微专题01 平行四边形中辅助线构造及三角形中位线（专项训练）数学新教材人教版八年级下册

微专题01 平行四边形中辅助线构造及三角形中位线 题型一 平行四边形中的中点四边形判定与计算 1.中点四边形定义：顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形为中点四边形，平行四边形的中点四边形仍为平行四边形； 2.判定中点四边形的特殊形状：结合原平行四边形的对角线特征（相等/垂直），利用中位线定理判定为矩形、菱形或正方形； 3.计算中点四边形的边长、周长：利用中位线定理，将中点四边形的边转化为原平行四边形对角线的，结合原平行四边形的边长、对角线关系求解。 1．（20-21八年级上·黑龙江大庆·期末）如图，四边形四条边上的中点分别为、、、，顺次连接、、、，得到四边形．求证：四边形是平行四边形．    【答案】见解析 【分析】本题主要考查三角形的中位线定理，平行四边形的判定．连接，根据三角形的中位线定理得到，，同理推出，，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形是平行四边形． 【详解】证明：连接．   是的中点，H是的中点， ∴，且， 同理可知，且， ∴，且， 四边形是平行四边形． 2．（23-24八年级下·广东惠州·期末）我们把依次连接任意四边形各边中点得到的四边形叫做中点四边形，如图，在四边形中，，，，分别是边，，，的中点，依次连接各边中点得到中点四边形，连接，证明：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了中位线的性质，平行四边形的判定，解题的关键是熟练掌握中位线性质，平行四边形的判定方法． 因为， 分别是边， 的中点，根据中位线的性质得出，得出， ，同理得出， ，从而得出，由平行公理的推论得出，即可得出结论． 【详解】解：， 分别是边， 的中点， ∴， ， ∵，分别是边，的中点， ∴， ， ∴，， ∴四边形是平行四边形． 3．（23-24七年级下·山西临汾·期末）【猜想结论】如图，在中，点分别是边的中点，可以根据度量或目测猜想结论：，且． 结论的符号语言：如图 ∵点是的中点， ∴，且．    【验证结论】（）如图，下面是小丽同学的部分证法． 证明：延长至，使得，连接， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴≌（）， ∴，， ∴， ……（请将剩下的过程补充完整）． 【应用结论】（）如图，在四边形中，点分别为边的中点，顺次连结四边形各边中点得到新四边形，请利用上述结论和符号语言说明四边形是平行四边形． 【答案】（1）补充见解析；（2）证明见解析 【分析】本题考查了三角形中位线性质的证明和应用，平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质等知识，掌握三角形中位线的性质是解题的关键． （）根据题意补充证明过程即可； （）连接，利用三角形中位线的性质分别得到，，，，即可得到，，进而由平行四边形的判定定理即可求证； 【详解】解：（）补充过程如下： ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； （）连接， ∵点分别为边的中点，    ∴，， 同理可得，， ∴，， ∴四边形是平行四边形． 4．（22-23八年级上·山东威海·期末）（1）如图1，四边形，点E，F，G，H分别为四边的中点，顺次连接E，F，G，H，则四边形的形状是_____________； （2）将图1中四边形沿折叠，其它条件不变，得到图2，（1）中的结论是否成立？请说明理由； （3）将图1中四边形沿折叠，其它条件不变，得到图3，（1）中的结论是否依然成立？请说明理由． 【答案】（1）平行四边形；（2）四边形是平行四边形，理由见解析；（3）四边形是平行四边形，理由见解析． 【分析】（1）连接，根据三角形中位线定理证明，根据平行四边形的判定定理证明即可； （2）（3）同（1）根据平行四边形的判定定理证明即可． 【详解】解：（1）连接， ∵点E，H分别为的中点，F，G分别为的中点， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形； 故答案为：平行四边形； （2）四边形是平行四边形，理由如下， 连接， ∵点E，H分别为的中点，F，G分别为的中点， ∴，， ∴， ∴四边形的形状是平行四边形； （3）四边形是平行四边形，理由如下， 连接， ∵点E，H分别为的中点，F，G分别为的中点， ∴，， ∴， ∴四边形的形状是平行四边形． 【点睛】本题考查的是平行四边形的判定和性质，解题的关键是灵活应用三角形中位线定理，学会添加常用辅助线． 题型二 平行四边形中直接连中点构造三角形中位线 1.当题目中出现两个及以上中点时，直接连接中点构造三角形中位线，利用定理实现线段的倍分与平行转化； 2.在平行四边形中，结合对角线互相平分的性质，连接顶点与对角线中点，快速得到中位线； 3.构造后通过中位线定理建立已知线段与未知线段的等量关系，求解线段长度。 1．（21-22八年级下·吉林·期末）如图所示，在中，对角线和相交于点O，点E是边的中点，，求的周长． 【答案】 【分析】根据平行四边形的性质可知是的中位线，进而得到，再求周长即可． 【详解】解：在中， ， O为中点， 又∵E是边的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴的周长． 2．（25-26九年级上·湖北荆门·月考）如图，点为的对角线上一点，，连接并延长至点，使得，连接，则为__________． 【答案】3 【分析】本题考查平行四边形的性质，三角形中位线定理，连接交于O，由平行四边形的性质推出，，判定是的中位线，推出，求出的长，即可求解． 【详解】解：连接交于O， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：3． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，对角线、相交于点，为的中点，．若，则的长为_____________． 【答案】1 【分析】取的中点并连接，先借助平行四边形对角线互相平分的性质，结合三角形中位线定理确定为的中位线，求出的长度，再根据线段比例关系推出是的中点，结合为的中点，再次运用三角形中位线定理判定为的中位线，最终求出的长． 【详解】解：取的中点，连接． ∵四边形是平行四边形， ∴是的中点． ∵是的中点， ∴是的中位线， ∴，且． ∵，是的中点， ∴，， ∴是的中点． 又∵是的中点， ∴是的中位线， ∴． 4．（25-26八年级上·重庆·期末）如图，四边形是平行四边形，对角线、交于点，的平分线交于点，为的中点，若，，，则的长可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、三角形中位线定理，，，，，由角平分线的定义并结合平行线的性质可得，从而得出，求出，再由三角形中位线定理计算即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，，，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点，， ∴为的中位线， ∴， 故选：B． 题型三 平行四边形中构造中位线证明线段平行/相等 1.证明线段平行：通过构造中位线，利用中位线与第三边的平行性，结合平行四边形的对边平行，进行平行关系的传递； 2.证明线段相等：构造中位线将其中一条线段转化为第三边的，再通过全等或平行四边形的性质证明另一条线段也为该第三边的，实现等量代换； 3.优先寻找中点条件，无中点时通过平行四边形性质创造中点，再构造中位线。 1．（25-26九年级上·山东烟台·期末）点是的边上的一点，连接并延长，使，连接并延长，使，连接，为的中点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，交于点，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】（1）根据三角形中位线定理和平行四边形的性质证明，，由“对边平行且相等的四边形为平行四边形”即可得到结论； （2）连接，证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的对角线相互平分，即可得到的长． 【详解】（1）证明：∵，， ∴为的中位线， ，， ∵点F为的中点， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ，， ，， ∴四边形为平行四边形； （2）解：连接， ，， ∴是的中位线， ， ， 又， ∴四边形是平行四边形， ， ． 2．（25-26九年级上·安徽宿州·期中）如图，在菱形中，对角线，相交于点O，E为的中点，延长到点F，使，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求平行四边形的面积． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定，勾股定理，三角形的中位线定理等知识点，熟练掌握菱形的性质，平行四边形的判定是解题的关键． （1）先得到为的中位线，则根据三角形中位线的性质以及已知添加证明，即可证明； （2）先求出，再由勾股定理求出，然后过点作于点，由面积法得到，即可求解，再由平行四边形面积公式求解． 【详解】（1）证明：菱形 为中点 为的中位线 四边形是平行四边形 （2）解：过点作于点 菱形 解得： ． 3．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）如图所示，和分别是中和边上的中线，过点F作，过点E作，与相交于点M，连接，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，三角形中位线定理，先证明四边形是平行四边形，得到，则可证明四边形是平行四边形，得到，再由三角形中位线定理可得，据此可证明． 【详解】证明：，， 四边形是平行四边形， ， 是中边上的中线， ， ， 四边形是平行四边形， ， 是中边上的中线， 为的中位线， ， ． 4．（24-25八年级下·陕西汉中·期末）如图，在中，E是的中点，连接是的中点，连接与交于点G，若，则的值为________． 【答案】6 【分析】该题考查了三角形的中位线定理和平行四边形的性质和判定，取的中点，连接，，利用三角形的中位线定理和平行四边形的判定定理证明四边形为平行四边形即可得出结论． 【详解】解：取的中点，连接，， ∵是的中点，是的中点， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：6． 题型四 平行四边形中构造中位线解决线段和差/倍分问题 1.线段倍分问题：直接构造中位线，利用“中位线=第三边”直接实现线段的倍分转化，结合平行四边形对边相等的性质拓展； 2.线段和差问题：通过构造多条中位线，将不同线段转化为同一三角形的边，再利用三角形三边关系或平行四边形的线段关系，完成和差的证明与计算； 3.复杂图形中，拆分图形为多个含中位线的三角形，逐一分析线段关系后整合。 1．（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图，在中，是的中点，是的中点，交于点，若，则的长为____． 【答案】3 【分析】本题主要涉及平行四边形的性质与判定以及三角形中位线定理，取的中点，连接构造中位线，利用中位线性质和平行四边形性质得到新的平行四边形，进而得出线段之间的关系，最后根据已知线段长度求出． 【详解】解：取的中点，连接，如图， 是的中点，是的中点， 是的中位线， 平行于，， ∵四边形是平行四边形， ，平行于， 是的中点， ， 平行于，， ∴四边形是平行四边形， ， ，是的中点， ， ． 故答案为：3． 2．（25-26八年级上·山东淄博·期末）（1）如图1，与相交于点过点O，且分别交于点E，F，且．判断四边形的形状，并加以证明． （2）如图2，在中，点D，E分别为边的中点，点H在线段上，连接，点G，F分别为的中点． ①求证：四边形为平行四边形； ②若，求的长． 【答案】（1）四边形的形状为平行四边形，证明见解析；（2）①见解析；② 【分析】（1）利用全等三角形的判定及性质可证，，结合对角线互相平分的四边形为平行四边形即可求解； （2）①根据三角形中位线的性质可得，且，再结合平行四边形的判定即可证明；②由平行四边形的性质结合勾股定理先求出，再根据为中点即可求答案． 【详解】（1）解：四边形的形状为平行四边形，证明如下： ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 同理：， ∴， 即对角线互相平分， ∴四边形为平行四边形； （2）①证明：∵点D、E分别为，的中点， ∴是的中位线， ∴，且， ∵点G、F分别为的中点， ∴是的中位线， ∴，且， ∴，且， ∴四边形是平行四边形； ②解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点D为的中点， ∴， ∵， ∵点G为的中点， ∴． 3．（25-26八年级上·山东泰安·月考）如图，延长的边到E，使，连接交于点． (1)试说明：． (2)连接、相交于点，连接．与有怎样的数量关系与位置关系？说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)，，理由见解析 【分析】本题考查三角形的中位线，全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质； （1）由得到，，则，，结合，得到，即可证明． （2）由得到是中点，由，得到，即是中点，则是中位线，得到，，即可得到，． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴． （2）解：，，理由如下： ∵连接、相交于点，， ∴，即是中点， 由（1）得， ∴，即是中点， ∴是中位线， ∴，， ∵，， ∴，． 4．（2025·安徽淮南·二模）如图，在中，对角线，相交于点，为的中点，为的中点，连接交于点．若，则的长为（    ） A．8 B．7 C．6 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，三角形中位线的性质，取的中点构建平行四边形是解题的关键．取的中点，则，连接，根据三角形中位线的性质可证得四边形是平行四边形，则，进而根据平行四边形的性质，即可求解． 【详解】解：如图，取的中点，则，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵为的中点，为的中点， ∴， ∴，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 题型五 平行四边形中利用倍长法构造三角形中位线 1.已知三角形一边中点，无其他中点时，将过中点的线段倍长，连接端点构造全等三角形，进而形成中位线模型； 2.在平行四边形中，倍长边或对角线的部分线段，结合平行四边形对边平行且相等的性质，搭建中位线的构造条件； 3.倍长后利用全等三角形性质转化线段，再通过中位线定理完成证明或计算。 1．（23-24八年级下·河南·月考）安阳某初中数学兴趣小组学完“中位线定理”后进行了探究． 试题：如图，在中，，分别是边，上的点． 回顾：若、分别是、的中点，则与的位置关系是_________，数量关系是_________； 变式：若是的中点，，点是否为的中点？请从下面两个思路中任选一个进行判断求解； 思路一延长至点，使，连接． 思路二过点作的平行线，与的延长线交于点． 应用：如图，在中，是边的中点，请用无刻度的直尺和圆规在边上确定点，使得点为边的中点．（保留作图痕迹，不写作法）（提示：作一个角等于已知角） 【答案】回顾：，；变式：是的中点；应用：见解析 【分析】本题主要考查三角形中位线定理以及基本作图： 回顾：直接根据三角形中位线定理解答即可； 变式：思路一，根据证明，得证明出，所以，四边形是平行四边形，得出,故可得，从而点为中点； 思路二：根据作图得，得,根据证明，得,再证明四边形是平行四边形，得出,故可得，从而点为中点； 应用：根据尺规作角等于已知角，即过点D作即可． 【详解】解：回顾：由三角形中位线定理可知： 若、分别是、的中点，则与的位置关系是，数量关系是； 故答案为：，； 变式：思路一：∵是的中点， ∴ 又， ∴， ∴ ∴， ∵，即， ∴四边形是平行四边形， ∴, ∴， ∴点为中点； 思路二、根据作图得， ∴, ∵是的中点， ∴ 又 ∴， ∴, ∵ ∴四边形是平行四边形， ∴, ∴， ∴点为中点； 应用：如图，点E即为所作 2．（24-25九年级下·重庆·期中）们在探究三角形中位线定理时，可以通过将三角形转化为平行四边形的方式来证明．如图1，已知在中，分别为的中点．请按要求完成下面作图和填空： (1)请在图1中完成尺规作图：在线段右侧作射线，使得，射线交的延长线于点（不要求写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）所作的图形中，求证：，． 证明：点为边中点， ∵在和中， ， ① ∴， ②   且， 点为边上的中点， ∴， ∴． ， ∴ 四边形是平行四边形， ∴， ∴，， 在梯形中也有类似的结论，如图2，在四边形中，，点分别为和中点．类比三角形中位线定理，可得，线段和的数量关系为 ③ 【答案】(1)作图见解析 (2)①，②，③ 【分析】（1）根据基本尺规作图-作两个角相等，作出图形即可得到答案； （2）证明四边形是平行四边形，由平行四边形性质即可得证；将梯形转化为三角形，由前面所证三角形中位线性质即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示： ，射线交的延长线于点； （2）证明：如图所示： 点为边中点， ， ∵在和中， ， ∴， ，且， 点为边上的中点， ∴， ， ∴． ∴， 四边形是平行四边形， ∴， ， ． 连接并延长，交于点，如图所示： 点为边中点， ， ， ， ∵在和中， ， ∴， ，， 点为边上的中点， ∴， ∴是的中位线，则． 故答案为：①，②，③． 【点睛】本题考查三角形中位线的探究，涉及基本尺规作图-作两个角相等、中点定义、全等三角形的判定和性质、平行线的性质、平行四边形的判定和性质、三角形中位线定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 3．（24-25八年级下·辽宁朝阳·期末）【课本再现】我们把连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 下面是三角形中位线的性质及证明三角形中位线定理的两种添加辅助线的方法： 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．已知：如图1，在△中，点，分别是，边的中点．求证：，且．    方法一：证明：如图2，延长到点，使，连接，，．    方法二：证明：如图3，取的中点，连接并延长到点，使，连接．    【回顾证法】 （1）请你选择其中一种证法，继续完成证明过程． 【实践应用】 （2）如图4，，两地被池塘隔开，在无法直接测量的情况下，小明通过下面的方法测出了，间的距离：先在池塘外选一点，连接，，然后测出，的中点，，并测出的长度为12米，则，两点间的距离为_____米．    （3）如图5，在四边形中，，，分别是，的中点，连接并延长，分别与，的延长线交于点，，求证：． 【答案】（1）见解析；（2）24；（3）见解析． 【分析】（1）取的中点，连接并延长到点，使，连接，利用全等三角形的判定与性质得到，，利用平行四边形的判定定理得到四边形为平行四边形，利用平行四边形的性质和线段中点的定义得到，，则四边形为平行四边形，利用平行四边形的性质即可得出结论； （2）利用三角形的中位线定理解答即可； （3）连接，取的中点，连接，，利用三角形的中位线定理得到，，，，利用平行线的性质得到，，利用等量代换的性质和等腰三角形的判定定理与性质定理得到，则． 【详解】（1）证明：取的中点，连接并延长到点，使，连接，如图， 是边的中点， ． 在和中，， ∴， ，， ， 为的中点， ， ， 四边形为平行四边形， ∴，， ，， ，， 四边形为平行四边形， ，． 即三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半． （2）解：，分别是，的中点， 为的中位线， （米）． 故答案为：24 （3）证明：如图，连接，取的中点，连接，， 点为的中点，点为的中点， 为的中位线， ，， ， 点为的中点，点为的中点， 为的中位线， ，， ． ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了三角形的中位线定理的证明及其应用，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，平行四边形的判定与性质，线段的中点的定义，添加适当辅助线构造全等三角形和平行四边形是解题的关键． 4．（25-26九年级上·吉林·开学考试）【提出问题】兴趣小组活动中老师提出了如下问题：如图，在中，若，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使得， 再连接（或将绕点D 逆时针旋转得到）， 把集中在中， 利用三角形的三边关系可得， 则． 【方法感悟】当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作“辅助线”，把一条过中点的线段延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，这种作辅助线的方法称为“中线加倍”法． 【解决问题】如图， 在中， 点D是边的中点， 点E在边上， 过点D作；交边于点 F， 连接． (1)求证：． (2)若， 则线段之间的等量关系为 ． (3)【应用拓展】如图， 在中，， 点D为边的中点， 点E和点F分别在边上，点M为线段的中点．若，则的长为 ． 【答案】(1)详见解析 (2) (3) 【分析】（1）延长到G，使得， 再连接，由可证明，则，从而有，再由线段垂直平分线的性质得，即可证明结论成立； （2）与（1）同理得，得，，从而有，得，由勾股定理即可得线段之间的等量关系； （3）连接，过点C作交的延长线于点H，连接，先证明，得；在中由勾股定理求得，再由三角形中位线定理即可求得的长． 【详解】（1）证明：如图，延长到G，使得，连接， ∵D点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：如图，与（1）同理得， ∴，， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∵，， ∴， ∴， 即线段之间的等量关系为：， 故答案为：； （3）解：如图，连接，过点C作交的延长线于点H，连接， ∵， ∴， ∴， ∵D点为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得， ∵点D为边的中点，点M为线段的中点， ∴为的中位线， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，三角形中位线定理等知识，证明三角形全等是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题01 平行四边形中辅助线构造及三角形中位线 题型一 平行四边形中的中点四边形判定与计算 1.中点四边形定义：顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形为中点四边形，平行四边形的中点四边形仍为平行四边形； 2.判定中点四边形的特殊形状：结合原平行四边形的对角线特征（相等/垂直），利用中位线定理判定为矩形、菱形或正方形； 3.计算中点四边形的边长、周长：利用中位线定理，将中点四边形的边转化为原平行四边形对角线的，结合原平行四边形的边长、对角线关系求解。 1．（20-21八年级上·黑龙江大庆·期末）如图，四边形四条边上的中点分别为、、、，顺次连接、、、，得到四边形．求证：四边形是平行四边形．    2．（23-24八年级下·广东惠州·期末）我们把依次连接任意四边形各边中点得到的四边形叫做中点四边形，如图，在四边形中，，，，分别是边，，，的中点，依次连接各边中点得到中点四边形，连接，证明：四边形是平行四边形． 3．（23-24七年级下·山西临汾·期末）【猜想结论】如图，在中，点分别是边的中点，可以根据度量或目测猜想结论：，且． 结论的符号语言：如图 ∵点是的中点， ∴，且．    【验证结论】（）如图，下面是小丽同学的部分证法． 证明：延长至，使得，连接， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴≌（）， ∴，， ∴， ……（请将剩下的过程补充完整）． 【应用结论】（）如图，在四边形中，点分别为边的中点，顺次连结四边形各边中点得到新四边形，请利用上述结论和符号语言说明四边形是平行四边形． 4．（22-23八年级上·山东威海·期末）（1）如图1，四边形，点E，F，G，H分别为四边的中点，顺次连接E，F，G，H，则四边形的形状是_____________； （2）将图1中四边形沿折叠，其它条件不变，得到图2，（1）中的结论是否成立？请说明理由； （3）将图1中四边形沿折叠，其它条件不变，得到图3，（1）中的结论是否依然成立？请说明理由． 题型二 平行四边形中直接连中点构造三角形中位线 1.当题目中出现两个及以上中点时，直接连接中点构造三角形中位线，利用定理实现线段的倍分与平行转化； 2.在平行四边形中，结合对角线互相平分的性质，连接顶点与对角线中点，快速得到中位线； 3.构造后通过中位线定理建立已知线段与未知线段的等量关系，求解线段长度。 1．（21-22八年级下·吉林·期末）如图所示，在中，对角线和相交于点O，点E是边的中点，，求的周长． 2．（25-26九年级上·湖北荆门·月考）如图，点为的对角线上一点，，连接并延长至点，使得，连接，则为__________． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，对角线、相交于点，为的中点，．若，则的长为_____________． 4．（25-26八年级上·重庆·期末）如图，四边形是平行四边形，对角线、交于点，的平分线交于点，为的中点，若，，，则的长可以表示为（    ） A． B． C． D． 题型三 平行四边形中构造中位线证明线段平行/相等 1.证明线段平行：通过构造中位线，利用中位线与第三边的平行性，结合平行四边形的对边平行，进行平行关系的传递； 2.证明线段相等：构造中位线将其中一条线段转化为第三边的，再通过全等或平行四边形的性质证明另一条线段也为该第三边的，实现等量代换； 3.优先寻找中点条件，无中点时通过平行四边形性质创造中点，再构造中位线。 1．（25-26九年级上·山东烟台·期末）点是的边上的一点，连接并延长，使，连接并延长，使，连接，为的中点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，交于点，若，求的长． 2．（25-26九年级上·安徽宿州·期中）如图，在菱形中，对角线，相交于点O，E为的中点，延长到点F，使，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求平行四边形的面积． 3．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）如图所示，和分别是中和边上的中线，过点F作，过点E作，与相交于点M，连接，，求证：． 4．（24-25八年级下·陕西汉中·期末）如图，在中，E是的中点，连接是的中点，连接与交于点G，若，则的值为________． 题型四 平行四边形中构造中位线解决线段和差/倍分问题 1.线段倍分问题：直接构造中位线，利用“中位线=第三边”直接实现线段的倍分转化，结合平行四边形对边相等的性质拓展； 2.线段和差问题：通过构造多条中位线，将不同线段转化为同一三角形的边，再利用三角形三边关系或平行四边形的线段关系，完成和差的证明与计算； 3.复杂图形中，拆分图形为多个含中位线的三角形，逐一分析线段关系后整合。 1．（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图，在中，是的中点，是的中点，交于点，若，则的长为____． 2．（25-26八年级上·山东淄博·期末）（1）如图1，与相交于点过点O，且分别交于点E，F，且．判断四边形的形状，并加以证明． （2）如图2，在中，点D，E分别为边的中点，点H在线段上，连接，点G，F分别为的中点． ①求证：四边形为平行四边形； ②若，求的长． 3．（25-26八年级上·山东泰安·月考）如图，延长的边到E，使，连接交于点． (1)试说明：． (2)连接、相交于点，连接．与有怎样的数量关系与位置关系？说明理由． 4．（2025·安徽淮南·二模）如图，在中，对角线，相交于点，为的中点，为的中点，连接交于点．若，则的长为（    ） A．8 B．7 C．6 D．4 题型五 平行四边形中利用倍长法构造三角形中位线 1.已知三角形一边中点，无其他中点时，将过中点的线段倍长，连接端点构造全等三角形，进而形成中位线模型； 2.在平行四边形中，倍长边或对角线的部分线段，结合平行四边形对边平行且相等的性质，搭建中位线的构造条件； 3.倍长后利用全等三角形性质转化线段，再通过中位线定理完成证明或计算。 1．（23-24八年级下·河南·月考）安阳某初中数学兴趣小组学完“中位线定理”后进行了探究． 试题：如图，在中，，分别是边，上的点． 回顾：若、分别是、的中点，则与的位置关系是_________，数量关系是_________； 变式：若是的中点，，点是否为的中点？请从下面两个思路中任选一个进行判断求解； 思路一延长至点，使，连接． 思路二过点作的平行线，与的延长线交于点． 应用：如图，在中，是边的中点，请用无刻度的直尺和圆规在边上确定点，使得点为边的中点．（保留作图痕迹，不写作法）（提示：作一个角等于已知角） 2．（24-25九年级下·重庆·期中）们在探究三角形中位线定理时，可以通过将三角形转化为平行四边形的方式来证明．如图1，已知在中，分别为的中点．请按要求完成下面作图和填空： (1)请在图1中完成尺规作图：在线段右侧作射线，使得，射线交的延长线于点（不要求写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）所作的图形中，求证：，． 证明：点为边中点， ∵在和中， ， ① ∴， ②   且， 点为边上的中点， ∴， ∴． ， ∴ 四边形是平行四边形， ∴， ∴，， 在梯形中也有类似的结论，如图2，在四边形中，，点分别为和中点．类比三角形中位线定理，可得，线段和的数量关系为 ③ 3．（24-25八年级下·辽宁朝阳·期末）【课本再现】我们把连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 下面是三角形中位线的性质及证明三角形中位线定理的两种添加辅助线的方法： 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．已知：如图1，在△中，点，分别是，边的中点．求证：，且．    方法一：证明：如图2，延长到点，使，连接，，．    方法二：证明：如图3，取的中点，连接并延长到点，使，连接．    【回顾证法】 （1）请你选择其中一种证法，继续完成证明过程． 【实践应用】 （2）如图4，，两地被池塘隔开，在无法直接测量的情况下，小明通过下面的方法测出了，间的距离：先在池塘外选一点，连接，，然后测出，的中点，，并测出的长度为12米，则，两点间的距离为_____米．   （3）如图5，在四边形中，，，分别是，的中点，连接并延长，分别与，的延长线交于点，，求证：． 4．（25-26九年级上·吉林·开学考试）【提出问题】兴趣小组活动中老师提出了如下问题：如图，在中，若，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使得， 再连接（或将绕点D 逆时针旋转得到）， 把集中在中， 利用三角形的三边关系可得， 则． 【方法感悟】当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作“辅助线”，把一条过中点的线段延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，这种作辅助线的方法称为“中线加倍”法． 【解决问题】如图， 在中， 点D是边的中点， 点E在边上， 过点D作；交边于点 F， 连接． (1)求证：． (2)若， 则线段之间的等量关系为 ． (3)【应用拓展】如图， 在中，， 点D为边的中点， 点E和点F分别在边上，点M为线段的中点．若，则的长为 ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $