专题04+数列4个考点（湖南专用）2026年高考数学一模分类汇编

专题04 数列 等差数列 考点1 题号 1 2 3 4 5 答案 B A ABD BC BC 等比数列 考点2 1． 2． 3． 数列求和 考点3 题号 1 2 答案 D ABD 3．(1)，证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意求出等差数列的公差，即可得到其通项公式；由数列满足，.根据等比数列的定义可证明数列是等比数列； （2）由分组求和法，结合等差数列、等比数列的前项和公式可求得. 【详解】（1）设等差数列的公差为，由，， 得，解得. 所以. 由得，即， 又， 所以是一个以4为首项，3为公比的等比数列. （2）由（1）可得，所以. 所以. 所以. 4．(1)，理由见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求出和，并作差比较即可； （2）将原不等式等价于，设，求导后分、、三种情况讨论单调性，结合单调性判断即可； （3）根据，结合求出的通项表达式，再令，由（2）可得不等式，又令，可得，再结合裂项相消法证明即可． 【详解】（1）当时，，则， 所以， 所以， 所以． （2）由题可知，因为， 所以原不等式等价于，即， 设，因为，， 令，，， 当时，，所以在上单调递减， ，也即在上单调递减，，所以不符题意； 当时，又，令，解得， 则时，，所以在上单调递减， 又因为，所以必存在，使得时，， 也即在上单调递减，，所以不符题意； 当时，，则时，， 所以在上单调递增，， 也即在上单调递增，，所以符合题意； 综上所述，a的取值范围为． （3）因为，所以， 即，又， 所以， 也即当时，，又， 所以， 由（2）可知，当时，，也即， 令，则，即， 所以． 5．(1) (2) 【分析】（1）利用等差数列基本量的计算可求数列的通项公式； （2）由（1）可推得，进而利用裂项相消法求即可. 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为， 由题意得，解得， 所以. （2）由（1）知，则， 所以， 得. 6．(1)，（或，答案不唯一） (2) 【分析】（1）直接求出，由求得.由，求得数列的通项公式； （2）根据裂项相消法求得数列的前项和． 【详解】（1）由条件知. 当为偶数时，； 当为奇数且时，也符合. 数列的通项公式为，（或，答案不唯一） （2）由题意可知： 当为奇数时，，，则； 当为偶数时，，，则. 综上可得，. 所以， 所以. 7．(1) (2) 【分析】（1）由题意可得，结合等比数列的定义可得，即可求解； （2）由（1），结合错位相减法计算即可求解. 【详解】（1）由，得， 即，得，又， 所以是以为首项，以为公比的等比数列， 则，所以. （2）由（1）知，， ， 两式相减得， 所以. 2 / 10 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $专题04数列 ☆3大考点概脱 考点01等差数例 考点02等比数列 考点03数列求和 考点1 等差数列 一、单选题 1.(2026湖南岳阳一模)己知数列an}是等差数列，且4，+2a6+a,=24,则a,=() A.5 B.6 C.7 D.8 2.(2026湖南邵阳一模)设甲：数列{an}满足2an1=an+an+2n∈N,乙：数列{an}是等差数列，则甲是 乙的() A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 二、多选题 3.(2026湖南怀化一模)已知数列a,的首项a,=3,且满足”+1”=1 ，下列说法正确的有() anan+1an·an+ A.42=2 B.数列{nan}为等差数列 C.数列{(an-)(a1-1}的前项和大于4 D.数列an·an}为单调递减数列 (2026湖南模拟预测)已知数列a,的前n项和为S,且a。,S=;0,则下列说法正确的是( A.a1=2a2 B.数列{lga}为等差数列 c..剖 5.(2026湖南株洲一模)设等差数列{an}的前n项和为Sn,设an=f(n),Sn=g(n),在同一个坐标系中， f(),g(n)的部分图象如图所示，则下列推断正确的是() 试卷第1页，共3页 kf(n)(g(n)) 0.7 O 78 -04---------------2-4 -0.8 A.a=0.7 B.S8=-0.4 c.Sn≤S4 D.nSn≤6S6 考点2 等比数列 一、填空题 1.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若a=2,a4=16,则S4= 2.设等比数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn,若a,=1,S,=5S,-4,则S= 3.己知数列{an}满足a1=1,am+1=3an+4,则数列{an}的前100项和为 考点3 数列求和 一、单选题 1.(2026湖南永州一模)在数列{an}中，a,=1,a2=2,n∈N,a+2=a1-a,Sn为{an}的前项和， 则S2025=(） A.1514 B.5 C.1517 D.4 二、多选题 2.(2026湖南怀化一模)已知数列4，的首项a,=3,且满足”+1-”-，1，下列说法正确的有() an an+l an'antl A.42=2 B.数列nan}为等差数列 C.数列{(an-1(an1-}的前n项和大于4 D.数列{an·a+}为单调递减数列 试卷第1页，共3页 三、解答题 3.(2026湖南邵阳·一模)己知数列{an}是等差数列，且a,=1,2a=a4+3,数列bn}满足b,=3, bit=3b+a (I)求{an}的通项公式，并证明数列b,+n是等比数列； (2)若数列{cn}满足cn=an+bn,求{cn}的前n项和Tn 4.(2026湖南岳阳一模)已知实数a≥0，函数f=l血1+d,1 x 1+ax (1)当a=0时，试比较f)和f'(1)的大小，并说明理由： (2)若x>0时，∫x)>0,求a的取值范围； 1 (3)设正项数列{an}的前n项和为Sn,若an= ,+31+2n≥2刘，且a=2-1,求证： a2+a+a+…+a2< Invn+1 2 试卷第1页，共3页 5.(2026吉林白山一模)己知等差数列{an}的前n项和为Sn,2a2+a=21,S6=51. (I)求{an}的通项公式； 2若b,=,求数列b,}的前n项和T. anan n n为偶数，口 6.(2026湖南永州一模)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn= n+ ,n为奇数 2 (I)求a,a2的值，并求数列an}的通项公式； (2)求数列 1 的前n项和T,· aan) 试卷第1页，共3页 7.(2026湖南永州一模)已知数列a,满足a=)2a,1-(n+1)a,=0. 2 (I)求{an}的通项公式a; (2)求{an}的前n项和Sn. 试卷第1页，共3页 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 6/6 专题04 数列 3大考点概览 考点01等差数列 考点02等比数列 考点03数列求和 等差数列 考点1 一、单选题 1．（2026·湖南岳阳·一模）已知数列是等差数列，且，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】根据等差数列下标和的性质求解. 【详解】因为为等差数列，所以，又， 所以，解得， 故选：B. 2．（2026·湖南邵阳·一模）设甲：数列满足，乙：数列是等差数列，则甲是乙的（   ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合等差数列的定义分析判断即可. 【详解】若成立，则，符合等差数列的定义， 所以能够推出数列是等差数列，故充分性成立. 若数列是等差数列,设其公差为，则,. . 所以, 所以.即必要性成立. 所以甲是乙的充分必要条件. 故选：A. 二、多选题 3．（2026·湖南怀化·一模）已知数列的首项，且满足，下列说法正确的有（    ） A． B．数列为等差数列 C．数列的前项和大于4 D．数列为单调递减数列 【答案】ABD 【分析】代入计算可判断A；根据等差数列定义计算可判断B；根据裂项相消法计算可判断C；根据作商法计算可判断D. 【详解】因为，所以， 对于A，由题意可得，因为， 所以，故A正确； 对于B，由等差数列定义可知，数列是以为首项，为公差的等差数列，故B正确； 对于C，由B可知，，， 则， 设数列的前项和为， 则 ， 所以数列的前项和小于4，故C错误； 对于D，因为，所以， 因为， 所以，则数列为单调递减数列，故D正确. 4．（2026·湖南·模拟预测）已知数列的前项和为，且，则下列说法正确的是（   ） A． B．数列为等差数列 C． D． 【答案】BC 【分析】先利用与的递推关系求出数列的通项公式，再依次分析其对数数列的性质、前项和的范围，以及相关函数的取值范围，从而判断各选项的正误. 【详解】对于A：因为，当时，， 所以，则得， 又当时，，由，得，则，，故A错误； 对于B：因为，所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，则， 因此数列是首项为，公差为的等差数列，B正确； 对于C：， 当为奇数时，，因是递减数列，则； 当为偶数时，，因是递增数列，则， 所以，C正确； 对于D：因为在上单调递增，而， 则，D错误． 5．（2026·湖南株洲·一模）设等差数列的前项和为，设，在同一个坐标系中，的部分图象如图所示，则下列推断正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由题意分类讨论可求得，，，进而计算可求得数列的通项公式可判断AB；求得，的最大值可判断CD. 【详解】①若，，， 所以公差， 所以，所以， 所以，与矛盾，舍去. ②若，，，由，， 可得，所以，解得， 所以，解得，矛盾，舍去； ③若，，，由，，可得， 解得，所以，解得，而，矛盾，舍去； ④若，，， 由，，可得，解得， 所以，解得，所以， 所以，满足条件，故A错误，B正确； 所以， 令，得，解得， 所以当时，取得最大值，即，故C正确； 所以，所以， 令，求导得， 令，得或， 当，，所以在上单调递增， 当，，所以在上单调递减， 所以当且，单调递增，当且，单调递减， 又，， 所以，故D错误. 故选：BC. 等比数列 考点2 一、填空题 1．（2026·湖南邵阳·一模）设等比数列的前项和为，若，，则___________． 【答案】 【分析】求出等比数列的公比，利用等比数列的求和公式可求得的值. 【详解】设等比数列的公比为，则，故， 所以. 故答案为：. 2．（2026·湖南衡阳·模拟预测）设等比数列的各项均为正数，其前n项和为，若，，则______. 【答案】 【分析】设等比数列的公比为，根据等比数列的通项公式和前项和公式，列出方程，求得的值，进而求得的值. 【详解】设等比数列的公比为， 因为，，可得， 整理得，即， 因为，可得，所以. 又因为，所以，所以. 3．（2026·湖南岳阳·一模）已知数列满足，则数列的前100项和为__________. 【答案】 【分析】由，变形为：，利用等比数列的通项公式、前项和公式即可得出． 【详解】因为,可得， 因为,所以数列是公比为，首项为的等比数列， 则, 则数列的前100项和, 故答案为： 数列求和 考点3 一、单选题 1．（2026·湖南永州·一模）在数列中，为的前项和，则（    ） A．1514 B．5 C．1517 D．4 【答案】D 【分析】根据递推公式，列举数列的项，得出是以6为周期的数列.因为，所以． 【详解】 是以6为周期的数列，且． ． 故选：D. 二、多选题 2．（2026·湖南怀化·一模）已知数列的首项，且满足，下列说法正确的有（    ） A． B．数列为等差数列 C．数列的前项和大于4 D．数列为单调递减数列 【答案】ABD 【分析】代入计算可判断A；根据等差数列定义计算可判断B；根据裂项相消法计算可判断C；根据作商法计算可判断D. 【详解】因为，所以， 对于A，由题意可得，因为， 所以，故A正确； 对于B，由等差数列定义可知，数列是以为首项，为公差的等差数列，故B正确； 对于C，由B可知，，， 则， 设数列的前项和为， 则 ， 所以数列的前项和小于4，故C错误； 对于D，因为，所以， 因为， 所以，则数列为单调递减数列，故D正确. 三、解答题 3．（2026·湖南邵阳·一模）已知数列是等差数列，且，，数列满足，. (1)求的通项公式，并证明数列是等比数列； (2)若数列满足，求的前项和. 【答案】(1)，证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意求出等差数列的公差，即可得到其通项公式；由数列满足，.根据等比数列的定义可证明数列是等比数列； （2）由分组求和法，结合等差数列、等比数列的前项和公式可求得. 【详解】（1）设等差数列的公差为，由，， 得，解得. 所以. 由得，即， 又， 所以是一个以4为首项，3为公比的等比数列. （2）由（1）可得，所以. 所以. 所以. 4．（2026·湖南岳阳·一模）已知实数，函数． (1)当时，试比较和的大小，并说明理由： (2)若时，，求的取值范围； (3)设正项数列的前项和为，若，且，求证：． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求出和，并作差比较即可； （2）将原不等式等价于，设，求导后分、、三种情况讨论单调性，结合单调性判断即可； （3）根据，结合求出的通项表达式，再令，由（2）可得不等式，又令，可得，再结合裂项相消法证明即可． 【详解】（1）当时，，则， 所以， 所以， 所以． （2）由题可知，因为， 所以原不等式等价于，即， 设，因为，， 令，，， 当时，，所以在上单调递减， ，也即在上单调递减，，所以不符题意； 当时，又，令，解得， 则时，，所以在上单调递减， 又因为，所以必存在，使得时，， 也即在上单调递减，，所以不符题意； 当时，，则时，， 所以在上单调递增，， 也即在上单调递增，，所以符合题意； 综上所述，a的取值范围为． （3）因为，所以， 即，又， 所以， 也即当时，，又， 所以， 由（2）可知，当时，，也即， 令，则，即， 所以． 5．（2026·吉林白山·一模）已知等差数列的前n项和为，，． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等差数列基本量的计算可求数列的通项公式； （2）由（1）可推得，进而利用裂项相消法求即可. 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为， 由题意得，解得， 所以. （2）由（1）知，则， 所以， 得. 6．（2026·湖南永州·一模）已知数列的前项和为，且 (1)求的值，并求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)，（或，答案不唯一） (2) 【分析】（1）直接求出，由求得.由，求得数列的通项公式； （2）根据裂项相消法求得数列的前项和． 【详解】（1）由条件知. 当为偶数时，； 当为奇数且时，也符合. 数列的通项公式为，（或，答案不唯一） （2）由题意可知： 当为奇数时，，，则； 当为偶数时，，，则. 综上可得，. 所以， 所以. 7．（2026·湖南永州·一模）已知数列满足． (1)求的通项公式； (2)求的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得，结合等比数列的定义可得，即可求解； （2）由（1），结合错位相减法计算即可求解. 【详解】（1）由，得， 即，得，又， 所以是以为首项，以为公比的等比数列， 则，所以. （2）由（1）知，， ， 两式相减得， 所以. 2 / 10 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $