10.1～10.2二元一次方程组的概念、消元－解二元一次方程组（讲义）-2025-2026学年人教版数学七年级下册

10.1～10.2二元一次方程组的概念、消元－解二元一次方程组（讲义）人教版 💦 预习内容概览 预习目标◆难点：明确要掌握的核心内容，有方向，抓住关键； 核心知识◆梳理：理清知识结构，提升学习逻辑性，培养归纳总结的学习能力； 常见考点◆精讲精练：明确考试方向，巩固核心知识点，提高效率； 强化巩固◆过关测试：检验知识运用与综合解题能力，查漏补缺。 💧 预习目标●难点 ◆ 预习目标 （1） 掌握二元一次方程、二元一次方程组的概念，会判断； （2） 理解二元一次方程组的解的意义，会检验一对数是不是解； （3） 初步理解消元思想：把 “二元” 变 “一元”； （4） 会用代入消元法、加减消元法解简单的二元一次方程组； （5） 能根据方程组特点，选择合适的消元方法。 ◆ 预习难点 （6） 理解消元思想：为什么能把两个未知数变成一个； （7） 代入法：选哪个方程变形更简单，代入后不要代回原方程； （8） 加减法：什么时候要同乘一个数，使某一未知数系数相同或相反； （9） 符号容易出错：减的时候要每一项都变号； （10） 解完后忘记检验，导致计算错误查不出来。 ☘ 重点知识●梳理归纳 ◉ 知识点一、二元一次方程组有关概念： 1.：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1的整式方程，叫二元一次方程。 2.一般形式：ax+by=c（a、b≠0） 3.把两个含有相同未知数的二元一次方程合在一起，就组成二元一次方程组。 4.使方程组中每个方程左右两边都相等的一对未知数的值，叫做方程组的解。 ◉ 知识点二、解二元一次方程组： 1.核心思想 ——消元 2.如何消元：把二元转化为一元，先求一个未知数，再求另一个。 3具体方法： （1）.代入消元法（代入法）步骤： ◆变：把其中一个方程变形，用含一个未知数的式子表示另一个未知数; ◆代：代入另一个方程，消去一个未知数; ◆求：解一元一次方程，求出一个未知数; ◆回代：把结果代入变形式，求另一个未知数; ◆写：写出方程组的解，并检查正误。 （2）.加减消元法（加减法）步骤： ◆化：把同一个未知数的系数变成相等或互为相反数； ◆加减：两个方程相加或相减，消去一个未知数； ◆求：解一元一次方程，求出一个未知数； ◆回代：求另一个未知数； ◆写：写出解,并检验正误. ★口诀：同号相减异号加，系数化同再消元。 ◉ 知识点三、常用选择思路 · 有未知数系数为 ±1 → 优先代入法 · 同一个未知数系数成倍数或容易统一 → 优先加减法 ✏ 常见考点●精讲精练 题型1二元一次方程的定义 例1．下列方程中，是二元一次方程的是（   ） A．B． C． D． 变式1．已知是关于x，y的二元一次方程，则_________． 变式2．已知，其中都是常数，且，请你探究：是否存在一个二元一次方程，其解分别为与，若存在，请你写出这个二元一次方程；若不存在，请你说明理由． 题型2二元一次方程的解 例2．下列各组数值中，是二元一次方程的解的是（　　） A． B． C． D． 变式1．已知是二元一次方程的一组解，则_________ ． 变式2．某班为奖励在校运动会上取得好成绩的同学，花费48元钱购买了甲、乙两种奖品，每种奖品至少购买1件，其中甲种奖品每件4元，乙种奖品每件3元．请问有哪几种购买方案？ 题型3判断是否是二元一次方程组 例3．在，，，中，是二元一次方程组的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式1．已知方程组是关于的二元一次方程组，则的值为______． 变式2．已知方程组是关于，的二元一次方程组，求的值． 题型4判断是否是二元一次方程组的解 例4．下列二元一次方程中，有一组解为的是（   ） A． B． C． D． 变式1．有四组数：①②③④其中，______是方程的解，______是方程的解，______是方程组的解（填写序号）． 变式2．已知下列四对数值：①②③④ (1)哪几对是方程的解？ (2)哪几对是方程的解？ (3)哪几对是方程组的解？ 题型5已知二元一次方程组的解求参数 例5．若关于a、b二元一次方程组的解是，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 变式1．已知关于x、y的方程组的解满足，则m的值是______． 变式2．若是关于、的二元一次方程组的解，求的值． 题型6代入消元法 例6．用代入消元法解方程组时，消去y，可将第一个方程变形为（  ） A． B． C． D． 变式1．把方程改写成用含的式子表示的形式是________． 变式2．解方程组：． 题型7加减消元法 例7．解方程组时，若将可得（    ） A． B． C． D． 变式1．已知满足方程组，则_____． 变式2．解方程组： 题型8二元一次方程组的特殊解法 例8．已知x，y满足方程组，则的值为（   ） A．9 B．7 C．5 D．3 变式1．若关于x，y的方程组的解满足，则k的值为________ 变式2．先阅读，然后解方程组． 解方程组时，可由①得③，然后再将③代入②，得，求得，从而进一步求得这种方法被称为“整体代入法”． 请用这样的方法解方程组： 题型9二元一次方程组的错解复原问题 例9．甲、乙两人同求方程的整数解，甲正确的求出一个解为，乙把看成，求得一个解为，则，的值分别为（    ） A． B． C． D． 变式1．甲和乙两人同解方程组，甲因抄错了，解得，乙因抄错了，解得． （1）______， （2）______． 变式2．甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为，试计算 题型10构造二元一次方程组求解 例10．已知，与，都是方程的解，则和的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 变式1．定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”．例如：方程和为“和谐方程”． (1)若关于的方程与方程是“和谐方程”，求的值； (2)若“和谐方程”的两个解的差为4，其中一个解为，求的值． 变式2．已知关于的二元一次方程组的解满足，则的值为（   ） A．－1 B．7 C．1 D．2 题型11已知二元一次方程组的解的情况求参数 例11．已知关于的方程组． (1)若，求这个方程组的解； (2)若这个方程组的解满足，求的值． 变式1．一大正方形和四个相同的小正方形按图①②两种方式摆放，则小正方形的边长为__________． 变式2．已知关于的方程组，其中，则的取值范围是__________． 题型12方程组相同解问题 例12．若关于x，y的方程组和有相同的解，则的值为（   ） A． B． C．1 D．5000 变式1．已知关于的方程组的解是则关于的方程组的解是___________． 变式2．若方程组的解满足方程组，求a，b的值． ✍ 强化巩固●过关测试 一、单选题 1．已知方程是二元一次方程，则和的值分别是（    ） A．1和1 B．0和1 C．1和0 D．0和0 2．为提高学生学习兴趣，增强动手实践能力，某校为物理兴趣小组的同学购买了一根长度为的导线，将其全部截成和两种长度的导线用于实验操作（每种长度的导线至少一根），则截取方案共有（    ） A．6种 B．5种 C．4种 D．3种 3．下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 4．已知二元一次方程的一个解是则的值为（   ） A． B． C． D． 5．创新意识 老师设计了一个接力游戏，用合作的方式解方程组，规则是每人只能看到前一人的计算结果，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，过程如图所示，且其中有一位同学的解题步骤出现错误，则解题中出现错误的同学是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 6．已知：甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程（1）中的a，解得，乙看错了（2）中的b，解得，则的平方根为（   ） A．1和 B．2和 C．3和 D．4和 二、填空题 7．已知关于的方程组的解满足，则的值为___________． 8．关于，的方程组的解是，则关于，的方程组的解是_______． 9．关于x，y的二元一次方程组与有相同的解，则mn＝_________ ． 10．若是二元一次方程的解，则满足条件的一组m、n的值可以是___________． 11．若关于x，y的二元一次方程组的解为，则这个方程组可以是________． 三、解答题 12．某班为奖励在校运动会上取得好成绩的同学，花费48元钱购买了甲、乙两种奖品，每种奖品至少购买1件，其中甲种奖品每件4元，乙种奖品每件3元．请问有哪几种购买方案？ 13．已知是关于x，y的二元一次方程组，求的值． 14．解二元一次方程组： (1) (2) 15．阅读下列材料： 解方程组： 解：由①，得．③ 把③代入②，得，解得． 把代入③，得，解得，所以这个方程组的解为 这种方法称为“整体代入法”． 请用这种方法解方程组： 16．已知关于，的方程组和的解相同． (1)求这两个方程组的解； (2)的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 10.1～10.2二元一次方程组的概念、消元－解二元一次方程组（讲义）人教版 💦 预习内容概览 预习目标◆难点：明确要掌握的核心内容，有方向，抓住关键； 核心知识◆梳理：理清知识结构，提升学习逻辑性，培养归纳总结的学习能力； 常见考点◆精讲精练：明确考试方向，巩固核心知识点，提高效率； 强化巩固◆过关测试：检验知识运用与综合解题能力，查漏补缺。 💧 预习目标●难点 ◆ 预习目标 （1） 掌握二元一次方程、二元一次方程组的概念，会判断； （2） 理解二元一次方程组的解的意义，会检验一对数是不是解； （3） 初步理解消元思想：把 “二元” 变 “一元”； （4） 会用代入消元法、加减消元法解简单的二元一次方程组； （5） 能根据方程组特点，选择合适的消元方法。 ◆ 预习难点 （6） 理解消元思想：为什么能把两个未知数变成一个； （7） 代入法：选哪个方程变形更简单，代入后不要代回原方程； （8） 加减法：什么时候要同乘一个数，使某一未知数系数相同或相反； （9） 符号容易出错：减的时候要每一项都变号； （10） 解完后忘记检验，导致计算错误查不出来。 ☘ 重点知识●梳理归纳 ◉ 知识点一、二元一次方程组有关概念： 1.：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1的整式方程，叫二元一次方程。 2.一般形式：ax+by=c（a、b≠0） 3.把两个含有相同未知数的二元一次方程合在一起，就组成二元一次方程组。 4.使方程组中每个方程左右两边都相等的一对未知数的值，叫做方程组的解。 ◉ 知识点二、解二元一次方程组： 1.核心思想 ——消元 2.如何消元：把二元转化为一元，先求一个未知数，再求另一个。 3具体方法： （1）.代入消元法（代入法）步骤： ◆变：把其中一个方程变形，用含一个未知数的式子表示另一个未知数; ◆代：代入另一个方程，消去一个未知数; ◆求：解一元一次方程，求出一个未知数; ◆回代：把结果代入变形式，求另一个未知数; ◆写：写出方程组的解，并检查正误。 （2）.加减消元法（加减法）步骤： ◆化：把同一个未知数的系数变成相等或互为相反数； ◆加减：两个方程相加或相减，消去一个未知数； ◆求：解一元一次方程，求出一个未知数； ◆回代：求另一个未知数； ◆写：写出解,并检验正误. ★口诀：同号相减异号加，系数化同再消元。 ◉ 知识点三、常用选择思路 · 有未知数系数为 ±1 → 优先代入法 · 同一个未知数系数成倍数或容易统一 → 优先加减法 ✏ 常见考点●精讲精练 题型1二元一次方程的定义 例1．下列方程中，是二元一次方程的是（   ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】二元一次方程需同时满足三个核心条件：①方程中含有两个不同的未知数；②每个含有未知数的项的次数均为1；③方程是整式方程(分母不含未知数)． 【详解】解：A：方程中，含未知数的项是，其次数为2，不满足“含未知数的项的次数都是1”的条件，不是二元一次方程； B：方程含有两个未知数和，含未知数的项、的次数均为1，且方程是整式方程，完全符合二元一次方程的定义，是二元一次方程； C：方程中，含未知数的项是，其次数为，不满足次数为1的条件，不是二元一次方程； D：方程的分母中含有未知数，属于分式方程，不满足“整式方程”的条件，不是二元一次方程． 变式1．已知是关于x，y的二元一次方程，则_________． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程的概念， 二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，未知数的项的次数是1，且 的系数不能为零的整式方程，据此作答即可． 【详解】解：∵是关于 和 的二元一次方程， ∴ ，， ∴a=−2， 故答案为：． 变式2．已知，其中都是常数，且，请你探究：是否存在一个二元一次方程，其解分别为与，若存在，请你写出这个二元一次方程；若不存在，请你说明理由． 【答案】存在，这个二元一次方程为 【分析】本题考查二元一次方程解的定义，理解方程解的意义是解题的关键．观察和，可得它们的结构是相同的，再结合方程解的定义即可完成解答． 【详解】解：和中字母系数相同，常数项也相同， 两个等式可以统一表示为， 这个二元一次方程为． 题型2二元一次方程的解 例2．下列各组数值中，是二元一次方程的解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解的知识，根据二元一次方程解的定义，将各选项中未知数的值代入方程，验证等式是否成立即可求解，即可获得答案． 【详解】解：A.将代入， 左边，右边，左边右边， ∴不是该方程的解，本选项不符合题意； B. 将代入， 左边，右边，左边=右边， ∴是该方程的解，本选项符合题意； C. 将代入， 左边，右边，左边右边， ∴不是该方程的解，本选项不符合题意； D. 将代入， 左边，右边，左边右边， ∴不是该方程的解，本选项不符合题意． 故选：B． 变式1．已知是二元一次方程的一组解，则_________ ． 【答案】2023 【分析】将代入二元一次方程求出的值，再利用整体代入法计算所求代数式的值即可． 【详解】解：∵是二元一次方程的一组解， ∴， ∴， ∴． 变式2．某班为奖励在校运动会上取得好成绩的同学，花费48元钱购买了甲、乙两种奖品，每种奖品至少购买1件，其中甲种奖品每件4元，乙种奖品每件3元．请问有哪几种购买方案？ 【答案】共有3种购买方案：①购买9件甲种奖品，4件乙种奖品；②购买6件甲种奖品，8件乙种奖品；③购买3件甲种奖品，12件乙种奖品 【分析】本题考查二元一次方程的应用，根据题意判断出y是4的整数倍是解答本题的关键．设购买x件甲种奖品，y件乙种奖品，得出，根据x，y均为正整数求出结论即可． 【详解】解：设购买x件甲种奖品，y件乙种奖品， 依题意得：， ∴， 又∵x，y均为正整数， ∴或或， 答：共有3种购买方案：①购买9件甲种奖品，4件乙种奖品；②购买6件甲种奖品，8件乙种奖品；③购买3件甲种奖品，12件乙种奖品． 题型3判断是否是二元一次方程组 例3．在，，，中，是二元一次方程组的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的判断，根据二元一次方程组的定义（含有两个未知数，且每个方程都是整式方程，未知数的最高次数为1）进行判断即可． 【详解】解：方程组 中，两个方程均为一次方程，是二元一次方程组； 方程组 中，第二个方程中的次数为2，不是一次方程，故不是二元一次方程组； 方程组 中，含有3个未知数，故不是二元一次方程组； 方程组 中，两个方程均为一次方程，是二元一次方程组； ∴ 是二元一次方程组的有2个． 故选：B． 变式1．已知方程组是关于的二元一次方程组，则的值为______． 【答案】 【分析】此题主要考查了二元一次方程组，绝对值的意义，理解二元一次方程组的定义，熟练掌握绝对值的意义是解决问题的关键． 根据二元一次方程组的定义得，求出后进行验证，即可得出最终的值． 【详解】解：∵方程组是关于的二元一次方程组， ∴，即， 解得：， 当时，原方程组可转化为：，不符合二元一次方程组的定义，舍去； 当时，原方程组可转化为：，符合二元一次方程组的定义； 综上所述：的值为． 故答案为：． 变式2．已知方程组是关于，的二元一次方程组，求的值． 【答案】 【分析】要使方程组是二元一次方程组，需要满足两个条件：①方程 中，未知数的次数必须为； ②方程中，未知数的系数不能为，否则方程组就只含有一个未知数，不符合二元一次方程组的定义． 【详解】解：方程组是关于，的二元一次方程组， 且， 由解得或， 又，即． ． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义和绝对值方程的解法，解题关键是牢记二元一次方程组的定义：方程组中含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是，并且都是整式方程．特别要注意第二个方程中未知数的系数不能为零． 题型4判断是否是二元一次方程组的解 例4．下列二元一次方程中，有一组解为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的解，解题的关键是：熟练掌握二元一次方程的解的含义．将分别代入各方程，即可判断求解． 【详解】解：将分别代入， 得，A不符合题意， 将分别代入， 得，B符合题意， 将分别代入， 得，C不符合题意， 将分别代入， 得，D不符合题意， 故选：B． 变式1．有四组数：①②③④其中，______是方程的解，______是方程的解，______是方程组的解（填写序号）． 【答案】 ②③④ ①④ ④ 【分析】本题考查了二元一次方程的解和二元一次方程组的解，代入方程，看看是否两边相等即可，根据二元一次方程组的解的定义得出即可． 【详解】解：①②③④中， 把①代入方程得：左边，右边，左边≠右边，所以①不是方程的解， 把②代入方程得：左边，右边，左边=右边，所以②是方程的解， 把③代入方程得：左边，右边，左边=右边，所以③是方程的解， 把④其代入方程得：左边，右边，左边=右边，所以④是方程的解， 即②③④是方程的解； 把①代入方程得：左边，右边，左边=右边，所以①是方程的解， 把②代入方程得：左边，右边，左边≠右边，所以②不是方程的解， 把③代入方程得：左边，右边，左边≠右边，所以③不是方程的解， 把④代入方程得：左边，右边，左边=右边，所以④是方程的解， 即①④是方程的解； ∴④是方程组的解． 故答案为：②③④，①④，④． 变式2．已知下列四对数值：①②③④ (1)哪几对是方程的解？ (2)哪几对是方程的解？ (3)哪几对是方程组的解？ 【答案】(1)②④是方程的解． (2)③④是方程的解． (3)④是方程组的解． 【分析】本题考查二元一次方程的解和二元一次方程组的解，方程（组）的解是满足方程（组）的未知数的值，掌握该知识点是解题的关键． （1）把各对数值依次代入进行验证，能够使方程成立的未知数的值即为方程的解； （2）把各对数值依次代入进行验证，能够使方程成立的未知数的值即为方程的解； （3）两方程的公共解即为方程组的解，据此即可解答题目. 【详解】（1）解：将代入，不成立； 将代入，成立； 将代入，不成立； 将代入，成立； 故②④是方程的解． （2）解：将代入，不成立； 将代入，不成立； 将代入，成立； 将代入，成立； ③④是方程的解． （3）解：由（1）（2），可知，④是两个方程公共解 所以④是方程组的解． 题型5已知二元一次方程组的解求参数 例5．若关于a、b二元一次方程组的解是，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组的解是满足方程组中每个方程未知数的值是解题的关键． 将已知的a、b值代入方程组得到关于x、y的方程组，再通过方程变形求出的值． 【详解】解：∵关于a、b二元一次方程组的解是， ∴，化简得：， 得：， 去括号得：， 合并同类项得． ∴的值为3． 故选B． 变式1．已知关于x、y的方程组的解满足，则m的值是______． 【答案】1 【分析】本题考查求含参数的二元一次方程组中的参数． 由条件，代入原方程组，得到，消去，即可求解． 【详解】解：将代入方程组，得，即， ∴， 解得，． 故答案为：1． 变式2．若是关于、的二元一次方程组的解，求的值． 【答案】14 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，把代入，得出关于a和b的二元一次方程组，求解得出a，b的值，再代入代数式计算即可． 【详解】解：把代入得： 解得： ∴ 题型6代入消元法 例6．用代入消元法解方程组时，消去y，可将第一个方程变形为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了代入消元法解二元一次方程组，熟练掌握将方程变形为用一个未知数表示另一个未知数的形式是解题的关键． 根据代入消元法的要求，将第一个方程变形为用表示的形式，从而消去． 【详解】解：， ， ， 故选：B． 变式1．把方程改写成用含的式子表示的形式是________． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程，熟练掌握解方程的方法是解题关键．将看作已知数，利用移项、系数化为1的步骤解答即可得． 【详解】解：， 移项，得， 系数化为1，得，即， 故答案为：． 变式2．解方程组：． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解法，关键是代入消元法的应用．观察方程组中未知数的系数，发现第二个方程中的系数为，便于用含的式子表示，再将其代入第一个方程，把二元一次方程组转化为一元一次方程求解，最后回代求出的值． 【详解】解： 由②得：③； 将③代入①得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 两边同时除以得：； 将代入③得：； 故方程组的解为． 题型7加减消元法 例7．解方程组时，若将可得（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的加减消元法，熟练掌握加减消元法是解题的关键． 通过将方程，消去x，得到关于y的方程，本题可解． 【详解】解： 由，得，． 故选：B． 变式1．已知满足方程组，则_____． 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程，通过将第一个方程减去第二个方程，直接得到所求代数式的值． 【详解】解： 将第一个方程减去第二个方程： 简化得： 故答案为：． 变式2．解方程组： 【答案】 【详解】解： 得，， 解得 把代入①得， 解得 ∴ 题型8二元一次方程组的特殊解法 例8．已知x，y满足方程组，则的值为（   ） A．9 B．7 C．5 D．3 【答案】C 【分析】此题考查解二元一次方程组-特殊方法，根据所求的式子中各系数与方程组的关系，将原方程组对应相加或相减即可得到答案的方法更为简便． 根据两个方程系数的关系将两个方程相加即可得到答案． 【详解】解：， 得：， 则， 故选：C． 变式1．若关于x，y的方程组的解满足，则k的值为________ 【答案】2024 【分析】本题考查二元一次方程组的整体思想． 通过将两个方程相加，得到与的关系式，进而求解的值． 【详解】解：， 得：， 即：， 两边同时除以6，得：， ， ， 解得：， 故答案为：2024． 变式2．先阅读，然后解方程组． 解方程组时，可由①得③，然后再将③代入②，得，求得，从而进一步求得这种方法被称为“整体代入法”． 请用这样的方法解方程组： 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程的求解，解题的关键是根据题意掌握“整体代入法”； 由题意可知先对①移项得，再将其整体代入②中，即可得到答案． 【详解】解：由①，得③， 把③代入②，得，解得， 把代入③，得，解得， 故原方程组的解为． 题型9二元一次方程组的错解复原问题 例9．甲、乙两人同求方程的整数解，甲正确的求出一个解为，乙把看成，求得一个解为，则，的值分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把代入中得一个方程，把代入中的一个方程，联立解方程组即可． 本题考查了方程组的解法，熟练掌握解方程组是解题的关键． 【详解】解：把代入中，得， 把代入中，得， 根据题意，得； 解得， 故选：B． 变式1．甲和乙两人同解方程组，甲因抄错了，解得，乙因抄错了，解得． （1）______， （2）______． 【答案】 2 1 【分析】本题考查了方程组的解法，解一元一次方程，正确审题，清楚方程组的解是哪一个方程的正确解，代入计算即可．清楚方程组的解是哪一个方程的正确解是解题的关键． 【详解】解：（1）由题意得：，是的解， 则， 解得：， 故答案为：2； （2）是的解， 则， 解得：， ． 故答案为：1． 变式2．甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为，试计算 【答案】0 【分析】本题考查解二元一次方程组的错看问题，掌握方程组的解为使方程组中两个方程同时成立的未知数的值是解题的关键． 因为甲看错了方程①中的a，而方程②中的b没有看错，所以满足方程，将代入可求，同理乙看错了方程②中的b，而方程①中的没有看错，所以满足方程，将代入可求，最后将、代入求解即可． 【详解】解：将代入方程得：，即； 将代入方程得：，即，. 将，代入， 则． 题型10构造二元一次方程组求解 例10．已知，与，都是方程的解，则和的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查构造二元一次方程组求解，熟练掌握代入消元法解二元一次方程组是解决问题的关键．将，与，代入方程，构造关于和的二元一次方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】解：将，与，代入方程得： ， 由方程②得， 将③代入方程①得， 解得； 将代入③得； 因此，，， 故选：A． 变式1．定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”．例如：方程和为“和谐方程”． (1)若关于的方程与方程是“和谐方程”，求的值； (2)若“和谐方程”的两个解的差为4，其中一个解为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查新定义方程，涉及解一元一次方程及二元一次方程组等知识，理解“和谐方程”的定义是解决问题的关键． （1）先分别解出方程与方程，再由“和谐方程”定义得到求解即可确定答案； （2）设另一个方程的解为，由题意及“和谐方程”定义列方程组；求解即可得到答案． 【详解】（1）解：解得；解得； 关于的方程与方程是“和谐方程”， ， 解得； （2）解：设另一个方程的解为， 其中一个解为，“和谐方程”的两个解的差为4， ， 则或； 两个方程为“和谐方程”， ； 当时，解得； 当时，解得； 的值为． 变式2．已知关于的二元一次方程组的解满足，则的值为（   ） A．－1 B．7 C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，将二元一次方程组的解代入方程组求解未知数的值是解题的关键． 首先通过将方程组的两个方程相减，得到，再代入已知条件求解的值即可． 【详解】解：令方程组， ①－②，得：， ∴， ∵， ∴，解得：， 故选：C． 题型11已知二元一次方程组的解的情况求参数 例11．已知关于的方程组． (1)若，求这个方程组的解； (2)若这个方程组的解满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，根据方程组解的情况求参数，解题的关键是熟练掌握加减消元法． （1）把代入原方程组得，用加减消元法解二元一次方程组即可； （2）原方程组中两个方程相加得出，再根据得出关于k的方程，解关于k的方程即可． 【详解】（1）解：当时，原方程组变为： ， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴方程组的解为：； （2）解：， 得：， ∵， ∴， 解得：． 变式1．一大正方形和四个相同的小正方形按图①②两种方式摆放，则小正方形的边长为__________． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设大正方形的边长为，小正方形的边长为，根据图示可得等量关系求解即可． 【详解】解：设大正方形的边长为，小正方形的边长为，由图①和②列出方程组得， ， 得．即 所以小正方形的边长为． 故答案为：． 变式2．已知关于的方程组，其中，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】本题考查已知二元一次方程组的解的情况求参数． 通过将两个方程相减，得到的表达式，再根据，即可得的取值范围． 【详解】解：， 得， ∴， ∵ ∴ ∴ 故答案为：． 题型12方程组相同解问题 例12．若关于x，y的方程组和有相同的解，则的值为（   ） A． B． C．1 D．5000 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的同解问题． 由于两个方程组有相同的解，可先由两个不含参数的方程联立解出公共解和，再代入含参数的方程求出和，进而计算． 【详解】解：∵两个方程组有相同的解， ∴可得方程组：， ， 解得：， 将，代入得：， 解得：， ∴， 故选：B． 变式1．已知关于的方程组的解是则关于的方程组的解是___________． 【答案】 【分析】本题考查了方程组的换元法求解，解题的关键是通过换元将新方程组转化为已知解的方程组形式． 通过设，，把关于m、n的方程组转化为已知解的关于x、y 的方程组，再解关于m、n的方程组得到答案． 【详解】解：令，， 则关于m、n 的方程组可转化为， 已知原方程组的解是， ∴可得，解得． 故答案为：． 变式2．若方程组的解满足方程组，求a，b的值． 【答案】， 【分析】本题考查了解二元一次方程组，同解方程，正确解方程组是解题的关键．先解方程组，然后再将求得的值代入到方程组中，将其转化为只含有的二元一次方程组求解即可． 【详解】解：解方程组， ，得，解得， ，得，解得：， 此方程的解为； 将代入得： ，解得：． ． ✍ 强化巩固●过关测试 一、单选题 1．已知方程是二元一次方程，则和的值分别是（    ） A．1和1 B．0和1 C．1和0 D．0和0 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，掌握二元一次方程中所有未知数的次数都为，据此列方程求解参数是解题的关键． 二元一次方程要求变量次数均为，故的指数，的指数． 【详解】解：∵方程是二元一次方程， ∴的指数，的指数 解， ∴ 解， ∴ ∴， 故选：B． 2．为提高学生学习兴趣，增强动手实践能力，某校为物理兴趣小组的同学购买了一根长度为的导线，将其全部截成和两种长度的导线用于实验操作（每种长度的导线至少一根），则截取方案共有（    ） A．6种 B．5种 C．4种 D．3种 【答案】C 【分析】设出两种导线的根数，根据总长度列出方程，结合x，y为正整数的条件找出所有符合的解即可． 【详解】解：设的导线有根，的导线有根，均为正整数， 根据题意得， 整理得， 为正整数， 是正偶数，即为正偶数，且，得， 的可取的值为，共4个不同值，对应4种不同的截取方案． 3．下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组．根据二元一次方程组的定义，需满足：由两个方程组成、含有两个未知数、每个方程均为一次整式方程． 【详解】解：选项A中第二个方程为二次方程，不符合定义； 选项B中含有三个未知数，不符合定义； 选项C中两个方程均含两个未知数且均为一次方程，符合定义． 选项D中第一个方程为二次方程，不符合定义； 故选：C． 4．已知二元一次方程的一个解是则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将方程的解代入二元一次方程，得到关于、的关系式，再将该关系式整体代入所求代数式进行计算． 【详解】解：∵二元一次方程的一个解是， ∴将代入方程， 得，即， ∴． 5．创新意识 老师设计了一个接力游戏，用合作的方式解方程组，规则是每人只能看到前一人的计算结果，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，过程如图所示，且其中有一位同学的解题步骤出现错误，则解题中出现错误的同学是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】本题考查解二元一次方程组，根据等式的性质和四位同学的求解过程逐步检查即可． 【详解】解：由①得，显然甲同学正确 将③代入②得，显然乙同学正确 去分母得，显然丙同学错误， 由解得，代入③，得，显然丁同学正确， 故解题中出现错误的同学是丙， 故选：C． 6．已知：甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程（1）中的a，解得，乙看错了（2）中的b，解得，则的平方根为（   ） A．1和 B．2和 C．3和 D．4和 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，二元一次方程组的错解问题，根据题意可甲的解满足（2），乙的解满足（1），据此可求出a、b的值，再求出的值后即可根据平方根的定义得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， ∴的平方根为1和， 故选：A． 二、填空题 7．已知关于的方程组的解满足，则的值为___________． 【答案】 【分析】原方程组两个方程相减，得，构成新方程组，求解即可． 【详解】解： ，得， 解方程组， ，得， 解得， 将代入③得， 解得， 故． 8．关于，的方程组的解是，则关于，的方程组的解是_______． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解的定义，代数式的代入变形，掌握系数比较法是解题关键． 由原方程组的解可得和的表达式，代入新方程组后通过比较系数求解． 【详解】解：由已知方程组的解为， 代入得，， 将和代入新方程组， 得， 比较系数可得． 故答案为：． 9．关于x，y的二元一次方程组与有相同的解，则mn＝_________ ． 【答案】 【分析】本题考查方程组解的意义以及解二元一次方程组，利用两个方程组的解相同联立方程组，进一步利用方程组解决问题是关键． 先联立两个不含参数的方程求得方程的相同解，再代入含参数m、n的方程解出m和 n的值，最后计算即可． 【详解】解：由题意，解方程组 ， 解得， 代入 和 得 ， 解得， ∴． 故答案为：． 10．若是二元一次方程的解，则满足条件的一组m、n的值可以是___________． 【答案】，（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解．将给定的解代入二元一次方程，得到关于 m 和 n 的方程，再选取一组满足该方程的值，即可． 【详解】解：∵是二元一次方程的解， ∴， 当时，， 即满足条件的一组 m、n 的值可以是，． 故答案为：，（答案不唯一） 11．若关于x，y的二元一次方程组的解为，则这个方程组可以是________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了以解为条件构造方程组，熟练掌握方程组的意义是解题的关键． 以x，y为主元素，任意构造即可． 【详解】解：二元一次方程组的解为的方程组有无数个， 如： 故答案为：（答案不唯一）． 三、解答题 12．某班为奖励在校运动会上取得好成绩的同学，花费48元钱购买了甲、乙两种奖品，每种奖品至少购买1件，其中甲种奖品每件4元，乙种奖品每件3元．请问有哪几种购买方案？ 【答案】共有3种购买方案：①购买9件甲种奖品，4件乙种奖品；②购买6件甲种奖品，8件乙种奖品；③购买3件甲种奖品，12件乙种奖品 【分析】本题考查二元一次方程的应用，根据题意判断出y是4的整数倍是解答本题的关键．设购买x件甲种奖品，y件乙种奖品，得出，根据x，y均为正整数求出结论即可． 【详解】解：设购买x件甲种奖品，y件乙种奖品， 依题意得：， ∴， 又∵x，y均为正整数， ∴或或， 答：共有3种购买方案：①购买9件甲种奖品，4件乙种奖品；②购买6件甲种奖品，8件乙种奖品；③购买3件甲种奖品，12件乙种奖品． 13．已知是关于x，y的二元一次方程组，求的值． 【答案】2 【分析】此题主要考查了二元一次方程组，绝对值的意义，理解二元一次方程组的定义，熟练掌握绝对值的意义是解决问题的关键． 根据二元一次方程组的定义由 求出答案后验证，代入求出的值，再代入代数式求值即可． 【详解】解：根据二元一次方程组的概念可知，． 由 ，解得或． 当时，； 当时，（不符合题意，舍去）． 把代入中，解得，所以． 14．解二元一次方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用代入消元法求解即可； （2）方程组整理后，利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：， 将①代入②得：， 解得， 将代入①得：， 所以方程组的解为； （2）解：， 方程组整理为， 由①②得：， 解得， 将代入①得：， 解得， 所以方程组的解为． 15．阅读下列材料： 解方程组： 解：由①，得．③ 把③代入②，得，解得． 把代入③，得，解得，所以这个方程组的解为 这种方法称为“整体代入法”． 请用这种方法解方程组： 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法（整体代入法），解题关键是通过观察方程的结构，将一个方程变形后得到的整体表达式代入另一个方程，从而实现消元，简化求解过程． 先从方程①中整理出的表达式，再将其整体代入方程②，从而消去一个未知数，简化计算． 【详解】解：由①，得③． 观察方程② ，可以将分子变形为， 把③代入②，得，解得． 把代入③，得，解得， ∴这个方程组的解为 16．已知关于，的方程组和的解相同． (1)求这两个方程组的解； (2)的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，解题的关键是理解同解方程组的定义． （1）联立和，组成方程组即可解答； （2）利用方程组的解求出和，计算代数式的值即可． 【详解】（1）解：∵方程组 和 的解相同， ∴， 由得：， ， ， 将代入①中得：，解得：， 综上，． （2）∵由（1）得， ∴将代入得， 由得：， ， ， 将代入①中得：，解得：， 综上，． ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $