是对顶角， 故选：C． 8．（24-25七年级下·天津·期中）下列命题是真命题的是（    ） A．两直线平行，同旁内角相等 B．相等的角是对顶角 C．两个锐角的和是钝角 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】D 【分析】本题考查了命题和定理，熟练掌握平行线的性质，对顶角的定义，锐角和的范围，平行公理是解题的关键． 根据平行线的性质，对顶角的定义，锐角和的范围，平行公理逐项判断即可． 【详解】解：A. 两直线平行，同旁内角互补，故A选项命题是假命题，不符合题意； B.对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，故B选项命题是假命题，不符合题意； C. 两个锐角的和可能为锐角、直角、钝角，故C选项命题是假命题，不符合题意； D. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，是真命题，故选项D符合题意； 故选：D． 9．（24-25七年级下·天津·期中）完成下列证明： 已知：，，求证：． 证明：∵____________（________________________）， 又∵（已知）， ∴（等式的基本事实） ∴____________（________________________）． ∴_______（________________________）． 又∵（已知）， （________________________）． ∴（________________________）． 【答案】；；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；等式的基本性质；内错角相等，两直线平行 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，对顶角相等，先由已知条件和对顶角相等证明，则可证明得到，再证明即可证明结论． 【详解】证明：∵（对顶角相等）， 又∵（已知）， ∴（等式的基本事实） ∴（同位角相等，两直线平行）． ∴（两直线平行，同旁内角互补）． 又∵（已知）， （等式的基本性质）． ∴（内错角相等，两直线平行）． 10．（24-25七年级下·天津·期中）已知：如图，，直线分别与直线，相交于点G，H，，试说明：． 解：因为（已知）， （对顶角相等）， 所以 （ ）， 所以 （同位角相等，两直线平行）， 所以 （两直线平行，同位角相等）， 因为（已知）， 所以（ ）， 所以（等量代换）． 【答案】；；等量代换；；；两直线平行，内错角相等 【分析】根据已知和对顶角相等得，结合平行线的判定和性质得和，即可证明． 【详解】解：由题知， 因为（已知），（对顶角相等）， 所以（等量代换）， 所以（同位角相等，两直线平行）， 所以（两直线平行，同位角相等）， 因为（已知）， 所以（两直线平行，内错角相等）， 所以（等量代换）． ( 地 城 考点0 2 邻补角 ) 1．（24-25七年级下·天津西青·期中）如图，直线a，b相交于点O，若等于，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了邻补角的定义，掌握互为邻补角的两个角度数和为是解题的关键． 根据邻补角的意义得到，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：D． 2．（24-25七年级下·天津滨海新区·期中）如图，点A、C、F、B在同一直线上，平分，，若为a度，则的度数为（用含a的式子表示）（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了邻补角，角平分线的定义，平行线的性质，解题关键是掌握两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．由邻补角可得，由角平分线的定义可得，再根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：为a度， ， 平分， ， ， ， 故选：D． 3．（24-25七年级下·天津·期中）如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOD与∠BOC的和为210°，那么∠AOC的度数是（　　） A．105° B．75° C．90° D．100° 【答案】B 【分析】由对顶角相等先求得∠AOD的度数，然后根据邻补角的性质求得∠AOC即可． 【详解】解：由对顶角相等可知：∠AOD=∠BOC ∴∠AOD=×210°=105° ∵∠AOC+∠AOD=180° ∴∠AOC=180°-105°=75° 故选：B． 【点睛】本题主要考查的是对顶角和邻补角的性质，掌握对顶角和邻补角的性质是解题的关键． ( 地 城 考点0 3 垂线 和垂线段 ) 1．（24-25七年级下·天津南开·开学考试）如图，，，所以与重合，推理的理由是（   ） A．两点确定一条直线 B．过一点只能作一条直线 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．垂线段最短 【答案】C 【分析】本题考查了直线外一点到直线的垂线，掌握在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直是解题的关键．根据在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直即可求解． 【详解】解：，，则与重合，推理的理由在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直， 故选：C ． 2．（24-25七年级下·天津北辰·期中）舞龙表演是中国传统民俗文化活动之一，尤其在春节、元宵节等重大节日中常见．在一场舞龙表演中，舞龙的主路线与支线相交于点O，如图所示，为了增加表演观赏性，从点O引出一条垂直于的表演路线平分，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了角平分线的概念，几何图形中角度的计算，首先得到，求出，，然后利用角平分线的概念求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴． 故选：B． 3．（24-25七年级下·天津河西·期中）下列语句是假命题的为（   ） A．同角的余角相等 B．两个锐角的和是钝角 C．两直线平行，同位角相等 D．垂线段最短 【答案】B 【分析】本题主要考查了命题真假的判断，解题的关键是熟练掌握对顶角性质，平行线的性质，角的分类． 根据余角的定义，角的分类，平行线的性质，垂线段性质，逐项进行判断即可． 【详解】解：A. 同角的余角相等，是真命题，故该选项不符合题意； B. 两个锐角的和可以是锐角、直角、钝角，两个锐角的和是钝角是假命题，故该选项符合题意； C. 两直线平行，同位角相等，是真命题，故该选项不符合题意； D. 垂线段最短，是真命题，故该选项不符合题意； 故选：B． 4．（24-25七年级下·天津北辰·期中）如图平分平分，且，下列结论： ①； ② ③平分； ④； ⑤．其中正确的为___________（只填写序号） 【答案】①③④ 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，垂直定义，角平分线定义，三角形的内角和定理的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键． 根据平行线的性质和判定，垂直定义，角平分线定义，三角形的内角和定理进行判断即可． 【详解】解：， ，． 平分， ， ， 平分，故③正确． ， ， ，故①正确． ， ． 平分、， ，， ， ，故④正确． ， ，． ∵无法说明， ∴无法说明， 无法说明,故②⑤错误． 综上所述，①③④正确． 故答案为：①③④． 5．（24-25七年级下·天津·期中）如图，直线，垂足为，直线经过点，，则的大小______（度）． 【答案】 【分析】此题考查了垂线以及对顶角的定义，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据垂直的定义得到，根据对顶角的定义得到，继而得到，即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 6．（24-25七年级下·天津·期中）如图，直线，点在直线上，且，，则______． 【答案】 【分析】本题考查联立平行线的性质，垂直的定义，角的和差，由平行线的性质得，由垂直得，进而根据平角的定义即可求解，掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（23-24七年级下·天津·期中）已知点，点是平面直角坐标系内两点，当的值为______时，线段有最小值． 【答案】4 【分析】本题考查了坐标与图形，垂线段最短，根据点，得出点在直线上的一点，结合点，且线段有最小值，则，据此即可作答． 【详解】解：∵点， ∴点在直线上的一点， ∵点，且线段有最小值， ∴， 此时， 故答案为：4． ( 地 城 考点0 4 点到直线的距离 ) 1．（24-25七年级下·天津南开·期中）如图所示，，于D，则下列结论中，正确的个数为（　　） ①；②与互相垂直；③点C到的垂线段是线段；④点A到的距离是线段的长度；⑤线段的长度是点B到的距离；⑥线段是点B到的距离；⑦．      A．3个 B．4个 C．7个 D．0个 【答案】A 【分析】根据垂线定义、垂线段定义（定理）、点到直线的距离定义，逐一判断． 【详解】解：∵，∴，故①正确； ∵，∴与不互相垂直，故②错误； ∵，∴点C到的垂线段应是线段，故③错误； ∵，∴点A到的距离是线段的长度，所以④正确； 根据“从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．”可知线段的长度是点B到的距离，故⑤正确； ∴线段的长度是点B到的距离，故⑥错误． AD＞BD不一定，所以⑦错误． 故选：A． 【点睛】本题考查了对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义，要善于区分不同概念之间的联系和区别． 2．（24-25七年级下·天津河北·期中）如图，要把河中的水引到水池A中，应在河岸B（于点B）处开始挖渠才能使水渠的长度最短，这样做依据的几何学原理是（　　） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．垂线段最短 【答案】D 【分析】过直线外一点作直线的垂线，这一点与垂足之间的线段就是垂线段；直线外一点与直线上任意一点的连线中，垂线段最短． 【详解】解：根据垂线段定理，连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短， 因此，沿开渠，能使所开的渠道最短． 故选：D． 【点睛】本题考查的是点到直线的距离的含义，垂线段最短的应用，熟记概念是解本题的关键． 3．（24-25七年级下·天津东丽·期中）下列说法中，真命题的个数为（      ） ①两条平行线被第三条直线所截，同位角相等； ②在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行； ③过一点有且只有一条直线与这条直线平行； ④点到直线的距离是这一点到直线的垂线段； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据平行线的性质与判定，点到直线的距离的定义逐项分析判断即可 【详解】①两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故①是真命题； ②在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行，故②是真命题； ③在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，故③不是真命题， ④点到直线的距离是这一点到直线的垂线段的长度，故④不是真命题， 故真命题是①②， 故选B 【点睛】本题考查了判断真假命题，平行线的性质与判定，点到直线的距离的定义，掌握相关性质定理是解题的关键． ( 地 城 考点0 5 三线八角 ) 1．（24-25七年级下·天津·期中）如图所示，和是同位角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查同位角的判断，根据同位角定义：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线（被截线）的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角进行分析即可． 【详解】解：选项B中的和是同位角，选项A、C、D中的和不是同位角． 故选：B 2．（24-25七年级下·天津南开·期中）如图，下列说法正确的是（   ） A．和是同位角 B．和是内错角 C．和是内错角 D．和是同旁内角 【答案】D 【分析】本题考查对平面几何中概念的理解，熟练掌握同位角和内错角以及同旁内角的定义是解题的关键． 由题意根据同位角和内错角以及同旁内角的定义，结合图形进行判断即可． 【详解】解：A、和不是同位角，故本选项错误； B、和不是内错角，故本选项错误； C、和不是内错角，故本选项错误； D、和是同旁内角，故本选项正确； 故选：D． 3．（24-25七年级下·天津南开·期中）如图，若直线MN与△ABC的边AB、AC分别交于E、F，则图中的内错角有（　　） A．2对 B．4对 C．6对 D．8对 【答案】C 【详解】解：根据内错角定义，先找出两直线被第三条直线所截：MN、BC被AB所截得∠MEB与∠ABC，被AC所截得∠NFC与∠C；AC、MN被AB所截得∠A与∠AEM，MN、AB被AC所截得∠A与∠AFN；AB、AC被MN所截得∠AEF与∠CFE，∠AFE与∠BEF． ( 地 城 考点0 6 平行线 ) 1．（24-25七年级下·天津静海·期中）如图，在中，于点，过点作，垂足为，过点作交于点． (1)请你补全图形； (2)判断与的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂线的定义，画平行线，熟知平行线的性质与判定定理是解题的关键． （1）利用三角板和直尺画平行线即可； （2）由垂线的定义可得，则，由平行线的性质得到，，则． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解；，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ( 地 城 考点0 7 平行公理及其推论 ) 1．（24-25七年级下·天津滨海新区·期中）下列命题中，是假命题的是（     ） A．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 C．在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行 D．如果两条直线被第三条直线所截得的内错角相等，则同位角也相等 【答案】A 【详解】本题考查了判断真假命题，涉及垂直的性质、平行公理、平行线的判定与性质，掌握相关知识点是解题关键．根据垂直的性质、平行公理、平行线的判定与性质逐一分析各选项的真假． 【分析】解：A、 此命题缺少“在同一平面内”的条件．在空间中，过一点有无数条直线与已知直线垂直，因此该命题是假命题； B. 经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，根据平行公理，此命题为真； C. 在同一平面内，若两条直线都垂直于同一条直线，则它们平行．根据垂直性质，这两条直线方向相同，必平行，故为真命题； D. 若两条直线被第三条直线所截得的内错角相等，则同位角也相等．内错角相等可推出两直线平行，进而由平行线性质得同位角相等，故为真命题． 故选：A． 2．（24-25七年级下·天津南开·期中）如图，直尺的对边平行，将一个直角三角板按图1和图2两种方式摆放，则对与，与的关系描述①与互补；②；③与互余；④．正确的是（   ）． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】C 【分析】本题考查的是平行线的性质，平行公理的应用，先标注字母，角度，再结合平行线的性质与平行公理进行解答即可． 【详解】解：如图1， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故①错误，②正确； 如图2，过作， ∵， ∴， ∴，， ∴； ∴③正确，④错误； 故选：C． 3．（24-25七年级下·天津和平·月考）如图，，的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点F，，则的度数为（   ）度． A．84 B．86 C．88 D．92 【答案】C 【分析】本题主要考查平行线的性质，平行公理的应用，一元一次方程的应用．过作，依据平行线的性质，可设，，根据四边形内角和以及，即可得到的度数． 【详解】解：如图，过作， ， ， 的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点， 设，， ，， 四边形中，， 即，① 又， ，② 由①②可得，， 解得， 故选：C． 4．（24-25七年级下·天津·期中）综合与实践课上，老师让同学们以“平行中的数量关系”为主题开展数学活动．已知，为的平分线．为的平分线，和相交于点．若，，请写出和间的数量关系（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查角平分线的定义，平行线的判定和性质，过点作，过点作，可得，设，，根据平行线的性质及角平分线的定义可得，，，进而可得，即可得，据此即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图所示，过点作，过点作， 设，， ∵， ∴， ∴，，，， ∴， 即， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为的平分线，为的平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 5．（24-25七年级下·天津·期中）（1）（问题）如图，若，，，求的度数； （2）（问题迁移）如图，，点P在的上方，问，，之间有何数量关系？请说明理由. 【答案】（1）；（2），理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质，平行公理的应用，解题的关键是熟练掌握平行线的性质． （1）过点P作，根据平行线的性质求出，．然后求出即可； （2）过P点作，则，根据平行线的性质得出，，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，过点P作， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴， 即； （2），理由如下： 如图，过P点作，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ( 地 城 考点0 8 平行线的判定 ) 1．（24-25七年级下·天津·期中）老师在黑板上画出如图所示的图形，要求添加一个条件使得，以下四位同学的答案不正确的是（   ） A．小鹿： B．小唯： C．小欣： D．小敏： 【答案】C 【分析】本题考查平行线的判定，掌握平行线的判定方法，是解题的关键； 根据平行线的判定定理逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，根据同位角相等，两直线平行，可以判定，不符合题意； B、∵，， ∴， ∴；不符合题意； C、，无法得到；符合题意； D、，根据内错角相等，两直线平行，可以判定，不符合题意； 故选：C． 2．（24-25七年级下·天津·期中）如图，在四边形中，平分，交于点G，交的延长线于点E，F为延长线上一点，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质及角平分线的定义，掌握三角形的内角和及平行线的判定定理与定义是解题的关键． （1）根据，可得，即可求证； （2）根据平行线的性质可得，，再由平分，可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴． 3．（24-25七年级下·天津北辰·期中）如图，为垂足，为上一点，垂直于于点，且． (1)与平行吗？并说明理由． (2)若，求的大小． 【答案】(1)平行，见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的判定．掌握平行线的性质与判定是解本题的关键． （1）根据垂直定义得出，根据平行线的判定推出即可； （2）根据平行线的性质得出，推出，根据平行线的判定推出即可． 【详解】（1）解：， 理由：∵ ∴， ， ， ∵， ∴； （2）解：∵， ， ， ， . 4．（24-25七年级下·天津北辰·期中）数学课上，老师要求同学们利用三角尺设计数学问题： (1)小明的设计：如图（1），利用三角尺画平行线：①将含角的三角尺的最长边与直线重合，另一块三角尺长直角边与含角的三角尺的直角边紧贴；②将含角的三角尺沿贴合边平移一段距离，画出最长边所在直线，则，小明这样画图的依据是___________． (2)小齐的设计：如图（2）将含角的直角三角尺放在含角的直角三角尺上，使两直角顶点F与C重合，转动三角尺，始终保持三角尺有重合部分．当的大小为___________时，可使． (3)小童的设计：如图（3），，将一副直角三角板作如下摆放：，， ①下列结论：（I）；（II）；（III），其中正确的是___________． ②求的度数． 【答案】(1)同位角相等，两直线平行； (2) (3)①（I）（Ⅱ）； ② 【分析】此题考查了平行线的性质和判定，三角板中角度的计算，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据同位角相等，两直线平行求解即可； （2）当的大小为时，首先求出，然后根据内错角相等，两直线平行求解即可； （3）①根据平行线的性质求解即可；②根据平角的概念求解即可． 【详解】（1）如图所示， ∵将含角的三角尺沿贴合边平移一段距离， ∴ ∴ ∴小明这样画图的依据是：同位角相等，两直线平行； （2）当的大小为时，可使 理由：当的大小为时 ∴ ∴ ∴； （3）①∵ ∴，故（I）正确； ∵ ∴ ∴，故（II）正确； 如图所示，延长交于H ∵ ∴ ∵ ∴，故（III）错误； ∴其中正确的是（I），（II）； ②∵， ∴． 5．（24-25七年级下·天津静海·期中）已知：如图，都是射线，点是内一点，且求证： (1)； (2) 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟记相关结论即可； （1）由，根据同位角相等，两直线平行，可得； （2）由推出，即可求证 【详解】（1）证明：∵， ∴； （2）证明：∵， ∴； ∵， ∴ 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题01相交线与平行线的判定 目目 考点01 对顶角 2 3 4 5 6 8 A D D C B C C D 【详解】证明：：∠I=∠BFD(对顶角相等)， 又：∠1=∠2（已知）， ·∠BFD=∠2（等式的基本事实) :BC∥DE(同位角相等，两直线平行). :.∠C+∠CDE=180°（两直线平行，同旁内角互补）. 又：∠B+∠CDE=180°（已知）， :∠B=∠C(等式的基本性质). :.AB∥CD(内错角相等，两直线平行)， 10 【详解】解：由题知， 因为∠1=∠2（已知），∠1=∠FGD(对顶角相等)， 所以∠2=∠FGD(等量代换)， 所以EC∥DB(同位角相等，两直线平行)， 所以∠C=∠DBA(两直线平行，同位角相等)， 因为AC∥DF(己知)， 所以∠D=∠DBA(两直线平行，内错角相等)， 所以∠C=LD(等量代换)· 目目 考点02 邻补角 2 3 D D B 1/6 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 目目 考点03 垂线和垂线段 3 C B 小 4.①34 5. 118 6 550 7. 4 目目 考点04 点到直线的距离 2 3 A D B 目目 考点05 三线八角 2 3 B D C 目目 考点06 平行线 1.【详解】(1)解：如图所示，即为所求； B E (2)解；∠BDH=∠CEF,理由如下： :BD⊥AC,EF⊥AC, ∠BDC=∠EFC=90°， BD∥EF, ∠DBC=∠CEF, :DH∥BC, LBDH=∠DBC, 2/6 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 ∠BDH=LCEF. 目目 考点07 平行公理及其推论 2 3 4 A C C B 5. 【详解】(1)解：如图，过点P作PN∥AB, B ∠1=∠AEP, :∠AEP=40°， .∠1=40°， :AB∥CD, .PN∥CD, ∠2+∠PFD=180°， :∠PFD=130°， .∠2=180°-130°=50°. ∠1+∠2=40°+50°=90°， 即∠EPF=90°； (2)∠PFC=∠PEA+∠EPF,理由如下： 如图，过P点作PN∥AB,则PN∥CD, 力 E F .∠PEA=∠NPE, :∠FPN=∠NPE+∠EPF, ∠FPN=∠PEA+LEPF, :PN∥CD, 3/6 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 ∠FPN=∠PFC, ∴LPFC=LPEA+∠EPF. 目目 考点08 平行线的判定 2 【详解】(1)解：：∠ADE+∠BCF=180°，∠ADE+∠ADC=180°， .∠ADC=∠BCF, AD∥BC; (2)解：：AD∥BC,∠DGE=30°， ∠CBE=∠DGE=30°，∠ABC+∠A=180°， :BE平分∠ABC, ∠ABC=2∠CBE=60°， .∠A=180°-∠ABC=120°. 3. 【详解】(I)解：CD∥EF, 理由：CD⊥AB, LCDB=90°， :EF⊥AB, .∠FEB=90°， LCDB=∠FEB, CD∥EF; (2)解：CD∥EF, ∠EFB=∠DCB, :∠EFB=∠GDC, :ZDCB ZGDC ∠B=∠ADG=52° 【详解】(1)如图所示， 4/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A E D a :将含45°角的三角尺沿贴合边平移一段距离， ∠ABC=LADE=45° b∥a “小明这样画图的依据是：同位角相等，两直线平行； (2)当∠ACE的大小为45°时，可使DE∥BC 理由：当∠ACE的大小为45°时 LBCE=LACB-∠ACE=45° .∠E=∠BCE=45 .DE∥BC; (3)①：∠G=∠GPM=90° GE∥MP,故(I)正确； :∠GEF=60 ∴∠EFG=30° ∠EFN=180°-∠EFG=150°，故（Ⅱ）正确： 如图所示，延长EG交CD于H A G H M 图(3) :GE∥MP .∠EHM=∠PMN=4S° :AB∥CD ∠AEH=∠EHM=45°，故(II)错误， .其中正确的是(I),(Ⅱ)： 5/6 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 ②：∠AEH=45°，∠GEF=60° ∠BEF=180°-∠AEG-∠GEF=75°. 5. 【详解】(1)证明：：∠1=∠C, FB∥EC; (2)证明：：FD∥AC, .∠2=LC; :∠1=∠C, ∠1=∠2 6/6命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 专题01相交线与平行线的判定 ☆8大高频考点概览 考点01对顶角 考点02补角 考点03垂线和睡线段 考点04点到直线的距离 考点05三线八角 考点06平行线 考点07平行公理及其推论 考点08平行线的判定 目目 考点01 对顶角 1.(24-25七年级下·天津红桥期中)如图，一束光线A0从空气中照射到水中，会发生折射现象，其中 A0为入射光线，OB为折射光线，直线DE为法线，点A,O,C在同一条直线上.若AOD=50°， ∠B0E=35,则∠B0C的度数为() D 空气G -水 B C A.15° B.169 C.17° D.18° 2.(24-25七年级下·天津期中)下列命题正确的是() A.相等的两个角是对顶角 B.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C.同旁内角互补 D.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与己知直线垂直 3.(24-25七年级下·天津期中)下列命题中，是真命题的是() A.相等的角是对顶角 B.两直线平行，同旁内角相等 C.若a∥b,b∥c,则a∥c D.过一点有且只有一条直线与己知直线平行 1/11 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4.(24-25七年级下.天津期中)如图，直线AB,CD相交于点O,∠A0E=90°，∠D0F=90°，OB平分 ∠D0G,给出下列结论：当①∠A0F=60°时，∠D0E=60°；②与∠B0D相等的角有三个；③0D为 ∠E0G的平分线；④∠C0G=180°-2LE0F.其中正确的结论有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5.(24-25七年级下·天津西青期中)下列命题，真命题的个数是() ①对顶角相等；②相等的角是对顶角；③同位角相等： ④两条平行线被第三条直线所截，内错角相等. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 6.(24-25七年级下·天津南开期中)下列命题： ①相等的角是对顶角；②互补的角就是邻补角；③两条直线被第三条直线所截，同位角相等；④在同一平 面内，过一点有且只有一条直线与己知直线垂直；⑤邻补角的平分线互相垂直；⑥两个无理数的和仍为无 理数.其中真命题的个数() A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 7.(24-25七年级下·天津西青期中)在图中，∠1与∠2是对顶角的是() 8.(24-25七年级下·天津期中)下列命题是真命题的是() A.两直线平行，同旁内角相等 B.相等的角是对顶角 C.两个锐角的和是钝角 D.过直线外一点有且只有一条直线与己知直线平行 9.（24-25七年级下·天津期中)完成下列证明： 2/11 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 己知：∠B+∠CDE=180°，∠1=∠2，求证：AB∥CD. 证明：∠1= 又：∠1=∠2（己知）， ∠BFD=∠2（等式的基本事实） BC∥ .∠C+ =180°( 又：∠B+∠CDE=180°（己知）， ∠B=∠C AB∥CD B E F 2 D 、H 10.(24-25七年级下·天津·期中)已知：如图，AC∥DF,直线AF分别与直线BD,CE相交于点G,H, ∠1=∠2，试说明：∠C=∠D. 解：因为∠1=∠2（已知），∠1=-（对顶角相等）， 所以∠2=-(_)， 所以_（同位角相等，两直线平行）， 所以∠C=-(两直线平行，同位角相等)， 因为AC∥DF(己知)， 所以∠D=∠DBA(_), 所以∠C=∠D(等量代换). D H B 目目 考点02 邻补角 1.(24-25七年级下天津西青期中)如图，直线a,b相交于点O,若∠1等于45°，则∠2等于() 3/11 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.105 B.1159 C.125° D.135° 2.(24-25七年级下·天津滨海新区·期中)如图，点A、C、F、B在同一直线上，CD平分∠ECB, FG∥CD,若∠ECA为a度，则∠GFB的度数为（用含a的式子表示）() G B A.180°-a B.90°-u c180-0 D.90-54 3.(24-25七年级下·天津期中)如图，直线AB与CD相交于点O,∠AOD与∠BOC的和为210°，那么 ∠AOC的度数是() D A.105° B.75 C.90° D.100° 目目 考点03 垂线和垂线段 1. (24-25七年级下.天津南开开学考试)如图，MN⊥NP,ON⊥NP,所以MN与ON重合，推理的理 由是() M A.两点确定一条直线 B.过一点只能作一条直线 C.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直D.垂线段最短 2.(24-25七年级下·天津北辰·期中)舞龙表演是中国传统民俗文化活动之一，尤其在春节、元宵节等重大 节日中常见.在一场舞龙表演中，舞龙的主路线AB与支线CD相交于点O,如图所示，为了增加表演观赏 4/11 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 性，从点O引出一条垂直于CD的表演路线OF,OE平分LAOD,若∠BOF=25°，则LDOE的度数为() D B A.25° B.57.5° C.67.5° D.115° 3.(24-25七年级下·天津河西·期中)下列语句是假命题的为() A.同角的余角相等 B.两个锐角的和是钝角 C.两直线平行，同位角相等 D.垂线段最短 4. (24-25七年级下.天津北辰期中)如图AF∥CD,BC平分LACD,BD平分∠EBF,且BC⊥BD,下列结 论： B ①∠BCD+∠D=90°； ②∠D=60 ③BC平分∠ABE; ④AC BE; ⑤∠DBF=2∠ABC,其中正确的为 (只填写序号) 5.(24-25七年级下·天津期中)如图，直线AB⊥CD,垂足为0，直线EF经过点0，∠1=28°，则 ∠COE的大小 (度). 6.(24-25七年级下·天津期中)如图，直线a∥b,点B在直线a上，且AB⊥BC,∠1=35°，则∠2=· 5/11 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 b 2 B 7.(23-24七年级下·天津期中)已知点Aα，0)，点B(4,6)是平面直角坐标系内两点，当a的值为 时，线段AB有最小值. 目目 考点04 点到直线的距离 1.(24-25七年级下·天津南开期中)如图所示，∠BAC=90°，AD1BC于D,则下列结论中，正确的个 数为( ①AB⊥AC;②AD与AC互相垂直；③点C到AB的垂线段是线段AB;④点A到BC的距离是线段AD的 长度；⑤线段AB的长度是点B到AC的距离；⑥线段AB是点B到AC的距离；⑦AD>BD, A.3个 B.4个 C.7个 D.0个 2.(24-25七年级下·天津河北期中)如图，要把河中的水引到水池A中，应在河岸B(AB⊥CD于点B) 处开始挖渠才能使水渠的长度最短，这样做依据的几何学原理是() ---====-=-- B D A A.两点确定一条直线 B.两点之间，线段最短 C.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D.垂线段最短 3.(24-25七年级下·天津东丽期中)下列说法中，真命题的个数为() ①两条平行线被第三条直线所截，同位角相等； ②在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行： ③过一点有且只有一条直线与这条直线平行： 6/11 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 ④点到直线的距离是这一点到直线的垂线段； A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 目目 考点05 三线八角 1. (24-25七年级下·天津期中)如图所示，∠1和∠2是同位角的是() 2.（24-25七年级下·天津南开期中)如图，下列说法正确的是() 3六 B C D A.∠2和∠B是同位角 B.∠2和∠B是内错角 C.∠1和∠A是内错角 D.∠3和∠B是同旁内角 3.(24-25七年级下·天津南开·期中)如图，若直线MN与△ABC的边AB、AC分别交于E、F,则图中的 内错角有() A.2对 B.4对 C.6对 D.8对 目目 考点06 平行线 1. (24-25七年级下·天津静海期中)如图，在ABC中，BD⊥AC于点D,过点E作EF⊥AC,垂足为 F,过点D作DH∥BC交AB于点H. 7/11 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B E (①)请你补全图形； (2)判断∠BDH与∠CEF的大小关系，并说明理由. 目目 考点07 平行公理及其推论 1.(24-25七年级下·天津滨海新区·期中)下列命题中，是假命题的是() A.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B.经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 C.在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行 D.如果两条直线被第三条直线所截得的内错角相等，则同位角也相等 2.(24-25七年级下·天津南开期中)如图，直尺的对边平行，将一个直角三角板按图1和图2两种方式摆 放，则对∠1与∠2，∠3与∠4的关系描述①∠1与∠2互补；②∠1-∠2=90°；③∠3与∠4互余；④ ∠3=∠4，正确的是()· 了4 图1 图2 A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 3.(24-25七年级下·天津和平.月考)如图，AB∥CD,∠DCE的角平分线CG的反向延长线和∠ABE的 角平分线BF交于点F,∠E-∠F=42°，则∠E的度数为()度. A.84 B.86 C.88 D.92 4.(24-25七年级下·天津期中)综合与实践课上，老师让同学们以“平行中的数量关系”为主题开展数学活 8/11 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 动.己知AB∥CD,BF为∠ABE的平分线.DF为LCDE的平分线，BF和DF相交于点F,若 ∠E+8∠M=60,∠ABM-∠EBF,请写出∠CDM和∠MDP间的数量关系《） A M D A.∠MDF=2∠CDM B.ZMDF =3ZCDM C.∠MDF=4∠CDM D.∠MDF=5LCDM 5.(24-25七年级下·天津·期中)(1)（问题）如图，若AB∥CD,∠AEP=40°，∠PFD=130°，求 ∠EPF的度数； A C F (2)(问题迁移)如图，AB∥CD,点P在AB的上方，问∠PEA,∠PFC,∠EPF之间有何数量关系？ 请说明理由 E 目目 考点08 平行线的判定 1. (24-25七年级下·天津·期中)老师在黑板上画出如图所示的图形，要求添加一个条件使得m∥n,以下 四位同学的答案不正确的是() 4 人3 n 6 A.小鹿：∠2=∠5 B.小唯：∠2+∠6=180° C.小欣：∠2+∠5=180° D.小敏：∠3=∠2 9/11 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2.(24-25七年级下·天津期中)如图，在四边形ABCD中，BE平分∠ABC,交AD于点G,交CD的延 长线于点E,F为DC延长线上一点，∠ADE+∠BCF=180°. E G (I)求证：AD∥BC; (2)若∠DGE=30°，求∠A的度数， 3.(24-25七年级下·天津北辰·期中)如图，CD⊥AB,D为垂足，F为BC上一点，EF垂直于AB于点E, 且∠EFB=∠GDC. F (1)CD与EF平行吗？并说明理由. (2)若∠ADG=52°，求∠B的大小. 4.(24-25七年级下·天津北辰·期中)数学课上，老师要求同学们利用三角尺设计数学问题： (1)小明的设计：如图(1)，利用三角尺画平行线：①将含45°角的三角尺的最长边与直线Q重合，另一块 三角尺长直角边与含45°角的三角尺的直角边紧贴；②将含45°角的三角尺沿贴合边平移一段距离，画出最 长边所在直线b,则b∥a,小明这样画图的依据是 b a 图(1) (2)小齐的设计：如图(2)将含45°角的直角三角尺DEF放在含30°角的直角三角尺ABC上，使两直角顶点 F与C重合，转动三角尺DEF,始终保持三角尺有重合部分，当∠ACE的大小为 时，可使 DE∥BC. 10/11