10.1二元一次方程组的概念 2025-2026学年七年级数学下册同步培优讲义（人教版）

10.1二元一次方程组的概念 （4知识点+5题型+过关检测） 【题型1 二元一次方程的定义】 2 【题型2 二元一次方程的解】 4 【题型3 判断是否是二元一次方程组】 5 【题型4 判断是否是二元一次方程组的解】 7 【题型5 已知二元一次方程组的解求参数】 10 1. 掌握核心定义：理解二元一次方程、二元一次方程组的严格定义，牢记定义中的关键条件，能准确区分二元一次方程与其他方程、二元一次方程组与其他方程组。 2. 理解解的含义：掌握二元一次方程的解、二元一次方程组的解的概念，明确二元一次方程有无数组解，二元一次方程组的解是两个方程的公共解。 3. 提升判断能力：能熟练判断一个方程是否为二元一次方程、一组数是否为二元一次方程（组）的解，能判断一个方程组是否为二元一次方程组。 4. 掌握参数求解方法：学会根据二元一次方程组的解，代入方程列出关于参数的方程（组），求解参数的值，规范解题步骤。 5. 夯实基础：理清二元一次方程与二元一次方程组的关联，规避定义辨析、解的判断、参数求解中的高频易错点，为后续解方程组奠定基础。03 知识•梳理 知识点1：二元一次方程的定义 含有两个未知数（一般用x、y表示），并且含有未知数的项的次数都是1，等号两边都是整式的方程，叫做二元一次方程。 核心条件（缺一不可） · 未知数个数：2个（仅两个，多一个、少一个都不行）； · 未知数次数：每个未知数的次数都是1（注意：是“项的次数”，不是未知数的次数和，如xy=2中，xy项的次数是2，不是二元一次方程）； · 方程类型：等号两边必须是整式 · 隐含条件：未知数的系数不能为0（如0x + y = 5，本质是一元一次方程）。 一般形式：ax + by = c（a、b、c为常数，且a≠0，b≠0）。 知识点2：二元一次方程的解 使二元一次方程左右两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。 关键说明 · 二元一次方程的解是一对数（x，y），缺一不可，不能单独说x或y是方程的解； · 一个二元一次方程有无数组解（给定一个未知数的值，可求出另一个未知数的对应值）； · 验证方法：将一对数代入方程，左右两边相等，则这对数是方程的解，否则不是。 知识点3：二元一次方程组的定义 由两个含有相同未知数的二元一次方程组成的方程组，叫做二元一次方程组。 核心条件（缺一不可） · 方程组由两个方程组成（可拓展为多个，但基础阶段重点是两个）； · 两个方程含有相同的两个未知数； · 每个方程都是二元一次方程（或可化为二元一次方程的整式方程）。 知识点4：二元一次方程组的解 二元一次方程组中，两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。 关键说明 · 方程组的解必须同时满足方程组中的每一个方程，只满足一个方程的不是方程组的解； · 一个二元一次方程组，解的情况有三种：有唯一一组解、无解、有无数组解（基础阶段重点掌握“有唯一一组解”）； · 验证方法：将一对数代入方程组的两个方程，若两个方程左右两边都相等，则这对数是方程组的解。 高频易错提示：1. 忽略“整式”条件，误将分式方程判为二元一次方程；2. 混淆“项的次数”与“未知数次数和”，误将xy=6判为二元一次方程；3. 验证方程组的解时，只代入一个方程，忽略另一个方程；4. 求参数时，代入解后计算出错，或漏写参数的限定条件（如未知数系数不为0）。 04 题型•汇总 【题型1 二元一次方程的定义】 解题思路： 紧扣二元一次方程的4个核心条件，逐一验证：① 未知数个数为2；② 未知数项的次数为1；③ 等号两边是整式；④ 未知数系数不为0，全部满足则是二元一次方程，否则不是。 【典例1】．下列方程中，是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】二元一次方程需同时满足三个核心条件：①方程中含有两个不同的未知数；②每个含有未知数的项的次数均为1；③方程是整式方程(分母不含未知数)． 【详解】解：A：方程中，含未知数的项是，其次数为2，不满足“含未知数的项的次数都是1”的条件，不是二元一次方程； B：方程含有两个未知数和，含未知数的项、的次数均为1，且方程是整式方程，完全符合二元一次方程的定义，是二元一次方程； C：方程中，含未知数的项是，其次数为，不满足次数为1的条件，不是二元一次方程； D：方程的分母中含有未知数，属于分式方程，不满足“整式方程”的条件，不是二元一次方程． 跟随训练1-1．若方程是二元一次方程，则“”可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二元一次方程的定义判断，二元一次方程需满足含有两个未知数，且所有含未知数的项的次数均为，据此分析即可． 【详解】解：方程是二元一次方程，方程中已有未知数， “”应为次数为的含另一个未知数的项， A、是常数，若，则方程为，仅含一个未知数，不符合二元一次方程的定义，不符合题意； B、含未知数，的次数为，满足二元一次方程的定义，符合题意； C、的次数为，不符合题意； D、是常数，若，则方程为，仅含一个未知数，不符合二元一次方程的定义，不符合题意． 跟随训练1-2．方程是关于的二元一次方程，则的值为______． 【答案】 【详解】解：∵方程是关于，的二元一次方程， ∴， 解得，，即或， 又∵， ∴， ∴． 跟随训练1-4．方程是二元一次方程，则的取值范围是_________； 【答案】 【分析】此题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解本题的关键．利用二元一次方程的定义判断即可． 【详解】解：方程是二元一次方程， ， 解得：， 故答案为：． 【题型2 二元一次方程的解】 解题思路： 1. 验证解：将给出的一对数（x，y）代入二元一次方程，左右两边相等则是解，否则不是； 2. 求解：给定一个未知数的值，代入方程，解一元一次方程求出另一个未知数的值，得到方程的一组解。 【典例2】．已知是二元一次方程的一组解，则代数式的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将已知解代入方程得，再将原式变形后代入数值计算即可． 【详解】解：已知是二元一次方程的一组解， 则， ∴ ． 跟随训练2-1．已知是关于x，y的二元一次方程的一个解，则a的值为（ ） A．-2 B．-1 C．1 D．3 【答案】C 【分析】运用二元一次方程的解的定义进行计算、求解． 【详解】解：把代入得：， 解得． 跟随训练2-2．请写出一个满足解为的二元一次方程组：________________． 【答案】(答案不唯一) 【详解】解：满足解为的二元一次方程组可以为，答案不唯一，满足条件即可． 跟随训练2-3．已知是二元一次方程的一组解，则_________ ． 【答案】2023 【分析】将代入二元一次方程求出的值，再利用整体代入法计算所求代数式的值即可． 【详解】解：∵是二元一次方程的一组解， ∴， ∴， ∴． 【题型3 判断是否是二元一次方程组】 解题思路： 紧扣二元一次方程组的3个核心条件，逐一验证：① 由两个方程组成；② 两个方程含相同的两个未知数；③ 每个方程都是二元一次方程，全部满足则是二元一次方程组，否则不是。 【典例3】．下列方程组中，属于二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的定义，理解掌握二元一次方程组的定义是解决本题的关键． 二元一次方程组需满足两个条件：含有两个未知数，且每个方程均为一次整式方程，据此求解即可． 【详解】解：选项A：第二个方程含，次数为2，不是二元一次方程组； 选项B：第二个方程，次数为2，不是二元一次方程组； 选项C：两个方程均为一次方程，是二元一次方程组． 选项D：第二个方程含，不是整式方程，不是二元一次方程组； 故选：C． 跟随训练3-1．下列方程组中，是二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的定义，方程组中含有两个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1，这样的方程组是二元一次方程组，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、方程组中不是一次方程，故方程组不是二元一次方程组； B、方程组中含x、y、z三个未知数，故方程组不是二元一次方程组； C、方程组中两个方程均为一次方程，且只含x和y两个未知数，故方程组是二元一次方程组； D、方程组中不是一次方程，故方程组不是二元一次方程组． 故选：C． 跟随训练3-2．若是关于的二元一次方程组，则___________． 【答案】或1 【分析】本题考查了根据二元一次方程组的定义求参数，代数式求值问题，熟练掌握和运用二元一次方程组的定义是解决本题的关键． 先根据二元一次方程组的定义得出，据此求出m、n的值，代入计算可得结果． 【详解】解：根据题意知，， 解得，， 或． 故答案为：或1． 跟随训练3-3．已知方程组 ，则的值是 ______． 【答案】34 【分析】把代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：34． 【点睛】本题考查了二元一次方程组，整体代入法求代数式的值，运用|整体思想是解答本题的关键． 【题型4 判断是否是二元一次方程组的解】 解题思路： 将给出的一对数（x，y），同时代入方程组的两个方程，若两个方程的左右两边都相等，则这对数是方程组的解；只要有一个方程左右两边不相等，就不是方程组的解。 【典例4】．适合二元一次方程和的部分值分别如表1、表2所示，则方程组的解是（   ） 表1 0 1 2 y 2 0 表2 0 1 2 0 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的解的定义，找到表1中x，y的值与表2中x，y的值相同的值即可求解． 【详解】解：通过表1发现与表2中相同， 所以方程组的解是 故选：C． 跟随训练4-1．下列表格中，表1中每对x，y的值都是方程的解，表2中每对x，y的值都是方程的解，所以方程组的解为（    ）． 表1 x 0 1 2 y 1 表2 x 0 1 16 y 1 11 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查方程组的解，掌握好方程的解的意义是关键． 通过对比表1和表2，找出一对同时满足两个方程的解，即该对解在表1和表2中均出现． 【详解】解： 表1中，当时，，满足方程； 表2中，当时，，满足方程； ∴方程组解为． 故选：C． 跟随训练4-2．有四组数：①②③④其中，______是方程的解，______是方程的解，______是方程组的解（填写序号）． 【答案】 ②③④ ①④ ④ 【分析】本题考查了二元一次方程的解和二元一次方程组的解，代入方程，看看是否两边相等即可，根据二元一次方程组的解的定义得出即可． 【详解】解：①②③④中， 把①代入方程得：左边，右边，左边≠右边，所以①不是方程的解， 把②代入方程得：左边，右边，左边=右边，所以②是方程的解， 把③代入方程得：左边，右边，左边=右边，所以③是方程的解， 把④其代入方程得：左边，右边，左边=右边，所以④是方程的解， 即②③④是方程的解； 把①代入方程得：左边，右边，左边=右边，所以①是方程的解， 把②代入方程得：左边，右边，左边≠右边，所以②不是方程的解， 把③代入方程得：左边，右边，左边≠右边，所以③不是方程的解， 把④代入方程得：左边，右边，左边=右边，所以④是方程的解， 即①④是方程的解； ∴④是方程组的解． 故答案为：②③④，①④，④． 跟随训练4-3．下面三组数据： ①  ②  ③ 满足方程的是_________，满足方程的是_________，同时满足这两个方程的是_________．故二元一次方程组的解是_________．（填序号） 【答案】 ①②/②① ②③/③② ② ② 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．根据解的含义逐一进行检验即可． 【详解】解：将代入方程左边得：，右边，左边右边；是方程的解； 将代入方程左边得：，右边，左边右边；是方程的解； 将代入方程左边得：，右边，左边右边；不是方程的解； 故答案为：①② 将代入方程左边得：，右边，左边右边，不是方程的解； 将代入方程左边得：，右边，左边右边，是方程的解； 将代入方程左边得：，右边，左边右边；是方程的解； 故答案为：②③ 同时满足这两个方程的为， 则方程组的解为． 故答案为：②，② 【题型5 已知二元一次方程组的解求参数】 解题思路： 1. 核心方法：将方程组的解代入方程组中的两个方程，得到关于参数的一元一次方程（或二元一次方程组）； 2. 解这个方程（或方程组），求出参数的值； 3. 验证：若参数在未知数系数位置，需保证系数不为0（结合二元一次方程定义）。 【典例5】．若是关于x，y的方程组的解，则的值为（　 　） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】根据方程组解的定义，将已知解代入方程组，即可求出a和b的值，进而计算得到的值． 【详解】解：∵是方程组的解， ∴将代入方程组，得， 解得， ∴． 跟随训练5-1．若是二元一次方程组的解，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，掌握知识点是解题的关键． 根据二元一次方程组的解的定义得出关于a，b的方程组，求出a，b的值，即可求出的值． 【详解】解：∵是二元一次方程组， ∴， 解得， ∴． 故选B． 跟随训练5-2．已知关于，的二元一次方程组的解互为相反数，则___________． 【答案】0 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组的解的定义是关键．由于方程组的解互为相反数，因此，利用此条件与方程组联立求解． 【详解】解：由解互为相反数，得．与方程联立， 解得． 将代入方程， 得， 即2+5=3a+7，7=3a+7， 解得． 故答案为0． 跟随训练5-3．小明求得方程组的解为，则表示的数为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据方程组的解求参数，将代入第一个方程求出 x 的值，再将 x 和 y 的值代入第二个方程求解． 【详解】解：由题意得，方程组的解中， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 05 过关•检测 1．下列是二元一次方程的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程的定义，二元一次方程需同时满足三个核心条件：①方程中含有两个未知数；②每个未知数的项的次数均为1；③方程是整式方程(即分母不含未知数)．解题时需依据这三个条件对每个选项逐一判断． 【详解】解：中，未知数项的次数为，不满足“未知数的项的次数都是1”的要求，不是二元一次方程； 是一个多项式，不是等式，不满足方程的定义，不是二元一次方程； 的分析含未知数，方程不属于整式方程，不满足“整式方程”的条件，不是二元一次方程； 含有两个未知数、，每个未知数的项的次数都是1，且是整式等式，完全符合二元一次方程的定义，是二元一次方程； 故选：D． 2．已知是关于x，y的二元一次方程的解，则m的值为（   ） A．11 B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了已知二元一次方程的解求参数，根据二元一次方程的解的定义，将已知的x、y的值代入方程，即可求出m的值， 【详解】解：∵是关于x，y的二元一次方程的解， ∴将，代入方程得， ∴， 故选：A． 3．学校计划用元钱购买、两种奖品（两种都要买），种每个元，种每个元，在钱全部用完的情况下，有多少种购买方案（ ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程与实际问题，关键是根据等量关系列方程，求方程的特殊解；设购买种奖品个，种奖品个，根据总费用列出二元一次方程，再结合、为正整数求符合条件的解的个数即可. 【详解】解：设购买种奖品个，种奖品个， ∵总费用为元， ∴， 化简得：， ∴， ∵为正整数，为正整数， 当时，， 当时，， ∴共有种购买方案， 故选：A． 4．已知是方程的解，则的值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程解的定义． 将方程的解代入原方程，解关于的一元一次方程即可求出的值． 【详解】解：∵是方程的解， ∴把，代入方程，得， 化简得， 移项得， 即， 两边同时除以2，得． 故选：C． 5．已知二元一次方程的一个解是则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将方程的解代入二元一次方程，得到关于、的关系式，再将该关系式整体代入所求代数式进行计算． 【详解】解：∵二元一次方程的一个解是， ∴将代入方程， 得，即， ∴． 6．方程组的解为则被遮盖的■表示的数为________． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解的定义，关键是利用方程组的解满足每个方程的性质，通过设未知数建立等式求解．观察题目结构，假设第二个方程右边的被遮盖数与解中的被遮盖数为同一个数，先代入第二个方程求出的值，再将和代入第一个方程即可求出■表示的数． 【详解】解：设第二个方程右边的数和解中的值均为， ∵方程组的解为， ∴将，代入第二个方程， 得，解得； 将，代入第一个方程， 得； 故答案为：． 7．关于未知数x，y的一个二元一次方程组的解为则这个方程组可以是______（只要求填一个）． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解的概念，注意对概念灵活应用是解决本题的关键．根据二元一次方程组的解可得到一个二元一次方程组． 【详解】解：关于未知数x，y的一个二元一次方程组的解为， 该方程组可以为， 故答案为：（答案不唯一）． 8．已知方程组的解为，则的算术平方根是_________． 【答案】2 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，已知方程组的解求参数，已知字母的值求代数式的值．将方程组的解代入方程，先求b，再求a，然后计算的值，最后求算术平方根． 【详解】解：依题意，将代入，得， 即， 解得， 故， 将，代入，得， 即， 解得， 则， ∴4的算术平方根为2， 故答案为：2． 9．已知是二元一次方程组的解，则的值为______． 【答案】 1 【分析】本题考查了二元一次方程组和解的应用，将，代入原方程组，得到关于a，b的二元一次方程组，解方程组求出a，b的值，再代入计算. 【详解】解：将，代入方程组，，得将两方程相加，得，解得， 将代入，得，解得， ∴． 故答案为：1． 10．若关于x，y的二元一次方程组的解满足，则a的值是________． 【答案】3 【分析】本题考查了二元一次方程组的变形与求解，解题的关键是通过方程组相加得到的表达式，再结合已知条件列方程．将方程组的两个方程相加，得到关于的表达式，结合建立方程求解． 【详解】解：设方程①：， 方程②：． ①②，得：， 即． ∵， ∴， 解得：． 故答案为：3． 11．已知是二元一次方程组的解，求的值． 【答案】1 【分析】本题考查了求代数式的值，二元一次方程组的解；将代入方程组得，即可求解． 【详解】解：是二元一次方程组的解， ， 整理，得， ，得． 故的值为1． 12．【观察思考】 第1个方程组为解为 第2个方程组为解为 第3个方程组为解为 …… 【发现规律】 （1）按照以上规律，写出第4个方程组为______，解为______． （2）写出你猜想的第个方程组______和它的解______（用含的式子表示） 【应用规律】 （3）已知方程组，且存在上面这样的方程组规律，求和的值． 【答案】（1），；（2），；（3）的值为15，的值为14 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，数字规律，解二元一次方程组． （1）根据前3个方程组，找出系数和常数项存在的规律，依此类推，即可得到第4个方程组； （2）根据规律得出第n个方程组和它的解，解方程组检验，即可求解； （3）根据（2）中规律可得，再根据第个方程组第一个方程的系数为，即，即可求解． 【详解】解：（1）第4个方程组为解为． （2）由（1）得：第个方程组为解为． （3）由规律得， 解得． 根据第个方程组第一个方程的系数为，即， 代入，得． 根据第个方程组第二个方程的常数项为，即， 解得． 的值为15，的值为14． 13．已知关于、的方程组． (1)请写出方程的所有正整数解． (2)若方程组的解满足，求的值． (3)当每取一个值时，就对应一个方程，而这些方程有一个公共解，求出这个公共解． 【答案】(1)，； (2) (3) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，同解方程，二元一次方程，解二元一次方程组，解题的关键是熟练应用加减消元法． （1）确定出方程的正整数解即可； （2）已知方程与方程组第一个方程联立求出x与y的值，进而求出m的值； （3）方程变形后，确定出公共解即可． 【详解】（1）解：方程整理得， ∴当时，；当时，； ∴方程的正整数解有：，； （2）解： 联立和得，， 得，， 将代入得，， 解得， 将和代入得，， 解得； （3）解：变形得：， 令，得， ∴无论m取何值，都是方程的解， ∴公共解为． 14．在平面直角坐标系中，若点的横、纵坐标满足关于x、y的方程组，则称点P为该方程组的关联点，如点的横、纵坐标满足方程组，点就是该方程组的关联点．若点为关于x、y的方程组的关联点，求a、b的值． 【答案】a，b的值分别为3，0 【分析】本题考查了二元一次方程组求解，准确的计算是解题的关键． 根据关联点的定义，把代入方程组中，即可求解． 【详解】解：由题意得，把代入方程组中， 得，， 解得． 15．运用整体思想解决数学问题，有时会使我们的解题更加简便快捷．例如：已知，求的值．解：，当时，原式．请你借鉴上面的解题经验，解决下列问题： (1)若，则 _________； (2)若关于x，y的方程组的解为现有关于m，n的方程组，求代数式的值． 【答案】(1)1 (2)8 【分析】本题主要考查了代数式求值，平方差公式，解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握整体思想的应用． （1）根据进行求解即可； （2）设，则关于s，t的方程组的解为，可得，再利用平方差公式求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：设， ∴关于m，n的方程组即为关于s、t的方程组， ∵关于x，y的方程组的解为， ∴关于s，t的方程组的解为， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 10.1二元一次方程组的概念 （4知识点+5题型+过关检测） 【题型1 二元一次方程的定义】 2 【题型2 二元一次方程的解】 4 【题型3 判断是否是二元一次方程组】 5 【题型4 判断是否是二元一次方程组的解】 7 【题型5 已知二元一次方程组的解求参数】 10 1. 掌握核心定义：理解二元一次方程、二元一次方程组的严格定义，牢记定义中的关键条件，能准确区分二元一次方程与其他方程、二元一次方程组与其他方程组。 2. 理解解的含义：掌握二元一次方程的解、二元一次方程组的解的概念，明确二元一次方程有无数组解，二元一次方程组的解是两个方程的公共解。 3. 提升判断能力：能熟练判断一个方程是否为二元一次方程、一组数是否为二元一次方程（组）的解，能判断一个方程组是否为二元一次方程组。 4. 掌握参数求解方法：学会根据二元一次方程组的解，代入方程列出关于参数的方程（组），求解参数的值，规范解题步骤。 5. 夯实基础：理清二元一次方程与二元一次方程组的关联，规避定义辨析、解的判断、参数求解中的高频易错点，为后续解方程组奠定基础。03 知识•梳理 知识点1：二元一次方程的定义 含有两个未知数（一般用x、y表示），并且含有未知数的项的次数都是1，等号两边都是整式的方程，叫做二元一次方程。 核心条件（缺一不可） · 未知数个数：2个（仅两个，多一个、少一个都不行）； · 未知数次数：每个未知数的次数都是1（注意：是“项的次数”，不是未知数的次数和，如xy=2中，xy项的次数是2，不是二元一次方程）； · 方程类型：等号两边必须是整式 · 隐含条件：未知数的系数不能为0（如0x + y = 5，本质是一元一次方程）。 一般形式：ax + by = c（a、b、c为常数，且a≠0，b≠0）。 知识点2：二元一次方程的解 使二元一次方程左右两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。 关键说明 · 二元一次方程的解是一对数（x，y），缺一不可，不能单独说x或y是方程的解； · 一个二元一次方程有无数组解（给定一个未知数的值，可求出另一个未知数的对应值）； · 验证方法：将一对数代入方程，左右两边相等，则这对数是方程的解，否则不是。 知识点3：二元一次方程组的定义 由两个含有相同未知数的二元一次方程组成的方程组，叫做二元一次方程组。 核心条件（缺一不可） · 方程组由两个方程组成（可拓展为多个，但基础阶段重点是两个）； · 两个方程含有相同的两个未知数； · 每个方程都是二元一次方程（或可化为二元一次方程的整式方程）。 知识点4：二元一次方程组的解 二元一次方程组中，两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。 关键说明 · 方程组的解必须同时满足方程组中的每一个方程，只满足一个方程的不是方程组的解； · 一个二元一次方程组，解的情况有三种：有唯一一组解、无解、有无数组解（基础阶段重点掌握“有唯一一组解”）； · 验证方法：将一对数代入方程组的两个方程，若两个方程左右两边都相等，则这对数是方程组的解。 高频易错提示：1. 忽略“整式”条件，误将分式方程判为二元一次方程；2. 混淆“项的次数”与“未知数次数和”，误将xy=6判为二元一次方程；3. 验证方程组的解时，只代入一个方程，忽略另一个方程；4. 求参数时，代入解后计算出错，或漏写参数的限定条件（如未知数系数不为0）。 04 题型•汇总 【题型1 二元一次方程的定义】 解题思路： 紧扣二元一次方程的4个核心条件，逐一验证：① 未知数个数为2；② 未知数项的次数为1；③ 等号两边是整式；④ 未知数系数不为0，全部满足则是二元一次方程，否则不是。 【典例1】．下列方程中，是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 跟随训练1-1．若方程是二元一次方程，则“”可以是（    ） A． B． C． D． 跟随训练1-2．方程是关于的二元一次方程，则的值为______． 跟随训练1-4．方程是二元一次方程，则的取值范围是_________； 【题型2 二元一次方程的解】 解题思路： 1. 验证解：将给出的一对数（x，y）代入二元一次方程，左右两边相等则是解，否则不是； 2. 求解：给定一个未知数的值，代入方程，解一元一次方程求出另一个未知数的值，得到方程的一组解。 【典例2】．已知是二元一次方程的一组解，则代数式的值为（   ） A． B． C． D． 跟随训练2-1．已知是关于x，y的二元一次方程的一个解，则a的值为（ ） A．-2 B．-1 C．1 D．3 跟随训练2-2．请写出一个满足解为的二元一次方程组：________________． 跟随训练2-3．已知是二元一次方程的一组解，则_________ ． 【题型3 判断是否是二元一次方程组】 解题思路： 紧扣二元一次方程组的3个核心条件，逐一验证：① 由两个方程组成；② 两个方程含相同的两个未知数；③ 每个方程都是二元一次方程，全部满足则是二元一次方程组，否则不是。 【典例3】．下列方程组中，属于二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 跟随训练3-1．下列方程组中，是二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 跟随训练3-2．若是关于的二元一次方程组，则___________． 跟随训练3-3．已知方程组 ，则的值是 ______． 【题型4 判断是否是二元一次方程组的解】 解题思路： 将给出的一对数（x，y），同时代入方程组的两个方程，若两个方程的左右两边都相等，则这对数是方程组的解；只要有一个方程左右两边不相等，就不是方程组的解。 【典例4】．适合二元一次方程和的部分值分别如表1、表2所示，则方程组的解是（   ） 表1 0 1 2 y 2 0 表2 0 1 2 0 A． B． C． D． 跟随训练4-1．下列表格中，表1中每对x，y的值都是方程的解，表2中每对x，y的值都是方程的解，所以方程组的解为（    ）． 表1 x 0 1 2 y 1 表2 x 0 1 16 y 1 11 A． B． C． D． 跟随训练4-2．有四组数：①②③④其中，______是方程的解，______是方程的解，______是方程组的解（填写序号）． 跟随训练4-3．下面三组数据： ①  ②  ③ 满足方程的是_________，满足方程的是_________，同时满足这两个方程的是_________．故二元一次方程组的解是_________．（填序号） 【题型5 已知二元一次方程组的解求参数】 解题思路： 1. 核心方法：将方程组的解代入方程组中的两个方程，得到关于参数的一元一次方程（或二元一次方程组）； 2. 解这个方程（或方程组），求出参数的值； 3. 验证：若参数在未知数系数位置，需保证系数不为0（结合二元一次方程定义）。 【典例5】．若是关于x，y的方程组的解，则的值为（　 　） A．6 B．8 C．10 D．12 跟随训练5-1．若是二元一次方程组的解，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 跟随训练5-2．已知关于，的二元一次方程组的解互为相反数，则___________． 跟随训练5-3．小明求得方程组的解为，则表示的数为___________． 05 过关•检测 1．下列是二元一次方程的是（  ） A． B． C． D． 2．已知是关于x，y的二元一次方程的解，则m的值为（   ） A．11 B．1 C．2 D． 3．学校计划用元钱购买、两种奖品（两种都要买），种每个元，种每个元，在钱全部用完的情况下，有多少种购买方案（ ） A．种 B．种 C．种 D．种 4．已知是方程的解，则的值为（    ） A． B． C．2 D．4 5．已知二元一次方程的一个解是则的值为（   ） A． B． C． D． 6．方程组的解为则被遮盖的■表示的数为________． 7．关于未知数x，y的一个二元一次方程组的解为则这个方程组可以是______（只要求填一个）． 8．已知方程组的解为，则的算术平方根是_________． 9．已知是二元一次方程组的解，则的值为______． 10．若关于x，y的二元一次方程组的解满足，则a的值是________． 11．已知是二元一次方程组的解，求的值． 12．【观察思考】 第1个方程组为解为 第2个方程组为解为 第3个方程组为解为 …… 【发现规律】 （1）按照以上规律，写出第4个方程组为______，解为______． （2）写出你猜想的第个方程组______和它的解______（用含的式子表示） 【应用规律】 （3）已知方程组，且存在上面这样的方程组规律，求和的值． 13．已知关于、的方程组． (1)请写出方程的所有正整数解． (2)若方程组的解满足，求的值． (3)当每取一个值时，就对应一个方程，而这些方程有一个公共解，求出这个公共解． 14．在平面直角坐标系中，若点的横、纵坐标满足关于x、y的方程组，则称点P为该方程组的关联点，如点的横、纵坐标满足方程组，点就是该方程组的关联点．若点为关于x、y的方程组的关联点，求a、b的值． 15．运用整体思想解决数学问题，有时会使我们的解题更加简便快捷．例如：已知，求的值．解：，当时，原式．请你借鉴上面的解题经验，解决下列问题： (1)若，则 _________； (2)若关于x，y的方程组的解为现有关于m，n的方程组，求代数式的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $