精品解析：第一章：直角三角形的边角关系 单元试卷 2021-2022学年山东省滕州市南沙河镇中学九年级数学下册

2021-2022学年度山东省滕州市南沙河中学下册 九年级数学单元试卷 第一章：直角三角形的边角关系 一、单选题 1. 在中，，则的值是（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理求出BC，根据正切的定义解答即可． 【详解】解：由勾股定理得，， 则， 故选：A． 【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义，锐角B的对边b与邻边a的比叫做∠B的正切． 2. 如图，平面直角坐标系中的点P的坐标为，与x轴正半轴的夹角为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如图，过作轴于由 可得 再利用勾股定理求解 结合 从而可得答案． 【详解】解：如图，过作轴于 故选： 【点睛】本题考查的是平面直角坐标系内点的坐标含义，锐角三角函数的应用，掌握构造直角三角形求解锐角三角函数是解题的关键． 3. 如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则sin∠CAB等于（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意和图形，可以得到AC、BC和AB的长，然后根据等面积法可以求得CD的长，从而可以得到sin∠CAB的值． 【详解】解：作CD⊥AB，交AB于点D， 由图可得， AC＝，BC＝2，AB＝， ∵， ∴， 解得，CD＝， ∴sin∠CAB＝， 故选：B． 【点睛】本题主要考查三角函数，构造出直角三角形是解题的关键． 4. 如图，将边长为4的菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在对角线的交点O处，若折痕，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依题意，连接AC，则两条对角线交于点O，可得△ABO为直角三角形，进证得，又ABCD是菱形，所以可得； 【详解】如解图，连接AC，则两条对角线交于点O， ∵ 点A沿EF折叠与点O重合，∴ EF垂直平分AO， ∵ ，，∴， ∴ EF是的中位线，∴ ， ∴，∴ ， ∵，∴ ， ∴ ，∴ ， ∵ 四边形ABCD是菱形，∴ AC平分，∴ ； 故选A； 【点睛】本题主要考查菱形和直角三角形的性质，关键在利用特殊角的三角函数值进行求解； 5. △ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，已知：cos∠A＝，则sin∠DCB的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设AC＝4a，则AB＝5a，由勾股定理求出BC＝3a，由直角三角形的性质得出∠A＝∠DCB，由三角函数定义即可得出答案． 【详解】解：∵cos∠A＝， ∴设AC＝4a，则AB＝5a， ∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，BC＝， ∴∠A＋∠B＝90°，∠DCB＋∠B＝90°， ∴∠A＝∠DCB， ∴sin∠DCB＝sin∠A＝； 故选：C． 【点睛】本题考查了解直角三角形、勾股定理、熟练掌握三角函数定义是解题的关键； 6. 如图，在中，，，为边上一点，且，若，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】过点A作AE⊥BC,垂足为E．根据等腰三角形的性质先求出DE，再在直角△ABE中求出BE,求BE与DE的差可得结论． 【详解】解：过点A作AE⊥BC，垂足为E． ∵AD=AC，AE⊥BC， ∴DE=CE=DC=2． 在Rt△ABE中， ∵AB=10，， 又∵， ∴BE=6． ∴BD=BE-DE=6-2=4． 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及解直角三角形，掌握等腰三角形的三线合一和直角三角形的边角间关系是解决本题的关键． 7. 等腰三角形的底边与腰的比值叫做顶角的正对函数，记为sad，例如ABC中，若AB=AC，则sadA=底÷腰；在ABC中，AB=AC，∠A=120º，则sadA的值为（ ） A. 4 B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】先根据等腰三角形的性质得出BC的长，再根据正对函数的定义求解即可． 【详解】解：如图，作AD⊥BC于 D， ∵是等腰三角形， ∴BD=DC， ∴ ∵∠A=120º ∴ 设AD=1，则AB=2，BD=， ∴BC=2， ∴sadA= =， 故选C 【点睛】本题考查了等腰三角形顶角的正对函数，正确理解新定义是关键． 8. 在中，，若，，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据设AC=5k，AB=13k，利用勾股定理求得k值即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， 设AC=5k，AB=13k， 由勾股定理得：（5k）2+122=(13k)2， 解得：k=1，即AC=5cm， 故选：C． 【点睛】本题考查了锐角三角函数、勾股定理，熟知锐角三角函数的定义，巧妙设参求解是解答的关键． 9. 如图，矩形ABCD的四个顶点分别在直线上．若直线且间距相等，AB =5，BC =3，则tan α的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，可以得到BG的长，再根据∠ABG=90°，AB=5，可以得到∠BAG的正切值，再根据平行线的性质，可以得到∠BAG=∠α，从而可以得到tanα的值． 【详解】解：作CF⊥ 于点F，交 于点E，设CB交于点G， 由已知可得, GE∥BF，CE=EF， ∴△CEG∽△CFB， ∴ ,∵ ∴ ∵BC=3, ∴GB= ∵ ∥ ∴∠α=∠GAB， ∵四边形ABCD是矩形，AB=5， ∴∠ABG=90°， ∴tan∠BAG== ． ∴tanα的值为． 故选:A． 【点睛】本题考查矩形的性质,解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 10. 如图所示，河堤横断面迎水坡的坡角是30°，堤高，则坡面的长度是 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用坡角的度数结合锐角三角函数求出答案． 【详解】解：∵河堤横断面迎水坡AB的坡角是30°，堤高， ∴sin30°=， ∴AB==． 故选：B． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用——坡度坡角问题，属于基础题，掌握三角函数的定义是解答本题的关键． 11. 如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=6cm，AB=8cm，把AB边翻折，使AB边落在BC边上，点A落在点E处，折痕为BD，则tan∠DBE的值为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由勾股定理求得BC＝10，然后由翻折的性质可知CE=2，设AD=x，则DE=x，CD=6-x，在Rt△DCE中，利用勾股定理可求得DE的长，从而可求得tan∠DBE的值． 【详解】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：， 由翻折的性质可知：AB=BE=8，AD=ED，∠DEB=∠DAB=90°， ∴CE＝2，∠DEC＝90°， 设DE=AD=x，则CD=6-x， 在Rt△DCE中，由勾股定理得: ，即， 解得：， ∴， tan∠DBE=， 故选：A． 【点睛】本题考查翻折的性质、勾股定理、锐角三角函数，Rt△DCE中，由勾股定理得到关于x的方程是解题的关键． 12. 高铁沙坪坝站双子塔为国内首例在高铁站上实施商业开发的综合体．如图，小南在与塔底同一高度的地面处测得塔顶的仰角为．接下来，他沿一条坡比为1:2.4的斜坡行进了156米后，在处测得塔顶的仰角为，点在同一平面内，则小南测得的双子塔的高度约为（ ）米．（参考数据：，，） A. 193 B. 196 C. 201 D. 206 【答案】B 【解析】 【分析】过点D作于E，于 F，连接AC，则，得到四边形 DEBF是矩形，求出DF，进而求出BC的高度． 【详解】分别过点D作于E，于 F，连接AC，如图所示： 则， ∴四边形DEBF是矩形， ∴， ∵斜坡AD的坡比为1:2.4， ∴， 设， 在中，，即 ， 解得，(舍去)， ∴(米)，(米)， ∴(米)， (米)， ∵， ∴， ∴， ∴(米)， 在，， ∴， 解得，(米)， ∴(米)， ∴(米)， 故选：B． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解题的关键是能根据题意，结合图形利用三角函数解直角三角形． 二、填空题 13. 已知α为锐角，且sin(α23°)，则α等于_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数值计算． 【详解】解：∵sin30°=， ∴a-23°=30°， ∴a=53°． 故答案为：53°． 【点睛】本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主． 14. 如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度，飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为和，若飞机离地面的高度为2400米，且点H，A，B在同一水平直线上，则这条江的宽度为_______米（结果保留根号）． 【答案】 【解析】 【分析】由题意易得，然后根据及三角函数可求解． 【详解】解：由题意可得：， ∵，， ∴， ∴； 故答案为． 【点睛】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． 15. 如图，在中，高与中线相交于点，，，则________． 【答案】2 【解析】 【分析】如图作EH⊥BC于H．首先证明∠ECH＝30°，再求出EH，BH即可解决问题． 【详解】解：如图作EH⊥BC于H． ∵EH⊥BC，AD⊥BC， ∴EH∥AD， ∵AE＝EB， ∴BH＝DH， ∴EH＝AD＝3， ∵EC＝AD， ∴EH＝EC， ∴∠ECH＝30°， ∴CD＝＝， ∵DF∥EH， ∴＝， ∴＝， ∴CH＝3， ∴DH＝BH＝2， 在Rt△BEH中，BE＝＝＝， ∴AB＝2BE＝2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查解直角三角形，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 16. 某长江大桥采用低塔斜拉桥桥型（如甲图），图乙是从图甲引申出的平面图，假设你站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是30°，拉索BD与水平桥面的夹角是60°，两拉索底端距离AD＝20米，则立柱BC的高为_______米．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】先证明AD=BD=20米，在利用正弦函数解Rt△BDC即可求出BC． 【详解】解：∵∠BDC=60°，∠A=30°， ∴∠ABD=∠BDC-∠A=30°， ∴∠A=∠ABD， ∴AD=BD=20米， ∵∠C=90°， ∴BC=米． 故答案为： 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的知识是解题关键． 17. 如图，有一个小山坡，坡比．已知小山坡的水平距离，则小山坡的高度是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据坡比的定义直接列比例式求解即可． 【详解】解：∵坡比，， ∴，即， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题关键是理解坡比的意义，准确列出比例式． 18. 菱形的边长为6，，菱形的高交对角线于点，则线段的长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】由四边形ABCD为菱形，可得AD=6，∠ADC=∠ABC=60°，由BD为对角线，可证BD平分∠ADC，可得∠ADN=∠ADC=30°，可证AM⊥AD，由三角函数可求ND=或即可． 【详解】解：∵四边形ABCD为菱形， ∴AD=6，∠ADC=∠ABC=60°， ∵BD为对角线， ∴BD平分∠ADC， ∴∠ADN=∠CDB=∠ADC=30°， 当AM⊥BC时 ∵AD∥BC， ∴AM⊥AD， 在Rt△AND中，AD=6，∠ADN=30°， ∴AD=ND×cos30°， ∴ND=． 当AM⊥AD时，连结AC， ∵AD=CD，∠ADC=60°， ∴△ADC为等边三角形 ∵AM⊥DC， ∴DM=CM=3 在Rt△MND中，MD=3，∠MDN=30°， ∴MD=ND×cos30°， ∴ND=． 故答案为：或． 【点睛】本题考查菱形的性质，锐角三角函数，掌握菱形的性质，锐角三角函数是解题关键． 19. 如图，在△ABC中，∠B＝90°，AC的垂直平分线交BC于点E、交AC于点D，若BE＝DE，DC＝3，则AE的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EC，根据角平分线的判定定理得到∠EAC＝∠BAE，得到∠EAC＝∠C＝∠BAE＝30°，根据余弦的定义计算，得到答案． 【详解】解：∵DE是线段AC的垂直平分线， ∴EA＝EC， ∴∠EAC＝∠C， ∵BE＝DE，∠B＝90°，ED⊥AC， ∴∠EAC＝∠BAE， ∴∠EAC＝∠C＝∠BAE＝30°， 在Rt△CED中，EC＝， ∴AE＝2， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，结合垂直平分线的性质是解题的关键． 20. 如图，在中，AB＝BC，∠BAC＝30°，分别以点A，C为圆心，AC的长为半径作弧，两弧交于点D，连接DA，DC，则四边形ABCD的面积为__________ 【答案】3 【解析】 【分析】连接BD交AC于O，根据已知条件得到BD垂直平分AC，求得BD⊥AC，AO＝CO，根据等腰三角形的性质得到∠ACB＝∠BAC＝30°，根据等边三角形的性质得到∠DAC＝∠DCA＝60°，求得AD＝CD＝AB＝3，于是得到结论． 【详解】解：连接BD交AC于O， ∵AD＝CD，AB＝BC， ∴BD垂直平分AC， ∴BD⊥AC，AO＝CO， ∵AB＝BC， ∴∠ACB＝∠BAC＝30°， ∵AC＝AD＝CD， ∴△ACD是等边三角形， ∴∠DAC＝∠DCA＝60°， ∴∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ADB＝∠CDB＝30°， ∵AB＝BC＝， ∴AD＝CD＝＝3， ∴四边形ABCD的面积＝2×＝3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了解直角三角形，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键． 三、解答题 21. 计算： （1） ． （2） ． 【答案】（1）2﹣1；（2）3． 【解析】 【分析】（1）直接利用二次根式的性质以及特殊角的三角函数值分别化简得出答案； （2）直接利用二次根式的性质以及特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质、零指数幂的性质分别化简得出答案． 【详解】解：（1）原式＝， ＝﹣2+2+﹣1， ＝2﹣1； （2）原式＝， ＝， ＝3． 【点睛】本题主要考查了二次根式的计算、特殊角的三角函数值、零指数幂、负指数幂，准确计算是解题的关键． 22. 丁丁要制作一个形如图①的风筝，想在一个矩形材料中裁剪出如图②阴影所示的梯形翅膀，请你根据图②中的数据帮丁丁计算出BE，CD的长度(精确到个位，≈1.7)． 【答案】BE的长度约为30 cm，CD的长度约为13 cm 【解析】 【分析】根据题意求出∠EBC=60°，再利用特殊角的正切求出BE，利用正方形的性质求出DF即可求出其余部分． 【详解】解：由图可知∠ABC=120°， ∴∠EBC=60°． 在Rt△BCE中，CE=51 cm，∠EBC=60°， ∴tan60°=，BE==≈30(cm)． 在矩形AECF中，由∠BAD=45°， 得∠ADF=∠DAF=45°， ∴DF=AF=51 cm． ∵FC=AE=AB+BE≈34+30=64(cm)， ∴CD=FC-FD≈64-51=13(cm)． ∴BE的长度约为30 cm，CD的长度约为13 cm． 【点睛】此类试题属于难度较大的试题，在解答此类试题时一定要注意分析特殊角的三角函数． 23. 如图，在矩形ABCD中，AC，BD交于点O，点E，F分别在AO，DO上，且AE＝DF． （1）求证：∠EBO＝∠FCO． （2）若∠EBO＝30°，CF⊥BD，BC＝4，求COF的面积． 【答案】（1）见解析；（2）2 【解析】 【分析】（1）利用矩形性质，证明△EBO≌△FCO即可； （2）利用等腰三角形的性质得∠BOC＝120°，再作OG⊥BC，求出∠OCG＝30°，求出OC，再由直角三角形30度角的性质和三角形面积公式即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴OA＝OB＝OC＝OD， ∵AE＝DF， ∴OE＝OF， 在△EBO和△FCO中， ， ∴△EBO≌△FCO（SAS）， ∴∠EBO＝∠FCO； （2）解：过O作OG⊥BC于G， ∵CF⊥BD，∠FCO＝∠EBO＝30°， ∴∠FOC＝60°， ∴∠BOC＝180°﹣60°＝120°， ∵OB＝OC， ∴∠BOG＝∠COG＝60°，CG＝BC＝2， ∴∠OCG＝30°， ∴OG＝OC， 设OG＝x，则OC＝2x， 在Rt△OCG中，OC2﹣OG2＝CG2， 即4x2﹣x2＝12， 解得：x＝2， ∴OC＝4， 在Rt△COF中， CF＝OC•sin60°＝4×＝2， OF＝OC•cos60°＝4×＝2， ∴． 【点睛】本题考查矩形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，30°角所对的直角边是斜边的一半，解直角三角形，解题关键是熟练掌握相关知识点． 24. 2021年“五一”期间，修复后的安阳老城东南城墙及魁星阁与市民见面，这一始建于北魏天兴元年（公元398年）的建筑，在1600多年后，以崭新的面貌向世人展示历史印记，古代安阳“魁星取水”景观即将重现．某数学学习小组利用卷尺和自制的测角仪测量魁星阁顶端距离地面的高度，如图所示，他们在地面一条水平步道上架设测角仪，先在点处测得魁星阁顶端的仰角是26°，朝魁星阁方向走20米到达处，在处测得魁星阁顶端的仰角是45°．若测角仪和的高度均为米，求魁星阁顶端距离地面的高度（图中的值）．（参考数据：，，，，结果精确到米） 【答案】魁星阁顶端距离地面的高度约为米． 【解析】 【分析】推出四边形CFGD是矩形，于是得到，求得DE=AD，设AE=CE=x，得到BE，解直角三角形即可得到答案． 【详解】由题意知，，，四边形是矩形． 设米． 在中， ∵， ∴． 在中， ∵， ∴． ∵， ∴， 即．解得． ∴（米）． 答：魁星阁顶端距离地面的高度约为米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用--仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2021-2022学年度山东省滕州市南沙河中学下册 九年级数学单元试卷 第一章：直角三角形的边角关系 一、单选题 1. 在中，，则的值是（ ） A. B. 2 C. D. 2. 如图，平面直角坐标系中的点P的坐标为，与x轴正半轴的夹角为，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则sin∠CAB等于（ ） A. B. C. D. 2 4. 如图，将边长为4的菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在对角线的交点O处，若折痕，则（ ） A. B. C. D. 5. △ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，已知：cos∠A＝，则sin∠DCB的值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，为边上一点，且，若，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7. 等腰三角形的底边与腰的比值叫做顶角的正对函数，记为sad，例如ABC中，若AB=AC，则sadA=底÷腰；在ABC中，AB=AC，∠A=120º，则sadA的值为（ ） A. 4 B. C. D. 1 8. 在中，，若，，则的长度为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，矩形ABCD的四个顶点分别在直线上．若直线且间距相等，AB =5，BC =3，则tan α的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图所示，河堤横断面迎水坡的坡角是30°，堤高，则坡面的长度是 （ ） A. B. C. D. 11. 如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=6cm，AB=8cm，把AB边翻折，使AB边落在BC边上，点A落在点E处，折痕为BD，则tan∠DBE的值为( ) A. B. C. D. 12. 高铁沙坪坝站双子塔为国内首例在高铁站上实施商业开发的综合体．如图，小南在与塔底同一高度的地面处测得塔顶的仰角为．接下来，他沿一条坡比为1:2.4的斜坡行进了156米后，在处测得塔顶的仰角为，点在同一平面内，则小南测得的双子塔的高度约为（ ）米．（参考数据：，，） A. 193 B. 196 C. 201 D. 206 二、填空题 13. 已知α为锐角，且sin(α23°)，则α等于_______． 14. 如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度，飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为和，若飞机离地面的高度为2400米，且点H，A，B在同一水平直线上，则这条江的宽度为_______米（结果保留根号）． 15. 如图，在中，高与中线相交于点，，，则________． 16. 某长江大桥采用低塔斜拉桥桥型（如甲图），图乙是从图甲引申出的平面图，假设你站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是30°，拉索BD与水平桥面的夹角是60°，两拉索底端距离AD＝20米，则立柱BC的高为_______米．（结果保留根号） 17. 如图，有一个小山坡，坡比．已知小山坡的水平距离，则小山坡的高度是______． 18. 菱形的边长为6，，菱形的高交对角线于点，则线段的长为______． 19. 如图，在△ABC中，∠B＝90°，AC的垂直平分线交BC于点E、交AC于点D，若BE＝DE，DC＝3，则AE的长为_____． 20. 如图，在中，AB＝BC，∠BAC＝30°，分别以点A，C为圆心，AC的长为半径作弧，两弧交于点D，连接DA，DC，则四边形ABCD的面积为__________ 三、解答题 21. 计算： （1） ． （2） ． 22. 丁丁要制作一个形如图①的风筝，想在一个矩形材料中裁剪出如图②阴影所示的梯形翅膀，请你根据图②中的数据帮丁丁计算出BE，CD的长度(精确到个位，≈1.7)． 23. 如图，在矩形ABCD中，AC，BD交于点O，点E，F分别在AO，DO上，且AE＝DF． （1）求证：∠EBO＝∠FCO． （2）若∠EBO＝30°，CF⊥BD，BC＝4，求COF的面积． 24. 2021年“五一”期间，修复后的安阳老城东南城墙及魁星阁与市民见面，这一始建于北魏天兴元年（公元398年）的建筑，在1600多年后，以崭新的面貌向世人展示历史印记，古代安阳“魁星取水”景观即将重现．某数学学习小组利用卷尺和自制的测角仪测量魁星阁顶端距离地面的高度，如图所示，他们在地面一条水平步道上架设测角仪，先在点处测得魁星阁顶端的仰角是26°，朝魁星阁方向走20米到达处，在处测得魁星阁顶端的仰角是45°．若测角仪和的高度均为米，求魁星阁顶端距离地面的高度（图中的值）．（参考数据：，，，，结果精确到米） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $