精品解析：河北省唐县第一中学2025-2026学年高二下学期3月月考数学试题

唐县一中2024级高二3月月考数学试题 姓名： 班级： 考号： 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 2. 设随机变量X的分布列为，，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 的展开式中项的系数为（ ） A. B. C. D. 4. 某公司的两名同事计划今年国庆节期间从大理、丽江、洱海、玉龙雪山、蓝月谷这个著名旅游景点中随机选择一个游玩.若在两人中至少有一人选择大理的条件下，求两人选择的景点不同的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 用4种不同的颜色给图中6个区域染色，要求边界有重合部分的区域染上不同的颜色，则不同的染色方法有（ ） A. 384种 B. 168种 C. 108种 D. 192种 6. 甲辰龙年春节哈尔滨火爆出圈，成为春节假期旅游城市中的“顶流”．甲、乙等6名网红主播在哈尔滨的中央大街、冰雪大世界、圣索菲亚教堂、音乐长廊4个景点中选择一个打卡游玩，若每个景点至少有一个主播去打卡游玩，每位主播都会选择一个景点打卡游玩，且甲、乙各单独1人去某一个景点打卡游玩，则不同游玩方法有（ ） A. 96种 B. 132种 C. 168种 D. 204种 7. 一袋中装有编号分别为1，2，3，4的4个球，现从中随机取出2个球，用表示取出球的最大编号，则（ ） A. 2 B. 3 C. D. 8. 一袋中装有4个白球和2个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个不放回，取出后记下颜色，若为红色停止，若为白色则继续抽取，停止时从袋中抽取的白球的个数为随机变量，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分） 9. 已知，且第5项与第8项的二项式系数相等，则（ ） A. B. 展开式的二项式系数和为 C. 展开式的各项系数和为 D. 10. 已知随机变量的分布列如下，则（ ） 0 1 2 A. B. C. D. 11. 甲是某公司的技术研发人员，他所在的小组负责某个项目，该项目由三个工序组成，甲只负责其中一个工序，且甲负责工序的概率分别为，当他负责工序时，该项目达标的概率分别为,则下列结论正确的是（ ） A. 该项目达标的概率为0.68 B. 若甲不负责工序C，则该项目达标的概率为0.54 C. 若该项目达标，则甲负责工序A的概率为 D. 若该项目未达标，则甲负责工序A的概率为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知的展开式中二项式系数和为32，则展开式中的常数项为 _______ ． 13. 我校举行英语演讲比赛，参加决赛的甲､乙､丙等七人分别上台演讲，其中甲､乙演讲的顺序必须相邻，丙不能在第一个与最后一个演讲，则不同的安排方法共有__________.种 14. 盒子中有4个红球，6个白球，从盒中每次取1个球，取出后将原球放回，再加入2个同色球，所有的球除颜色外其它均相同，则第2次取到红球的概率为_____；在第2次取到红球的前提下，第3次取到白球的概率为_____. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知的二项展开式有7项． （1）求，并求出所有二项式系数之和； （2）求展开式中含项的系数； （3）求展开式中的有理项． 16. 某次文艺晚会上计划演出7个节目，其中2个歌曲节目，3个舞蹈节目，2个小品节目，需要制作节目单： （1）三个舞蹈节目相邻且不排两端，有多少种排法？ （2）唱歌节目相邻，舞蹈节目也相邻，两个个小品节目不相邻，有多少种排法？ （3）由于特殊原因，需要在定好的节目单上加上两个新节目：一个育才师生的诗歌朗诵《育才赋》和一个快板节目，但是不能改变原来节目的相对顺序，有多少种排法？ 17. 2024年初，OpenAI公司发布了新的文生视频大模型：“Sora”，Sora模型可以生成最长60秒的高清视频．Sora一经发布在全世界又一次掀起了人工智能的热潮．为了培养具有创新潜质的学生，某高校决定选拔优秀的中学生参加人工智能冬令营．选拔考试分为“Python编程语言”和“数据结构算法”两个科目，考生两个科目考试的顺序自选，若第一科考试不合格，则淘汰；若第一科考试合格则进行第二科考试，无论第二科是否合格，考试都结束．“Python编程语言”考试合格得4分，否则得0分；“数据结构算法”考试合格得6分，否则得0分． 已知甲同学参加“Python编程语言”考试合格的概率为0.8，参加“数据结构算法”考试合格的概率为0.7． （1）若甲同学先进行“Python编程语言”考试，记为甲同学的累计得分，求的分布列； （2）为使累计得分的期望最大，甲同学应选择先回答哪类问题？并说明理由． 18. 某超市为了吸引顾客，在“五一”期间进行有奖促销活动，规定凡在该超市购物满300元的顾客，均可获得一次摸奖机会．摸奖规则如下：奖盒中放有除颜色不同外其余完全相同的4个球（红、黄、白、黑）．顾客不放回地每次摸出1个球，若摸到黑球，则摸奖停止，否则就继续摸球．按规定：摸到红球奖励20元，摸到白球或黄球奖励10元，摸到黑球不奖励． （1）如果1名顾客第3次摸到黑球，求该顾客第1次摸到红球的概率； （2）记随机变量X为1名顾客摸奖获得的奖金数额，求X的分布列和数学期望． 19. 设，. （1）求的展开式中系数最大的项； （2）时，化简； （3）求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 唐县一中2024级高二3月月考数学试题 姓名： 班级： 考号： 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】根据组合数与排列数的计算公式，将原方程化简整理，即可求出结果. 【详解】由，可得：,且， 解得：. 故选：A 2. 设随机变量X的分布列为，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由分布列中所有概率和为1求解． 【详解】由题意，． 故选：A． 3. 的展开式中项的系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】因为，结合二项展开式的通项公式运算求解. 【详解】因为， 且的展开式为， 令，解得，可得； 令，解得，不合题意； 所以项的系数为. 故选：B. 4. 某公司的两名同事计划今年国庆节期间从大理、丽江、洱海、玉龙雪山、蓝月谷这个著名旅游景点中随机选择一个游玩.若在两人中至少有一人选择大理的条件下，求两人选择的景点不同的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设事件两人中至少有一人选择大理为，事件两人选择的景点不同为，求，，结合条件概率公式求解结论. 【详解】设事件两人中至少有一人选择大理为，事件两人选择的景点不同为，则 ，， ， 故选：B. 5. 用4种不同的颜色给图中6个区域染色，要求边界有重合部分的区域染上不同的颜色，则不同的染色方法有（ ） A. 384种 B. 168种 C. 108种 D. 192种 【答案】D 【解析】 【分析】先涂区域，再分类讨论涂4的种数，根据对称性知3，6的涂法，利用分步乘法计数原理得解. 【详解】先给2，5染色，有种方法， 若1和5同色，则4有2种涂法；若1和5不同色，则4有种涂法． 因为1，4分别与3，6对称，所以不同的染色方法有种． 故选：D 6. 甲辰龙年春节哈尔滨火爆出圈，成为春节假期旅游城市中的“顶流”．甲、乙等6名网红主播在哈尔滨的中央大街、冰雪大世界、圣索菲亚教堂、音乐长廊4个景点中选择一个打卡游玩，若每个景点至少有一个主播去打卡游玩，每位主播都会选择一个景点打卡游玩，且甲、乙各单独1人去某一个景点打卡游玩，则不同游玩方法有（ ） A. 96种 B. 132种 C. 168种 D. 204种 【答案】C 【解析】 【分析】对其余位主播分两种情况讨论，按照先分组、再分配的方法计算可得. 【详解】依题意其余位主播有两种情况： ①位主播去一个景点，位主播去另外一个景点；②分别都是位主播去一个景点； 所以不同游玩方法（种）. 故选：C 7. 一袋中装有编号分别为1，2，3，4的4个球，现从中随机取出2个球，用表示取出球的最大编号，则（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意随机变量X所有可能取值为2，3，4，然后求出各自对应的概率，即可求出X的分布列，再计算期望即可. 【详解】由题意随机变量X所有可能取值为2，3，4. 且，，. 因此X的分布列为： X 2 3 4 P 则， 故选：C. 8. 一袋中装有4个白球和2个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个不放回，取出后记下颜色，若为红色停止，若为白色则继续抽取，停止时从袋中抽取的白球的个数为随机变量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意，令表示前k个球为白球，第个球为红球，此时，再进行计算即可求解． 【详解】令表示前k个球为白球，第个球为红球， 此时， 则． 故选：A． 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分） 9. 已知，且第5项与第8项的二项式系数相等，则（ ） A. B. 展开式的二项式系数和为 C. 展开式的各项系数和为 D. 【答案】AD 【解析】 【详解】对于A：由题意可得，则，故A正确；对于B：因为，所以展开式的二项式系数和为，故B不正确； 对于C：令，则展开式的各项系数和为，所以C不正确； 对于D：令，得，令，得，所以，故D正确． 10. 已知随机变量的分布列如下，则（ ） 0 1 2 A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】对A，由分布列的性质求解判断；对B，由分布列求解判断；对C，先求出，再根据均值的性质求解；对D，根据条件概率公式计算. 【详解】对于A，由分布列的性质可知：，解得，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，， ，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：AD. 11. 甲是某公司的技术研发人员，他所在的小组负责某个项目，该项目由三个工序组成，甲只负责其中一个工序，且甲负责工序的概率分别为，当他负责工序时，该项目达标的概率分别为,则下列结论正确的是（ ） A. 该项目达标的概率为0.68 B. 若甲不负责工序C，则该项目达标的概率为0.54 C. 若该项目达标，则甲负责工序A的概率为 D. 若该项目未达标，则甲负责工序A的概率为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题设条件，逐一对各个选项分析判断即可得出结果. 【详解】记甲负责工序为事件，甲负责工序为事件，甲负责工序为事件，该项目达标为事件． 对于选项A，该项目达标的概率为 ，故选项A正确； 对于选项B， ，故选项B错误； 对于选项C，，所选项C正确； 对于选项D，，所以选项D正确， 故选：ACD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知的展开式中二项式系数和为32，则展开式中的常数项为 _______ ． 【答案】10 【解析】 【分析】首先根据二项式系数和公式求，代入通项公式求常数项，再利用二项式的展开式和组合数的应用求出结果． 【详解】由于二项式的系数和满足，解得； 故的展开式，； 当时，展开式的常数项为． 故答案为：10． 13. 我校举行英语演讲比赛，参加决赛的甲､乙､丙等七人分别上台演讲，其中甲､乙演讲的顺序必须相邻，丙不能在第一个与最后一个演讲，则不同的安排方法共有__________.种 【答案】960 【解析】 【分析】将甲乙捆绑，并确定丙的位置，排序即可. 【详解】将甲乙捆绑看做一个元素，由丙不能在第一个与最后一个演讲， 则丙的位置有4个，将剩余5个元素再排序有种方法， 故不同的安排方法共有种. 故答案为：960. 14. 盒子中有4个红球，6个白球，从盒中每次取1个球，取出后将原球放回，再加入2个同色球，所有的球除颜色外其它均相同，则第2次取到红球的概率为_____；在第2次取到红球的前提下，第3次取到白球的概率为_____. 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】根据条件概率及全概率公式即可求解. 【详解】记事件“第次取到红球”， 则， ， 所以， 即第2次取到红球的概率为； ， 所以， 即在第2次取到红球的前提下，第3次取到白球的概率为. 故答案为：；. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知的二项展开式有7项． （1）求，并求出所有二项式系数之和； （2）求展开式中含项的系数； （3）求展开式中的有理项． 【答案】（1）；64 （2）1215 （3），，， 【解析】 【分析】（1）由二项展开式有7项，可得，所有二项式系数之和为； （2）先求出二项展开式的通项为，再令，解得，代入通项计算即可； （3）分析得出要得到有理项，必须让为整数，从而得到，再代入通项计算即可. 【小问1详解】 因为的二项展开式有7项，所以， 所以所有二项式系数之和为； 【小问2详解】 由（1）知，所以的二项展开式的通项为 ， 令，解得， 所以展开式中含项的系数为； 【小问3详解】 因为的二项展开式的通项为， 因为，且，所以能使为整数的， 所以展开式中的有理项分别为 ，， ，. 16. 某次文艺晚会上计划演出7个节目，其中2个歌曲节目，3个舞蹈节目，2个小品节目，需要制作节目单： （1）三个舞蹈节目相邻且不排两端，有多少种排法？ （2）唱歌节目相邻，舞蹈节目也相邻，两个个小品节目不相邻，有多少种排法？ （3）由于特殊原因，需要在定好的节目单上加上两个新节目：一个育才师生的诗歌朗诵《育才赋》和一个快板节目，但是不能改变原来节目的相对顺序，有多少种排法？ 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将三个舞蹈节目看成整体，先排剩下4个节目，再把三个舞蹈节目放入不含两端的3个空中，据此可得答案； （2）将舞蹈，歌曲看成整体并优先安排，然后把小品放入舞蹈歌曲整体排布产生的空中可得答案. （3）将新增两个节目放入7个节目排布产生的空中，分放入同一个空和放入两个不同的空两种情况，据此可得答案. 【小问1详解】 将3个舞蹈节目看成整体，优先排布，有种排法．再将剩下4个节目全排列，有种排法．最后，将舞蹈节目整体放入剩下4个节目排布时产生的不含两端的3个空中，有3种排法，故共有种排法； 【小问2详解】 将舞蹈，歌曲看成整体并优先安排，有种排法．再将小品分放入排布舞蹈，歌曲时产生的三个空中，有种排法．则共有种排法． 【小问3详解】 将新增两个节目放入7个节目排布产生的8个空中．若两个节目放入同一个空，有种排法，若两个节目不放入同一个空，有种排法，故共有种排法． 17. 2024年初，OpenAI公司发布了新的文生视频大模型：“Sora”，Sora模型可以生成最长60秒的高清视频．Sora一经发布在全世界又一次掀起了人工智能的热潮．为了培养具有创新潜质的学生，某高校决定选拔优秀的中学生参加人工智能冬令营．选拔考试分为“Python编程语言”和“数据结构算法”两个科目，考生两个科目考试的顺序自选，若第一科考试不合格，则淘汰；若第一科考试合格则进行第二科考试，无论第二科是否合格，考试都结束．“Python编程语言”考试合格得4分，否则得0分；“数据结构算法”考试合格得6分，否则得0分． 已知甲同学参加“Python编程语言”考试合格的概率为0.8，参加“数据结构算法”考试合格的概率为0.7． （1）若甲同学先进行“Python编程语言”考试，记为甲同学的累计得分，求的分布列； （2）为使累计得分的期望最大，甲同学应选择先回答哪类问题？并说明理由． 【答案】（1）分布列见详解 （2）先回答“Python编程语言”考试这类问题，理由见详解. 【解析】 【分析】（1）由已知可得的所有可能取值，分别计算概率即可求解； （2）设甲同学先进行“数据结构算法”考试，记为甲同学的累计得分，求解的分布列，分别计算，的期望，比较大小，即可求解. 【小问1详解】 由题意的所有可能取值为，，， 所以，， ， 所以的分布列为 【小问2详解】甲同学选择先回答“Python编程语言”考试这类问题，理由如下： 由（1）可知， 甲同学先进行“数据结构算法”考试，记为甲同学的累计得分， 则的所有可能取值为，，， ，， ， 所以的分布列为 ， 所以， 所以甲同学选择先回答“Python编程语言”考试这类问题. 18. 某超市为了吸引顾客，在“五一”期间进行有奖促销活动，规定凡在该超市购物满300元的顾客，均可获得一次摸奖机会．摸奖规则如下：奖盒中放有除颜色不同外其余完全相同的4个球（红、黄、白、黑）．顾客不放回地每次摸出1个球，若摸到黑球，则摸奖停止，否则就继续摸球．按规定：摸到红球奖励20元，摸到白球或黄球奖励10元，摸到黑球不奖励． （1）如果1名顾客第3次摸到黑球，求该顾客第1次摸到红球的概率； （2）记随机变量X为1名顾客摸奖获得的奖金数额，求X的分布列和数学期望． 【答案】（1） （2） 0 10 20 30 40 . 【解析】 【分析】(1)根据条件概率计算公式，求出事件的概率，使用条件概率公式求出结果. (2)根据离散型随机变量概率计算方法，求出的分布列，根据离散型随机变量数学期望公式求出结果. 【小问1详解】 设“第3次摸到黑球”为事件，“第1次摸到红球”为事件，可知，可知. 【小问2详解】 X的可能结果有0，10，20，30，40. 当时，第一个就是黑球， 当时，第一个是白球或者黄球，第二个是黑球， 当时，前两个是白球和黄球，第三个是黑球，或者第一个是红球，第二个是黑球， 当时，第一个是白球或者黄球，第二个是红球，第三个是黑球，或者，第一个是红球， 第二个是白球或者黄球， 第三个是黑球， 当时，前三个是白球和黄球和红球，第四个是黑球， 故分布列为 0 10 20 30 40 数学期望. 19. 设，. （1）求的展开式中系数最大的项； （2）时，化简； （3）求证：. 【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）中间项的二项式系数（也是系数）最大； （2）在原式乘以4，然后逆用二项式定理即可； （3）根据，将左边利用倒序相加法求和. 【详解】解：（1），通项为：， 故各项的系数即为二项式系数，故系数最大的项为； （2） ； （3）证明：令①， 则， 所以②， ①②得：，∴. 【点睛】本题考查二项式定理的通项、系数的性质以及赋值法.同时考查学生的逻辑推理和数学运算等数学核心素养.属于中档题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $