河北省唐县第一中学2025-2026学年高二下学期3月月考数学试题

唐县一中2024级高二3月月考数学试题 姓名： 班级： 考号： 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 2. 设随机变量X的分布列为，，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 的展开式中项的系数为（ ） A. B. C. D. 4. 某公司的两名同事计划今年国庆节期间从大理、丽江、洱海、玉龙雪山、蓝月谷这个著名旅游景点中随机选择一个游玩.若在两人中至少有一人选择大理的条件下，求两人选择的景点不同的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 用4种不同的颜色给图中6个区域染色，要求边界有重合部分的区域染上不同的颜色，则不同的染色方法有（ ） A. 384种 B. 168种 C. 108种 D. 192种 6. 甲辰龙年春节哈尔滨火爆出圈，成为春节假期旅游城市中的“顶流”．甲、乙等6名网红主播在哈尔滨的中央大街、冰雪大世界、圣索菲亚教堂、音乐长廊4个景点中选择一个打卡游玩，若每个景点至少有一个主播去打卡游玩，每位主播都会选择一个景点打卡游玩，且甲、乙各单独1人去某一个景点打卡游玩，则不同游玩方法有（ ） A. 96种 B. 132种 C. 168种 D. 204种 7. 一袋中装有编号分别为1，2，3，4的4个球，现从中随机取出2个球，用表示取出球的最大编号，则（ ） A. 2 B. 3 C. D. 8. 一袋中装有4个白球和2个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个不放回，取出后记下颜色，若为红色停止，若为白色则继续抽取，停止时从袋中抽取的白球的个数为随机变量，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分） 9. 已知，且第5项与第8项的二项式系数相等，则（ ） A. B. 展开式的二项式系数和为 C. 展开式的各项系数和为 D. 10. 已知随机变量的分布列如下，则（ ） 0 1 2 A. B. C. D. 11. 甲是某公司的技术研发人员，他所在的小组负责某个项目，该项目由三个工序组成，甲只负责其中一个工序，且甲负责工序的概率分别为，当他负责工序时，该项目达标的概率分别为,则下列结论正确的是（ ） A. 该项目达标的概率为0.68 B. 若甲不负责工序C，则该项目达标的概率为0.54 C. 若该项目达标，则甲负责工序A的概率为 D. 若该项目未达标，则甲负责工序A的概率为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知的展开式中二项式系数和为32，则展开式中的常数项为 _______ ． 13. 我校举行英语演讲比赛，参加决赛的甲､乙､丙等七人分别上台演讲，其中甲､乙演讲的顺序必须相邻，丙不能在第一个与最后一个演讲，则不同的安排方法共有__________.种 14. 盒子中有4个红球，6个白球，从盒中每次取1个球，取出后将原球放回，再加入2个同色球，所有的球除颜色外其它均相同，则第2次取到红球的概率为_____；在第2次取到红球的前提下，第3次取到白球的概率为_____. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知的二项展开式有7项． （1）求，并求出所有二项式系数之和； （2）求展开式中含项的系数； （3）求展开式中的有理项． 16. 某次文艺晚会上计划演出7个节目，其中2个歌曲节目，3个舞蹈节目，2个小品节目，需要制作节目单： （1）三个舞蹈节目相邻且不排两端，有多少种排法？ （2）唱歌节目相邻，舞蹈节目也相邻，两个个小品节目不相邻，有多少种排法？ （3）由于特殊原因，需要在定好的节目单上加上两个新节目：一个育才师生的诗歌朗诵《育才赋》和一个快板节目，但是不能改变原来节目的相对顺序，有多少种排法？ 17. 2024年初，OpenAI公司发布了新的文生视频大模型：“Sora”，Sora模型可以生成最长60秒的高清视频．Sora一经发布在全世界又一次掀起了人工智能的热潮．为了培养具有创新潜质的学生，某高校决定选拔优秀的中学生参加人工智能冬令营．选拔考试分为“Python编程语言”和“数据结构算法”两个科目，考生两个科目考试的顺序自选，若第一科考试不合格，则淘汰；若第一科考试合格则进行第二科考试，无论第二科是否合格，考试都结束．“Python编程语言”考试合格得4分，否则得0分；“数据结构算法”考试合格得6分，否则得0分． 已知甲同学参加“Python编程语言”考试合格的概率为0.8，参加“数据结构算法”考试合格的概率为0.7． （1）若甲同学先进行“Python编程语言”考试，记为甲同学的累计得分，求的分布列； （2）为使累计得分的期望最大，甲同学应选择先回答哪类问题？并说明理由． 18. 某超市为了吸引顾客，在“五一”期间进行有奖促销活动，规定凡在该超市购物满300元的顾客，均可获得一次摸奖机会．摸奖规则如下：奖盒中放有除颜色不同外其余完全相同的4个球（红、黄、白、黑）．顾客不放回地每次摸出1个球，若摸到黑球，则摸奖停止，否则就继续摸球．按规定：摸到红球奖励20元，摸到白球或黄球奖励10元，摸到黑球不奖励． （1）如果1名顾客第3次摸到黑球，求该顾客第1次摸到红球的概率； （2）记随机变量X为1名顾客摸奖获得的奖金数额，求X的分布列和数学期望． 19. 设，. （1）求的展开式中系数最大的项； （2）时，化简； （3）求证：. 唐县一中2024级高二3月月考数学试题 姓名： 班级： 考号： 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】A 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分） 【9题答案】 【答案】AD 【10题答案】 【答案】AD 【11题答案】 【答案】ACD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 【12题答案】 【答案】10 【13题答案】 【答案】960 【14题答案】 【答案】 ①. ## ②. ## 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 【15题答案】 【答案】（1）；64 （2）1215 （3），，， 【16题答案】 【答案】（1） （2） （3） 【17题答案】 【答案】（1）分布列见详解 （2）先回答“Python编程语言”考试这类问题，理由见详解. 【18题答案】 【答案】（1） （2） 0 10 20 30 40 . 【19题答案】 【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $