6.3 平面向量基本定理及坐标表示（第三课时）同步练习题-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.3 平面向量基本定理及坐标表示（第三课时） 同步练习题 2025-2026学年第二学期高一数学人教A版必修第二册 训练内容：平面向量数乘运算的坐标表示 【学习目标】 1.掌握平面向量数乘运算的坐标表示.(重点) 2.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.(难点) 3.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线.(难点) 【例题精练】 【例1】已知三点，，，试求向量；的坐标． 【答案】； 【分析】根据向量线性运算的坐标表示计算即得. 【详解】，，． ， ， ， ， ． 【例2】设向量，若，则实数___________． 【答案】 【分析】根据“若，则”，解出的值； 【详解】，， 则实数， 解得， 故答案为：. 【例3】已知三点，，共线，则的值为___． 【答案】6 【分析】通过向量共线的坐标表示列出等式求解即可. 【详解】由题意：． ． 三点共线，即向量，共线， ， ． 故答案为：6 【例4】在三角形中，已知，，点在中线上，且，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由中点坐标公式直接写出点的坐标，再写出向量的坐标，由向量相等的条件即可求出的坐标． 【详解】设，则，，又由得： 坐标表示：,,，即有， ∴. 故选：． 【点评】本题考查向量的坐标表示及运算，属基本运算的考查． 【例5】如图，已知直角梯形中，，过点作于点，为的中点，用向量的方法证明： （1）； （2）三点共线. 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】先证明四边形为正方形，然后建立平面直角坐标系，分别写出各点的坐标，可得到，，即可证明结论. 【详解】以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图.令， 则，.∵，∴四边形为正方形.∴各点坐标分别为，. （1）∵，， ∴，∴，即. （2）∵为的中点，∴，∴，.∵， ∴.又∵与有公共点，∴三点共线. 【点睛】本题考查了平面向量在几何中的应用，属于基础题. 【A组基础达标】 一、单选题 1．已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因，， 则. 2．若，且，则等于（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】利用共线向量的坐标表示，求得，进而求得的值. 【详解】由题意，向量， 因为，可得，即， 所以. 故选：C. 3．已知在平面直角坐标系中，点如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由图可得各点坐标，求出，坐标，即可得答案. 【详解】由图可得， 所以，则. 故选：C 4．已知两点，，与平行且方向相反的向量可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的坐标运算得，再根据向量共线的坐标关系逐项判断即可得结论. 【详解】因为，，所以， 对于A，因为，所以与不平行，故A错误； 对于B，因为，所以与不平行，故B错误； 对于C，因为，所以与不平行，故C错误； 对于D，因为，所以与平行且方向相反，故D正确． 故选：D． 5．已知向量，则（   ） A．A、B、C三点共线     B．A、B、D三点共线 C．A、C、D三点共线 D．B、C、D三点共线 【答案】B 【分析】先利用向量坐标运算得到相应的向量，再计算向量共线所满足的关系式，看是否为0，得到结论. 【详解】A选项，由于，故不共线， 所以A、B、C三点不共线，A错误； B选项，， 由于，故共线，A、B、D三点共线，B正确； C选项，， 由于，故不共线，A、C、D三点不共线，C错误； D选项，，故不共线，B、C、D三点不共线，D错误. 故选：B 6．已知，，，若点A，B，C能构成三角形，则实数t不能取的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】若点能构成三角形，则三点不共线，即向量与不共线，计算两个向量的坐标，根据向量共线的坐标表示可得实数t不能取的值. 【详解】由题可知，，. 若点能构成三角形，则三点不共线，即向量与不共线， 所以，即，所以. 故选：C. 二、多选题 7．已知点，向量，，点P是线段AB的三等分点，则点P的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】由题意有或，根据向量的坐标运算即可求解. 【详解】由题意有或， 当时，得，所以，故A正确； 当时，得，所以，故B正确. 故选：AB. 8．已知向量，则下列向量与平行的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】求出的坐标，根据共线向量的坐标表示验证即可. 【详解】因为，所以. 若向量满足，则该向量与平行，检验易知A，D符合题意. 故选：AD. 三、填空题 9．已知向量，若，则_________． 【答案】 【详解】因为，所以， 又，所以，解得． 10．在中，点在上，且，点是的中点，若，，则____________．． 【答案】 【分析】由与，利用向量的运算法则，即可求解. 【详解】， 因为点是的中点， 所以，所以． 因为，所以． 故答案为： 四、解答题 11．设，，． (1)试用、表示； (2)若，求的值，说明此时与是同向还是反向，并求． 【答案】(1)； (2)，反向，. 【分析】（1）利用平面向量线性运算的坐标表示列式计算即得. （2）利用共线向量的坐标表示列式计算，并利用模的坐标表示计算即得. 【详解】（1）设，依题意，， 从而，解得， 所以. （2）依题意，，而，由， 得，解得，此时与反向， 所以. 12．已知为坐标原点，在中，向量，，且，，．求、、三点的坐标，并判断、、三点是否共线． 【答案】，，，、、三点共线 【分析】根据平面向量线性运算的坐标运算表示出，，，即可求出、、三点的坐标，再求出，，即可判断三点共线. 【详解】因为，，则，所以； 又，，则，所以； 又，所以； 因为，， 所以，即，又直线与直线有公共点， 所以、、三点共线. 【B组能力提升】 1．已知在平面直角坐标系xOy中，，，，，三点共线且向量与向量共线，若，则等于（    ） A． B．3 C．1 D． 【答案】D 【分析】利用方程的方法以及平面向量共线、线性运算的坐标表示进行求解. 【详解】设，向量与向量共线， 所以x＋y＝0，所以， 若， 则， 即，所以4λ－1＋3－2λ＝0，解得λ＝－1. 故A，B，C错误. 故选：D. 2．（多选）下列结论正确的是（    ） A．向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在一条直线上 B．已知直线上有，，三点，其中，，且，则点P的坐标为 C．向量，，，若A，B，C三点共线，则k的值为－2或11 D．已知平面内O，A，B，C四点，其中A，B，C三点共线，O，A，B三点不共线，且，则 【答案】BCD 【分析】A选项，根据共线向量的定义进行判断；B选项，设，由列出方程组，求出答案；C选项，根据向量加减运算法则得到，根据A，B，C三点共线，得到，列出方程，求出答案；D选项，根据A，B，C三点共线，得到存在R，使，变形后，得到，，求出答案. 【详解】对于A，向量与是共线向量，则A，B，C，D四点不一定在一条直线上，A错误； 对于B，设，由，得 ， 则,解得，B正确； 对于C，， . 因为A，B，C三点共线，所以，所以， 整理得，解得或，C正确； 对于D，∵A，B，C三点共线， ∴存在R，使， ∴， ∴， ∴，， ∴，D正确. 故选：BCD 3．已知向量a=(-2,3),b∥a,向量b的起点为A(1,2),终点B在坐标轴上,则点B的坐标为____. 【答案】(0,)或(,0) 【详解】由b∥a，可设b＝λa＝(－2λ，3λ)． 设B(x，y)，则＝(x－1，y－2)＝b. 由⇒. 又B点在坐标轴上，则1－2λ＝0或3λ＋2＝0， 所以B或. 4．如图所示，在四边形ABCD中，已知，，，，求直线AC与BD的交点P的坐标. 【答案】 【分析】设P点坐标为，由B，P，D三点共线可得,求出，再根据求出点P的坐标. 【详解】设P点坐标为，则，，， 由B，P，D三点共线可得 又∵，且与共线， ∴，解得， ∴， 所以， 所以. ∴点P的坐标为. 【点睛】本题主要考查共线向量和向量的坐标运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.3 平面向量基本定理及坐标表示（第三课时） 同步练习题 2025-2026学年第二学期高一数学人教A版必修第二册 训练内容：平面向量数乘运算的坐标表示 【学习目标】 1.掌握平面向量数乘运算的坐标表示.(重点) 2.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.(难点) 3.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线.(难点) 【例题精练】 【例1】已知三点，，，试求向量；的坐标． 【例2】设向量，若，则实数___________． 【例3】已知三点，，共线，则的值为___． 【例4】在三角形中，已知，，点在中线上，且，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【例5】如图，已知直角梯形中，，过点作于点，为的中点，用向量的方法证明： （1）； （2）三点共线. 【A组基础达标】 一、单选题 1．已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 2．若，且，则等于（    ） A． B． C．2 D． 3．已知在平面直角坐标系中，点如图所示，则（    ） A． B． C． D． 4．已知两点，，与平行且方向相反的向量可能是（   ） A． B． C． D． 5．已知向量，则（   ） A．A、B、C三点共线     B．A、B、D三点共线 C．A、C、D三点共线 D．B、C、D三点共线 6．已知，，，若点A，B，C能构成三角形，则实数t不能取的值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 7．已知点，向量，，点P是线段AB的三等分点，则点P的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 8．已知向量，则下列向量与平行的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 9．已知向量，若，则_________． 10．在中，点在上，且，点是的中点，若，，则____________．． 四、解答题 11．设，，． (1)试用、表示； (2)若，求的值，说明此时与是同向还是反向，并求． 12．已知为坐标原点，在中，向量，，且，，．求、、三点的坐标，并判断、、三点是否共线． 【B组能力提升】 1．已知在平面直角坐标系xOy中，，，，，三点共线且向量与向量共线，若，则等于（    ） A． B．3 C．1 D． 2．（多选）下列结论正确的是（    ） A．向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在一条直线上 B．已知直线上有，，三点，其中，，且，则点P的坐标为 C．向量，，，若A，B，C三点共线，则k的值为－2或11 D．已知平面内O，A，B，C四点，其中A，B，C三点共线，O，A，B三点不共线，且，则 3．已知向量a=(-2,3),b∥a,向量b的起点为A(1,2),终点B在坐标轴上,则点B的坐标为____. 4．如图所示，在四边形ABCD中，已知，，，，求直线AC与BD的交点P的坐标. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $