专题04 二元一次方程组（含应用问题）24大题型（期中复习专项训练）七年级数学下学期新教材苏科版

专题04 二元一次方程组（含应用问题） 题型1 二元一次方程的相关概念 题型13 行程问题（难点） 题型2 二元一次方程组的相关概念 题型14 工程问题 题型3 已知二元一次方程组的解求参数（常考点） 题型15 数字问题 题型4 解二元一次方程组（重点） 题型16 年龄问题 题型5 二元一次方程组的特殊解法（常考点） 题型17 分配问题（重点） 题型6 二元一次方程组的错解复原问题（常考点） 题型18 销售问题（难点） 题型7 构造二元一次方程组求解 题型19 和差倍分问题（重点） 题型8 已知二元一次方程组解的情况求参数（难点） 题型20 几何问题（难点） 题型9 方程组相同解问题（重点） 题型21 图表信息题 题型10 三元一次方程组的解与应用 题型22 古代问题（常考点） 题型11 列二元一次方程组 题型23 其他问题 题型12 方案问题（难点） 题型24 二元一次方程组的新定义问题（难点） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 二元一次方程的相关概念（共3小题） 1．（24-25七年级下·江苏常州·月考）下列各方程中，是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是，像这样的方程叫做二元一次方程，据此进行判断即可． 【详解】解：A、符合二元一次方程的定义，则A符合题意； B、中的次数是，则B不符合题意； C、是一元一次方程，则C不符合题意； D、，未知数的最高次数是，则D不符合题意． 故选：A． 2．（24-25七年级下·江苏·期中）已知是关于x，y的二元一次方程，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程定义，掌握定义是解题关键．根据二元一次方程未知数的次数为1且系数不为0列式求解即可． 【详解】解：由题意得： ，， ． 故选：A． 3．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）已知是关于x、y的二元一次方程的一个解，则的值是（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程的解． 直接将方程的解代入原方程，解关于m的一元一次方程即可． 【详解】将代入方程，得： 解得： 故选：D． 题型二 二元一次方程组的相关概念（共3小题） 4．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）下列方程组是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二元一次方程组的条件：由两个一次方程组成，且含有两个未知数的方程组，进行判断即可．本题考查了二元一次方程组的定义；熟练掌握二元一次方程组的概念是解题的关键． 【详解】解：A、含有三个未知数，不是二元一次方程组，不符合题意； B、不是整式方程，不是二元一次方程组，不符合题意； C、符合二元一次方程组条件，是二元一次方程组，符合题意； D、最高次数为2，不是二元一次方程组，不符合题意； 故选：C． 5．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）已知一个二元一次方程组的解是，则这个方程组可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．把代入方程组检验即可． 【详解】解：A、将代入方程组， 可得：， 即不是方程组的解，不符合题意； B、将代入方程组， 可得：， 即不是方程组的解，不符合题意； C、将代入方程组， 可得：， 即不是方程组的解，不符合题意； D、将代入方程组， 可得：， 即是方程组的解，符合题意； 故选：D． 6．（24-25七年级下·江苏徐州·期末）观察所给的4个方程组：①；②；③；④，其中，符合二元一次方程组定义的是______（写出所有正确的序号）． 【答案】①②④ 【分析】含有两个未知数，且未知数的最高次数是1，这样的整式方程组是二元一次方程组，根据定义逐一判断即可． 【详解】解：① ，符合二元一次方程组定义； ② ，符合二元一次方程组定义； ③ ，未知数x的最高次数是2，不符合二元一次方程组定义； ④ ，符合二元一次方程组定义； 所以符合二元一次方程组定义的是①②④． 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的定义，熟记定义是解本题的关键． 题型三 已知二元一次方程组的解求参数（共3小题） 7．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）已知是关于，的二元一次方程的解，则的值是（    ） A．3 B．-3 C．2 D．-2 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解和解一元一次方程，将方程的解代入原方程是解题的关键．将代入关于x，y的二元一次方程得到关于k的方程，解这个方程即可得到k的值． 【详解】解：将代入关于x，y的二元一次方程得： ． ∴． 故选：A． 8．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）若是关于的二元一次方程的解，则的值为______． 【答案】1 【分析】把与的值代入已知方程计算即可求出的值．本题考查已知二元一次方程的解求参数的值，理解方程的解的意义是解题的关键． 【详解】是关于的二元一次方程的解， ， 解得：， 故答案为：1． 9．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）已知关于x，y的二元一次方程组的解也是方程的解，求m的值． 【答案】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，以及了二元一次方程（组）的解，通过解方程组求解x，y是解题的关键． 根据题意将和联立组成方程组，解方程组可求解x，y值，再将x，y值代入代入方程可得关于的一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】解；∵关于x，y的二元一次方程组的解也是方程的解， ①②，得 ， 把代入①，得， ， 把，代入，得 ， 解得 题型四 解二元一次方程组（共3小题） 10．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）解二元一次方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用代入消元法求解即可； （2）方程组整理后，利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：， 将①代入②得：， 解得， 将代入①得：， 所以方程组的解为； （2）解：， 方程组整理为， 由①②得：， 解得， 将代入①得：， 解得， 所以方程组的解为． 11．（24-25八年级上·江苏南通·月考）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组的知识点，解二元一次方程组主要有代入消元法、加减消元法两种方法，观察相同未知数的系数之间的关系是关键． 本题考查解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法，是解题的关键： （1）加减消元法解方程即可； （2）加减消元法解方程即可． 【详解】（1）解：， 得：， 解得：， 将代入①可得：， 解得：， ∴原方程组的解为； （2）解：将方程组进行变形可得：， ①−②得：， 解得：， 将代入①可得：， 解得：， ∴原方程组的解为：． 12．（24-25七年级下·江苏南通·月考）解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． （1）利用加减消元法求解； （2）先将原方程组整理，再由加减消元法求解． 【详解】（1）解： 由得，， 解得， 将代入①得：， 解得， ∴原方程组的解为； （2）解：原方程组化为， 得：， 解得， 将代入②得：， 解得， ∴原方程组的解为． 题型五 二元一次方程组的特殊解法（共3小题） 13．（24-25八年级下·江苏无锡·月考）如果关于未知数x和y的二元一次方程组的解满足：．那么关于未知数和的二元一次方程组的解满足（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解二元一次方程组及二元一次方程组的解，根据题意整理方程是解题的关键． 将方程整理得，根据题意可得即可求解． 【详解】解：将两边同时除以2， 得， 整理得，， ∵关于未知数x和y的二元一次方程组的解满足：， ∴关于未知数和的二元一次方程组的解满足， 即， 故选：D． 14．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）已知关于的二元一次方程组的解为，若满足二元一次方程组则的值为_____． 【答案】3 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，代数式的值，弄清题中方程组解的特征是解题的关键． 根据关于，的二元一次方程组的解为，得到，求解即可解答． 【详解】解：∵关于，的二元一次方程组的解为， ∴把关于，满足二元一次方程组看作关于和的二元一次方程组， ∴， 解得， ∴． 故答案为：3． 15．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，我们通常把未知数或变数称为元．所谓换元法，就是解题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使得复杂问题简单化．换元的实质是转化，关键是构造元和设元． 例如解方程组，令，．原方程组化为，解得，把代入，，得，解得．原方程组的解为． (1)解方程组． (2)解方程组 (3)已知关于x、y的方程组的解是，关于x、y的方程组的解是__________． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了用换元法解二元一次方程组，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）将原方程组移项整理得，令，，原方程组化为，解得，把代入，，得，解方程即可； （2）将原方程组移项整理得，令，，原方程组化为，解得，把代入，，得，解方程即可； （3）将原方程组移项整理得，令，，原方程组化为，根据题意得，把代入，，得，解方程即可． 【详解】（1）解：， 移项整理得，， 令，， 原方程组化为， 解得， 把代入，， 得，解得， 原方程组的解为； （2）解方程组， 移项整理得，， 令，，原方程组化为， 解得， 把代入，， 得，解得， 原方程组的解为； （3）将关于x、y的方程组， 移项为， 整理得， 令，，原方程组化为， 根据题意得， 把代入，， 得，解得或， 原方程组的解为或． 题型六 二元一次方程组的错解复原问题（共3小题） 16．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）两位同学在解关于、的方程组时，甲看错①中的，解得：，，乙看错②中的，解得，那么和的正确值应是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的错解问题，甲看错了a，则甲的结果满足②，乙看错了b，则乙的结果满足①，由此建立关于a、b的方程求解即可． 【详解】解：由题意，得把，代入②，得， 解得， 把，代入①，得， 解得， 所以，． 故选C． 17．（24-25七年级下·江苏宿迁·月考）已知方程组，甲正确地解得，而乙粗心，他把看错了，从而解得，则_____，_____． 【答案】 3 【分析】本题考查了二元一次方程组的解、解二元一次方程组，由题意得出，解方程组即可得出答案． 【详解】解：由题意得， 解得． 故答案为：3，． 18．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，得解为，乙看错了方程组中的，得解为． (1)甲把错看成了什么？乙把错看成了什么？ (2)求出原方程组的正确解． 【答案】(1)甲把错看成了1，乙把错看成了1 (2) 【分析】本题考查二元一次方程组的错解复原问题，熟练掌握二元一次方程组的解和解二元一次方程组的方法，是解题的关键： （1）分别把两组解代入方程组中，进行求解即可； （2）根据（1）得到正确的方程组，进行求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得：， 解得：； 故甲把错看成了1； 把代入，得：， 解得：， 故乙把错看成了1； （2）解：由（1）可知，， ∴原方程组为：， 解得：． 题型七 构造二元一次方程组求解（共3小题） 19．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）已知关于，的二元一次方程，不论取何值，方程总有一个固定不变的解，这个解为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程的解，根据无论取何值，方程总成立的条件是方程中不含的部分和含的部分同时为零．因此，需解联立方程组：，即可求解． 【详解】解：依题意，， 解得：， 故选：B． 20．（24-25七年级下·江苏连云港·月考）在等式中，当时，；当时，，则_______， _______． 【答案】 【分析】根据题意列出二元一次方程组，再使用加减消元法解方程即可． 【详解】解：根据题意可得方程组：， 将，得， 解得， 将代入①，得， 解得， ∴方程组的解为，即，． 21．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）在等式中，当时，；当时，． (1)求k，b的值； (2)当时，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，正确理解题意、得出关于k、b的方程组是解题的关键． （1）把已知的数据代入等式可得关于k、b的方程组，解方程组即可； （2）把代入（1）的等式中求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可得：， 解得：； （2）解：因为， 所以， 所以当时，， 解得：． 题型八 已知二元一次方程组解的情况求参数（共3小题） 22．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）已知关于，的二元一次方程组（是常数），若不论取什么实数，代数式（是常数）的值始终不变，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，将方程组中的两个方程变形后，消掉a即可得，再结合不论取什么实数，代数式（是常数）的值始终不变，进行分析，可得出结论． 【详解】解：关于x，y的二元一次方程组， 可得， 即， ∴ 则 ∵不论取什么实数，代数式（是常数）的值始终不变， ∴， ∴， 故k的值为， 故选：B． 23．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）若方程组的解满足，则的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查解二元一次方程组的应用；先用加减消元法求出，，再结合题意计算即可． 【详解】解：， 由①得： ③， ③②得：， ∴， 把代入②中得， 解得， ∵， ∴， 解得：； 故答案为：． 24．（24-25七年级下·江苏连云港·期末）已知关于x，y的方程组． (1)请直接写出方程的所有非负整数解． (2)若该方程组的解也满足方程，求m的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，解二元一次方程组，关键是掌握解二元一次方程（组）的思路：消元． （1）直接列举即可； （2）先联立求出x、y的值，再代入求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴所有非负整数解有，； （2）解：依题意得：， 得， 把代入①得： 解得 方程组的解为： 把代入到得， 解得． 题型九 方程组相同解问题（共3小题） 25．（25-26七年级下·江苏苏州·月考）已知方程组和有相同的解，求a、b的值． 【答案】， 【分析】将两个方程组的第一个方程联立求出x和y的值，再代入另外两个方程得到关于a和b的二元一次方程组，从而求出a、b的值． 【详解】解：∵方程组和有相同的解， ∴①和③联立方程组得：， 解得：， 将代入②和④，并联立方程组得：， 解得：， 即a、b的值分别为、7． 26．（24-25七年级下·全国·期中）关于x，y的方程组与方程组有相同的解，求的值． 【答案】1 【分析】本题考查了二元一次方程组的同解方程组，先解方程组求出，然后代入方程中，得出关于m，n的方程组求解即可． 【详解】解：根据题意得， 解得：， 把代入方程中， 得， 解得：， ∴． 27．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）关于，的方程组与有相同的解，求，的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了同解方程组．根据同解方程组可得方程组，可求出，再带入，即可求解． 【详解】解：∵方程组与有相同的解， ∴， 解得：， 把代入，得： ， 解得：． 题型十 三元一次方程组的解与应用（共3小题） 28．解下列三元一次方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【解析】略 29．（24-25七年级下·江苏南京·期中）在等式中，当时，；当时，；当时，．求a，b，c的值． 【答案】，，的值分别为3，， 【分析】把a，b，c看作三个未知数，分别把已知的x，y值代入原等式，就可以得到一个三元一次方程组． 【详解】解∶根据题意，得， ，得；④ ，得．⑤ ④与⑤组成二元一次方程组． 解这个方程组，得． 把代入①，得． 因此， 即，，的值分别为3，，． 【点睛】本题考查了三元一次方程组的解法，理解消元的思想并应用是解决本题的关键． 30．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）“整体思想”是数学解题中的一种重要的思想方法．数学课上，李老师给出了一个问题，已知实数，满足，求和的值． 小天：利用消元法解方程组，得，的值后，再代入求和的值； 小红：发现两个方程相同未知数系数之间的关系，通过适当变形，整体求得代数式的值，①，②，由①﹣②可得，由可得； 李老师对两位同学的讲解进行点评，指出小红同学的思路体现了数学中“整体思想”的运用．请你参考小红同学的做法，解决下面的问题： (1)已知二元一次方程组，则 ， ； (2)请说明在关于x，y的方程组中，无论为何值，的值始终不变； (3)八年级（1）班开展安全教育知识竞赛需购买奖品，若买3支铅笔、5块橡皮、1本笔记本共需21元；若买4支铅笔、7块橡皮、1本笔记本共需28元，则购买10支铅笔、10块橡皮、10本笔记本共需多少元？（直接写出结果） 【答案】(1)，3 (2)理由见解析 (3)70元 【分析】（1）将两个方程相加或相减，即可求解； （2）利用加减消元法即可求出为固定值，不受的影响； （3）设铅笔的单价为元，橡皮的单价为元，笔记本的单价为元，根据题意列出方程组，利用整体化思想，即可求解． 【详解】（1）解： 得，， ． 得，． 故答案为：，3． （2）解：， 得，， ． 无论为何值，的值始终不变． （3）解：设铅笔的单价为元，橡皮的单价为元，笔记本的单价为元， 根据题意得： 得，， 购买10支铅笔、10块橡皮、10本笔记本共需70元． 故答案为：70元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组和三元一次方程组，解题的关键在于正确理解题意，熟练运用整体化思想． 题型十一 列二元一次方程组（共3小题） 31．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）我国古代数学经典著作《九章算术》中有这样一题，原文是：“今有共买物，人出七，盈二；人出六，不足三．问人数、物价各几何？”本题意思是：今有人合伙购物，每人出七钱，会多二钱；每人出六钱，又差三钱．问人数、货物总价各多少？设人数为人，货物总价为钱，可列方程组为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列二元一次方程组． 根据“人出七，盈二”表示总钱数比货物总价多2钱，可得；根据“人出六，不足三”表示总钱数比货物总价少3钱，可得． 【详解】解：∵每人出7钱，多2钱， ∴； ∵每人出6钱，差3钱， ∴； ∴可列方程组为． 故选：B． 32．（24-25七年级下·江苏常州·期末）《算法统宗》中有一道题为“隔沟计算”，其原文是：甲乙隔沟放牧，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多你一倍之上；乙说得甲九只羊，二家之数相当，两人都在暗思对方有多少只羊，甲对乙说：“我若得你9只羊，我的羊多你一倍．”乙对甲说：“我若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多．”设甲有x只羊，乙有y只羊，根据题意列出二元一次方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根据题意列二元一次方程组． 根据甲和乙的陈述，甲得乙9只羊后，羊数是乙的2倍；乙得甲9只羊后，两人羊数相等．由此列出二元一次方程组． 【详解】解：设甲有x只羊，乙有y只羊， 甲得乙9只羊后，甲有只，乙有只，且； 乙得甲9只羊后，乙有只，甲有只，且； ∴方程组为． 故选：B． 33．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）甲、乙两人购买纪念币共100枚，若甲给乙10枚纪念币，则乙的纪念币的数量是甲的4倍，问甲、乙原来各有多少枚纪念币？设甲原有x枚纪念币，乙原有y枚纪念币，则可列方程组为________． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意，找出等量关系，正确列出方程组是解题的关键． 根据甲、乙两人购买纪念币共100枚，可得方程；根据甲给乙10枚纪念币后，乙的纪念币数量是甲的4倍，可得方程，从而组成方程组． 【详解】解：设甲原有枚纪念币，乙原有枚纪念币， 由题意得：． 故答案为：． 题型十二 方案问题（共3小题） 34．（24-25七年级下·江苏南通·期中）因道路建设需要开挖土方，计划每小时挖掘土方，现决定向租赁公司同时租用甲，乙两种型号的挖掘机来完成这项工作，租赁公司提供的挖掘机有关信息如表： 租金（单位：元/台时） 挖掘量（单位：/台时） 甲型挖掘机 100元 乙型挖掘机 120元 (1)若租用甲、乙两种型号的挖掘机共8台，恰好完成每小时的挖掘量，求甲、乙两种挖掘机各需多少台？ (2)如果每小时支付的租金不超过870元，又恰好完成每小时的挖掘量，求有几种不同的租用方案？ 【答案】(1)甲、乙两种挖掘机各需5台，3台 (2)两种租用方案，第一种甲、乙两种挖掘机各需1台，6台；第二种甲、乙两种挖掘机各需5台，3台 【分析】（1）设甲、乙两种型号的挖掘机各需x台、y台，根据题意建立二元一次方程组即可求解； （2）设租用m台甲型挖掘机，n台乙型挖掘机，根据题意列出二元一次方程，求出其正整数解，然后分别计算支付租金，选择符合要求的租金方案． 【详解】（1）解：设甲、乙两种型号的挖掘机各需x台、y台． 依题意得：， 解得 ． 答：甲、乙两种型号的挖掘机各需5台、3台； （2）解：设租用m台甲型挖掘机，n台乙型挖掘机． 依题意得：， 化简得：． ∴， ∴方程的解为或． 当，时，支付租金：元元，符合要求； 当，时，支付租金：元元，符合要求． 答：两种租用方案，第一种甲、乙两种挖掘机各需1台，6台；第二种甲、乙两种挖掘机各需5台，3台． 【点睛】题目主要考查二元一次方程的应用，理解题意，列出相应方程并正确求解是解题关键． 35．（24-25七年级下·江苏镇江·期中）2023年苏迪曼杯世界羽毛球混合团体锦标赛于5月14日至5月21日在苏州奥体中心举行．决赛中，中国队以战胜韩国队，完成三连冠壮举，历史上第13次登顶．5月15日该项赛事的小组赛票价如下： 2023年道达尔能源苏迪曼杯世界羽毛球混合团体锦标赛 2023 票价总览图 小组赛 日期 时间 ￥380 ￥180 ￥80 ￥480 ￥280 ￥180 (1)若购买场次的类门票和类门票共7张，总票价为1860元，、两类门票各买了多少张？ (2)已知购买场次的类门票和类门票各若干张，共花费1620元，有哪些购买方案？ 【答案】(1)类门票买了3张，类门票买了4张 (2)共有2种购买方案，方案1：购买类门票5张，类门票9张；方案2：购买类门票1张，类门票18张 【分析】本题考查一元一次方程的应用、二元一次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键． （1）设类门票买了张，则类门票买了张，根据题意列出方程，求出的值即可解答； （2）设购买类门票张，类门票张，根据题意列出方程，再结合都是正整数，即可求出的值，进而确定购买方案． 【详解】（1）解：设类门票买了张，则类门票买了张， 根据题意，得， 解得， 则， 答：类门票买了3张，类门票买了4张； （2）解：设购买类门票张，类门票张， 根据题意，得， 整理得， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵都是正整数，， ∴是9的倍数， ∴或， 当时，； 当时，； ∴共有2种购买方案， 方案1：购买类门票5张，类门票9张； 方案2：购买类门票1张，类门票18张． 36．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）某校欲购置规格分别为和的甲、乙两种免洗手消毒液若干瓶，已知购买3瓶甲和2瓶乙免洗手消毒液需要104元，购买2瓶甲和3瓶乙免洗手消毒液需要111元． (1)求甲、乙两种免洗手消毒液的单价． (2)该校购买散装免洗手消毒液进行分装，现需将的散装免洗手消毒液全部装入最大容量分别为和的两种空瓶中，两种空瓶均需装，且每瓶均装满，通过计算列出所需两种空瓶数量的购买方案． 【答案】(1)甲种免洗手消毒液的单价为18元，乙种免洗手消毒液的单价为25元． (2)见详解 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组． （1）设甲种免洗手消毒液的单价为x元，乙种免洗手消毒液的单价为y元，根据“购买3瓶甲和2瓶乙免洗手消毒液需要104元，购买2瓶甲和3瓶乙免洗手消毒液需要111元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． （2）设购买a个最大容量的空瓶， b个最大容量的空瓶，根据要分装的免洗手消毒液共，即可得出关于a、b的二元一次方程，结合a、b均为正整数，即可得到各购买方案． 【详解】（1）解：设甲种免洗手消毒液的单价为x元，乙种免洗手消毒液的单价为y元． 依题意得： 解得： 答：甲种免洗手消毒液的单价为18元，乙种免洗手消毒液的单价25元． （2）解：设购买a个最大容量300ml的空瓶， b个最大容量的空瓶． 依题意得： ∴ 又∵a、b均为正整数 ∴ ∴共有3种购买方案 方案1：购买15个最大容量的空瓶，3个最大容量的空瓶． 方案2：购买10个最大容量的空瓶，6个最大容量的空瓶． 方案3：购买5个最大容量的空瓶，9个最大容量的空瓶． 题型十三 行程问题（共3小题） 37．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）两地相距千米．小丽、小明两人骑行，小丽从地出发到地，小明从地出发到地，两人同时出发，相向而行，小时后相遇，再骑行小时，小丽剩下的路程为小明剩下路程的倍，小丽、小明骑行的平均速度分别是多少？ 【答案】小丽的速度为，小明的速度为 【分析】本题主要考查二元一次方程组的运用，理解数量关系，正确列式是关键． 设小丽的速度为，小明的速度为，根据题意列方程组求解即可． 【详解】解：设小丽的速度为，小明的速度为， ∵两地相距千米， ∴， 再骑行小时，小丽剩下的路程为，即，小明剩下路程为，即， ∴，即， ∴， 解得，， ∴小丽的速度为，小明的速度为． 38．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）小红和姐姐相距．如果她们同时出发且相向而行，那么经过两人相遇；如果她们同向而行，且姐姐比小红先出发，那么在小红出发后姐姐追上小红．小红、姐姐的平均速度分别是多少？ 【答案】， 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设小红的平均速度是，姐姐的平均速度是，根据如果她们同时出发且相向而行，那么经过两人相遇，可列出方程；根据如果她们同向而行，且姐姐比小红先出发，那么在小红出发后姐姐追上小红，可列出方程；组成二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设小红的平均速度是，姐姐的平均速度是， 由题意，得 解得 答：小红的平均速度是，姐姐的平均速度是． 39．（24-25七年级下·江苏南通·期中）苗苗同学在学习了二元一次方程组相关知识后，对汽车的轮胎磨损问题进行了探究． 根据资料显示，汽车的前轮胎比后轮胎磨损更为严重，如果只更换前轮胎，那么行驶时的安全性会下降，但是如果一起更换轮胎，汽车的维护成本将会提高．所以为了解决这个问题，我们可以定期交换前后轮胎． 某种汽车前轮胎行驶4万公里时报废，而后轮胎行驶6万公里时报废．轮胎报废的时候磨损程度为1． (1)该种汽车每行驶1万公里，前轮胎的磨损为，后轮胎的磨损为________； (2)假设该种汽车行驶x万公里之后，将前轮胎交换到了后轮的位置，然后继续行驶了y万公里后，该轮胎报废，此时轮胎的磨损程度为1．请依据上述信息，列一个关于x，y的方程； (3)当前后轮胎一起报废时，汽车的行驶里程是多少万公里？ 【答案】(1) (2) (3)万公里 【分析】本题主要二元一次方程组的应用： （1）根据“汽车每行驶1万公里，前轮胎的磨损为，”即可得到答案； （2）根据用汽车行驶x万公里之后前轮的磨损程度加上继续行驶了y万公里后前轮的磨损程度为1，即可求解； （3）根据用汽车行驶x万公里之后后轮的磨损程度加上继续行驶了y万公里后后轮的磨损程度为1，再结合（2）中的方程，得到方程组即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：该种汽车每行驶1万公里，前轮胎的磨损为，后轮胎的磨损为； 故答案为： （2）解：根据题意得：， （3）解：根据题意得： ，解得：， 答：当前后轮胎一起报废时，汽车的行驶里程是万公里． 题型十四 工程问题（共3小题） 40．（23-24七年级下·江苏·月考）甲、乙两个工人同时接受一批任务，上午工作的小时中，甲用了小时改装机器以提高工效，因此，上午工作结束时，甲比乙少做个零件；下午两人继续工作小时后，全天总计甲反而比乙多做个零件，问这一天甲、乙各做多少个零件？ 【答案】这一天甲做了个零件，乙做了个零件． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设甲每小时做个零件，乙每小时做个零件，由题意得，然后解方程组即可，解题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解． 【详解】解：设甲每小时做个零件，乙每小时做个零件， 由题意得， 解得：， 则甲一天做，乙一天做， 答：这一天甲做了个零件，乙做了个零件． 41．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共元，若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做天可以完成，需付费用元，问： (1)甲、乙两组工作一天，商店各应付多少钱？ (2)已知甲组单独完成需天，乙组单独完成需天，单独请哪个组，商店所需费用最少？ (3)若装修完后，商店每天可赢利元，你认为如何安排施工更有利于商店？请你帮助商店决策．（可用（1）（2）问的条件及结论） 【答案】(1)甲、乙两组工作一天，商店各应付元和元 (2)单独请乙组需要的费用少 (3)甲、乙两组合作同时施工8天损失费用最少 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，有理数加法、乘法的实际应用．熟练掌握二元一次方程组的应用，有理数加法、乘法的实际应用是解题的关键． （1）设甲组工作一天商店应付x元，乙组工作一天商店应付y元．依题意得， ，计算求解，然后作答即可； （2）由题意知，单独请甲组需要的费用：（元），单独请乙组需要的费用：（元），由，判断作答即可； （3）分别计算甲、乙单独完成时的损失，然后计算甲乙合作完成时的损失，最后比较大小并作答即可． 【详解】（1）解：设甲组工作一天商店应付x元，乙组工作一天商店应付y元． 依题意得， ， 解得 ， 答：甲、乙两组工作一天，商店各应付元和元； （2）解：由题意知，单独请甲组需要的费用：（元）， 单独请乙组需要的费用：（元）， ∵， ∴单独请乙组需要的费用少； （3）解：由题意知，甲组单独做天，需费用元，少赢利（元），相当于损失（元）； 乙组单独做天，需费用元，少赢利（元），相当于损失（元）； 甲乙两组合作同时施工8天，需费用元，少赢利（元），相当于损失（元）； ∵， ∴甲、乙两组合作同时施工8天损失费用最少． 42．巴川河是铜梁的母亲河，为打造巴川河风光带，现有一段长为米的河道整治任务由、两个工程队先后接力完成；工程队每天整治米，工程队每天整治米，共用时天． (1)求、两工程队分别整治河道多少天？（用二元一次方程组解答） (2)若工程队整改一米的工费为元，工程队整改一米的工费为元，求完成整治河道时，这两工程队的工费共是多少？ 【答案】(1)工程队整治河道天，工程队整治河道天 (2)元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用， （1）设工程队整治河道天，工程队整治河道天，根据工程队每天整治米，工程队每天整治米，共用时天完成认为列出方程组进行求解即可； （2）分别求出A、B两个工程队的工费，然后求和即可． 【详解】（1）解：设工程队整治河道天，工程队整治河道天， 根据题意得：， 解得：． 答：工程队整治河道天，工程队整治河道天； （2）解：根据题意得： 元． 答：完成整治河道时，这两工程队的工费共是元． 题型十五 数字问题（共3小题） 43．（24-25七年级下·江苏南京·期中）一个两位数，十位上的数与个位上的数之和是8，个位数字与十位数字交换后所得新数比原数大．求这个两位数． 【答案】这个两位数为 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y.可列方程组求解． 【详解】解：设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y．      依题意，得：      解得：                   答：这个两位数为． 44．（24-25七年级下·江苏常州·期中）有一个两位数，设它的十位数字为，个位数字为，已知十位数字与个位数字之和为8，把十位数字和个位数字互换位置后得到一个新的两位数，新的两位数比原来的两位数大18． 求原来的两位数． 【答案】原两位数是35． 【分析】根据题意的等量关系即可得出方程组，解出方程组即可得出原来的两位数． 【详解】（1）解：原来的两位数为，新的两位数为， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 故原两位数是35． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是会表示两位数的值：两位数的值=十位数字个位数字． 45．（24-25七年级上·江苏常州·期中）若一个四位正整数满足：，我们就称该数是“平衡数”．如对于四位数3564，因为，所以3564是“平衡数”；对于四位数2356，因为，所以2356不是“平衡数”． (1)最小的“平衡数”是________，最大的：“平衡数”是__________； (2)判断7128是不是“平衡数”，并说明理由； (3)若一个“平衡数”满足千位数字与百位数字的积是12，且十位数字与个位数字的和为6，请你写出所有满足条件的“平衡数”． 【答案】(1)1001，9999 (2)是，理由见解析 (3)2651或6215 【分析】（1）根据新定义，即可得出结论； （2）根据新定义，即可得出结论； （3）根据题意知，，求得和的值，再根据题意是6，结合，取舍即可求得所有满足条件的“平衡数”． 【详解】（1）根据题意：一个四位正整数满足：，我们就称该数是“平衡数”， 最小的正整数是1，最大的正整数是9， ∵，， ∴最小的“平衡数”是1001，最大的“平衡数”是9999， 故答案为：1001，9999； （2）是，理由如下： ∵， ∴7128是“平衡数”； （3）设这个“平衡数”为， 依题意得：，， 当时，， ∵ ∴，即， ∵ ∴解得，， ∴此时“平衡数”为2651； 当时，， ∵ ∴，即， ∵ ∴解得，， ∵a，b，c，d都是整数，故不符合题意，应舍去； 当时，， ∵ ∴，即， ∵ ∴解得，， ∵a，b，c，d都是整数，故不符合题意，应舍去； 当时，， ∵ ∴，即， ∵ ∴解得，， ∴此时“平衡数”为6215； 综上，满足条件的“平衡数”是2651或6215． 【点睛】本题主要考查了新定义，倍数问题，二元一次方程的整数解的求解，理解新定义是解本题的关键． 题型十六 年龄问题（共3小题） 46．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）爸爸、妈妈、我、妹妹，四人今年的年龄之和是101岁，爸爸比妈妈大1岁，我比妹妹大6岁，十年前，我们一家的年龄之和是63岁，今年爸爸的年龄是（    ） A．38岁 B．39岁 C．40岁 D．41岁 【答案】C 【分析】由题意得：妹妹今年的年龄为8岁，我今年的年龄为14岁，设妈妈今年的年龄为x岁，爸爸今年的年龄为y岁，再由题意：一家四口人的年龄加在一起是101岁，爸爸比妈妈大1岁，列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：现在一家四口人的年龄之和应该比十年前全家人年龄之和多40岁， 但实际上（岁），说明十年前妹妹没出生， 则妹妹今年的年龄为（岁），我的年龄为（岁）， 设妈妈今年的年龄为x岁，爸爸今年的年龄为y岁， 由题意得：， 解得：， 即爸爸今年的年龄为40岁， 故选：C． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 47．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）一家四口人的年龄加在一起是100岁，弟弟比姐姐小8岁，父亲比母亲大2岁，十年前他们全家人年龄的和是65岁，则父亲今年的年龄为__________岁． 【答案】42 【分析】由题意得：弟弟今年的年龄为5岁，姐姐今年的年龄为13岁，设母亲今年的年龄为x岁，父亲今年的年龄为y岁，再由题意：一家四口人的年龄加在一起是100岁，父亲比母亲大2岁，列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：现在一家四口人的年龄之和应该比十年前全家人年龄之和多40岁， 但实际上100-65=35（岁），说明十年前弟弟没出生， 则弟弟的年龄为10-（40-35）=5（岁），姐姐的年龄为5+8=13（岁）， 设母亲今年的年龄为x岁，父亲今年的年龄为y岁， 由题意得：， 解得：， 即父亲今年的年龄为42岁， 故答案为：42． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 48．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）某学生想知道李老师的年龄，李老师说：“我像你这么大时，你才2岁，你长到我这么大时，我就35岁了．”请你算一算，今年李老师、该学生各多少岁． 【答案】今年李老师24岁，该学生13岁 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，理解题意设该学生今年x岁，李老师今年y岁，则根据该学生和李老师的年龄差不变，建立方程组求解即可． 【详解】解：设该学生今年x岁，李老师今年y岁，则 相据该学生和李老师的年龄差不变， 可得 解得 答：今年李老师24岁，该学生13岁． 题型十七 分配问题（共3小题） 49．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）甲、乙两家公司组织员工游览某景点的门票售价如下： 人数 人 人 人以上 票价 元/人 元/人 元/人 (1)若甲公司有人游览，则共付门票费______元； 若乙公司共付门票费元，则乙公司有______人游览； (2)若甲、乙两家公司共有人游览，其中甲公司不超过人，两家公司先后共付门票费元，求甲、乙两家公司游览的人数． 【答案】(1)；； (2)甲公司有人游览，乙公司有人游览． 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意，找准等量关系是解答的关键． （1）根据表格信息，利用费用人数票价求解即可； （2）设甲公司有人游览，则乙公司有人游览，根据题意分两种情况讨论，列方程组求解即可． 【详解】（1）解：若甲公司有人游览，则共付门票费：（元）， ， 乙公司人数超过人， 则乙公司游览人数为：（人）， 故答案为：；； （2）解：设甲公司有人游览，则乙公司有人游览， 若时， 根据题意，得， 解得，； 若时， 根据题意，得， 解得，， 甲公司不超过人， 此情况不符合题意，舍去； 答：甲公司有人游览，乙公司有人游览． 50．（24-25七年级下·江苏·期中）（应用意识）用如图①所示的长方形和正方形纸板作为侧面和底面，做成如图②所示的竖式与横式两种无盖的长方体纸盒． (1)若有正方形纸板1460张，长方形纸板3440张，则当竖式纸盒、横式纸盒各加工多少个时，恰好能将这些纸板全部用完？ (2)若一共使用正方形纸板80张，长方形纸板a张，全部加工成上述两种纸盒，且，请求出a所有可能的值． 【答案】(1)当竖式纸盒加工500个，横式纸盒加工480个时，恰好能将这些纸板全部用完 (2)所有可能的值为155，160，165 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程或方程组求解． （1）设竖式纸盒加工x个，横式纸盒加工y个，根据两种纸盒每个各需长方形和正方形纸板的张数结合共用正方形纸板1460张、长方形纸板3440张，列出二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设加工竖式纸盒m个，加工横式纸盒n个，根据两种纸盒每个各需长方形和正方形纸板的张数结合共用正方形纸板80张、长方形纸板a张，列出m、n的二元一次方程组，解之即可用含a的代数式表示出n值，再根据n、a为正整数结合求出a的值，即可解决问题． 【详解】（1）解：设竖式纸盒加工x个，横式纸盒加工y个．根据题意，得： ， 解得， 故当竖式纸盒加工500个，横式纸盒加工480个时，恰好能将这些纸板全部用完． （2）解：设加工竖式纸盒m个，加工横式纸盒n个．根据题意，得： ， ，得 ， 均为正整数， 为5的倍数． 又， 所有可能的值为155，160，165． 51．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）某铁件加工厂用如图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图2的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器．（加工时接缝材料不计） 观察发现： 长方形铁片张数 正方形铁片张数 1个竖式无盖铁容器中 4 1 1个横式无盖铁容器中 3 2 (1)如果加工m个竖式铁容器与n个横式铁容器，则共需要长方形铁片 张，正方形铁片 张； (2)现有长方形铁片155张，正方形铁片70张，如果加工成这两种铁容器，刚好铁片全部用完，那加工的竖式铁容器、横式铁容器各有多少个？ (3)把长方体铁容器加盖可以加工成为铁盒.现用35张铁板做成长方形铁片和正方形铁片，再加工成铁盒，每张铁板的裁法有①裁3个长方形铁片；②裁4个正方形铁片；③裁1个长方形铁片和2个正方形铁片．若充分利用这些铁板加工成铁盒，最多可以加工成多少个铁盒？ 【答案】(1)， (2)加工的竖式铁容器有20个，横式铁容器各有25个； (3)最多可加工铁盒19个． 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，掌握解二元一次方程的方法是解题的关键． （1）如图得加工1个竖式铁容器需要长方形铁片4张，正方形铁片1张；加工1个横式铁容器需要长方形铁片3张，正方形铁片2张，即可求解； （2）设加工m个竖式铁容器与n个横式铁容器，根据题意列出方程组求解即可； （3）设做长方形铁片的铁板x张，做正方形铁片的铁板y张，根据题意列出方程组求解即可． 【详解】（1）解：由题意得 如果加工m个竖式铁容器与n个横式铁容器，则共需要长方形铁片张， 正方形铁片张； 故答案为：，； （2）解：设加工的竖式铁容器有m个，横式铁容器有n个，由题意得 ， 解得 故加工的竖式铁容器有20个，横式铁容器各有25个； （3）解：设做长方形铁片的铁板x张，做正方形铁片的铁板y张，由题意得 解得 ∴在这35张铁板中，25张做长方形铁片可做（片）， 9张做正方形铁片可做（片）， 剩1张可裁出1个长方形铁片和2个正方形铁片， 共可做长方形铁片（片），正方形铁片（片） ∴可做铁盒（个） 答：最多可加工铁盒19个． 题型十八 销售问题（共3小题） 52．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）某水果销售店用1200元购进甲、乙两种新出产的水果共140千克，这两种水果的进价、售价如表所示： 进价（元/千克） 售价（元/千克） 甲种 5 7 乙种 10 15 (1)这两种水果各购进多少千克？ (2)由于乙种水果运输和售卖过程中出现了的损耗，若该水果店按售价销售完剩下的所有水果，是赚钱还是赔钱了？赚或赔了多少元？ 【答案】(1)购进甲种水果40千克，乙种水果100千克 (2)赚钱了，赚了280元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，有理数四则混合运算的应用，理解题意准确列出方程组为解题关键． （1）设购进甲种水果x千克，乙种水果y千克，根据1200元购进甲、乙两种新出产的水果共140千克，列出方程组求解即可； （2）先算出两种水果的总销售额，再减去进价费用1200元即可得出答案． 【详解】（1）解：设购进甲种水果x千克，乙种水果y千克， 根据题意得：， 解得：，， 答：购进甲种水果40千克，乙种水果100千克； （2）解：甲种水果的销售额为（元）， 乙种水果的销售额为（元）， 则总销售额为（元）， （元）， 答：赚钱了，赚了280元． 53．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）用二元一次方程（组）解决问题：为了防治“新型冠状病毒”，某小区准备用3500元购买医用口罩和消毒液发放给本小区住户，若医用口罩买800个，消毒液买120瓶，则钱还缺100元；若医用口罩买1000个，消毒液买100瓶，则钱恰好用完． (1)求医用口罩和消毒液的单价； (2)由于实际需要，除购买医用口罩和消毒液外，还需购买单价为6元的口罩m个．若需购买医用口罩和口罩共1000个，剩余的钱恰好可以买n瓶消毒液，若，则 ． 【答案】(1)医用口罩：1.5元/个，消毒液：20元/瓶 (2)120或160 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解此题的关键． （1）设医用口罩和消毒液的单价分别为元/个和元/瓶，根据“某小区准备用3500元购买医用口罩和消毒液发放给本小区住户，若医用口罩买800个，消毒液买120瓶，则钱还缺100元；若医用口罩买1000个，消毒液买100瓶，则钱恰好用完”列出二元一次方程组，解方程组即可得解； （2）由题意可得，整理可得，在结合，均为正整数，且即可得解． 【详解】（1）解：设医用口罩和消毒液的单价分别为元/个和元/瓶， 由题意可得：， 解得：， ∴医用口罩和消毒液的单价分别为元/个和元/瓶； （2）解：由题意可得：， 整理可得：， ∵，均为正整数，且， ∴为的倍数， ∴或． 54．（24-25七年级下·江苏·期末）快乐公司决定按如图所示给出的比例，从甲、乙、丙三个工厂共购买200件同种产品A．已知这三个工厂生产的产品A的优等品率如表所示． 甲 乙 丙 优等品率 80％ 85％ 90％ (1)快乐公司从甲厂购买______件产品A； (2)快乐公司购买的200件产品A中优等品有_______件； (3)根据市场发展的需要，快乐公司准备通过调整从三个工厂所购买的产品A的比例，提高所购买的200件产品A中的优等品的数量．若从甲厂购买产品A的比例保持不变，那么应从乙、丙两工厂各购买多少件产品A，才能使所购买的200件产品A中优等品的数量为174件． 【答案】(1)50 (2)171 (3)应从乙工厂购买20件产品A，应从丙工厂购买130件产品A，才使所购买的200件产品A中优等品的数量为174件． 【分析】本题主要考查了扇形统计图、百分比的应用、二元一次方程组的应用等知识点，能够从扇形统计图和表格中获得正确信息是解题的关键． （1）结合扇形统计图，得快乐公司从甲厂购买产品A的件数是件，据此即可解答； （2）根据扇形统计图分别求得甲、乙、丙三个工厂购买产品A的件数，再进一步根据这三个工厂生产的产品A的优等品率进行计算即可； （3）设应从乙、丙两工厂各购买x件、y件产品A，才能使所购买的200件产品A中优等品的数量为174件．联立解方程组即可． 【详解】（1）解：快乐公司从甲厂购买产品A的数量为（件）． 故答案为：50． （2）解（件）． 答：快乐公司购买的200件产品A中优等品有171件． 故答案为：171． （3）解：设应从乙、丙两工厂各购买x件、y件产品A，才能使所购买的200件产品A中优等品的数量为174件． 根据题意，得： ，解得：． 答：应从乙工厂购买20件产品A，应从丙工厂购买130件产品A，才使所购买的200件产品A中优等品的数量为174件． 题型十九 和差倍分问题（共3小题） 55．（24-25七年级下·江苏·期中）某家具厂计划生产一批方桌（一张方桌有1个桌面，4条桌腿），按照设计要求，的木材可做50个桌面或300条桌腿．如果现有的木材． (1)怎样分配生产桌面和桌腿使用的木材，使桌面、桌腿刚好配套？ (2)这些木材最多能生产多少张方桌？ 【答案】(1)用的木材做桌面，的木材做桌腿 (2)300张 【分析】此题考查了二元一次方程组的实际应用，正确理解题意中的配套关系：桌腿的数量是桌面数量的4倍是解题的关键． （1）设有的木材生产桌面，的木材生产桌腿，根据配套关系列二元一次方程组解答． （2）在（1）问的分配方案下，桌面和桌腿恰好配套，木材得到最充分的利用，此时生产的方桌数量即为最多，然后根据的木材可做50个桌面求解即可． 【详解】（1）设有的木材生产桌面，的木材生产桌腿， 根据题意，得， 解得 故用的木材做桌面，的木材做桌腿． （2）由（1）可知，当用的木材生产桌面时，生产的桌面和桌腿刚好配套，此时能生产的方桌数量最多。 最多能生产的方桌为（张）， 所以这些木材最多可做方桌300张． 56．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）某校准备成立校足球队，现计划购进一批甲、乙两种型号的足球，已知3个甲种型号足球的价格与2个乙种型号足球的价格之和为900元；如果购买5个甲种型号足球和4个乙种型号足球，一共需花费1600元． (1)求每个甲种型号足球和每个乙种型号足球的价格分别是多少元？ (2)学校计划购买甲、乙两种型号的足球共28个，其中甲种型号足球的个数不少于乙种型号足球的个数，并且学校购买甲、乙两种型号足球的预算资金不超过5000元，求该学校共有几种购买方案？ (3)在（2）的条件下，哪种方案最便宜？ 【答案】(1)每个甲种型号足球的价格是200元，每个乙种型号足球的价格是150元 (2)该学校共有3种购买方案 (3)购买甲种型号足球14个，购买乙种型号足球个，最便宜 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，有理数四则运算的实际应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设每个甲种型号足球的价格是x元，每个乙种型号足球的价格是y元，根据“3个甲种型号足球的价格与2个乙种型号足球的价格之和为900元；如果购买5个甲种型号足球和4个乙种型号足球，一共需花费1600元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买甲种型号足球m个，则购买乙种型号足球个，根据甲种型号足球的个数不少于乙种型号足球的个数且学校购买甲、乙两种型号足球的预算资金不超过5000元，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整数，即可得出购买方案的个数． （3）根据（2）中方案列式计算比较即可． 【详解】（1）解：设每个甲种型号足球的价格是x元，每个乙种型号足球的价格是y元， 依题意，得：， 解得：． 答：每个甲种型号足球的价格是200元，每个乙种型号足球的价格是150元． （2）解：设购买甲种型号足球m个，则购买乙种型号足球个， 依题意，得：， 解得：． 又∵m为整数， ∴m的值为14，15，16， 答：该学校共有3种购买方案． （3）解：由（2）知： 当购买甲种型号足球14个时，购买乙种型号足球（个），则（元）； 当购买甲种型号足球15个时，购买乙种型号足球（个），则（元）； 当购买甲种型号足球16个时，，购买乙种型号足球（个），则（元）； ， 购买甲种型号足球14个，购买乙种型号足球个，最便宜． 57．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）某公司后勤部准备去超市采购牛奶和咖啡若干箱，现有两种不同的购买方案，如下表： 牛奶（箱 咖啡（箱 金额（元 方案一 20 10 1100 方案二 30 15 __________ (1)采购人员不慎将污渍弄到表格上，根据表中的数据，判断污渍盖住地方对应金额是 __元； (2)若后勤部购买牛奶25箱，咖啡20箱，则需支付金额1750元； ①求牛奶与咖啡每箱分别为多少元？ ②超市中该款咖啡和牛奶有部分因保质期临近，进行打六折的促销活动，后勤部根据需要选择原价或打折的咖啡和牛奶，此次采购共花费了1200元，其中购买打折的牛奶箱数是所有牛奶、咖啡的总箱数的，则此次按原价采购的咖啡有 箱（直接写出答案）． 【答案】(1)1650 (2)①牛奶与咖啡每箱分别为30元、50元；②6 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，二元一次方程的实际应用： （1）设牛奶一箱元，咖啡一箱元，由题意得：，再由，即可求解； （2）①设牛奶一箱元，咖啡一箱元，由题意列出方程组，求解即可；②设牛奶与咖啡总箱数为箱，则打折的牛奶箱数为箱，设原价咖啡为箱，则打折咖啡与原价牛奶共有箱，由题意列出方程，求出正整数解即可． 【详解】（1）解：设牛奶一箱元，咖啡一箱元， 由题意得：， （元）， 故答案为：1650； （2）解：①①设牛奶一箱元，咖啡一箱元， 由题意得：， 解得：， 答：牛奶与咖啡每箱分别为30元、50元； ②设牛奶与咖啡总箱数为，则打折的牛奶箱数为箱， 打折牛奶价格为：（元，打折咖啡价格为：（元）， 即打折咖啡价格与牛奶原价相同， 设原价咖啡为箱，则打折咖啡与原价牛奶共有箱， 由题意得：， 整理得：， ∴ 、均为正整数， ∴是正整数， ∴a必须是20的倍数， ，或， ， ，， 即此次按原价采购的咖啡有6箱， 故答案为：6． 题型二十 几何问题（共3小题） 58．（24-25七年级下·江苏镇江·期末）如图，在长方形中放置9个形状、大小都相同的小长方形（尺寸如图） (1)求图中9个形状、大小都相同的小长方形的长与宽； (2)求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)小长方形的长为10，宽为3 (2)82 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用； （1）设小长方形的长为，宽为，结合图形性质建立方程组解题即可； （2）利用割补法可得阴影部分的面积等于大的长方形面积减去9个形状、大小都相同的小长方形面积，进一步列式计算即可. 【详解】（1）解：设小长方形的长为，宽为， 根据题意得，解得， 答：小长方形的长为10，宽为3. （2）解：． 59．（24-25七年级下·江苏淮安·月考）阅读材料： 小明是个爱动脑筋的学生，他在学习了二元一次方程组后遇到了这样一道题目：现有8个大小相同的长方形，可拼成如图1、2所示的图形，在拼图②时，中间留下了一个边长为1的小正方形，求每个小长方形的面积． 小明设小长方形的长为x，宽为y，观察图形得出关于x、y的二元一次方程组，解出x、y的值，再根据长方形的面积公式得出每个小长方形的面积． 解决问题： (1)请按照小明的思路完成上述问题：求出每个小长方形的面积； (2)某周末上午，小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图3所示．若小明把13个纸杯整齐叠放在一起，此时高度是 ； (3)小明进行自主拓展学习时遇到了以下这道题目：如图，长方形中放置8个形状、大小都相同的小长方形（尺寸如图4），求图中阴影部分的面积，请给出解答过程． 【答案】(1)15 (2)20 (3)64 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． （1）设小长方形的长为x，宽为y，观察图形即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出x、y的值，再根据长方形的面积公式即可得出每个小长方形的面积； （2）设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高，单独一个纸杯的高度为，根据图示数据列二元一次方程组，求出a，b的值，即可求解； （3）设小长方形的长为x，宽为y，根据长方形的长为19，宽的两种不同表达方式列出方程组求出小长方形的长和宽，进一步求出图中阴影部分的面积． 【详解】（1）解：由题意得， 解得， 每个小长方形的面积为：； （2）解：设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高，单独一个纸杯的高度为， 根据题意，得， 解得， 则13个纸杯整齐叠放在一起的高度为：， 故答案为：20； （3）解：设小长方形的长为x，宽为y， 根据题意得， 解得， ∴阴影部分的面积为：． 60．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）我们已经知道，通过不同方式计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如，利用图①可得：．基于此，请解答下列问题： 【知识生成】 （1）如图②，用4个完全相同的长方形（它的长为，宽为）围成一个正方形，用两种不同的方式表示图中阴影部分的面积．由此，可得到等式：______； 【类比应用】 （2）已知长方形的周长为6，面积为1，设该长方形的长为，宽为，求的值． 【知识迁移】 （3）如图③所示，某校计划在一块面积为的长方形空地中划出长方形和长方形，在这两个长方形重叠部分的区域建一个长方形水池（其中，），并将长方形和长方形两个区域建为花园，且这两个花园的总周长为，求和的长． 【答案】（1）；（2）；（3）和的长分别为 、． 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式及其变形是解题关键． （1）直接计算阴影部分的面积或由大正方形面积减去小正方形面积即可得出结论， （2）利用完全平方公式变形求解即可； （3）设，，根据长方形面积可得，根据长方形和长方形两个区域建为花园，且这两个花园的总周长为，可得，再模仿（2）求出，联立方程即可求解． 【详解】（1）解：， （2）依题意得：，， ， ， ∵ ， （3）设，， 由题意可知： ，即， ∴， 又∵， ∴， 联立可得：， 解得， 答：和的长分别为 、． 题型二十一 图表信息题（共3小题） 61．（25-26七年级上·江苏淮安·月考）为迎接新年，淮安市文通中学举办了迎新年猜灯谜活动．共设20道谜题，各题分值相同，李华和张飞报名参加了活动，对每个谜题都进行了作答，下表记录了他们的得分情况． 参加者 答对题数 答错题数 得分 李华 20 0 100 张飞 14 6 64 (1)请你根据表格数据求出答对一道题得几分，答错一道题扣几分？ (2)参加活动的刘羽同学说他得了76分，请问他答对了几道题？答错了几道题？ (3)晓飞同学说他可以得79分，你认为可能吗？请说明理由． 【答案】(1)答对一道题得5分，答错一道题扣1分 (2)刘羽同学答对了16道题，答错了4道题 (3)不可能，理由见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组以及一元一次方程的实际应用，准确理解题意建立方程组或方程是解题的关键． （1）设答对一道题得x分，答错一道题扣y分，建立方程组，解方程组即可； （2）设刘羽同学答对了a道题，答错了道题，根据题意建立方程，解方程即可； （3）假设晓飞同学可以得79分，且他答对了b道题，则晓飞同学答错了道题，根据题意建立方程，解得不符题意，故假设不成立，晓飞同学不可能得79分． 【详解】（1）解：设答对一道题得x分，答错一道题扣y分， 由题意得， 由①得， 将③代入②得， 解得， ∴原方程组的解为， 答：答对一道题得5分，答错一道题扣1分． （2）解：设刘羽同学答对了a道题，答错了道题， 由题意得， 化简得， 解得， ∴ 答：刘羽同学答对了16道题，答错了4道题． （3）解：假设晓飞同学可以得79分，且他答对了b道题，则晓飞同学答错了道题， 由题意得， 化简得， 解得， ∵b应为整数， ∴不符题意， ∴假设不成立，即晓飞同学不可能得79分． 62．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）综合与实践：七年级某学习小组围绕“学校膳食结构”开展主题学习活动．他们发现学校为学生提供的每份早餐包含一份的蔬菜，一份牛肉和一份牛奶．（食物的营养成分见表一）学校每天为学生提供的午餐有两种套餐（见表二），为了平衡膳食，该小组建议学生控制主食和肉类的摄入量，每周每位学生午餐主食的摄入量不超过，午餐肉类摄入量不超过．（一周按五天计算） (1)若一份早餐包含一份的蔬菜，一份的牛肉和一份的牛奶，则该份早餐中蛋白质总含量为_________； (2)学校为学生提供的每份早餐的总质量为，每份早餐的蛋白质总含量占早餐总质量的，则每份早餐中牛肉和牛奶食品各多少克； (3)为平衡膳食，每个学生每周午餐可以选择A，B套餐各几天？ 表一：食物的营养成分表 食物 蛋白质 碳水化合物 脂肪 蔬菜 牛肉 牛奶 表二：学校每天提供的，两种套餐 套餐 主食 肉类 其他 A B 【答案】(1) (2)每份早餐中牛肉为100克，牛奶食品为250克 (3)选择A套餐2天，B套餐3天，或选择A套餐3天，B套餐2天，或选择A套餐4天，B套餐1天 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、不等式组的应用，理解题意正确列出方程组和不等式组是解题的关键． （1）分别用蔬菜、牛肉、牛奶的质量乘以对应的蛋白质含量占比，再相加即可求解； （2）设每份早餐中牛肉为克，牛奶食品为克，根据题意列出方程组，求出的值即可解答； （3）设每个学生每周午餐可以选择A套餐天，则选择B套餐天，根据题意列出不等式组，求出的范围，结合是整数，即可解答． 【详解】（1）解：， ∴该份早餐中蛋白质总含量为； 故答案为：； （2）解：设每份早餐中牛肉为克，牛奶食品为克， 由题意得，， 解得：， 答：每份早餐中牛肉为100克，牛奶食品为250克； （3）解：设每个学生每周午餐可以选择A套餐天，则选择B套餐天， 由题意得，， 解得：， ∵是整数， ∴， 当时，， 当时，， 当时，， ∴每个学生每周午餐可以选择A套餐2天，B套餐3天，或选择A套餐3天，B套餐2天，或选择A套餐4天，B套餐1天． 63．（24-25七年级上·安徽安庆·月考）为响应国家节能减排的号召，鼓励居民节约用电，各省市先后出台了“阶梯价格”制度，即每月用电量在一档的部分按元/度收费，超出一档的部分按b元/度收费，超出二档的部分按元/度收费，具体收费标准如下表所示： 阶梯 电量（单位：度） 电费价格 一档 元度 二档 元度 三档 元度 (1)已知小明家5月份用电度，缴纳电费元，6月份用电度，缴纳电费元，请你根据以上数据，求出表格中的a，b的值． (2)7月份开始用电增多，小明家缴纳电费元，求小明家7月份的用电量． 【答案】(1)a的值为，b的值为 (2)度 【分析】（1）根据“小明家5月份用电度，缴纳电费元，6月份用电度，缴纳电费元”，即可得出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设小明家7月份用电量为x度，根据7月份小明家缴纳电费元，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：依题意得：， 解得：． 答：a的值为，b的值为． （2）解：若一个月用电量为度，电费为（元）， ∵， ∴小明家7月份用电量超过度． 设小明家7月份用电量为x度， 依题意得：， 解得：． 答：小明家7月份的用电量为度． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． 题型二十二 古代问题（共3小题） 64．（24-25七年级下·江苏扬州·月考）请你阅读下面的诗句：“栖树一群鸦，鸦树不知数，五只栖一树，四只没去处；六只栖一树，闲了三棵树，请你仔细数，鸦树各几何？”假设树有棵，鸦有只，根据题意，以下方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，根据“五只栖一树，四只没去处；六只栖一树，闲了三棵树”，即可列出关于，的二元一次方程组．正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【详解】解：设树有棵，鸦有只， 根据题意得，． 故选：A． 65．（24-25七年级下·江苏扬州·月考）古代劳动人民在实际生活中有这样一个问题：“耠子耧六十三，百根腿地里钻，两者各几何？”其大意为：耠子和耧共有63个，共有100条腿，问有多少个耠子，多少个耧？（耠子有一条腿，耧有两条腿）设耠子有x个，耧有y个，则可列出关于x，y的二元一次方程组为________． 【答案】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，设耠子有x个，耧有y个，根据耠子和耧共有63个，共有100条腿，再列方程组即可. 【详解】解：设耠子有x个，耧有y个， 根据题意可得： ， 故答案为：． 66．（24-25七年级下·江苏常州·期末）我国明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托，问索、竿各长几何？”译文为：“有一根竿和一条绳，若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺，问绳和竿各有多长？”请你用二元一次方程组解决该问题． 【答案】绳长尺，竿长尺 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．根据“若用绳去量竿，则绳比竿长尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短尺”，即可列出关于，的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：设绳长尺，竿长尺， 根据题意得： 解得： 答：绳长尺，竿长尺． 题型二十三 其他问题（共3小题） 67．（25-26七年级上·江苏淮安·月考）如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为，流速为，开水的温度为，流速为． 物理常识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，即温水的体积温水升高的温度开水的体积开水降低的温度 (1)用空杯先接温水，再接开水，接完后杯中共有水_____，水温为_____； (2)某学生先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯温度为的水（不计热损失），求该学生分别接温水和开水的时间． 【答案】(1)200；51 (2)学生接温水时间为；接开水的时间为 【分析】本题主要考查了一元一次方程，二元一次方程组的实际应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程或方程组． （1）分别求出温水和开水的体积，再根据温水的体积×温水升高的温度=开水的体积×开水降低的温度列方程即可求解； （2）设该学生分别接温水和开水的时间分别为，根据开水和温水的体积和为温度，混合温度为列出方程组求解即可． 【详解】（1）解：温水的体积为，开水的体积， 则接完后杯中共有水， 设接完后杯中水温为，则， 解得， 即接完后杯中水温为； （2）设该学生分别接温水和开水的时间分别为， 由题意得， 解得， 答：学生接温水的时间为，接开水的时间为． 68．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）某商场为迎接即将到来的“5·18”优惠节，采购了若干辆购物车．如图1为叠放的购物车，如图2为购物车叠放在一起的示意图，若一辆购物车的篮筐车身长（不包括推车手柄），每增加一辆购物车，车身增加（即为一个购物车推车手柄的宽度）． (1)已知10辆购物车叠放在一起的总长度是3米，若平均分成两列叠放的购物车，每列长度为2米，求一辆购物车的总长度为多少米？ (2)已知该商场的手扶电梯长为，且一次可以运输两列购物车，求该手扶电梯一次性最多可以运输多少辆购物车？ 【答案】(1)1.2米 (2)52辆 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．熟练掌握一辆购物车的车长与车身长和手柄的宽度的关系，叠放在一起时，每增加一辆购物车，车身增加一个手柄的宽度，是解题的关键． （1）根据一辆购物车的篮筐车身长（不包括推车手柄），每增加一辆购物车，车身增加，10辆购物车叠放在一起的总长度是3米，若平均分成两列叠放的购物车，每列长度为2米，列方程组解答； （2）减去篮筐车身长的差除以推车手柄的宽度，得一列手推车辆数，乘2即得手扶电梯一次性最多可以运输购物车辆数． 【详解】（1）解：， 解得． （米）． 答：一辆购物车的总长度为1.2米． （2）解：（辆）， （辆）． 答：该手扶电梯一次性最多可以运输52辆购物车． 69．（24-25七年级下·江苏常州·期末）如图为常州奥林匹克体育中心停车场收费标准（收费期间，不满15分钟部分按15分钟计算），本题中涉及的车辆均为非新能源车辆和非公（任）务车辆，且不享受图中的“收费优惠”．例如，一辆小型车和一辆大型车均连续停车3小时23分钟，则停车费分别为4元和8元． (1)一辆小型车连续停车5小时，则停车费为 元；一辆大型车连续停车5小时，则停车费为 元； (2)现一团队有小型车与大型车共6辆，同时连续停车5小时后共收费70元，求小型车与大型车各有多少辆？ (3)若一天中一辆小型车连续停车时间为小时，且停车费为12元，则的取值范围是 ． 【答案】(1)7，14 (2)小型车2辆，大型车4辆 (3) 【分析】（1）根据停车收费标准，免费2小时，后面第1小时3元，以后每15分钟元（不满15分钟部分按15分钟计算，大型车双倍）计算即可； （2）设小型车辆，大型车辆，列方程组求解即可； （3）计算按元每15分钟的收费标准收费的时间，再加上免费停车时间和首次收费的1小时，根据24小时连续停放只收12元，即可求解． 【详解】（1）解：由表可知，小型车首1小时是3元，超过则每15分钟元（大型车双倍）， ∵一辆小型车连续停车5小时，由于前120分钟免费，因此实际收费是后面2个小时， ∴费用为（元）， ∵大型车是小型车的双倍， ∴大型车费用为14元； 故答案为：7；14． （2）设小型车辆，大型车辆，则 解这个方程组，得， 答：小型车2辆，大型车4辆． （3），，且每个小时有4个15分钟， ∴1小时收费以外的时间为小时（收费期间，不满15分钟部分按15分钟计算）， ∵， ∴，24小时连续停放只收12元， ∴． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用，不等式的应用，解题关键是理解题意，正确列出算式或方程求解． 题型二十四 二元一次方程组的新定义问题（共3小题） 70．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）对任意有理数定义运算如下：，这里是给定的数，等式右边是通常数的加法及乘法运算，如当时，．现已知所定义的新运算满足条件：． (1)求． (2)若，求． (3)若有一个不为零的数，使得对任意有理数，有，求的值． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题是新定义题，考查了定义新运算，解方程组．解题关键是根据新定义列出方程组； （1）根据新定义得出，，得出，，代入代数式，进行计算即可求解； （2）根据新定义得出，解方程组，即可求解； （3）由，得，即，得①，由，得②，，得③，解以上方程组成的方程组即可求得、、、的值． 【详解】（1）解：∵， ∴ 由①得，代入②得 ∴ ∴ ∴ （2）依题意得， 由（1）可得，代入③得， 解得： ∴ （3）解：， ， ， 有一个不为零的数使得对任意有理数， 则有①， ，②， ，③， 又，， 解得． ∴ 71．（24-25七年级下·河南南阳·期中）阅读理解： 已知，为有理数，且，若关于的一元一次方程的解为，我们就定义该方程为“和解方程”． 例如：方程的解为，因为，所以方程是“和解方程”．请根据上述定义解答下列问题： (1)方程______“和解方程”；（填“是”或“不是”） (2)已知关于的一元一次方程是“和解方程”，求的值； (3)已知关于的一元一次方程是“和解方程”，且它的解是x=b，求，的值． 【答案】(1)不是 (2)m= (3) 【分析】（1）根据定义计算判断即可； （2）根据定义列方程求出m即可； （3）根据定义列方程组求解即可． 【详解】（1）解：方程3x=-6的解为x=-2， ∵-2≠-6+3， ∴方程3x=-6不是“和解方程”， 故答案为：不是； （2）由题意得， 解得m=； （3）由题意得， 解得， ∴． 【点睛】此题考查了解一元一次方程，解二元一次方程组，正确理解题意中的定义列得方程或方程组解决问题是解题的关键． 72．（24-25七年级上·江苏苏州·月考）定义：关于的方程与方程（a、b均为不等于0的常数）称互为“反对方程”，例如：方程与方程互为“反对方程”． (1)若关于的方程与方程互为“反对方程”，则______； (2)若关于的方程与方程互为“反对方程”，求、的值； (3)若关于的方程与其“反对方程”的解都是整数，求整数的值． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】此题考查的是新定义，二元一次方程组的应用，方和的解，能够正确理解新定义是解决此题的关键． （1）根据“反对方程”的定义直接可得答案； （2）根据“反对方程”的定义建立方程组求解可得答案； （3）根据“反对方程” 与的解均为整数，可得与都为整数，由此可得答案． 【详解】（1）解：由题可知，与、均为不等于0的常数）称互为“反对方程”， 与方程互为“反对方程”， ． （2）解：将写成的形式， ∵关于的方程与方程互为“反对方程”， ∴ ∴ （3）解：的“反对方程”为， 由得，， 当，得， 与的解均为整数， 与都为整数， 也为整数， 当时，，，都为整数， 当时，，，都为整数， 的值为． $ 专题04 二元一次方程组（含应用问题） 题型1 二元一次方程的相关概念 题型13 行程问题（难点） 题型2 二元一次方程组的相关概念 题型14 工程问题 题型3 已知二元一次方程组的解求参数（常考点） 题型15 数字问题 题型4 解二元一次方程组（重点） 题型16 年龄问题 题型5 二元一次方程组的特殊解法（常考点） 题型17 分配问题（重点） 题型6 二元一次方程组的错解复原问题（常考点） 题型18 销售问题（难点） 题型7 构造二元一次方程组求解 题型19 和差倍分问题（重点） 题型8 已知二元一次方程组解的情况求参数（难点） 题型20 几何问题（难点） 题型9 方程组相同解问题（重点） 题型21 图表信息题 题型10 三元一次方程组的解与应用 题型22 古代问题（常考点） 题型11 列二元一次方程组 题型23 其他问题 题型12 方案问题（难点） 题型24 二元一次方程组的新定义问题（难点） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 二元一次方程的相关概念（共3小题） 1．（24-25七年级下·江苏常州·月考）下列各方程中，是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·江苏·期中）已知是关于x，y的二元一次方程，则（    ） A．1 B． C． D．2 3．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）已知是关于x、y的二元一次方程的一个解，则的值是（   ） A．1 B． C． D．2 题型二 二元一次方程组的相关概念（共3小题） 4．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）下列方程组是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）已知一个二元一次方程组的解是，则这个方程组可以是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·江苏徐州·期末）观察所给的4个方程组：①；②；③；④，其中，符合二元一次方程组定义的是______（写出所有正确的序号）． 题型三 已知二元一次方程组的解求参数（共3小题） 7．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）已知是关于，的二元一次方程的解，则的值是（    ） A．3 B．-3 C．2 D．-2 8．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）若是关于的二元一次方程的解，则的值为______． 9．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）已知关于x，y的二元一次方程组的解也是方程的解，求m的值． 题型四 解二元一次方程组（共3小题） 10．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）解二元一次方程组： (1) (2) 11．（24-25八年级上·江苏南通·月考）解方程： (1) (2) 12．（24-25七年级下·江苏南通·月考）解方程组： (1)； (2)． 题型五 二元一次方程组的特殊解法（共3小题） 13．（24-25八年级下·江苏无锡·月考）如果关于未知数x和y的二元一次方程组的解满足：．那么关于未知数和的二元一次方程组的解满足（　　） A． B． C． D． 14．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）已知关于的二元一次方程组的解为，若满足二元一次方程组则的值为_____． 15．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，我们通常把未知数或变数称为元．所谓换元法，就是解题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使得复杂问题简单化．换元的实质是转化，关键是构造元和设元． 例如解方程组，令，．原方程组化为，解得，把代入，，得，解得．原方程组的解为． (1)解方程组． (2)解方程组 (3)已知关于x、y的方程组的解是，关于x、y的方程组的解是__________． 题型六 二元一次方程组的错解复原问题（共3小题） 16．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）两位同学在解关于、的方程组时，甲看错①中的，解得：，，乙看错②中的，解得，那么和的正确值应是（   ） A．， B．， C．， D．， 17．（24-25七年级下·江苏宿迁·月考）已知方程组，甲正确地解得，而乙粗心，他把看错了，从而解得，则_____，_____． 18．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，得解为，乙看错了方程组中的，得解为． (1)甲把错看成了什么？乙把错看成了什么？ (2)求出原方程组的正确解． 题型七 构造二元一次方程组求解（共3小题） 19．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）已知关于，的二元一次方程，不论取何值，方程总有一个固定不变的解，这个解为（    ） A． B． C． D． 20．（24-25七年级下·江苏连云港·月考）在等式中，当时，；当时，，则_______， _______． 21．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）在等式中，当时，；当时，． (1)求k，b的值； (2)当时，求x的值． 题型八 已知二元一次方程组解的情况求参数（共3小题） 22．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）已知关于，的二元一次方程组（是常数），若不论取什么实数，代数式（是常数）的值始终不变，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 23．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）若方程组的解满足，则的值为______． 24．（24-25七年级下·江苏连云港·期末）已知关于x，y的方程组． (1)请直接写出方程的所有非负整数解． (2)若该方程组的解也满足方程，求m的值． 题型九 方程组相同解问题（共3小题） 25．（25-26七年级下·江苏苏州·月考）已知方程组和有相同的解，求a、b的值． 26．（24-25七年级下·全国·期中）关于x，y的方程组与方程组有相同的解，求的值． 27．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）关于，的方程组与有相同的解，求，的值． 题型十 三元一次方程组的解与应用（共3小题） 28．解下列三元一次方程组： (1) (2) 29．（24-25七年级下·江苏南京·期中）在等式中，当时，；当时，；当时，．求a，b，c的值． 30．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）“整体思想”是数学解题中的一种重要的思想方法．数学课上，李老师给出了一个问题，已知实数，满足，求和的值． 小天：利用消元法解方程组，得，的值后，再代入求和的值； 小红：发现两个方程相同未知数系数之间的关系，通过适当变形，整体求得代数式的值，①，②，由①﹣②可得，由可得； 李老师对两位同学的讲解进行点评，指出小红同学的思路体现了数学中“整体思想”的运用．请你参考小红同学的做法，解决下面的问题： (1)已知二元一次方程组，则 ， ； (2)请说明在关于x，y的方程组中，无论为何值，的值始终不变； (3)八年级（1）班开展安全教育知识竞赛需购买奖品，若买3支铅笔、5块橡皮、1本笔记本共需21元；若买4支铅笔、7块橡皮、1本笔记本共需28元，则购买10支铅笔、10块橡皮、10本笔记本共需多少元？（直接写出结果） 题型十一 列二元一次方程组（共3小题） 31．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）我国古代数学经典著作《九章算术》中有这样一题，原文是：“今有共买物，人出七，盈二；人出六，不足三．问人数、物价各几何？”本题意思是：今有人合伙购物，每人出七钱，会多二钱；每人出六钱，又差三钱．问人数、货物总价各多少？设人数为人，货物总价为钱，可列方程组为（ ） A． B． C． D． 32．（24-25七年级下·江苏常州·期末）《算法统宗》中有一道题为“隔沟计算”，其原文是：甲乙隔沟放牧，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多你一倍之上；乙说得甲九只羊，二家之数相当，两人都在暗思对方有多少只羊，甲对乙说：“我若得你9只羊，我的羊多你一倍．”乙对甲说：“我若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多．”设甲有x只羊，乙有y只羊，根据题意列出二元一次方程组为（    ） A． B． C． D． 33．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）甲、乙两人购买纪念币共100枚，若甲给乙10枚纪念币，则乙的纪念币的数量是甲的4倍，问甲、乙原来各有多少枚纪念币？设甲原有x枚纪念币，乙原有y枚纪念币，则可列方程组为________． 题型十二 方案问题（共3小题） 34．（24-25七年级下·江苏南通·期中）因道路建设需要开挖土方，计划每小时挖掘土方，现决定向租赁公司同时租用甲，乙两种型号的挖掘机来完成这项工作，租赁公司提供的挖掘机有关信息如表： 租金（单位：元/台时） 挖掘量（单位：/台时） 甲型挖掘机 100元 乙型挖掘机 120元 (1)若租用甲、乙两种型号的挖掘机共8台，恰好完成每小时的挖掘量，求甲、乙两种挖掘机各需多少台？ (2)如果每小时支付的租金不超过870元，又恰好完成每小时的挖掘量，求有几种不同的租用方案？ 35．（24-25七年级下·江苏镇江·期中）2023年苏迪曼杯世界羽毛球混合团体锦标赛于5月14日至5月21日在苏州奥体中心举行．决赛中，中国队以战胜韩国队，完成三连冠壮举，历史上第13次登顶．5月15日该项赛事的小组赛票价如下： 2023年道达尔能源苏迪曼杯世界羽毛球混合团体锦标赛 2023 票价总览图 小组赛 日期 时间 ￥380 ￥180 ￥80 ￥480 ￥280 ￥180 (1)若购买场次的类门票和类门票共7张，总票价为1860元，、两类门票各买了多少张？ (2)已知购买场次的类门票和类门票各若干张，共花费1620元，有哪些购买方案？ 36．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）某校欲购置规格分别为和的甲、乙两种免洗手消毒液若干瓶，已知购买3瓶甲和2瓶乙免洗手消毒液需要104元，购买2瓶甲和3瓶乙免洗手消毒液需要111元． (1)求甲、乙两种免洗手消毒液的单价． (2)该校购买散装免洗手消毒液进行分装，现需将的散装免洗手消毒液全部装入最大容量分别为和的两种空瓶中，两种空瓶均需装，且每瓶均装满，通过计算列出所需两种空瓶数量的购买方案． 题型十三 行程问题（共3小题） 37．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）两地相距千米．小丽、小明两人骑行，小丽从地出发到地，小明从地出发到地，两人同时出发，相向而行，小时后相遇，再骑行小时，小丽剩下的路程为小明剩下路程的倍，小丽、小明骑行的平均速度分别是多少？ 38．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）小红和姐姐相距．如果她们同时出发且相向而行，那么经过两人相遇；如果她们同向而行，且姐姐比小红先出发，那么在小红出发后姐姐追上小红．小红、姐姐的平均速度分别是多少？ 39．（24-25七年级下·江苏南通·期中）苗苗同学在学习了二元一次方程组相关知识后，对汽车的轮胎磨损问题进行了探究． 根据资料显示，汽车的前轮胎比后轮胎磨损更为严重，如果只更换前轮胎，那么行驶时的安全性会下降，但是如果一起更换轮胎，汽车的维护成本将会提高．所以为了解决这个问题，我们可以定期交换前后轮胎． 某种汽车前轮胎行驶4万公里时报废，而后轮胎行驶6万公里时报废．轮胎报废的时候磨损程度为1． (1)该种汽车每行驶1万公里，前轮胎的磨损为，后轮胎的磨损为________； (2)假设该种汽车行驶x万公里之后，将前轮胎交换到了后轮的位置，然后继续行驶了y万公里后，该轮胎报废，此时轮胎的磨损程度为1．请依据上述信息，列一个关于x，y的方程； (3)当前后轮胎一起报废时，汽车的行驶里程是多少万公里？ 题型十四 工程问题（共3小题） 40．（23-24七年级下·江苏·月考）甲、乙两个工人同时接受一批任务，上午工作的小时中，甲用了小时改装机器以提高工效，因此，上午工作结束时，甲比乙少做个零件；下午两人继续工作小时后，全天总计甲反而比乙多做个零件，问这一天甲、乙各做多少个零件？ 41．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共元，若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做天可以完成，需付费用元，问： (1)甲、乙两组工作一天，商店各应付多少钱？ (2)已知甲组单独完成需天，乙组单独完成需天，单独请哪个组，商店所需费用最少？ (3)若装修完后，商店每天可赢利元，你认为如何安排施工更有利于商店？请你帮助商店决策．（可用（1）（2）问的条件及结论） 42．巴川河是铜梁的母亲河，为打造巴川河风光带，现有一段长为米的河道整治任务由、两个工程队先后接力完成；工程队每天整治米，工程队每天整治米，共用时天． (1)求、两工程队分别整治河道多少天？（用二元一次方程组解答） (2)若工程队整改一米的工费为元，工程队整改一米的工费为元，求完成整治河道时，这两工程队的工费共是多少？ 题型十五 数字问题（共3小题） 43．（24-25七年级下·江苏南京·期中）一个两位数，十位上的数与个位上的数之和是8，个位数字与十位数字交换后所得新数比原数大．求这个两位数． 44．（24-25七年级下·江苏常州·期中）有一个两位数，设它的十位数字为，个位数字为，已知十位数字与个位数字之和为8，把十位数字和个位数字互换位置后得到一个新的两位数，新的两位数比原来的两位数大18． 求原来的两位数． 45．（24-25七年级上·江苏常州·期中）若一个四位正整数满足：，我们就称该数是“平衡数”．如对于四位数3564，因为，所以3564是“平衡数”；对于四位数2356，因为，所以2356不是“平衡数”． (1)最小的“平衡数”是________，最大的：“平衡数”是__________； (2)判断7128是不是“平衡数”，并说明理由； (3)若一个“平衡数”满足千位数字与百位数字的积是12，且十位数字与个位数字的和为6，请你写出所有满足条件的“平衡数”． 题型十六 年龄问题（共3小题） 46．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）爸爸、妈妈、我、妹妹，四人今年的年龄之和是101岁，爸爸比妈妈大1岁，我比妹妹大6岁，十年前，我们一家的年龄之和是63岁，今年爸爸的年龄是（    ） A．38岁 B．39岁 C．40岁 D．41岁 47．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）一家四口人的年龄加在一起是100岁，弟弟比姐姐小8岁，父亲比母亲大2岁，十年前他们全家人年龄的和是65岁，则父亲今年的年龄为__________岁． 48．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）某学生想知道李老师的年龄，李老师说：“我像你这么大时，你才2岁，你长到我这么大时，我就35岁了．”请你算一算，今年李老师、该学生各多少岁． 题型十七 分配问题（共3小题） 49．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）甲、乙两家公司组织员工游览某景点的门票售价如下： 人数 人 人 人以上 票价 元/人 元/人 元/人 (1)若甲公司有人游览，则共付门票费______元； 若乙公司共付门票费元，则乙公司有______人游览； (2)若甲、乙两家公司共有人游览，其中甲公司不超过人，两家公司先后共付门票费元，求甲、乙两家公司游览的人数． 50．（24-25七年级下·江苏·期中）（应用意识）用如图①所示的长方形和正方形纸板作为侧面和底面，做成如图②所示的竖式与横式两种无盖的长方体纸盒． (1)若有正方形纸板1460张，长方形纸板3440张，则当竖式纸盒、横式纸盒各加工多少个时，恰好能将这些纸板全部用完？ (2)若一共使用正方形纸板80张，长方形纸板a张，全部加工成上述两种纸盒，且，请求出a所有可能的值． 51．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）某铁件加工厂用如图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图2的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器．（加工时接缝材料不计） 观察发现： 长方形铁片张数 正方形铁片张数 1个竖式无盖铁容器中 4 1 1个横式无盖铁容器中 3 2 (1)如果加工m个竖式铁容器与n个横式铁容器，则共需要长方形铁片 张，正方形铁片 张； (2)现有长方形铁片155张，正方形铁片70张，如果加工成这两种铁容器，刚好铁片全部用完，那加工的竖式铁容器、横式铁容器各有多少个？ (3)把长方体铁容器加盖可以加工成为铁盒.现用35张铁板做成长方形铁片和正方形铁片，再加工成铁盒，每张铁板的裁法有①裁3个长方形铁片；②裁4个正方形铁片；③裁1个长方形铁片和2个正方形铁片．若充分利用这些铁板加工成铁盒，最多可以加工成多少个铁盒？ 题型十八 销售问题（共3小题） 52．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）某水果销售店用1200元购进甲、乙两种新出产的水果共140千克，这两种水果的进价、售价如表所示： 进价（元/千克） 售价（元/千克） 甲种 5 7 乙种 10 15 (1)这两种水果各购进多少千克？ (2)由于乙种水果运输和售卖过程中出现了的损耗，若该水果店按售价销售完剩下的所有水果，是赚钱还是赔钱了？赚或赔了多少元？ 53．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）用二元一次方程（组）解决问题：为了防治“新型冠状病毒”，某小区准备用3500元购买医用口罩和消毒液发放给本小区住户，若医用口罩买800个，消毒液买120瓶，则钱还缺100元；若医用口罩买1000个，消毒液买100瓶，则钱恰好用完． (1)求医用口罩和消毒液的单价； (2)由于实际需要，除购买医用口罩和消毒液外，还需购买单价为6元的口罩m个．若需购买医用口罩和口罩共1000个，剩余的钱恰好可以买n瓶消毒液，若，则 ． 54．（24-25七年级下·江苏·期末）快乐公司决定按如图所示给出的比例，从甲、乙、丙三个工厂共购买200件同种产品A．已知这三个工厂生产的产品A的优等品率如表所示． 甲 乙 丙 优等品率 80％ 85％ 90％ (1)快乐公司从甲厂购买______件产品A； (2)快乐公司购买的200件产品A中优等品有_______件； (3)根据市场发展的需要，快乐公司准备通过调整从三个工厂所购买的产品A的比例，提高所购买的200件产品A中的优等品的数量．若从甲厂购买产品A的比例保持不变，那么应从乙、丙两工厂各购买多少件产品A，才能使所购买的200件产品A中优等品的数量为174件． 题型十九 和差倍分问题（共3小题） 55．（24-25七年级下·江苏·期中）某家具厂计划生产一批方桌（一张方桌有1个桌面，4条桌腿），按照设计要求，的木材可做50个桌面或300条桌腿．如果现有的木材． (1)怎样分配生产桌面和桌腿使用的木材，使桌面、桌腿刚好配套？ (2)这些木材最多能生产多少张方桌？ 56．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）某校准备成立校足球队，现计划购进一批甲、乙两种型号的足球，已知3个甲种型号足球的价格与2个乙种型号足球的价格之和为900元；如果购买5个甲种型号足球和4个乙种型号足球，一共需花费1600元． (1)求每个甲种型号足球和每个乙种型号足球的价格分别是多少元？ (2)学校计划购买甲、乙两种型号的足球共28个，其中甲种型号足球的个数不少于乙种型号足球的个数，并且学校购买甲、乙两种型号足球的预算资金不超过5000元，求该学校共有几种购买方案？ (3)在（2）的条件下，哪种方案最便宜？ 57．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）某公司后勤部准备去超市采购牛奶和咖啡若干箱，现有两种不同的购买方案，如下表： 牛奶（箱 咖啡（箱 金额（元 方案一 20 10 1100 方案二 30 15 __________ (1)采购人员不慎将污渍弄到表格上，根据表中的数据，判断污渍盖住地方对应金额是 __元； (2)若后勤部购买牛奶25箱，咖啡20箱，则需支付金额1750元； ①求牛奶与咖啡每箱分别为多少元？ ②超市中该款咖啡和牛奶有部分因保质期临近，进行打六折的促销活动，后勤部根据需要选择原价或打折的咖啡和牛奶，此次采购共花费了1200元，其中购买打折的牛奶箱数是所有牛奶、咖啡的总箱数的，则此次按原价采购的咖啡有 箱（直接写出答案）． 题型二十 几何问题（共3小题） 58．（24-25七年级下·江苏镇江·期末）如图，在长方形中放置9个形状、大小都相同的小长方形（尺寸如图） (1)求图中9个形状、大小都相同的小长方形的长与宽； (2)求图中阴影部分的面积． 59．（24-25七年级下·江苏淮安·月考）阅读材料： 小明是个爱动脑筋的学生，他在学习了二元一次方程组后遇到了这样一道题目：现有8个大小相同的长方形，可拼成如图1、2所示的图形，在拼图②时，中间留下了一个边长为1的小正方形，求每个小长方形的面积． 小明设小长方形的长为x，宽为y，观察图形得出关于x、y的二元一次方程组，解出x、y的值，再根据长方形的面积公式得出每个小长方形的面积． 解决问题： (1)请按照小明的思路完成上述问题：求出每个小长方形的面积； (2)某周末上午，小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图3所示．若小明把13个纸杯整齐叠放在一起，此时高度是 ； (3)小明进行自主拓展学习时遇到了以下这道题目：如图，长方形中放置8个形状、大小都相同的小长方形（尺寸如图4），求图中阴影部分的面积，请给出解答过程． 60．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）我们已经知道，通过不同方式计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如，利用图①可得：．基于此，请解答下列问题： 【知识生成】 （1）如图②，用4个完全相同的长方形（它的长为，宽为）围成一个正方形，用两种不同的方式表示图中阴影部分的面积．由此，可得到等式：______； 【类比应用】 （2）已知长方形的周长为6，面积为1，设该长方形的长为，宽为，求的值． 【知识迁移】 （3）如图③所示，某校计划在一块面积为的长方形空地中划出长方形和长方形，在这两个长方形重叠部分的区域建一个长方形水池（其中，），并将长方形和长方形两个区域建为花园，且这两个花园的总周长为，求和的长． 题型二十一 图表信息题（共3小题） 61．（25-26七年级上·江苏淮安·月考）为迎接新年，淮安市文通中学举办了迎新年猜灯谜活动．共设20道谜题，各题分值相同，李华和张飞报名参加了活动，对每个谜题都进行了作答，下表记录了他们的得分情况． 参加者 答对题数 答错题数 得分 李华 20 0 100 张飞 14 6 64 (1)请你根据表格数据求出答对一道题得几分，答错一道题扣几分？ (2)参加活动的刘羽同学说他得了76分，请问他答对了几道题？答错了几道题？ (3)晓飞同学说他可以得79分，你认为可能吗？请说明理由． 62．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）综合与实践：七年级某学习小组围绕“学校膳食结构”开展主题学习活动．他们发现学校为学生提供的每份早餐包含一份的蔬菜，一份牛肉和一份牛奶．（食物的营养成分见表一）学校每天为学生提供的午餐有两种套餐（见表二），为了平衡膳食，该小组建议学生控制主食和肉类的摄入量，每周每位学生午餐主食的摄入量不超过，午餐肉类摄入量不超过．（一周按五天计算） (1)若一份早餐包含一份的蔬菜，一份的牛肉和一份的牛奶，则该份早餐中蛋白质总含量为_________； (2)学校为学生提供的每份早餐的总质量为，每份早餐的蛋白质总含量占早餐总质量的，则每份早餐中牛肉和牛奶食品各多少克； (3)为平衡膳食，每个学生每周午餐可以选择A，B套餐各几天？ 表一：食物的营养成分表 食物 蛋白质 碳水化合物 脂肪 蔬菜 牛肉 牛奶 表二：学校每天提供的，两种套餐 套餐 主食 肉类 其他 A B 63．（24-25七年级上·安徽安庆·月考）为响应国家节能减排的号召，鼓励居民节约用电，各省市先后出台了“阶梯价格”制度，即每月用电量在一档的部分按元/度收费，超出一档的部分按b元/度收费，超出二档的部分按元/度收费，具体收费标准如下表所示： 阶梯 电量（单位：度） 电费价格 一档 元度 二档 元度 三档 元度 (1)已知小明家5月份用电度，缴纳电费元，6月份用电度，缴纳电费元，请你根据以上数据，求出表格中的a，b的值． (2)7月份开始用电增多，小明家缴纳电费元，求小明家7月份的用电量． 题型二十二 古代问题（共3小题） 64．（24-25七年级下·江苏扬州·月考）请你阅读下面的诗句：“栖树一群鸦，鸦树不知数，五只栖一树，四只没去处；六只栖一树，闲了三棵树，请你仔细数，鸦树各几何？”假设树有棵，鸦有只，根据题意，以下方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 65．（24-25七年级下·江苏扬州·月考）古代劳动人民在实际生活中有这样一个问题：“耠子耧六十三，百根腿地里钻，两者各几何？”其大意为：耠子和耧共有63个，共有100条腿，问有多少个耠子，多少个耧？（耠子有一条腿，耧有两条腿）设耠子有x个，耧有y个，则可列出关于x，y的二元一次方程组为________． 66．（24-25七年级下·江苏常州·期末）我国明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托，问索、竿各长几何？”译文为：“有一根竿和一条绳，若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺，问绳和竿各有多长？”请你用二元一次方程组解决该问题． 题型二十三 其他问题（共3小题） 67．（25-26七年级上·江苏淮安·月考）如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为，流速为，开水的温度为，流速为． 物理常识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，即温水的体积温水升高的温度开水的体积开水降低的温度 (1)用空杯先接温水，再接开水，接完后杯中共有水_____，水温为_____； (2)某学生先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯温度为的水（不计热损失），求该学生分别接温水和开水的时间． 68．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）某商场为迎接即将到来的“5·18”优惠节，采购了若干辆购物车．如图1为叠放的购物车，如图2为购物车叠放在一起的示意图，若一辆购物车的篮筐车身长（不包括推车手柄），每增加一辆购物车，车身增加（即为一个购物车推车手柄的宽度）． (1)已知10辆购物车叠放在一起的总长度是3米，若平均分成两列叠放的购物车，每列长度为2米，求一辆购物车的总长度为多少米？ (2)已知该商场的手扶电梯长为，且一次可以运输两列购物车，求该手扶电梯一次性最多可以运输多少辆购物车？ 69．（24-25七年级下·江苏常州·期末）如图为常州奥林匹克体育中心停车场收费标准（收费期间，不满15分钟部分按15分钟计算），本题中涉及的车辆均为非新能源车辆和非公（任）务车辆，且不享受图中的“收费优惠”．例如，一辆小型车和一辆大型车均连续停车3小时23分钟，则停车费分别为4元和8元． (1)一辆小型车连续停车5小时，则停车费为 元；一辆大型车连续停车5小时，则停车费为 元； (2)现一团队有小型车与大型车共6辆，同时连续停车5小时后共收费70元，求小型车与大型车各有多少辆？ (3)若一天中一辆小型车连续停车时间为小时，且停车费为12元，则的取值范围是 ． 题型二十四 二元一次方程组的新定义问题（共3小题） 70．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）对任意有理数定义运算如下：，这里是给定的数，等式右边是通常数的加法及乘法运算，如当时，．现已知所定义的新运算满足条件：． (1)求． (2)若，求． (3)若有一个不为零的数，使得对任意有理数，有，求的值． 71．（24-25七年级下·河南南阳·期中）阅读理解： 已知，为有理数，且，若关于的一元一次方程的解为，我们就定义该方程为“和解方程”． 例如：方程的解为，因为，所以方程是“和解方程”．请根据上述定义解答下列问题： (1)方程______“和解方程”；（填“是”或“不是”） (2)已知关于的一元一次方程是“和解方程”，求的值； (3)已知关于的一元一次方程是“和解方程”，且它的解是x=b，求，的值． 72．（24-25七年级上·江苏苏州·月考）定义：关于的方程与方程（a、b均为不等于0的常数）称互为“反对方程”，例如：方程与方程互为“反对方程”． (1)若关于的方程与方程互为“反对方程”，则______； (2)若关于的方程与方程互为“反对方程”，求、的值； (3)若关于的方程与其“反对方程”的解都是整数，求整数的值． 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $