第五章 数列（单元自测·提升卷）数学人教B版选择性必修第三册

2025-2026学年高二数学单元自测 第五章 数列·能力提升（参考答案） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 2 3 4 5 6 7 8 C C B B A A D C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9 10 11 CD ABC ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12． 13．/ 14． 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，且不为0. 由，，得，即. 由，得，即. 2分 联立，解得(舍去)，或. 5分 故，； 7分 （2）由，得. 9分 即，解得或. 11分 当时，，； 当时，，. 综上所述，或. 13分 16．【详解】（1）令，得，所以； 1分 由题意得， 所以当时， ，即， 3分 所以或 所以或. 因为数列是单调递增数列，所以当时，， 所以， 所以，，即是首项为，公差为的等差数列. 6分 （2）由（1）知，所以. 令 则① 8分 两边同乘以2，得② 10分 ②-①，得 14分 所以. 15分 17．【详解】（1）由，得. 由于是正项数列，所以，. 3分 当时，， 4分 当时，. 显然，满足， 综上，数列的通项公式为. 6分 （2）由于，故 9分 12分 . 15分 18．【详解】（1）因为，，所以数列中的每一项都能被2整除， 所以数列中的每一项都是数列中的项，又数列，都是递增数列， 所以由，的公共项从小到大排列构成的数列即为， 3分 则，，，，. 6分 （2）①由，得，易得，，， 由题意，在2和4之间插入1个数，使这3个数组成一个公差为的等差数列，故； 8分 在4和8之间插入2个数，使这4个数组成一个公差为的等差数列，故. 10分 ②不存在，理由如下： 由题意，即，所以. 12分 假设在数列中存在三项，，（其中）成等比数列， 则，即，化简得. 14分 又因为，所以， 可得，即， 又因为，代入可得， 化简得，则有，即，这与题设矛盾. 所以在中不存在三项，，（其中）成等比数列 17分 19．【详解】（1）由题意，得，； 2分 ，所以2阶数列为． 4分 （2）因为，又，所以， 5分 所以， 累加得，即， 8分 所以． 9分 （3）因为，及，得， 又，所以，两边同除，得， 12分 当时， ， 所以，时也满足， 所以， 15分 令，则， 当时，函数单调递减，当时，函数单调递增 而，所以，即时，取得最小值为． 17分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学单元自测 第五章 数列·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知数列满足，，则（    ）． A．1 B．2 C．4 D． 【答案】C 【详解】数列中，，， 则， 因此数列是周期数列，周期为3，而， 所以. 2．已知数列是等差数列，，则（    ） A． B．40 C．80 D． 【答案】C 【详解】因为，并且数列是等差数列，所以， 又因为，所以可得，，所以公差，所以， 所以 3．已知等比数列的前项的乘积为，若，则下列选项一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为等比数列的前项的乘积为，设公比， 所以，又因为 对于A，.，因为无法求解，所以无法求出结果； 对于B，，故B正确. 对于C，，因为无法求解，所以无法求出结果； 对于D，，因为无法求解，所以无法求出结果. 4．已知为等差数列，为等比数列，若，则（    ） A． B． C．4 D．12 【答案】B 【详解】设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 因为，所以， 所以， 所以，所以. 故选：B. 5．设是数列的前n项和，若，则＝（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，则， 两式相减得，其中， 则有， 则. 6．已知数列的前n项和为，则对，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由得：，，，……，， 不等式左右两边分别相加，得， 消去两边相同的项得，， 所以； 取数列满足，，，且对且有. 满足，，但.不满足. 即“”推不出“”. 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 7．数列的前n项和，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，当时，，. 时，，. 是以为首项，公比的等比数列，. ，A选项错误. ，B选项错误. ，，是以1为首项，公比为4的等比数列. ，C选项错误. ，. D选项正确. 8．已知数列满足，设，数列的前项和为，若恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由， 得， 两式作差得，得， 令，则，符合上式，故， 则， 则， 若为偶数，则可化为 又数列为递增数列，所以； 若为奇数，则可化为， 又数列为递增数列，所以， 则实数的取值范围为. 故选：C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．已知数列的通项公式是，则取得最小值时，n为（    ） A．21 B．22 C．23 D．24 【答案】CD 【详解】由，即，得． 所以所有负项的和最小，即， 故或24， 故选：CD. 10．设和分别为数列和的前项和.已知，则（    ） A．是等比数列 B．是递减数列 C． D． 【答案】ABC 【详解】由，当时，，所以， 当时，， 所以， 所以，即，所以数列是以1为首项，为公比的等比数列，故A正确； 所以，所以，所以， 由，解得，所以当时，是递减数列， 又，所以，所以是递减数列，故B正确； 由有：，所以，故C正确； 由①， 所以②， 由①②有： ， 解得，所以， 当时，当时，， 所以，故D错误. 11．大衍数列是中国古代数学中的数列，该数列在现代通信编码领域中得到应用．已知大衍数列满足，，则正确的有（   ） A． B． C． D．数列的前20项和为110 【答案】ABD 【详解】对于A，由题意可得，，， ，故A正确； 对于B，因为为偶数，所以， 因为为奇数，所以， 所以，故B正确； 对于C，因为为偶数，所以， 又因为为奇数，， 所以，所以， 所以 ，故C错误； 对于D，数列的前项的和为， 所以 ，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．已知等差数列的公差为.数列满足，设的前n项和为，则______. 【答案】 【详解】由题意知，， 则， 则. 13．已知等比数列的前n项和为，则______． 【答案】/ 【详解】方法一：当时，； 当时，， 又为等比数列，所以，则． 方法二：等比数列的前n项和为的形式，因为，则． 故答案为：. 14．已知数列的通项公式为的通项公式为．记数列的前项和为，则___________；满足的的最小值为___________． 【答案】 【详解】，，则， 所以； 令，则数列的前项和为， 有， 当时，，即，下面用数学归纳法证明： ①当时，成立， ②假设时，成立， 当时，，即时也成立， 由①②可知，当时，，即， 所以时，，时，当时，有最小值， 满足的的最小值为3. 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）设等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，. (1)若，求数列和的通项公式； (2)若，求. 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，且不为0. 由，，得，即. 由，得，即. 2分 联立，解得(舍去)，或. 5分 故，； 7分 （2）由，得. 9分 即，解得或. 11分 当时，，； 当时，，. 综上所述，或. 13分 16．（15分）已知是单调递增数列，记为数列的前n项和，且． (1)证明：是等差数列； (2)令，求． 【详解】（1）令，得，所以； 1分 由题意得， 所以当时， ，即， 3分 所以或 所以或. 因为数列是单调递增数列，所以当时，， 所以， 所以，，即是首项为，公差为的等差数列. 6分 （2）由（1）知，所以. 令 则① 8分 两边同乘以2，得② 10分 ②-①，得 14分 所以. 15分 17．（15分）正项数列的前项和满足. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前n项和； 【详解】（1）由，得. 由于是正项数列，所以，. 3分 当时，， 4分 当时，. 显然，满足， 综上，数列的通项公式为. 6分 （2）由于，故 9分 12分 . 15分 18．（17分）已知数列的通项公式为，数列是所有正偶数从小到大排列构成的数列，数列是由，的公共项从小到大排列构成的数列， (1)求，，，及的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列， ①求，的值； ②在数列中是否存在项，，（其中，互异）成等比数列？若存在，求出这样的项；若不存在，请说明理由. 【详解】（1）因为，，所以数列中的每一项都能被2整除， 所以数列中的每一项都是数列中的项，又数列，都是递增数列， 所以由，的公共项从小到大排列构成的数列即为， 3分 则，，，，. 6分 （2）①由，得，易得，，， 由题意，在2和4之间插入1个数，使这3个数组成一个公差为的等差数列，故； 8分 在4和8之间插入2个数，使这4个数组成一个公差为的等差数列，故. 10分 ②不存在，理由如下： 由题意，即，所以. 12分 假设在数列中存在三项，，（其中）成等比数列， 则，即，化简得. 14分 又因为，所以， 可得，即， 又因为，代入可得， 化简得，则有，即，这与题设矛盾. 所以在中不存在三项，，（其中）成等比数列 17分 19．（17分）已知给定数列，从第二项起后项与前项作差，得到新数列，定义这个新数列为数列的阶差数列，记为，继续上述操作，得到新数列，称为的阶差数列，记为，一般地，对任意，称数列为数列的阶差数列． (1)写出数列的阶差数列； (2)若数列的首项阶差数列，求的通项公式； (3)若数列的首项，且，求数列的最小值． 【详解】（1）由题意，得，； 2分 ，所以2阶数列为． 4分 （2）因为，又，所以， 5分 所以， 累加得，即， 8分 所以． 9分 （3）因为，及，得， 又，所以，两边同除，得， 12分 当时， ， 所以，时也满足， 所以， 15分 令，则， 当时，函数单调递减，当时，函数单调递增 而，所以，即时，取得最小值为． 17分 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二数学单元自测 第五章 数列·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知数列满足，，则（    ）． A．1 B．2 C．4 D． 2．已知数列是等差数列，，则（    ） A． B．40 C．80 D． 3．已知等比数列的前项的乘积为，若，则下列选项一定正确的是（    ） A． B． C． D． 4．已知为等差数列，为等比数列，若，则（    ） A． B． C．4 D．12 5．设是数列的前n项和，若，则＝（ ） A． B． C． D． 6．已知数列的前n项和为，则对，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．数列的前n项和，且，则（   ） A． B． C． D． 8．已知数列满足，设，数列的前项和为，若恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．已知数列的通项公式是，则取得最小值时，n为（    ） A．21 B．22 C．23 D．24 10．设和分别为数列和的前项和.已知，则（    ） A．是等比数列 B．是递减数列 C． D． 11．大衍数列是中国古代数学中的数列，该数列在现代通信编码领域中得到应用．已知大衍数列满足，，则正确的有（   ） A． B． C． D．数列的前20项和为110 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．已知等差数列的公差为.数列满足，设的前n项和为，则______. 13．已知等比数列的前n项和为，则______． 14．已知数列的通项公式为的通项公式为．记数列的前项和为，则___________；满足的的最小值为___________． 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）设等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，. (1)若，求数列和的通项公式； (2)若，求. 16．（15分）已知是单调递增数列，记为数列的前n项和，且． (1)证明：是等差数列； (2)令，求． 17．（15分）正项数列的前项和满足. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前n项和； 18．（17分）已知数列的通项公式为，数列是所有正偶数从小到大排列构成的数列，数列是由，的公共项从小到大排列构成的数列， (1)求，，，及的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列， ①求，的值； ②在数列中是否存在项，，（其中，互异）成等比数列？若存在，求出这样的项；若不存在，请说明理由. 19．（17分）已知给定数列，从第二项起后项与前项作差，得到新数列，定义这个新数列为数列的阶差数列，记为，继续上述操作，得到新数列，称为的阶差数列，记为，一般地，对任意，称数列为数列的阶差数列． (1)写出数列的阶差数列； (2)若数列的首项阶差数列，求的通项公式； (3)若数列的首项，且，求数列的最小值． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学单元自测 第五章 数列·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知数列满足，，则（    ）． A．1 B．2 C．4 D． 2．已知数列是等差数列，，则（    ） A． B．40 C．80 D． 3．已知等比数列的前项的乘积为，若，则下列选项一定正确的是（    ） A． B． C． D． 4．已知为等差数列，为等比数列，若，则（    ） A． B． C．4 D．12 5．设是数列的前n项和，若，则＝（ ） A． B． C． D． 6．已知数列的前n项和为，则对，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．数列的前n项和，且，则（   ） A． B． C． D． 8．已知数列满足，设，数列的前项和为，若恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．已知数列的通项公式是，则取得最小值时，n为（    ） A．21 B．22 C．23 D．24 10．设和分别为数列和的前项和.已知，则（    ） A．是等比数列 B．是递减数列 C． D． 11．大衍数列是中国古代数学中的数列，该数列在现代通信编码领域中得到应用．已知大衍数列满足，，则正确的有（   ） A． B． C． D．数列的前20项和为110 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．已知等差数列的公差为.数列满足，设的前n项和为，则______. 13．已知等比数列的前n项和为，则______． 14．已知数列的通项公式为的通项公式为．记数列的前项和为，则___________；满足的的最小值为___________． 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）设等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，. (1)若，求数列和的通项公式； (2)若，求. 16．（15分）已知是单调递增数列，记为数列的前n项和，且． (1)证明：是等差数列； (2)令，求． 17．（15分）正项数列的前项和满足. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前n项和； 18．（17分）已知数列的通项公式为，数列是所有正偶数从小到大排列构成的数列，数列是由，的公共项从小到大排列构成的数列， (1)求，，，及的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列， ①求，的值； ②在数列中是否存在项，，（其中，互异）成等比数列？若存在，求出这样的项；若不存在，请说明理由. 19．（17分）已知给定数列，从第二项起后项与前项作差，得到新数列，定义这个新数列为数列的阶差数列，记为，继续上述操作，得到新数列，称为的阶差数列，记为，一般地，对任意，称数列为数列的阶差数列． (1)写出数列的阶差数列； (2)若数列的首项阶差数列，求的通项公式； (3)若数列的首项，且，求数列的最小值． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $