第3章 概率（复习讲义）数学湘教版选择性必修第二册

第3章 概率（复习讲义） 1．理解事件的相互独立性及其概率计算公式． 2．理解条件概率和全概率公式，并能利用条件概率公式与全概率公式解决一些简单的实际问题． 3．掌握离散型随机变量分布列的性质． 4．会利用随机变量的期望方差解决实际问题． 5．掌握二项分布和超几何分布的概念． 6．了解正态分布的含义． 1．条件概率 (1)定义 设A，B为两个事件，且P(A)＞0，称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率． (2)性质 ①条件概率具有一般概率的性质，即0≤P(B|A)≤1； ②如果B，C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)． 2．事件的相互独立性 (1)定义：设A，B为两个事件，如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立． (2)性质： ①若事件A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)， P(A|B)＝P(A)，P(AB)＝P(A)P(B)． ②如果事件A与B相互独立，那么A与B，A与B，A与B也相互独立． 3．离散型随机变量 (1)随机变量 特点：随着试验结果的变化而变化的变量． 表示：常用字母X，Y，ξ，η，…表示． (2)离散型随机变量的特点 所有取值可以一一列举出来． 4．离散型随机变量的分布列 (1)定义：若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1，2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则下表 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，有时也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n表示X的分布列． (2)性质：①pi≥0(i＝1，2，…，n)；②pi＝1. 5．常见的两类特殊分布列 (1)两点分布 若随机变量X服从两点分布，则其分布列为 X 0 1 P 1－p p 其中p＝P(X＝1)称为成功概率． (2)超几何分布 一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝，k＝0，1，2，…，m，即： X 0 1 … m P … 其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*. 如果随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布． 常用结论 1．随机变量的线性关系 若X是随机变量，Y＝aX＋b，a，b是常数，则Y也是随机变量． 2．分布列性质的两个作用 (1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值． (2)随机变量ξ所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求相关事件的概率． 6．独立重复试验与二项分布 独立重复试验 二项分布 定义 在相同条件下重复做n次试验称为n次独立重复试验 在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率是p，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率 计算公式 用Ai(i＝1，2，…，n)表示第i次试验结果，则P(A1A2A3…An) ＝P(A1)P(A2)…P(An) 在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n) 常用结论 1．“二项分布”与“超几何分布”的区别 有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题对应超几何分布，当总体容量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理． 2．两个概率公式 (1)在事件B发生的条件下A发生的概率为P(A|B)＝.注意其与P(B|A)的不同． (2)若事件A1，A2，…，An相互独立，则P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)． 7．离散型随机变量的均值与方差 一般地，若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn (1)均值 称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平． (2)方差 称D(X)＝(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，并称其算术平方根为随机变量X的标准差． 8．均值与方差的性质 (1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b． (2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数)． 9．两点分布与二项分布的均值、方差 (1)若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．　 (2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)． 10．正态曲线的特点 (1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交． (2)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称． (3)曲线在x＝μ处达到峰值 . (4)曲线与x轴之间的面积为1． (5)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移． (6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散． 常用结论 均值与方差的七个常用性质 若Y＝aX＋b，其中a，b是常数，X是随机变量，则 (1)E(k)＝k，D(k)＝0，其中k为常数． (2)E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)． (3)E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)． (4)D(X)＝E(X2)－(E(X))2. (5)若X1，X2相互独立，则E(X1·X2)＝E(X1)·E(X2)． (6)若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)． (7)若X服从二项分布，即X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)． 题型一 事件的相互独立性 【例1】 有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则(　　) A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立 C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立 【变式1-1】甲、乙两队进行篮球决赛，采取三场两胜制(当一队赢得两场胜利时，该队获胜，决赛结束)．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队最终获胜的概率是 ________. 【变式1-2】为了缓解道路拥堵，合理分配车流，有关部门对城市若干道路的流量情况展开调查．调查员甲经实地观察发现，道路K由于较为偏僻，在30分钟内出现车辆的概率仅为0.8.若车辆在任何时刻出现的概率都是独立的，则甲观察10分钟就能发现车辆的概率约为(　　) A．0.3　　　 B．0.5 C．0.4　　　 D．0.6 【变式1-3】一个电路如图所示，A，B，C，D，E，F，G为7个开关，其闭合的概率均为，且是相互独立的，则灯亮的概率是(　　) A．1－ B．1－ C． D． 题型二 条件概率 【例2】已知箱中装有6瓶消毒液，其中4瓶合格品，2瓶不合格品，现从箱中每次取一瓶消毒液，每瓶消毒液被抽到的可能性相同，不放回地抽取两次，若用A表示“第一次取到不合格消毒液”，用B表示“第二次仍取到不合格消毒液”，则P(B|A)＝(　　) A． B． C． D． 【变式2-1】小明的妈妈为小明煮了5个粽子，其中两个腊肉馅、三个豆沙馅，小明随机取出两个，事件A＝“取到的两个为同一种馅”，事件B＝“取到的两个都是豆沙馅”，则P(B|A)＝(　　) A． B． C． D． 【变式2-2】某学校安排音乐、阅读、体育和编程四项课后服务供学生自愿选择参加，甲、乙、丙、丁4名同学每人限报其中一项．已知甲同学报的项目其他同学不报的情况下，4名同学所报项目各不相同的概率为(　　) A． B． C． D． 【变式2-3】三行三列的方阵有9个数aij(i＝1,2,3，j＝1,2,3)，从中任取三个数，已知在取到a22的条件下，至少有两个数位于同行或同列的概率是__________． 题型三 条件概率的性质及应用 【例3】把外形相同的球分装三个盒子，每盒10个．其中，第一个盒子中有7个球标有字母A,3个球标有字母B；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有红球8个，白球2个．试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母A的球，则在第二个盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母B的球，则在第三个盒子中任取一个球．如果第二次取出的是红球，则称试验成功．求试验成功的概率． 【变式3-1】．在某次考试中，要从20道题中随机地抽出6道题，若考生至少能答对其中的4道题即可通过；若至少能答对其中5道题就获得优秀．已知某考生能答对20道题中的10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，则他获得优秀的概率是________． 【变式3-2】已知事件A，B满足P(A|B)＝0.7，P()＝0.3，则(　　) A．P(A∩B)＝0.3 B．P(B|A)＝0.3 C．事件A，B相互独立 D．事件A，B互斥 【变式3-3】 甲箱中有4个红球、2个白球和3个黑球，乙箱中有3个红球、3个白球和3个黑球，先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以A1，A2和A3表示由甲箱取出的球是红球、白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B表示由乙箱取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是(　　) A．事件B与事件Ai(i＝1，2，3)相互独立 B．P(A1B)＝ C．P(B)＝ D．P(A2|B)＝ 题型四 全概率公式 【例4】 设某医院仓库中有10盒同样规格的X光片，已知其中有5 盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的，且甲、乙、丙三厂生产该种X光片的次品率依次为，，.现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张X光片，则取得的X光片是次品的概率为(　　) A．0.08 B．0.1 C．0.15 D．0.2 【变式4-1】葫芦山庄襟渤海之辽阔，仰天角之雄奇，勘葫芦之蕴涵，显人文之魅力，是渤海湾著名的人文景区，是葫芦岛市“葫芦文化与关东民俗文化”代表地和中小学综合实践教育基地．山庄中葫芦品种分为亚腰、瓢、长柄锤、长筒、异型、花皮葫芦等系列．其中亚腰葫芦具有天然迷彩花纹，果实形状不固定，观赏性强，每株亚腰葫芦可结出果实20～80个.2021年初葫芦山庄播种用的一等亚腰葫芦种子中混有2%的二等种子，1.5%的三等种子，1%的四等种子，一、二、三、四等种子长出的葫芦秧结出50颗以上果实的概率分别为0.5，0.15，0.1,0.05，则这批种子所生长出葫芦秧结出50颗以上果实的概率为________. 【变式4-2】一个盒子中有6个白球、4个黑球，从中不放回地每次任取1个，连取2次，求第二次取到白球的概率． 【变式4-3】为了解高中学生的体质健康水平，某市教育局分别从身体形态、身体机能、身体素质等方面对该市高中学生的体质健康水平进行综合测评，并根据2018年版的《国家学生体质健康标准》评定等级，经过统计，甲校有30%的学生的体质健康水平等级为良好，乙校有60%的学生的体质健康水平等级为良好，丙校有50%的学生的体质健康水平等级为良好，且甲、乙、丙这三所学校参加测评的学生人数之比为5∶8∶7．从甲、乙、丙这三所学校参加测评的学生中随机抽取1名学生，则该学生的体质健康水平等级为良好的概率为(　　) A．0.40　　　B．0.47　　　C．0.49　　　D．0.55 题型五 离散型随机变量的分布列及性质 【例5】 袋中有大小相同的5个球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球的号码之和为随机变量X，则X所有可能取值的个数是(　　) A．5 B．9 C．10 D．25 【变式5-1】已知随机变量X的概率分布为P(X＝n)＝(n＝1,2,3，…，10)，则实数a＝________. 【变式5-2】设随机变量X的概率分布列如下表所示： X 0 1 2 P a 若F(x)＝P(X≤x)，则当x的取值范围是[1,2)时，F(x)＝________. 【变式5-3】随机变量X的分布列如下： X －1 0 1 P a b c 其中a，b，c成等差数列，则P(|X|＝1)＝______，公差d的取值范围是________． 题型六 离散型随机变量的均值与方差 【例6】 5个大小相同的小球分别标有数字1,1,2,2,3，把它们放在一个盒子中，现从中任意摸出2个小球，它们的标号分别为x，y，记ξ＝x＋y. (1)求P(ξ＝4)； (2)求随机变量ξ的分布列和数学期望． 【变式6-1】为推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动．该滑雪场的收费标准是滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为，；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为，；两人滑雪时间都不会超过3小时． (1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率； (2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ(单位：元)，求ξ的分布列与数学期望E(ξ)、方差D(ξ)． 【变式6-2】已知6名某疾病病毒密切接触者中有1名感染病毒，其余5名健康，需要通过化验血液来确定感染者．血液化验结果呈阳性的为感染者，呈阴性的为健康． (1)若从这6名密切接触者中随机抽取3名，求抽到感染者的概率； (2)血液化验确定感染者的方法有：①逐一化验；②平均分组混合化验，先将血液样本平均分成若干组，对组内血液混合化验，若化验结果呈阴性，则该组血液不含病毒，若化验结果呈阳性，则对该组的备份血液逐一化验，直至确定感染者． (ⅰ)采取逐一化验，求所需化验次数ξ的分布列及数学期望； (ⅱ)采取平均分组混合化验(每组血液份数相同)，求不同分组方法所需化验次数的数学期望． 你认为选择哪种化验方法更合理？请说明理由． 【变式6-3】有编号为1，2，3的三个小球和编号为1，2，3，4的四个盒子，将三个小球逐个随机地放入四个盒子中，每个小球的放置相互独立． (1)求三个小球恰在同一个盒子中的概率； (2)求三个小球在三个不同盒子且每个小球编号与所在盒子编号不同的概率； (3)记录所有至少有一个小球的盒子，以X表示这些盒子编号的最小值，求E(X)． 题型七 超几何分布 【例7】 在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用．现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示． (1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率； (2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列． 【变式7-1】(例10变问法)若用X表示接受乙种心理暗示的男志愿者人数，求X的分布列． 【变式7-2】(例10变问法)若用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数与男志愿者人数之差，求X的分布列． 【变式7-3】PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的可入肺颗粒物．根据现行国家标准GB3095－2012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．从某自然保护区2020年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值的频数分布如下表所示： PM2.5日均值(微克/立方米) [25，35) [35，45) [45，55) [55，65) [65，75) [75，85] 频数 3 1 1 1 1 3 (1)从这10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，求恰有一天空气质量达到一级的概率； (2)从这10天的数据中任取3天数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的分布列． 题型八 二项分布的期望与方差 【例8】 某地区为贯彻习近平总书记关于“绿水青山就是金山银山”的理念，鼓励农户利用荒坡种植果树．某农户考察三种不同的果树苗A，B，C，经引种试验后发现，引种树苗A的自然成活率为0.8，引种树苗B，C的自然成活率均为p(0.7≤p≤0.9)． (1)任取树苗A，B，C各一棵，估计自然成活的棵数为X，求X的分布列及数学期望E(X)； (2)将(1)中的E(X)取得最大值时p的值作为B种树苗自然成活的概率．该农户决定引种n棵B种树苗，引种后没有自然成活的树苗中有75%的树苗可经过人工栽培技术处理，处理后成活的概率为0.8，其余的树苗不能成活． ①求一棵B种树苗最终成活的概率； ②若每棵树苗最终成活后可获利300元，不成活的每棵亏损50元，该农户为了获利不低于20万元，问至少引种B种树苗多少棵？ 【变式8-1】)高铁和航空的飞速发展不仅方便了人们的出行，更带动了我国经济的巨大发展．据统计，某一年乘坐高铁或飞机从A市到B市的成年人约50万人次，为了解乘客出行的满意度，现从中随机抽取了100人次作为样本，得到下表(单位：人次)． 老年人 中年人 青年人 满意度 乘坐高铁 乘坐飞机 乘坐高铁 乘坐飞机 乘坐高铁 乘坐飞机 10分(满意) 12 1 20 2 20 1 5分(一般) 2 3 6 2 4 9 0分(不满意) 1 0 6 3 4 4 (1)在样本中任取1个，求这个出行人恰好不是青年人的概率； (2)从这一年乘坐高铁从A市到B市的所有成年人中，随机选取2人次，记其中老年人出行的人次为X，以频率作为概率，求X的分布列和数学期望； (3)如果甲将要从A市出行到B市，那么根据表格中的数据，你建议甲是乘坐高铁还是飞机？并说明理由． 【变式8-2】某机构要对某职业的月收入水平做一个调研，选择了A，B，C三个城市，三个城市的从业人数分别为10万，20万，20万，该机构决定用分层抽样的方法从三个城市中抽取1 000个样本进行调查，并分析A，B城市的样本数据后得到以下频率分布直方图： (1)A，B，C三个城市应各抽取多少个样本？并估计A城市的从业人员月收入的平均值； (2)用频率估计概率，A，B城市的从业人数视为无限大，若从A，B两城市的从业人员中各随机抽取2人，X表示抽取的4人中月收入在3 000元以上的人数，求X的分布列和数学期望．(用分数作答) 题型九 正态分布 【例9】2019年2月13日《烟台市全民阅读促进条例》全文发布，旨在保障全民阅读权利，培养全民阅读习惯，提高全民阅读能力，推动文明城市和文化强市建设．某高校为了解条例发布以来全校学生的阅读情况，随机调查了200名学生每周阅读时间x(单位：小时)并绘制如图所示的频率分布直方图． (1)求这200名学生每周阅读时间的样本平均数和样本方差s2(同一组的数据用该组区间中点值代表)； (2)由直方图可以看出，目前该校学生每周的阅读时间x服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2. ①一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若X～N(μ，σ2)， 令Y＝，则Y～N(0，1)，且P(X≤a)＝P. 利用直方图得到的正态分布，求P(X≤10)； ②从该高校的学生中随机抽取20名，记Z表示这20名学生中每周阅读时间超过10小时的人数，求P(Z≥2)(结果精确到0.000 1)以及Z的均值． 参考数据：≈，0.773 419≈0.007 6.若Y～N(0，1)，则P(Y≤0.75)＝0.773 4. 【变式9-1】已知随机变量X服从正态分布N(3，1)，且P(X≥4)＝0.158 7，则P(2<X<4)＝(　　) A．0.682 6　　　　　　　 B．0.341 3 C．0.460 3 D．0.920 7 【变式9-2】某校在一次月考中有900人参加考试，数学考试的成绩服从正态分布X～N(90，a2)(a>0，试卷满分150分)，统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的，则此次月考中数学考试成绩不低于110分的学生约有________人． 基础巩固通关测 1．袋中有a个白球和b个黑球，不放回摸球两次，问第二次摸出白球的概率为(　　) A． B． C． D． 2．(2022·日照三模)若将整个样本空间想象成一个1×1的正方形，任何事件都对应样本空间的一个子集，且事件发生的概率对应子集的面积，则如图所示的涂色部分的面积表示(　　) A．事件A发生的概率 B．事件B发生的概率 C．事件B不发生条件下事件A发生的概率 D．事件A，B同时发生的概率 3．5张卡片上分别写有数字1,2,3,4,5，每次从中任取一张，连取两次．若第一次取出的卡片不放回，则第二次取出的卡片上的数字大于第一次取出的数字的概率为(　　) A． B． C． D． 4．袋中有3个白球、5个黑球，从中任取两个，可以作为随机变量的是(　　) A．至少取到1个白球 B．至多取到1个白球 C．取到白球的个数 D．取到的球的个数 5．已知某一随机变量ξ的分布列如下表所示，若E(ξ)＝6.3，则a的值为(　　) ξ a 7 9 P b 0.1 0.4 A．4 B．5 C．6 D．7 6．若随机变量X的分布列为 X －2 －1 0 1 2 3 P 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1 则当P(X＜a)＝0.8时，实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，2] B．[1,2] C．(1,2] D．(1,2) 7．从一批含有13件正品，2件次品的产品中不放回地抽3次，每次抽取1件，设抽取的次品数为ξ， 则E(5ξ＋1)＝(　　) A．2 B．1 C．3 D．4 8．小林从A地出发去往B地，1小时内到达的概率为0.4,1小时10分到达的概率为0.3,1小时20分到达的概率为0.3.现规定1小时内到达的奖励为200元，若超过1小时到达，则每超过1分钟奖励少2元．设小林最后获得的奖励为X元，则E(X)＝(　　) A．176 B．182 C．184 D．186 9．(多选题)随机变量ξ的分布列是： ξ 1 2 3 P a b 若E(ξ)＝，随机变量ξ的方差为D(ξ)，则下列结论正确的有(　　) A．a＝，b＝ B．a＝，b＝ C．D(ξ)＝ D．D(ξ)＝ 10．奥运会射击比赛中，某选手射击一次击中10环的概率是，连续两次均击中10环的概率是，已知该选手某次击中10环，则随后一次击中10环的概率是(　　) A.　　　　　　　　　 B． C. D. 11．袋中装有形状和大小完全相同的4个黑球，3个白球，从中不放回地依次随机摸取两球，在第一次摸到黑球的条件下，第二次摸到白球的概率是(　　) A. B． C. D. 12．甲、乙两运动员进行乒乓球比赛，采用7局4胜制．在一局比赛中，先得11分的运动员为胜方，但打到10平以后，先多得2分者为胜方．在10平后，双方实行轮换发球法，每人每次只发1个球．若在某局比赛中，甲发球赢球的概率为，甲接发球赢球的概率为，则在比分为10∶10后甲先发球的情况下，甲以13∶11赢下此局的概率为(　　) A. B． C. D. 13．某机械研究所对新研发的某批次机械元件进行寿命追踪调查，随机抽查的200个机械元件情况如下： 使用时 间/天 10～20 21～30 31～40 41～50 51～60 个数 10 40 80 50 20 若以频率为概率，现从该批次机械元件中随机抽取3个，则至少有2个元件的使用寿命在30天以上的概率为(　　) A. B． C. D. 14．市场调查发现，大约的人喜欢在网上购买家用小电器，其余的人则喜欢在实体店购买家用小电器．经工商局抽样调查，发现网上购买的家用小电器的合格率约为，而实体店里的家用小电器的合格率约为.现工商局接到一个关于家用小电器不合格的投诉，则这台被投诉的家用小电器是在网上购买的可能性是(　　) A. B． C. D. 15．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p, 各成员的支付方式相互独立．设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，D(X)＝2.4，P(X＝4)＜P(X＝6)，则p＝(　　) A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.3 16．已知随机变量X服从正态分布N(a，4)，且P(X＞1)＝0.5，P(X＞2)＝0.3，则P(X＜0)等于(　　) A．0.2　　　　　　　　　 B．0.3 C．0.7 D．0.8 17．口袋中有编号分别为1，2，3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，则取出的球的最大编号X的期望为(　　) A. B． C．2 D. 18．一试验田某种作物一株生长果实个数x服从正态分布N(90，σ2)，且P(x＜70)＝0.2，从试验田中随机抽取10株，果实个数在[90，110]的株数记作随机变量X，且X服从二项分布，则X的方差为(　　) A．3 B．2.1 C．0.3 D．0.21 19．设X～N(1，1)，其正态分布密度曲线如图所示，那么从正方形ABCD中随机取10 000个点，则取自阴影部分的点的个数的估计值是(　　) (注：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈0.682 7) A．7 539 B．6 038 C．7 028 D．6 587 20．已知随机变量X＋η＝8，若X～B(10，0.6)，则E(η)，D(η)分别是(　　) A．6，2.4 B．2，2.4 C．2，5.6 D．6，5.6 21．已知随机事件M，N，P(M)＝，P(N)＝，P(M|N)＝，则P(N|M)的值为________． 22．甲、乙两人向同一目标各射击一次，已知甲命中目标的概率为0.6，乙命中目标的概率为0.5，已知目标至少被命中1次，则乙命中目标的概率为________． 23．某同学在上学路上要经过两个红绿灯十字路口，已知他在第一个十字路口遇到红灯的概率为.若他在第一个十字路口遇到红灯，则在第二个十字路口遇到红灯的概率为；若他在第一个十字路口遇到绿灯，则在第二个十字路口遇到红灯的概率为.记他在上学路上遇到红灯的次数为ξ，则P(ξ＝0)＝________，ξ的数学期望为________． 24．夏秋两季，生活在长江口外浅海域的中华鱼洄游到长江，历经三千多公里的溯流搏击，回到金沙江一带产卵繁殖，产后待幼鱼长大到15厘米左右，又携带它们旅居外海．一个环保组织曾在金沙江中放生一批中华鱼鱼苗，该批鱼苗中的雌性个体能长成熟的概率为0.15，雌性个体长成熟又能成功溯流产卵繁殖的概率为0.05，若该批鱼苗中的一个雌性个体在长江口外浅海域已长成熟，则其能成功溯流产卵繁殖的概率为________． 25．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立．则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为________，该选手回答了5个问题结束的概率为________． 26．若随机变量ξ的分布列如下表所示，E(ξ)＝1.6，则a－b＝________． ξ 0 1 2 3 P 0.1 a b 0.1 27．某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%；如果失败，一年后将丧失全部资金的50%，下表是过去200例类似项目开发的实施结果： 投资成功 投资失败 192例 8例 则估计该公司一年后可获收益的均值是________元． 28．现有A，B，C三个项目，已知某投资公司投资A项目的概率为，投资B，C项目的概率均为p，且投资这3个项目是相互独立的，记X是该投资公司投资项目的个数，若P(X＝0)＝，则随机变量X的数学期望E(X)＝________． 29．已知甲袋中装有6个红球、4个白球；乙袋中装有8个红球、6个白球，随机取一只袋子再从该袋中取一球，求该球是红球的概率． 30．某企业使用新技术对某款芯片进行试生产，在试产初期，该款芯片的生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测评估工序，包括智能自动检测与人工抽检．已知该款芯片在生产中，前三道工序的次品率分别为P1＝，P2＝，P3＝. (1)求该款芯片生产在进入第四道工序前的次品率； (2)如果第四道工序中智能自动检测为次品的芯片会被自动淘汰，合格的芯片进入流水线并由工人进行人工抽查检验．在芯片智能自动检测显示合格率为90%的条件下，求工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品的概率． 31．某中学有4位学生申请A，B，C三所大学的自主招生．若每位学生只能申请其中一所大学，且申请其中任何一所大学是等可能的． (1)求恰有2人申请A大学的概率； (2)求被申请大学的个数X的概率分布列与数学期望E(X)． 32．从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，. (1)记X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望； (2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率． 33．已知某种植物种子每粒成功发芽的概率都为，某植物研究所分二个小组分别独立进行该种子的发芽试验，每次试验种一粒种子，每次试验结果相互独立．假定某次试验种子发芽则称该次试验是成功的，如果种子没有发芽，则称该次试验是失败的． (1)第一小组做了四次试验，求该小组恰有两次失败的概率； (2)第二小组做了四次试验，设试验成功与失败的次数的差的绝对值为X，求X的分布列． 34.为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动．该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为，；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为，；两人滑雪时间都不会超过3小时． (1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率； (2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列． 36． “公平正义”是社会主义和谐社会的重要特征，是社会主义法治理念的价值追求．“考试”作为一种公平公正选拔人才的有效途径，正被广泛采用．每次考试过后，考生最关心的问题是：自己的考试名次是多少？自己能否被录取？能获得什么样的职位？…… 某单位准备通过考试(按照高分优先录取的原则)招录300人，其中275个高薪职位和25个普薪职位．实际报名人数为2 000，考试满分为400分(一般地，对于一次成功的考试来说，考试成绩应服从正态分布)．考试后考试成绩的部分统计结果如下：考试平均成绩是180分，360分及其以上的高分考生有30人． (1)最低录取分数是多少？(结果保留整数) (2)考生甲的成绩为286分，若甲被录取，能否获得高薪职位？若不能被录取，请说明理由． 参考资料： (1)当X～N(μ，σ2)时，令Y＝，则Y～N(0，1)． (2)当Y～N(0，1)时，P(Y≤2.17)≈0.985，P(Y≤1.28)≈0.900，P(Y≤1.09)≈0.863，P(Y≤1.04)≈0.85. 37．某烘焙店加工一个成本为60元的蛋糕，然后以每个120元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的这种蛋糕作厨余垃圾处理． (1)若烘焙店一天加工16个这种蛋糕，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：个，n∈N)的函数解析式； (2)烘焙店记录了100天这种蛋糕的日需求量(单位：个)，整理得下表： 日需求量n 14 15 16 17 18 19 20 频数 10 20 16 16 15 13 10 以这100天记录的日需求量的频率作为日需求量发生的概率． ①若烘焙店一天加工16个这种蛋糕，X表示日利润(单位：元)，求X的分布列、数学期望及方差； ②若烘焙店一天加工16个或17个这种蛋糕，仅从获得利润大的角度考虑，你认为应加工16个还是17个？请说明理由． 能力提升进阶练 1．(多选题)已知A，B是两个随机事件，0<P(A)<1，下列命题正确的是(　　) A．若A，B相互独立，P(B|A)＝P(B) B．若事件A⊆B，则P(B|A)＝1 C．若A，B是对立事件，则P(B|A)＝1 D．若A，B是互斥事件，则P(B|A)＝0 2．已知，分别为随机事件A，B的对立事件，P(A)>0，P(B)>0，则下列说法正确的是(　　) A．P(B|A)＋P(|A)＝P(A) B．若P(A)＋P(B)＝1，则 A，B对立 C．若A，B独立，则P(A|B)＝P(A) D．若A，B互斥，则P(A|B)＋ P(B|A)＝1 3．已知离散型随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3，且P(X≥1)＝，P(X＝3)＝，若X的数学期望E(X)＝，则D(4X－3)＝(　　) A．19 B．16 C． D． 4．(多选题)设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝(k＝1,2,5)，a∈R，E(ξ)，D(ξ)分别为随机变量ξ的数学期望与方差，则下列结论正确的是(　　) A．P(0<ξ<3.5)＝ B．E(3ξ＋1)＝7 C．D(ξ)＝2 D．D(3ξ＋1)＝6 5．(多选题)已知投资A，B两种项目获得的收益分别为X，Y，分布列如下表，则(　　) X/百万 －1 0 2 P 0.2 m 0.6 Y/百万 0 1 2 P 0.3 0.4 n A．m＋n＝0.5 B．E(2X＋1)＝4 C．投资两种项目的收益期望一样多 D．投资A项目的风险比B项目高 6．某保险公司把被保险人分为3类：“谨慎的”“一般的”“冒失的”．统计资料表明，这3类人在一年内发生事故的概率依次为0.05，0.15和0.3.如果“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”占50%，“冒失的”占30%，那么一个被保险人在一年内出事故的概率为________． 7．夏秋两季，生活在长江口外浅海域的中华鱼洄游到长江，历经三千多公里的溯流搏击．回到金沙江一带产卵繁殖，产后待幼鱼长大到15厘米左右，又携带它们旅居外海．一个环保组织曾在金沙江中放生一批中华鱼鱼苗，该批鱼苗中的雌性个体能长成熟的概率为0.15，雌性个体长成熟又能成功溯流产卵繁殖的概率为0.05，若该批鱼苗中的一个雌性个体在长江口外浅海域已长成熟，则其能成功溯流产卵繁殖的概率为________． 8．某校从学生文艺部6名成员(4男2女)中，挑选2人参加学校举办的文艺汇演活动． (1)求男生甲被选中的概率； (2)在已知男生甲被选中的条件下，女生乙被选中的概率； (3)在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下，求女生乙被选中的概率． 9．在A，B，C三个地区发生了流感，这三个地区分别有6%,5%,4%的人患了流感，假设这三个地区的人口数的比为5∶7∶8，现从这三个地区中任意选取一个人． (1)求这个人患流感的概率； (2)如果此人患流感，求此人选自A地区的概率． 10．某商场举行抽奖活动，只要顾客一次性购物满180元就有一次抽奖机会．抽奖方法如下：一个抽奖箱中装有6个形状、大小完全相同的小球(4个红球和2个黄球)．顾客从中随机抽取2个，若2个都是黄球则奖励10元；若只有1个黄球则奖励3元，其余情况都无奖励．则每次抽奖所得奖励的数学期望是________元． 11．在1,2,3，…，9这9个自然数中，任取3个数，其中恰有1个偶数的概率是________(用数字作答)，记ξ为这3个数中两数相邻的组数(例如：若取出的数为1,2,3，则有两组相邻的数1,2和2,3，此时ξ的值是2)，则E(2ξ＋1)＝________. 12．甲、乙两个袋子中，各放有大小和形状相同的小球若干．每个袋子中标号为0的小球为1个，标号为1的2个，标号为2的n个．从一个袋子中任取两个球，取到的标号都是2的概率是. (1)求n的值； (2)从甲袋中任取两个球，已知其中一个球的标号是1，求另一个球标号也是1的概率； (3)从两个袋子中各取一个小球，用ξ表示这两个小球的标号之和，求ξ的分布列和E(ξ)． 13．在“低碳生活知识竞赛”第一环节测试中，依次回答A，B，C三道题，且A，B，C三道题的分值分别为30分、20分、20分．竞赛规定：选手累计得分不低于40分即通过测试，并立即停止答题．已知甲选手回答A，B，C三道题正确的概率分别为0.1，0.5，0.5，乙选手回答A，B，C三道题正确的概率分别为0.2,0.4,0.4，且回答各题时相互之间没有影响． (1)求甲通过测试的概率； (2)设Y为本次测试中乙的得分，求Y的分布列以及期望； (3)请根据测试结果来分析，甲、乙两人谁通过测试的概率更大？ 14．在某中学篮球体育测试要求学生完成“立定投篮”和“三步上篮”两项测试，“立定投篮”与“三步上篮”各有2次投篮机会，先进行“立定投篮”测试，如果合格才有机会进行“三步上篮”测试，为了节约时间，每项只需且必须投中一次即为合格．小明同学“立定投篮”的命中率为，“三步上篮”的命中率为，假设小明不放弃任何一次投篮机会且每次投篮是否命中互不影响． (1)求小明同学一次测试合格的概率； (2)设测试过程中小明投篮的次数为ξ，求ξ的分布列． 15.为研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门随机选取100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100 km/h的有40人，不超过100 km/h 的有15人；在45名女性驾驶员中，平均车速超过100 km/h的有20人，不超过100 km/h的有25人． (1)在被调查的驾驶员中，从平均车速不超过100 km/h的人中随机抽取2人，求这2人恰好有1名男性驾驶员和1名女性驾驶员的概率； (2)以上述样本数据估计总体，从高速公路上行驶的家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车平均车速超过100 km/h且为男性驾驶员的车辆为X，求X的分布列． 16．某企业质量检验员为了检测生产线上零件的质量情况，从生产线上随机抽取了80个零件进行测量，根据所测量的零件尺寸(单位：mm)，得到如下的频率分布直方图： (1)根据频率分布直方图，求这80个零件尺寸的中位数(结果精确到0.01)； (2)若从这80个零件中尺寸位于[62.5，64.5)之外的零件中随机抽取4个，设X表示尺寸在[64.5，65]上的零件个数，求X的分布列及数学期望E(X)； (3)已知尺寸在[63.0，64.5)上的零件为一等品，否则为二等品，将这80个零件尺寸的样本频率视为概率．现对生产线上生产的零件进行成箱包装出售，每箱100个．企业在交付买家之前需要决策是否对每箱的所有零件进行检验，已知每个零件的检验费用为99元．若检验，则将检验出的二等品更换为一等品；若不检验，如果有二等品进入买家中，企业要向买家对每个二等品支付500元的赔偿费用．现对一箱零件随机抽检了11个，结果有1个二等品，以整箱检验费用与赔偿费用之和的期望值作为决策依据，该企业是否对该箱余下的所有零件进行检验？请说明理由． 17．生产A，B两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品．现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下表： 测试指标 [70，76) [76，82) [82，88) [88，94) [94，100] 元件A 8 12 40 32 8 元件B 7 18 40 29 6 (1)试分别估计元件A，元件B为正品的概率； (2)生产一件元件A，若是正品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件元件B，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元．在(1)的前提下， ①记X为生产1件元件A和1件元件B所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望； ②求生产5件元件B所获得的利润不少于140元的概率． 32 / 32 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 概率（复习讲义） 1．理解事件的相互独立性及其概率计算公式． 2．理解条件概率和全概率公式，并能利用条件概率公式与全概率公式解决一些简单的实际问题． 3．掌握离散型随机变量分布列的性质． 4．会利用随机变量的期望方差解决实际问题． 5．掌握二项分布和超几何分布的概念． 6．了解正态分布的含义． 1．条件概率 (1)定义 设A，B为两个事件，且P(A)＞0，称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率． (2)性质 ①条件概率具有一般概率的性质，即0≤P(B|A)≤1； ②如果B，C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)． 2．事件的相互独立性 (1)定义：设A，B为两个事件，如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立． (2)性质： ①若事件A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)， P(A|B)＝P(A)，P(AB)＝P(A)P(B)． ②如果事件A与B相互独立，那么A与B，A与B，A与B也相互独立． 3．离散型随机变量 (1)随机变量 特点：随着试验结果的变化而变化的变量． 表示：常用字母X，Y，ξ，η，…表示． (2)离散型随机变量的特点 所有取值可以一一列举出来． 4．离散型随机变量的分布列 (1)定义：若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1，2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则下表 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，有时也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n表示X的分布列． (2)性质：①pi≥0(i＝1，2，…，n)；②pi＝1. 5．常见的两类特殊分布列 (1)两点分布 若随机变量X服从两点分布，则其分布列为 X 0 1 P 1－p p 其中p＝P(X＝1)称为成功概率． (2)超几何分布 一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝，k＝0，1，2，…，m，即： X 0 1 … m P … 其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*. 如果随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布． 常用结论 1．随机变量的线性关系 若X是随机变量，Y＝aX＋b，a，b是常数，则Y也是随机变量． 2．分布列性质的两个作用 (1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值． (2)随机变量ξ所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求相关事件的概率． 6．独立重复试验与二项分布 独立重复试验 二项分布 定义 在相同条件下重复做n次试验称为n次独立重复试验 在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率是p，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率 计算公式 用Ai(i＝1，2，…，n)表示第i次试验结果，则P(A1A2A3…An) ＝P(A1)P(A2)…P(An) 在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n) 常用结论 1．“二项分布”与“超几何分布”的区别 有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题对应超几何分布，当总体容量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理． 2．两个概率公式 (1)在事件B发生的条件下A发生的概率为P(A|B)＝.注意其与P(B|A)的不同． (2)若事件A1，A2，…，An相互独立，则P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)． 7．离散型随机变量的均值与方差 一般地，若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn (1)均值 称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平． (2)方差 称D(X)＝(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，并称其算术平方根为随机变量X的标准差． 8．均值与方差的性质 (1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b． (2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数)． 9．两点分布与二项分布的均值、方差 (1)若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．　 (2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)． 10．正态曲线的特点 (1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交． (2)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称． (3)曲线在x＝μ处达到峰值 . (4)曲线与x轴之间的面积为1． (5)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移． (6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散． 常用结论 均值与方差的七个常用性质 若Y＝aX＋b，其中a，b是常数，X是随机变量，则 (1)E(k)＝k，D(k)＝0，其中k为常数． (2)E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)． (3)E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)． (4)D(X)＝E(X2)－(E(X))2. (5)若X1，X2相互独立，则E(X1·X2)＝E(X1)·E(X2)． (6)若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)． (7)若X服从二项分布，即X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)． 题型一 事件的相互独立性 【例1】 有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则(　　) A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立 C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立 B　解析：由题意可知，两点数和为8的所有可能为：(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，两点数和为7的所有可能为：(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)，P(甲)＝，P(乙)＝，P(丙)＝＝，P(丁)＝＝. A：P(甲丙)＝0≠P(甲)P(丙)，B：P(甲丁)＝＝P(甲)·P(丁)， C：P(乙丙)＝≠P(乙)P(丙)，D：P(丙丁)＝0≠P(丙)·P(丁)． 【变式1-1】甲、乙两队进行篮球决赛，采取三场两胜制(当一队赢得两场胜利时，该队获胜，决赛结束)．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队最终获胜的概率是 ________. 0.6　解析：甲队最终获胜包含3种情况： ①前两场甲均胜，概率为p1＝0.6×0.5＝0.3， ②第一场甲胜，第二场甲负，第三场甲胜，概率为p2＝0.6×0.5×0.6＝0.18， ③第一场甲负，第二场甲胜，第三场甲胜，概率为p3＝0.4×0.5×0.6＝0.12， 所以甲队最终获胜的概率是p＝p1＋p2＋p3＝0.3＋0.18＋0.12＝0.6. 【变式1-2】为了缓解道路拥堵，合理分配车流，有关部门对城市若干道路的流量情况展开调查．调查员甲经实地观察发现，道路K由于较为偏僻，在30分钟内出现车辆的概率仅为0.8.若车辆在任何时刻出现的概率都是独立的，则甲观察10分钟就能发现车辆的概率约为(　　) A．0.3　　　 B．0.5 C．0.4　　　 D．0.6 C　解析：由题意可知，在30分钟内出现车辆的概率仅为0.8,30分钟内不出现车辆的概率为0.2,30分钟内不出现车辆即是连续三个10分钟不出现车辆，即p3＝0.2⇒p约等于0.6，所以观察10分钟就能发现车辆的概率约为1－0.6＝0.4.故选C． 【变式1-3】一个电路如图所示，A，B，C，D，E，F，G为7个开关，其闭合的概率均为，且是相互独立的，则灯亮的概率是(　　) A．1－ B．1－ C． D． A　解析：电路由上到下有3个分支并联，开关A，B所在的分支不通的概率为1－×＝，开关C，D所在的分支不通的概率为×＝，开关E，F，G所在的分支不通的概率为1－×＝，所以灯亮的概率是1－××＝1－.故选A． 题型二 条件概率 【例2】已知箱中装有6瓶消毒液，其中4瓶合格品，2瓶不合格品，现从箱中每次取一瓶消毒液，每瓶消毒液被抽到的可能性相同，不放回地抽取两次，若用A表示“第一次取到不合格消毒液”，用B表示“第二次仍取到不合格消毒液”，则P(B|A)＝(　　) A． B． C． D． B　解析：用A表示“第一次取到不合格消毒液”，则P(A)＝，用B表示“第二次仍取到不合格消毒液”，则P(AB)＝×＝，则由条件概率得P(B|A)＝＝×3＝. 【变式2-1】小明的妈妈为小明煮了5个粽子，其中两个腊肉馅、三个豆沙馅，小明随机取出两个，事件A＝“取到的两个为同一种馅”，事件B＝“取到的两个都是豆沙馅”，则P(B|A)＝(　　) A． B． C． D． B　解析：由题意，P(A)＝＝，P(AB)＝＝，所以P(B|A)＝＝.故选B． 【变式2-2】某学校安排音乐、阅读、体育和编程四项课后服务供学生自愿选择参加，甲、乙、丙、丁4名同学每人限报其中一项．已知甲同学报的项目其他同学不报的情况下，4名同学所报项目各不相同的概率为(　　) A． B． C． D． C　解析：设A＝{甲同学报的项目其他同学不报}, B＝{4名同学所报项目各不相同}，由题得n(A)＝4×3×3×3，n(AB)＝4×3×2×1，所以P(B|A)＝＝＝.故选C． 【变式2-3】三行三列的方阵有9个数aij(i＝1,2,3，j＝1,2,3)，从中任取三个数，已知在取到a22的条件下，至少有两个数位于同行或同列的概率是__________． 　解析：设事件A＝{任取的三个数中有a22}，事件B＝{三个数至少有两个数位于同行或同列}，则＝{三个数互不同行且不同列}，依题意得n(A)＝C＝28，n(A)＝2，故P(|A)＝＝＝，则P(B|A)＝1－P(|A)＝1－＝.即已知取到a22的条件下，至少有两个数位于同行或同列的概率为. 题型三 条件概率的性质及应用 【例3】把外形相同的球分装三个盒子，每盒10个．其中，第一个盒子中有7个球标有字母A,3个球标有字母B；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有红球8个，白球2个．试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母A的球，则在第二个盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母B的球，则在第三个盒子中任取一个球．如果第二次取出的是红球，则称试验成功．求试验成功的概率． 解：设A＝{从第一个盒子中取得标有字母A的球}． B＝{从第一个盒子中取得标有字母B的球}， R＝{第二次取出的球是红球}，W＝{第二次取出的球是白球}，则容易求得 P(A)＝，P(B)＝，P(R|A)＝，P(W|A)＝，P(R|B)＝，P(W|B)＝. 事件“试验成功”表示为RA∪RB，又事件RA与事件RB互斥，故由概率的加法公式，得P(RA∪RB)＝P(RA)＋P(RB)＝P(R|A)·P(A)＋P(R|B)·P(B)＝×＋×＝. 【变式3-1】．在某次考试中，要从20道题中随机地抽出6道题，若考生至少能答对其中的4道题即可通过；若至少能答对其中5道题就获得优秀．已知某考生能答对20道题中的10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，则他获得优秀的概率是________． 　解析：设事件A为“该考生6道题全答对”，事件B为“该考生答对了其中5道题，另一道答错”，事件C为“该考生答对了其中4道题，而另2道题答错”，事件D为“该考生在这次考试中通过”，事件E为“该考生在考试中获得优秀”，则A，B，C两两互斥，且D＝A∪B∪C，E＝A∪B．由古典概型概率计算的公式及概率的加法公式可知P(D)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝＋＋＝，P(AD)＝P(A)，P(BD)＝P(B)，P(E|D)＝P(A∪B|D)＝P(A|D)＋P(B|D)＝＋＝＋＝.故所求的概率为. 【变式3-2】已知事件A，B满足P(A|B)＝0.7，P()＝0.3，则(　　) A．P(A∩B)＝0.3 B．P(B|A)＝0.3 C．事件A，B相互独立 D．事件A，B互斥 C　解析：由题设P(A)＝1－P()＝0.7＝P(A|B)， 所以P(AB)＝P(A|B)P(B)＝P(A)P(B)，即A，B相互独立，事件A，B可能同时发生，则事件A，B不互斥， 而P(B)未知，无法确定P(A∩B)，P(B|A)． 故选C． 【变式3-3】 甲箱中有4个红球、2个白球和3个黑球，乙箱中有3个红球、3个白球和3个黑球，先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以A1，A2和A3表示由甲箱取出的球是红球、白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B表示由乙箱取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是(　　) A．事件B与事件Ai(i＝1，2，3)相互独立 B．P(A1B)＝ C．P(B)＝ D．P(A2|B)＝ BD　解析：P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝， 先A1发生，则乙袋中有4个红球、3个白球、3个黑球，P(B|A1)＝， 先A2发生，则乙袋中有3个红球、4个白球、3个黑球，P(B|A2)＝， 先A3发生，则乙袋中有3个红球、3个白球、4个黑球，P(B|A3)＝． P(A1B)＝P(B|A1)P(A1)＝，B正确． P(A2B)＝P(B|A2)P(A2)＝， P(A3B)＝P(B|A3)P(A3)＝， P(B)＝P(B|A1)P(A1)＋P(B|A2)P(A2)＋P(B|A3)P(A3)＝，C错误； P(A1)P(B)≠P(A1B)，A错误； P(A2|B)＝，D正确．故选BD． 题型四 全概率公式 【例4】 设某医院仓库中有10盒同样规格的X光片，已知其中有5 盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的，且甲、乙、丙三厂生产该种X光片的次品率依次为，，.现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张X光片，则取得的X光片是次品的概率为(　　) A．0.08 B．0.1 C．0.15 D．0.2 A　解析：以A1，A2，A3分别表示取得的这盒X光片是由甲厂、乙厂、丙厂生产的， B表示取得的X光片为次品，P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝， P(B|A1)＝，P(B|A2)＝，P(B|A3)＝. 则由全概率公式，所求概率为P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3) ＝×＋×＋×＝0.08. 【变式4-1】葫芦山庄襟渤海之辽阔，仰天角之雄奇，勘葫芦之蕴涵，显人文之魅力，是渤海湾著名的人文景区，是葫芦岛市“葫芦文化与关东民俗文化”代表地和中小学综合实践教育基地．山庄中葫芦品种分为亚腰、瓢、长柄锤、长筒、异型、花皮葫芦等系列．其中亚腰葫芦具有天然迷彩花纹，果实形状不固定，观赏性强，每株亚腰葫芦可结出果实20～80个.2021年初葫芦山庄播种用的一等亚腰葫芦种子中混有2%的二等种子，1.5%的三等种子，1%的四等种子，一、二、三、四等种子长出的葫芦秧结出50颗以上果实的概率分别为0.5，0.15，0.1,0.05，则这批种子所生长出葫芦秧结出50颗以上果实的概率为________. 0.482 5　解析：设这批种子中任选一颗是一、二、三、四等种子的事件是A1，A2，A3，A4，则Ω＝A1∪A2∪A3∪A4，且A1，A2，A3，A4两两互斥，设B＝{从这批种子中任选一颗，所生长出葫芦秧结出50颗以上果实}， 则P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＋P(A4)P(B|A4) ＝95.5%×0.5＋2%×0.15＋1.5%×0.1＋1%×0.05＝0.482 5. 【变式4-2】一个盒子中有6个白球、4个黑球，从中不放回地每次任取1个，连取2次，求第二次取到白球的概率． 解：A＝{第一次取到白球}，B＝{第二次取到白球}． 因为B＝AB∪B，且AB与B互斥，所以P(B)＝P(AB)＋P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝×＋×＝0.6. 【变式4-3】为了解高中学生的体质健康水平，某市教育局分别从身体形态、身体机能、身体素质等方面对该市高中学生的体质健康水平进行综合测评，并根据2018年版的《国家学生体质健康标准》评定等级，经过统计，甲校有30%的学生的体质健康水平等级为良好，乙校有60%的学生的体质健康水平等级为良好，丙校有50%的学生的体质健康水平等级为良好，且甲、乙、丙这三所学校参加测评的学生人数之比为5∶8∶7．从甲、乙、丙这三所学校参加测评的学生中随机抽取1名学生，则该学生的体质健康水平等级为良好的概率为(　　) A．0.40　　　B．0.47　　　C．0.49　　　D．0.55 C　解：[从甲、乙、丙这三所学校参加测评的学生中随机抽取1名学生， 记“该学生来自甲校”为事件A1，“该学生来自乙校”为事件A2，“该学生来自丙校”为事件A3， 则P(A1)＝＝0.25，P(A2)＝＝0.4，P(A3)＝＝0.35． 记“该学生的体质健康水平等级为良好”为事件B，则P(B|A1)＝0.3，P(B|A2)＝0.6，P(B|A3)＝0.5， 所以P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝0.25×0.3＋0.4×0.6＋0.35×0.5＝0.49．故选C． 题型五 离散型随机变量的分布列及性质 【例5】 袋中有大小相同的5个球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球的号码之和为随机变量X，则X所有可能取值的个数是(　　) A．5 B．9 C．10 D．25 B　解析：由于抽球是在有放回条件下进行的，所以每次抽取的球号均可能是1,2,3,4,5中某个，故两次抽取球号码之和X的可能取值是2,3,4,5,6,7,8,9,10，共9个．故选B． 【变式5-1】已知随机变量X的概率分布为P(X＝n)＝(n＝1,2,3，…，10)，则实数a＝________. 　解析：依题意，P(X＝n)＝a，由分布列的性质得(X＝n)＝a＝＝1，解得a＝，即实数a＝. 【变式5-2】设随机变量X的概率分布列如下表所示： X 0 1 2 P a 若F(x)＝P(X≤x)，则当x的取值范围是[1,2)时，F(x)＝________. 　解析：由分布列的性质，得a＋＋＝1，所以a＝，而x∈[1,2)，所以F(x)＝P(X≤x)＝P(X≤1)＝＋＝. 【变式5-3】随机变量X的分布列如下： X －1 0 1 P a b c 其中a，b，c成等差数列，则P(|X|＝1)＝______，公差d的取值范围是________． 　　解析：因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c.又a＋b＋c＝1，所以b＝，所以P(|X|＝1)＝a＋c＝.又a＝－d，c＝＋d，根据分布列的性质，得0≤－d≤，0≤＋d≤，解得－≤d≤. 题型六 离散型随机变量的均值与方差 【例6】 5个大小相同的小球分别标有数字1,1,2,2,3，把它们放在一个盒子中，现从中任意摸出2个小球，它们的标号分别为x，y，记ξ＝x＋y. (1)求P(ξ＝4)； (2)求随机变量ξ的分布列和数学期望． 解：(1)从盒中摸出球的基本事件总数为C＝10，ξ＝4的事件数有CC＋C＝3，故P(ξ＝4)＝. (2)ξ的可能取值为2,3,4,5， 所以P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，P(ξ＝4)＝＝，P(ξ＝5)＝＝， 所以ξ的分布列为 ξ 2 3 4 5 P 数学期望为E(ξ)＝2×＋3×＋4×＋5×＝3.6. 【变式6-1】为推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动．该滑雪场的收费标准是滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为，；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为，；两人滑雪时间都不会超过3小时． (1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率； (2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ(单位：元)，求ξ的分布列与数学期望E(ξ)、方差D(ξ)． 解：(1)两人所付费用相同，相同的费用可能为0元、40元、80元． 两人都付0元的概率为p1＝×＝； 两人都付40元的概率为p2＝×＝； 两人都付80元的概率为 p3＝×＝×＝. 所以，两人所付费用相同的概率p＝p1＋p2＋p3＝＋＋＝. (2)ξ的可能取值为0,40,80,120,160，且 P(ξ＝0)＝×＝， P(ξ＝40)＝×＋×＝， P(ξ＝80)＝×＋×＋×＝， P(ξ＝120)＝×＋×＝， P(ξ＝160)＝×＝， 所以ξ的分布列为 ξ 0 40 80 120 160 P E(ξ)＝0×＋40×＋80×＋120×＋160×＝80， D(ξ)＝(0－80)2×＋(40－80)2×＋(80－80)2×＋(120－80)2×＋(160－80)2×＝. 【变式6-2】已知6名某疾病病毒密切接触者中有1名感染病毒，其余5名健康，需要通过化验血液来确定感染者．血液化验结果呈阳性的为感染者，呈阴性的为健康． (1)若从这6名密切接触者中随机抽取3名，求抽到感染者的概率； (2)血液化验确定感染者的方法有：①逐一化验；②平均分组混合化验，先将血液样本平均分成若干组，对组内血液混合化验，若化验结果呈阴性，则该组血液不含病毒，若化验结果呈阳性，则对该组的备份血液逐一化验，直至确定感染者． (ⅰ)采取逐一化验，求所需化验次数ξ的分布列及数学期望； (ⅱ)采取平均分组混合化验(每组血液份数相同)，求不同分组方法所需化验次数的数学期望． 你认为选择哪种化验方法更合理？请说明理由． 【解】　(1)从这6名密切接触者中随机抽取3名的情况共有C＝20(种)， 抽取的3名中有感染者的情况共有C·C＝10(种)， 所以抽到感染者的概率P＝＝. (2)(ⅰ)采取逐一化验，ξ的可能取值是1，2，3，4，5， P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝， P(ξ＝4)＝＝，P(ξ＝5)＝＋＝＋＝. ξ的分布列如下： ξ 1 2 3 4 5 P 所以E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝. (ⅱ)平均分组混合化验，6个样本可平均分成2组，或者平均分成3组． 如果平均分2组，设所需化验次数为η，则η的可能取值是2，3， P(η＝2)＝×＋×＝，P(η＝3)＝×2＝， η的分布列如下： η 2 3 P E(η)＝2×＋3×＝. 如果平均分3组，设所需化验次数为δ，则δ的可能取值是2，3， P(δ＝2)＝×＋×＝，P(δ＝3)＝××1＋××1＝， δ的分布列如下： δ 2 3 P E(δ)＝2×＋3×＝. 因为E(ξ)＞E(η)＝E(δ)， 所以我认为平均分组混合化验法较好，平均分成2组或平均分成3组均可． 【变式6-3】有编号为1，2，3的三个小球和编号为1，2，3，4的四个盒子，将三个小球逐个随机地放入四个盒子中，每个小球的放置相互独立． (1)求三个小球恰在同一个盒子中的概率； (2)求三个小球在三个不同盒子且每个小球编号与所在盒子编号不同的概率； (3)记录所有至少有一个小球的盒子，以X表示这些盒子编号的最小值，求E(X)． 解：(1)记“三个小球恰在同一个盒子中”为事件A，则P(A)＝＝. (2)记“三个小球在三个不同盒子且每个小球编号与所在盒子编号不同”为事件B，其中，装有小球的三个盒子中不含4号盒子为事件B1，含4号盒子为事件B2，则P(B1)＝＝＝，P(B2)＝＝. 因为事件B1，B2互斥，所以P(B)＝P(B1＋B2)＝P(B1)＋P(B2)＝. (3)X的所有可能取值为1，2，3，4，则 P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝， P(X＝4)＝＝， 所以E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝. 题型七 超几何分布 【例7】 在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用．现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示． (1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率； (2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列． 【解】　(1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M， 则P(M)＝＝. (2)由题意知X可取的值为0，1，2，3，4，则 P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝， P(X＝4)＝＝. 因此X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 【变式7-1】(例10变问法)若用X表示接受乙种心理暗示的男志愿者人数，求X的分布列． 解：由题意可知X的取值为1，2，3，4，5，则 P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝， P(X＝4)＝＝， P(X＝5)＝＝. 因此X的分布列为 X 1 2 3 4 5 P 【变式7-2】(例10变问法)若用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数与男志愿者人数之差，求X的分布列． 解：由题意可知X的取值为3，1，－1，－3，－5， 则P(X＝3)＝＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝－1)＝＝，P(X＝－3)＝＝， P(X＝－5)＝＝. 因此X的分布列为 X 3 1 －1 －3 －5 P 【变式7-3】PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的可入肺颗粒物．根据现行国家标准GB3095－2012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．从某自然保护区2020年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值的频数分布如下表所示： PM2.5日均值(微克/立方米) [25，35) [35，45) [45，55) [55，65) [65，75) [75，85] 频数 3 1 1 1 1 3 (1)从这10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，求恰有一天空气质量达到一级的概率； (2)从这10天的数据中任取3天数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的分布列． 解：(1)记“从这10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，恰有一天空气质量达到一级”为事件A， 则P(A)＝＝. (2)由条件知，ξ服从超几何分布，其中N＝10，M＝3，n＝3，且随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3. P(ξ＝k)＝(k＝0，1，2，3)． 所以P(ξ＝0)＝＝， P(ξ＝1)＝＝， P(ξ＝2)＝＝， P(ξ＝3)＝＝. 故ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 P 题型八 二项分布的期望与方差 【例8】 某地区为贯彻习近平总书记关于“绿水青山就是金山银山”的理念，鼓励农户利用荒坡种植果树．某农户考察三种不同的果树苗A，B，C，经引种试验后发现，引种树苗A的自然成活率为0.8，引种树苗B，C的自然成活率均为p(0.7≤p≤0.9)． (1)任取树苗A，B，C各一棵，估计自然成活的棵数为X，求X的分布列及数学期望E(X)； (2)将(1)中的E(X)取得最大值时p的值作为B种树苗自然成活的概率．该农户决定引种n棵B种树苗，引种后没有自然成活的树苗中有75%的树苗可经过人工栽培技术处理，处理后成活的概率为0.8，其余的树苗不能成活． ①求一棵B种树苗最终成活的概率； ②若每棵树苗最终成活后可获利300元，不成活的每棵亏损50元，该农户为了获利不低于20万元，问至少引种B种树苗多少棵？ 【解】　(1)由题意知，X的所有可能值为0，1，2，3. 则P(X＝0)＝0.2(1－p)2＝0.2p2－0.4p＋0.2， P(X＝1)＝0.8×(1－p)2＋0.2×C×p×(1－p)＝0.8(1－p)2＋0.4p(1－p)＝0.4p2－1.2p＋0.8， P(X＝2)＝0.2p2＋0.8×C×p×(1－p)＝0.2p2＋1.6p(1－p)＝－1.4p2＋1.6p， P(X＝3)＝0.8p2. X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.2p2－0.4p＋0.2 0.4p2－1.2p＋0.8 －1.4p2＋1.6p 0.8p2 E(X)＝0×(0.2p2－0.4p＋0.2)＋1×(0.4p2－1.2p＋0.8)＋2×(－1.4p2＋1.6p)＋3×0.8p2＝2p＋0.8. (2)当p＝0.9时，E(X)取得最大值． ①一棵B种树苗最终成活的概率为0.9＋0.1×0.75×0.8＝0.96. ②记Y为n棵树苗的成活棵数，M(n)为n棵树苗的利润，则Y～B(n，0.96)，E(Y)＝0.96n，M(n)＝300Y－50(n－Y)＝350Y－50n，E(M(n))＝350E(Y)－50n＝286n，要使E(M(n))≥200 000，则有n＞699. 所以该农户至少引种700棵B种树苗，就可获利不低于20万元． 【变式8-1】)高铁和航空的飞速发展不仅方便了人们的出行，更带动了我国经济的巨大发展．据统计，某一年乘坐高铁或飞机从A市到B市的成年人约50万人次，为了解乘客出行的满意度，现从中随机抽取了100人次作为样本，得到下表(单位：人次)． 老年人 中年人 青年人 满意度 乘坐高铁 乘坐飞机 乘坐高铁 乘坐飞机 乘坐高铁 乘坐飞机 10分(满意) 12 1 20 2 20 1 5分(一般) 2 3 6 2 4 9 0分(不满意) 1 0 6 3 4 4 (1)在样本中任取1个，求这个出行人恰好不是青年人的概率； (2)从这一年乘坐高铁从A市到B市的所有成年人中，随机选取2人次，记其中老年人出行的人次为X，以频率作为概率，求X的分布列和数学期望； (3)如果甲将要从A市出行到B市，那么根据表格中的数据，你建议甲是乘坐高铁还是飞机？并说明理由． 解：(1)设事件M为“在样本中任取1个，这个出行人恰好不是青年人”．由表可得，样本中出行的老年人、中年人人次分别为19，39. 所以在样本中任取1个，这个出行人恰好不是青年人的概率P(M)＝＝. (2)由题意，X的所有可能取值为0，1，2. 易知乘坐高铁从A市到B市的所有成年人中，随机选取1人次，此人次为老年人的概率是p＝＝. 所以P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝C××＝， P(X＝2)＝＝. 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 方法一：故E(X)＝0×＋1×＋2×＝. 方法二：因为X～B，所以E(X)＝2×＝. (3)从满意度的均值来分析问题． 由表可知，乘坐高铁的人次满意度均值为＝. 乘坐飞机的人次满意度均值为＝. 因为＞，所以建议甲乘坐高铁从A市到B市． 【变式8-2】某机构要对某职业的月收入水平做一个调研，选择了A，B，C三个城市，三个城市的从业人数分别为10万，20万，20万，该机构决定用分层抽样的方法从三个城市中抽取1 000个样本进行调查，并分析A，B城市的样本数据后得到以下频率分布直方图： (1)A，B，C三个城市应各抽取多少个样本？并估计A城市的从业人员月收入的平均值； (2)用频率估计概率，A，B城市的从业人数视为无限大，若从A，B两城市的从业人员中各随机抽取2人，X表示抽取的4人中月收入在3 000元以上的人数，求X的分布列和数学期望．(用分数作答) 【解】　(1)由题知A，B，C三个城市从业人数比为10∶20∶20＝1∶2∶2， 所以A城市应抽取200人，B城市应抽取400人，C城市应抽取400人． 因为15×0.25＋25×0.35＋35×0.2＋45×0.15＋55×0.05＝29(百元)， 所以A城市的从业人员月收入的平均值约为2 900元． (2)X的可能取值为0，1，2，3，4，从A城市的从业人员中随机抽取1人，月收入在3 000元以上的概率为，从B城市的从业人员中随机抽取1人，月收入在3 000元以上的概率为， 所以P(X＝0)＝×＝， P(X＝1)＝C×××＋×C××＝， P(X＝2)＝×＋×＋C×××C××＝， P(X＝3)＝C×××＋×C××＝， P(X＝4)＝×＝， 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 所以随机变量X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝2. (或者E(X)＝2×＋2×＝2.) 题型九 正态分布 【例9】2019年2月13日《烟台市全民阅读促进条例》全文发布，旨在保障全民阅读权利，培养全民阅读习惯，提高全民阅读能力，推动文明城市和文化强市建设．某高校为了解条例发布以来全校学生的阅读情况，随机调查了200名学生每周阅读时间x(单位：小时)并绘制如图所示的频率分布直方图． (1)求这200名学生每周阅读时间的样本平均数和样本方差s2(同一组的数据用该组区间中点值代表)； (2)由直方图可以看出，目前该校学生每周的阅读时间x服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2. ①一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若X～N(μ，σ2)， 令Y＝，则Y～N(0，1)，且P(X≤a)＝P. 利用直方图得到的正态分布，求P(X≤10)； ②从该高校的学生中随机抽取20名，记Z表示这20名学生中每周阅读时间超过10小时的人数，求P(Z≥2)(结果精确到0.000 1)以及Z的均值． 参考数据：≈，0.773 419≈0.007 6.若Y～N(0，1)，则P(Y≤0.75)＝0.773 4. 【解】　(1)＝6×0.03＋7×0.1＋8×0.2＋9×0.35＋10×0.19＋11×0.09＋12×0.04＝9， s2＝(6－9)2×0.03＋(7－9)2×0.1＋(8－9)2×0.2＋(9－9)2×0.35＋(10－9)2×0.19＋(11－9)2×0.09＋(12－9)2×0.04＝1.78. (2)①由题意知μ＝9，σ2＝1.78，所以X～N(9，1.78)． σ＝＝≈， P(X≤10)＝P＝P(Y≤0.75)＝0.773 4. ②由①知P(X＞10)＝1－P(X≤10)＝0.226 6， 可得Z～B(20，0.226 6)， P(Z≥2)＝1－P(Z＝0)－P(Z＝1) ＝1－0.773 420－C×0.226 6×0.773 419 ＝1－(0.773 4＋20×0.226 6)×0.007 6 ≈0.959 7. Z的均值E(Z)＝20×0.226 6＝4.532. 【变式9-1】已知随机变量X服从正态分布N(3，1)，且P(X≥4)＝0.158 7，则P(2<X<4)＝(　　) A．0.682 6　　　　　　　 B．0.341 3 C．0.460 3 D．0.920 7 解析：选A.因为随机变量X服从正态分布N(3，1)，且P(x≥4)＝0.158 7， 所以P(X≤2)＝0.158 7，所以P(2<X<4)＝1－P(X≤2)－P(X≥4)＝0.682 6，故选A. 【变式9-2】某校在一次月考中有900人参加考试，数学考试的成绩服从正态分布X～N(90，a2)(a>0，试卷满分150分)，统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的，则此次月考中数学考试成绩不低于110分的学生约有________人． 解析：因为成绩服从正态分布X～N(90，a2)， 所以其正态分布曲线关于直线x＝90对称， 又因为成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的， 由对称性知成绩在110分以上的人数约为总人数的×＝，所以此次数学考试成绩不低于110分的学生约有×900＝180(人)． 答案：180 基础巩固通关测 1．袋中有a个白球和b个黑球，不放回摸球两次，问第二次摸出白球的概率为(　　) A． B． C． D． A　解析：分别记A，B为第一次、第二次摸到白球，由全概率公式，P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()·P(B|)＝·＋·＝. 2．(2022·日照三模)若将整个样本空间想象成一个1×1的正方形，任何事件都对应样本空间的一个子集，且事件发生的概率对应子集的面积，则如图所示的涂色部分的面积表示(　　) A．事件A发生的概率 B．事件B发生的概率 C．事件B不发生条件下事件A发生的概率 D．事件A，B同时发生的概率 A　解析：由题意可得，题图所示的涂色部分的面积为P(A|B)P(B)＋[1－P(B)]P(A|)＝P(AB)＋P()P(A|)＝P(AB)＋P(A)＝P(A)，故选A． 3．5张卡片上分别写有数字1,2,3,4,5，每次从中任取一张，连取两次．若第一次取出的卡片不放回，则第二次取出的卡片上的数字大于第一次取出的数字的概率为(　　) A． B． C． D． B　解析：设A表示“第二次取出的卡片上的数字大于第一张卡片上的数字”，Bi表示“第一次取出的数字为i”，i＝1,2,3,4,5.则P(Bi)＝，P(A|Bi)＝，由全概率公式，得P(A)＝(Bi)P(A|Bi)＝×(1＋2＋3＋4)＝. 4．袋中有3个白球、5个黑球，从中任取两个，可以作为随机变量的是(　　) A．至少取到1个白球 B．至多取到1个白球 C．取到白球的个数 D．取到的球的个数 C　解析：选项A，B表述的都是随机事件，选项D是确定的值2，并不随机；选项C是随机变量，可能取值为0,1,2. 5．已知某一随机变量ξ的分布列如下表所示，若E(ξ)＝6.3，则a的值为(　　) ξ a 7 9 P b 0.1 0.4 A．4 B．5 C．6 D．7 A　解析：因为b＋0.1＋0.4＝1，所以b＝0.5.所以E(ξ)＝0.5a＋7×0.1＋9×0.4＝6.3，所以a＝4. 6．若随机变量X的分布列为 X －2 －1 0 1 2 3 P 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1 则当P(X＜a)＝0.8时，实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，2] B．[1,2] C．(1,2] D．(1,2) C　解析：由随机变量X的分布列知：P(X＜－1)＝0.1，P(X＜0)＝0.3，P(X＜1)＝0.5，P(X＜2)＝0.8，则当P(X＜a)＝0.8时，实数a的取值范围是(1,2]． 7．从一批含有13件正品，2件次品的产品中不放回地抽3次，每次抽取1件，设抽取的次品数为ξ， 则E(5ξ＋1)＝(　　) A．2 B．1 C．3 D．4 C　解析：ξ的可能取值为0,1,2. P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝. 所以ξ的分布列为 ξ 0 1 2 P 于是E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝，故E(5ξ＋1)＝5E(ξ)＋1＝5×＋1＝3.故选C． 8．小林从A地出发去往B地，1小时内到达的概率为0.4,1小时10分到达的概率为0.3,1小时20分到达的概率为0.3.现规定1小时内到达的奖励为200元，若超过1小时到达，则每超过1分钟奖励少2元．设小林最后获得的奖励为X元，则E(X)＝(　　) A．176 B．182 C．184 D．186 B　解析：依题意可得X的可能值为200,180,160.P(X＝200)＝0.4，P(X＝180)＝0.3，P(X＝160)＝0.3，所以X的分布列为 X 200 180 160 P 0.4 0.3 0.3 所以E(X)＝200×0.4＋(180＋160)×0.3＝182.故选B． 9．(多选题)随机变量ξ的分布列是： ξ 1 2 3 P a b 若E(ξ)＝，随机变量ξ的方差为D(ξ)，则下列结论正确的有(　　) A．a＝，b＝ B．a＝，b＝ C．D(ξ)＝ D．D(ξ)＝ AC　解析：由题意得所以D(ξ)＝2×＋2×＋2×＝，故选AC． 10．奥运会射击比赛中，某选手射击一次击中10环的概率是，连续两次均击中10环的概率是，已知该选手某次击中10环，则随后一次击中10环的概率是(　　) A.　　　　　　　　　 B． C. D. 解析：选B.设该选手某次击中10环为事件A，随后一次击中10环为事件B，则P(A)＝，P(AB)＝， 所以某次击中10环，随后一次击中10环的概率是 P(B|A)＝＝＝.故选B. 11．袋中装有形状和大小完全相同的4个黑球，3个白球，从中不放回地依次随机摸取两球，在第一次摸到黑球的条件下，第二次摸到白球的概率是(　　) A. B． C. D. 解析：选C.在这两次摸球过程中，设A＝“第一次摸到黑球”，B＝“第二次摸到白球”． 则n(A)＝CC＝24，n(AB)＝CC＝12， 所以P(B|A)＝＝＝.故选C. 12．甲、乙两运动员进行乒乓球比赛，采用7局4胜制．在一局比赛中，先得11分的运动员为胜方，但打到10平以后，先多得2分者为胜方．在10平后，双方实行轮换发球法，每人每次只发1个球．若在某局比赛中，甲发球赢球的概率为，甲接发球赢球的概率为，则在比分为10∶10后甲先发球的情况下，甲以13∶11赢下此局的概率为(　　) A. B． C. D. 解析：选C.在比分为10∶10后甲先发球的情况下，甲以13∶11赢下此局分两种情况： ①后四球胜方依次为甲乙甲甲，概率为P1＝×××＝； ②后四球胜方依次为乙甲甲甲，概率为P2＝×××＝， 所以所求事件的概率为P1＋P2＝.故选C. 13．某机械研究所对新研发的某批次机械元件进行寿命追踪调查，随机抽查的200个机械元件情况如下： 使用时 间/天 10～20 21～30 31～40 41～50 51～60 个数 10 40 80 50 20 若以频率为概率，现从该批次机械元件中随机抽取3个，则至少有2个元件的使用寿命在30天以上的概率为(　　) A. B． C. D. 解析：选D.由表可知元件使用寿命在30天以上的概率为＝，则所求概率为 C×＋＝. 14．市场调查发现，大约的人喜欢在网上购买家用小电器，其余的人则喜欢在实体店购买家用小电器．经工商局抽样调查，发现网上购买的家用小电器的合格率约为，而实体店里的家用小电器的合格率约为.现工商局接到一个关于家用小电器不合格的投诉，则这台被投诉的家用小电器是在网上购买的可能性是(　　) A. B． C. D. 解析：选A.因为大约的人喜欢在网上购买家用小电器，网上购买的家用小电器的合格率约为，所以某家用小电器是在网上购买的，且被投诉的概率约为×＝，又实体店里的家用小电器的合格率约为，所以某家用小电器是在实体店里购买的，且被投诉的概率约为×＝，故工商局接到一个关于家用小电器不合格的投诉，则这台被投诉的家用小电器是在网上购买的可能性P＝＝. 15．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p, 各成员的支付方式相互独立．设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，D(X)＝2.4，P(X＝4)＜P(X＝6)，则p＝(　　) A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.3 解析：选B.由题意知，该群体的10位成员使用移动支付的概率分布符合二项分布，所以D(X)＝10p·(1－p)＝2.4，所以p＝0.6或p＝0.4.由P(X＝4)＜P(X＝6)，得Cp4(1－p)6＜Cp6(1－p)4，即(1－p)2＜p2，所以p＞0.5，所以p＝0.6. 16．已知随机变量X服从正态分布N(a，4)，且P(X＞1)＝0.5，P(X＞2)＝0.3，则P(X＜0)等于(　　) A．0.2　　　　　　　　　 B．0.3 C．0.7 D．0.8 解析：选B.随机变量X服从正态分布N(a，4)，所以曲线关于x＝a对称，且P(X＞a)＝0.5.由P(X＞1)＝0.5，可知a＝1，所以P(X＜0)＝P(X＞2)＝0.3，故选B. 17．口袋中有编号分别为1，2，3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，则取出的球的最大编号X的期望为(　　) A. B． C．2 D. 解析：选D.因为口袋中有编号分别为1，2，3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，所以取出的球的最大编号X的可能取值为2，3，所以P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，所以E(X)＝2×＋3×＝. 18．一试验田某种作物一株生长果实个数x服从正态分布N(90，σ2)，且P(x＜70)＝0.2，从试验田中随机抽取10株，果实个数在[90，110]的株数记作随机变量X，且X服从二项分布，则X的方差为(　　) A．3 B．2.1 C．0.3 D．0.21 解析：选B.因为x～N(90，σ2)，且P(x＜70)＝0.2， 所以P(x＞110)＝0.2， 所以P(90≤x≤110)＝0.5－0.2＝0.3， 所以X～B(10，0.3)， X的方差为10×0.3×(1－0.3)＝2.1. 19．设X～N(1，1)，其正态分布密度曲线如图所示，那么从正方形ABCD中随机取10 000个点，则取自阴影部分的点的个数的估计值是(　　) (注：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈0.682 7) A．7 539 B．6 038 C．7 028 D．6 587 解析：选D.因为X～N(1，1)，所以μ＝1，σ＝1，μ＋σ＝2，μ－σ＝0，因为P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈0.682 7，所以P(0<X≤2)≈0.682 7，则P(1<X≤2)≈0.341 35，所以阴影部分的面积为1－0.341 35＝0.658 65，所以从正方形ABCD中随机取10 000个点，则取自阴影部分的点的个数的估计值是6 587. 20．已知随机变量X＋η＝8，若X～B(10，0.6)，则E(η)，D(η)分别是(　　) A．6，2.4 B．2，2.4 C．2，5.6 D．6，5.6 解析：选B.由已知随机变量X＋η＝8，所以η＝8－X. 因此，求得E(η)＝8－E(X)＝8－10×0.6＝2， D(η)＝(－1)2D(X)＝10×0.6×0.4＝2.4. 21．已知随机事件M，N，P(M)＝，P(N)＝，P(M|N)＝，则P(N|M)的值为________． 　解析：依题意得P(M|N)＝＝，所以P(MN)＝P(N)＝×＝，故P(N|M)＝＝＝. 22．甲、乙两人向同一目标各射击一次，已知甲命中目标的概率为0.6，乙命中目标的概率为0.5，已知目标至少被命中1次，则乙命中目标的概率为________． 0．625　解析：记事件A为“乙命中目标”，事件B为“目标至少被命中1次”，则P(B)＝1－(1－0.6)×(1－0.5)＝0.8，P(AB)＝0.5×(1－0.6)＋0.6×0.5＝0.5，P(A|B)＝＝＝0.625. 23．某同学在上学路上要经过两个红绿灯十字路口，已知他在第一个十字路口遇到红灯的概率为.若他在第一个十字路口遇到红灯，则在第二个十字路口遇到红灯的概率为；若他在第一个十字路口遇到绿灯，则在第二个十字路口遇到红灯的概率为.记他在上学路上遇到红灯的次数为ξ，则P(ξ＝0)＝________，ξ的数学期望为________． 　1　解析：由题意可知，P(ξ＝0)＝×＝×＝. ξ的可能取值为0,1,2， 所以P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝×＋×＝，P(ξ＝2)＝×＝， 所以ξ的数学期望为E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝1. 24．夏秋两季，生活在长江口外浅海域的中华鱼洄游到长江，历经三千多公里的溯流搏击，回到金沙江一带产卵繁殖，产后待幼鱼长大到15厘米左右，又携带它们旅居外海．一个环保组织曾在金沙江中放生一批中华鱼鱼苗，该批鱼苗中的雌性个体能长成熟的概率为0.15，雌性个体长成熟又能成功溯流产卵繁殖的概率为0.05，若该批鱼苗中的一个雌性个体在长江口外浅海域已长成熟，则其能成功溯流产卵繁殖的概率为________． 解析：设事件A为鱼苗中的一个雌性个体在长江口外浅海域长成熟，事件B为该雌性个体成功溯流产卵繁殖，由题意可知P(A)＝0.15，P(AB)＝0.05，所以P(B|A)＝＝＝. 答案： 25．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立．则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为________，该选手回答了5个问题结束的概率为________． 解析：依题意，该选手第2个问题回答错误，第3，4个问题均回答正确，第1个问题回答正误均有可能，则所求概率P＝0.8×0.2×0.82＋0.2×0.2×0.82＝1×0.2×0.82＝0.128. 依题意，设答对的事件为A，可分第3个正确与错误两类，若第3个正确则有AAAA或A　AAA两类情况，其概率为0.8×0.2×0.8×0.2＋0.2×0.2×0.8×0.2＝0.025 6＋0.006 4＝0.032 0.该选手第3个问题的回答是错误的，第1，2两个问题回答均错误或有且只有1个错误，则所求概率P＝0.23＋2×0.2×0.8×0.2＝0.008＋0.064＝0.072.所以，所求概率为0.032 0＋0.072＝0.104. 答案：0.128　0.104 26．若随机变量ξ的分布列如下表所示，E(ξ)＝1.6，则a－b＝________． ξ 0 1 2 3 P 0.1 a b 0.1 解析：易知a，b∈[0，1]，由0.1＋a＋b＋0.1＝1，得a＋b＝0.8，又由E(ξ)＝0×0.1＋1×a＋2×b＋3×0.1＝1.6，得a＋2b＝1.3，解得a＝0.3，b＝0.5，则a－b＝－0.2. 答案：－0.2 27．某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%；如果失败，一年后将丧失全部资金的50%，下表是过去200例类似项目开发的实施结果： 投资成功 投资失败 192例 8例 则估计该公司一年后可获收益的均值是________元． 解析：由题意知，一年后获利6 000元的概率为0.96，获利－25 000元的概率为0.04，故一年后收益的均值是6 000×0.96＋(－25 000)×0.04＝4 760(元)． 答案：4 760 28．现有A，B，C三个项目，已知某投资公司投资A项目的概率为，投资B，C项目的概率均为p，且投资这3个项目是相互独立的，记X是该投资公司投资项目的个数，若P(X＝0)＝，则随机变量X的数学期望E(X)＝________． 解析：由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2，3，由于P(X＝0)＝，故(1－p)2＝，所以p＝.P(X＝1)＝××＋××＋××＝＝，P(X＝2)＝××＋××＋××＝， P(X＝3)＝1－－－＝＝，所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 答案： 29．已知甲袋中装有6个红球、4个白球；乙袋中装有8个红球、6个白球，随机取一只袋子再从该袋中取一球，求该球是红球的概率． 解：设B＝{该球是红球}，A甲＝{取自甲袋}，A乙＝{取自乙袋}， 则P(A甲)＝P(A乙)＝，P(B|A甲)＝＝， P(B|A乙)＝＝， 所以P(B)＝P(A甲)·P(B|A甲)＋P(A乙)P(B|A乙)＝×＋×＝. 因此随机取一只袋子，再从该袋中取一球，该球是红球的概率是. 30．某企业使用新技术对某款芯片进行试生产，在试产初期，该款芯片的生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测评估工序，包括智能自动检测与人工抽检．已知该款芯片在生产中，前三道工序的次品率分别为P1＝，P2＝，P3＝. (1)求该款芯片生产在进入第四道工序前的次品率； (2)如果第四道工序中智能自动检测为次品的芯片会被自动淘汰，合格的芯片进入流水线并由工人进行人工抽查检验．在芯片智能自动检测显示合格率为90%的条件下，求工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品的概率． 解：(1)因为前三道工序的次品率分别为 P1＝，P2＝，P3＝， 所以该款芯片生产在进入第四道工序前的次品率为P＝1－[(1－P1)(1－P2)(1－P3)]＝1－××＝. (2)设“该款芯片智能自动检测合格”为事件A， “人工抽检合格”为事件B， 由已知得P(A)＝，P(AB)＝1－P＝1－＝， 记工人在流水线进行人工抽检时， 抽检一个芯片恰为合格品为事件B|A， 所以P(B|A)＝＝×＝. 31．某中学有4位学生申请A，B，C三所大学的自主招生．若每位学生只能申请其中一所大学，且申请其中任何一所大学是等可能的． (1)求恰有2人申请A大学的概率； (2)求被申请大学的个数X的概率分布列与数学期望E(X)． 解：(1)所有可能的方式有34种，恰有2人申请A大学的情况有C×22种， 从而恰有2人申请A大学的概率为＝. (2)由题意可知，随机变量的可能取值为1,2,3， 则P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝. 所以随机变量X的分布列为 X 1 2 3 P E(X)＝1×＋2×＋3×＝. 32．从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，. (1)记X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望； (2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率． 解：(1)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3， P(X＝0)＝××＝， P(X＝1)＝××＋××＋××＝， P(X＝2)＝××＋××＋××＝， P(X＝3)＝××＝. 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 随机变量X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. (2)设Y表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为 P(Y＋Z＝1)＝P(Y＝0，Z＝1)＋P(Y＝1，Z＝0) ＝P(Y＝0)P(Z＝1)＋P(Y＝1)P(Z＝0) ＝×＋×＝. 所以这2辆车共遇到1个红灯的概率为. 33．已知某种植物种子每粒成功发芽的概率都为，某植物研究所分二个小组分别独立进行该种子的发芽试验，每次试验种一粒种子，每次试验结果相互独立．假定某次试验种子发芽则称该次试验是成功的，如果种子没有发芽，则称该次试验是失败的． (1)第一小组做了四次试验，求该小组恰有两次失败的概率； (2)第二小组做了四次试验，设试验成功与失败的次数的差的绝对值为X，求X的分布列． 解：(1)该小组恰有两次失败的概率 P＝C＝＝. (2)由题意可知X的取值可能为0，2，4， 则P(X＝0)＝C＝＝， P(X＝2)＝C＋C＝＝， P(X＝4)＝C＋C＝＝. 故X的分布列为 X 0 2 4 P 34.为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动．该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为，；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为，；两人滑雪时间都不会超过3小时． (1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率； (2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列． 解：(1)两人所付费用相同，相同的费用可能为0，40，80元， 两人都付0元的概率为P1＝×＝， 两人都付40元的概率为P2＝×＝， 两人都付80元的概率为 P3＝×＝×＝， 则两人所付费用相同的概率为P＝P1＋P2＋P3＝＋＋＝. (2)设甲、乙所付费用之和为ξ，ξ可能取值为0，40，80，120，160，则： P(ξ＝0)＝×＝； P(ξ＝40)＝×＋×＝； P(ξ＝80)＝×＋×＋×＝； P(ξ＝120)＝×＋×＝； P(ξ＝160)＝×＝. ξ的分布列为 ξ 0 40 80 120 160 P 36． “公平正义”是社会主义和谐社会的重要特征，是社会主义法治理念的价值追求．“考试”作为一种公平公正选拔人才的有效途径，正被广泛采用．每次考试过后，考生最关心的问题是：自己的考试名次是多少？自己能否被录取？能获得什么样的职位？…… 某单位准备通过考试(按照高分优先录取的原则)招录300人，其中275个高薪职位和25个普薪职位．实际报名人数为2 000，考试满分为400分(一般地，对于一次成功的考试来说，考试成绩应服从正态分布)．考试后考试成绩的部分统计结果如下：考试平均成绩是180分，360分及其以上的高分考生有30人． (1)最低录取分数是多少？(结果保留整数) (2)考生甲的成绩为286分，若甲被录取，能否获得高薪职位？若不能被录取，请说明理由． 参考资料： (1)当X～N(μ，σ2)时，令Y＝，则Y～N(0，1)． (2)当Y～N(0，1)时，P(Y≤2.17)≈0.985，P(Y≤1.28)≈0.900，P(Y≤1.09)≈0.863，P(Y≤1.04)≈0.85. 解：(1)设考生成绩为X，依题意X应服从正态分布，即X～N(180，σ2)． 令Y＝，则Y～N(0，1)． 由360分及其以上的高分考生有30人，可得P(X≥360)＝，即P(X<360)＝1－＝0.985，亦即P(Y<)＝0.985， 则＝2.17，解得σ≈83，所以X～N(180，832)． 设最低录取分数线为x0，则P(X≥x0)＝P(Y≥)＝， P(Y<)＝1－＝0.85，所以＝1.04， 所以x0＝266.32. 即最低录取分数线为266分或267分． (2)考生甲的成绩286>267，所以能被录取． P(X<286)＝P(Y<)≈P(Y<1.28)≈0.90，表明不低于考生甲的成绩的人数约为总人数的1－0.90＝0.10.因为2 000×0.1＝200，所以考生甲大约排在第200名，排在第275名之前，所以他能获得高薪职位． 37．某烘焙店加工一个成本为60元的蛋糕，然后以每个120元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的这种蛋糕作厨余垃圾处理． (1)若烘焙店一天加工16个这种蛋糕，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：个，n∈N)的函数解析式； (2)烘焙店记录了100天这种蛋糕的日需求量(单位：个)，整理得下表： 日需求量n 14 15 16 17 18 19 20 频数 10 20 16 16 15 13 10 以这100天记录的日需求量的频率作为日需求量发生的概率． ①若烘焙店一天加工16个这种蛋糕，X表示日利润(单位：元)，求X的分布列、数学期望及方差； ②若烘焙店一天加工16个或17个这种蛋糕，仅从获得利润大的角度考虑，你认为应加工16个还是17个？请说明理由． 解：(1)y＝ (2)①由题意可得，X的所有可能取值为720，840，960，对应的概率分别为0.1，0.2，0.7， 所以X的分布列为 X 720 840 960 P 0.1 0.2 0.7 E(X)＝720×0.1＋840×0.2＋960×0.7＝912(元)； D(X)＝(720－912)2×0.1＋(840－912)2×0.2＋(960－912)2×0.7＝6 336. ②当加工17个这种蛋糕时，Y表示日利润(单位：元)，则Y的分布列为 Y 660 780 900 1 020 P 0.1 0.2 0.16 0.54 则E(Y)＝660×0.1＋780×0.2＋900×0.16＋1 020×0.54＝916.8(元)， 916．8>912. 从数学期望来看，一天加工17个这种蛋糕的日利润高于一天加工16个这种蛋糕的日利润，所以应加工17个． 能力提升进阶练 1．(多选题)已知A，B是两个随机事件，0<P(A)<1，下列命题正确的是(　　) A．若A，B相互独立，P(B|A)＝P(B) B．若事件A⊆B，则P(B|A)＝1 C．若A，B是对立事件，则P(B|A)＝1 D．若A，B是互斥事件，则P(B|A)＝0 ABD　解析：对于A，随机事件A，B相互独立，则P(AB)＝P(A)P(B)，P(B|A)＝＝P(B)，A正确；对于B，事件A⊆B，P(AB)＝P(A)，P(B|A)＝＝1，B正确；对于C，因A，B是对立事件，则P(AB)＝0，P(B|A)＝＝0，C不正确；对于D，因A，B是互斥事件，则P(AB)＝0，P(B|A)＝＝0，D正确．故选ABD． 2．已知，分别为随机事件A，B的对立事件，P(A)>0，P(B)>0，则下列说法正确的是(　　) A．P(B|A)＋P(|A)＝P(A) B．若P(A)＋P(B)＝1，则 A，B对立 C．若A，B独立，则P(A|B)＝P(A) D．若A，B互斥，则P(A|B)＋ P(B|A)＝1 C　解析：对A，P(B|A)＋P(|A)＝＝＝1，故A错误；对B，若A，B对立，则P(A)＋P(B)＝1，反之不成立，故B错误；对C，根据独立事件定义，故C正确；对D，若A，B互斥，则P(A|B)＋ P(B|A)＝0，故D错误．故选C． 3．已知离散型随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3，且P(X≥1)＝，P(X＝3)＝，若X的数学期望E(X)＝，则D(4X－3)＝(　　) A．19 B．16 C． D． A　解析：由题知P(X＝0)＝，设P(X＝1)＝a，则P(X＝2)＝－a，因此E(X)＝0×＋1×a＋2×＋3×＝，解得a＝，因此离散型随机变量X的分布列如下： X 0 1 2 3 P 则D(X)＝×2＋×2＋×2＋×2＝，因此D(4X－3)＝16D(X)＝19.故选A． 4．(多选题)设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝(k＝1,2,5)，a∈R，E(ξ)，D(ξ)分别为随机变量ξ的数学期望与方差，则下列结论正确的是(　　) A．P(0<ξ<3.5)＝ B．E(3ξ＋1)＝7 C．D(ξ)＝2 D．D(3ξ＋1)＝6 ABC　解析：因为随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝(k＝1,2,5)，a∈R.由分布列的性质可知，P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝5)＝＋＋＝1，解得a＝1，所以P(0<ξ<3.5)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝，A选项正确；E(ξ)＝1×＋2×＋5×＝2，即有E(3ξ＋1)＝3 E(ξ)＋1＝7，B选项正确；D(ξ)＝×(1－2)2＋×(2－2)2＋×(5－2)2＝2，C选项正确；D(3ξ＋1)＝9×D(ξ)＝18，D选项不正确．故选ABC． 5．(多选题)已知投资A，B两种项目获得的收益分别为X，Y，分布列如下表，则(　　) X/百万 －1 0 2 P 0.2 m 0.6 Y/百万 0 1 2 P 0.3 0.4 n A．m＋n＝0.5 B．E(2X＋1)＝4 C．投资两种项目的收益期望一样多 D．投资A项目的风险比B项目高 ACD　解析：依题意可得0.2＋m＋0.6＝1，所以m＝0.2,0.3＋0.4＋n＝1，所以n＝0.3，所以m＋n＝0.5，故A正确；所以E(X)＝－1×0.2＋0×0.2＋2×0.6＝1，则E(2X＋1)＝2E(X)＋1＝3，故B错误；E(Y)＝ 0×0.3＋1×0.4＋2×0.3＝1，所以E(X)＝E(Y)，故C正确；因为D(X)＝(－1－1)2×0.2＋(0－1)2×0.2＋(2－1)2×0.6＝1.6，D(Y)＝(0－1)2×0.3＋(1－1)2×0.4＋(2－1)2×0.3＝0.6，即D(X)>D(Y)，所以投资A项目的风险比B项目高，故D正确．故选ACD． 6．某保险公司把被保险人分为3类：“谨慎的”“一般的”“冒失的”．统计资料表明，这3类人在一年内发生事故的概率依次为0.05，0.15和0.3.如果“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”占50%，“冒失的”占30%，那么一个被保险人在一年内出事故的概率为________． 0．175　解析：设事件B1表示“谨慎的”被保险人，B2表示“一般的”被保险人，B3表示“冒失的”被保险人，则B1，B2，B3构成了Ω的一个划分，设事件A表示被保险人在一年内出事故，则由全概率公式得P(A)＝P(Bi)P(A|Bi)＝0.05×0.2＋0.15×0.5＋0.3×0.3＝0.175. 7．夏秋两季，生活在长江口外浅海域的中华鱼洄游到长江，历经三千多公里的溯流搏击．回到金沙江一带产卵繁殖，产后待幼鱼长大到15厘米左右，又携带它们旅居外海．一个环保组织曾在金沙江中放生一批中华鱼鱼苗，该批鱼苗中的雌性个体能长成熟的概率为0.15，雌性个体长成熟又能成功溯流产卵繁殖的概率为0.05，若该批鱼苗中的一个雌性个体在长江口外浅海域已长成熟，则其能成功溯流产卵繁殖的概率为________． 　解析：设事件A为鱼苗中的一个雌性个体在长江口外浅海域长成熟，事件B为该雌性个体成功溯流产卵繁殖，由题意可得P(A)＝0.15，P(AB)＝0.05，所以P(B|A)＝＝＝. 8．某校从学生文艺部6名成员(4男2女)中，挑选2人参加学校举办的文艺汇演活动． (1)求男生甲被选中的概率； (2)在已知男生甲被选中的条件下，女生乙被选中的概率； (3)在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下，求女生乙被选中的概率． 解：(1)从6名成员中挑选2名成员，共有15种情况，记“男生甲被选中”为事件A，事件A所包含的样本点数为5个，故P(A)＝. (2)记“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，则P(AB)＝，由(1)知P(A)＝，故P(B|A)＝＝. (3)记“挑选的两人为一男一女”为事件C，则P(C)＝，“女生乙被选中”为事件B，P(BC)＝，故P(B|C)＝＝. 9．在A，B，C三个地区发生了流感，这三个地区分别有6%,5%,4%的人患了流感，假设这三个地区的人口数的比为5∶7∶8，现从这三个地区中任意选取一个人． (1)求这个人患流感的概率； (2)如果此人患流感，求此人选自A地区的概率． 解：记事件D：选取的这个人患了流感，记事件E：此人来自A地区，记事件F：此人来自B地区，记事件G：此人来自C地区， 则Ω＝E∪F∪G，且E，F，G彼此互斥． 由题意可得P(E)＝＝0.25，P(F)＝＝0.35，P(G)＝＝0.4. P(D|E)＝0.06，P(D|F)＝0.05，P(D|G)＝0.04. (1)由全概率公式可得P(D)＝P(E)·P(D|E)＋P(F)·P(D|F)＋P(G)·P(D|G)＝0.25×0.06＋0.35×0.05＋0.4×0.04＝0.048 5. (2)由条件概率公式可得P(E|D)＝＝＝＝. 10．某商场举行抽奖活动，只要顾客一次性购物满180元就有一次抽奖机会．抽奖方法如下：一个抽奖箱中装有6个形状、大小完全相同的小球(4个红球和2个黄球)．顾客从中随机抽取2个，若2个都是黄球则奖励10元；若只有1个黄球则奖励3元，其余情况都无奖励．则每次抽奖所得奖励的数学期望是________元． 　解析：设一次抽奖所得奖励是X元，随机变量X的可能取值为0,3,10， 则P(X＝0)＝＝， P(X＝3)＝＝， P(X＝10)＝＝， 所以E(X)＝0×＋3×＋10×＝. 11．在1,2,3，…，9这9个自然数中，任取3个数，其中恰有1个偶数的概率是________(用数字作答)，记ξ为这3个数中两数相邻的组数(例如：若取出的数为1,2,3，则有两组相邻的数1,2和2,3，此时ξ的值是2)，则E(2ξ＋1)＝________. 　　解析：(1)记“这3个数恰有一个是偶数”为事件A，则P(A)＝＝. (2)随机变量ξ的取值为0,1,2， ξ＝2的情况：123、234、345、456、567、678、789，共7种可能， ξ＝1的情况：12(4～9)，89(1～6)，有6×2＝12(种)； 23(5～9)，34(1,6～9)，…，78(1～5)，有5×6＝30(种)； 总共42种， ξ＝0的情况：C－7－42＝35(种)， 故P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝， 所以ξ的分布列为 ξ 0 1 2 P 所以ξ的数学期望为E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝. 所以E(2ξ＋1)＝2×＋1＝. 12．甲、乙两个袋子中，各放有大小和形状相同的小球若干．每个袋子中标号为0的小球为1个，标号为1的2个，标号为2的n个．从一个袋子中任取两个球，取到的标号都是2的概率是. (1)求n的值； (2)从甲袋中任取两个球，已知其中一个球的标号是1，求另一个球标号也是1的概率； (3)从两个袋子中各取一个小球，用ξ表示这两个小球的标号之和，求ξ的分布列和E(ξ)． 解：(1)＝＝，解得n＝2或n＝－(舍去)． (2)记“一个标号是1”为事件A，“另一个标号也是1”为事件B， 所以P(B|A)＝＝＝. (3)ξ＝0,1,2,3,4， P(ξ＝0)＝×＝， P(ξ＝1)＝×＋×＝， P(ξ＝2)＝×＋×＋×＝， P(ξ＝3)＝×＋×＝， P(ξ＝4)＝×＝， 所以随机变量ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 4 P E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝2.4. 13．在“低碳生活知识竞赛”第一环节测试中，依次回答A，B，C三道题，且A，B，C三道题的分值分别为30分、20分、20分．竞赛规定：选手累计得分不低于40分即通过测试，并立即停止答题．已知甲选手回答A，B，C三道题正确的概率分别为0.1，0.5，0.5，乙选手回答A，B，C三道题正确的概率分别为0.2,0.4,0.4，且回答各题时相互之间没有影响． (1)求甲通过测试的概率； (2)设Y为本次测试中乙的得分，求Y的分布列以及期望； (3)请根据测试结果来分析，甲、乙两人谁通过测试的概率更大？ 解：(1)若甲通过测试，则甲的得分X为40或50， P(X＝40)＝0.9×0.5×0.5＝0.225，P(X＝50)＝0.1×0.5＋0.1×0.5×0.5＝0.075， 所以甲通过测试的概率P＝P(X＝40)＋P(X＝50)＝0.225＋0.075＝0.3. (2)Y的可能取值为0,20,30,40,50. P(Y＝0)＝0.8×0.6×0.6＝0.288，P(Y＝20)＝0.8×0.4×0.6＋0.8×0.6×0.4＝0.384，P(Y＝30)＝0.2×0.6×0.6＝0.072， P(Y＝40)＝0.8×0.4×0.4＝0.128，P(Y＝50)＝0.2×0.6×0.4＋0.2×0.4＝0.128. Y的分布列为 Y 0 20 30 40 50 P 0.288 0.384 0.072 0.128 0.128 则E(Y)＝0×0.288＋20×0.384＋30×0.072＋40×0.128＋50×0.128＝21.36. (3)甲通过测试的概率更大．理由如下： 乙通过测试的概率为P＝P(Y＝40)＋P(Y＝50)＝0.128＋0.128＝0.256， 甲通过测试的概率为0.3，大于乙通过测试的概率． 14．在某中学篮球体育测试要求学生完成“立定投篮”和“三步上篮”两项测试，“立定投篮”与“三步上篮”各有2次投篮机会，先进行“立定投篮”测试，如果合格才有机会进行“三步上篮”测试，为了节约时间，每项只需且必须投中一次即为合格．小明同学“立定投篮”的命中率为，“三步上篮”的命中率为，假设小明不放弃任何一次投篮机会且每次投篮是否命中互不影响． (1)求小明同学一次测试合格的概率； (2)设测试过程中小明投篮的次数为ξ，求ξ的分布列． 解：设小明第i次“立定投篮”命中为事件Ai，第i次“三步上篮”命中为事件Bi(i＝1，2)，依题意有P(Ai)＝，P(Bi)＝(i＝1，2)，“小明同学一次测试合格”为事件C. (1)P()＝P(12)＋P(1A212)＋P(A112) ＝P(1)P(2)＋P(1)P(A2)P(1)P(2)＋P(A1)·P(1)P(2)＝＋××＋×＝. 所以P(C)＝1－＝. (2)依题意知ξ＝2，3，4， P(ξ＝2)＝P(A1B1)＋P(12)＝P(A1)P(B1)＋P(1)·P(2)＝， P(ξ＝3)＝P(A11B2)＋P(1A2B1)＋P(A112) ＝P(A1)P(1)P(B2)＋P(1)P(A2)P(B1)＋P(A1)P(1)P(2)＝， P(ξ＝4)＝P(1A21)＝P(1)P(A2)P(1)＝. 故投篮的次数ξ的分布列为 ξ 2 3 4 P 15.为研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门随机选取100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100 km/h的有40人，不超过100 km/h 的有15人；在45名女性驾驶员中，平均车速超过100 km/h的有20人，不超过100 km/h的有25人． (1)在被调查的驾驶员中，从平均车速不超过100 km/h的人中随机抽取2人，求这2人恰好有1名男性驾驶员和1名女性驾驶员的概率； (2)以上述样本数据估计总体，从高速公路上行驶的家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车平均车速超过100 km/h且为男性驾驶员的车辆为X，求X的分布列． 解：(1)平均车速不超过100 km/h的驾驶员有40人，从中随机抽取2人的方法总数为C，记“这2人恰好有1名男性驾驶员和1名女性驾驶员”为事件A，则事件A所包含的基本事件数为CC，所以所求的概率P(A)＝＝＝. (2)根据样本估计总体的思想，从总体中任取1辆车，平均车速超过100 km/h且为男性驾驶员的概率为＝， 故X～B. 所以P(X＝0)＝C＝， P(X＝1)＝C＝， P(X＝2)＝C＝， P(X＝3)＝C＝. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 16．某企业质量检验员为了检测生产线上零件的质量情况，从生产线上随机抽取了80个零件进行测量，根据所测量的零件尺寸(单位：mm)，得到如下的频率分布直方图： (1)根据频率分布直方图，求这80个零件尺寸的中位数(结果精确到0.01)； (2)若从这80个零件中尺寸位于[62.5，64.5)之外的零件中随机抽取4个，设X表示尺寸在[64.5，65]上的零件个数，求X的分布列及数学期望E(X)； (3)已知尺寸在[63.0，64.5)上的零件为一等品，否则为二等品，将这80个零件尺寸的样本频率视为概率．现对生产线上生产的零件进行成箱包装出售，每箱100个．企业在交付买家之前需要决策是否对每箱的所有零件进行检验，已知每个零件的检验费用为99元．若检验，则将检验出的二等品更换为一等品；若不检验，如果有二等品进入买家中，企业要向买家对每个二等品支付500元的赔偿费用．现对一箱零件随机抽检了11个，结果有1个二等品，以整箱检验费用与赔偿费用之和的期望值作为决策依据，该企业是否对该箱余下的所有零件进行检验？请说明理由． 解：(1)[62.0，63.0)内的频率为(0.075＋0.225)×0.5＝0.15， [63.0，63.5)内的频率为0.75×0.5＝0.375， 0．15＋0.375＝0.525＞0.5， 令这80个零件尺寸的中位数为x，则x∈[63.0，63.5)， 由0.15＋(x－63)×0.75＝0.5， 解得x≈63.47. 故这80个零件尺寸的中位数为63.47. (2)从频率分布直方图中可得尺寸在[62.5，64.5)之外的零件共有7个，其中尺寸位于[62.0，62.5)上的共有3个，位于[64.5，65]上的共有4个， 则X的所有可能取值为1，2，3，4， P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝， 则X的分布列为 X 1 2 3 4 P 所以E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝. (3)根据频率分布直方图，每个零件是二等品的概率为 P＝(0.075＋0.225＋0.100)×0.5＝0.2. 设余下的89个零件中的二等品的个数为Y，依题意知Y～B(89，0.2)， 所以E(Y)＝89×0.2＝17.8. 若不对余下的零件作检验，设检验费用与赔偿费用之和为S，则S＝11×99＋500Y＝1 089＋500Y. 若对余下的零件作检验，则这一箱零件所需要的检验费用为9 900元． 若不对余下的零件作检验，则检验费用与赔偿费用之和的期望值为 E(S)＝1 089＋500E(Y)＝9 989. 因为E(S)＞9 900，所以应该对余下的零件作检验． (或者由于E(S)＝9 989与9 900相差不大，又因为对余下的零件作检验要投入大量人力和物力，所以对余下的零件不作检验．) 17．生产A，B两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品．现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下表： 测试指标 [70，76) [76，82) [82，88) [88，94) [94，100] 元件A 8 12 40 32 8 元件B 7 18 40 29 6 (1)试分别估计元件A，元件B为正品的概率； (2)生产一件元件A，若是正品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件元件B，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元．在(1)的前提下， ①记X为生产1件元件A和1件元件B所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望； ②求生产5件元件B所获得的利润不少于140元的概率． 解：(1)元件A为正品的概率约为＝.元件B为正品的概率约为＝. (2)①因为生产1件元件A和1件元件B可以分为四种情况：A正B正，A次B正，A正B次，A次B次． 所以随机变量X的所有取值为90，45，30，－15. 因为P(X＝90)＝×＝； P(X＝45)＝×＝； P(X＝30)＝×＝； P(X＝－15)＝×＝. 所以随机变量X的分布列为 X 90 45 30 －15 P E(X)＝90×＋45×＋30×＋(－15)×＝66. ②设生产的5件元件B中正品有n件，则次品有(5－n)件．依题意得50n－10(5－n)≥140， 解得n≥.所以n＝4或n＝5. 设“生产5件B所获得的利润不少于140元”为事件A， 则P(A)＝C×＋＝. 26 / 47 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $