专题04 三角形中位线定理专训（专项训练）数学新教材北京版八年级下册

专题04 三角形的中位线定理专训（原卷版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、与三角形中位线有关的证明问题 1 题型二、利用三角形的中位线求长度 2 题型三、利用三角形的中位线求角度 3 题型四、利用三角形的中位线求面积 5 题型五、三角形中位线的实际应用 6 题型六、三角形中位线的最值问题 8 题型七、三角形中位线的辅助线添加问题 9 题型八、三角形中位线的新定义问题 11 题型九、中点四边形 11 B综合攻坚・能力跃升 题型一、与三角形中位线有关的证明问题 1．如图，在中，，，分别是，的中点，延长到点，使，连接交于点．求证：． 2．如图，在矩形中，连接，交于点，为线段上一点，连接，，取的中点，平分． (1)求证：； (2)若，，求矩形的面积． 3．如图，在中，，点E，F分别是，的中点，以为斜边作． (1)求证：； (2)若，求的度数． 4．点是的边上的一点，连接并延长，使，连接并延长，使，连接，为的中点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，交于点，若，求的长． 题型二、利用三角形的中位线求长度 5．如图，在中，F，E分别是和的中点，连接，点G是的中点，连接并延长，交的延长线于点D．若，则的长为（　　） A．12 B．8 C．10 D．6 6．如图，在矩形中，点E是边上靠近点B的三等分点，点F是边上靠近点C的三等分点，连接，，M，N分别是，的中点，连接，若，，则的长为（    ） A． B． C． D．2 7．如图，在边长为3的正方形中，点，分别是边，的中点，连接，，点分别是的中点，连接，则的长度为___________． 8．如图，中，，，，，，求的值． 题型三、利用三角形的中位线求角度 9．如图，在四边形中，点是对角线的中点，点、分别是、的中点，，，．则的度数为（    ） A． B． C． D． 10．如图，在中，对角线与相交于点，是边的中点，连接．若，则的度数为（   ） A．60° B．50° C．40° D．25° 11．如图，为的角平分线，于，为中点，连接，若，，则_____． 12．如下图，在四边形中，，，分别是，的中点，延长交的延长线于点，延长交的延长线于点． (1)求证：． (2)若，，则的度数为 ． 题型四、利用三角形的中位线求面积 13．如图，菱形的面积为30，点E，F，G，H分别为，，，的中点，则四边形的面积为（   ） A．10 B．15 C．20 D．25 ∵四边形是菱形， ∴， 又∵菱形的面积为30， ∴，即； ∵点分别为的中点， ∴分别是的中位线， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴平行四边形是矩形， 14．如图，是的边上任意一点，、分别是线段、的中点，且的面积为，则的面积为（    ） A． B． C． D． 15．如图，在菱形中，，分别为，的中点，且，，则菱形的面积为________． 16．如图，在矩形中，、相交于点，为的中点，连接并延长至点，使，连接和． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 题型五、三角形中位线的实际应用 17．某县城有一人工湖，湖面较宽不方便直接测量．某数学学习小组的同学想知道湖面最大宽度的具体数据，设计了三种方案． 课题 测量人工湖的长度 测量工具 皮尺：直接测量可到达的两点间的距离． 测角仪：测量角的大小 方案一 测量数据：， ， 续表 方案二 测量数据：，， 方案三 测量数据：，， (1)方案一：，， 是线段的中点，是线段的中点， 是的_____． ， _____． (2)方案一求得长度的依据是__________． (3)请你从剩下两种方案中，选择一种求出人工湖的长度． 18．【情境】部分图形通过剪拼后能够得到矩形． 【操作1】嘉嘉将如图1所示的平行四边形通过裁剪拼成了矩形． （1）若，拼接时应将沿平移______． 【操作2】淇淇将如图2所示的三角形通过裁剪拼成了矩形． （2）依据图中呈现的操作方法，可知与的数量关系为______，与的位置关系为______． 【操作3】淇淇将如图3所示的四边形通过操作2中的方法裁剪拼成了矩形． （3）请在图3中补全剪拼过程和剪拼后的图形．（直接在原图形上画图，裁剪线用虚线，矩形用实线） 【操作4】嘉淇将如图4所示的菱形沿剪开，将筝形（有两组邻边分别相等的四边形）沿剪开，之后通过旋转平移等操作拼成了矩形． （4）若，，求的长． 19．【观察与发现】 如图1，我们在探究三角形中位线定理时，通过剪切和拼接的方法将三角形拼成了面积相等的平行四边形． 同样，我们也可以将任意一个四边形剪开拼成一个面积相等的平行四边形．操作如下：如图2，沿着过对边中点的两条线段和剪开，将四边形分成四部分．通过旋转或移动，使点B，C，D与A重合，可以得到，新四边形是平行四边形． 【类比与探究】 （1）类比上述做法，尝试将任意一个三角形剪开拼成一个与其面积相等的矩形． ①图3是将剪开拼成矩形的一种方法的一种方法． 依据图中呈现的操作方法，可知：与的数量关系为_______；与的位置关系为_________； ②如图4，请你再设计一种将剪开拼成与其面积相等的矩形的方法．仿照图3用虚线在左图中画出剪切线，简单说明剪切线满足的条件，在右图画出拼成的简图． 【实践与应用】 （2）请思考如何将任意一个四边形剪开拼成一个与原四边形面积相等的矩形？请你设计思路不同的两种方案，在图5中用虚线画出分割线，用实线画出拼成的矩形． 20．阅读与思考 问题情境： 如图1，某小区内有一池塘，同学们想利用所学知识测量池塘两端A，B两点间的距离． 可用工具：测量长度的卷尺、测量角度的测角仪． 方法分析： “圆周率”小组的操作过程如下：如图2，取能直接到达A和B的点C，量出的长和的度数；作；在射线上找一点D，使；测出的长度，就可得到A，B两点间的距离． “智慧”小组的操作过程如下：如图3，取能直接到达A和B的点C，连接，；分别取，的中点D，E，测出的长度，乘以2就可得到A，B两点间的距离． 说明：以上各点都在同一水平面内． （1）上面操作中，“圆周率”小组通过测量的长度得到A，B两点间的距离，依据是 ．“智慧”小组通过测量的长度乘以2，就可得到A，B两点间的距离，依据是 ． 迁移应用： （2）请你设计一种与上面方法不同的测量方案，要求： ①在图1中画出可操作的方案图； ②简要说明你的操作步骤； ③测量方案中，得到A，B两点间的距离的主要依据是 ． 题型六、三角形中位线的最值问题 21．如图所示，在矩形中，，，为的中点，则______，若为上一动点，为的中点，连接，最小为______． 22．如图，在四边形中，，，，，点M为上的动点，N、E、F分别为的中点．    (1)求的长度 (2)若点N为动点，则最小为___________． 23．问题提出； （1）如图1，长方形，，，点为的中点，点为上的动点， 时，的周长最小； （2）如图2，长方形，，，点为的中点，点、点为上的动点，且，当四边形的周长最小时，请确定点的位置；（即求的长） 问题解决； （3）如图3，某公园计划在一片足够大的等边三角形水域内部（不包括边界）点处修一个凉亭，设计要求长为10米，同时点，分别是水域，边上的动点，连接、、的水上浮桥周长最小时，四边形的面积最大，请你帮忙算算此时四边形面积的最大值是多少？ 24．如图，在等腰中，，，点为边上的动点．将绕点逆时针旋转得到． (1)如图1，若，，求旋转后到的距离； (2)如图2，连接、，若为的中点，猜想与的数量关系，并证明； (3)如图3，在点运动的过程中，在线段上存在一点，使的值最小，当的值取得最小值时，，请直接写出的长． 题型七、三角形中位线的辅助线添加问题 25．如图，在中，平分，是的中点，，，，则（　　） A．1 B． C．2 D． 26．如图，在矩形中，点E、F分别是边、的中点，连接、．点G、H分别是、的中点，连接．若，，则的长度为（   ） A． B． C． D． 27．如图，在中，对角线，相交于点，为的中点，为的中点，连接交于点．若，则的长为______． 28．阅读与思考 在《相似三角形》一章中，我们学习了三角形的中位线定理．类似地，我们把连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线，梯形的中位线平行于底边，并且等于两底和的一半． 下面是小明对这个定理的证明过程． 已知：如图1，在梯形中，，点，分别是，的中点． 求证：，． 证明：如图1，连接并延长，交的延长线于点． ， ，． …… (1)请根据小明的思路补全证明过程； (2)如图2，正方形的边长为4，点，分别是边，上的点，且，连接，，点，分别是，的中点，请直接写出的长． 题型八、三角形中位线的新定义问题 29．定义：有一组对边相等且这一组对边所在直线互相垂直的凸四边形叫做“等垂四边形”． 如图①，四边形ABCD与四边形AEFG都是正方形，，则图中的“等垂四边形”是______； 如图②，四边形ABCD是“等垂四边形”，，，则边AB长的最小值为______． 30．探究题． (1)图形的定义．小学学过梯形，请你仿照平行四边形的定义方法，给梯形下一个定义； (2)图形的性质．与三角形中位线定理类似，梯形也有类似结论即如图1，在梯形中，，，分别为，的中点，连接，求证：，； (3)综合应用．如图2，边长为2的正方形在边长为的正方形所在平面上平移，在平移过程中，始终保持，线段的中点为，的中点为，求的长． 31．我们给出如下定义：对于凸四边形，对角线互相垂直的四边形称为“对垂四边形”．如图1，在四边形中，，四边形就是“对垂四边形”．    (1)下列四边形中，一定是“对垂四边形”的是______（填序号）①平行四边形②矩形③菱形④正方形 (2)如图2，在四边形中，点E、F、G、H分别是边的中点，四边形是矩形，求证：四边形是“对垂四边形”． 32．定义：至少有一组对边相等的凸四边形为等对边四边形．如图，已知四边形，点是对角线的中点，为的中点，连接，为等边三角形． (1)求证：四边形是“等对边四边形”； (2)若，求的度数． 题型九、中点四边形 33．如图，菱形各边的中点分别为，，，，若四边形的面积为，则菱形的面积为（　 　） A． B． C． D．4 34．如图，是四边形的两条对角线，顺次连接四边形各边中点得到四边形，要使四边形为矩形，应添加的条件是（    ）． A． B． C． D． 35．如图，在四边形中，，点E，F，G，H分别为边的中点，连接，相交于点O，则的值为___________． 36．综合与探究 定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们就把这个原四边形叫做“中方四边形”． 概念理解： （1）下列四边形中一定是“中方四边形”的是________． A．平行四边形            B．矩形            C．菱形            D．正方形 性质探究： （2）如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形的结论： ①________； ②________； 问题解决： （3）如图2，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形ACFG，连接，问有什么位置关系和数量关系？直接写出结果． 拓展应用： （4）如图3，已知四边形是“中方四边形”，M，N分别是的中点．试探索与的数量关系，并说明理由． 1．（25-26八年级下·北京海淀·期中）如图，是的中位线，的角平分线交于点，若，，则的长为（   ） A．20 B．17 C．16 D．14 2．（2024·山东潍坊·一模）如图，在中，D是边的中点，是的平分线，于点E，连接．若，则等于（    ） A．7 B．6.5 C．6 D．5.5 3．（25-26八年级下·北京东城·期中）如图，在中，，，，点D为上的动点，点E，F分别为，的中点，则最小值为（　　） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·北京·月考）如图，在菱形中，对角线，相交于点O，M，N分别是边，的中点，连接，，若，，则的长为（　　） A．3.5 B．3 C．2.5 D．2 5．（25-26九年级上·北京·月考）如图，在四边形中，，，，分别是边，，，的中点，连接，， 和得到四边形，当对角线 和 满足，，时，四边形的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 6．（25-26八年级下·北京海淀·期中）如图，在四边形中，、、、分别是边、、、的中点，若，且 ，则四边形的面积为________． 7．（25-26八年级下·北京西城·期中）如图，菱形的边长为，对角线，相交于点，，点在延长线上，，连接． （1）线段的长为______； （2）若为的中点，则线段的长为______． 8．（2026·陕西·模拟预测）如图，在中，，，，点是边上的一个动点，点，分别是，的中点，则线段的长为 _____ ． 9．（25-26九年级上·广东佛山·期末）如图，在中，点是边的中点，点是边的三等分点，连接、并相交于点． (1)若，求的面积； (2)若，，，求的长度． 10．（25-26九年级上·宁夏银川·期末）如图，四边形是平行四边形，，相交于点O，点E是的中点，连接，过点E作于点F，过点O作于点G． (1)求证：四边形是矩形． (2)若四边形是菱形，，且，求的面积． 11．（24-25八年级上·山东威海·期末）在中，E是的中点，相交于点F，，．连接交于点O，若，，，求的长． 12．（25-26九年级上·河南南阳·月考）新乡某初中数学小组在学完“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”后分组进行了交流，请你根据各小组的内容解答问题． (1)经典小组的同学们对该性质进行了证明：①下面是该小组的小亮截取的教材中的证明过程： 已知：如图1，在中，，CD是斜边AB上的中线． 求证：． 证明：延长至点E，使，连接． ∵是斜边上的中线，∴．又∵， ∴四边形是平行四边形      I 又∵，∴四边形是矩形，    Ⅱ ∴，∴． 该证明过程中：I处的判定定理是_______；Ⅱ处的判定定理是________； ②该小组的小红提供了另一种证明方法，请你根据下面的思路，完成证明． 如图2，取的中点D，连接，根据中位线定理和其他知识进行证明． (2)创新小组在定理应用上进行了拓展：如图3，在四边形中，，，E，F分别为的中点，连接．若，平分，，过点E作于G，求的长． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 三角形的中位线定理专训（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、与三角形中位线有关的证明问题 1 题型二、利用三角形的中位线求长度 2 题型三、利用三角形的中位线求角度 3 题型四、利用三角形的中位线求面积 5 题型五、三角形中位线的实际应用 6 题型六、三角形中位线的最值问题 8 题型七、三角形中位线的辅助线添加问题 9 题型八、三角形中位线的新定义问题 11 题型九、中点四边形 11 B综合攻坚・能力跃升 题型一、与三角形中位线有关的证明问题 1．如图，在中，，，分别是，的中点，延长到点，使，连接交于点．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了三角形的中位线定理与定义，平行四边形的判定与性质，解题关键是掌握以上概念．本题先利用中位线的定义与性质得到，再得到四边形是平行四边形，即可求证． 【详解】证明：连接， 点分别为的中点，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ． 2．如图，在矩形中，连接，交于点，为线段上一点，连接，，取的中点，平分． (1)求证：； (2)若，，求矩形的面积． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了三角形中位线定理，矩形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由矩形性质可得，，，，再证明是的中位线，所以，，通过角平分线定义可得，所以，最后通过等角对等边即可求证； （）由中位线定理可得，从而有，然后通过勾股定理求出，最后由面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴为斜边的中点， ∵为的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵在中，为斜边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴矩形的面积=． 3．如图，在中，，点E，F分别是，的中点，以为斜边作． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】三角形中位线的性质定理：三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半；直角三角形斜边中线定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． （1）利用三角形中位线性质定理和直角三角形斜边中线定理即可得出； （2）根据平行线的性质得到，根据直角三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质计算即可． 【详解】（1）证明：∵点E，F分别是，的中点， ∴为的中位线． ∴． ∵点F是的中点，， ∴． ∵， ∴． （2）解：由（1）知，为的中位线， ∴． ∴． ∵点F是的中点，， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． 4．点是的边上的一点，连接并延长，使，连接并延长，使，连接，为的中点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，交于点，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】（1）根据三角形中位线定理和平行四边形的性质证明，，由“对边平行且相等的四边形为平行四边形”即可得到结论； （2）连接，证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的对角线相互平分，即可得到的长． 【详解】（1）证明：∵，， ∴为的中位线， ，， ∵点F为的中点， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ，， ，， ∴四边形为平行四边形； （2）解：连接， ，， ∴是的中位线， ， ， 又， ∴四边形是平行四边形， ， ． 题型二、利用三角形的中位线求长度 5．如图，在中，F，E分别是和的中点，连接，点G是的中点，连接并延长，交的延长线于点D．若，则的长为（　　） A．12 B．8 C．10 D．6 【答案】B 【分析】由三角形中位线定理可得，，由平行线的性质可得，证明，可得，从而得到的长度． 【详解】解：分别是和的中点， ，， ， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ， ． 6．如图，在矩形中，点E是边上靠近点B的三等分点，点F是边上靠近点C的三等分点，连接，，M，N分别是，的中点，连接，若，，则的长为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】连接并延长交于点G，连接，根据中点定义，矩形的性质得到，，再证，得到，根据三角形的中位线定理和勾股定理即可得到结论． 【详解】解：如图，连接并延长交于点G，连接 ． ∵M，N分别是，的中点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ， ∴， ，即N是的中点． ∴是的中位线． ． ∵点E是边上靠近点B的三等分点，点F是边上靠近点C的三等分点，，， ∴，，． 在中， ． ． 7．如图，在边长为3的正方形中，点，分别是边，的中点，连接，，点分别是的中点，连接，则的长度为___________． 【答案】/ 【分析】连接并延长交于，连接，根据正方形的性质得到，，，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理和三角形的中位线定理即可得到结论． 【详解】解：连接并延长交于，连接， 四边形是正方形， ，，， ，分别是边，的中点， ， ， ， ∵点H是的中点， ∴， ， ， ， ， ∴在中，， 点，分别是，的中点， ． 8．如图，中，，，，，，求的值． 【答案】7 【分析】本题考查了全等的性质和（）综合（或者），与三角形中位线有关的求解问题等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理，延长交于，可证得，得到，可证得是的中位线，从而得出的值，进一步可得出结果． 【详解】解：如图，延长交于， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∴． 题型三、利用三角形的中位线求角度 9．如图，在四边形中，点是对角线的中点，点、分别是、的中点，，，．则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三角形的内角和定理，结合三角形中位线定理可得，由平行线的性质可得的度数，根据三角形的内角和定理以及等边对等角，计算即可得的度数． 【详解】解：∵是对角线的中点，点、分别是、的中点， ∴，，，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 10．如图，在中，对角线与相交于点，是边的中点，连接．若，则的度数为（   ） A．60° B．50° C．40° D．25° 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，掌握三角形中位线平行于第三边，平行四边形对边平行是解题的关键． 利用平行四边形对角线互相平分的性质，结合为中点，判定为中位线，通过平行线的性质得到与相等，进而求出角度． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，对角线与相交于点 ∴是的中点 ∵是边的中点 ∴是的中位线 ∵是的中位线 ∴ ∵四边形是平行四边形 ∴ ∵ 且 ∴ ， ， ∵ ∴ 故选：B． 11．如图，为的角平分线，于，为中点，连接，若，，则_____． 【答案】 【分析】延长交于G，容易证出，得到，因此是的中位线．由中位线定理可得，，得到，最后用三角形外角的性质计算出即可． 【详解】解：如图，延长交于G， ∵， ∴， ∵为的角平分线，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵为中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，平行线的性质，三角形内角和定理与外角的性质，熟练掌握三角形中位线定理是解题关键． 12．如下图，在四边形中，，，分别是，的中点，延长交的延长线于点，延长交的延长线于点． (1)求证：． (2)若，，则的度数为 ． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）如图，连接，取的中点，连接，，根据中位线的性质得到，，通过两直线平行，内错角相等得到，同理得到；根据等腰三角形的性质得到，即可得到结论； （2）由（1）可知，、、，通过平行线的性质，结合三角形外角的性质得到，最后通过等腰三角形的性质即可求出的度数． 【详解】（1）证明：如图，连接，取的中点，连接，． 是的中点，是的中点， 是的中位线， ，， ． 同理，， ． ， ， ， ． （2）． 由（1）知， ， ． 由（1）知， ，， ． 由（1）知， ， ． 【点睛】本题考查了中位线，平行线的性质，等腰三角形的性质和判定，三角形外角的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 题型四、利用三角形的中位线求面积 13．如图，菱形的面积为30，点E，F，G，H分别为，，，的中点，则四边形的面积为（   ） A．10 B．15 C．20 D．25 【答案】B 【分析】本题主要考查了菱形的性质，三角形中位线定理，矩形的性质与判定，连接交于点O，根据菱形的性质可得，，再由三角形中位线定理可得，则可证明四边形是矩形，据此根据矩形面积计算公式求解即可． 【详解】解：如图所示，连接交于点O， ∵四边形是菱形， ∴， 又∵菱形的面积为30， ∴，即； ∵点分别为的中点， ∴分别是的中位线， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴平行四边形是矩形， ∴． 故选：B． 14．如图，是的边上任意一点，、分别是线段、的中点，且的面积为，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，原理为等底等高的三角形的面积相等．利用三角形中线平分面积(等底同高的三角形面积相等)的核心性质，从已知的面积出发，先推出的面积(是中点，故)，再推出的面积(是中点，故)，逐步递推得出结果． 【详解】解：∵是的中点， ∴和的面积相等(等底同高)， ∵ 的面积为， ∴ ∵是的中点， ∴和的面积相等，和的面积相等， 即． 故选：A． 15．如图，在菱形中，，分别为，的中点，且，，则菱形的面积为________． 【答案】24 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理；由菱形的性质及直角三角形的性质得，由三角形中位线定理求得，由勾股定理求得，即可求得菱形的面积． 【详解】解：在菱形中，， ∵为的中点， ∴， ∵，分别为，的中点，且， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴， 菱形的面积为． 故答案为：24． 16．如图，在矩形中，、相交于点，为的中点，连接并延长至点，使，连接和． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用平行四边形的判定定理证明四边形是平行四边形，再利用邻边相等的平行四边形是菱形可得结果； （2）利用矩形的性质结合三角形中位线定理得出，利用菱形的面积公式进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵点为的中点，且， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是矩形，且， ∴，， 又∵点为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（1）可知：四边形是菱形， ∴菱形的面积为：． 【点睛】此题主要考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，三角形中位线定理，理解矩形的性质，熟练掌握菱形的判定和性质，三角形中位线定理是解决问题的关键． 题型五、三角形中位线的实际应用 17．某县城有一人工湖，湖面较宽不方便直接测量．某数学学习小组的同学想知道湖面最大宽度的具体数据，设计了三种方案． 课题 测量人工湖的长度 测量工具 皮尺：直接测量可到达的两点间的距离． 测角仪：测量角的大小 方案一 测量数据：， ， 续表 方案二 测量数据：，， 方案三 测量数据：，， (1)方案一：，， 是线段的中点，是线段的中点， 是的_____． ， _____． (2)方案一求得长度的依据是__________． (3)请你从剩下两种方案中，选择一种求出人工湖的长度． 【答案】(1)中位线，160 (2)三角形的中位线定理 (3)，过程见解析 【分析】本题考查了中位线定理，熟练掌握相关定理是解题的关键； （1）根据已知思路写出需要填补的空缺； （2）根据方案一的思路判断依据； （3）从方案二或方案三选择一种方案求出AB长． 【详解】（1）解：，， 是线段的中点，是线段的中点， 是的中位线． ， 160． （2）解：三角形的中位线定理 （3）解：选择方案二：， ， ． 或选择方案三：，， 为直角三角形． ， ， ． 18．【情境】部分图形通过剪拼后能够得到矩形． 【操作1】嘉嘉将如图1所示的平行四边形通过裁剪拼成了矩形． （1）若，拼接时应将沿平移______． 【操作2】淇淇将如图2所示的三角形通过裁剪拼成了矩形． （2）依据图中呈现的操作方法，可知与的数量关系为______，与的位置关系为______． 【操作3】淇淇将如图3所示的四边形通过操作2中的方法裁剪拼成了矩形． （3）请在图3中补全剪拼过程和剪拼后的图形．（直接在原图形上画图，裁剪线用虚线，矩形用实线） 【操作4】嘉淇将如图4所示的菱形沿剪开，将筝形（有两组邻边分别相等的四边形）沿剪开，之后通过旋转平移等操作拼成了矩形． （4）若，，求的长． 【答案】（1）10；（2），；（3）见解析；（4）的长为． 【分析】（1）根据平移的性质即可求解； （2）由拼接知：是的中位线，，据此求解即可； （3）根据（2）的方法拼接即可； （4）连接，由拼接知，根据菱形的性质求得，，，在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）嘉嘉将如图1所示的平行四边形通过裁剪拼成了矩形，若，拼接时应将沿平移； 故答案为：10； （2），， 由拼接知：，， ∴是的中位线， ∴； ∵拼接图形是矩形， ∴， 由拼接知：， ∴， 故答案为：，； （3）如图，矩形即为所作； （4）连接，由拼接知，设与相交于点， ∵菱形， ∴，，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题考查了平移的性质，图形的拼接，三角形中位线定理，勾股定理，菱形的性质．灵活运用中位线定理和构造全等三角形是解答本题的关键． 19．【观察与发现】 如图1，我们在探究三角形中位线定理时，通过剪切和拼接的方法将三角形拼成了面积相等的平行四边形． 同样，我们也可以将任意一个四边形剪开拼成一个面积相等的平行四边形．操作如下：如图2，沿着过对边中点的两条线段和剪开，将四边形分成四部分．通过旋转或移动，使点B，C，D与A重合，可以得到，新四边形是平行四边形． 【类比与探究】 （1）类比上述做法，尝试将任意一个三角形剪开拼成一个与其面积相等的矩形． ①图3是将剪开拼成矩形的一种方法的一种方法． 依据图中呈现的操作方法，可知：与的数量关系为_______；与的位置关系为_________； ②如图4，请你再设计一种将剪开拼成与其面积相等的矩形的方法．仿照图3用虚线在左图中画出剪切线，简单说明剪切线满足的条件，在右图画出拼成的简图． 【实践与应用】 （2）请思考如何将任意一个四边形剪开拼成一个与原四边形面积相等的矩形？请你设计思路不同的两种方案，在图5中用虚线画出分割线，用实线画出拼成的矩形． 【答案】（1）①；；②见解析（2）见解析 【分析】（1）①根据题意可得出，，进而由全等三角形对应边和对应角相等推出为的中位线，以及，即可得出结论． ②从和的中点D、E作的垂线，垂足分别为M、N，由和得到拼接方法． （2）把四边形由对角线分为两个三角形参考（1）①中的方法，或参考题干中四边形对边中点的方法拼接平行四边形的方法，把其中一组对边连线改为由中点向另一组对边中点连线作垂线进行分割操作即可． 【详解】解：（1）①如图，根据剪切和拼接操作方法可知，，， ， 为的中位线． ． 又∵四边形是矩形． ， 和的位置关系为． 故答案为：①；； ②如图，D，E分别是的中点，，．再由可推出，，沿和从剪下和，然后拼接在和． （2）第一种方法：E、F、H、G分别为四边形的四条边的中点，．沿虚线和剪开四边形，把和分别拼接到①、②、③和④处即可． ． 第二种方法：E、F、H、G分别为四边形的四条边的中点，，沿虚线和剪开四边形形成四个四边形①、②、③和④，再如图中所示拼接即可． ． 【点睛】本题考查了任意四边形拼接矩形，涉及到三角形中位线定理，矩形的性质，全等三角形的判定和性质等知识点．对灵活运用中位线定理和构造全等三角形是解答本题的关键． 20．阅读与思考 问题情境： 如图1，某小区内有一池塘，同学们想利用所学知识测量池塘两端A，B两点间的距离． 可用工具：测量长度的卷尺、测量角度的测角仪． 方法分析： “圆周率”小组的操作过程如下：如图2，取能直接到达A和B的点C，量出的长和的度数；作；在射线上找一点D，使；测出的长度，就可得到A，B两点间的距离． “智慧”小组的操作过程如下：如图3，取能直接到达A和B的点C，连接，；分别取，的中点D，E，测出的长度，乘以2就可得到A，B两点间的距离． 说明：以上各点都在同一水平面内． （1）上面操作中，“圆周率”小组通过测量的长度得到A，B两点间的距离，依据是 ．“智慧”小组通过测量的长度乘以2，就可得到A，B两点间的距离，依据是 ． 迁移应用： （2）请你设计一种与上面方法不同的测量方案，要求： ①在图1中画出可操作的方案图； ②简要说明你的操作步骤； ③测量方案中，得到A，B两点间的距离的主要依据是 ． 【答案】（1）平行四边形对边相等；三角形的中位线等于第三边的一半；（2）①作图见解析；②步骤见解析；③全等三角形对应边相等 【分析】（1）根据平行四边形的性质和三角形的中位线性质进行解答即可； （2）构造全等三角形，画出图形，利用全等三角形的对应边进行解答即可． 【详解】解：（1）“圆周率”小组：∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴“圆周率”小组通过测量的长度得到A，B两点间的距离，依据是平行四边形对边相等； “智慧”小组：∵D，E分别为，的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴“智慧”小组通过测量的长度乘以2，就可得到A，B两点间的距离，依据是三角形的中位线等于第三边的一半； （2）①如图， ②先在平地上取一个可直接到达A，B的点C，再连接，并分别延长至点D，至点E，使， ，最后量出的距离就是的距离； ③在和中， ， ∴， ∴， ∴得到A，B两点间的距离的主要依据是全等三角形对应边相等． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质的应用，三角形中位线的应用，三角形全等的应用，平行线的判定，解题的关键是理解题意熟练掌握相关的判定和性质． 题型六、三角形中位线的最值问题 21．如图所示，在矩形中，，，为的中点，则______，若为上一动点，为的中点，连接，最小为______． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，等腰直角三角形的性质，平行四边形的判定与性质等知识，由四边形是矩形，则，，然后通过勾股定理即可求出的长，取中点，连接，，可证四边形是平行四边形，可得，由三角形中位线定理可得，可得点在上，当时，有最小值，即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴； 如图，取中点，连接，， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵点是中点，点是中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵点是的中点，点是的中点， ∴， ∴点在上， 当时，此时点与重合，有最小值， ∵， ∴，， ∴， ∴ 的最小值为， 故答案为：，． 22．如图，在四边形中，，，，，点M为上的动点，N、E、F分别为的中点．    (1)求的长度 (2)若点N为动点，则最小为___________． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）过D作于H，连接，则四边形为矩形，得，则，由勾股定理求出，再由三角形中位线定理得； （2）过D作于H，连接，则四边形为矩形，得，则，由勾股定理求出，再由三角形中位线定理得；，然后求出的最小值即可． 【详解】（1）作于H，连接，    ∵， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中， ， ∵N为的中点， ∴， 则， 在中，， 在中，E、F为的中点， ∴是的中位线， ； （2）过D作于H，连接，则四边形为矩形， ∴， ∴， ∵E、F为的中点， ∴是的中位线， ∴， 在中，， 当点N与点H重合，点M与点B重合时，的最小值为4，此时最小， ∴长度的最小值， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、三角形中位线定理、勾股定理以及最小值问题；熟练掌握三角形中位线定理，求出的最小值是解题的关键． 23．问题提出； （1）如图1，长方形，，，点为的中点，点为上的动点， 时，的周长最小； （2）如图2，长方形，，，点为的中点，点、点为上的动点，且，当四边形的周长最小时，请确定点的位置；（即求的长） 问题解决； （3）如图3，某公园计划在一片足够大的等边三角形水域内部（不包括边界）点处修一个凉亭，设计要求长为10米，同时点，分别是水域，边上的动点，连接、、的水上浮桥周长最小时，四边形的面积最大，请你帮忙算算此时四边形面积的最大值是多少？ 【答案】（1）2；（2）；（3）平方米 【分析】（1）如图所示，延长到M，使得，连接，先证明，得到，则的周长，故当P、E、M三点共线时，最小，即此时的周长最小，如图所示，延长交延长线于F，取中点H，连接，证明，得到，证明是的中位线，得到，由平行线的唯一性可知在同一直线上，即点P与点H重合，则，由此可得，故当时，的周长最小； （2）如图所示，把点A向右平移2个单位到M，连接，延长到F，使得，连接，由平移的性质可得，同理可证明，则四边形的周长，故当M、Q、F三点共线时，最小，即此时四边形的周长，如图所示，取中点G，过点G作于H，过点M作于N，则（平行线间间距相等），同理，同理可证明是的中位线，点H为的中点，则，证明，得到，由此求出，则； （3）如图，作点P关于的对称点G，作点P关于的对称点H，连接．由轴对称的性质可得，故当G、M、N、H四点共线时最小，即此时的周长最小，由轴对称的性质可得米，，，先求出，得到，如图所示，过点A作于O，则米，米，进而得到米，则平方米，根据图形之间的关系可得当的值最小时，的值最大；如图所示，将绕点A逆时针旋转120度得到，过点E作于H，连接，由旋转的性质可得，，证明，得到，设，求出，得到，则，在中，由勾股定理得，则，再由，得到，推出，得到，进而得到，，再由，推出，则，推出，即米，据此可得答案． 【详解】解：（1）如图所示，延长到M，使得，连接， 由题意得，，，， ∵， ∴， ∴， ∵点E是的中点， ∴的长是固定的，， ∵的周长， ∴当P、E、M三点共线时，最小，即此时的周长最小， 如图所示，延长交延长线于F，取中点H，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵B、H分别为的中点， ∴是的中位线， ∴， 又∵， ∴由平行线的唯一性可知在同一直线上，即点P与点H重合， ∴， ∴，即， ∴， ∴时，的周长最小， 故答案为：2； （2）如图所示，把点A向右平移2个单位到M，连接，延长到F，使得，连接， ∵， ∴线段相当于线段沿着射线的方向平移2个单位得到的， ∴， 同理可证明， ∴四边形的周长， ∴当M、Q、F三点共线时，最小，即此时四边形的周长， 如图所示，取中点G，过点G作于H，过点M作于N， ∵， ∴（平行线间间距相等）， 同理， 同理可证明是的中位线，点H为的中点， ∴， ∵的的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）如图，作点P关于的对称点G，作点P关于的对称点H，连接． 由轴对称的性质可得， ∴的周长， ∴当G、M、N、H四点共线时最小，即此时的周长最小， 由轴对称的性质可得米，， ∵是等边三角形， ∴ ∴， ∴， ∴， 如图所示，过点A作于O， ∴米，米 ∴米， ∴平方米， ∵ ， ∴当的值最小时，的值最大； 如图所示，将绕点A逆时针旋转120度得到，过点E作于H，连接， 由旋转的性质可得，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵两个数的乘法计算中，同号为正，异号为负，且， ∴， ∴， ∴米， ∴的最小值为平方米， ∴的最大值为平方米． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，全等三角形的性质与判定，勾股定理，旋转的性质，轴对称的性质，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，因式分解的应用等等，通过作出辅助线把求图形的周长的最值问题转换成求线段和的最值问题是解题的关键． 24．如图，在等腰中，，，点为边上的动点．将绕点逆时针旋转得到． (1)如图1，若，，求旋转后到的距离； (2)如图2，连接、，若为的中点，猜想与的数量关系，并证明； (3)如图3，在点运动的过程中，在线段上存在一点，使的值最小，当的值取得最小值时，，请直接写出的长． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）过点作于点，根据等腰直角三角形的性质以及勾股定理得出，进而得出，根据旋转的性质得出是等腰直角三角形，进而根据勾股定理，即可求解； （2）延长交于点，根据中位线的性质得出，证明得出，则即可得证； （3）将绕点顺时针旋转得到，连接，当点，点，点，点共线时，值最小，证明是等边三角形，是等边三角形，进而得出，根据，可得，即可得出，进而求得的长，根据旋转的性质可得，即可求解． 【详解】（1）解：如图1，过点作于点， ∵等腰中，，， ∴ ∵ ∴ ∵， ∴， ∵将绕点逆时针旋转得到． ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴，即旋转后到的距离为； （2）解：如图2，延长交于点， 由（1）可得 ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵，即 ∴， 又∵为的中点， ∴是的中位线 ∴ ∵将绕点逆时针旋转得到． ∴ ∴， 在中， ∴ ∴ ∴，即； （3）解：如图，将绕点顺时针旋转得到，连接， ，，， 是等边三角形， ， ， 当点，点，点，点共线时，值最小， 此时，如图，连接， 将绕点顺时针旋转得到， ，，， 是等边三角形，是等边三角形， ，， ，， 垂直平分， ，， ， ，，， ， ， ， ， 根据旋转的性质可得：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，旋转的性质，解直角三角形，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 题型七、三角形中位线的辅助线添加问题 25．如图，在中，平分，是的中点，，，，则（　　） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形中位线的性质定理，关键是作辅助线得到等腰三角形． 延长交的延长线于点，证明，则，即可求得的长，点E是的中点，求得的长，从而得到是中位线，即可求得的长． 【详解】解：延长交的延长线于点，如图， ， ， 平分， ， ∵， ∴ ， ∵是的中点， ∴是的中位线， ． 故选：A． 26．如图，在矩形中，点E、F分别是边、的中点，连接、．点G、H分别是、的中点，连接．若，，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线定理等知识，利用线段中点正确作辅助线是解题关键．连接并延长交于点，连接，利用矩形的性质证明，再利用勾股定理，求得，最后利用三角形中位线定理求解即可． 【详解】解：连接并延长交于点，连接， 在矩形中，点E、F分别是边、的中点，，， ，，，，， ，， 点H分别是的中点， ， ， ， ， ， 点G、H分别是、的中点， 是的中位线， ， 故选：D． 27．如图，在中，对角线，相交于点，为的中点，为的中点，连接交于点．若，则的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，中位线定理，取中点，连接，则，由平行四边形性质可得，，通过中位线定理可得，，，从而可证明四边形是平行四边形，所以，然后代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，取中点，连接，则， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵为的中点，为的中点， ∴是中位线，是中位线，是中位线， ∴，，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 28．阅读与思考 在《相似三角形》一章中，我们学习了三角形的中位线定理．类似地，我们把连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线，梯形的中位线平行于底边，并且等于两底和的一半． 下面是小明对这个定理的证明过程． 已知：如图1，在梯形中，，点，分别是，的中点． 求证：，． 证明：如图1，连接并延长，交的延长线于点． ， ，． …… (1)请根据小明的思路补全证明过程； (2)如图2，正方形的边长为4，点，分别是边，上的点，且，连接，，点，分别是，的中点，请直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形的中位线、全等三角形的性质和判定、正方形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）连接并延长，交的延长线于点，证明≌，结合是的中位线进行计算； （2）连接并延长交于点，连接，证明≌，得到，结合三角形中位线定理和勾股定理进行解题． 【详解】（1）解： 证明：如图1，连接并延长，交的延长线于点， ， ，， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴≌， ∴，， ∴是的中点， 又∵是的中点， ∴为的中位线， ∴，； ∴， ∴， 综上所述，，； （2）解： 连接并延长交于点，连接， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴在和中， ， ∴≌， ∴，， 又∵点为的中点， ∴， ∴， ∵正方形的边长为，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴． 题型八、三角形中位线的新定义问题 29．定义：有一组对边相等且这一组对边所在直线互相垂直的凸四边形叫做“等垂四边形”． 如图①，四边形ABCD与四边形AEFG都是正方形，，则图中的“等垂四边形”是______； 如图②，四边形ABCD是“等垂四边形”，，，则边AB长的最小值为______． 【答案】 【分析】如图：延长交于点H，先证可得，．结合可得，即，从而得到四边形是“等垂四边形”； 如图②，延长交于点H，分别取的中点E、F、G，连接，然后根据中位线的定义可得，再，根据平行线的性质可得，由角的和差可得，由勾股定理可得；如图③：延长交于点H，分别取的中点E，F．连接，由, 由勾股定理可得即可解答． 【详解】解：如图①，延长交于点H， ∵四边形与四边形都为正方形， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴，即， ∴． ∴． 又∵， ∴四边形是“等垂四边形”； 如图②，延长交于点H，分别取的中点E、F、G，连接 ∴ ∴． ∴ ∴, ∴． 延长交于点H，分别取的中点E，F．连接， 则， ∴ 故答案为：，． 【点睛】本题属于四边形的综合问题，主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理、等腰直角三角形的性质等知识点，灵活运用相关性质定理是解题的关键． 30．探究题． (1)图形的定义．小学学过梯形，请你仿照平行四边形的定义方法，给梯形下一个定义； (2)图形的性质．与三角形中位线定理类似，梯形也有类似结论即如图1，在梯形中，，，分别为，的中点，连接，求证：，； (3)综合应用．如图2，边长为2的正方形在边长为的正方形所在平面上平移，在平移过程中，始终保持，线段的中点为，的中点为，求的长． 【答案】(1)一组对边平行，另一组对边不平行的四边形是梯形； (2)证明见解析 (3) 【分析】1）由题意可得出梯形的定义； （2）连接，并延长交的延长线于，证明，由全等三角形的性质得出，，则可得出结论； （3）连接并延长至点，使，作于点，连接，，，由，求出，根据等腰直角三角形的性质求出，再运用勾股定理求出，根据三角形中位线性质定理可求出的长． 【详解】（1）解：由题意可得，一组对边平行，另一组对边不平行的四边形是梯形； （2）证明：连接，并延长交的延长线于，如图所示： ∵， ∴，， ∵点是的中点， ∴， 在和中, ∴， ∴，， ∴点是的中点， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵， ∴，； （3）连接并延长至点，使，作于点，连接，，，如图所示： ∵是线段的中点， ∴， 在和中 ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵线段的中点为，的中点为， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理以及三角形中位线性质定理的综合运用，通过辅助线构造全等三角形和三角形中位线是解决问题的关键． 31．我们给出如下定义：对于凸四边形，对角线互相垂直的四边形称为“对垂四边形”．如图1，在四边形中，，四边形就是“对垂四边形”．    (1)下列四边形中，一定是“对垂四边形”的是______（填序号）①平行四边形②矩形③菱形④正方形 (2)如图2，在四边形中，点E、F、G、H分别是边的中点，四边形是矩形，求证：四边形是“对垂四边形”． 【答案】(1)③④ (2)见解析 【分析】本题主要考查了“对垂四边形”的定义、正方形、菱形的性质、三角形中位线等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）直接根据“对垂四边形”的定义、正方形、菱形的性质逐个判断即可； （2）如图：连接，由三角形中位线的性质可得、，再由矩形的性质可得，则，然后根据“对垂四边形”的定义即可证明结论． 【详解】（1）解：∵正方形和菱形的对角线互相垂直， ∴一定是“对垂四边形”的是③、④，即③、④一定是“对垂四边形”． 故答案是∶ ③④． （2）解：如图：连接，    ∵点E、F、G、H分别是边的中点， ∴是的中位线，是的中位线， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形是“对垂四边形”． 32．定义：至少有一组对边相等的凸四边形为等对边四边形．如图，已知四边形，点是对角线的中点，为的中点，连接，为等边三角形． (1)求证：四边形是“等对边四边形”； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质，关键是由三角形中位线定理推出，由，推出，由，推出． （1）由三角形中位线定理推出，即可得到，推出四边形是“等对边四边形”； （2）过作交延长线于，过作于，由补角的性质得到，由推出，得到，由推出，得到，由三角形中位线定理推出，得到，由平角定义推出，由三角形内角和定理得到，因此． 【详解】（1）证明：∵为等边三角形， ∴， ∵点是对角线的中点，为的中点， ∴是的中位线，是的中位线， ∴， ∴， ∴四边形是“等对边四边形”； （2）解：过作交延长线于，过作于，设交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的中位线，是的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴，则， ∴在中，，且， ∴． 题型九、中点四边形 33．如图，菱形各边的中点分别为，，，，若四边形的面积为，则菱形的面积为（　 　） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】连接交于，根据三角形中位线定理得，进而可得四边形是矩形，得到，进而根据菱形的面积公式计算即可求解． 【详解】解：连接交于， ∵四边形是菱形， ∴， ∵点分别是边的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ，， ， ， ∴四边形是矩形， ∵四边形的面积为， ， ∴菱形的面积． 【点睛】注意中点四边形的性质和三角形中位线的性质． 34．如图，是四边形的两条对角线，顺次连接四边形各边中点得到四边形，要使四边形为矩形，应添加的条件是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查中点四边形，涉及三角形中位线的判定与性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定等知识，熟记三角形中位线的判定与性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定等知识是解决问题的关键． 先由中点四边形相关条件，由三角形中位线的判定与性质得到，且；，且；，且；，且，进而判定四边形为平行四边形，再由矩形的判定定理即可确定答案． 【详解】解：是四边形的两条对角线，是四边形各边的中点， 是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线， 则，且；，且；，且；，且， ，且， 四边形为平行四边形， 当时，， 四边形为平行四边形， 四边形为矩形， 综上所述，要使四边形为矩形，应添加的条件是， 故选：B． 35．如图，在四边形中，，点E，F，G，H分别为边的中点，连接，相交于点O，则的值为___________． 【答案】 【分析】本题考查三角形中位线定理，菱形的性质，解题的关键是作出辅助线证明四边形是菱形． 连接，，，，根据中位线定理得到，即可得到四边形是菱形，结合菱形对角线互相垂直及勾股定理即可得到答案． 【详解】解：连接，，，，如图所示，设与的交点为O， E，F，G，H分别是，，，的中点， ∴，． 又∵， ∴． ∴四边形是菱形． ∴． ∴的值为． 故答案为：． 36．综合与探究 定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们就把这个原四边形叫做“中方四边形”． 概念理解： （1）下列四边形中一定是“中方四边形”的是________． A．平行四边形            B．矩形            C．菱形            D．正方形 性质探究： （2）如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形的结论： ①________； ②________； 问题解决： （3）如图2，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形ACFG，连接，问有什么位置关系和数量关系？直接写出结果． 拓展应用： （4）如图3，已知四边形是“中方四边形”，M，N分别是的中点．试探索与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）D；（2）①，②；（3），；（4），理由见解析 【分析】（1）根据定义“中方四边形”，即可得出答案； （2）由中位线的性质可得，结合正方形的性质可得结论； （3）取四边形边中点分别为M、N、R、L并顺次连接成四边形，连接交于P，连接交于K，利用三角形中位线定理可证得四边形是平行四边形，再证得，推出四边形是菱形，再由，可得菱形是正方形，即可证得结论； （4）设的中点分别为E、F，并顺次连接，可得四边形是正方形，再根据等腰直角三角形性质即可证得结论． 【详解】解：（1）在平行四边形、矩形、菱形、正方形中只有正方形是“中方四边形”，理由如下： 因为正方形的对角线相等且互相垂直， 所以其中点四边形是正方形； 故选：D； （2）①，②；理由如下： 如图1，∵四边形是“中方四边形”， ∴四边形是正方形， ∴， ∵E、F、G、H分别是的中点， ∴， ∴， 故答案为：； （3）如图，取四边形边中点分别为M、N、R、L并顺次连接成四边形，连接交于P，连接交于K， ∵四边形各边中点分别为M、N、R、L， ∴分别是的中位线， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴， 综上所述，的位置关系为，数量关系为； （4），理由如下： 如图，设的中点分别为E、F，并顺次连接， ∵四边形是“中方四边形”， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∵F，N分别是的中点， ∴， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线的性质，正方形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，理解“中方四边形”的定义并运用是本题的关键． 1．（25-26八年级下·北京海淀·期中）如图，是的中位线，的角平分线交于点，若，，则的长为（   ） A．20 B．17 C．16 D．14 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，平行线的性质，角平分线的定义，等角对等边．根据三角形中位线定理得到，，根据平行线的性质、角平分线的定义得到，根据等角对等边得到，计算即可． 【详解】解：∵是的中位线， ∴，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 2．（2024·山东潍坊·一模）如图，在中，D是边的中点，是的平分线，于点E，连接．若，则等于（    ） A．7 B．6.5 C．6 D．5.5 【答案】A 【分析】此题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握三角形中位线定理，证明三角形全等是解题的关键． 延长交于点F，通过证明，根据全等三角形的性质得到，，根据三角形中位线定理得出，即可得出结果． 【详解】解：延长交于点F， ∵平分， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 又∵D是中点， ∴， ∴是的中位线， ∴ ∴， 故选：A． 3．（25-26八年级下·北京东城·期中）如图，在中，，，，点D为上的动点，点E，F分别为，的中点，则最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理及三角形中位线，熟练掌握勾股定理及三角形中位线是解题的关键；连接，由题意易得，是的中位线，则有，然后可知当时，最小，进而根据等积法可进行求解． 【详解】解：如图，连接， ∵在中，，，， ∴， ∵点E，F分别为，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴当最小时，的值最小， ∴当时，最小， 此时，， 即， ∴， ∴， 故选：C． 4．（25-26九年级上·北京·月考）如图，在菱形中，对角线，相交于点O，M，N分别是边，的中点，连接，，若，，则的长为（　　） A．3.5 B．3 C．2.5 D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查菱形的性质和中位线定理，熟练使用中位线定理是解题的关键． 首先利用中位线定理和勾股定理求解菱形的边长，再根据中位线定理即可求解OM的长度． 【详解】解：∵M，N分别是边，的中点， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵点M是的中点，， ∴， 故选：C． 5．（25-26九年级上·北京·月考）如图，在四边形中，，，，分别是边，，，的中点，连接，， 和得到四边形，当对角线 和 满足，，时，四边形的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了中位线的性质，矩形的性质与判定，根据中位线的性质以及得出四边形是矩形，进而根据矩形的性质，即可求解． 【详解】解：∵，，，分别是边，，，的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴ ∴平行四边形是矩形， ∴四边形的面积为 故选：B． 6．（25-26八年级下·北京海淀·期中）如图，在四边形中，、、、分别是边、、、的中点，若，且 ，则四边形的面积为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的判定与性质、菱形的面积公式、三角形的中位线定理，根据中位线定理可证，根据四条边都相等的四边形是菱形可证四边形是菱形，根据菱形的面积公式即可求出四边形的面积． 【详解】解：、、、分别是边、、、的中点， 、、、分别是、、、的中位线， ，， ， ， 四边形是菱形， ， ． 故答案为：． 7．（25-26八年级下·北京西城·期中）如图，菱形的边长为，对角线，相交于点，，点在延长线上，，连接． （1）线段的长为______； （2）若为的中点，则线段的长为______． 【答案】 【分析】（1）由菱形的性质，可得，，根据勾股定理，即可得线段的长； （2）取的中点，连接，可得，，可得，根据勾股定理，即可得线段的长． 【详解】（1）解：∵菱形的边长为，对角线，相交于点， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． （2）解：取的中点，连接， ∵为的中点，为的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质，勾股定理，三角形的中位线，平行线的性质． 8．（2026·陕西·模拟预测）如图，在中，，，，点是边上的一个动点，点，分别是，的中点，则线段的长为 _____ ． 【答案】2 【分析】本题考查平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形中位线定理； 连接，判定是等边三角形，得到，由平行四边形的性质推出，得到，由三角形中位线定理得到． 【详解】解：连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵点，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴． 故答案为：2． 9．（25-26九年级上·广东佛山·期末）如图，在中，点是边的中点，点是边的三等分点，连接、并相交于点． (1)若，求的面积； (2)若，，，求的长度． 【答案】(1)30 (2) 【分析】本题考查三角形的中位线的性质，根据三角形的中线求面积，等腰三角形的判定和性质勾股定理． （1）过点作，得是的中位线，根据题意得，即可解答； （2）过点作于M，证是等腰三角形，由勾股定理得求解即可． 【详解】（1）解：过点作， ∵点是边的中点， ∴是的中位线， 可得，则， ∵点是边的三等分点， ∴， ∴则 ∵，点A到直线的距离不变， ∴， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∴， ∴ （2）解：∵，，， ∴由（1）得，，， ∴，， ∴是等腰三角形， 过点作于M，则， ∴， ， ∴． 10．（25-26九年级上·宁夏银川·期末）如图，四边形是平行四边形，，相交于点O，点E是的中点，连接，过点E作于点F，过点O作于点G． (1)求证：四边形是矩形． (2)若四边形是菱形，，且，求的面积． 【答案】(1)见详解； (2) 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的性质、三角形中位线定理、三角形面积等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． （1）先证是的中位线，得，由，，得，，即可解答； （2）过点E作于H，证是等腰三角形，得，由勾股定理求出、即可解答； 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点E是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵，， ∴，， ∴四边形是矩形， （2）解：过点E作于H， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵点E是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∵， ∴即， ∴，， ∴， ∴． 11．（24-25八年级上·山东威海·期末）在中，E是的中点，相交于点F，，．连接交于点O，若，，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形的中位线定理、勾股定理等知识点，掌握相关结论是解题关键． 由题意得是的中位线，推出，结合即可求证四边形为平行四边形；由题意得，，，故可求出，，结合即可求解； 【详解】解：∵E是的中点，， ∴是的中位线， ∴，， 即：， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴，，，， ∵， 即， ∴， ∴， ∴， ∴． 12．（25-26九年级上·河南南阳·月考）新乡某初中数学小组在学完“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”后分组进行了交流，请你根据各小组的内容解答问题． (1)经典小组的同学们对该性质进行了证明：①下面是该小组的小亮截取的教材中的证明过程： 已知：如图1，在中，，CD是斜边AB上的中线． 求证：． 证明：延长至点E，使，连接． ∵是斜边上的中线，∴．又∵， ∴四边形是平行四边形      I 又∵，∴四边形是矩形，    Ⅱ ∴，∴． 该证明过程中：I处的判定定理是_______；Ⅱ处的判定定理是________； ②该小组的小红提供了另一种证明方法，请你根据下面的思路，完成证明． 如图2，取的中点D，连接，根据中位线定理和其他知识进行证明． (2)创新小组在定理应用上进行了拓展：如图3，在四边形中，，，E，F分别为的中点，连接．若，平分，，过点E作于G，求的长． 【答案】(1)①对角线互相平分的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形；②见解析； (2) 【分析】题目主要考查矩形的判定，中位线及垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理解三角形等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）①根据证明过程直接写出依据即可；②根据中位线的性质及垂直平分线的性质证明即可； （2）根据题意得出，确定，再由含30度角的直角三角形的性质得出，利用勾股定理及直接三角形斜边中线的性质即可求解． 【详解】（1）解：①对角线互相平分的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形； ②证明：∵O是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴，即， ∴是的垂直平分线， ∴； （2）在中， 由中点可知，， 在中， ∵E是中点， ∴， ∵， ∴， 由条件可知， ∵点E是中点，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴点G是的中点， ∴． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $