专题05 幂的运算、整式乘法、二元一次方程组108道计算题专训（期中复习专项训练）七年级数学下学期新教材苏科版

专题05 幂的运算、整式乘法、二元一次方程组108道计算题专训 题型1 同底数幂的乘法 题型10 通过对完全平方公式变形求值 题型2 幂的乘方 题型11 乘法公式的新定义计算 题型3 积的乘方 题型12 乘法公式的配方法求最值 题型4 同底数幂的除法 题型13 整式混合运算 题型5 幂的新定义运算 题型14 解二元一次方程组 题型6 多项式乘法及化简求值 题型15 二元一次方程组的求参数问题 题型7 已知多项式乘积不含某项求字母的值 题型16 二元一次方程组的错解复原问题 题型8 多项式乘法中的规律性问题 题型17 二元一次方程组的相同解问题 题型9 乘法公式 题型18 二元一次方程组的新定义计算 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 同底数幂的乘法（共6小题） 1．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法运算，熟练掌握同底数幂乘法运算法则，“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”，是解题的关键．根据同底数幂乘法运算法则求解即可． 【详解】解： ． 2．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）计算：； 【答案】 【分析】此题考查了同底数幂的乘法，解题的关键是掌握以上运算法则．根据同底数幂的乘法运算法则求解即可． 【详解】解： ． 3．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了幂的乘法运算，掌握运算法则是解题关键． （1）同底数幂相乘，底数不变，指数相加； （2）先化简，再利用乘法分配律计算即可； （3）当底数互为相反数时，可先提出负号，再进行运算． 【详解】（1）解：原式； （2）原式； （3）原式． 4．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法法则： （1）根据同底数幂的乘法法则直接计算即可； （2）先将底数化为相同，再利用同底数幂的乘法法则计算即可； （3）先计算乘方，再利用同底数幂的乘法法则计算，最后合并同类项即可； （4）先利用同底数幂的乘法法则计算，最后合并同类项即可； 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：原式； （4）解：原式． 5．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）已知，求下列各式的值． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查同底数幂乘法的逆用，熟练掌握同底数幂乘法的逆用是解题的关键； （1）由可代入进行求解即可； （2）由可代入进行求解即可； （3）由可代入进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴； （3）解：∵， ∴． 6．（24-25七年级上·江苏南京·期中）（1）已知，，求的值． （2）若，，求的值． （3）若，，，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法运算法则：底数不变，指数相加是解题的关键． （1）逆用同底数幂的乘法运算法则变形，然后代入运算即可； （2）先逆用同底数幂的乘法运算法则求出，然后代入运算即可； （3）逆用同底数幂的乘法运算法则进行代值求解即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴； （2）∵，， ∴，则， ∴； （3）∵，，， ∴． 题型二 幂的乘方（共6小题） 7．（24-25七年级上·江苏南京·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2) 【分析】（1）先用幂的乘方，再计算同底数幂相乘，然后合并同类项； （2）先计算积的乘方、幂的乘方，再合并同类项． 【详解】（1）解： ； （2） 【点睛】本题考查了同底数幂相乘，幂的乘方运算，积的乘方运算，合并同类项，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 8．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据单项式乘以单项式，积的乘方，幂的乘方计算解答即可； （2）根据积的乘方，整式的加减计算即可； 本题考查了单项式乘以单项式，积的乘方，幂的乘方，整式的加减，熟练掌握公式和运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 9．（24-25七年级上·江苏镇江·期中）计算： (1)． (2) (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3)0 (4) 【分析】本题考查了幂的乘法运算，单项式乘法运算，合并同类项，正确运用幂的运算法则是解题的关键． （1）先进行积的乘方运算，再进行单项式的乘法运算即可； （2）先进行单项式的乘法和积的乘方运算，再合并同类项； （3）先进行幂的乘方，积的乘方运算，再进行单项式的乘法运算，最后合并同类项； （4）先进行积的乘方，再进行单项式乘法运算，最后合并同类项． 【详解】（1） ． （2） ． （3）原式 ． （4） ． 10．（24-25七年级上·江苏镇江·期中）已知，，求： (1)的值． (2)的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据幂的乘方与积的乘方法则进行解题即可； （2）根据幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法法则进行解题即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解：，， ． 11．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）若（且），则． (1)如果，求x的值； (2)已知x满足，求x的值． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查了同底数幂相乘，同底数幂乘法的逆用，幂的乘方的逆用等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）根据幂的乘方的逆用、同底数幂相乘法则，列出关于x的方程求解； （2）利用同底数幂乘法的逆用和分配律的逆用，列出关于x的方程求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：． 12．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）若（且，m，n是正有理数），则．利用该结论解决下面的问题： (1)如果，求x的值； (2)如果，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了同底数幂相乘、幂的乘方、及相应的逆运算，解题的关键是将底化相同； （1）将等式左边化成以为底，得出，求解即可； （2）将方程左边提取公因式，得出，求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∴． ∴． 解得． （2）解：∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 解得． 题型三 积的乘方（共6小题） 13．（24-25七年级上·江苏南京·期中）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的混合计算，先计算积的乘方，再计算同底数幂乘法，最后合并同类项即可得到答案． 【详解】解： 14．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了单项式乘单项式，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，掌握相应的运算法则是关键． （1）根据单项式乘单项式法则计算即可； （2）根据单项式乘单项式，合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方的运算法则进行计算； （3）根据单项式乘单项式，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方的运算法则进行计算； （4）先利用积的乘方逆运算进行简便运算，然后再根据同底数幂的乘法法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 15．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（）根据积的乘方运算法则计算即可； （）根据积的乘方和幂的乘方运算法则计算即可； （）根据积的乘方和幂的乘方运算法则计算即可； （）先进行乘方运算，再进行乘法运算，最后进行加法运算即可； 本题考查了幂的运算，掌握幂的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解： ． 16．（24-25七年级上·江苏镇江·期中）（1）已知，求的值； （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）根据积的乘方公式和幂的乘方逆运算求解即可； （2）根据积的乘方公式的逆用求解即可． 【详解】解：（1）， ； （2）， ， ， ， 解得． 17．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）在等式的运算中规定：若（且，是正整数），则，利用上面结论解答下列问题： (1)已知：，求x的值 (2)已知，求x的值． (3)若，求的值； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，幂的乘方的逆运算，积的乘方的逆运算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）逆用幂的乘方运算法则和同底数幂乘法运算法则得到，据此可得方程，解方程即可得到答案； （2）逆用积的乘方和幂的乘方运算法则得出，据此得出方程，解方程即可得到答案； （3）根据同底数幂乘法的逆运算法则得到，进一步可得，则，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得：； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 18．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）下图是东东同学完成的一道作业题，请你参考东东的方法解答下列问题． 东东的作业 计算：． 解：原式． (1)计算：①； ②； (2)若，请求出n的值． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，积的乘方运算，熟练掌握积的乘方法则是解答本题的关键． （1）①直接逆用积的乘方法则计算即可； ②先逆用同底数幂的乘法变形，再逆用积的乘方法则计算即可； （2）先利用幂的乘方法则变形，再利用同底数幂的乘法法则计算，进而可求出n的值． 【详解】（1）①； ② ； （2）解：∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 题型四 同底数幂的除法（共6小题） 19．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据幂的乘方与积的乘方法则计算，再根据同底数幂的乘法法则计算即可； （2）先变形，再根据同底数幂的乘法、同底数幂的除法法则计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解： 20．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）已知，求下列各式的值． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查幂的运算性质，包括同底数幂的除法和幂的乘方，以及积的乘方； （1）利用同底数幂的除法法则和幂的乘方法则； （2）利用积的乘方法则和幂的乘方法则． 【详解】（1）解：∵ ，， ∴ ， ∴ ． （2）解：∵ ，， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 21．计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了同底数幂的除法，熟练掌握同底数幂的除法运算法则是解题的关键； （1）（2）可直接运用同底数幂的除法法则进行运算； （3）先将底数化为相同，然后运用同底数幂的除法法则进行运算. 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 22．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了同底数幂的除法法则． （1）直接根据同底数幂的除法运算法则计算即可； （2）直接根据同底数幂的除法运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 23．（24-25七年级上·江苏常州·期中）按要求解答下列各小题． (1)已知，，求的值； (2)如果，求的值； (3)已知，求m的值． 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】本题主要考查同底数幂的乘除运算，熟练掌握同底数幂的乘除运算是解题的关键． （1）根据同底数幂的除法逆用可直接进行求解； （2）根据同底数幂的乘法的逆用可直接进行求解； （3）根据同底数幂的乘除法可直接进行求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵， ∴； （3）解：∵， ∴ ∴， 解得：． 24．（24-25七年级下·江苏镇江·期中）将幂的运算逆向思维可以得到，，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)已知，，，求： ①的值； ②的值； (2)已知，求x的值． 【答案】(1)；②； (2) 【分析】（1）根据同底数幂的乘法的计算方法将转化为，将转化为，然后代入计算即可； （2）根据幂的乘方以及同底数幂的乘法将原式化为，进而得到，求出x的值即可． 【详解】（1）解：， ； ②， ； （2）解：， ， 解得 题型五 幂的新定义运算（共6小题） 25．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）定义一种幂的新运算：，例如，请利用这种运算规则解决下列问题： (1)求的值； (2)若，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了定义幂的新运算．熟练掌握新运算规则，同底数幂的除法法则，是解题的关键． （1）根据新运算规则计算，即可求解； （2）根据新运算规则原式可变形得出，可得，即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解：∵， ∴， ∴， 解得：． 26．新定义：如果，则规定，例如：，所以． (1)填空： ； ； (2)若，，，试说明； (3)若，求e与f的数量关系． 【答案】(1)2，4 (2)见解析 (3)当为奇数时，当为偶数时， 【分析】本题主要考查有理数的乘方、同底数幂的乘法，幂的乘方，熟练掌握有理数的乘方、同底数幂的乘法法则是解决本题的关键． （1）根据新定义计算即可． （2）先根据新定义计算，再根据同底数幂相乘法则计算即可． （3）先根据新定义计算，再根据幂的乘方法则计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵， ∴． 故答案为：2；4； （2）证明：∵若，，， ∴，，， ∴， ∴． （3）解：设， ∴，， ∵， ∴， ∴， 当为奇数时,； 当为偶数时，； 综上所述，当为奇数时，当为偶数时，． 27．（24-25七年级下·山东青岛·期末）定义一种幂的新运算：，请利用这种运算规则解答下列问题： (1)求的值． (2)，，，求的值． (3)若运算的结果为，则的值是多少？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据新定义的运算，把相应的值代入运算即可； （2）结合幂的乘方及同底数幂的乘法的法则进行运算即可； （3）根据新定义的运算，结合同底数幂的乘法与有理数的乘方的法则进行运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）当，，时， ； （3）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的值是． 【点睛】本题考查新定义，幂的乘方，同底数幂的乘法，有理数的乘方，求代数式的值，解题的关键是正确理解新定义，掌握相应的运算法则． 28．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）关于任意的正整数，定义一种新运算： ，请根据这种新运算完成以下问题： (1)已知，，则__________； (2)已知，则__________，__________； (3)已知，求（其中为正整数，结果用含和的式子表示）． 【答案】(1)6 (2)； (3) 【分析】本题考查了同底数幂相乘的运算法则．根据同底数幂相乘的运算法则求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵， ∴， ； （3）解：∵， ∴（个1相加）， （个相乘） ， ∴（2025个1相加）， （2025个相乘） ， ∴． 29．（25-26七年级上·江苏盐城·期末）规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果，那么．我们叫为“雅对”．例如：∵，∴．我们还可以利用“雅对”定义证明等式成立．证明如下： 设，则． ∴． ∴， 即． (1)根据上述规定，填空： ① ， ；②若，则 ． (2)计算： ，并说明理由． (3)记．求证：． 【答案】(1)① 3，5；② (2)，理由见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了幂的运算和新定义运算，解题关键是准确理解题意，熟练运用幂的运算法则进行计算． （1）①按照题目给出的运算方法计算即可；②根据新定义列出方程求解即可； （2）按照题目给出的运算方法计算即可； （3）按照题目给出的运算方法计算即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴； ∵， ∴； 故答案为：3，5， ②∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． （2）解：设，则． ∴． ∴，即； 故答案为：． （3）解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 30．（24-25八年级上·江西赣州·期中）对数的定义：一般地，若，那么叫做以为底N的对数，记作．例如：，则．其中的对数叫做常用对数，此时可记为．当，且，时，． (1)解方程：； (2)求证：； (3)计算： 【答案】(1)2 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查新定义，同底数幂的乘法和除法，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）根据新定义，得到，进行求解即可； （2）根据新定义，结合同底数幂的除法进行证明即可； （3）根据新定义，进行计算即可． 【详解】（1）解：由题意，得：，， ∴； （2）设， ∴， ∴， ∴； （3） ． 题型六 多项式乘法及化简求值（共6小题） 31．（24-25八年级上·河南南阳·期中）观察下列各式： 回答下列问题： (1)总结公式：_____； (2)已知a，b，m均为整数，若，求m的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式． （1）观察题目中的四个式子发现规律：二次项系数都是1，一次项系数为左边括号中两个常数的和，常数项为左边括号中两个常数的积，据此求解即可； （2）利用（1）的猜想展开左边，再根据一次项系数和常数项列方程，最后根据a，b，m均为整数求解即可． 【详解】（1）解：根据上面的计算，可发现：， 故答案为：； （2）解：∵， ∴，， ∵a，b，m均为整数， ∴， ∴或或或， ∴或， ∴m的值为或． 32．根据，直接计算下列题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】根据题目给出一个新算法直接进行求值计算即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：． 【点睛】本题考查了多项式的乘法，本题类似于给出一个新算法根据新算法直接进行求值． 33．（24-25七年级上·江苏镇江·期中）【类比思想】观察计算猜想归纳： (1)填空： ①_____ ②_____ ③_____ ④_____． (2)把你所发现的规律用式子表示出来，并用语言进行归纳总结：式子表示：_____ 语言归纳：含相同字母，且字母系数为的两个一次二项式的积是_____次_____项式，其中积的二次项的系数为_____，一次项的系数为_____，常数项为_____． (3)根据规律直接写出结果： _____ _____． 【答案】(1)①；②；③；④ (2)，二，三，1，二项式中常数项的和，二项式中常数项的积 (3)； 【分析】（1）根据多项式乘多项式法则计算； （2）根据所求式子的结果进行归纳总结； （3）利用所得规律直接计算． 【详解】（1）解：①； ②； ③； ④； （2）归纳总结：式子表示：， 语言归纳：含相同字母，且字母系数为的两个一次二项式的积是二次三项式，其中积的二次项的系数为1，一次项的系数为二项式中常数项的和，常数项为二项式中常数项的积． （3）； ． 【点睛】本题考查了多项式乘多项式运算，解题的关键是理解型的多项式乘法运算． 34．（24-25七年级上·江苏常州·期中）先化简再求值．，其中． 【答案】， 【分析】先分解因式，然后进行整式运算化简，最后代入求值即可． 本题考查了因式分解，整式的化简求值，熟练掌握因式分解，正确化简是解题的关键． 【详解】解： 当时， ． 35．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）求值：，其中． 【答案】． 【分析】本题可先根据多项式乘法法则将原式展开，再通过合并同类项进行化简，最后将给定的、的值代入化简后的式子求值．本题主要考查了整式的混合运算以及代数式求值，熟练掌握多项式乘法法则、合并同类项法则以及代入求值的方法是解题的关键． 【详解】解： ， 当，时， 原式 ， 故答案为：． 36．（24-25七年级上·江苏南京·期中）先化简，再求值：．其中，． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值， 先根据整式的乘法和除法运算，再代入求值即可． 【详解】原式 ． 当时， 原式． 题型七 已知多项式乘积不含某项求字母的值（共6小题） 37．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）若的展开式中不含项，且，求m，n的值． 【答案】m的值是2，n的值是 【分析】利用多项式乘多项式法则先算乘法，再根据展开式中不含项求出m的值，逆用幂的乘方法则、同底数幂的乘法法则确定 【详解】解： 的展开式中不含项， ， 即 答：m的值是2，n的值是 38．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）已知的展开式中不含项和项．求的值． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先根据多项式乘多项式的法则计算，再根据展开式中不含和项得出，可先求出、的值；再根据多项式乘多项式的法则计算，把、的值代入计算即可． 【详解】解：． 根据展开式中不含项和项，得， 解得． ， 当，时， 原式． 39．（24-25七年级下·四川成都·期中）若多项式与的乘积中不含x的一次项． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)100 (2) 【分析】本题考查了多项式乘以多项式、幂的运算，负整数指数幂，求代数式的值，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据多项式与多项式相乘的法则去括号，然后合并同类项，再根据多项式的乘积中不含x的项，得出．再把化为的形式，然后整体代入计算； （2）根据多项式与多项式相乘的法则去括号，根据等式的性质得出，求出，然后整体代入计算． 【详解】（1）解： ， ∵多项式乘积中不含x的一次项， ∴， ∴ ∴ ； （2）解：∵ ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴ ． 40．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）（1）试说明代数式的值与s，t的取值有无关系； （2）已知多项式与的乘积展开式中不含的一次项，且常数项为，试求的值． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】本题考查整式的混合运算和无关型问题，与哪一项无关即是该项的系数为0，熟练掌握多项式乘多项式的法则是解题的关键． （1）根据多项式乘多项式法则和单项式乘多项式法则对原式进行计算，再合并同类项，可得结果为，即可解答； （2）根据多项式乘多项式法则对原式进行计算，然后合并同类项，再根据题意可得的一次项系数为，常数项为，列式求解得到和的值，即可求得的值． 【详解】解：（1） ， ∴代数式的值与s的取值有关系，与t的取值无关系； （2） ， ∵多项式与的乘积展开式中不含x的一次项，且常数项为， ∴，， 解得：， ∴． 41．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）若的乘积中不含和x项，求m，n的值． 【答案】， 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式的运算，掌握多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加，理解多项式中不含某一项即此项系数之和为0是解题关键．去括号合并同类项，再根据乘积中不含和项，列等式，计算即可． 【详解】解： ． 因为乘积中不含和项，所以，且， 解得． 42．（24-25七年级下·四川成都·期中）定义：整式乘以整式，得到整式，如果整式的项数正好比整式的项数多1，那么我们称整式是整式的“相邻增项式”． (1)如果，，判断是否是的“相邻增项式”，并说明理由； (2)已知，都是关于的整式且、均为不等于0的有理数． ①当时，如果是的“相邻增项式”，求的值． ②设，若关于的整式中不含的二次项，是否存在的值，使得整式是整式的“相邻增项式” 【答案】(1)是，理由见解析 (2)①或；②不存在，见解析 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，多项式的项的概念理解，一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，掌握多项式乘多项式法则． （1）根据多项式乘法算出，再根据“相邻增项式”的定义判断即可． （2）①当时，算出，根据是的“相邻增项式”，得出或，解答即可． ②根据，算出，根据关于的整式中不含的二次项，得出，求出，从而得出，算出，即可求解． 【详解】（1）解：是，理由如下： 根据题意可得：， 的项数正好比的项数多1， 是的“相邻增项式”． （2）解：①当时，， ∵是的“相邻增项式”， ∴或， 解得：或． ②不存在， ∵， ∴， 由于关于的整式中不含的二次项，， ∴，解得：， ， ∴ 当，即时，，而，故不符合题意，舍； 当，即时，，而，故不符合题意，舍 综上所述， 故不存在． 题型八 多项式乘法中的规律性问题（共6小题） 43．（25-26七年级下·江西九江·期中）七年级某班数学小组研究系列算式：，，…，将算式计算过程进行变形后，得到如下规律： ； ； ；…… (1)根据以上规律，直接写出的相应变形算式； (2)请用含的等式表示以上规律，并通过计算验证所列等式的正确性． 【答案】(1) (2)，其中；验证见解析 【分析】（1）根据规律写出等式即可； （2）先根据规律写出结果，再利用多项式与多项式的乘法法则验证即可． 【详解】（1）根据题中规律，得； （2），其中； 验证如下： ． 44．你能求的值吗？ 遇到这样的问题，我们可以先思考一下，从简单的情形入手．先计算下列各式的值： (1)___________； (2)___________； (3)___________；… (4)由此我们可以得到___________； 请你利用上面的结论，完成下面三题的计算： (5)； (6)； (7)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)1 【分析】（1 ）（2 ）（3 ）根据多项式乘多项式直接计算即可； （4 ）根据计算规律可直接得出结果； （5 ）（6 ）将原式变形，然后利用（4 ）中规律求解即可； （7 ）利用（3 ）可得，即，再根据指数幂的运算求解． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：由此我们可以得到； （5）解：； （6）解： ； （7）解：， ， 解得， ∴． 45．（24-25七年级下·广东深圳·期中）观察下列各式的规律，解答下列问题． 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． …… (1)根据上述规律，请写出第5个等式：________． (2)猜想：_______． (3)利用（2）中的结论，求的值． (4)已知，化简 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据已知等式写成第5个等式即可； （2）观察可知第个式子左边的第一个多项式为，第二个多项式中是按照字母的指数降序排列的，且每一项只含有两个字母，每一项的系数都为 1 ，字母的指数之和为，等式右边是，据此可得答案； （3）令式子中，得到，据此可得答案． （4）将变形得到，根据（ 2 ）的结论得，再代入求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，第五个等式为； （2）解：第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． ， 以此类推可知，； （3）解：由（2）可知， ． （4）解： ， 根据（ 2 ）的结论，， ∴． 46．（25-26八年级上·江苏南通·期中）我国南宋数学家杨辉在其所著的《详解九章算术》一书中，给出了的展开式（按的次数由大到小的顺序）的系数规律，具体如下图所示． 观察上图中的规律， (1)填空：“★”表示的数是________，________； (2)计算：． 【答案】(1)6； (2) 【分析】本题主要考查了与多项式乘法有关的规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键． （1）根据前4个算式的特征写出的展开式即可； （2）令，利用，可证明，据此求解即可． 【详解】（1）解：由图可知：每一行的第一个数字和最后一个数字均为1，从第三行开始，每一行的第二个数为前一行第一个数字和第二个数字之和，第三个数字是前一行的第二个数字和第三个数字之和，……， 以此类推可知， ∴“★”表示的数是6； （2）解：设， ∵， ∴， ∴， ∴． 47．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）南宋时期，钱塘数学家杨辉在他不朽的著作《详解九章算法》中，系统记载了一张神奇的三角数表——杨辉三角（如图所示）．它不仅凝结了古人的数学智慧，更揭示了二项式乘方（n为非负整数）展开式的深邃规律．这个三角形的每个数，都等于其上方两数之和，其构造之美、规律之奇，令人叹为观止．现在，就让我们穿越千年，一同探寻这古老数表中的奥秘，解决以下问题： 此图揭示了（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律， 由此规律可解决如下问题： (1)请在图中括号内的数为______； (2)展开式共有______项，第19项系数为______； (3)利用上面的规律计算：． 【答案】(1)6 (2)； (3) 【分析】本题考查了杨辉三角与二项式展开式的规律，解题关键是通过观察杨辉三角的构造特点，总结出二项式展开式的项数、系数规律并加以应用． （1）根据杨辉三角“每个数等于上方两数之和”的规律，计算括号内的数； （2）先由杨辉三角总结出展开式的项数规律，再结合“展开式中对称位置系数相等”及“第3项系数的推导公式”，求出指定项数与系数； （3）将式子与二项式展开式形式对应，利用的展开式逆用计算结果． 【详解】（1）由“杨辉三角”可知， 每一个数是肩上的两数之和（最两侧的数除外）， 则， 所以括号内的数为6． 故答案为：6． （2）由题知， 因为展开式共有3项，展开式共有4项，展开式共有5项，…， 所以展开式共有项． 当时， 展开式共有21项． 根据“杨辉三角”中每行数的特征可知， 展开式中第19项系数与第3项系数相等． 因为展开式第3项系数为1，展开式第3项的系数为3，展开式第3项的系数为6，…， 所以展开式第3项的系数为． 当时， ， 所以展开式中第19项系数为190． 故答案为：，． （3）由题知， ， 则令，得， ， 所以． 48．小聪观察等式（按降幂排序），发现如下规律： ①左边两个多项式各项系数之和的乘积等于右边多项式各项系数之和： 左边，右边，左边=右边； ②左边两个多项式首项系数的乘积等于右边多项式的首项系数： 左边，右边为3，左边=右边； ③左边两个多项式末项系数的乘积等于右边多项式的末项系数： 左边，右边为2，左边=右边． (1)类比探究： 请通过展开计算，判断规律①和规律②是否成立；（类比小聪的表述写出必要的过程） (2)基础应用： 请根据上述规律填空： ①若m，n为常数，则的展开式中各项系数之和为_______； ②若t，r为常数，满足，则_______． 【答案】(1)成立，过程见解析 (2)①0；② 【分析】本题主要考查整式混合运算，掌握其运算法则，理解材料意思是关键． （1）运用整式运算法则计算即可求解； （2）①运用整式运算法则，结合题意计算即可；②结合材料提示的性质进行计算即可． 【详解】（1）解：展开计算： ． 验证规律： 左边两个多项式各项系数之和的乘积等于右边多项式各项系数之和： 左边，右边，左边右边； 左边两个多项式首项系数的乘积等于右边多项式的首项系数： 左边，右边为，左边=右边； 左边两个多项式末项系数的乘积等于右边多项式的末项系数： 左边，右边为，左边右边． （2）解：①∵左边两个多项式各项系数之和的乘积为， ∴故展开式各项系数之和为0； 故答案为：0． ②由首项系数乘积：，得； 由末项系数乘积：，得； 验证中间项：（与右边中间项系数一致）， ∴， 故答案为：． 题型九 乘法公式（共6小题） 49．（25-26八年级上·广西崇左·期中）计算下列各式（若能用乘法公式请用乘法公式计算）： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算． （1）先利用平方差公式展开，再进行单项式乘多项式运算，最后合并同类项即可； （2）先利用完全平方公式展开，再进行多项式乘多项式运算，最后合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 50．用完全平方公式计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键． （1）原式运用完全平方公式进行计算即可； （2）原式运用完全平方公式进行计算即可； （3）原式运用完全平方公式进行计算即可； （4）原式运用完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 51．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）计算：． 【答案】 【分析】先用平方差公式、完全平方公式计算，再合并同类项． 【详解】解： ． 52．（2023九年级下·山东济南·专题练习）计算： 【答案】 【详解】解： 53．（24-25七年级下·贵州黔南·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】根据多项式乘以多项式的方法展开即可；利用完全平方公式和平方差公式展开，再合并同类项即可. 【详解】（1）解：； ． （2） ． 54．计算：． 【答案】 【分析】此题主要考查了整式的混合运算，正确化简是解题关键．根据多项式的乘法以及完全平方公式进行计算即可求解． 【详解】解： ． 题型十 通过对完全平方公式变形求值（共6小题） 55．已知，求： (1) ； (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用多项式乘多项式进行变形，然后代数求解即可； （2）利用完全平方公式进行变形，然后代数求解； （3）利用完全平方公式进行变形，然后代数求解． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 56．若，，求： (1)， (2)． 【答案】(1)37 (2) 【分析】本题主要考查完全平方公式变形求值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）根据代入求值即可； （2）先根据求出，然后求出的值即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴． 57．（25-26八年级上·西藏日喀则·期末）（1）若，，求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1）（2） 【分析】本题考查完全平方公式的变形应用，将所求式子转化为含已知条件的完全平方形式是解题关键． （1）利用完全平方公式将变形为，代入已知值计算； （2）设，，用完全平方公式将转化为，代入值计算． 【详解】（1）解：根据完全平方公式， 变形得， 已知，，代入得： ． （2）解：设，， 则 ， 已知， 则， 故． 58．（25-26八年级上·江西南昌·期中）已知，，求下列各式的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了完全平方公式的变形应用，解题关键是将所求式子转化为含和的形式． （1）将结合完全平方公式转化为，代入，计算． （2）将变形为，代入已知值求出，再对其平方得到结果． 【详解】（1）∵，， ∴． （2）∵，， ∴， ∴． 59．（25-26八年级上·湖南长沙·期中）已知，． (1)求的值； (2)求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1)52； (2)； (3)． 【分析】此题考查了多项式乘多项式，以及完全平方公式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）原式利用完全平方公式变形得到，把已知等式代入计算即可求出值； （2）原式利用完全平方公式变形得到，把已知等式代入计算即可求出值； （3）原式利用完全平方公式变形得到，再整体代入计算即可求出值． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：∵，， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴． 60．（25-26八年级上·山东淄博·期中）已知，，．求的值 【答案】3 【分析】本题考查了完全平方公式的应用．根据题意可得，，，结合已知可得，代入计算即可． 【详解】解：由题意得，， ， ， 所以原式 ． 题型十一 乘法公式的新定义计算（共6小题） 61．（24-25八年级上·山东济宁·期中）将个数，，，排成两行两列，两边各加一条竖线记成，定义．若，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方公式、解一元一次方程，根据定义可得方程，整理可得：，方程两边同时除以即可求出方程的解． 【详解】解：由题意得：， 利用完全平方公式展开：， 去括号得：， 合并同类项得：， 系数化为得：． 62．（24-25七年级下·辽宁辽阳·期中）我们定义：如果两个多项式M与N的和为常数，则称M与N互为“对消多项式”，这个常数称为它们的“对消值”．如与互为“对消多项式”，它们的“对消值”为5． (1)下列各组多项式互为“对消多项式”的是______（填序号）： ①与； ②与； ③与． (2)多项式与多项式（a，b为常数）互为“对消多项式”，求它们的“对消值”； 【答案】(1)②③ (2)2 【分析】本题考查整式的加减运算，完全平方公式，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）求出每组中两个代数式的和，进行判断即可； （2）求出，根据新定义，进行求解即可． 【详解】（1）解：，不是常数，故①不是“对消多项式”； ，为常数，故②是“对消多项式”； ，为常数，故③是“对消多项式”； 故答案为：②③； （2） ， ∵多项式与多项式（a，b为常数）互为“对消多项式”， ∴， ∴， ∴， ∴“对消值”为2． 63．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）对于实数a，b，定义新运算“*”，规定如下：． 例如：． (1)若，求的值． (2)若，求的值． (3)若，，求的值． 【答案】(1)20 (2)6 (3)3或 【分析】此题主要考查了整式的混合运算，读懂题意，理解新定义运算的运算规定，掌握完全平方公式、平方差公式及变形是解决本题的关键． （1）先按给出的新定义运算，再整体代入求值； （2）先按给出的新定义运算，再整体代入求值； （3）先按给出的新定义运算，再根据已知，利用完全平方公式及变形求出的值，最后代入计算． 【详解】（1）解： ． 当时， 原式； （2） ． ， 即． 原式 ； （3） ． ，， ，即． ． ． ． 或． 当，时， 原式； 当，时， 原式． 64．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）定义：任意两个数，按规则运算得到一个新数，称所得的新数为的“加乘数”． (1)若，，求，的“加乘数”； (2)若，，求，的“加乘数”． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】本题考查了有理数的运算，整式的运算，掌握是解题的关键． （1）把，代入中求值即可； （2）利用完全平方公式求出（，得到，进而得到c的值； 【详解】（1）当，，时， ； （2）当，时， ∵ ， ∴， ∴， ∴或． 65．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）定义，如．已知（m为常数），． (1)若A的代数式中不含x的一次项，求m的值； (2)若A中的m满足，计算的结果． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题中给出的定义计算出，根据代数式中不含x的一次项，计算结果即可； （2）先根据同底数幂的乘法求出m的值，再根据题中给出的定义算出A、B的式子进行计算即可． 【详解】（1）解：根据题意， 的代数式中不含x的一次项， ， ； （2）， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了新定义，整式的混合运算，平方差公式的运用，整式运算中无关型问题，同底数幂乘法的计算，准确计算是解答本题的关键． 66．（24-25九年级上·河北唐山·期中）定义：若一个整数能表示成（，为整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如：5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”． 尝试  已知13是“完美数”，请将它写成（，是正整数）的形式__________； 探究  请将表示成“完美数”的形式，并求出其最小值； 应用  已知（，是整数，是常数），要使为“完美数”，求的值，并说明理由． 【答案】尝试：；探究：，1；应用：40，见解析 【分析】尝试：利用“完美数”的定义可得；探究:利用配方法，将配成完美数，可求出最小值，应用:根据完全平方公式，将配成完美数，可求的值． 【详解】解：尝试：13是“完美数”，将它写成（，是正整数）的形式为：， 故答案为： 探究：， ， ， 的最小值为1； 应用 ，是整数， ，也是整数， ∴， 解得：， ∴当时，是一个“完美数”． 【点睛】本题考查完全平方公式的运用，阅读理解题目表述的意思是本题的关键． 题型十二 乘法公式的配方法求最值（共6小题） 67．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即． 例如：、、是的三种不同形式的配方（即“余项”分别是常数项、一次项、二次项）． 请根据阅读材料解决下列问题： (1)比照上面的例子，写出三种不同形式的配方； (2)将配方（至少两种形式）； (3)已知，求的值． 【答案】(1)，， (2)， (3) 【分析】（1）根据题中所给的已知材料可得的多种配方形式； （2）根据题中所给的已知材料可得的多种配方形式； （3）通过配方后，求得a，b，c的值，再代入代数式求值． 【详解】（1）解：的三种配方分别为： ， ， ； （2）解：， ； （3）解： ∴， ∴， ∴， ∴，，， ∴， ∴． 68．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即 例如：、、是的三种不同形式的配方（即“余项”分别是常数项、一次项、二次项）． 请根据阅读材料解决下列问题： (1)比照上面的例子，写出三种不同形式的配方； (2)将配方（至少两种形式）； (3)已知，求的值． 【答案】(1)；；； (2)；； (3)． 【分析】（1）根据题中所给的已知材料可得的多种配方形式； （2）根据题中所给的已知材料可得的多种配方形式； （3）通过配方后，求得a，b，c的值，再代入代数式求值． 【详解】（1）解：的三种配方分别为： ， ， ； （2）解：， ； （3）解： ∴， ∴， ∴， 从而有，，， 即， ∴． 【点睛】本题考查了根据完全平方公式：进行配方的能力． 69．（24-25八年级上·北京东城·期中）阅读材料： 我们已经学习过完全平方公式．对于多项式，虽然不能写成某个代数式的平方形式，但是可以写成，即一个含x的代数式的平方与另一个数的和的形式．更一般的，对于二次项系数不为1的二次三项式，它总是可以化为的形式，我们把这种代数式的恒等变形叫做配方．例如：，这就是一个配方的过程．根据以上内容回答下列问题： (1)将代数式配方； (2)已知，那么的值为 ． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了完全平方公式的应用． （1）根据阅读材料提供的方法变形解答即可； （2）先根据阅读材料提供的方法变形，再根据非负数的性质求出a，b的值，然后代入计算即可． 【详解】（1） ； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 70．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）根据完全平方公式，把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做“配方法”．例如把配方如下：．请完成下列问题： (1)填空：配方多项式的结果为 ； (2)当等于多少时，代数式的值最小？ (3)用一根长为米的绳子围成一个长方形，请问长方形的边长为多少时，围成的长方形面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)或或 (2)当时，代数式的值最小 (3)当该长方形的相邻两边长均为米时，围成的长方形面积最大，最大面积是平方米 【分析】本题考查完全平方公式的应用，平方的非负性， （1）根据“配方法”的定义并根据完全平方公式分常数项、一次项、二次项三种不同形式解答即可； （2）先配方，再根据平方的非负数的性质解答即可； （3）设该长方形的一边长为米，则其相邻边长为米，面积为平方米，根据题意得，再根据配方法求解即可； 掌握完全平方公式的特点是解题的关键。 【详解】（1）解：的三种配方分别为： ， ， ， 故答案为：或或； （2）∵， 无论取何值时，都有， ∴当时，取最小值，此时代数式的值最小，最小值为， ∴当时，代数式的值最小． （3）设该长方形的一边长为米，则其相邻边长为米，面积为平方米， 根据题意，得： ， ∴当时，取最大值为， ∴（米）， ∴当该长方形的相邻两边长均为米时，围成的长方形面积最大，最大面积是平方米． 71．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法基本形式是完全平方公式的逆用，即． 根据阅读材料解决下列问题： (1)把配成完全平方式为___________；把配成完全平方式为___________； (2)已知，求的值； (3)例如：二次三项式可以有、、这样三种不同形式的配方（即“余项”分别是常数项3、一次项、二次项）． ， ， ， 比照上面的例子，直接写出三种不同形式的配方． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）根据完全平方公式的形式进行求解即可； （2）利用完全平方公式对已知条件进行整理，再由非负数性质求得的值，代入运算即可； （3）根据所给的例子的形式进行求解即可． 【详解】（1）， ， 故答案为：，； （2）， ， 则， ，， 解得：，， ； （3）， ， ． 【点睛】本题主要考查整式的混合运算，非负数性质，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 72．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）张老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识求代数式的最小值．同学们经过交流讨论，最后总结出如下解答方法： 因为， 所以当时，的值最小，最小值是0． 所以．所以当时，的值最小，最小值是1． 所以的最小值是1． 依据上述方法，解决下列问题 (1)当______时，有最小值是_______． (2)已知，求的最值为_______． (3)已知实数、满足，求的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查了完全平方公式的实际应用，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键． （1）化成完全平方公式和的形式计算即可； （2）把原式化成再利用完全平方公式计算即可； （3）化成完全平方公式和的形式计算出、的值，再代入代数式进行计算即可． 【详解】（1）解： ∵ ∴当时，的值最小，最小值是0． ∴． ∴当时，的值最小，最小值是． ∴的最小值是． 故答案为，； （2）∵， ， ∴ ∵ ∴当时，的值最小，最小值是0． ∴． ∴当时，的值最小，最小值是． ∴的最小值是． （3）， ， ． 题型十三 整式混合运算（共6小题） 73．（24-25七年级下·四川达州·期末）计算下列各题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 74．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算积的乘方与幂的乘方、同底数幂的乘法，再计算同底数幂的除法，最后计算减法即可； （2）先利用平方差公式计算，再利用完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 75．（25-26八年级上·河北邢台·期末）计算下列各小题． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算． （1）先计算单项式乘以多项式，多项式除以单项式，再合并同类项即可； （2）先计算完全平方公式，平方差公式，再去括号，合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 76．（25-26八年级上·湖北荆州·期末）化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了单项式乘多项式、平方差公式、完全平方公式及合并同类项，熟练掌握整式乘法法则和乘法公式，并能准确合并同类项是解题的关键． （1）先利用单项式乘多项式法则展开，再合并同类项化简． （2）先利用平方差公式和完全平方公式展开，再合并同类项化简． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 77．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查平方差公式，多项式乘多项式法则，整式的加减运算，正确运用计算公式与法则是解题关键． 先运用平方差公式和多项式乘法展开原式，再通过去括号、合并同类项，最终化简得到结果． 【详解】解：原式 ． 78．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了整式的混合运算． （1）首先计算同底数幂的乘法，积的乘方和幂的乘方，然后合并即可； （2）首先计算单项式乘以多项式，平方差公式，再计算多项式除以单项式的法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型十四 解二元一次方程组（共6小题） 79．（24-25七年级下·江苏南京·期中）解方程组 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）方程组利用代入消元法求解即可； （2）方程组利用加减消元法求解即可； （3）方程组利用加减消元法求解即可； （4）方程组利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解： 将②代入①得， 解得 将代入②得， ∴方程组的解为：； （2）解： 得： 解得 将代入①得： 解得， ∴方程组的解为：； （3）解： 得： 解得 将代入①得： 解得， ∴方程组的解为：； （4）解： 得： 解得 将代入①得： 解得， ∴方程组的解为：． 80．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）解二元一次方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，注意代入消元法和加减消元法的应用． （1）应用加减消元法，求出方程组的解即可； （2）应用代入消元法，求出方程组的解即可． 【详解】（1）解： ， 得：， 解得：， 将代入②，得：， 解得， ∴原方程组的解是； （2）解：， 由①，可得：③， 由得， 把④代入，得：， 解得， 将代入④，得， ∴原方程组的解是． 81．（24-25七年级下·江苏镇江·期中）解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的一般方法，是解题的关键． （1）利用代入消元法进行求解即可； （2）利用加减消元法进行求解即可． 【详解】（1）解：， 把②代入①得：， 解得：， 把代入②得：， 故方程组的解是：； （2）解：， 得：， 得：， 解得：， 把代入②得：， 解得：， 故原方程组的解是：． 82．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握其运算法则是解题的关键． （1）利用加减消元法解二元一次方程组即可； （2）先将原方程组化简，再利用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解： ，得 ， 将代入①，得 ， ∴原方程组的解为． （2）原方程组可化为， ，得 ， 将代入①，得 ， ∴原方程组的解为． 83．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的两种方法：代入消元法和加减消元法，并灵活运用是解题的关键． （1）利用加减消元法解二元一次方程组即可； （2）先化简二元一次方程组，再利用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：， ①-②得， 将代入①得， 解得： 原方程组的解为； （2）解： 由②得：， 整理得： ③， 由得：， 解得：， 将代入①，得：， 解得：， 原方程组的解为． 84．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）解二元一次方程组 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键； （1）根据加减消元法解二元一次方程组即可求解； （2）①得，再根据加减消元法解二元一次方程组即可求解． 【详解】（1）解： ②，得：③ ①③，得， 解得：， 将 代入③得： ， 解此一元一次方程得，， ∴方程组的解为： （2）解： ①，得： ， ③， ③②，得， 将代入③，得， 解得：． ∴方程组的解为： 题型十五 二元一次方程组的求参数问题（共6小题） 85．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）当m为何值时，方程组的解互为相反数？ 【答案】12 【分析】由方程组的解互为相反数得到，即，代入方程组求解即可求出的值． 【详解】由题意得，把代入方程组得， 整理得， 把②代入①，得， 代入①得， ∴时，原方程组的解互为相反数． 86．（24-25七年级下·江苏连云港·期末）已知实数，满足，且满足关于，的二元一次方程组，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组求参数，方程组的两个方程相加得，即可求解． 【详解】解： 解：①②得 ， 解得：， ， ， 解得：． 87．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）已知关于，的二元一次方程组的解满足，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了利用加减消元法求代数式的值，掌握利用加减消元法整体求值的思路是解题的关键． 将两个方程相加，整理得，再结合题中条件求的值． 【详解】解：将两方程相加得， 整理得， 由题知， ， 解得． 88．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）已知是关于、的二元一次方程组． (1)求方程组的解（用含的式子表示）； (2)若方程组的解也满足方程，求的值； (3)若无论取何值，代数式的值都是定值，求、满足的条件，并求出这个定值． 【答案】(1)； (2)； (3)7 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解，以及解二元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）把m看做已知数，利用加减消元法求出解即可； （2）把方程组的解代入方程计算即可求出m的值； （3）将代数式变形为，根据题意得到，进而求解即可． 【详解】（1）解：， 得：， 解得， 将代入②得：， 解得， ∴方程组的解为：； （2）解：∵方程组的解也满足方程， ∴， 解得； （3）解：∵ ， ∵是个定值， ∴， ∴， ∴ ． ∴这个定值为7． 89．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）已知关于x、y的方程组 (1)请写出的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求m的值； (3)如果方程组有正整数解，求整数m的值． 【答案】(1)， (2) (3)整数的值为 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，以及解二元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）把看作已知数表示出，进而确定出方程的正整数解即可； （2）已知方程与方程组第一个方程联立求出与的值，进而求出的值； （3）根据方程组有正整数解，根据（1）的结论代入第二个方程，确定出整数的值即可． 【详解】（1）解：方程， 解得：， 当时，； 当，； 即方程的正整数的解为，； （2）解：联立得， 解得， 代入得：， 解得； （3）解：∵方程组有正整数解，由（1）可得，； 代入得， 或 解得：（舍去）或 综上所述，整数的值为． 90．（25-26七年级下·江苏南京·期中）已知关于的方程组． (1)请写出方程的所有正整数解． (2)若方程组的解满足，求m的值． (3)无论m取何值，方程总有同一个解，请求出这个解． 【答案】(1)或或 (2) (3) 【分析】本题考查二元一次方程组的解． （1）根据二元一次方程解的定义以及整数解的意义进行计算即可； （2）写成方程组求出x、y的值，再代入方程求出m的值即可； （3）把方程变形为：，结合无论实数m取何值，方程总有同一个解，可得：，从而可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴方程的正整数解为或或； （2）解：， ∵， ∴， 将③代入①得， 将代入③得， 将代入②得，； （3）解：∵， ∴， ∵无论实数m取何值，总有一个公共解， ∴， 解得 ∴方程的同一个解为． 题型十六 二元一次方程组的错解复原问题（共6小题） 91．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）小鑫、小童两人同时解方程组时，小鑫看错了方程②中的，解得，小童看错了①中的，解得． (1)求正确的的值． (2)求原方程组的正确解． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查二元一次方程组的解的应用以及解二元一次方程组．关键在于理解“看错系数但解对另一个方程”的核心逻辑：当看错某个方程的系数时，所得的解仍满足另一个未被看错系数的方程． （1）小鑫看错方程②的，因此解满足方程①，代入可得到关于、的方程；小童看错方程①的，因此解满足方程②，代入可得到关于的方程，联立这两个方程即可求解正确的、； （2）将求得的、代入原方程组，得到标准的二元一次方程组，再通过代入消元法求解方程组的解． 【详解】（1）解：∵小鑫看错了方程②中的，解得， ∴该解满足方程①，将代入①得：，化简得③； ∵小童看错了①中的，解得， ∴该解满足方程②，将代入②得：，即， 解得； 将代入③得：，解得； 故正确的； （2）解：将代入原方程组，得， 由①得③， 将③代入②得：，解得； 将代入③得：； ∴原方程组的正确解为． 92．（24-25七年级下·江苏南京·期末）小华和小明同时计算一道整式乘法题．小华抄错了第一个多项式中a的符号，即把抄成了，得到结果为；小明把第二个多项式中的抄成了x，得到结果为． (1)你知道式子中a，b的值各是多少吗？ (2)请你计算出这道题的正确结果． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了多项式乘以多项式的运算法则以及解二元一次方程组，读懂题意，根据题意列出二元一次方程组求出的值是解本题的关键． （1）根据题意可得；，从而得出，解二元一次方程组即可； （2）将的值代入，然后根据多项式乘以多项式运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：根据题意得： ； ， ∴， 解得：，； （2）解：∵，， ∴正确的算式为． 93．（24-25七年级下·江苏·期中）甲、乙两人同时解方程组，甲解题看错了①中的m，解得，乙解题时看错②中的n，解得． (1)求m，n的值； (2)求原方程组的解． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）把甲的解代入②中求出n的值，把乙的解代入①中求出m的值； （2）把m与n的值代入方程组求解即可得到答案． 本题考查了二元一次方程组的解，加减消元法解方程组，掌握方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值是解题关键． 【详解】（1）解：把代入②得：，解得：， 把代入①得：，解得：， ，； （2）解：把，代入方程组得：， 则方程组的解为． 94．（24-25七年级下·江苏南京·期中）甲和乙两人同解方程组，甲因抄错了a，解得，乙因抄错了b，解得，求的值． 【答案】1 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，由题意可知是的解，是的解，分别代入，求出a，b的值，即可求解． 【详解】解：由题意是的解， ∴， 解得：， 又是的解， ∴， 解得：， ． 95．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）甲、乙两人同时解方程组，甲解题看错了①中的m，解得，乙解题时看错②中的n，解得 (1)甲把m错看成了什么？乙把n错看成了什么？ (2)试求原方程组的解． 【答案】(1)甲把m错看成了2，乙把n错看成了1 (2) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的错解复原问题，二元一次方程解的定义： （1）把代入中求出m的值，把代入求出n的值即可得到答案； （2）根据题意可得甲的结果满足②，则是方程的解，同理可得是方程的解，据此求出m、n的值，然后得到正确的原方程组，再解方程组即可得到答案． 【详解】（1）解： 把代入中得，解得， 把代入中得，解得， ∴甲把m错看成了2，乙把n错看成了1； （2）解：∵甲解题看错了①中的m， ∴甲的结果满足②， ∴是方程的解， ∴， ∴， 同理可得是方程的解， ∴， ∴； ∴原方程组为 解得． 96．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）甲、乙二人同时解方程组，甲看错了a，解得；乙看错了b，解得，求原方程组的解． 【答案】 【分析】首先根据甲看错了a，求出b的值是多少，然后根据乙看错了b，求出a的值是多少；最后应用加减消元法，求出方程组的正确解即可． 【详解】解：把代入得 解得； 把代入得 解得 ∴原方程组为 得，， 解得 将代入①得， 解得 ∴方程组的解为． 【点睛】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，要熟练掌握，注意代入消元法和加减消元法的应用． 题型十七 二元一次方程组的相同解问题（共6小题） 97．已知关于x，y的方程组和的解相同，求的值． 【答案】；7 【分析】本题考查了同解方程组的知识，解答此题的关键是熟知方程组有公共解的含义．方程组有相同的解，所以只需求出的解，再代入，即可求出未知数的值． 【详解】解：根据题意得：方程组， ①②得：， 解得：， 把代入②得：， 解得：， ∴， 把代入方程组， 得， 同理解得：， ∴的值为，的值为7． 98．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）已知关于x，y的二元一次方程组与方程组有相同的解． (1)求这两个方程组的相同解． (2)求的值． 【答案】(1) (2)的值为 【分析】本题考查的是二元一次方程组的同解问题，二元一次方程组的解法； （1） 由题意可得这两个方程组的相同解也满足方程组 ，再解方程组即可； （2）把代入两个含未知系数的方程可得，再解方程组并进一步求解即可． 【详解】（1）解：由题意得这两个方程组的相同解也满足方程组 ； 解得， 所以这两个方程组的相同解为 （2）解：将，代入方程组， 得， 解得， ∴， 即的值为． 99．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）已知关于的方程组和的解相同，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题主要考查的是二元一次方程组的解的定义，关于x，y的方程组与的解相同，所以的解即为方程组与的解，即可求出解为，把代入到中，即可求得a和b的值，进而可求得代数式的值． 【详解】解：关于x，y的方程组组与的解相同， ∴的解即为方程组与的解， ∴，得， 把代入②得， ∴关于x，y的方程组组与的解为， ∴是的解， ∴， 解得， ∴． 100．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）已知关于x、y的方程组和的解相同，求的值． 【答案】1 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，乘方的性质，解题的关键是掌握二元一次方程组的求解，正确求得a、b的值．将两个方程组中不含有a，b的两个方程联立，组成新的方程组，求出x和y的值，再代入含有a，b的两个方程中，解关于a，b的方程组得出a，b的值，代入计算即可． 【详解】解：∵关于x、y的方程组和的解相同， ∴， 由得， ， 解得， 把代入①得， ， 解得， ∴方程组的解为， 把代入得， ， 得， ， 把代入③得， ， 解得， ∴． 101．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）已知方程组和方程组的解相同，求，的值． 【答案】 【分析】本题考查同解二元一次方程组、解二元一次方程组，根据题意，解方程组，然后将解代入得到关于a、b的方程组，进而解方程组即可． 【详解】解：根据题意可得方程组， 解得， 将代入中， 得，即， 解得． 102．（24-25八年级上·江苏常州·期末）关于的二元一次方程组与方程组有相同的解． (1)求这两个方程组的相同解； (2)求的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查同解方程组，掌握解方程组的方法，是解题的关键． （1）将两个不含参数的方程组成方程组，求出方程组的解即可； （2）将两个含参数的方程组成方程组，将（1）中的解代入，两个方程相减后，求出的值，进一步求出代数式的值即可． 【详解】（1）解：联立， 解得：， ∴这两个方程组的相同解为． （2）联立，将代入，得： ， ，得：， ∴， ∴． 题型十八 二元一次方程组的新定义计算（共6小题） 103．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”．例如：方程和为“和谐方程”． (1)若关于的方程与方程是“和谐方程”，求的值； (2)若“和谐方程”的两个解的差为4，其中一个解为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查新定义方程，涉及解一元一次方程及二元一次方程组等知识，理解“和谐方程”的定义是解决问题的关键． （1）先分别解出方程与方程，再由“和谐方程”定义得到求解即可确定答案； （2）设另一个方程的解为，由题意及“和谐方程”定义列方程组；求解即可得到答案． 【详解】（1）解：解得；解得； 关于的方程与方程是“和谐方程”， ， 解得； （2）解：设另一个方程的解为， 其中一个解为，“和谐方程”的两个解的差为4， ， 则或； 两个方程为“和谐方程”， ； 当时，解得； 当时，解得； 的值为． 104．（24-25七年级下·江苏镇江·期中）对于有理数，定义新运算：，，其中是常数．已知，． (1)求的值； (2)若关于的方程组的解也满足方程，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据新定义列出二元一次方程组，利用方程组的解列出二元一次方程组是解题的关键． （1）列方程组，用加减消元法解方程组即可； （2）根据题意得出关于x，y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 得，， 解得，， 把代入②得，， 解得：； （2）解：， ∴ 解得：， ∵， ∴， 解得：． 105．（24-25七年级下·江苏镇江·期末）对于有理数定义一种新运算“※”：规定．例如：． (1)若，，求的值； (2)在（）的条件下，试说明：． 【答案】(1)，； (2)说明见解析． 【分析】（）根据有理数的新定义运算列出关于的二元一次方程组，解方程组即可求解； （）由（）可得，进而根据新定义运算求出，即可求证； 本题考查了有理数的新定义运算，解二元一次方程组，理解新定义运算是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可得，， 解得， 即，； （2）证明：∵，， ∴， ∴， ∴． 106．（24-25七年级下·江苏·期中）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“关联方程”如方程和为“关联方程”． (1)若关于的方程与方程是“关联方程”，求的值； (2)若两个“关联方程”的两个解的差为8，若两个“关联方程”的两个解分别为，求的值； (3)若关于的方程和是“关联方程”，求的值． 【答案】(1)25 (2)或 (3)2 【分析】本题主要考查了解一元一次方程的应用、解二元一次方程组的应用，正确掌握一元一次方程的解法和二元一次方程组的方法是解题的关键． （1）根据“关联方程”的定义求解即可； （2）根据“关联方程”的定义和已知条件得到关于的二元一次方程组，解方程组即可； （3）分别求出方程的解，再由“关联方程”的定义解答． 【详解】（1）解：解方程，可得， ∵关于的方程与方程是“关联方程”， ∴方程的解为， 将代入方程， 可得， 解得； （2）根据题意，可得或， 解两个二元一次方程组，可得或， ∴求的值为或； （3）解方程，可得， 解方程，可得， ∵关于的方程和是“关联方程”， ∴， 解得． 107．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）我们规定：若关于x的一元一次方程ax＝b的解为b+a，则称该方程为“和解方程”． 例如：方程2x＝﹣4的解为x＝﹣2，而﹣2＝﹣4+2，则方程2x＝﹣4为“和解方程”． 请根据上述规定解答下列问题： (1)已知关于x的一元一次方程3x＝m是“和解方程”，求m的值； (2)请自行写出一个除上述你方程外的“和解方程”：______ (3)已知关于x的一元一次方程﹣2x＝mn+n是“和解方程”，并且它的解是x＝n，求m，n的值． 【答案】(1) (2)（答案不唯一） (3) 【分析】（1）根据和解方程的定义即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）根据和解方程的定义写出关于x的一元一次方程，即可； （3）根据和解方程的定义即可得出关于m、n的二元二次方程组，解之即可得出m、n的值． 【详解】（1）解：3x＝m， 解得：， ∵方程3x＝m是“和解方程”， ∴， 解得：； （2）解：方程是“和解方程”，理由： 方程， 解得：， ∵， ∴方程是“和解方程”； 故答案为：（答案不唯一） （3）解：关于x的一元一次方程﹣2x＝mn+n是“和解方程”，并且它的解是x＝n， ∴，且， 解得：． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解、解一元一次方程以及二元二次方程组，解题的关键是：根据“和解方程“的定义列出关于m的一元一次方程；根据和解方程的定义列出关于m、n的二元二次方程组． 108．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）定义：关于的方程与方程（a、b均为不等于0的常数）称互为“反对方程”，例如：方程与方程互为“反对方程”． (1)若关于的方程与方程互为“反对方程”，则______； (2)若关于的方程与方程互为“反对方程”，求、的值； (3)若关于的方程与其“反对方程”的解都是整数，求整数的值． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】此题考查的是新定义，二元一次方程组的应用，方和的解，能够正确理解新定义是解决此题的关键． （1）根据“反对方程”的定义直接可得答案； （2）根据“反对方程”的定义建立方程组求解可得答案； （3）根据“反对方程” 与的解均为整数，可得与都为整数，由此可得答案． 【详解】（1）解：由题可知，与、均为不等于0的常数）称互为“反对方程”， 与方程互为“反对方程”， ． （2）解：将写成的形式， ∵关于的方程与方程互为“反对方程”， ∴ ∴ （3）解：的“反对方程”为， 由得，， 当，得， 与的解均为整数， 与都为整数， 也为整数， 当时，，，都为整数， 当时，，，都为整数， 的值为． $ 专题05 幂的运算、整式乘法、二元一次方程组108道计算题专训 题型1 同底数幂的乘法 题型10 通过对完全平方公式变形求值 题型2 幂的乘方 题型11 乘法公式的新定义计算 题型3 积的乘方 题型12 乘法公式的配方法求最值 题型4 同底数幂的除法 题型13 整式混合运算 题型5 幂的新定义运算 题型14 解二元一次方程组 题型6 多项式乘法及化简求值 题型15 二元一次方程组的求参数问题 题型7 已知多项式乘积不含某项求字母的值 题型16 二元一次方程组的错解复原问题 题型8 多项式乘法中的规律性问题 题型17 二元一次方程组的相同解问题 题型9 乘法公式 题型18 二元一次方程组的新定义计算 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 同底数幂的乘法（共6小题） 1．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）计算：． 2．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）计算：； 3．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 4．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 5．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）已知，求下列各式的值． (1)； (2)； (3)． 6．（24-25七年级上·江苏南京·期中）（1）已知，，求的值． （2）若，，求的值． （3）若，，，求的值． 题型二 幂的乘方（共6小题） 7．（24-25七年级上·江苏南京·期中）计算： (1)； (2)． 8．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）计算： (1)； (2)； 9．（24-25七年级上·江苏镇江·期中）计算： (1)． (2) (3)． (4)． 10．（24-25七年级上·江苏镇江·期中）已知，，求： (1)的值． (2)的值． 11．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）若（且），则． (1)如果，求x的值； (2)已知x满足，求x的值． 12．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）若（且，m，n是正有理数），则．利用该结论解决下面的问题： (1)如果，求x的值； (2)如果，求x的值． 题型三 积的乘方（共6小题） 13．（24-25七年级上·江苏南京·期中）计算： 14．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 15．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 16．（24-25七年级上·江苏镇江·期中）（1）已知，求的值； （2）已知，求的值． 17．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）在等式的运算中规定：若（且，是正整数），则，利用上面结论解答下列问题： (1)已知：，求x的值 (2)已知，求x的值． (3)若，求的值； 18．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）下图是东东同学完成的一道作业题，请你参考东东的方法解答下列问题． 东东的作业 计算：． 解：原式． (1)计算：①； ②； (2)若，请求出n的值． 题型四 同底数幂的除法（共6小题） 19．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）计算： (1) (2) 20．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）已知，求下列各式的值． (1) (2) 21．计算： (1)． (2)． (3)． 22．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）计算： (1)； (2)． 23．（24-25七年级上·江苏常州·期中）按要求解答下列各小题． (1)已知，，求的值； (2)如果，求的值； (3)已知，求m的值． 24．（24-25七年级下·江苏镇江·期中）将幂的运算逆向思维可以得到，，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)已知，，，求： ①的值； ②的值； (2)已知，求x的值． 题型五 幂的新定义运算（共6小题） 25．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）定义一种幂的新运算：，例如，请利用这种运算规则解决下列问题： (1)求的值； (2)若，求x的值． 26．新定义：如果，则规定，例如：，所以． (1)填空： ； ； (2)若，，，试说明； (3)若，求e与f的数量关系． 27．（24-25七年级下·山东青岛·期末）定义一种幂的新运算：，请利用这种运算规则解答下列问题： (1)求的值． (2)，，，求的值． (3)若运算的结果为，则的值是多少？ 28．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）关于任意的正整数，定义一种新运算： ，请根据这种新运算完成以下问题： (1)已知，，则__________； (2)已知，则__________，__________； (3)已知，求（其中为正整数，结果用含和的式子表示）． 29．（25-26七年级上·江苏盐城·期末）规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果，那么．我们叫为“雅对”．例如：∵，∴．我们还可以利用“雅对”定义证明等式成立．证明如下： 设，则． ∴． ∴， 即． (1)根据上述规定，填空： ① ， ；②若，则 ． (2)计算： ，并说明理由． (3)记．求证：． 30．（24-25八年级上·江西赣州·期中）对数的定义：一般地，若，那么叫做以为底N的对数，记作．例如：，则．其中的对数叫做常用对数，此时可记为．当，且，时，． (1)解方程：； (2)求证：； (3)计算： 题型六 多项式乘法及化简求值（共6小题） 31．（24-25八年级上·河南南阳·期中）观察下列各式： 回答下列问题： (1)总结公式：_____； (2)已知a，b，m均为整数，若，求m的值． 32．根据，直接计算下列题： (1)； (2)． 33．（24-25七年级上·江苏镇江·期中）【类比思想】观察计算猜想归纳： (1)填空： ①_____ ②_____ ③_____ ④_____． (2)把你所发现的规律用式子表示出来，并用语言进行归纳总结：式子表示：_____ 语言归纳：含相同字母，且字母系数为的两个一次二项式的积是_____次_____项式，其中积的二次项的系数为_____，一次项的系数为_____，常数项为_____． (3)根据规律直接写出结果： _____ _____． 34．（24-25七年级上·江苏常州·期中）先化简再求值．，其中． 35．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）求值：，其中． 36．（24-25七年级上·江苏南京·期中）先化简，再求值：．其中，． 题型七 已知多项式乘积不含某项求字母的值（共6小题） 37．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）若的展开式中不含项，且，求m，n的值． 38．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）已知的展开式中不含项和项．求的值． 39．（24-25七年级下·四川成都·期中）若多项式与的乘积中不含x的一次项． (1)求的值； (2)若，求的值． 40．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）（1）试说明代数式的值与s，t的取值有无关系； （2）已知多项式与的乘积展开式中不含的一次项，且常数项为，试求的值． 41．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）若的乘积中不含和x项，求m，n的值． 42．（24-25七年级下·四川成都·期中）定义：整式乘以整式，得到整式，如果整式的项数正好比整式的项数多1，那么我们称整式是整式的“相邻增项式”． (1)如果，，判断是否是的“相邻增项式”，并说明理由； (2)已知，都是关于的整式且、均为不等于0的有理数． ①当时，如果是的“相邻增项式”，求的值． ②设，若关于的整式中不含的二次项，是否存在的值，使得整式是整式的“相邻增项式” 题型八 多项式乘法中的规律性问题（共6小题） 43．（25-26七年级下·江西九江·期中）七年级某班数学小组研究系列算式：，，…，将算式计算过程进行变形后，得到如下规律： ； ； ；…… (1)根据以上规律，直接写出的相应变形算式； (2)请用含的等式表示以上规律，并通过计算验证所列等式的正确性． 44．你能求的值吗？ 遇到这样的问题，我们可以先思考一下，从简单的情形入手．先计算下列各式的值： (1)___________； (2)___________； (3)___________；… (4)由此我们可以得到___________； 请你利用上面的结论，完成下面三题的计算： (5)； (6)； (7)若，求的值． 45．（24-25七年级下·广东深圳·期中）观察下列各式的规律，解答下列问题． 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． …… (1)根据上述规律，请写出第5个等式：________． (2)猜想：_______． (3)利用（2）中的结论，求的值． (4)已知，化简 46．（25-26八年级上·江苏南通·期中）我国南宋数学家杨辉在其所著的《详解九章算术》一书中，给出了的展开式（按的次数由大到小的顺序）的系数规律，具体如下图所示． 观察上图中的规律， (1)填空：“★”表示的数是________，________； (2)计算：． 47．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）南宋时期，钱塘数学家杨辉在他不朽的著作《详解九章算法》中，系统记载了一张神奇的三角数表——杨辉三角（如图所示）．它不仅凝结了古人的数学智慧，更揭示了二项式乘方（n为非负整数）展开式的深邃规律．这个三角形的每个数，都等于其上方两数之和，其构造之美、规律之奇，令人叹为观止．现在，就让我们穿越千年，一同探寻这古老数表中的奥秘，解决以下问题： 此图揭示了（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律， 由此规律可解决如下问题： (1)请在图中括号内的数为______； (2)展开式共有______项，第19项系数为______； (3)利用上面的规律计算：． 48．小聪观察等式（按降幂排序），发现如下规律： ①左边两个多项式各项系数之和的乘积等于右边多项式各项系数之和： 左边，右边，左边=右边； ②左边两个多项式首项系数的乘积等于右边多项式的首项系数： 左边，右边为3，左边=右边； ③左边两个多项式末项系数的乘积等于右边多项式的末项系数： 左边，右边为2，左边=右边． (1)类比探究： 请通过展开计算，判断规律①和规律②是否成立；（类比小聪的表述写出必要的过程） (2)基础应用： 请根据上述规律填空： ①若m，n为常数，则的展开式中各项系数之和为_______； ②若t，r为常数，满足，则_______． 题型九 乘法公式（共6小题） 49．（25-26八年级上·广西崇左·期中）计算下列各式（若能用乘法公式请用乘法公式计算）： (1)； (2)． 50．用完全平方公式计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 51．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）计算：． 52．（2023九年级下·山东济南·专题练习）计算： 53．（24-25七年级下·贵州黔南·期中）计算： (1)； (2)． 54．计算：． 题型十 通过对完全平方公式变形求值（共6小题） 55．已知，求： (1) ； (2) (3) 56．若，，求： (1)， (2)． 57．（25-26八年级上·西藏日喀则·期末）（1）若，，求的值； （2）若，求的值． 58．（25-26八年级上·江西南昌·期中）已知，，求下列各式的值． (1)； (2)． 59．（25-26八年级上·湖南长沙·期中）已知，． (1)求的值； (2)求的值； (3)若，求的值． 60．（25-26八年级上·山东淄博·期中）已知，，．求的值 题型十一 乘法公式的新定义计算（共6小题） 61．（24-25八年级上·山东济宁·期中）将个数，，，排成两行两列，两边各加一条竖线记成，定义．若，求的值． 62．（24-25七年级下·辽宁辽阳·期中）我们定义：如果两个多项式M与N的和为常数，则称M与N互为“对消多项式”，这个常数称为它们的“对消值”．如与互为“对消多项式”，它们的“对消值”为5． (1)下列各组多项式互为“对消多项式”的是______（填序号）： ①与； ②与； ③与． (2)多项式与多项式（a，b为常数）互为“对消多项式”，求它们的“对消值”； 63．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）对于实数a，b，定义新运算“*”，规定如下：． 例如：． (1)若，求的值． (2)若，求的值． (3)若，，求的值． 64．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）定义：任意两个数，按规则运算得到一个新数，称所得的新数为的“加乘数”． (1)若，，求，的“加乘数”； (2)若，，求，的“加乘数”． 65．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）定义，如．已知（m为常数），． (1)若A的代数式中不含x的一次项，求m的值； (2)若A中的m满足，计算的结果． 66．（24-25九年级上·河北唐山·期中）定义：若一个整数能表示成（，为整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如：5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”． 尝试  已知13是“完美数”，请将它写成（，是正整数）的形式__________； 探究  请将表示成“完美数”的形式，并求出其最小值； 应用  已知（，是整数，是常数），要使为“完美数”，求的值，并说明理由． 题型十二 乘法公式的配方法求最值（共6小题） 67．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即． 例如：、、是的三种不同形式的配方（即“余项”分别是常数项、一次项、二次项）． 请根据阅读材料解决下列问题： (1)比照上面的例子，写出三种不同形式的配方； (2)将配方（至少两种形式）； (3)已知，求的值． 68．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即 例如：、、是的三种不同形式的配方（即“余项”分别是常数项、一次项、二次项）． 请根据阅读材料解决下列问题： (1)比照上面的例子，写出三种不同形式的配方； (2)将配方（至少两种形式）； (3)已知，求的值． 69．（24-25八年级上·北京东城·期中）阅读材料： 我们已经学习过完全平方公式．对于多项式，虽然不能写成某个代数式的平方形式，但是可以写成，即一个含x的代数式的平方与另一个数的和的形式．更一般的，对于二次项系数不为1的二次三项式，它总是可以化为的形式，我们把这种代数式的恒等变形叫做配方．例如：，这就是一个配方的过程．根据以上内容回答下列问题： (1)将代数式配方； (2)已知，那么的值为 ． 70．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）根据完全平方公式，把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做“配方法”．例如把配方如下：．请完成下列问题： (1)填空：配方多项式的结果为 ； (2)当等于多少时，代数式的值最小？ (3)用一根长为米的绳子围成一个长方形，请问长方形的边长为多少时，围成的长方形面积最大？最大面积是多少？ 71．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法基本形式是完全平方公式的逆用，即． 根据阅读材料解决下列问题： (1)把配成完全平方式为___________；把配成完全平方式为___________； (2)已知，求的值； (3)例如：二次三项式可以有、、这样三种不同形式的配方（即“余项”分别是常数项3、一次项、二次项）． ， ， ， 比照上面的例子，直接写出三种不同形式的配方． 72．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）张老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识求代数式的最小值．同学们经过交流讨论，最后总结出如下解答方法： 因为， 所以当时，的值最小，最小值是0． 所以．所以当时，的值最小，最小值是1． 所以的最小值是1． 依据上述方法，解决下列问题 (1)当______时，有最小值是_______． (2)已知，求的最值为_______． (3)已知实数、满足，求的值． 题型十三 整式混合运算（共6小题） 73．（24-25七年级下·四川达州·期末）计算下列各题： (1)； (2)． 74．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）化简： (1) (2) 75．（25-26八年级上·河北邢台·期末）计算下列各小题． (1)； (2)． 76．（25-26八年级上·湖北荆州·期末）化简： (1) (2) 77．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）计算：． 78．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）计算： (1)； (2)． 题型十四 解二元一次方程组（共6小题） 79．（24-25七年级下·江苏南京·期中）解方程组 (1)； (2)； (3)； (4)． 80．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）解二元一次方程组： (1)； (2)． 81．（24-25七年级下·江苏镇江·期中）解下列方程组： (1)； (2)． 82．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）解方程组： (1) (2) 83．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）解下列方程组： (1) (2) 84．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）解二元一次方程组 (1)； (2)． 题型十五 二元一次方程组的求参数问题（共6小题） 85．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）当m为何值时，方程组的解互为相反数？ 86．（24-25七年级下·江苏连云港·期末）已知实数，满足，且满足关于，的二元一次方程组，求的值． 87．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）已知关于，的二元一次方程组的解满足，求的值． 88．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）已知是关于、的二元一次方程组． (1)求方程组的解（用含的式子表示）； (2)若方程组的解也满足方程，求的值； (3)若无论取何值，代数式的值都是定值，求、满足的条件，并求出这个定值． 89．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）已知关于x、y的方程组 (1)请写出的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求m的值； (3)如果方程组有正整数解，求整数m的值． 90．（25-26七年级下·江苏南京·期中）已知关于的方程组． (1)请写出方程的所有正整数解． (2)若方程组的解满足，求m的值． (3)无论m取何值，方程总有同一个解，请求出这个解． 题型十六 二元一次方程组的错解复原问题（共6小题） 91．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）小鑫、小童两人同时解方程组时，小鑫看错了方程②中的，解得，小童看错了①中的，解得． (1)求正确的的值． (2)求原方程组的正确解． 92．（24-25七年级下·江苏南京·期末）小华和小明同时计算一道整式乘法题．小华抄错了第一个多项式中a的符号，即把抄成了，得到结果为；小明把第二个多项式中的抄成了x，得到结果为． (1)你知道式子中a，b的值各是多少吗？ (2)请你计算出这道题的正确结果． 93．（24-25七年级下·江苏·期中）甲、乙两人同时解方程组，甲解题看错了①中的m，解得，乙解题时看错②中的n，解得． (1)求m，n的值； (2)求原方程组的解． 94．（24-25七年级下·江苏南京·期中）甲和乙两人同解方程组，甲因抄错了a，解得，乙因抄错了b，解得，求的值． 95．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）甲、乙两人同时解方程组，甲解题看错了①中的m，解得，乙解题时看错②中的n，解得 (1)甲把m错看成了什么？乙把n错看成了什么？ (2)试求原方程组的解． 96．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）甲、乙二人同时解方程组，甲看错了a，解得；乙看错了b，解得，求原方程组的解． 题型十七 二元一次方程组的相同解问题（共6小题） 97．已知关于x，y的方程组和的解相同，求的值． 98．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）已知关于x，y的二元一次方程组与方程组有相同的解． (1)求这两个方程组的相同解． (2)求的值． 99．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）已知关于的方程组和的解相同，求代数式的值． 100．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）已知关于x、y的方程组和的解相同，求的值． 101．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）已知方程组和方程组的解相同，求，的值． 102．（24-25八年级上·江苏常州·期末）关于的二元一次方程组与方程组有相同的解． (1)求这两个方程组的相同解； (2)求的值． 题型十八 二元一次方程组的新定义计算（共6小题） 103．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”．例如：方程和为“和谐方程”． (1)若关于的方程与方程是“和谐方程”，求的值； (2)若“和谐方程”的两个解的差为4，其中一个解为，求的值． 104．（24-25七年级下·江苏镇江·期中）对于有理数，定义新运算：，，其中是常数．已知，． (1)求的值； (2)若关于的方程组的解也满足方程，求的值． 105．（24-25七年级下·江苏镇江·期末）对于有理数定义一种新运算“※”：规定．例如：． (1)若，，求的值； (2)在（）的条件下，试说明：． 106．（24-25七年级下·江苏·期中）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“关联方程”如方程和为“关联方程”． (1)若关于的方程与方程是“关联方程”，求的值； (2)若两个“关联方程”的两个解的差为8，若两个“关联方程”的两个解分别为，求的值； (3)若关于的方程和是“关联方程”，求的值． 107．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）我们规定：若关于x的一元一次方程ax＝b的解为b+a，则称该方程为“和解方程”． 例如：方程2x＝﹣4的解为x＝﹣2，而﹣2＝﹣4+2，则方程2x＝﹣4为“和解方程”． 请根据上述规定解答下列问题： (1)已知关于x的一元一次方程3x＝m是“和解方程”，求m的值； (2)请自行写出一个除上述你方程外的“和解方程”：______ (3)已知关于x的一元一次方程﹣2x＝mn+n是“和解方程”，并且它的解是x＝n，求m，n的值． 108．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）定义：关于的方程与方程（a、b均为不等于0的常数）称互为“反对方程”，例如：方程与方程互为“反对方程”． (1)若关于的方程与方程互为“反对方程”，则______； (2)若关于的方程与方程互为“反对方程”，求、的值； (3)若关于的方程与其“反对方程”的解都是整数，求整数的值． 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $