专题03+三角函数与解三角形3个考点（湖南专用）2026年高考数学一模分类汇编

专题03 三角函数与解三角形 3大考点概览 考点01三角恒等变换 考点02三角函数的图像与性质 考点03解三角形 三角恒等变换 运算 考点1 一、单选题 1．（2026·湖南湘潭·一模）若，则（    ） A．3 B． C． D． 2．（2026·湖南岳阳·一模）已知，则（    ） A． B． C． D．或 3．（2026·湖南怀化·一模）在中，内角的对边分别为，则一定为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．钝角三角形 4．（2026·湖南永州·一模）___________． 5．（2026·湖南永州·一模）______. 6．（2026·湖南邵阳·一模）已知，则______. 三角函数的图像与性质 考点2 一、单选题 1．（2026·湖南邵阳·一模）已知函数，则下列结论错误的是（   ） A． B． C．函数在区间上单调递增 D．函数的图象关于点中心对称 2．（2026·湖南·模拟预测）“”是“为第二象限角”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知某圆锥的轴截面是顶角为的等腰三角形，侧面展开图是圆心角为的扇形，若，则（   ） A． B． C． D． 4．（2026·湖南长沙·模拟预测）如图，函数的图象与轴交于点，与直线的两个交点为，若，则（   ） A． B． C． D．-1 5．（2026·湖南株洲·一模）已知平面直角坐标系中三个点，若函数的图象恰好只经过上面三个点中的两个，则的值不可能为（ ） A．10 B．14 C．18 D．22 二、多选题 6．（2026·湖南常德·一模）（多选）已知函数，则下列说法中正确的有（   ） A．函数的最小正周期为 B．函数的图象关于直线对称 C．将的图象向左平移个单位得到的函数为奇函数 D．函数与在上有两个交点 7．（2026·湖南邵阳·一模）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A． B．若，则 C．把函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则为偶函数 D．若函数的导函数为，则的图象关于点对称 三、填空题 8．（2026·湖南怀化·一模）已知函数的两个相邻零点间的距离为，则__________. 9．（2026·湖南岳阳·一模）若是函数的一个零点，且，则的最小值为__________. 10．（2026·湖南·模拟预测）如图所示，若，点与分别在直线两侧，且，则长度的最大值为__________． 四、解答题 11．（2026·湖南·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示． (1)求的解析式，并写出的单调递减区间； (2)若，且，求的值． 解三角形 考点3 一、单选题 1．（2026·湖南怀化·一模）在中，内角的对边分别为，则一定为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．钝角三角形 2．（2026·湖南永州·一模）在中，内角所对的边分别为，且满足，则（   ） A．角为锐角 B．2 C．2 D．的最大值为 3．（2026·湖南永州·一模）已知分别为内角的对边，若，，动点满足的大小与的大小相等，则的最小值为（    ） A． B． C． D．2 4．（2026·湖南湘潭·一模）在中，角，，的对边分别为，，．已知，且，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（2026·湖南邵阳·一模）在中，角，，所对的边分别为，，，且，，则下列选项正确的是（   ） A． B．若是边AC的中点，则线段BD的长的最小值为 C．的最大值为 D．若点是的外心，且，，则 三、填空题 6．（2026·湖南·模拟预测）如图所示，若，点与分别在直线两侧，且，则长度的最大值为__________． 四、解答题 7．（2026·湖南邵阳·一模）在中，内角的对边分别为．已知． (1)若，，求的外接圆的半径； (2)若，求的面积． 8．（2026·湖南岳阳·一模）在中，内角的对边分别为，，. (1)求； (2)若，求的面积. 9．（2026·湖南常德·一模）在中，角，，的对边分别为，，，已知且，，均为整数. (1)求； (2)设的中点为，，求的长. 10．（2026·湖南株洲·一模）在中，角为锐角，． (1)求角的大小； (2)若点为边的中点，且，求的值． 11．（2026·湖南衡阳·模拟预测）在中，角，，所对的边分别为，，，. (1)求的值； (2)若是边上一点，，，求的周长. 2 / 10 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 三角函数与解三角形 3大考点概览 考点01三角恒等变换 考点02三角函数的图像与性质 考点03解三角形 三角恒等变换 运算 考点1 一、单选题 1．（2026·湖南湘潭·二模）若，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】结合两角和差公式和二倍角公式计算即可. 【详解】因为， 所以． 故选D. 2．（2026·湖南岳阳·一模）已知，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】由平方关系分别求出，利用，由两角差的余弦公式求解. 【详解】因为，所以，所以， 因为，，所以， 又，所以，， 所以， 所以， 故选：C. 3．（2026·湖南怀化·一模）在中，内角的对边分别为，则一定为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【分析】先利用二倍角的余弦公式对等式进行化简，消去半角形式，化简后等式中含有边和角的混合形式，所以考虑利用正弦定理将边转化为角的正弦形式，再结合诱导公式对等式中的角进行转化，整理后得到角之间的关系，进而判断三角形的形状. 【详解】在中， , 则，即， 则，即得, 由于，故，结合，可得， 即一定为直角三角形， 二、填空题 4．（2026·湖南永州·一模）___________． 【答案】/ 【分析】根据二倍角公式及诱导公式计算即可. 【详解】原式 ． 故答案为：. 5．（2026·湖南永州·一模）______. 【答案】# 【分析】先乘以再除以，结合倍角公式化简即可. 【详解】原式 . 故答案为： 6．（2026·湖南邵阳·二模）已知，则______. 【答案】/ 【分析】应用二倍角余弦公式及诱导公式化简已知条件求出，化简目标式即可得. 【详解】由，则， 所以. 三角函数的图像与性质 考点2 一、单选题 1．（2026·湖南邵阳·二模）已知函数，则下列结论错误的是（   ） A． B． C．函数在区间上单调递增 D．函数的图象关于点中心对称 【答案】C 【分析】对于A：根据函数周期性分析判断；对于BD：根据正弦函数对称性的性质分析判断；对于C：根据单调性分析判断即可. 【详解】对于选项A：因为函数的最小正周期， 所以，故A正确； 对于选项B：因为为最大值， 可知是函数的对称轴，所以，故B正确； 对于选项C：因为，令，可得， 所以函数在区间上不单调，故C错误； 对于选项D：因为， 所以函数的图象关于点中心对称，故D正确. 2．（2026·湖南·模拟预测）“”是“为第二象限角”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由正弦函数在各个象限的符号结合充分条件、必要条件的概念即可判断. 【详解】若，则为第一象限、第二象限角或终边在轴正半轴上； 若为第二象限角，则， 所以“”是“为第二象限角”的必要不充分条件． 3．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知某圆锥的轴截面是顶角为的等腰三角形，侧面展开图是圆心角为的扇形，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用圆锥的结构特征及弧长的求法得，再逐项验证即可得. 【详解】设圆锥的母线长为，则圆锥的底面半径， 因为侧面展开图的扇形弧长即圆锥底面的周长，所以，即， 因为，所以，又，即， 逐个验证各选项可知，当时符合题意． 4．（2026·湖南长沙·模拟预测）如图，函数的图象与轴交于点，与直线的两个交点为，若，则（   ） A． B． C． D．-1 【答案】C 【详解】由，可知，在处函数单调递减，则， 因为时相邻两解差的绝对值的最小值为， 所以，解得，则， 所以． 5．（2026·湖南株洲·一模）已知平面直角坐标系中三个点，若函数的图象恰好只经过上面三个点中的两个，则的值不可能为（ ） A．10 B．14 C．18 D．22 【答案】D 【分析】将给定三个点的坐标依次代入每个选项对应的函数式验证即可. 【详解】A选项，若，， 而，，， 即过，不过，符合题意，A选项可能； B选项，若，， 而，，， 即过，，不过，符合题意，B选项可能； C选项，若，， 而，，， 即过，不过，符合题意，C选项可能； D选项，若，， 而，，， 即过，不过，，不符合题意，D选项不可能. 故选：D 二、多选题 6．（2026·湖南常德·一模）（多选）已知函数，则下列说法中正确的有（   ） A．函数的最小正周期为 B．函数的图象关于直线对称 C．将的图象向左平移个单位得到的函数为奇函数 D．函数与在上有两个交点 【答案】ACD 【分析】选项A，直接利用周期公式计算即可；选项B，先求函数的对称轴，进一步分析即可；选项C，先通过平移变换得出新函数，再利用函数的奇偶性进行判断；选项D，将函数交点的个数问题转化为方程根的个数问题，利用三角函数性质解方程即可得出结论. 【详解】由，故A选项正确； 由，即，令， 解得：，故B选项不正确； 由的图象向左平移个单位得到函数： ， 由的定义域为关于原点对称， 且， 所以为奇函数，故C选项正确； 令， 则①，解得：， 又，所以当时，， ②，解得：， 又，所以当时，， 所以函数与在上有两个交点， 故D选项正确； 故选：ACD. 7．（2026·湖南邵阳·一模）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A． B．若，则 C．把函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则为偶函数 D．若函数的导函数为，则的图象关于点对称 【答案】ABD 【分析】利用图像求出函数解析式,然后利用正弦型函数的图像与性质对选项进行逐一分析即可. 【详解】对于选项A,由图像可知振幅, 所以.解得.将点代入 即,解得.所以.故A正确. 对于选项B,已知,即. 所以.故B正确. 对于选项C,向左平移个单位. 得.显然是奇函数不是偶函数.故C错误. 对于选项D, 令解得对称中心的横坐标. 当时,.即的图像关于点对称.故选项D正确. 故选:ABD. 三、填空题 8．（2026·湖南怀化·一模）已知函数的两个相邻零点间的距离为，则__________. 【答案】或 【分析】令可得，结合正切函数周期性可得，代入求解即可. 【详解】令，可得， 因为函数的两个相邻零点间的距离为，则，解得， 若，则，可得； 若，则，可得； 综上所述：或 9．（2026·湖南岳阳·一模）若是函数的一个零点，且，则的最小值为__________. 【答案】 【分析】利用和差化积公式可得，再根据正弦函数以及余弦函数零点得出关于的方程，利用求根公式得出最小值即可. 【详解】依题意可知 由， 可得； 即或， 当时，可得，此时； 当时，可得，此时； 又因为，且求的最小值， 所以对于可知当时，， 整理可得，解得， 因为，所以； 对于方程，当时，方程为， 整理可得，解得，因为，取； 显然, 因此可得的最小值为. 故答案为： 10．（2026·湖南·模拟预测）如图所示，若，点与分别在直线两侧，且，则长度的最大值为__________． 【答案】/ 【分析】设，利用余弦定理及三角恒等变换将表示为的函数，再利用正弦函数的性质求出最大值. 【详解】在中，，设，则，， 在中，，则， 由余弦定理得 ， 因，则， 故当，即时，，所以的最大值为. 四、解答题 11．（2026·湖南·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示． (1)求的解析式，并写出的单调递减区间； (2)若，且，求的值． 【答案】(1)，． (2) 【分析】（1）根据函数图象确定最小正周期，即可得的值，再代入求得的值，从而可得函数的解析式，根据正弦函数的单调性求得减区间即可； （2）结合（1）中函数求出，进而得到，根据二倍角公式和角的范围求解. 【详解】（1）由图象可知，∴， 又∵，∴， 代入可知，即， 又因为，所以， 可知当时，单调递减， 所以的单调递减区间为． （2），又∵， 所以由二倍角公式可得：，解得， 又∵，∴， 所以． 解三角形 考点3 一、单选题 1．（2026·湖南怀化·一模）在中，内角的对边分别为，则一定为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【分析】先利用二倍角的余弦公式对等式进行化简，消去半角形式，化简后等式中含有边和角的混合形式，所以考虑利用正弦定理将边转化为角的正弦形式，再结合诱导公式对等式中的角进行转化，整理后得到角之间的关系，进而判断三角形的形状. 【详解】在中， , 则，即， 则，即得, 由于，故，结合，可得， 即一定为直角三角形， 2．（2026·湖南永州·二模）在中，内角所对的边分别为，且满足，则（   ） A．角为锐角 B．2 C．2 D．的最大值为 【答案】D 【分析】由同角的三角函数关系和降幂公式可判断A；由余弦定理结合A的结果可判断B；由同角的三角函数关系结合余弦定理可得判断C；由两角和的正切展开式再结合基本不等式可判断D. 【详解】由，得， ，所以， 对于A，由，得，所以为钝角，故A错误； 对于B，由，得，即，故B错误； 对于C，由，结合正弦定理可得， 所以，即得， 因为为钝角，为锐角，两边除以，得，故C错误； 对于D，由，即，， ， 因为，所以， 所以，当且仅当，即时取等号， 所以，即的最大值为，故D正确. 故选：D. 3．（2026·湖南永州·一模）已知分别为内角的对边，若，，动点满足的大小与的大小相等，则的最小值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据降幂公式结合余弦定理可得，根据面积可得，可知点在抛物线上，结合抛物线的性质分析求解. 【详解】因为， 整理可得，则，可知为等边三角形． 设点到直线的距离为，则，可得， 如图，过点作，垂足为，则， 过点作，垂足为，可知点在以为焦点，所在直线为准线的抛物线上， 可知当点为抛物线顶点（即为的中点）时，取得最小值，此时， 所以的最小值为． 故选：C. 4．（2026·湖南湘潭·二模）在中，角，，的对边分别为，，．已知，且，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由余弦定理和均值不等式运算，再通过三角形面积公式计算即可. 【详解】因为，所以， 所以．因为，所以， 当且仅当时，等号成立， 则的面积， 则面积的最大值为． 故选：A. 二、多选题 5．（2026·湖南邵阳·二模）在中，角，，所对的边分别为，，，且，，则下列选项正确的是（   ） A． B．若是边AC的中点，则线段BD的长的最小值为 C．的最大值为 D．若点是的外心，且，，则 【答案】ACD 【分析】A根据题意利用三角恒等变换可得，进而可得；B利用正弦定理可得，再利用平面向量结合基本不等式运算求解；C整理可得，进而分析最值；D根据数量积的几何意义结合外心性质可得，解方程即可. 【详解】A：因为，则，可得， 因为，则，，可得，所以，故A正确； B：由正弦定理，得，， 则，解得， 因为是边AC的中点，则，且， 可得，当且仅当时取等号， 所以，故B错误； C：因为 ，当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为，故C正确； D：因为，，则，即，，， 因为，则， 即，解得，故D正确. 三、填空题 6．（2026·湖南·模拟预测）如图所示，若，点与分别在直线两侧，且，则长度的最大值为__________． 【答案】/ 【分析】设，利用余弦定理及三角恒等变换将表示为的函数，再利用正弦函数的性质求出最大值. 【详解】在中，，设，则，， 在中，，则， 由余弦定理得 ， 因，则， 故当，即时，，所以的最大值为. 四、解答题 7．（2026·湖南邵阳·一模）在中，内角的对边分别为．已知． (1)若，，求的外接圆的半径； (2)若，求的面积． 【答案】(1)1. (2) 【分析】（1）利用正余弦定理化简题设条件，推得，求得，由勾股定理判断为直角三角形，即可求得的外接圆的半径； （2）由余弦定理可得，结合题设条件推得的结论，求得，再利用三角形的面积公式即可求得答案. 【详解】（1）在中，由和正弦定理可得：， 再由余弦定理得：，整理得. 因为，则．因，故为直角三角形， 所以的外接圆的半径为. （2）因为，又，所以. 由余弦定理，，可得， 又，且，代入化简，可得.解得， 则的面积为. 8．（2026·湖南岳阳·一模）在中，内角的对边分别为，，. (1)求； (2)若，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理结合三角恒等变换可得，再根据求角B即可； （2）根据两角和差公式求，再由正弦定理求出边，进而可得面积. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得， 且，即， 又因为，则，可得， 且，所以； 则，可得， 又因为，所以. （2）因为，， 则， 又因为，则， 所以. 9．（2026·湖南常德·一模）在中，角，，的对边分别为，，，已知且，，均为整数. (1)求； (2)设的中点为，，求的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）法一：根据三角形内角和以及三边之间的关系可得，再由正切函数单调性可得，即. 法二：假设，所以，根据正切函数单调递增，所以这与矛盾，即可得出结论； （2）由两角和的正切公式计算可得，利用等量代换联立解方程组计算可得，，也可以根据整数要求讨论得出结论，再求出，，最后利用正弦定理和余弦定理计算可得. 【详解】（1）法一： 在中，因为，所以， 又，所以，所以， 且在内单调递增，所以， 又为整数，所以，即. 法二： 在中，因为，所以， 所以为锐角，， 假设，所以， 又在内单调递增，所以， 又，所以，与矛盾， 所以， 又为整数，所以，即. （2）因为，所以， 即， 且，设，，由，可得 由于，，均为整数且，，解得，或， 解得，即，； （另解：可化为， 由，为正整数，且， 所以，，即，）； 所以，. 在中，由正弦定理得， 所以，. 在中，由余弦定理得； 所以. 10．（2026·湖南株洲·一模）在中，角为锐角，． (1)求角的大小； (2)若点为边的中点，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，可得，利用和差角公式展开化简求得； （2）根据（1）的结论及题设条件可得，在和中分别利用正弦定理列式求得答案. 【详解】（1），又， ， ，                  ， ，                    ， ，又为锐角，. （2），，                  在中，，① 在中，， ，② 由①和②，得，                  ，又， ， ， . 11．（2026·湖南衡阳·模拟预测）在中，角，，所对的边分别为，，，. (1)求的值； (2)若是边上一点，，，求的周长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合分式有意义得到，根据二倍角公式、辅助角公式得到，进而求出角及. （2）方法一：根据余弦定理列方程组求解即可.方法二：根据向量的运算及余弦定理列方程组求解即可. 【详解】（1）由题意知，，即，即. 因为，所以， 即， 所以， 又，， 所以或，所以（舍）或， 因为，所以，则. （2） 方法一：设，则，， 在中，由余弦定理可得， 在中，由余弦定理可得， 由，可得， 在中，由余弦定理可得， 即， 联立解得，， 所以的周长为. 方法二：设，则，，即， 故，故， 所以，可得， 在中，由余弦定理可得， 即， 联立解得，，所以的周长为. 2 / 10 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 三角函数与解三角形 三角恒等变换 运算 考点1 题号 1 2 3 答案 D C A 三角函数的图像与性质 考点2 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 C A D C D ACD ABD 8．或 9． 10．/. 11．(1)，． (2) 【分析】（1）根据函数图象确定最小正周期，即可得的值，再代入求得的值，从而可得函数的解析式，根据正弦函数的单调性求得减区间即可； （2）结合（1）中函数求出，进而得到，根据二倍角公式和角的范围求解. 【详解】（1）由图象可知，∴， 又∵，∴， 代入可知，即， 又因为，所以， 可知当时，单调递减， 所以的单调递减区间为． （2），又∵， 所以由二倍角公式可得：，解得， 又∵，∴， 所以． 解三角形 考点3 题号 1 2 3 4 5 答案 A D C A ACD 6．/. 7．(1)1. (2) 【分析】（1）利用正余弦定理化简题设条件，推得，求得，由勾股定理判断为直角三角形，即可求得的外接圆的半径； （2）由余弦定理可得，结合题设条件推得的结论，求得，再利用三角形的面积公式即可求得答案. 【详解】（1）在中，由和正弦定理可得：， 再由余弦定理得：，整理得. 因为，则．因，故为直角三角形， 所以的外接圆的半径为. （2）因为，又，所以. 由余弦定理，，可得， 又，且，代入化简，可得.解得， 则的面积为. 8．(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理结合三角恒等变换可得，再根据求角B即可； （2）根据两角和差公式求，再由正弦定理求出边，进而可得面积. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得， 且，即， 又因为，则，可得， 且，所以； 则，可得， 又因为，所以. （2）因为，， 则， 又因为，则， 所以. 9．(1) (2) 【分析】（1）法一：根据三角形内角和以及三边之间的关系可得，再由正切函数单调性可得，即. 法二：假设，所以，根据正切函数单调递增，所以这与矛盾，即可得出结论； （2）由两角和的正切公式计算可得，利用等量代换联立解方程组计算可得，，也可以根据整数要求讨论得出结论，再求出，，最后利用正弦定理和余弦定理计算可得. 【详解】（1）法一： 在中，因为，所以， 又，所以，所以， 且在内单调递增，所以， 又为整数，所以，即. 法二： 在中，因为，所以， 所以为锐角，， 假设，所以， 又在内单调递增，所以， 又，所以，与矛盾， 所以， 又为整数，所以，即. （2）因为，所以， 即， 且，设，，由，可得 由于，，均为整数且，，解得，或， 解得，即，； （另解：可化为， 由，为正整数，且， 所以，，即，）； 所以，. 在中，由正弦定理得， 所以，. 在中，由余弦定理得； 所以. 10．(1) (2) 【分析】（1）由，可得，利用和差角公式展开化简求得； （2）根据（1）的结论及题设条件可得，在和中分别利用正弦定理列式求得答案. 【详解】（1），又， ， ，                  ， ，                    ， ，又为锐角，. （2），，                  在中，，① 在中，， ，② 由①和②，得，                  ，又， ， ， . 11．(1) (2) 【分析】（1）结合分式有意义得到，根据二倍角公式、辅助角公式得到，进而求出角及. （2）方法一：根据余弦定理列方程组求解即可.方法二：根据向量的运算及余弦定理列方程组求解即可. 【详解】（1）由题意知，，即，即. 因为，所以， 即， 所以， 又，， 所以或，所以（舍）或， 因为，所以，则. （2） 方法一：设，则，， 在中，由余弦定理可得， 在中，由余弦定理可得， 由，可得， 在中，由余弦定理可得， 即， 联立解得，， 所以的周长为. 方法二：设，则，，即， 故，故， 所以，可得， 在中，由余弦定理可得， 即， 联立解得，，所以的周长为. 2 / 10 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $