二项分布与超几何分布（专项训练）数学湘教版选择性必修第二册

专题 二项分布与超几何分布 目录 A题型建模・专项突破 题型一、二项分布的概率计算 题型二、二项分布的均值与方差 题型三、二项分布的概率最值问题 题型四、超几何分布的概率计算 题型五、超几何分布的均值与方差 题型六、二项分布与超几何分布的综合应用 B综合攻坚・能力跃升 题型一、二项分布的概率计算 例1．一个袋子中有完全相同的个红球，3个白球.若采取不放回方式从中随机摸出两个球，摸出的2个球都是红球的概率是.现采取放回方式从中依次摸出3个球，求恰有两次抽出红球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意，不放回方式从中随机摸出两个球， 摸出的2个球都是红球的概率， 即，解得（舍去负根）， 有放回的摸球，每次摸到红球的概率为，白球的概率为， 所以3次摸球中，恰好有两次抽出红球的概率.故选：A. 【变式1-1】一个质点在数轴上在随机外力的作用下，从原点出发，每隔等可能地向左或向右移动一个单位长度，共移动次．移动后，事件“质点位于”的概率为 ． 【答案】 【解析】设质点向右移动的次数为，又质点每隔等可能地向左或向右移动一个单位长度， 共移动次，每次移动相互独立，则． 移动次后，质点位于的位置，则，． 【变式1-2】已知随机变量，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用二项分布的概率公式即可. 【解答过程】由题意得 故选：D. 【变式1-3】若某地未来连续3天每天下雨的概率均为，则这3天中只有1天下雨的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用二项分布概率公式求解即可. 【解答过程】由未来连续3天每天下雨的概率均为，可知这3天中只有1天下雨的概率为：， 故选：A. 题型二、二项分布的均值与方差 例2．一台仪器每启动一次都会随机地出现一个3位的二进制数，其中的各位数中，出现0的概率为，出现1的概率为．若启动一次出现的二进制数为，则称这次试验成功．若成功一次得2分，失败一次得分，则81次这样的独立重复试验的总得分的数学期望为（    ） A． B． C．63 D．6 【答案】A 【解题思路】由题可求出试验成功的概率，再利用二项分布及其期望的性质可求. 【解答过程】根据题意一次试验成功的概率为， ∴次重复试验中成功次数服从二项分布， 故， 总得分， 故， 故选A． 【变式2-1】下图是一块高尔顿板示意图：在一块木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为用表示小球落入格子的号码，则下面计算错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】分析可知，利用独立重复试验的概率公式可判断AB选项；利用二项分布的期望和方差的公式可判断CD选项． 【解答过程】设“向右下落”，则“向左下落”，， 因为小球最后落入格子的号码等于事件发生的次数， 而小球下落的过程中共碰撞小木钉5次，所以， 对于A：，故A正确； 对于B：，故B错误； 对于C：，故C正确； 对于D：，故D正确； 故选：B． 【变式2-2】在重伯努利试验中，每次试验发生的概率均为，且2次试验中恰好发生1次的概率为，若随机变量，则的方差为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【解析】因为2次试验中恰好发生1次的概率为， 所以，化简得.解得或. 因为随机变量，所以. 当时，； 当时，. 综上，.故选：B. 【变式2-3】小明射击三次，每次射中的概率均为，且每次射击互不影响，射中一次得5分，没射中得0分，若射击三次后总得分为，则（    ） A． B．12 C．15 D．18 【答案】D 【解题思路】设小明射中的次数为，得到，求得，结合，结合方差的性质，即可求得的值，得到答案. 【解答过程】设小明射中的次数为， 因为每次射击互不影响，且每次射中的概率均为，所以随机变量， 则，， 又因为射中一次得5分，没射中得0分，所以，则． 故选：D. 题型三、二项分布的概率最值问题 例3．下图是一块高尔顿板示意图：在一块木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为用表示小球落入格子的号码，则下面计算错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】分析可知，利用独立重复试验的概率公式可判断AB选项；利用二项分布的期望和方差的公式可判断CD选项． 【解答过程】设“向右下落”，则“向左下落”，， 因为小球最后落入格子的号码等于事件发生的次数， 而小球下落的过程中共碰撞小木钉5次，所以， 对于A：，故A正确； 对于B：，故B错误； 对于C：，故C正确； 对于D：，故D正确； 故选：B． 【变式3-1】小明参加了一档综艺节目，节目中有这样一个游戏：如图，参与者一开始站在“0点”的格子中，每次向右移动1格或移动2格，其中每次向右移动1格的概率为p（），向右移动2格的概率为，要求参与者一共移动5次，每次移动之间互不影响，奖品放在“7点”的格子中，5次移动结束后参与者正好停在“7点”格子中才能获得奖品，小明为了尽可能的拿到奖品，则p的值为（    ） 0（小明） 1 2 3 4 5 6 7（奖品） 8 9 10 A．0.2 B．0.4 C．0.5 D．0.6 【答案】D 【解析】由题意可得，若五次移动结束正好停在“7点”格子中， 必然是3次向右移动1格，2次向右移动2格， 其概率， 故， 当，，单调递增，当，，单调递减， 所以当时，取到最大值.故选:D. 【变式3-2】某人在次射击中击中目标的次数为，且，记，，若是唯一的最大值，则的值为（    ） A．1.28 B．1.6 C．6.4 D．8 【答案】A 【解题思路】根据给定条件，列出不等式求出，再利用二项分布的期望公式计算得解. 【解答过程】，，， 若是唯一的最大值，则 所以 解得． 因为，， ，，． ． 故选：A． 【变式3-3】为研究不同性别学生对“deepseek”应用程序的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各50名作为样本，设事件"了解deepseek"，“学生为女生”，据统计，，将样本的频率视为概率，现从全校的学生中随机抽取40名学生，设其中了解deepseek的学生的人数为，则当取得最大值时的值为（    ） A．16 B．17 C．18 D．19 【答案】C 【解析】已知，，抽取男生和女生各50名，所以. 根据条件概率公式，可得. 再根据条件概率公式，可得. 所以随机变量， 令，解得， 因为，所以当时，取得最大值.故选：C. 题型四、超几何分布的概率计算 例4．一批零件共有10个，其中有2个不合格品，从这批零件中随机抽取2个进行检测，则恰有1个不合格品的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据题意结合超几何分布分析求解即可 【解答过程】根据题意，恰有1个不合格品的概率为. 故选：B. 【变式4-1】在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，则下列概率中等于的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，服从超几何分布，则.故选：A. 【变式4-2】国家提出“乡村振兴”战略，各地纷纷响应．某县有7个自然村，其中有4个自然村根据自身特点推出乡村旅游，被评为“旅游示范村”．现要从该县7个自然村里选出3个作宣传，则恰有2个村是“旅游示范村”的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题可得，恰有2个村是“旅游示范村”的概率为．故选：B 【变式4-3】有10件产品，其中3件是次品，从中不放回地任取2件，若X表示取得次品的件数，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【解题思路】根据给定条件，利用互斥事件的概率公式，结合组合计数问题及超几何分布求解即得. 【解答过程】由题意知X的所有可能取值为0，1，2，X服从超几何分布， 则，，， 所以. 故选：C. 题型五、超几何分布的均值与方差 例5．为提高天津市的整体旅游服务质量，市旅游局举办了天津市旅游知识竞赛，参赛单位为本市内各旅游协会，参赛选手为持证导游．现有来自甲旅游协会的导游5名，其中高级导游4名；乙旅游协会的导游5名，其中高级导游2名、从这10名导游中随机选择4人参加比赛． (1)设A为事件“选出的4人中恰有2名高级导游，且这2名高级导游来自同一个旅游协会”，求事件A发生的概率； (2)设ξ为选出的4人中高级导游的人数，求随机变量ξ的分布列和数学期望 【答案】(1) (2)分布列见解析；期望为 【解题思路】（1）根据组合数的计算以及古典概型概率问题的计算公式求得事件发生的概率； （2）由题意得的所有可能取值为0，1，2，3，4，然后根据超几何分布的知识求出相应的概率，从而可求得分布列和数学期望. 【解答过程】（1）由已知条件知，当两名高级导游来自甲旅游协会时，有种不同选法， 当两名高级导游来自乙旅游协会时，有种不同选法， 则； （2）随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，4， ，， ，， ， 随机变量的分布列为 0 1 2 3 4 随机变量的数学期望为 . 【变式5-1】（24-25高二下·江苏·月考）一个盒子里装有大小相同的4个黑球和3个白球，从中不放回地取出3个球，则黑球个数的数学期望是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意，取出3球中黑球个数X为随机变量， ，X服从超几何分布， 所以黑球个数的数学期望是.故选：C 【变式5-2】为营造浓厚的全国文明城市创建氛围，积极响应创建全国文明城市号召，提高对创城行动的责任感和参与度，学校号召师生利用周末参与创城志愿活动.高二（1）班某小组有男生4人，女生2人，现从中随机选取2人作为志愿者参加活动. (1)求在有女生参加活动的条件下，恰有一名女生参加活动的概率； (2)记参加活动的女生人数为X，求X的分布列及期望、方差. 【答案】(1) (2)分布列见解析，. 【解题思路】（1）根据条件概率公式即可求解. （2）根据超几何分布，即可求出分布列，利用公式求解期望与方差. 【解答过程】（1）设“有女生参加活动”为事件，“恰有一名女生参加活动”为事件． 则，所以； （2）依题意知服从超几何分布，且， 所以的分布列为： 0 1 2 . 【变式5-3】某大学的武术协会有10名同学，成员构成如下表所示.表中部分数据不清楚，只知道从这10名同学中随机抽取1名同学，该名同学的专业为数学的概率为. 性别 中文 数学 英语 体育 男 1 1 女 1 1 1 1 现从这10名同学中随机选取3名同学参加该市的武术比赛（每名同学被选到的可能性相等）. (1)求、的值； (2)求选出的3名同学恰为专业互不相同的男生的概率； (3)设为选出的3名同学中是女生或专业为数学的人数，求随机变量的分布列、均值及方差. 【答案】(1)， (2) (3)分布列见解析， 【解题思路】（1）先根据已知列方程算出，进一步可得； （2）根据古典概型概率计算公式即可求解； （3）由超几何分步的概率公式，可得分布列，进一步得均值、方差公式. 【解答过程】（1）由题意得  解得. 由，得解得. （2）所求的概率为 . （3）由已知，这10名同学中是女生或者专业为数学的人数为7，Y的可能取值为0，1，2，3. ，， ，， 所以Y的分布列为 Y 0 1 2 3 P 均值为， 方差为. 题型六、二项分布与超几何分布的综合应用 例6．2025年6月14日，我国成功发射了电磁监测卫星“张衡一号”02星，此举标志着我国在地球物理场空间观测领域的探测能力实现了重大突破.为培育学生的航天精神，某校特地组织了航天知识竞赛活动.竞赛共有、两类试题，每类试题各有5道题，其中每答对1道类试题得5分，每答对1道类试题得10分，答错都不得分.每位参加竞赛的同学从这两类试题中共抽取3道作答（每道试题抽后不放回）.已知某同学类试题中有3道能答对类试题中每道题答对的概率均为. (1)若该同学只在类试题中抽取3道作答，设表示该同学作答这3道试题的总得分，求的分布列和数学期望； (2)若该同学在类试题中抽取1道，在类试题中抽取2道作答，当时，求他在这次竞赛中仅答对1道试题的概率； (3)若该同学在类试题中只抽取2道比抽取3道作答的总得分的期望值高，求的取值范围. 【答案】(1)分布列见解析，期望为9 (2) (3) 【解题思路】（1） 根据超几何分布计算概率及分布列进而得出数学期望； （2）应用独立重复实验概率公式计算求解； （3）应用独立事件概率乘积公式计算结合二项分布数学期望计算求解. 【解答过程】（1）由题知，的可能取值为，，， 则，，， 所以的分布列为： 所以； （2）记“该同学仅答对道题”为事件， 则， 所以该同学在这次竞赛中仅答对道题的概率为； （3）设为该同学在类试题中只抽取道作答的总得分， 则的可能取值为，，，，，， 则， ， ， ， ， ， 所以， 设为该同学在类试题中抽取道作答答对的题数，为总得分， 则， 所以，， 因为，所以，解得， 所以的取值范围是. 【变式6-1】已知某计算机网络的服务器有三台设备，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断掉．如果三台设备各自能正常工作的概率都为0.8，它们之间互相不影响．设能正常工作的设备数为． (1)求的分布列； (2)求和； (3)求计算机网络不会断掉的概率． 【答案】(1)分布列见解析；(2)，；(3)0.992 【解析】（1）由题意得的可能取值为0，1，2，3，且， ，， ，， 所以的分布列如下． 0 1 2 3 0.008 0.096 0.384 0.512 （2）因为，所以，． （3）要使得计算机网络不会断掉，也就是要求能正常工作的设备至少有一台，即， 因此所求概率为． 【变式6-2】某家庭进行摸球得压岁钱游戏．规则如下：袋中有大小相同的3个红球，2个蓝球，每次从袋中摸出2个球，若摸到0个红球就没有压岁钱；若摸到1个红球就得压岁钱100元；若摸到2个红球就得压岁钱200元． (1)求摸球一次，摸到红球个数的分布列； (2)求摸球一次，得到的压岁钱的均值． 【答案】(1)；(2)120元 0 1 2 【解析】（1）的所有可能取值为，则， ，， 所以摸到红球个数的分布列为 0 1 2 （2）由题意得：摸球一次得到的压岁钱， 由（1）得， 所以， 故摸球一次得到的压岁钱的数学期望为120元． 【变式6-3】有一个摸奖游戏，在一个口袋中装有6个红球和4个黑球，这些球除颜色外完全相同．游戏规定：每位参与者进行次摸球，每次从袋中摸出一个球，有两种摸球方式：一是有放回摸球，每次摸球后将球均放回袋中，再进行下一次摸球，摸到红球的次数记为X；二是不放回摸球，每次摸球后将球均不放回袋中，直接进行下一次摸球，摸到红球的次数记为Y． (1)若， （i）求随机变量Y的分布列和数学期望： （ii）游戏规定摸到的红球数不少于摸到的黑球数则中奖，在这个规则下，设有放回摸球中奖概率为，无放回摸球中奖概率为，求和并比较它们大小． (2)若，求当取得最大值时的k值，并说明理由． 【答案】(1)（i）分布列见解析，；（ii），，； (2)，理由见解析. 【解题思路】（1）（i）根据题设有Y可取0，1，2，3，4，应用超几何分布求对应概率并写出分布列，进而求期望；（ii）应用二项分布模型求新规则下随机变量的分布列，进而求期望，比较期望的大小； （2）由独立重复试验的概率求法及不等式法求概率最大时对应参数值即可. 【解答过程】（1）（i）对于不放回摸球，各次试验的结果不独立， Y可取0，1，2，3，4，， ， Y服从超几何分布，Y的分布列为： Y 0 1 2 3 4 P ，所以； （ⅱ）由题意得游戏规定摸到的红球数不少于摸到的黑球数则中奖， 在这个规则下，设有放回摸球中奖概率为，无放回摸球中奖概率为， 对于有放回摸球，各次试验的结果互相独立，， 则 ， 故， 由（i）可知， 因为，所以； （2）当，则，若最大，则， 即，得，又， ，即时，取得最大值． 1．某同学参加招聘考试，笔试部分有三个题目，根据经验他答对每一题的概率均为，至少答对两题才能进入面试，则该同学能进入面试的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设答对的题目数量为，则， .故选：A. 2．已知随机变量，若随机变量，则（    ） A．14.6 B．18.8 C．21.8 D．30.8 【答案】B 【解析】因为随机变量 所以，， 又因为随机变量， 所以，， 所以.故选：B. 3． 高三某班有的学生数学成绩优秀，若从班中随机找出名学生，那么其中数学成绩优秀的学生数，则取最大值时的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由已知，，，，，，， 所以由 得：解得， 又因为，所以．故选:B． 4．一个不透明的袋子有10个除颜色不同外，大小、质地完全相同的球，其中有6个黑球，4个白球．现进行如下两个试验，试验一：逐个不放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为，期望方差分别为；试验二：逐个有放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为，期望和方差分别为，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用超几何分布和二项分布知识分别计算从中随机地无放回摸出3个球、从中随机地有放回摸出3个球的期望、方差，再做比较可得答案． 【解答过程】试验一：从中随机地无放回摸出3个球，记白球的个数为， 则的可能取值是0，1，2，3， 则， ，， 故随机变量的概率分布列为： 0 1 2 3 则数学期望为：， 方差为：； 试验二：从中随机地有放回摸出3个球，则每次摸到白球的概率为， 则， 故，， 故，． 故选：A． 5．（多选题）袋中有8个大小相同的球，其中3个黑球、5个白球.现从中任取4个球，记这4个球中黑球的个数为，则（    ） A．随机变量服从超几何分布 B． C． D．记这4个球中白球的个数为，则 【答案】ABD 【解析】对于A，超几何分布的定义为从含个成功元素中无放回抽取个， 成功次数服从超几何分布，符合定义，故A正确； 对于B，，， 所以，故B正确； 对于C，因为，所以， 所以，故C错误； 对于D，因为，故D正确.故选：ABD. 6．（多选题）若件产品中有件次品和件正品．现从中随机抽取件产品，记取得的次品数为随机变量，则下列结论正确的是（    ） A．若是有放回的抽取，则 B．若是无放回的抽取，则 C．若是有放回的抽取，的数学期望 D．若是无放回的抽取，的数学期望 【答案】ACD 【解析】若是有放回的抽取，则， 则， ，故选项A和C正确， 若是无放回的抽取，则可能取，，，， 又，， ，， 所以，故选项B错误，选项D正确，故选：ACD. 7．为了备战大理州第27届少数民族传统体育运动会，甲选手进行多轮射弩练习，每轮射击时，甲射中靶心的概率为.若每轮射击命中靶心得1分，未命中靶心得0分，且各轮射击结果相互独立，则进行五轮射击后，甲的总得分不小于3分的概率为 . 【答案】 【解析】进行五轮射击后，甲的总得分不小于3分的概率为 . 8．某射击俱乐部开展青少年射击培训，俱乐部共有6支气枪，其中有2支气枪未经试射校正，有4支气枪已校正，若用校正过的气枪射击，射中目标的概率为0.8，用未校正过的气枪射击，射中目标的概率为0.4，某少年射手任取一支气枪进行1次射击，射中目标的概率是： ；若此少年射手任取一支气枪进行3次射击，每次射击结果相互不影响，则恰有2次射中目标的概率为 ． 【答案】； 【解析】由题意可知，拿到校正过的气枪概率为，拿到未校正过的气枪概率， 则随机一把气枪射中的概率为， 随机一把气枪，射击三次，每次射击结果相互不影响， 则射中次数服从二项分布，则， 恰有两次射中的概率. 9．有一个翻牌游戏，规则如下：每一轮翻牌两次，每次翻出花色牌的概率为，且每次翻牌相互独立.若参与者在一轮翻牌游戏中，翻出的花色牌数不少于1，则获得一份精美礼品（多次参与可获得多份精美礼品）. (1)若甲参与一轮翻牌游戏，求甲获得一份精美礼品的概率； (2)若乙参与三轮翻牌游戏，设乙获得的精美礼品数量为，求的分布列与期望. 【答案】(1)；(2)分布列见解析， 【解析】（1）甲获得一份精美礼品的概率为. （2）由题意得， 则，， ，， 所以的分布列为 0 1 2 3 . 10．某大学的武术协会有10名同学，成员构成如下表所示.表中部分数据不清楚，只知道从这10名同学中随机抽取1名同学，该名同学的专业为数学的概率为. 性别 中文 数学 英语 体育 男 1 1 女 1 1 1 1 现从这10名同学中随机选取3名同学参加该市的武术比赛（每名同学被选到的可能性相等）. (1)求、的值； (2)求选出的3名同学恰为专业互不相同的男生的概率； (3)设为选出的3名同学中是女生或专业为数学的人数，求随机变量的分布列、均值及方差. 【答案】(1)， (2) (3)分布列见解析， 【解题思路】（1）先根据已知列方程算出，进一步可得； （2）根据古典概型概率计算公式即可求解； （3）由超几何分步的概率公式，可得分布列，进一步得均值、方差公式. 【解答过程】（1）由题意得  解得. 由，得解得. （2）所求的概率为 . （3）由已知，这10名同学中是女生或者专业为数学的人数为7，Y的可能取值为0，1，2，3. ，， ，， 所以Y的分布列为 Y 0 1 2 3 P 均值为， 方差为. . 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 二项分布与超几何分布 目录 A题型建模・专项突破 题型一、二项分布的概率计算 题型二、二项分布的均值与方差 题型三、二项分布的概率最值问题 题型四、超几何分布的概率计算 题型五、超几何分布的均值与方差 题型六、二项分布与超几何分布的综合应用 B综合攻坚・能力跃升 题型一、二项分布的概率计算 例1．一个袋子中有完全相同的个红球，3个白球.若采取不放回方式从中随机摸出两个球，摸出的2个球都是红球的概率是.现采取放回方式从中依次摸出3个球，求恰有两次抽出红球的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】一个质点在数轴上在随机外力的作用下，从原点出发，每隔等可能地向左或向右移动一个单位长度，共移动次．移动后，事件“质点位于”的概率为 ． 【变式1-2】已知随机变量，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】若某地未来连续3天每天下雨的概率均为，则这3天中只有1天下雨的概率为（    ） A． B． C． D． 题型二、二项分布的均值与方差 例2．一台仪器每启动一次都会随机地出现一个3位的二进制数，其中的各位数中，出现0的概率为，出现1的概率为．若启动一次出现的二进制数为，则称这次试验成功．若成功一次得2分，失败一次得分，则81次这样的独立重复试验的总得分的数学期望为（    ） A． B． C．63 D．6 【变式2-1】下图是一块高尔顿板示意图：在一块木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为用表示小球落入格子的号码，则下面计算错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】在重伯努利试验中，每次试验发生的概率均为，且2次试验中恰好发生1次的概率为，若随机变量，则的方差为（    ） A． B． C．1 D．2 【变式2-3】小明射击三次，每次射中的概率均为，且每次射击互不影响，射中一次得5分，没射中得0分，若射击三次后总得分为，则（    ） A． B．12 C．15 D．18 题型三、二项分布的概率最值问题 例3．下图是一块高尔顿板示意图：在一块木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为用表示小球落入格子的号码，则下面计算错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】小明参加了一档综艺节目，节目中有这样一个游戏：如图，参与者一开始站在“0点”的格子中，每次向右移动1格或移动2格，其中每次向右移动1格的概率为p（），向右移动2格的概率为，要求参与者一共移动5次，每次移动之间互不影响，奖品放在“7点”的格子中，5次移动结束后参与者正好停在“7点”格子中才能获得奖品，小明为了尽可能的拿到奖品，则p的值为（    ） 0（小明） 1 2 3 4 5 6 7（奖品） 8 9 10 A．0.2 B．0.4 C．0.5 D．0.6 【变式3-2】某人在次射击中击中目标的次数为，且，记，，若是唯一的最大值，则的值为（    ） A．1.28 B．1.6 C．6.4 D．8 【变式3-3】为研究不同性别学生对“deepseek”应用程序的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各50名作为样本，设事件"了解deepseek"，“学生为女生”，据统计，，将样本的频率视为概率，现从全校的学生中随机抽取40名学生，设其中了解deepseek的学生的人数为，则当取得最大值时的值为（    ） A．16 B．17 C．18 D．19 题型四、超几何分布的概率计算 例4．一批零件共有10个，其中有2个不合格品，从这批零件中随机抽取2个进行检测，则恰有1个不合格品的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，则下列概率中等于的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】国家提出“乡村振兴”战略，各地纷纷响应．某县有7个自然村，其中有4个自然村根据自身特点推出乡村旅游，被评为“旅游示范村”．现要从该县7个自然村里选出3个作宣传，则恰有2个村是“旅游示范村”的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】有10件产品，其中3件是次品，从中不放回地任取2件，若X表示取得次品的件数，则（   ） A． B． C． D．1 题型五、超几何分布的均值与方差 例5．为提高天津市的整体旅游服务质量，市旅游局举办了天津市旅游知识竞赛，参赛单位为本市内各旅游协会，参赛选手为持证导游．现有来自甲旅游协会的导游5名，其中高级导游4名；乙旅游协会的导游5名，其中高级导游2名、从这10名导游中随机选择4人参加比赛． (1)设A为事件“选出的4人中恰有2名高级导游，且这2名高级导游来自同一个旅游协会”，求事件A发生的概率； (2)设ξ为选出的4人中高级导游的人数，求随机变量ξ的分布列和数学期望 【变式5-1】（24-25高二下·江苏·月考）一个盒子里装有大小相同的4个黑球和3个白球，从中不放回地取出3个球，则黑球个数的数学期望是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】为营造浓厚的全国文明城市创建氛围，积极响应创建全国文明城市号召，提高对创城行动的责任感和参与度，学校号召师生利用周末参与创城志愿活动.高二（1）班某小组有男生4人，女生2人，现从中随机选取2人作为志愿者参加活动. (1)求在有女生参加活动的条件下，恰有一名女生参加活动的概率； (2)记参加活动的女生人数为X，求X的分布列及期望、方差. 【变式5-3】某大学的武术协会有10名同学，成员构成如下表所示.表中部分数据不清楚，只知道从这10名同学中随机抽取1名同学，该名同学的专业为数学的概率为. 性别 中文 数学 英语 体育 男 1 1 女 1 1 1 1 现从这10名同学中随机选取3名同学参加该市的武术比赛（每名同学被选到的可能性相等）. (1)求、的值； (2)求选出的3名同学恰为专业互不相同的男生的概率； (3)设为选出的3名同学中是女生或专业为数学的人数，求随机变量的分布列、均值及方差. 题型六、二项分布与超几何分布的综合应用 例6．2025年6月14日，我国成功发射了电磁监测卫星“张衡一号”02星，此举标志着我国在地球物理场空间观测领域的探测能力实现了重大突破.为培育学生的航天精神，某校特地组织了航天知识竞赛活动.竞赛共有、两类试题，每类试题各有5道题，其中每答对1道类试题得5分，每答对1道类试题得10分，答错都不得分.每位参加竞赛的同学从这两类试题中共抽取3道作答（每道试题抽后不放回）.已知某同学类试题中有3道能答对类试题中每道题答对的概率均为. (1)若该同学只在类试题中抽取3道作答，设表示该同学作答这3道试题的总得分，求的分布列和数学期望； (2)若该同学在类试题中抽取1道，在类试题中抽取2道作答，当时，求他在这次竞赛中仅答对1道试题的概率； (3)若该同学在类试题中只抽取2道比抽取3道作答的总得分的期望值高，求的取值范围. 【变式6-1】已知某计算机网络的服务器有三台设备，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断掉．如果三台设备各自能正常工作的概率都为0.8，它们之间互相不影响．设能正常工作的设备数为． (1)求的分布列； (2)求和； (3)求计算机网络不会断掉的概率． 【变式6-2】某家庭进行摸球得压岁钱游戏．规则如下：袋中有大小相同的3个红球，2个蓝球，每次从袋中摸出2个球，若摸到0个红球就没有压岁钱；若摸到1个红球就得压岁钱100元；若摸到2个红球就得压岁钱200元． (1)求摸球一次，摸到红球个数的分布列； (2)求摸球一次，得到的压岁钱的均值． 【变式6-3】有一个摸奖游戏，在一个口袋中装有6个红球和4个黑球，这些球除颜色外完全相同．游戏规定：每位参与者进行次摸球，每次从袋中摸出一个球，有两种摸球方式：一是有放回摸球，每次摸球后将球均放回袋中，再进行下一次摸球，摸到红球的次数记为X；二是不放回摸球，每次摸球后将球均不放回袋中，直接进行下一次摸球，摸到红球的次数记为Y． (1)若， （i）求随机变量Y的分布列和数学期望： （ii）游戏规定摸到的红球数不少于摸到的黑球数则中奖，在这个规则下，设有放回摸球中奖概率为，无放回摸球中奖概率为，求和并比较它们大小． (2)若，求当取得最大值时的k值，并说明理由． 1．某同学参加招聘考试，笔试部分有三个题目，根据经验他答对每一题的概率均为，至少答对两题才能进入面试，则该同学能进入面试的概率为（    ） A． B． C． D． 2．已知随机变量，若随机变量，则（    ） A．14.6 B．18.8 C．21.8 D．30.8 3． 高三某班有的学生数学成绩优秀，若从班中随机找出名学生，那么其中数学成绩优秀的学生数，则取最大值时的值为（    ） A． B． C． D． 4．一个不透明的袋子有10个除颜色不同外，大小、质地完全相同的球，其中有6个黑球，4个白球．现进行如下两个试验，试验一：逐个不放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为，期望方差分别为；试验二：逐个有放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为，期望和方差分别为，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（多选题）袋中有8个大小相同的球，其中3个黑球、5个白球.现从中任取4个球，记这4个球中黑球的个数为，则（    ） A．随机变量服从超几何分布 B． C． D．记这4个球中白球的个数为，则 6．（多选题）若件产品中有件次品和件正品．现从中随机抽取件产品，记取得的次品数为随机变量，则下列结论正确的是（    ） A．若是有放回的抽取，则 B．若是无放回的抽取，则 C．若是有放回的抽取，的数学期望 D．若是无放回的抽取，的数学期望 7．为了备战大理州第27届少数民族传统体育运动会，甲选手进行多轮射弩练习，每轮射击时，甲射中靶心的概率为.若每轮射击命中靶心得1分，未命中靶心得0分，且各轮射击结果相互独立，则进行五轮射击后，甲的总得分不小于3分的概率为 . 8．某射击俱乐部开展青少年射击培训，俱乐部共有6支气枪，其中有2支气枪未经试射校正，有4支气枪已校正，若用校正过的气枪射击，射中目标的概率为0.8，用未校正过的气枪射击，射中目标的概率为0.4，某少年射手任取一支气枪进行1次射击，射中目标的概率是： ；若此少年射手任取一支气枪进行3次射击，每次射击结果相互不影响，则恰有2次射中目标的概率为 ． 9．有一个翻牌游戏，规则如下：每一轮翻牌两次，每次翻出花色牌的概率为，且每次翻牌相互独立.若参与者在一轮翻牌游戏中，翻出的花色牌数不少于1，则获得一份精美礼品（多次参与可获得多份精美礼品）. (1)若甲参与一轮翻牌游戏，求甲获得一份精美礼品的概率； (2)若乙参与三轮翻牌游戏，设乙获得的精美礼品数量为，求的分布列与期望. 10．某大学的武术协会有10名同学，成员构成如下表所示.表中部分数据不清楚，只知道从这10名同学中随机抽取1名同学，该名同学的专业为数学的概率为. 性别 中文 数学 英语 体育 男 1 1 女 1 1 1 1 现从这10名同学中随机选取3名同学参加该市的武术比赛（每名同学被选到的可能性相等）. (1)求、的值； (2)求选出的3名同学恰为专业互不相同的男生的概率； (3)设为选出的3名同学中是女生或专业为数学的人数，求随机变量的分布列、均值及方差. 11 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $