精品解析：山东省滕州市大坞中学2021-2022学年九年级下学期周清数学试题(第3周）

2021-2022学年度山东省滕州市大坞中学第二学期周清试题 九年级数学试题（第3周） 一、单选题 1. 已知点A是⊙O外一点，且⊙O的半径为3，则OA可能为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系，即可判断点和圆的位置关系．点到圆心的距离小于圆的半径，则点在圆内；点到圆心的距离等于圆的半径，则点在圆上；点到圆心的距离大于圆的半径，则点在圆外． 【详解】解：∵点A为⊙O外的一点，且⊙O的半径为3， ∴线段OA的长度＞3． 故选：D． 【点睛】此题考查了点和圆的位置关系与数量之间的联系：点到圆心的距离大于圆的半径，则点在圆外． 2. 如图，点A，B，C是上的三点，已知，那么的度数是（ ） A. 40° B. 45° C. 50° D. 55° 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据圆周角定理即可得出结论． 【详解】解：∵∠AOB与∠ACB是同弧所对的圆心角与圆周角，∠AOB=110°， ∴∠ACB=∠AOB=55°． 故选：D． 【点睛】本题考查了圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键． 3. 如图所示，点A、B、C都在上，且点C在弦所对的优弧上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 根据同圆中同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：C． 4. 如图，是的外接圆，已知，则的大小为（ ） A. 34° B. 28° C. 30° D. 32° 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半可得，再根据三角形内角和定理可得答案． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了圆周角定理，解题的关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 5. 如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，若∠BCD=34°，则∠ABD等于（　　） A. 66° B. 34° C. 56° D. 68° 【答案】C 【解析】 【分析】由题意根据AB为⊙O的直径，可以得出AB所对弧为半圆，可以得出∠DCB+∠ABD=90°，即可得出答案． 【详解】解：∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB=90°， ∴∠DAB+∠ABD=90°， ∵∠DAB=∠BCD=34°， ∴∠ABD=90°-34°=56°. 故选：C． 【点睛】本题主要考查圆周角定理的推论，根据已知可以得出∠DCB+∠ABD=90°是解决问题的关键． 6. 如图，在⊙O中，半径OC⟂AB于点D．已知,OC＝5，则弦AB的长为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据垂径定理可得，根据勾股定理求得，进而可得的长 【详解】解：∵OC⟂AB于点D，,OC＝5， ∴， 在中， 故选D 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键． 7. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB＝20，CD＝16，则BE的长为（ ） A. 2 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】由垂径定理可求得AB⊥CD及CE的长，再利用勾股定理可求解OE的长，进而可求解． 【详解】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AB＝20， ∴CO＝OB＝10，AB⊥CD，CE＝DE＝CD， ∵CD＝16， ∴CE＝8， 在Rt△COE中，OE＝， ∴BE＝OB﹣OE＝10﹣6＝4， 故选：B． 【点睛】本题主要考查垂径定理，勾股定理，求解OE的长是解题的关键． 8. 如图，直径为的经过原点和点，是轴右侧上一点，则的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理、勾股定理，求余弦值等知识点．在中，由勾股定理得，求得，再根据圆周角定理可得，即可求解． 【详解】解：， 是直径， 直径为， ， 点的坐标为， ， 在中，由勾股定理得：， ， 由圆周角定理得：， ， 即的余弦值为． 故选：C． 9. 如图在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，圆心坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心． 【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心， 可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心． 如图所示，则圆心是（2，0）． 故选：B． 【点睛】本题考查垂径定理的应用，解题的关键是熟知垂径定理，即“垂直于弦的直径平分弦”． 10. 如图，A、B、C是⊙O上的点，∠AOB＝130°，则∠ACB的大小为（ ）． A. 100° B. 110° C. 115° D. 125° 【答案】C 【解析】 【分析】如图，在优弧AB上取一点D，连接AD，DB．利用圆周角定理求出∠ADB，再利用圆内接四边形对角互补求解即可． 【详解】解：如图，在优弧AB上取一点D，连接AD，DB． ∵∠ADB＝∠AOB，∠AOB＝130°， ∴∠ADB＝65°， ∵∠ACB+∠ADB＝180°， ∴∠ACB＝115°， 故选：C． 【点睛】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用圆周角定理解决问题． 11. 如图，AB是的直径，点C在上，连接AC、BC，过点O作交于点D，点C、D在AB的异侧．若，则的度数是（ ） A. 66° B. 67° C. 57° D. 48° 【答案】C 【解析】 【分析】先求出，得出，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，再由圆周角定理求出的度数即可． 【详解】解：连接，如图所示： ， ， 是的直径， ， ． ， ， ， ； 故选：C． 【点睛】本题考查了圆周角定理、平行线的性质、等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握圆周角定理的内容． 12. 如图，以为直径的中，弦于点M，若．则的长为（ ） A. 5 B. 7 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】先根据垂径定理求出BM，根据勾股定理求出OM，即可求出答案． 【详解】解：∵AB⊥CD，CD为直径，AB＝24， ∴BM＝AM＝12，OD=， 在Rt△OAM中，OA＝OD＝13，AM＝12，由勾股定理得：OM＝5， 即MD＝OD−OM＝13−5＝8， 故选：C 【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理；熟练掌握垂径定理，由勾股定理求出OM是解决问题的突破口． 二、填空题 13. 如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点C的切线交AB的延长线于点D．若∠A=30°，则∠D的度数为______°． 【答案】30 【解析】 【分析】连接OC，根据切线的性质定理得到∠OCD=90°，根据三角形内角和定理求出∠D． 【详解】解：连接OC， ∵CD为⊙O的切线， ∴∠OCD=90°， 由圆周角定理得，∠COD=2∠A=60°， ∴∠D=90°-60°=30°， 故答案为：30． 【点睛】本题考查的是切线的性质，圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 14. 如图，四边形是圆内接四边形，，则的度数为________度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆的内接四边形的性质，根据圆的内接四边形的对角互补，结合已知即可求解． 【详解】解：∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 15. 如图，是的直径，弦，垂足为点，若，则的直径为__________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆中求线段长，涉及垂径定理、勾股定理、解方程等知识，连接，由垂径定理得到，设半径为，在中由勾股定理列方程求解即可得到答案，掌握圆中求线段长的方法是解决问题的关键． 【详解】解：连接，如图所示： 是的直径，弦，垂足为点，， ，， 设半径为，则，在中，，，，由勾股定理可得，即，解得， 的直径为， 故答案为：. 16. 如图，的直径，是的弦，，垂足为，，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，以及勾股定理，由于的直径，则的半径为，又已知，则可以求出，，连接，根据勾股定理和垂径定理即可求得的长度．熟练掌握垂径定理、勾股定理是解决本题的关键． 【详解】解：连接，如图所示： 的直径， 的半径为，即， 又， ， ，垂足为， ， 在中，， ， 故答案为：． 17. 如图，点A、B、C在圆上，且∠ACB＝100°，则∠________． 【答案】160°##160度 【解析】 【分析】在优弧AB上任取一点D，连接AD，BD，先由圆内接四边形的性质求出∠ADB的度数，再由圆周角定理求出∠AOB的度数即可． 【详解】解：优弧AB上任取一点D，连接AD，BD， ∵四边形ACBD内接与⊙O，∠C=100°， ∴∠ADB=180°-∠C=180°-100°=80°， ∴∠AOB=2∠ADB=2×80°=160°． 故答案为：160°． 【点睛】本题考查的是圆周角定理，即在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 18. 已知：如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC于点F，交⊙O于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连接AD，则①∠DAC＝∠DBA；②AD2﹣BC2＝AC2﹣BD2；③AP＝FP；④DF＝BF，这些结论中正确的是 ______．（请写序号） 【答案】①②③ 【解析】 【分析】①正确．根据圆周角定理得出∠DAC＝∠CBD，以及∠CBD＝∠DBA得出答案即可； ②正确．利用勾股定理证明即可； ③正确．首先得出∠ADB＝90°，再根据∠DFA+∠DAC＝∠ADE+∠PDF＝90°，且∠ADB＝90°，得出∠PDF＝∠PFD，从而得出PA＝PF； ④错误．用反例说明问题即可． 【详解】解：∵BD平分∠CBA， ∴∠CBD＝∠DBA， ∵∠DAC与∠CBD都是弧CD所对的圆周角， ∴∠DAC＝∠CBD， ∴∠DAC＝∠DBA，故①正确， ∵AB为直径， ∴∠ADB＝90°， ∵DE⊥AB于E， ∴∠DEB＝90°， ∴∠ADE+∠EDB＝∠ABD+∠EDB＝90°， ∴∠ADE＝∠ABD＝∠DAP， ∴PD＝PA， ∵∠DFA+∠DAC＝∠ADE+∠PDF＝90°，且∠ADB＝90°， ∴∠PDF＝∠PFD， ∴PD＝PF， ∴PA＝PF，故③正确， ∵AB是直径， ∴∠ADB＝∠ACB＝90°， ∴AD2+BD2＝AC2+BC2＝AB2， ∴AD2﹣BC2＝AC2﹣BD2，故②正确， 如图1中，当△ABC是等腰直角三角形时，显然DF≠BF，故④错误． 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了圆的综合，涉及了圆周角定理、勾股定理、等腰三角形的判定与性质，解答本题的关键是掌握同弧所对的圆周角相等，注意数形结合思想运用． 19. 如图，在平面直角坐标系中，⊙M经过原点，且与x轴交于点A(4，0)，与y轴交于点B，点C在第四象限的⊙M上，且∠AOC=60°，OC=3，则点B的坐标是___________． 【答案】（，）##（，） 【解析】 【分析】连接AC，AB，BC，过点C作CH⊥OA于H，利用含30度角的直角三角形的性质及勾股定理在Rt△OCH中，先后求得OH，CH，AH，再在Rt△ACH中，求得AC，在Rt△ABC中，利用勾股定理构建方程求得BC，AB，再在Rt△AOB中，利用勾股定理即可解决问题． 【详解】解：连接AC，AB，BC，过点C作CH⊥OA于H， ∵∠AOC=60°，则∠OCH=30°，且OC=3， ∴OH=OC=，CH=， ∵点A(4，0)， ∴AO=4， ∴AH= AO- OH=， 在Rt△ACH中， AC=， ∵∠BOA=90°， ∴AB为⊙M的直径， ∴∠BCA=90°， ∵∠AOC=60°， ∴∠ABC=60°，则∠BAC=30°， 在Rt△ABC中，BC=AB， AB2=AC2+BC2，即AB2=()2+(AB)2， ∴AB2=， 在Rt△AOB中，OB2=AB2- AO2=， ∴OB=， 点B的坐标是：（，）． ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 20. 如图，，，分别与⊙相切于点E、F、G三点，且，，，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先根据切线长定理得到，，平分，平分，再证明，然后利用勾股定理计算出即可． 【详解】解：，，分别与⊙相切于点E、F、G三点， ，，平分，平分， ，， ， ， ， ， ， 在中，，， ． 三、解答题 21. 如图，在等腰△ABC中，AB＝BC，以AB为直径的⊙O，分别与AC和BC相交于点D和E，连接OD． （1）求证：； （2）求证：AD＝DE． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）如图，连接 证明 再结合等腰三角形的性质可得 再结合三角形的中位线的性质可得答案； （2）连接半径OE，如图，证明∠B＝∠OEB，∠AOD＝∠B，∠OEB＝∠EOD，可得∠AOD＝∠EOD，从而可得结论. 【小问1详解】 证明：如图，连接 为的直径， 是的中位线， 【小问2详解】 证明：连接半径OE，如图， ∴OB＝OE， ∴∠B＝∠OEB， 由（1）知OD∥BC， ∴∠AOD＝∠B，∠OEB＝∠EOD， ∴∠AOD＝∠EOD， ∴AD＝DE． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，圆心角，弦，弧的关系，掌握以上基础知识是解本题的关键. 22. 如图，在△ABC中，点O为BC边上一点，⊙O经过A、B两点，与BC边交于点E，点F为BE下方半圆弧上一点，FE⊥AC，垂足为D，∠BEF＝2∠F． （1）求证：AC为⊙O切线． （2）若AB＝5，DF＝4，求⊙O半径长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接OA，根据已知条件得到∠AOE＝∠BEF，根据平行线的性质得到OA⊥AC，于是得到结论； （2）连接OF，设∠AFE＝α，则∠BEF＝2α，得到∠BAF＝∠BEF＝2α，得到∠OAF＝∠BAO＝α，求得∠AFO＝∠OAF＝α，根据全等三角形的性质得到AB＝AF＝5，由勾股定理得到AD＝，根据圆周角定理得到∠BAE＝90°，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【小问1详解】 证明：连接OA， ∴∠AOE＝2∠F， ∵∠BEF＝2∠F， ∴∠AOE＝∠BEF， ∴， ∵DF⊥AC， ∴OA⊥AC， ∴AC为⊙O切线； 【小问2详解】 解：连接OF， ∵∠BEF＝， ∴设∠AFE＝α，则∠BEF＝2α， ∴∠BAF＝∠BEF＝2α， ∵∠B＝∠AFE＝α， ∴∠BAO＝∠B＝α， ∴∠OAF＝∠BAO＝α， ∵OA＝OF， ∴∠AFO＝∠OAF＝α， ∴△ABO≌△AFO（AAS）， ∴AB＝AF＝5， ∵DF＝4， ∴AD＝， ∵BE是⊙O的直径， ∴∠BAE＝90°， ∴∠BAE＝∠FDA， ∵∠B＝∠AFD， ∴△ABE∽△DFA， ∴， ∴， ∴BE＝， ∴⊙O半径＝． 【点睛】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解本题的关键． 23. 如图，AB为⊙O的切线，B为切点，过点B作BC⊥OA，垂足为点E，交⊙O于点C，延长CO与AB的延长线交于点D． （1）求证：AC为⊙O的切线； （2）若OC＝2，OD＝5，求线段AD和AC的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）； 【解析】 【分析】（1）连接OB，证明△CAO≌△BAO（SSS），由全等三角形的性质得出∠OCA＝∠OBA．由切线的性质得出∠ABO＝90°，则∠OCA＝90°，可得出结论； （2）由勾股定理求出BD的长，设AC＝x，则AC＝AB＝x，得出方程，解方程可得出答案． 【小问1详解】 证明：连接OB，则OC＝OB，如图所示： ∵OA⊥BC， ∴EC＝BE， ∴OA是CB的垂直平分线， ∴AC＝AB， ∵在△CAO和△BAO中 ， ∴△CAO≌△BAO（SSS）， ∴∠OCA＝∠OBA． ∵AB为⊙O的切线，B为切点， ∴∠ABO＝90°， ∴∠OCA＝90°，即AC⊥OC， ∴AC是⊙O的切线． 【小问2详解】 解：∵OC＝2，OD＝5， ∴OB＝2，CD＝OC+OD＝7， ∵∠OBD＝90°， ∴BD， 设AC＝x，则AC＝AB＝x， ∵CD2+AC2＝AD2， ∴， 解得， ∴， ∴AD＝AB+BD＝AC+BD． 【点睛】本题主要考查了切线的性质与判定，三角形全等的性质与判定，勾股定理，切线长定理，熟练掌握切线的性质与判定是解题的关键． 24. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，F是AD延长线上一点，连接CD，CF，且CF是⊙O的切线． （1）求证：∠DCF＝∠CAD． （2）探究线段CF，FD，FA的数量关系并说明理由； （3）若cosB＝，AD＝2，求FD的长． 【答案】（1）证明过程见详解 （2）FC2＝FD•FA；理由见详解 （3） 【解析】 【分析】（1）根据切线的判定，连接OC，证明出OC⊥FC即可，利用直径所得的圆周角为直角，三角形的内角和以及等腰三角形的性质可得答案； （2）可证明△FCD∽△FAC，即可得出结论； （3）由cosB＝，根据锐角三角函数的意义和勾股定理可得CD：AC：AD＝3：4：5，再根据相似三角形的性质可求出答案． 【小问1详解】 证明：如图，连接OC， ∵AD是⊙O的直径， ∴∠ACD＝90°， ∴∠OCD+∠OCA＝90°， ∵FC是⊙O的切线， ∴∠DCF+∠OCD＝90°， ∴∠OCA=∠DCF， ∵OC＝OA， ∴∠CAD＝∠OCA， ∴∠DCF＝∠CAD； 【小问2详解】 解：FC2＝FD•FA，理由如下： ∵∠FCD＝∠FAC，∠F＝∠F， ∴△FCD∽△FAC， ∴， ∴FC2＝FD•FA； 【小问3详解】 解：∵∠B＝∠ADC，cosB＝， ∴cos∠ADC＝， 在Rt△ACD中， ∵cos∠ADC＝＝， ∴， 由（2）知△FCD∽△FAC， ∴， ∴FC2＝FD•FA， 设FD＝3x，则FC＝4x， 又∵FC2＝FD•FA， 即（4x）2＝3x（3x+2）， 解得x＝（取正值）， ∴FD＝6x＝． 【点睛】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，直角三角形的边角关系以及相似三角形，掌握切线的判定方法，直角三角形的边角关系以及相似三角形的性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2021-2022学年度山东省滕州市大坞中学第二学期周清试题 九年级数学试题（第3周） 一、单选题 1. 已知点A是⊙O外一点，且⊙O的半径为3，则OA可能为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 如图，点A，B，C是上的三点，已知，那么的度数是（ ） A. 40° B. 45° C. 50° D. 55° 3. 如图所示，点A、B、C都在上，且点C在弦所对的优弧上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，是的外接圆，已知，则的大小为（ ） A. 34° B. 28° C. 30° D. 32° 5. 如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，若∠BCD=34°，则∠ABD等于（　　） A. 66° B. 34° C. 56° D. 68° 6. 如图，在⊙O中，半径OC⟂AB于点D．已知,OC＝5，则弦AB的长为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB＝20，CD＝16，则BE的长为（ ） A. 2 B. 4 C. 5 D. 6 8. 如图，直径为的经过原点和点，是轴右侧上一点，则的余弦值为（ ） A. B. C. D. 9. 如图在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，圆心坐标是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，A、B、C是⊙O上的点，∠AOB＝130°，则∠ACB的大小为（ ）． A. 100° B. 110° C. 115° D. 125° 11. 如图，AB是的直径，点C在上，连接AC、BC，过点O作交于点D，点C、D在AB的异侧．若，则的度数是（ ） A. 66° B. 67° C. 57° D. 48° 12. 如图，以为直径的中，弦于点M，若．则的长为（ ） A. 5 B. 7 C. 8 D. 10 二、填空题 13. 如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点C的切线交AB的延长线于点D．若∠A=30°，则∠D的度数为______°． 14. 如图，四边形是圆内接四边形，，则的度数为________度． 15. 如图，是的直径，弦，垂足为点，若，则的直径为__________ 16. 如图，的直径，是的弦，，垂足为，，则的长为_____． 17. 如图，点A、B、C在圆上，且∠ACB＝100°，则∠________． 18. 已知：如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC于点F，交⊙O于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连接AD，则①∠DAC＝∠DBA；②AD2﹣BC2＝AC2﹣BD2；③AP＝FP；④DF＝BF，这些结论中正确的是 ______．（请写序号） 19. 如图，在平面直角坐标系中，⊙M经过原点，且与x轴交于点A(4，0)，与y轴交于点B，点C在第四象限的⊙M上，且∠AOC=60°，OC=3，则点B的坐标是___________． 20. 如图，，，分别与⊙相切于点E、F、G三点，且，，，则的长为_____． 三、解答题 21. 如图，在等腰△ABC中，AB＝BC，以AB为直径的⊙O，分别与AC和BC相交于点D和E，连接OD． （1）求证：； （2）求证：AD＝DE． 22. 如图，在△ABC中，点O为BC边上一点，⊙O经过A、B两点，与BC边交于点E，点F为BE下方半圆弧上一点，FE⊥AC，垂足为D，∠BEF＝2∠F． （1）求证：AC为⊙O切线． （2）若AB＝5，DF＝4，求⊙O半径长． 23. 如图，AB为⊙O的切线，B为切点，过点B作BC⊥OA，垂足为点E，交⊙O于点C，延长CO与AB的延长线交于点D． （1）求证：AC为⊙O的切线； （2）若OC＝2，OD＝5，求线段AD和AC的长． 24. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，F是AD延长线上一点，连接CD，CF，且CF是⊙O的切线． （1）求证：∠DCF＝∠CAD． （2）探究线段CF，FD，FA的数量关系并说明理由； （3）若cosB＝，AD＝2，求FD的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $