专题02 平面向量与复数4个考点（湖南专用）2026年高考数学一模分类汇编

专题02 平面向量与复数 4大考点概览 考点01复数 考点02平面向量的线性运算 考点03平面向量的基本定理及其坐标表示 考点04平面向量的数量积 复数 运算 考点1 1．（2026·湖南邵阳·一模）已知复数满足，则下列说法正确的是（   ） A． B．复数在复平面内对应的点位于第一象限 C．复数的共轭复数为 D．将复数对应的向量绕原点按逆时针方向旋转，所得向量对应的复数为 2．（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知是虚数单位，若复数z满足，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（2026·湖南岳阳·一模）在复平面内，若，则的共轭复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．（2026·湖南常德·一模）已知复数满足：，则（   ） A．1 B． C． D．2 5．（2026·湖南邵阳·一模）已知在复平面内，为等边三角形，点为坐标原点，点对应的复数为，点在第二象限，则点对应的复数的虚部为（   ） A． B． C． D． 6．（2026·湖南永州·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 7．（2026·湖南株洲·一模）（ ） A． B． C． D． 8．（2026·湖南·模拟预测）如图，中，，为边靠近的三等分点，为中点，过作垂线交于点，，若，则（   ） A． B．4 C． D．8 平面向量的线性运算 考点2 1．（2026·湖南永州·一模）已知菱形的边长为2，是的中点，则（   ） A．1 B．2 C．4 D．6 2．（2026·湖南邵阳·一模）在平行四边形ABCD中，点在线段AC上，且.若，其中，，则（   ） A． B． C． D． 3．（2026·湖南怀化·一模）在平行四边形中，与交于点，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 平面向量的基本定理及其坐标表示 考点3 1．（2026·湖南永州·一模）设向量绕点顺时针旋转得到向量，且，则向量（    ） A． B． C． D． 2．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）已知为的重心，过的直线与，边分别交于，点，若，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·湖南邵阳·一模）已知是内的一点，且，.若，和的面积分别为1，，，则的最小值是（   ） A． B．9 C．15 D．20 平面向量的数量积 考点4 1．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知向量满足，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·湖南衡阳·模拟预测）平面向量，满足，，且向量，的夹角为，则（    ） A．1 B． C． D．2 3．（2026·湖南岳阳·一模）已知向量，若，则（    ） A．-2 B．0 C．2 D．4 4．（2026·河南南阳·模拟预测）已知，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·湖南株洲·一模）已知向量，将向量绕坐标原点逆时针旋转角得到向量，则下列说法正确的是（ ） A． B． C． D． 6．（2026·湖南常德·一模）已知平面向量，为单位向量，且，若，则（   ） A． B．2 C． D． 7．（2026·湖南邵阳·一模）已知非零向量，满足，，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 8．（2026·湖南岳阳·一模）如图，圆，圆，动圆与圆外切于点，与圆内切于点，记圆心的轨迹为曲线，若直线与曲线交于两点，则下面说法正确的是（    ） A．曲线的方程为 B．的最小值为 C． D．当直线斜率都存在时， 2 / 10 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 平面向量与复数 复数 运算 考点1 1 2 3 4 5 6 7 8 B D C B C A C A 平面向量的线性运算 考点2 1 2 3 C A C 平面向量的基本定理及其坐标表示 考点3 1 2 3 B C C 平面向量的数量积 考点4 1 2 3 4 5 6 7 B A D B D A ABC 2 / 10 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 平面向量与复数 4大考点概览 考点01复数 考点02平面向量的线性运算 考点03平面向量的基本定理及其坐标表示 考点04平面向量的数量积 复数 运算 考点1 1．（2026·湖南邵阳·一模）已知复数满足，则下列说法正确的是（   ） A． B．复数在复平面内对应的点位于第一象限 C．复数的共轭复数为 D．将复数对应的向量绕原点按逆时针方向旋转，所得向量对应的复数为 【答案】B 【分析】由复数的除法法则可得，计算复数的模判断A；写出对应的点判断B；求出其共轭复数判断C；求出旋转所得向量对应的复数，判断D. 【详解】由复数满足，得，所以，A错误； 复数对应的点为，位于第一象限，B正确； 复数的共轭复数是，C错误； 复数对应的点为，绕原点按逆时针方向旋转，得到的点为，所以所得向量对应的复数应为，D错误. 2．（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知是虚数单位，若复数z满足，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】先利用复数的除法，求出复数，再求共轭复数，然后判定所在象限. 【详解】由题意知，，则， 故复数在复平面内对应的点为，在第四象限. 3．（2026·湖南岳阳·一模）在复平面内，若，则的共轭复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】利用复数的除法化简复数，利用共轭复数的定义结合复数的几何意义可得结果. 【详解】因为，则， 所以，故的共轭复数对应的点位于第三象限. 故选：C. 4．（2026·湖南常德·一模）已知复数满足：，则（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据方程求出复数，然后计算复数的模. 【详解】因为复数满足：， 所以，所以，解得. 所以. 故选：B. 5．（2026·湖南邵阳·一模）已知在复平面内，为等边三角形，点为坐标原点，点对应的复数为，点在第二象限，则点对应的复数的虚部为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据点对应的复数求出其坐标，再利用等边三角形的性质求出点的坐标，最后根据复数的几何意义得到点对应的复数，进而求出其虚部. 【详解】已知点对应的复数为，根据复数的几何意义，所以点的坐标为. 所以向量.又因为为等边三角形， 所以，且. 又因为，所以，即. 设，则. 又因为 而，联立方程组可得 或. 由题可知点在第二象限，所以即点的坐标为. 即点对应的复数为.所以虚部为. 故选：C. 6．（2026·湖南永州·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数模的运算性质计算出，然后利用共轭复数的性质求解即可. 【详解】，． . 故选：A. 7．（2026·湖南株洲·一模）（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用复数的运算法则可得答案. 【详解】原式， . 故选：C 8．（2026·湖南·模拟预测）如图，中，，为边靠近的三等分点，为中点，过作垂线交于点，，若，则（   ） A． B．4 C． D．8 【答案】A 【分析】利用共线向量定理及平面向量基本定理用表示，再利用数量积运算律求解. 【详解】由为边靠近的三等分点，得， 不妨设，由三点共线得， 设，则， 又不共线，则有， 即，解得，即， 由，得，因，， 因此 ， 因， 所以. 平面向量的线性运算 考点2 1．（2026·湖南永州·一模）已知菱形的边长为2，是的中点，则（   ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】C 【分析】以为基底表示出，再利用向量数量积的运算律求解. 【详解】， . 故选：C. 2．（2026·湖南邵阳·一模）在平行四边形ABCD中，点在线段AC上，且.若，其中，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由， 又，则，故. 3．（2026·湖南怀化·一模）在平行四边形中，与交于点，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量共线定理和向量的平行四边形定则求解即可. 【详解】 . 因为，，三点共线，根据向量共线定理可知， ，解得. 平面向量的基本定理及其坐标表示 考点3 1．（2026·湖南永州·一模）设向量绕点顺时针旋转得到向量，且，则向量（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，若以所在射线为终边的一个角为，则以所在射线为终边的角为.由此可得的坐标，根据列出方程，求得，即可得到的坐标. 【详解】设， 若以所在射线为终边的一个角为，则以所在射线为终边的角为. 因为， 所以. 又，所以. 所以. 即，解得. 所以. 故选：B. 2．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）已知为的重心，过的直线与，边分别交于，点，若，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三点共线得到的关系式，再代入，利用导数求得函数最值即可. 【详解】因为为的重心， 所以， 又因为，， 所以， 又因为三点共线， 所以， 因为在线段上，所以与同向且， 于是，同理， 结合得. 目标函数为， 记，， 求导，得：， 所以在上单调递增， 故选：C 3．（2026·湖南邵阳·一模）已知是内的一点，且，.若，和的面积分别为1，，，则的最小值是（   ） A． B．9 C．15 D．20 【答案】C 【分析】根据向量数量积的定义，三角形的面积公式求得的面积，依题意求出的值，利用基本不等式“1”的妙用求解. 【详解】因，则， 则，于是， ，和的面积分别为1，，， ，，， ， 当且仅当时，即，等号成立， 的最小值是. 平面向量的数量积 考点4 1．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知向量满足，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将两端平方，从而解出与的夹角. 【详解】因为，所以， 所以，所以． 2．（2026·湖南衡阳·模拟预测）平面向量，满足，，且向量，的夹角为，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【详解】因为，且向量，的夹角为，所以， 由，得， 则，解得（负值舍）. 3．（2026·湖南岳阳·一模）已知向量，若，则（    ） A．-2 B．0 C．2 D．4 【答案】D 【分析】根据向量垂直的坐标运算求解. 【详解】因为，所以， 若，则，解得， 故选：D. 4．（2026·河南南阳·模拟预测）已知，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用投影向量公式即可求解. 【详解】因为，所以 所以在上的投影向量为 故选：B 5．（2026·湖南株洲·一模）已知向量，将向量绕坐标原点逆时针旋转角得到向量，则下列说法正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，利用向量的模与数量积的关系计算可判断ABC；利用数量积可判断D. 【详解】因为，所以，所以， 对于A，，所以 ， 当时，即时，，故A错误； 对于B，由A可知， 又 ， 当时，，可得，故B错误； 对于C，当，，可得， 所以，故C错误； 对于D，因为， 所以，故D正确. 故选：D. 6．（2026·湖南常德·一模）已知平面向量，为单位向量，且，若，则（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量数量积的运算律，利用夹角计算公式先求出余弦值，再求出正切值即可. 【详解】由向量，为单位向量，又，知. 因为，则， 所以. 又，得， 则， 故选：A. 7．（2026·湖南邵阳·一模）已知非零向量，满足，，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据得到，再根据投影向量的概念求解. 【详解】由， 所以. 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：A 8．（2026·湖南岳阳·一模）如图，圆，圆，动圆与圆外切于点，与圆内切于点，记圆心的轨迹为曲线，若直线与曲线交于两点，则下面说法正确的是（    ） A．曲线的方程为 B．的最小值为 C． D．当直线斜率都存在时， 【答案】ABC 【分析】对A，直接根据椭圆的定义可得答案；对B，与互补，求出的最大角即可；对于C：直接利用向量的坐标运算求解；对于D：设，，结合斜率公式及点在椭圆上即可判断. 【详解】 对于A，设动圆的半径为，又动圆与圆外切且与圆内切，， 则且不重合， 故点的轨迹是以为焦点的椭圆（去掉重合的点）， 则曲线的方程为，故A正确， 对于B，由图可知与互补，当点P为椭圆短轴端点时，最大，此时，所以， 则的最大值为，所以的最小值为，故B正确； 对于C，， 当且仅当即时等号成立，故C正确； 对于D，设，则，即， 由题意设，则，即， 则，故D错误， 故选：ABC. 2 / 10 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $