2025-2026学年北师大版数学九年级下学期第一周周测试题

2026年北师大版数学九年级下学期第一周周测试题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个的不得分。 1．（3分）下列各数中最小的是（　　） A．﹣1 B． C．0 D． 2．（3分）下列品牌的标识中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．（3分）如图所示的正六棱柱的主视图是（　　） A． B． C． D． 4．（3分）古代为便于纪元，乃在无穷延伸的时间中，取天地循环终始为一巡，称为元，以元作为计算时间的最大单位，1元＝129600年，其中129600用科学记数法表示为（　　） A．1.296×104 B．12.96×104 C．1.296×106 D．1.296×105 5．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知A（2，0），B（4，3），D（5，0），△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心，则E点的坐标是（　　） A．（10，7） B．（8，7） C．（10，7.5） D．（8，6） 6．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB，OD，BD，若∠C＝105°，则∠OBD的度数为（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 7．（3分）如图，正方形ABCD的边长为5，点E在AD边上，DE＝2，连接CE，将△CDE沿CE翻折得△CD′E，延长ED'交AB于点F．则D′F的长度为（　　） A．2 B． C． D． 8．（3分）如图，二次函数y1＝ax2+bx+c的图象与反比例函数y2＝的图象交于A（，3），B（1，1），C（﹣1，﹣1）三点．若y1＞y2，则x的取值范围是（　　） A．﹣1＜x＜ B．﹣1＜x＜0或＜x＜1 C．x＜﹣1或x＞1 D．﹣1＜x＜0或x＞ 二、填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9．（3分）计算：＝　 ． 10．（3分）某商场为了吸引顾客，举行揽球（球除颜色外其余完全相同）游戏进行抽奖活动，并规定：顾客每购买100元的商品，就可以随机抽取一个球，抽得“红球”、“黄球”、“蓝球”，就可以分别获得100元、50元、20元的购物券，抽得“白球“不赠购物券，小明购买了100元的商品，他看到商场公布的前10000次抽奖结果如下： 球的颜色种类 红球 黄球 蓝球 白球 出现次数 500 1000 2000 6500 则小明随机抽取一球所获购物券金额的平均数为 　 　． 11． （3分）已知一元二次方程（k﹣3）x2+2x+1＝0有实数解，则k的取值范围是 　 　． 12．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，两条对角线交于点O，AC＝8，BC＝7，以点O为圆心、AO长为半径画弧，交BC于点E，连接OE，∠AOE＝60°，则图中阴影部分的面积为 　 .（结果保留π） 13．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E、F分别是边AB、BC上的动点，在运动过程中始终保持AE＝CF，连接EF，取EF中点G，连接AG，则AG的最小值是 　 　． 14．（3分）如图，将一条长度为1的线段三等分，然后取走其中的一份，称为第一次操作；再将余下的每一条线段三等分，然后取走其中一份，称为第二次操作；…如此重复操作，当第n次操作结束时，被取走的所有线段长度之和为　 三、作图题（本题满分4分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹 15．（4分）用圆规、直尺作图，不写作法但要保留作图痕迹． 已知：△ABC． 求作：⊙O，使圆心O在边AC上，并与△ABC的另外两边相切． 四、解答题（本大题满分74分，共有10道题） 16．（8分）计算 （1）化简：； （2）解不等式组：，并在数轴上表示出解集． 17．（6分）不透明的口袋里装有红、黄、蓝三种颜色的小球若干个（除颜色外其余都相同），其中红球2个，蓝球1个，若从中任意摸出一个球，它是蓝球的概率为0.25． （1）直接写出袋中黄球的个数； （2）从袋子中一次摸2个球，请用画树状图或列表格的方法，求“取出至少一个红球”的概率． 18．（6分）某水果商从批发市场用8000元购进了大樱桃和小樱桃各200千克，大樱桃的进价比小樱桃的进价每千克多20元，大樱桃售价为每千克40元，小樱桃售价为每千克16元． （1）大樱桃和小樱桃的进价分别是每千克多少元？ （2）该水果商第二次仍用8000元从批发市场购进了大樱桃和小樱桃各200千克，进价不变，但在运输过程中小樱桃损耗了20%．若小樱桃的售价不变，要想让第二次赚的钱不少于第一次所赚钱的90%，大樱桃的售价最少应为多少？ 19．（8分）某市各中小学为落实教育部政策，全面开展课后延时服务．市教育局为了解该市中学延时服务情况，随机抽查甲、乙两所中学各100名家长进行问卷调查．家长对延时服务的综合评分记为x，将所得数据分为5组（“很满意”：90≤x≤100；“满意”：80≤x＜90；“比较满意”：70≤x＜80；“不太满意”：60≤x＜70；“不满意”：0≤x＜60），市教育局对数据进行了分析．部分信息如下： c．甲、乙两所中学延时服务得分的平均数、中位数、众数如表： 学校 平均数 中位数 众数 甲 85 n 83 乙 81 79 80 d．甲中学“满意组”的分数从高到低排列，排在最后的10个数分别是： 83，83，83，83，82，81，81，81，80，80． 请你根据以上信息，回答下列问题： （1）直接写出m和n的值； （2）根据以上数据，你认为哪所中学的延时服务开展得更好？并说明理由（一条即可）； （3）市教育局指出：延时服务综合得分在70分及以上才算合格，请你估计乙中学1000名家长中认为该校延时服务合格的人数． 20．（8分）一酒精消毒瓶如图1，AB为喷嘴，△BCD为按压柄，CE为伸缩连杆，BE和EF为导管，其示意图如图2，∠DBE＝∠BEF＝108°，BD＝6cm，BE＝4cm，BC∥EF．求点D到直线EF的距离（结果精确到0.1cm）． （参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08） 21．（8分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线交BC于点F，E是AC的中点，过A作AD∥BC，交FE的延长线于点D． （1）求证：四边形AFCD是平行四边形； （2）∠BAC和∠ACB满足什么数量关系时，四边形AFCD是菱形．请证明你的结论． 22．（10分）某商场准备购进A、B两种商品进行销售，已知一件A种商品的进价比一件B种商品的进价多10元，且用16000元采购A种商品件数是用7500元采购B种商品件数的2倍． （1）每件A种和B种商品的进价分别为多少元？ （2）该商场预购进A，B两种商品共250件进行销售．其中A种商品件数不小于20件，且不大于B种商品件数． 若B种商品的售价定为210元/件．A种商品的售价与A种商品销量之间的关系如下表所示： A种商品的销量 0 5 10 15 20 ⋯ A种商品的售价 240 230 220 210 200 ⋯ 商场购进这两种商品能全部售出的前提下，请求出该商场销售这两种商品能获得的最大利润，并求出此时的进货方案． 23．（8分）阅读下列材料并完成相应的任务． 阅读思考：四边形的中位线 我们学习过三角形的中位线，类似的，把连接四边形对边中点的线段叫做四边形的中位线．如图1，在四边形ABCD中，设AB＜CD，AB与CD不平行，E，F分别为AD，BC的中点，则有结论： 这个结论可以用下面的方法证明： 方法一：如图2，连接AC，取AC的中点M，连接ME，MF ∵点E，点M分别是AD和AC的中点， ∴ME∥CD．且 同理：MF∥AB，且． ∵AB＜CD，∴MF＜ME． 在△MEF中，ME﹣MF＜EF＜ME+MF． 即＝ 自主探究：请将方法二的证明过程补充完整； 方法二：如图3，连接AF并延长至点G，使FG＝AF，连接CG，DG， … 尝试应用： 如图4，在五边形ABCDE中，AE∥CD，AB＝AE＝6，∠A＝120°，CD＝4，若点F，G分别是边BC，DE的中点，则线段FG长的取值范围是 　 　． 24．（12分）如图，正方形ABCD的边长为2cm，点M是边AB的中点，点E是线段MB上的动点，并以1cm/s的速度从点M向点B移动；点F是对角线BD上的动点，以2cm/s的速度从点D向点B移动，以EF为边，向上作正方形EFGH．点E、F同时移动，移动时间为t秒（0＜t＜1）． （1）当t为何值时，点B在线段AF的垂直平分线上？ （2）正方形EFGH移动时边FG与边AD交于点N，是否存在某一时刻t，使四边形AEFN的面积为1cm2？ （3）当t为何值时，点N在∠AEF的平分线上？ （4）当t为何值时，点H在边DA的延长线上？ 2026年北师大版数学九年级下学期第一周周测试题答案 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个的不得分。 1．（3分）下列各数中最小的是（　　） A．﹣1 B． C．0 D． 【分析】利用实数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可． 【解答】解：∵﹣1＜＜0＜， ∴最小的数是：﹣1． 故选：A． 【点评】本题考查了实数的大小比较，掌握正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个正数比较大小，绝对值大的数大，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是本题的关键． 2．（3分）下列品牌的标识中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可． 【解答】解：A．是轴对称图形但不是中心对称图形，故此选项符合题意； B．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意； C．既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项不合题意； D．不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意； 故选：A． 【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 3．（3分）如图所示的正六棱柱的主视图是（　　） A． B． C． D． 【分析】主视图是从正面看所得到的图形即可，可根据正六棱柱的特点作答． 【解答】解：正六棱柱的主视图如图所示： 故选：B． 【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图． 4．（3分）古代为便于纪元，乃在无穷延伸的时间中，取天地循环终始为一巡，称为元，以元作为计算时间的最大单位，1元＝129600年，其中129600用科学记数法表示为（　　） A．1.296×104 B．12.96×104 C．1.296×106 D．1.296×105 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：将129600用科学记数法表示应为1.296×105． 故选：D． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 5．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知A（2，0），B（4，3），D（5，0），△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心，则E点的坐标是（　　） A．（10，7） B．（8，7） C．（10，7.5） D．（8，6） 【分析】利用关于以原点为位似中心的对称点的坐标特征，通过点A与点D的坐标得到位似比，然后根据位似比得到E点坐标． 【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心， 而A（2，0），D（5，0）， ∴△ABC与△DEF的位似比为， ∵B（4，3）， ∴E点的坐标是为（4×，3×），即（10，7.5）． 故选：C． 【点评】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k． 6．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB，OD，BD，若∠C＝105°，则∠OBD的度数为（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 【分析】根据圆内接四边形的性质得出∠A+∠C＝180°，求出∠A，再根据圆周角定理得出∠BOD＝2∠A＝150°，再求出∠OBD＝∠ODB即可． 【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠A+∠C＝180°， ∵∠C＝105°， ∴∠A＝75°， ∴∠BOD＝2∠A＝150°， ∵OB＝OD， ∴∠OBD＝∠ODB＝（180°﹣∠BOD）＝15°， 故选：A． 【点评】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理和等腰三角形的性质等知识点，能熟记圆内接四边形的对角互补是解此题的关键． 7．（3分）如图，正方形ABCD的边长为5，点E在AD边上，DE＝2，连接CE，将△CDE沿CE翻折得△CD′E，延长ED'交AB于点F．则D′F的长度为（　　） A．2 B． C． D． 【分析】连接CF，由折叠得，CD'＝DC＝BC＝5，D'E＝DE＝2，∠ED'C＝∠D＝90°，再证明Rt△BFC≌Rt△D'FC，即有FB＝D'F，设D'F＝FB＝x，则AF＝AB﹣FB＝5﹣x，EF＝FD'﹣D'E＝x+2，在Rt△AEF中，由勾股定理得，EF2＝AE2+AF2，据此列方程即可求解． 【解答】解：如图所示，连接CF， ∵正方形ABCD的边长为5， ∴AB＝AD＝5，∠A＝∠ABC＝∠D＝90°， 由折叠得，CD'＝DC＝BC＝5，D'E＝DE＝2，∠ED'C＝∠D＝90°， ∴∠B＝∠FD'C＝90°，AE＝AD﹣DE＝3， 在Rt△BFC和Rt△D'FC中， ∴Rt△BFC≌Rt△D'FC（HL）， ∴FB＝D'F， 设D'F＝FB＝x，则AF＝AB﹣FB＝5﹣x，EF＝FD'+D'E＝x+2， 在Rt△AEF中，由勾股定理得，EF2＝AE2+AF2（2+x）2＝32+（5﹣x）2， 解得，， 即D′F的长度是， 故选：C． 【点评】本题考查了正方形的性质，折叠，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是掌握折叠的性质． 8．（3分）如图，二次函数y1＝ax2+bx+c的图象与反比例函数y2＝的图象交于A（，3），B（1，1），C（﹣1，﹣1）三点．若y1＞y2，则x的取值范围是（　　） A．﹣1＜x＜ B．﹣1＜x＜0或＜x＜1 C．x＜﹣1或x＞1 D．﹣1＜x＜0或x＞ 【分析】直接利用函数图象结合其交点横坐标得出x的求值范围． 【解答】解：如图所示： 当y1＞y2时，即反比例函数图象在二次函数图象下方部分， 故x的取值范围是：﹣1＜x＜0或＜x＜1． 故选：B． 【点评】此题主要考查了二次函数与不等式，正确数形结合是解题关键． 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分. 9．（3分）计算：＝　2　． 【分析】先提取公因式，再根据二次根式的除法法则进行计算，最后求出答案即可． 【解答】解： ＝ ＝﹣1 ＝3﹣1 ＝2， 故答案为：2． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键． 10．（3分）某商场为了吸引顾客，举行揽球（球除颜色外其余完全相同）游戏进行抽奖活动，并规定：顾客每购买100元的商品，就可以随机抽取一个球，抽得“红球”、“黄球”、“蓝球”，就可以分别获得100元、50元、20元的购物券，抽得“白球“不赠购物券，小明购买了100元的商品，他看到商场公布的前10000次抽奖结果如下： 球的颜色种类 红球 黄球 蓝球 白球 出现次数 500 1000 2000 6500 则小明随机抽取一球所获购物券金额的平均数为 　14元　． 【分析】先求出获得100元、50元、20元、0元的概率，让金额乘相应的概率的和即为随机抽取一球所获购物券金额的平均数． 【解答】解：∵随机抽取一个球获得100元、50元、20元、0元的概率分别为＝、＝、＝、＝， ∴小明随机抽取一球所获购物券金额的平均数为：100×+50×+20×+0×＝14（元）． 故答案为：14元． 【点评】本题考查了平均数以及概率，掌握定义是解题的关键． 11．（3分）已知一元二次方程（k﹣3）x2+2x+1＝0有实数解，则k的取值范围是 　k≤4且k≠3　． 【分析】根据一元二次方程的定义个根的判别式的意义得到k﹣3≠0且Δ＝22﹣4（k﹣3）≥0，然后求出两不等式的公共部分即可． 【解答】解：根据题意得k﹣3≠0且Δ＝22﹣4（k﹣3）≥0， 解得k≤4且k≠3， 即k的取值范围为k≤4且k≠3． 故答案为：k≤4且k≠3． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 12．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，两条对角线交于点O，AC＝8，BC＝7，以点O为圆心、AO长为半径画弧，交BC于点E，连接OE，∠AOE＝60°，则图中阴影部分的面积为 　10﹣π　.（结果保留π） 【分析】连接AE，由条件得到△AOE是等边三角形，求出△AOE的面积，△ABE的面积，扇形AOE的面积，即可求出阴影的面积． 【解答】解：连接AE， ∵∠AOE＝60°，OA＝OE， ∴△AOE是等边三角形， ∴∠AEO＝60°，AE＝AO， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC＝OE＝AC＝4， ∴∠OEC＝∠OCE， ∵∠AOE＝∠OEC+∠OCE＝60°， ∴∠OEC＝∠OCE＝30°， ∴∠AEC＝∠AEO+∠OEC＝60°+30°＝90°， ∴EC＝＝＝4， ∴△AEC的面积＝EC•AE＝×4×4＝8， ∵OA＝OC， ∴△AOE的面积＝△AEC的面积＝4， ∵BE＝BC﹣CE＝7﹣4＝3， ∴△ABE的面积＝BE•AE＝×3×4＝6， ∵扇形OAE的面积＝＝π， ∴阴影的面积＝△ABE的面积+△AOE的面积﹣扇形OAE的面积＝6+4﹣π＝10﹣π． 故答案为10﹣π． 【点评】本题考查求阴影的面积，关键是表示出阴影的面积，转换成求扇形，三角形的面积． 13．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E、F分别是边AB、BC上的动点，在运动过程中始终保持AE＝CF，连接EF，取EF中点G，连接AG，则AG的最小值是 　　． 【分析】取BE中点H，连接GH，由三角形中位线定理推出HG∥BF，HG＝BF，设AE＝CF＝x，由勾股定理得到AG＝＝，即可求出AG的最小值是． 【解答】解：取BE中点H，连接GH， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝90°， ∵G是FE中点， ∴GH是△EBF的中位线， ∴HG∥BF，HG＝BF， 设AE＝CF＝x， ∴BF＝8﹣x， ∴GH＝4﹣x， ∵BE＝6﹣x ∴BH＝BE＝3﹣x， ∴AH＝6﹣（3﹣x）＝3+x， ∵AG＝＝， ∴AG≥＝， ∴AG的最小值是． 故答案为：． 【点评】本题考查矩形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，二次函数的性质，关键是由勾股定理得到AG＝＝，由二次函数的性质即可求出AG的最小值． 14．（3分）如图，将一条长度为1的线段三等分，然后取走其中的一份，称为第一次操作；再将余下的每一条线段三等分，然后取走其中一份，称为第二次操作；…如此重复操作，当第n次操作结束时，被取走的所有线段长度之和为　1﹣　． 【分析】易得第一次操作后余下的线段为1﹣，进而得到每次操作后有几个1﹣的积，即可得到第n次操作时，余下的所有线段的长度之和，进而求得被取走的所有线段长度之和． 【解答】解：第一次操作后余下的线段之和为1﹣， 第二次操作后余下的线段之和为（1﹣）2， … 第n次操作后余下的线段之和为（1﹣）n＝， 则被取走的所有线段长度之和为1﹣． 故答案为：1﹣． 【点评】本题考查图形的变化规律；得到第n次操作后有n个是解决本题的关键． 三、作图题（本题满分4分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹 15．（4分）用圆规、直尺作图，不写作法但要保留作图痕迹． 已知：△ABC． 求作：⊙O，使圆心O在边AC上，并与△ABC的另外两边相切． 【分析】作BO平分∠ABC，交AC于点O，过点O作OE⊥AB于E，以O为圆心，OE为半径作⊙O即可． 【解答】解：如图，⊙O即为所求． 【点评】本题考查作图﹣复杂作图，切线的判定和性质等知识，解题的关键是掌握角平分线的性质定理，灵活运用所学知识解决问题． 四、解答题（本大题满分74分，共有10道题） 16．（8分）计算 （1）化简：； （2）解不等式组：，并在数轴上表示出解集． 【分析】（1）先计算分式的减法，再计算除法即可； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【解答】解：（1）原式＝÷（﹣） ＝• ＝； （2）解不等式（2﹣x）+x≤5，得：x≥﹣4， 解不等式+1＞2x，得：x＜3， 则不等式组的解集为﹣4≤x＜3， 将解集表示在数轴上如下： 【点评】本题考查的是分式的混合运算、解一元一次不等式组以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握分式的运算法则和正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 17．（6分）不透明的口袋里装有红、黄、蓝三种颜色的小球若干个（除颜色外其余都相同），其中红球2个，蓝球1个，若从中任意摸出一个球，它是蓝球的概率为0.25． （1）直接写出袋中黄球的个数； （2）从袋子中一次摸2个球，请用画树状图或列表格的方法，求“取出至少一个红球”的概率． 【分析】（1）首先设袋中的黄球个数为x个，然后根据古典概型的知识列方程，求解即可求得答案； （2）首先画树状图，然后求得全部情况的总数与符合条件的情况数目，求其二者的比值即可． 【解答】解：（1）设袋中的黄球个数为x个， ∴＝0.25， 解得：x＝1， 经检验，x＝1是原方程的解， ∴袋中黄球的个数1个； （2）画树状图得： 一共有12种等可能的情况数，其中“取出至少一个红球”的有10种， 则“取出至少一个红球”概率是＝． 【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意方程思想的应用． 18．（6分）某水果商从批发市场用8000元购进了大樱桃和小樱桃各200千克，大樱桃的进价比小樱桃的进价每千克多20元，大樱桃售价为每千克40元，小樱桃售价为每千克16元． （1）大樱桃和小樱桃的进价分别是每千克多少元？ （2）该水果商第二次仍用8000元从批发市场购进了大樱桃和小樱桃各200千克，进价不变，但在运输过程中小樱桃损耗了20%．若小樱桃的售价不变，要想让第二次赚的钱不少于第一次所赚钱的90%，大樱桃的售价最少应为多少？ 【分析】（1）根据用8000元购进了大樱桃和小樱桃各200千克，以及大樱桃的进价比小樱桃的进价每千克多20元，分别得出等式求出答案； （2）根据要想让第二次赚的钱不少于第一次所赚钱的90%，得出不等式求出答案． 【解答】解：（1）设小樱桃的进价为每千克x元，大樱桃的进价为每千克y元，根据题意可得： ， 解得：， 答：小樱桃的进价为每千克10元，大樱桃的进价为每千克30元； （2）设大樱桃的售价为a元/千克， （1﹣20%）×200×16+200a﹣8000≥（200×40+200×16﹣8000）×90%， 解得：a≥41.6， 答：大樱桃的售价最少应为41.6元/千克． 【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，正确表示出总费用是解题关键． 19．（8分）某市各中小学为落实教育部政策，全面开展课后延时服务．市教育局为了解该市中学延时服务情况，随机抽查甲、乙两所中学各100名家长进行问卷调查．家长对延时服务的综合评分记为x，将所得数据分为5组（“很满意”：90≤x≤100；“满意”：80≤x＜90；“比较满意”：70≤x＜80；“不太满意”：60≤x＜70；“不满意”：0≤x＜60），市教育局对数据进行了分析．部分信息如下： c．甲、乙两所中学延时服务得分的平均数、中位数、众数如表： 学校 平均数 中位数 众数 甲 85 n 83 乙 81 79 80 d．甲中学“满意组”的分数从高到低排列，排在最后的10个数分别是： 83，83，83，83，82，81，81，81，80，80． 请你根据以上信息，回答下列问题： （1）直接写出m和n的值； （2）根据以上数据，你认为哪所中学的延时服务开展得更好？并说明理由（一条即可）； （3）市教育局指出：延时服务综合得分在70分及以上才算合格，请你估计乙中学1000名家长中认为该校延时服务合格的人数． 【分析】（1）根据扇形统计图的意义，各组频率之和为1即可求出m的值，利用中位数的意义可求出甲中学得分的中位数，即n的值； （2）根据平均数、中位数的大小进行判断即可； （3）求出乙中学延时服务合格所占的百分比即可． 【解答】解：（1）乙中学“比较满意”所占的百分比为1﹣40%﹣7%﹣18%﹣10%＝25%， 即m＝25， ∵甲中学“满意组”的分数从高到低排列，排在最后的10个数分别是：83，83，83，83，82，81，81，81，80，80． ∴将甲中学的满意度得分从高到低排列后，处在中间位置的两个数的平均数为＝81.5，因此中位数是81.5，即n＝81.5， 答：m＝25，n＝81.5； （2）甲中学的延时服务开展得更好，理由如下： 因为甲中学延时服务得分的平均数、中位数均比乙中学的高，所以甲中学的延时服务开展得更好； （3）1000×（1﹣7%﹣18%）＝750（人）． 答：估计乙中学1000名家长中认为该校延时服务合格的人数为750人． 【点评】本题考查扇形统计图，中位数、众数、平均数以及样本估计总体，理解中位数、众数、平均数的意义，掌握中位数、众数、平均数的计算方法是解决问题的前提． 20．（8分）一酒精消毒瓶如图1，AB为喷嘴，△BCD为按压柄，CE为伸缩连杆，BE和EF为导管，其示意图如图2，∠DBE＝∠BEF＝108°，BD＝6cm，BE＝4cm，BC∥EF．求点D到直线EF的距离（结果精确到0.1cm）． （参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08） 【分析】过点D作DH⊥EF，垂足为H，交BC的延长线于点G，过点E作EM⊥BC，垂足为M，根据已知可得DG⊥BC，从而可得GH＝EM，然后利用平行线的性质求出∠EBG＝72°，从而求出∠DBC＝36°，再在Rt△BDG中，利用锐角三角函数的定义求出DG的长，最后在Rt△BME中，利用锐角三角函数的定义求出EM的长，从而求出GH，DH 的长． 【解答】解：过点D作DH⊥EF，垂足为H，交BC的延长线于点G，过点E作EM⊥BC，垂足为M， ∵BC∥EF， ∴DG⊥BC， ∴GH＝EM， ∵∠BEF＝108°， ∴∠EBG＝180°﹣∠BEF＝72°， ∵∠DBE＝108°， ∴∠DBC＝∠DBE﹣∠EBG＝36°， 在Rt△BDG中，BD＝6cm， ∴DG＝BD•sin36°≈6×0.59＝3.54（cm）， 在Rt△BME中，BE＝4cm， ∴ME＝BE•sin72°≈4×0.95＝3.8（cm）， ∴GH＝ME＝3.8cm， ∴DH＝DG+GH＝3.54+3.8≈7.3（cm）， ∴点D到直线EF的距离约为7.3cm． 【点评】本题考查了解直角三角形的应，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 21．（8分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线交BC于点F，E是AC的中点，过A作AD∥BC，交FE的延长线于点D． （1）求证：四边形AFCD是平行四边形； （2）∠BAC和∠ACB满足什么数量关系时，四边形AFCD是菱形．请证明你的结论． 【分析】（1）证明△EAD≌△ECF（ASA），由全等三角形的性质得出DE＝EF，由平行四边形的判定可得出结论； （2）证出FA＝FC，根据菱形的判定可得出结论． 【解答】（1）证明：∵E是AC的中点， ∴AE＝CE， ∵AD∥BC， ∴∠DAE＝∠FCE， 在△EAD和△ECF中， ， ∴△EAD≌△ECF（ASA）， ∴DE＝EF， ∴四边形AFCD是平行四边形； （2）解：当∠BAC＝2∠ACB时，四边形AFCD是菱形， 证明：∵∠BAF＝∠CAF， ∴∠CAF＝∠ACB， ∴FA＝FC， 又∵四边形AFCD是平行四边形， ∴四边形AFCD是菱形． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定以及菱形的判定，证明△EAD≌△ECF是解题的关键． 22．（10分）某商场准备购进A、B两种商品进行销售，已知一件A种商品的进价比一件B种商品的进价多10元，且用16000元采购A种商品件数是用7500元采购B种商品件数的2倍． （1）每件A种和B种商品的进价分别为多少元？ （2）该商场预购进A，B两种商品共250件进行销售．其中A种商品件数不小于20件，且不大于B种商品件数． 若B种商品的售价定为210元/件．A种商品的售价与A种商品销量之间的关系如下表所示： A种商品的销量 0 5 10 15 20 ⋯ A种商品的售价 240 230 220 210 200 ⋯ 商场购进这两种商品能全部售出的前提下，请求出该商场销售这两种商品能获得的最大利润，并求出此时的进货方案． 【分析】（1）设一件B型商品的进价为x元，则一件A型商品的进价为（x+10）元，根据用16000元采购A种商品件数是用7500元采购B种商品件数的2倍，即可列出关于x的方程，解方程并检验后即得答案； （2））由表格中的数据可知：A种商品的售价y与A种商品销量m满足一次函数关系，利两种商品的利润之和，列出二次函数关系式，然后利用二次函数的性质解答． 【解答】解：（1）设一件B型商品的进价为x元，则一件A型商品的进价为（x+10）元． 由题意得：＝2×， 解得x＝150， 经检验x＝150是分式方程的解， ∴x+10＝160， 答：一件A型商品的进价为160元，一件B型商品的进价为150元； （2）设销售A种商品销量m件，则销售B种商品（250﹣m）件， 根据题意可得：20≤m≤250﹣m， 解得20≤m≤125， 由表格数据可知，A种商品的售价y与A种商品销量m之间的关系是一次函数， 设A种商品的售价与A种商品销量之间的关系为y＝km+b， 把m＝0，y＝240；m＝5，y＝230代入解析式得：， 解得， ∴y＝﹣2m+240， 当m＝10时，y＝﹣2×10+240＝220； 当m＝15时，y＝﹣2×15+240＝210； 当m＝20时，y＝﹣2×20+240＝200； ∴A种商品的售价与A种商品销量之间的关系为y＝﹣2m+240； 设商场销售这批商品的利润为w元， 根据题意得：w＝m（﹣2m+240﹣160）+（210﹣150）（250﹣m） ＝﹣2m2+20m+15000 ＝﹣2（m﹣5）2+15050， ∵﹣2＜0， ∴当m＞5时，w随m的增大而减小， ∵20≤m≤125， ∴当m＝20时，w有最大值为w＝﹣2×（ 20﹣5）2+15050＝14600元； 此时进货方案为：A种商品进20件，B种商品进230件； 答：该商场销售这两种商品能获得的最大利润为14600元，此时的进货方案是A种商品进20件，B种商品230件． 【点评】本题考查了分式方程的应用、一次函数和二次函数的应用，属于常考题型，正确理解题意、学会构建方程和函数是解题关键． 23．（8分）阅读下列材料并完成相应的任务． 阅读思考：四边形的中位线 我们学习过三角形的中位线，类似的，把连接四边形对边中点的线段叫做四边形的中位线．如图1，在四边形ABCD中，设AB＜CD，AB与CD不平行，E，F分别为AD，BC的中点，则有结论： 这个结论可以用下面的方法证明： 方法一：如图2，连接AC，取AC的中点M，连接ME，MF ∵点E，点M分别是AD和AC的中点， ∴ME∥CD．且 同理：MF∥AB，且． ∵AB＜CD，∴MF＜ME． 在△MEF中，ME﹣MF＜EF＜ME+MF． 即＝ 自主探究：请将方法二的证明过程补充完整； 方法二：如图3，连接AF并延长至点G，使FG＝AF，连接CG，DG， … 尝试应用： 如图4，在五边形ABCDE中，AE∥CD，AB＝AE＝6，∠A＝120°，CD＝4，若点F，G分别是边BC，DE的中点，则线段FG长的取值范围是 　3﹣2＜FG＜3+2　． 【分析】自主探究：根据三角形中位线定理得出DG＝2EF，再根据全等三角形的判定与性质得出CG＝AB，最后根据三角形三边关系求解即可； 尝试应用：连接BE，作AH⊥BE于H，根据等腰三角形的性质以及30°角直角三角形的性质求出BE的长，在根据前面的结论直接得出FG长的取值范围即可． 【解答】自主探究：证明：∵FG＝AF，AE＝DE， ∴EF∥DG，DG＝2EF， ∵FB＝FC，∠AFB＝∠GFC， ∴△AFB≌△GFC（SAS）， ∴CG＝AB， 在△DCG中，CD﹣CG＜DG＜CD+CG， 即； 尝试应用：解：连接BE，作AH⊥BE于H，如图： ∵AB＝AE，∠BAE＝120°， ∴H是BE中点，∠AEH＝30°， ∴AH＝AE＝3，EH＝AH＝3， ∴BE＝2EH＝6， ∵F是BC中点，G是DE中点， ∴（BE﹣CD）＜FG＜（BE+CD）， 即3﹣2＜FG＜3+2． 故答案为：3﹣2＜FG＜3+2． 【点评】本题主要考查了四边形综合题，熟练运用三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及含30°直角三角形的性质是本题解题的关键． 24．（12分）如图，正方形ABCD的边长为2cm，点M是边AB的中点，点E是线段MB上的动点，并以1cm/s的速度从点M向点B移动；点F是对角线BD上的动点，以2cm/s的速度从点D向点B移动，以EF为边，向上作正方形EFGH．点E、F同时移动，移动时间为t秒（0＜t＜1）． （1）当t为何值时，点B在线段AF的垂直平分线上？ （2）正方形EFGH移动时边FG与边AD交于点N，是否存在某一时刻t，使四边形AEFN的面积为1cm2？ （3）当t为何值时，点N在∠AEF的平分线上？ （4）当t为何值时，点H在边DA的延长线上？ 【分析】（1）根据线段垂直平分线性质可得：BF＝AB＝2，进而可得DF＝2﹣2，即可求得答案； （2）如图2，作FP⊥AD于P，FQ⊥AB于Q，由△BQF∽△BAD，可得QF＝2﹣2t，再由Rt△EQF∽Rt△NPF，可得：NP＝t，AN＝2﹣3t，根据S四边形AEFN＝S梯形AQFN+S△QEF＝1，建立方程求解即可； （3）如图3，根据AN平分∠AEF，NA⊥AB，NF⊥EF，可得AN＝NF，建立方程求解即可； （4）如图4，作FQ⊥AB于Q，由△HEA≌△EQF（AAS），可得AE＝FQ，建立方程求解即可． 【解答】解：（1）如图1，∵点B在AF垂直平分线上， ∴BF＝AB＝2cm， ∵BD＝AB＝2cm， ∴DF＝BD﹣BF＝（2﹣2）cm， ∴t＝＝， ∴当t＝时，点B在线段AF的垂直平分线上． （2）如图2，作FP⊥AD于P，FQ⊥AB于Q， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A＝90°＝∠BQF， ∴FQ∥AD， ∴△BQF∽△BAD， ∴＝， ∴＝， ∴QF＝（2﹣2t）cm， ∵∠ADB＝45°， ∴PF＝DF＝2t cm＝AQ， ∴QE＝AM+ME﹣AQ＝1+t﹣2t＝（1﹣t）cm， ∵∠1＝∠2， ∴Rt△EQF∽Rt△NPF， ∴＝， ∴＝， ∴NP＝t cm， ∴AN＝（2﹣3t）cm， ∵S四边形AEFN＝S梯形AQFN+S△QEF＝（2﹣3t+2﹣2t）•2t+（1﹣t）（2﹣2t）＝（﹣4t2+2t+1）cm2， 又∵S四边形AEFN＝1cm2， ∴﹣4t2+2t+1＝1， 解得：t1＝0（舍去），t2＝， ∴当t＝时，四边形AEFN的面积为1cm2． （3）如图3，∵AN平分∠AEF，NA⊥AB，NF⊥EF， ∴AN＝NF， 由（2）知，AN＝（2﹣3t）cm， 在△FNP中，NF＝＝＝t（cm）， ∴t＝2﹣3t， ∴t＝， ∴当t＝时，点N在∠AEF的平分线上． （4）如图4，作FQ⊥AB于Q， ∵FQ⊥AB， ∴∠1+∠2＝90°， 又∵∠HEF＝90°， ∴∠2+∠3＝90°， ∴∠1＝∠3， 又∵∠HAB＝90°＝∠FQE，HE＝EF， 在△HEA和△EQF中， ， ∴△HEA≌△EQF（AAS）， ∴AE＝FQ， ∴1+t＝2﹣2t， ∴t＝， ∴当t＝时，点H在边DA的延长线上． 【点评】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，相似三角形的判定及性质的运用，角平分线性质的运用，线段垂直平分线性质，四边形面积等．解答时运用相似三角形的性质求解是关键． 学科网（北京）股份有限公司 $