专题02 二次根式（期中复习讲义，6重难题型+分层验收）八年级数学下学期鲁教版五四制

专题02 二次根式（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 期中考情分析 二次根式有意义的条件（双重非负性） 1. 精准判断二次根式 2. 快速求解字母取值范围 3. 掌握非负性应用 选择题/填空题必考，分值3-6分，基础送分题，常结合分式、不等式考查，易错点为忽略分母不为0、被开方数非负双重限制 二次根式的性质（化简计算核心） 1. 区分与公式 2. 灵活运用积商性质化简 3. 解决“0+0=0”非负模型 填空/选择题高频考点，分值4-6分，中等难度，易结合绝对值、平方命题，是化简题的铺垫，失分点多为漏写绝对值、忽略公式前提 最简二次根式化简 1. 掌握最简二次根式判定标准 2. 熟练化简各类二次根式 选择/填空题常考，分值3-5分，基础题，也会作为解答题的步骤考查，命题侧重化简规范性，易错点为分母未有理化、未拆尽平方因数 二次根式加减运算 1. 先化简再合并的规范步骤 2. 区分同类与非同类根式 3. 杜绝盲目合并错误 解答题第一题必考，分值6-8分，基础计算题，命题以多根式混合加减为主，核心考查化简熟练度，未化最简直接合并是主要失分点 二次根式乘除与分母有理化 1. 牢记乘除运算法则及前提 2. 掌握单/多项式分母有理化 3. 规范书写计算过程 解答题核心考点，分值8-10分，中等偏易，常结合平方差公式考查，分母有理化漏乘、符号错误是高频失分点 二次根式混合运算 1. 遵循运算顺序（先乘除后加减） 2. 巧用乘法公式简化运算 3. 结果化为最简二次根式 解答题压轴计算题，分值8-10分，综合性较强，结合乘除、加减、化简多考点，是拉开分差的题型，侧重运算严谨性 知识点01 二次根式的定义 1.概念：一般地，我们把形如 (a≥0) 的式子叫作二次根式. 判定关键：带有二次根号 + 被开方数是非负数，二者缺一不可。 2. 双重非负性（高频考点） 被开方数非负：（二次根式有意义的前提） 根式结果非负：（算术平方根恒为非负数） 3. 有意义的条件（求取值范围必考） 单纯二次根式：被开方数，例： 有意义 分式+二次根式：分母≠0 且 被开方数 ， 知识点02 二次根式的性质 1. 两条基础性质（易混点区分） 性质1：（） 适用场景：正向去根号计算、反向因式分解 性质2： 易错警示：切记加绝对值，不可直接写 ，结果恒为非负 辨析 ()2与的相同点与不同点 ()2 不同点 表示的意义 表示非负数a的算术平方根的平方. 表示实数a的平方的算术平方根. 包含的运算顺序 先开方再平方. 先平方再开方. 𝑎的取值范围 a≥0. a为任意实数. 结果的表达形式   相同点 结果都是非负数，且当a≥0时，()2= 2. 积与商的算术平方根（化简公式） 积的性质：（） 商的性质： = (a0，b>0). 3. 非负性拓展模型（填空压轴） 若 （二次根式、绝对值、平方均为非负数），则 、、，俗称“0+0=0”模型。 知识点03 二次根式的乘法与除法 乘方法则：= (a0，b0) 推广： 除法法则： = (a0，b>0). 分母有理化技巧：分子分母同乘分母的有理化因式，消去根号 知识点04 最简二次根式 1. 两大判定条件 两大判定条件：①被开方数不含分母；②被开方数无开得尽方的因数/因式 化简步骤：分解因数→开方移出整数→分母有理化→合并整理 2. 标准化简步骤 第一步：分解被开方数（拆出平方因数） 第二步：将开得尽方的因数移到根号外 第三步：分母有理化（消去分母根号） 第四步：整理成最简形式 示例：； 知识点05 二次根式的加法与减法 1.可以合并的二次根式： 将二次根式化成最简二次根式，若被开方数相同，则这样的二次根式（也叫同类二 次根式）可以合并。 示例：、 是同类二次根式. 2. 加减运算法则 二次根式加减运算的一般步骤： 一化：将非最简二次根式化成最简二次根式 二找：找出被开方数相同的二次根式 三合：将被开方数相同的二次根式合并 核心步骤：一化简→二合并 合并法则：系数相加减，根号和被开方数保持不变，即 注意：非同类二次根式不能直接合并，例： 无法合并 示例： 知识点06 二次根式的混合运算 先算乘除，后算加减；有括号先算括号内；灵活运用乘法分配律、平方差公式简化计算，结果必须化为最简二次根式。 题型一 二次根式有意义的条件 解｜题｜技｜巧 解题步骤：列不等式→解不等式→写解集（注意分母≠0、根号下整体≥0） 秒杀技巧：单个根式：被开方数≥0；根式+分式：根号内≥0 且 分母≠0；双重限制取交集。 避坑：等于号不能漏，分母为根式时，被开方数＞0（分母不能为0）。 【典例1】（24-25八年级下·云南红河·期中）若二次根式有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25八年级下·广东东莞·期中）已知x，y都是实数，且，则的平方根是______． 【变式1】（24-25八年级下·广东珠海·期中）下列式子中，是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·广东东莞·期中）使式子在实数范围内有意义，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【变式3】（24-25八年级下·湖北十堰·期中）已知，则y的值是______． 题型二 二次根式的性质 解｜题｜技｜巧 · 区分两大公式：：先开方再平方，必须非负，直接得；：先平方再开方，结果带，结合题干正负去绝对值。 · 非负模型技巧：看到“根式+绝对值+平方=0”，直接令每一项为0，列方程求解未知数。 【典例1】（24-25八年级下·青海海西·期中）若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25八年级下·广东惠州·期中）计算：______；______． 【典例3】（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）实数a在数轴上的位置如图所示，则化简结果为_______． 【变式1】（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中），则x的取值范围是________． 【变式2】（24-25八年级下·山东日照·期中）已知，则_______． 【变式3】（25-26八年级·广西柳州·期中）已知，则___________． 【变式4】（24-25八年级下·青海海西·期中）实数，在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果是______． 题型三 最简二次根式化简 解｜题｜技｜巧 · 速算技巧：分解质因数→找完全平方数→移出根号（开方后写系数）；分母有根号，分子分母同乘分母根式，完成有理化。 · 口诀：根号里面无分母，分母里面无根号，根号里面无平方，化简完毕才合格。 【典例1】（24-25八年级下·福建厦门·期中）下列各式中，属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【典例2】（23-24八年级下·贵州黔东南·期中）下列各式，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是最简二次根式的式子进行化简． (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1】（24-25八年级下·四川泸州·期中）下列是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·广东惠州·期中）若和都是最简二次根式，则_____，_____． 【变式3】（24-25八年级下·河北邢台·期中）请写出一个正整数的值：__________________，使是最简二次根式． 【变式4】（24-25八年级下·吉林松原·期中）若与最简二次根式可以合并，则_________． 题型四 二次根式加减运算 解｜题｜技｜巧 固定流程：化简→归类→合并，三步缺一不可 技巧：先把所有根式化为最简，圈出被开方数相同的根式，仅合并系数，根号部分照搬；非同类根式直接保留，不强行合并。 【典例1】（24-25八年级下·广东江门·期中）计算： 【变式1】（24-25八年级下·云南红河·期中）计算：． 【变式2】（24-25八年级下·陕西安康·期中）计算：． 【变式3】（24-25八年级下·青海西宁·期中）计算： 题型五 二次根式乘除与分母有理化 解｜题｜技｜巧 · 乘法技巧：系数乘系数，根号乘根号，最后化简结果； · 除法技巧：变分数形式，再分母有理化，避免直接约分出错； · 多项式有理化：找共轭根式（和变差、差变和），用平方差公式消根号，分子分母同步乘，不漏乘、不符号错。 【典例1】（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）计算： (1)； (2)． 【典例2】（24-25八年级下·湖南湘西·期中）阅读下列材料，然后解答问题：在进行代数式化简时，我们有时会碰上．如这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： ；． 这种化简的方法叫分母有理化．请将下列代数式分母有理化： (1)； (2)． 【变式1】（24-25八年级下·安徽亳州·期中）计算：． 【变式2】（24-25八年级下·福建福州·期中）计算：． 【变式3】（24-25八年级下·广东东莞·期中）计算： 【变式4】（24-25八年级下·广东珠海·期中）计算： (1)． (2)． 【变式5】（23-24八年级下·广东广州·期中）计算： (1)； (2)． 【变式6】（24-25八年级下·广东江门·期中）先化简，再求代数式的值，其中． 【变式7】（24-25八年级下·山东济宁·期中）已知 (1)求的值； (2)求的值． 题型六 二次根式混合运算 解｜题｜技｜巧 · 运算顺序：乘除优先→加减收尾→括号先行，能简算则简算（分配律、平方差优先用）； · 检查技巧：算完先看结果是否为最简二次根式，再核对符号、系数，杜绝计算失误。 【典例1】（24-25八年级下·浙江宁波·期中）计算： (1)； (2)． 【典例2】（24-25八年级下·浙江杭州·期中）计算： (1)； (2)． 【变式1】（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）计算： (1)； (2)． 【变式2】（24-25八年级下·广东湛江·期中）计算： ． 【变式3】（25-26八年级下·全国·期中）计算： (1)； (2)； (3)。 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．（24-25八年级下·广东广州·期中）下列式子是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·重庆·期中）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（24-25八年级下·云南红河·期中）若最简二次根式与是同类二次根式，则m的值为________． 4．（24-25八年级下·重庆·期中）代数式中x的取值范围是______ ． 三、解答题 5．（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）已知，，求的值． 6．（24-25八年级下·广东惠州·期中）计算： (1)； (2)． 7．（24-25八年级下·福建·期中）计算： (1)； (2)． 8．（24-25八年级下·贵州遵义·期中）阅读材料并解决问题： 像上述解题过程中，与相乘的积不含二次根式，我们称这两个式子互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化． 请仿照上面的方法，解决下列问题： (1)的有理化因式是 ， ； (2)计算： 9．（24-25八年级下·福建福州·期中）（1）填空：（只填写符号：，，） ①当时，_________； ②当时，_________； ③当时，_________； （2）观察以上式子，猜想与的数量关系，并证明；（提示：） （3）实践应用：现在要用篱笆围一个面积为16的矩形花坛，在尽量节省篱笆长度的前提下，此时花坛的周长是多少？ 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．（24-25八年级下·重庆·期中）估算的值在（    ） A．和之间 B．和之间 C．和0之间 D．0和1之间 2．（24-25八年级下·广西百色·期中）已知，当分别取时，所对应值的总和是（　　） A．2022 B．2024 C．2026 D．2028 3．（23-24八年级下·贵州黔东南·期中）若的整数部分为，小数部分为，则的值是（   ） A． B． C．29 D．3 二、填空题 4．（24-25八年级下·河南信阳·期中）计算：______． 5．（24-25八年级下·江西赣州·期中）已知，，则式子的值为_______． 6．（24-25八年级下·山东日照·期中）实数a、b在数轴上的位置如图所示，且，则化简的结果为_____． 7．（24-25八年级下·甘肃天水·期中）对于任意两个正数m，n，定义运算※为：m※n＝，计算的结果为_____． 8．（24-25八年级下·北京·期中）观察所给等式寻求规律： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； … 直接写出第4个等式：______； 根据上述规律，化简：______（直接写出化简后的结果）． 三、解答题 9．（24-25八年级下·甘肃定西·期中）先化简，再求值：，其中． 10．（24-25八年级下·陕西安康·期末）阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题． 化简： 解：隐含条件，解得， ， 原式 【启发应用】 （1）按照上面的解法，试化简：； 【类比迁移】 （2）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简 11．（24-25八年级下·山东德州·期中）已知，． (1)求和ab的值； (2)求的值； (3)若a的整数部分是x，b的小数部分是y，求的值． 12．（24-25八年级下·湖北黄石·期中）阅读下列解题过程： 例：若代数式的值是2，求的取值范围． 解：原式 当时，原式，解得（舍去）； 当时，原式，符合条件； 当，原式，解得（舍去）． 的取值范围是． 上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题： (1)当时，化简：_____． (2)若等式成立，求的取值范围． (3)若，求的值． 13．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）定义：对于正数，把叫做与的算术平均数，叫做与的几何平均数；而且两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，即如果，那么，当时，等号成立． (1)2和12的算术平均数和几何平均数分别为___________、___________； (2)①已知，则的最小值是___________； ②已知，且，则的最大值是___________； (3)已知，记，求的取值范围． 14．（24-25八年级下·广东中山·期中）在数学小组探究学习中，小华与他的小组成员遇到这样一道题： 已知，求的值．他们是这样解答的： ， ， 即， ， ． 请你根据小华小组的解题方法和过程，解决以下问题： (1) ． (2)化简：． (3)若， ①求的值， ②求的值． 15．（24-25八年级下·江苏南京·期中）阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现： 当，时，． ，当且仅当时取等号． 请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，的最小值为______； (2)当时，的最小值为______； (3)当时，的最小值为______； (4)如图，四边形的对角线相交于点O，的面积分别为8和18，求四边形的面积的最小值． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 一、单选题 1．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）已知，则的值为（   ） A． B． C． D．以上都不对 2．（24-25八年级下·重庆·期中）若a和b都是正整数且和是可以合并的二次根式，下列结论中正确的个数为（   ） ①只存在一组a和b使得； ②只存在两组a和b使得； ③不存在a和b使得； ④若只存在三组a和b使得，则的值为36或81 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 3．（23-24八年级下·山东淄博·期中）有如下一串二次根式： ； ； ； ，仿照，写出第个二次根式______． 三、解答题 4．（24-25八年级下·江西赣州·期中）阅读材料：像，，这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号． 如：， 请你解决如下问题： (1)的有理化因式是___________，___________． (2)化简． (3)数学课上，老师出了一道题“已知，求的值” 聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答： 因为，所以． 所以，所以，所以， 所以，所以 利用上述方法：若，求的值． 5．（24-25八年级下·北京海淀·期中）小君想到了一种证明等式成立的方法． 证明过程如下： 设，，则，． 等号左边，等号右边； ∵，， ∴， ∴等号右边， ∴等号左边等号右边， ∴等式成立． (1)小艳利用同样的方法求出方程的解．她的想法是：将一个无理方程转化为一个整式方程（组），再利用乘法公式和二元一次方程组的解法求出方程的解．请你帮助小艳完成她的求解过程． 解：设，，则________，________．将原无理方程转化为用m、n表示的整式方程（组），并完成原无理方程的求解过程如下： (2)请直接写出方程的解为________． 6．（24-25八年级下·广东中山·期中）阅读下列材料，然后回答问题：在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： ； ； ； 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． (1)化简：______；______；______； (2)化简：； (3)已知，，求的值． 7．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中、、、均为整数），则有． ，．这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)当、、、均为正整数时，若，用含、的式子分别表示、，则_______，_________； (2)的算术平方根为_________________； (3)若，且、、均为正整数，求的值； (4)化简：． 8．（24-25八年级下·福建莆田·期中）材料1：对于任意正实数a，b，∵，∴，，只有当时，等号成立． 结论：在，（a，b均为正实数）中，若为定值p，则，，只有当时，有最小值． 材料2：若函数（，，m为常数），由材料1结论可知：，即．∴当，即，∴时，函数的最小值为．根据上述内容，回答下列问题： (1)若，只有当 时，有最小值； (2)若函数，则 时，函数的最小值为 ． (3)如图，已知，，点P是第一象限内的一个动点，过P点向坐标轴作垂线，分别交x轴和y轴于C，D两点，矩形的面积始终为12，求四边形面积的最小值以及此时P点的坐标． 9．（24-25八年级下·福建福州·期中）阅读下列材料，然后回答问题： ①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：，以上这种化简的步骤叫做分母有理化． ②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知，，求．我们可以把和看成是一个整体，令，，则．这样，我们不用求出，就可以得到最后的结果． (1)计算：； (2)若是正整数，，，且，求的值； (3)若，则的值是______．（直接写出答案结果） 10．（24-25八年级下·四川泸州·期中）按要求进行二次根式的有关计算： （1）阅读：，反之，； ，反之，． 应用： ______． （2）阅读：，； 应用：方程的解是______． （3）阅读：已知，，试比较x，y的大小；不好直接比较，可用如下方法： ，，因，且x，y都是正数，故． 应用：比较大小：______，______． 4 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二次根式（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 期中考情分析 二次根式有意义的条件（双重非负性） 1. 精准判断二次根式 2. 快速求解字母取值范围 3. 掌握非负性应用 选择题/填空题必考，分值3-6分，基础送分题，常结合分式、不等式考查，易错点为忽略分母不为0、被开方数非负双重限制 二次根式的性质（化简计算核心） 1. 区分与公式 2. 灵活运用积商性质化简 3. 解决“0+0=0”非负模型 填空/选择题高频考点，分值4-6分，中等难度，易结合绝对值、平方命题，是化简题的铺垫，失分点多为漏写绝对值、忽略公式前提 最简二次根式化简 1. 掌握最简二次根式判定标准 2. 熟练化简各类二次根式 选择/填空题常考，分值3-5分，基础题，也会作为解答题的步骤考查，命题侧重化简规范性，易错点为分母未有理化、未拆尽平方因数 二次根式加减运算 1. 先化简再合并的规范步骤 2. 区分同类与非同类根式 3. 杜绝盲目合并错误 解答题第一题必考，分值6-8分，基础计算题，命题以多根式混合加减为主，核心考查化简熟练度，未化最简直接合并是主要失分点 二次根式乘除与分母有理化 1. 牢记乘除运算法则及前提 2. 掌握单/多项式分母有理化 3. 规范书写计算过程 解答题核心考点，分值8-10分，中等偏易，常结合平方差公式考查，分母有理化漏乘、符号错误是高频失分点 二次根式混合运算 1. 遵循运算顺序（先乘除后加减） 2. 巧用乘法公式简化运算 3. 结果化为最简二次根式 解答题压轴计算题，分值8-10分，综合性较强，结合乘除、加减、化简多考点，是拉开分差的题型，侧重运算严谨性 知识点01 二次根式的定义 1.概念：一般地，我们把形如 (a≥0) 的式子叫作二次根式. 判定关键：带有二次根号 + 被开方数是非负数，二者缺一不可。 2. 双重非负性（高频考点） 被开方数非负：（二次根式有意义的前提） 根式结果非负：（算术平方根恒为非负数） 3. 有意义的条件（求取值范围必考） 单纯二次根式：被开方数，例： 有意义 分式+二次根式：分母≠0 且 被开方数 ， 知识点02 二次根式的性质 1. 两条基础性质（易混点区分） 性质1：（） 适用场景：正向去根号计算、反向因式分解 性质2： 易错警示：切记加绝对值，不可直接写 ，结果恒为非负 辨析 ()2与的相同点与不同点 ()2 不同点 表示的意义 表示非负数a的算术平方根的平方. 表示实数a的平方的算术平方根. 包含的运算顺序 先开方再平方. 先平方再开方. 𝑎的取值范围 a≥0. a为任意实数. 结果的表达形式   相同点 结果都是非负数，且当a≥0时，()2= 2. 积与商的算术平方根（化简公式） 积的性质：（） 商的性质： = (a0，b>0). 3. 非负性拓展模型（填空压轴） 若 （二次根式、绝对值、平方均为非负数），则 、、，俗称“0+0=0”模型。 知识点03 二次根式的乘法与除法 乘方法则：= (a0，b0) 推广： 除法法则： = (a0，b>0). 分母有理化技巧：分子分母同乘分母的有理化因式，消去根号 知识点04 最简二次根式 1. 两大判定条件 两大判定条件：①被开方数不含分母；②被开方数无开得尽方的因数/因式 化简步骤：分解因数→开方移出整数→分母有理化→合并整理 2. 标准化简步骤 第一步：分解被开方数（拆出平方因数） 第二步：将开得尽方的因数移到根号外 第三步：分母有理化（消去分母根号） 第四步：整理成最简形式 示例：； 知识点05 二次根式的加法与减法 1.可以合并的二次根式： 将二次根式化成最简二次根式，若被开方数相同，则这样的二次根式（也叫同类二 次根式）可以合并。 示例：、 是同类二次根式. 2. 加减运算法则 二次根式加减运算的一般步骤： 一化：将非最简二次根式化成最简二次根式 二找：找出被开方数相同的二次根式 三合：将被开方数相同的二次根式合并 核心步骤：一化简→二合并 合并法则：系数相加减，根号和被开方数保持不变，即 注意：非同类二次根式不能直接合并，例： 无法合并 示例： 知识点06 二次根式的混合运算 先算乘除，后算加减；有括号先算括号内；灵活运用乘法分配律、平方差公式简化计算，结果必须化为最简二次根式。 题型一 二次根式有意义的条件 解｜题｜技｜巧 解题步骤：列不等式→解不等式→写解集（注意分母≠0、根号下整体≥0） 秒杀技巧：单个根式：被开方数≥0；根式+分式：根号内≥0 且 分母≠0；双重限制取交集。 避坑：等于号不能漏，分母为根式时，被开方数＞0（分母不能为0）。 【典例1】（24-25八年级下·云南红河·期中）若二次根式有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， ∴． 故选：C． 【典例2】（24-25八年级下·广东东莞·期中）已知x，y都是实数，且，则的平方根是______． 【答案】 【详解】解：由题意得，， 解得， ∴， ∴， ∵6的平方根是， ∴的平方根是． 故答案为：． 【变式1】（24-25八年级下·广东珠海·期中）下列式子中，是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A．∵中的，∴二次根式无意义，∴不是二次根式，故A选项不符合题意； B．是二次根式，故B选项符合题意； C．不是二次根式，是三次根式，故C选项不符合题意； D．是分式不是二次根式，故D选项不符合题意． 故选： B． 【变式2】（24-25八年级下·广东东莞·期中）使式子在实数范围内有意义，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【详解】解： 在实数范围内有意义， ， 解得且． 故选：C． 【变式3】（24-25八年级下·湖北十堰·期中）已知，则y的值是______． 【答案】4 【详解】解：∵， ∴，解得：， ∴． 故答案为：4． 题型二 二次根式的性质 解｜题｜技｜巧 · 区分两大公式：：先开方再平方，必须非负，直接得；：先平方再开方，结果带，结合题干正负去绝对值。 · 非负模型技巧：看到“根式+绝对值+平方=0”，直接令每一项为0，列方程求解未知数。 【典例1】（24-25八年级下·青海海西·期中）若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， ， ， ， 故选：C． 【典例2】（24-25八年级下·广东惠州·期中）计算：______；______． 【答案】 2 【详解】解：；． 故答案为：2；． 【典例3】（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）实数a在数轴上的位置如图所示，则化简结果为_______． 【答案】7 【详解】解：由数轴可得， ∴， 故答案为：7． 【变式1】（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中），则x的取值范围是________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， 解得． 故答案为：． 【变式2】（24-25八年级下·山东日照·期中）已知，则_______． 【答案】1 【详解】解：， ，， ， 故答案为：1． 【变式3】（25-26八年级·广西柳州·期中）已知，则___________． 【答案】3 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， ∴． 故答案为3． 【变式4】（24-25八年级下·青海海西·期中）实数，在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果是______． 【答案】 【详解】解：观察数轴得：，，， 原式 ．     故答案为：． 题型三 最简二次根式化简 解｜题｜技｜巧 · 速算技巧：分解质因数→找完全平方数→移出根号（开方后写系数）；分母有根号，分子分母同乘分母根式，完成有理化。 · 口诀：根号里面无分母，分母里面无根号，根号里面无平方，化简完毕才合格。 【典例1】（24-25八年级下·福建厦门·期中）下列各式中，属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】最简二次根式的判断 【分析】本题根据最简二次根式的定义判断即可，最简二次根式需满足两个条件：被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解： A选项，不是最简二次根式， B选项，，不是最简二次根式， C选项，，不是最简二次根式， D选项，是最简二次根式． 【典例2】（23-24八年级下·贵州黔东南·期中）下列各式，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是最简二次根式的式子进行化简． (1)； (2)； (3)； (4)． 【详解】（1）解：∵，5和7都是质数， ∴是最简二次根式． （2）解：不是最简二次根式， ； （3）解：不是最简二次根式， ； （4）解：∵是质数，分母为， ∴是最简二次根式． 【变式1】（24-25八年级下·四川泸州·期中）下列是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A. ，该选项不是最简二次根式； B. ，该选项不是最简二次根式； C. ，该选项不是最简二次根式； D. 该选项被开方数为整式，且无开得尽方的因式，也无分母，该选项是最简二次根式； 故选：D． 【变式2】（24-25八年级下·广东惠州·期中）若和都是最简二次根式，则_____，_____． 【答案】 1 2 【详解】解：∵和都是最简二次根式， ∴， 解得， 故答案为：1；2． 【变式3】（24-25八年级下·河北邢台·期中）请写出一个正整数的值：__________________，使是最简二次根式． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：∵是最简二次根式， ∴或或等， ∴或或等， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式4】（24-25八年级下·吉林松原·期中）若与最简二次根式可以合并，则_________． 【答案】 【详解】解：依题意得：， 解得：， 故答案为：． 题型四 二次根式加减运算 解｜题｜技｜巧 固定流程：化简→归类→合并，三步缺一不可 技巧：先把所有根式化为最简，圈出被开方数相同的根式，仅合并系数，根号部分照搬；非同类根式直接保留，不强行合并。 【典例1】（24-25八年级下·广东江门·期中）计算： 【详解】解：原式． 【变式1】（24-25八年级下·云南红河·期中）计算：． 【详解】解： ． 【变式2】（24-25八年级下·陕西安康·期中）计算：． 【详解】解：原式 ． 【变式3】（24-25八年级下·青海西宁·期中）计算： 【详解】解：原式 ． 题型五 二次根式乘除与分母有理化 解｜题｜技｜巧 · 乘法技巧：系数乘系数，根号乘根号，最后化简结果； · 除法技巧：变分数形式，再分母有理化，避免直接约分出错； · 多项式有理化：找共轭根式（和变差、差变和），用平方差公式消根号，分子分母同步乘，不漏乘、不符号错。 【典例1】（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）计算： (1)； (2)． 【详解】（1）解：； （2）解：． 【典例2】（24-25八年级下·湖南湘西·期中）阅读下列材料，然后解答问题：在进行代数式化简时，我们有时会碰上．如这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： ；． 这种化简的方法叫分母有理化．请将下列代数式分母有理化： (1)； (2)． ； （2）解； ． 【变式1】（24-25八年级下·安徽亳州·期中）计算：． 【详解】解： 【变式2】（24-25八年级下·福建福州·期中）计算：． 【详解】解： ． 【变式3】（24-25八年级下·广东东莞·期中）计算： 【详解】解：原式   ． 【变式4】（24-25八年级下·广东珠海·期中）计算： (1)． (2)． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式5】（23-24八年级下·广东广州·期中）计算： (1)； (2)． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式6】（24-25八年级下·广东江门·期中）先化简，再求代数式的值，其中． 【详解】解： 把代入，得 【变式7】（24-25八年级下·山东济宁·期中）已知 (1)求的值； (2)求的值． 【详解】（1）解：∵， ∴ ， ∴，， ∴； （2）解：， ∴ ． 题型六 二次根式混合运算 解｜题｜技｜巧 · 运算顺序：乘除优先→加减收尾→括号先行，能简算则简算（分配律、平方差优先用）； · 检查技巧：算完先看结果是否为最简二次根式，再核对符号、系数，杜绝计算失误。 【典例1】（24-25八年级下·浙江宁波·期中）计算： (1)； (2)． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【典例2】（24-25八年级下·浙江杭州·期中）计算： (1)； (2)． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式1】（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）计算： (1)； (2)． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ， ． 【变式2】（24-25八年级下·广东湛江·期中）计算： ． 【详解】解： ． 【变式3】（25-26八年级下·全国·期中）计算： (1)； (2)； (3)。 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．（24-25八年级下·广东广州·期中）下列式子是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： A、被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； B、，含能开方的因数，不是最简，不符合题意； C、被开方数为质数，不含分母和能开方的因数，是最简二次根式，符合题意； D、 ，含能开方的因数，不是最简，不符合题意； 故选：C． 2．（24-25八年级下·重庆·期中）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A选项：与不是同类二次根式，无法合并，A错误； B选项：，B正确； C选项：，C错误； D选项：，D错误． 二、填空题 3．（24-25八年级下·云南红河·期中）若最简二次根式与是同类二次根式，则m的值为________． 【答案】1 【详解】解：由题意得：， 解得 ． 故答案为：1． 4．（24-25八年级下·重庆·期中）代数式中x的取值范围是______ ． 【答案】且 【详解】解：∵代数式有意义， ∴，解得：且． ∴代数式中x的取值范围是且． 三、解答题 5．（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）已知，，求的值． 【详解】解： ，， 原式 ． 6．（24-25八年级下·广东惠州·期中）计算： (1)； (2)． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 7．（24-25八年级下·福建·期中）计算： (1)； (2)． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 8．（24-25八年级下·贵州遵义·期中）阅读材料并解决问题： 像上述解题过程中，与相乘的积不含二次根式，我们称这两个式子互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化． 请仿照上面的方法，解决下列问题： (1)的有理化因式是 ， ； (2)计算： 【详解】（1）解： 所以的有理化因式是 ； 故答案为：，． （2）解：原式 ． 9．（24-25八年级下·福建福州·期中）（1）填空：（只填写符号：，，） ①当时，_________； ②当时，_________； ③当时，_________； （2）观察以上式子，猜想与的数量关系，并证明；（提示：） （3）实践应用：现在要用篱笆围一个面积为16的矩形花坛，在尽量节省篱笆长度的前提下，此时花坛的周长是多少？ 【详解】解：（）当时，，，，则； 当时，，，则； 当时，，，则； 故答案为：；；； （）． 证明：∵， ∴， ∴； （）设矩形花坛的长为，宽是，则， ∵， ∴， ∴， 即在尽量节省篱笆长度的前提下，此时花坛的周长是． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．（24-25八年级下·重庆·期中）估算的值在（    ） A．和之间 B．和之间 C．和0之间 D．0和1之间 【答案】C 【详解】解： ， ∵， ∴，即， ∴，即， ∴估计的值在和0之间． 2．（24-25八年级下·广西百色·期中）已知，当分别取时，所对应值的总和是（　　） A．2022 B．2024 C．2026 D．2028 【答案】D 【详解】解：当x取1时，， 当x取2时，， 当x取时，， ， 所以对应值的总和是：， 故选D． 3．（23-24八年级下·贵州黔东南·期中）若的整数部分为，小数部分为，则的值是（   ） A． B． C．29 D．3 【答案】D 【详解】解： 的整数部分 则小数部分是：，则 则 故选：D． 二、填空题 4．（24-25八年级下·河南信阳·期中）计算：______． 【答案】 【详解】解： ； 故答案为：． 5．（24-25八年级下·江西赣州·期中）已知，，则式子的值为_______． 【答案】 【详解】解：，， ， ， 故答案为：13． 6．（24-25八年级下·山东日照·期中）实数a、b在数轴上的位置如图所示，且，则化简的结果为_____． 【答案】b 【详解】解∶由数轴知：， 又， ∴， ∴ ． 故答案为：b． 7．（24-25八年级下·甘肃天水·期中）对于任意两个正数m，n，定义运算※为：m※n＝，计算的结果为_____． 【答案】 【详解】解：由定义，， ． 则 ． 故答案为： 8．（24-25八年级下·北京·期中）观察所给等式寻求规律： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； … 直接写出第4个等式：______； 根据上述规律，化简：______（直接写出化简后的结果）． 【答案】 【详解】解：由题知， 因为；；；…， 所以第n个等式可表示为 当时， 第4个等式为 由上述规律可知， 原式 故答案为：， 三、解答题 9．（24-25八年级下·甘肃定西·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解： ， 当时，原式． 10．（24-25八年级下·陕西安康·期末）阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题． 化简： 解：隐含条件，解得， ， 原式 【启发应用】 （1）按照上面的解法，试化简：； 【类比迁移】 （2）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简 【详解】解：（1）隐含条件， 解得， ， ； （2）由数轴得，，， ，， ． 11．（24-25八年级下·山东德州·期中）已知，． (1)求和ab的值； (2)求的值； (3)若a的整数部分是x，b的小数部分是y，求的值． 【详解】（1）解：∵，， ∴，； （2）解：由（1）得：，， ∴； （3）解：∵，， ∴，， ∵a的整数部分是x， ∴， ∵b的小数部分是y， ∴， ∴． 12．（24-25八年级下·湖北黄石·期中）阅读下列解题过程： 例：若代数式的值是2，求的取值范围． 解：原式 当时，原式，解得（舍去）； 当时，原式，符合条件； 当，原式，解得（舍去）． 的取值范围是． 上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题： (1)当时，化简：_____． (2)若等式成立，求的取值范围． (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）解：当时， 原式； （2）解：原式= 当时，原式，解得(舍去)； 当时，原式，符合条件； 当时，原式，解得 (舍去)． 所以，的取值范围是； （3）解：∵， ∴原式=， 当时，原式，解得符合条件； 当时，原式，不符合条件； 当时，原式，解得 符合条件． 所以，的值是或． 13．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）定义：对于正数，把叫做与的算术平均数，叫做与的几何平均数；而且两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，即如果，那么，当时，等号成立． (1)2和12的算术平均数和几何平均数分别为___________、___________； (2)①已知，则的最小值是___________； ②已知，且，则的最大值是___________； (3)已知，记，求的取值范围． 【答案】(1)7， (2)①2；②25 (3) 【详解】（1）解： 2和12的算术平均数是，几何平均数是； 故答案为：7，； （2）解：①根据题意可得：，当且仅当时取“=”； 故答案为：2； ②∵，且， ∴，即， ∴ 则的最大值是25； 故答案为：25； （3）解：∵， ∴ ，当即时取等号， ∴， ∴的取值范围是． 14．（24-25八年级下·广东中山·期中）在数学小组探究学习中，小华与他的小组成员遇到这样一道题： 已知，求的值．他们是这样解答的： ， ， 即， ， ． 请你根据小华小组的解题方法和过程，解决以下问题： (1) ． (2)化简：． (3)若， ①求的值， ②求的值． 【答案】(1) (2) (3)①1；②6 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：原式 ； （3）解：①∵， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴ ； 15．（24-25八年级下·江苏南京·期中）阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现： 当，时，． ，当且仅当时取等号． 请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，的最小值为______； (2)当时，的最小值为______； (3)当时，的最小值为______； (4)如图，四边形的对角线相交于点O，的面积分别为8和18，求四边形的面积的最小值． 【答案】(1)2 (2)6 (3)2 (4)50 【详解】（1）解：根据题意得：， 当且仅当，取等号， 即当时，的最小值为2； 故答案为：2 （2）解：根据题意得：， 当且仅当，取等号， 即当时，的最小值为6； 故答案为：6 （3）解：， 当且仅当，取等号， 即当时，的最小值为2； 故答案为：2 （4）解： 设的面积分别为x，y， ∵的边的高相同， ∴， 同理， ∴， ∵的面积分别为8和18， ∴， ∴， ∴四边形的面积为， 当且仅当，取等号， ∴四边形的面积的最小值为50． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 一、单选题 1．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）已知，则的值为（   ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】B 【详解】设， ​． 已知，求的值． ． 又,​ ． 而． 由于，有，而，因此只能为负，即 ． ． 故选：B． 2．（24-25八年级下·重庆·期中）若a和b都是正整数且和是可以合并的二次根式，下列结论中正确的个数为（   ） ①只存在一组a和b使得； ②只存在两组a和b使得； ③不存在a和b使得； ④若只存在三组a和b使得，则的值为36或81 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：①和都是正整数且，和可以合并的二次根式， ， ， 当时，，故结论①正确； ②， 当，则 当则．故结论②正确； ③， 当时，， 当时，，故结论③错误； ④， ， 当时，， ， ， 有无数和满足等式，故结论④错误． 综上所述：正确结论有①②，共2个， 故选：B． 二、填空题 3．（23-24八年级下·山东淄博·期中）有如下一串二次根式： ； ； ； ，仿照，写出第个二次根式______． 【答案】 【详解】解：， ， ， ， ∴第个二次根式为， 故答案为：． 三、解答题 4．（24-25八年级下·江西赣州·期中）阅读材料：像，，这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号． 如：， 请你解决如下问题： (1)的有理化因式是___________，___________． (2)化简． (3)数学课上，老师出了一道题“已知，求的值” 聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答： 因为，所以． 所以，所以，所以， 所以，所以 利用上述方法：若，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）解：∵， ∴的有理化因式是， ， 故答案为：，； （2）解： ； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 5．（24-25八年级下·北京海淀·期中）小君想到了一种证明等式成立的方法． 证明过程如下： 设，，则，． 等号左边，等号右边； ∵，， ∴， ∴等号右边， ∴等号左边等号右边， ∴等式成立． (1)小艳利用同样的方法求出方程的解．她的想法是：将一个无理方程转化为一个整式方程（组），再利用乘法公式和二元一次方程组的解法求出方程的解．请你帮助小艳完成她的求解过程． 解：设，，则________，________．将原无理方程转化为用m、n表示的整式方程（组），并完成原无理方程的求解过程如下： (2)请直接写出方程的解为________． 【答案】(1)9；1；． (2) 【详解】（1）解：设，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 联立，解得： ∴． ∴． 故答案为：9；1． （2）解法一：∵， ∴， ∴， ∴． ∴，解得：． 经检验：是原方程的解． 解法二：设， ∵， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 解得：． 经检验：是原方程的解． 故答案为：． 6．（24-25八年级下·广东中山·期中）阅读下列材料，然后回答问题：在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： ； ； ； 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． (1)化简：______；______；______； (2)化简：； (3)已知，，求的值． 【答案】(1)，，； (2)； (3)． 【详解】（1）解：； ； ； 故答案为：，，； （2）解： ； （3）解： ，， ， ， ， ． 7．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中、、、均为整数），则有． ，．这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)当、、、均为正整数时，若，用含、的式子分别表示、，则_______，_________； (2)的算术平方根为_________________； (3)若，且、、均为正整数，求的值； (4)化简：． 【答案】(1)； (2) (3)的值为或 (4) 【详解】（1）解：∵， ∴，， 故答案为：；； （2）解：∵， 故答案为：； （3）解：∵， ∴，，即， ∵、、均为正整数， ∴，或，， ∴当，时，； 当，时，； ∴的值为或； （4）解：∵ ， ∴． 8．（24-25八年级下·福建莆田·期中）材料1：对于任意正实数a，b，∵，∴，，只有当时，等号成立． 结论：在，（a，b均为正实数）中，若为定值p，则，，只有当时，有最小值． 材料2：若函数（，，m为常数），由材料1结论可知：，即．∴当，即，∴时，函数的最小值为．根据上述内容，回答下列问题： (1)若，只有当 时，有最小值； (2)若函数，则 时，函数的最小值为 ． (3)如图，已知，，点P是第一象限内的一个动点，过P点向坐标轴作垂线，分别交x轴和y轴于C，D两点，矩形的面积始终为12，求四边形面积的最小值以及此时P点的坐标． 【答案】(1)1 (2)4，7 (3)四边形的面积最小值为24； 【详解】（1）解：∵， ∴，即， ∴当时，即时，有最小值， ∵， ∴， 故答案为1； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴当时，y有最小值，最小值为7， ∴， ∵， ∴时，y有最小值，最小值为7， 故答案为4，7； （3）解：设， ∵矩形的面积为12， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵ ， ∴， ∴当时，即时，四边形的面积最小，最小值为24， 此时， ∴． 9．（24-25八年级下·福建福州·期中）阅读下列材料，然后回答问题： ①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：，以上这种化简的步骤叫做分母有理化． ②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知，，求．我们可以把和看成是一个整体，令，，则．这样，我们不用求出，就可以得到最后的结果． (1)计算：； (2)若是正整数，，，且，求的值； (3)若，则的值是______．（直接写出答案结果） 【答案】(1) (2) (3)9 【详解】（1）解：原式 （2），， ． ． ． ， ， ， 解得：； （3）， ， ， ， ， ， ． 故答案为：9． 10．（24-25八年级下·四川泸州·期中）按要求进行二次根式的有关计算： （1）阅读：，反之，； ，反之，． 应用： ______． （2）阅读：，； 应用：方程的解是______． （3）阅读：已知，，试比较x，y的大小；不好直接比较，可用如下方法： ，，因，且x，y都是正数，故． 应用：比较大小：______，______． 【答案】（1）；（2）；（3）<，> 【详解】解：（1）由题可得：， 故答案为：； （2）由题可得：， 整理得：， 移项得：， 解得：， 故答案为：； （3）由题可得：令，， ∴，， ∴， ∴； 令，， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：<，>． 4 / 41 学科网（北京）股份有限公司 $