课本习题第五章本章小结-2025-2026学年高二下学期数学人教B版选择性必修第三册

人教B版（2019）选择性必修第三册课本习题第五章本章小结 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、解答题 1．观察数列的特点，在每个空白处填入一个适当的数，并写出每个数列的一个通项公式： (1)1，3，7，____，31，____，127； (2)2，5，____，17，26，____，50； (3)，，____，，，____，； (4)1，，____，2，，____，． 2．观察数列0，3，8，15，24，中各项的规律，求数列的通项公式． 3．已知数列中，，试写出这个数列的前10项以及前5项的和． 4．已知，求证：． 5．已知数列的通项公式为，为其前n项和． (1)求； (2)求． 6．已知，记，证明是等比数列，并求． 7．1.早在公元前1世纪左右，我国古代著名的《周髀算经》中就出现了与等差数列有关的内容：凡八节二十四气，气损益九寸九分六分分之一；冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺六寸．问：次节损益寸数长短各几何？这指的是二十四节气可以通过特定标记的日影长度来确定，每相邻两个节气之间的日影长度差为分；且“冬至”时日影长度最大，为1350分；“夏至”时日影长度最小，为160分．问每个节气的日影各为多少．设二十四节气的日影长按从大到小的顺序排成的数列为，请依次写出这个数列中的各项． 8．用数学归纳法证明． 9．已知数列的通项公式为，记这个数列前n项和为．计算，根据计算的结果，猜想的表达式，并用数学归纳法进行证明． 10．求证：对任意正整数，都能被整除． 11．已知等差数列的前n项和为，且，求的值． 12．已知等比数列的前项和为，且，，求的值． 13．（1）已知等差数列的前n项和为，则成等差数列吗？证明你的结论； （2）已知等比数列的前n项的和为，则成等比数列吗？证明你的结论． 14．是否存在一个各项都小于5的无穷递增数列？如果存在，写出一个满足条件的数列的通项公式；如果不存在，说明理由． 15．如果，试写出数列的前3项，并猜想出它的一个通项公式，然后给出证明． 16．已知中，，求的值． 17．已知中，，求的值． 18．已知满足，求． 19．已知数列满足，求． 20．已知数列是等差数列，是等比数列，且． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 21．已知等差数列的前n项和为，等差数列的前n项和为，且，求． 22．已知，且平面内有n条直线，其中任意两条不平行，任意三条不过同一点，证明这些直线的交点的个数为． 23．甲、乙、丙、丁四人做传球练习，球首先由甲传出，每个人得到球后都等可能地传给其余三个人之一，设表示经过n次传递后球回到甲手中的概率． (1)求； (2)用n表示出． 24．求和：. 25．将正整数数列、、、、、的各项按照上小下大、左小右大的原则写成如下的三角形数表： (1)写出数表的第行、第行； (2)写出数表中第行的第个数； (3)设数表中每行的第个数依次构成数列，数表中每行的最后一个数依次构成数列，试分别写出数列、的递推公式，并求出它们的通项公式． 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 《人教B版（2019）选择性必修第三册课本习题第五章本章小结》参考答案 1．(1)；，； (2)10；37，； (3)；，； (4)；，． 【分析】（1）各项加1后是2的幂次，由此可得． （2）各项减1后是正整数的平方，由此可得； （3）后项等于前项乘以； （4）都化为二次根式后，各项为正整数的正的平方根． 【详解】（1）观察数列得各项加1后是2的幂次，应填空；，； （2）观察数列得各项减1后是正整数的平方，应填空10；37，； （3）观察数列得后项等于前项乘以，应填空；，； （4）观察数列得各项都化为二次根式后，为正整数的正的平方根，应填空；，． 2． 【分析】首先设，，，，，……，根据题意得到，再利用累加法求解即可. 【详解】由题知：设，，，，，……， 因为， ， ， ， …… 所以. 将上面个式子相加得：， 所以. 当时，也满足上式. 所以 3．，，，，，，，，，前5项和为12. 【分析】直接利用计算得到数列的前10项，进一步得到前5项的和. 【详解】因为， 所以，， ，， ，， ，. 前5项的和. 4．证明见解析. 【分析】首先判断数列是等差数列，进而根据等差数列前n项求和公式证明问题. 【详解】由题意，，当时，，即数列是以1为首项，2为公差的等差数列，所以，得证. 5．(1)， (2)． 【分析】（1）根据前项和的定义计算； （2）用分组求和法计算． 【详解】（1）由已知，，，，． 所以，． （2） ． 6．． 【分析】根据等比数列的定义证明，写出等比数列通项公式后可得． 【详解】解：由已知， 又，所以，即，所以， 所以是以2为首项，2为公比的等比数列，， 所以． 7．具体见解析. 【分析】冬至时日影最长，为1350分，减去得到小寒日影长度，再减去得到大寒日影长度，以此类推，一直得到夏至日影长度；夏至时日影最短，为160分，将数据反向排列得到剩下节气的日影长度.再将日影长度从大到小排列得到数列的各项. 【详解】根据等差数列的定义，一年有24个节气，每相邻两个节气之间日影长度差为分，且冬至日影最长，为1350分，夏至日影最短为160分， 所以小寒日影长度为：分，大寒日影长度为：分， 立春日影长度为：分，雨水日影长度为：分， 惊蛰日影长度为：分，春分日影长度为：分， 清明日影长度为：分，谷雨日影长度为：分， 立夏日影长度为：分，小满日影长度为：分， 芒种日影长度为：分，夏至日影长度为：分. 数据反向排列得到：小暑日影长度为：分，大暑的日影长度为：分， 立秋的日影长度为：分，处暑的日影长度为：分， 白露的日影长度为：分，秋分的日影长度为：分， 寒露的日影长度为：分，霜降的日影长度为：分， 立冬的日影长度为：分，小雪的日影长度为：分， 大雪的日影长度为：分，冬至的日影长度为：1350分. 根据题意数列中的项为：1350，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，160. 8．证明见解析. 【分析】按照数学归纳法的步骤证明即可. 【详解】证明：（1）当时， 左边，右边， 左边=右边，等式成立. （2）假设当时，等式成立， 即， 则当时， ， 即当时，等式成立， 由（1）（2）可知，对一切等式成立. 9．，，，， 【分析】，从而可得出，猜想，然后根据数学归纳法的步骤证明即可. 【详解】解：因为， 所以，， ， ， 猜想， 下面用数学归纳法进行证明： 当时，，猜想正确， 假设当时，猜想也正确， 则有， 当时，， 所以时，猜想也正确， 综上所述，. 所以，，，，. 10．证明见解析 【分析】验证当时结论成立，然后利用数学归纳法可证得结论成立. 【详解】证明：当时，，则能被整除， 假设当时，能被整除， 则当时，即 , 因为、都能被整除，故能被整除， 即能被整除， 所以，当时，命题也成立， 因此，对任意正整数，都能被整除. 11． 【分析】根据等差数列片段和性质可得，，成等差数列，再根据等差中项的性质计算可得； 【详解】解：因为是等差数列，所以，，成等差数列， 所以，因为，所以，解得 12． 【分析】推导出、、成等比数列，结合已知条件可求得结果. 【详解】设等比数列的公比为， 则， 同理可得， 故、、成等比数列，所以，， 即，解得. 13．（1）等差数列的前n项和为，则成等差数列，证明见详解； （2）等比数列的前n项的和为，则不一定成等比数列，证明见详解. 【分析】（1）设等差数列的首项为，公差为，根据数列求和的公式和等差数列通项公式，分别化简得出，，，再利用等差中项法证明等差数列，判断即可得出结论； （2）设等比数列的首项为，公比为，分类讨论，当，且，三种情况，根据等比数列的求和公式，分别化简得出，，，最后利用等比中项法证明等比数列，即可判断即可得出结论. 【详解】解：（1）等差数列的前n项和为，则成等差数列， 设等差数列的首项为，公差为， 则， ， 同理， ， 即， ， 成等差数列. （2）等比数列的前n项的和为，则不一定成等比数列， 设等比数列的首项为，公比为， 当时， ， ， ， 则， 所以成等比数列； 当且时， ， ， ， 则， 所以成等比数列. 当时，， 当为偶数时，则有，，， 则此时不构成等比数列. 综上得：等比数列的前n项的和为，则不一定成等比数列. 14．存在，.（答案不唯一） 【分析】先确定这样的数列，如，再证明这个数列符合题意即可. 【详解】解：存在，如， 因为，所以， 又函数在上递增， 所以数列是无穷递增数列， 所以存在各项都小于5的无穷递增数列. 15．，，；；证明见解析. 【分析】直接由递推公式计算得到数列的前3项，并猜测出通项公式，将取倒数，得到，进一步利用等差数列的定义求出的通项，从而得到的通项. 【详解】因为， 所以，解得， ，解得， ，解得， 所以，，. 猜想通项公式为. 证明：因为，所以，即 是公差为2的等差数列， 所以， 所以. 16．1 【分析】在中，令得到，再令即可得到答案. 【详解】因为，所以令，得， 即， 所以. 17． 【分析】先求出当为奇数时中项与项的关系，再求出为偶数时中项与项的关系，即可求出前项和. 【详解】解：当为奇数时， ， ， 以上两式相减可得：， ； 当为偶数时， ， ， 以上两式相加可得：， ， ， 的值为. 18． 【分析】在中，用换n，得，作商即可得答案，但要注意检验. 【详解】因为， 所以，当时，， 两式相除，得， 又不满足上式， 所以. 19． 【分析】首先设，前项和，根据和的关系得到，再求即可. 【详解】设，前项和. 当时，， 当时，， 检验：，所以. 即，. 20．(1) (2) 【分析】（1）通过等比数列的基本量运算求出，再求出，进而通过等差数列的基本量运算求出； （2）结合（1），通过错位相减法求得答案. 【详解】（1）解：设的公差为d，的公比为q，则，所以，则，即，所以 （2）解：由（1），记的前n项和为， 所以……① 则……②， ①-②，得：， 所以. 21．. 【分析】将变形为，进一步变形为，再结合等差数列前n项和公式即可得到答案. 【详解】. 22．证明见解析. 【分析】按照数学归纳法证明步骤证明即可. 【详解】证明：（1）当时，两条直线的交点只有1个，又， 所以时，命题成立； （2）假设且时，命题成立，即平面内满足题设的任何k条直线交点个数， 那么，当时，任取一条直线l，除l以外其他k条直线的交点个数为， 因为任意两条直线不平行，所以直线l与其他k条直线的交点个数为k，又任意三条不过同一点， 所以上面k个交点两两不同，且与平面内其他的个交点也两两不同，从而k+1条直线共有个交点， 即， 所以当时，命题成立. 综上，原命题成立. 23．(1)；； (2). 【分析】（1）表示经过一次传球后球回到甲手中，易得，经过两次传球后球回到甲手中有3种情况，分别是乙传给甲，丙传给甲，丁传给甲； （2）由n次传递后与次传递后得到的递推公式，再通过构造法求出通项即可. 【详解】（1）经过一次传递后，落在乙丙丁手中的概率均为，而落在甲手里的概率为0，所以， 两次传递后球落在甲手里的概率为. （2）要想经过n次传递后球落在甲手中，那么次传递后球一定不在甲手中， 所以，， 所以，又， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以. 24． 【分析】分、和且三种情况讨论，利用等差数列数列求和公式以及错位相减法可求出. 【详解】当时，； 当时，； 当且时，， 可得出， 上述两式相减得， 可得. 当时，也适合. 综上所述，. 【点睛】本题考查数列求和，涉及等差数列求和以及错位相减法求和，解题时要注意对公比的取值进行分类讨论，考查计算能力，属于中等题. 25．(1)答案见解析 (2) (3)答案见解析 【分析】（1）根据数表中的规律可写出数表中的第行、第行； （2）写出数表中第行的第一个数，即可写出数表中第行的第个数； （3）根据数表中的规律可得出数列、的递推公式，再利用累加法可求得这两个数列的通项公式. 【详解】（1）解：数表中的第行为、、、， 数表中的第行为、、、、； （2）解：前行中每一行的第一个数分别为、、、、、、、、、， 所以，数表中第行的第个数为； （3）解：，，，， 所以，数列的递推公式为， 则 ， 由数表可得，，，， 所以，数列的递推公式为， 所以，. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $