2026届高考数学模拟卷（四）（全国适用）

2026届高考数学终极押题卷（四） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将答题卡交回． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别化简集合，结合交集的运算规律即可求解. 【详解】因为，所以，所以， 因为，所以，所以， ， 故选：. 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由复数的四则运算结合模长公式即可求解； 【详解】由题意得，， 所以. 故选：D 3. 某地为促进消费，向当地市民随机发放了面值10元、20元、50元的线下消费满减电子券，每位市民可以领取一张，且每笔消费仅能使用一张．某支持使用该消费券的大型商场统计到某日使用了10元、20元、50元消费券的消费账单的数量之比为，若对这些账单用等比例分层随机抽样的方法进行抽样调查，抽取一个容量为50的样本，则样本中使用了50元消费券的消费账单的份数为（ ） A. 5 B. 10 C. 20 D. 30 【答案】B 【解析】 【分析】根据分层抽样的概念计算即可. 【详解】根据题意，使用50元消费券的消费账单占总消费账单的：. 所以抽取的样本中，使用了50元消费券的消费账单的份数应为：份. 故选：B 4. 已知正四棱台的高为，，为底面的中心，则直线与平面所成的角为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设为底面的中心，连接，由正四棱台性质可得平面，由此可得直线与平面所成的角为，由条件解三角形求结论. 【详解】设为底面的中心，连接， 因为为底面的中心，由正四棱台的性质可得平面， 又平面，所以，在平面内的投影为， 所以直线与平面所成的角为， 因为，所以，故， 因为正四棱台的高， 所以， 因，所以， 故直线与平面所成的角为， 故选：C 5. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则不等式的解集为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用奇函数、函数的单调性以及函数的零点转化待求不等式，求解即得. 【详解】因为， 所以在上单调递增，且． 因为是定义在上的奇函数，所以在上单调递增，且． 由，可得或，解得或． 即的解集为. 故选：B. 6. 若，则（ ） A. B. 10 C. 15 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式求解即可. 【详解】的展开式的通项为， 又， 所以，， 所以， 故选：C 7. 已知是函数的图象上两个不同的点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即可. 【详解】由题意不妨设，因为函数是增函数， 所以，即， 对于选项AB：因为， 即，且函数是增函数， 所以，故B正确，A错误； 对于选项D：例如，则， 可得，即，故D错误； 对于选项C：例如，则， 可得，即，故C错误， 故选：B. 8. 画法几何学的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条互相垂直直线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心，以长半轴和短半轴平方和的算术平方根为半径的圆，称该圆为椭圆的蒙日圆.设A，B为椭圆E：上的两个动点，动点P在直线上，若恒成立，则E的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据蒙日圆的定义写出椭圆方程对应的蒙日圆，再由直线与圆的位置关系及点线距离公式列不等式求参数范围，进而求椭圆离心率范围. 【详解】根据题意，得椭圆E的蒙日圆方程为， 其上任意一点向椭圆C所引的两条切线互相垂直， 因此当直线与圆相离时，， 由，解得. 所以离心率. 故选：A 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，都是复数，下列正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据共轭复数的定义及复数的乘法运算即可判断A；举出反例即可判断BC；根据复数的乘法运算及复数的模的计算公式即可判断D. 【详解】设， 对于A， 若，则，故，故A正确； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，当时，，故C错误； 对于D，若，则，所以， ， 同理，所以，所以，故D正确. 故选：AD. 10. 函数的最小正周期为，则（ ） A. 的值为2 B. 是函数图象的一条对称轴 C. 函数在单调递减 D. 当时，方程存在两个根，则 【答案】AD 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简函数的解析式，根据最小正周期为可得选项A 正确；根据可得选项B错误；令，分析函数的单调性可得选项C错误；把问题转化为直线与函数图象交点个数问题可得选项D正确. 【详解】A.由题意得，， 由得，A正确； B.由A得，故， ∴不是函数图象的一条对称轴，B错误； C.令，当时，， 根据函数在上不是单调递减函数，可得C错误. D.令，由得，， 由得，，问题转化为直线与函数的图象在区间上有两个交点， 结合图象可得，故，即，D正确. 故选：AD. 11. 已知定义在上的函数，当时，，且，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则在上恰有5个零点 D. 若，在区间有最大值，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用恒等式赋值思想，通过赋值可判断AB，通过作出分段函数图象可判断C，通过分析定义在的二次型函数取到最大值，可得到参数范围来判断D. 【详解】对于A，由题意可知：当时，有，故A正确； 对于B，当时，有， 又因为，所以有，故B错误； 对于C，当时，， 当时，由于，， ，，， 所以，， 作出分段函数和函数的图象如下： 由于，直线经过点，而函数的图象不经过点， 则由图象可得，它们只有5个交点，即在上恰有5个零点，故C正确； 对于D，根据当时，由于， 要满足对，在区间有最大值， 则只需要在上存大最大值， 即满足或，解得或， 综上可得：，故D正确； 故选：ACD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知点是椭圆：上的动点，若，则的最小值为_____. 【答案】## 【解析】 【分析】根据两点间的距离公式列关于的函数式，然后利用二次函数求出最值即可 【详解】由题意得，且 所以 当时，取得最小值为， 故答案为： 13. 已知是数据的第70百分位数，若，则__________． 【答案】80 【解析】 【分析】所给数据按从小到大的顺序排列后求出第70百分位数，等价于，根据二项展开式的通项进行求解. 【详解】将数据按从小到大的顺序排列为：， 因为，所以数据的第70百分位数为第5个数据为5，则， 所以， 所以 故答案为：80 14. 键线式可以简洁直观地描述有机物的结构，在有机化学中极其重要.有机物萘可以用如图所示的键线式表示，其结构简式可以抽象为如图所示的图形.已知六边形与六边形为全等的正六边形，且，点为正六边形内的一点（包含边界），则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】过点作直线的垂线，垂足为，则,当点与点重合时，取最小值，当点与点重合时，取最大值. 【详解】过点作直线的垂线，垂足为，则,, 所以， 当点与点重合时，取最小值， 当点与点重合时，取最大值， 所以的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在平面当中存在一个三角形，同时分别是角的对边，已知条件. （1）求解角的角度； （2）如果三角形周长为，，求及三角形的面积 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理化角为边并化简可得，再根据余弦定理求， （2） 条件结合关系，解方程求 ，再求，结合三角形面积公式求结论； 小问1详解】 由正弦定理（为外接圆半径）， 可得，. 将其代入中，得到， 化简可得. 所以 ，即， 所以. 根据余弦定理可得， 又，所以. 【小问2详解】 由已知， . 由（1），变形为. 所以， 所以，， 根据三角形面积公式， 由（1）可得，故，又， 所以的面积. 16. 已知函数. （1）若时，求曲线在处的切线方程； （2）若时，在区间上的最小值为，求实数的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导，即可根据点斜式求解直线方程， （2）求导，根据导数确定函数的单调性，即可求解，构造函数求导即可求解. 【小问1详解】 当时，且， 所以， 故切线方程为，即， 【小问2详解】 ， 由，存在，使得，即， 当时，，此时单调递减， 当时，，此时单调递增， 故， ， 故在单调递减，又， 故 17. 已知数列为无穷数列，前项和为. （1）若，，求的通项公式； （2）是否存在等差数列，使？若存在，请写出一个满足条件的通项公式，若不存在，请说明理由； （3）若数列为等比数列，公比为，且满足，求的取值范围. 【答案】（1） （2）不存在，理由见解析 （3）当时，；当时，或 【解析】 【分析】（1）根据与的关系，推得通项公式； （2）写出等差数列的基本公式，代入不等式整理，结合二次函数性质分析即可说明； （3）根据不等式关系，分类讨论得到结果. 【小问1详解】 已知，则当时，； 当时，，即，化简可得， 因此，数列从第二项起是首项为，公比为的等比数列，通项公式为： 【小问2详解】 不存在等差数列，使. 理由：设等差数列的公差为，则， 代入不等式得：， 化简整理得, 令， 若，，二次函数开口向上，当趋近于正无穷时，， 无法满足恒成立； 若，，当，当， 此时由的值决定，所以不满足不等式. 当，，二次函数开口向下，当趋近于正无穷时，， 当，，无法满足恒成立； 综上，不存在等差数列，使. 【小问3详解】 设等比数列首项，公比．则． 则即． 由可先判断符号，． 因此若，则；若，则． 情形一：，此时可直接除以正数，得． 等价于． 若，则，恒成立； 若，则， 必存在某个使不成立， 故该情形要求； 情形二：，此时除以负数需改变不等号方向即． 又由，可化为． 若，则，且， 所以有，故恒成立； 若，令，则当为奇数时，恒成立； 当为偶数时，取．即． 函数在上单调递增， 且，故．即； 综上，当时，；当时，或；． 18. 某一场体育比赛由局小比赛组成（），若赢1局则积1分，先赢局的选手获得整场比赛的胜利．特别地，当时，即为一局定整场比赛的胜负．假设每局比赛之间的胜负相互独立，且没有平局． （1）已知甲、乙两人在过往100局小比赛的练习中，甲赢60局，若以此频率估计甲每局获胜的概率．当时，求甲以的比分获得整场比赛胜利的概率． （2）若甲、乙两人每局比赛获胜的概率分别为p和，，甲可以选择n的值（其中），则对于甲而言，选择n为哪个值更为有利？请说明理由． （3）若甲、乙两人每局比赛获胜的概率均为，当时，设甲在没有进行第局时就能获得整场比赛胜利的概率为，求证：． 【答案】（1） （2）应该选择，理由见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题意得甲每局比赛获胜的概率为0.6，根据独立事件乘法公式计算即可； （2）分别计算出时，时甲获胜的概率，再利用作差法比较可得结论； （3）由于对称性可知甲和乙没有进行第局时就能获得整场比赛胜利的概率均为，若要以第局定整场比赛的胜负，则，由此计算得，判断即可得证. 【小问1详解】 甲每局比赛获胜的概率为0.6， 由于甲以获得整场比赛胜利， 所以，第4局胜者必然是甲，则前面3局中甲赢2局，输1局， 故甲以获得整场比赛胜利的概率为； 小问2详解】 选择时，甲整场比赛获胜的概率为； 当选择时，甲整场比赛获胜的概率为； 所以作差得，， 由于，，，所以， 即对于甲而言，应该选择； 【小问3详解】 若甲、乙两人每局比赛获胜的概率相等，所以前2n局就能定整场比赛正负的概率相同， 即甲和乙没有进行第局时就能获得整场比赛胜利的概率均为， 由题可得，若要以第局定整场比赛的胜负， 则前2n局得分必定为的形式，概率为， 因为 “甲在局内获胜”“乙在局内获胜”“比赛进行到第局” 是互斥且穷尽的事件， 所以，即， 由于，则，得证． 19. 已知O为坐标原点，分别是双曲线的左、右焦点，直线与E交于A，B两点，﹒ （1）求E的离心率； （2）M为E上一点（不在x轴上），过作平分线的垂线，垂足为N，若，求的面积． 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】（1）根据向量关系计算点的坐标，再代入求出方程解出离心率即可； （2）结合图形特征，再应用面积公式计算. 【小问1详解】 由题意得，直线与双曲线两交点A，B关于原点对称， 不妨设点A在第一象限，由，得， 设，则， 所以，则， 将其代入双曲线方程，得，即， 化简得，即， 因为，所以，则，即双曲线E的离心率为． 【小问2详解】 因为点关于的平分线MN的对称点G在或的延长线上， 所以， 又ON是的中位线，所以， 因为，所以， 因为，所以双曲线E的方程为， 所以，则． 又，所以． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高考数学终极押题卷（四） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将答题卡交回． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 3. 某地为促进消费，向当地市民随机发放了面值10元、20元、50元的线下消费满减电子券，每位市民可以领取一张，且每笔消费仅能使用一张．某支持使用该消费券的大型商场统计到某日使用了10元、20元、50元消费券的消费账单的数量之比为，若对这些账单用等比例分层随机抽样的方法进行抽样调查，抽取一个容量为50的样本，则样本中使用了50元消费券的消费账单的份数为（ ） A. 5 B. 10 C. 20 D. 30 4. 已知正四棱台的高为，，为底面的中心，则直线与平面所成的角为（　　） A. B. C. D. 5. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则不等式的解集为（ ） A B. C. D. 6. 若，则（ ） A. B. 10 C. 15 D. 16 7. 已知是函数的图象上两个不同的点，则（ ） A. B. C. D. 8. 画法几何学的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条互相垂直直线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心，以长半轴和短半轴平方和的算术平方根为半径的圆，称该圆为椭圆的蒙日圆.设A，B为椭圆E：上的两个动点，动点P在直线上，若恒成立，则E的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，都是复数，下列正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 函数的最小正周期为，则（ ） A. 的值为2 B. 是函数图象的一条对称轴 C. 函数在单调递减 D. 当时，方程存在两个根，则 11. 已知定义在上的函数，当时，，且，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则在上恰有5个零点 D. 若，在区间有最大值，则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知点是椭圆：上的动点，若，则的最小值为_____. 13. 已知是数据的第70百分位数，若，则__________． 14. 键线式可以简洁直观地描述有机物的结构，在有机化学中极其重要.有机物萘可以用如图所示的键线式表示，其结构简式可以抽象为如图所示的图形.已知六边形与六边形为全等的正六边形，且，点为正六边形内的一点（包含边界），则的取值范围是__________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在平面当中存在一个三角形，同时分别是角的对边，已知条件. （1）求解角的角度； （2）如果三角形周长为，，求及三角形的面积 16. 已知函数. （1）若时，求曲线在处的切线方程； （2）若时，在区间上的最小值为，求实数的值. 17. 已知数列为无穷数列，前项和为. （1）若，，求的通项公式； （2）是否存在等差数列，使？若存在，请写出一个满足条件的通项公式，若不存在，请说明理由； （3）若数列为等比数列，公比为，且满足，求的取值范围. 18. 某一场体育比赛由局小比赛组成（），若赢1局则积1分，先赢局的选手获得整场比赛的胜利．特别地，当时，即为一局定整场比赛的胜负．假设每局比赛之间的胜负相互独立，且没有平局． （1）已知甲、乙两人在过往100局小比赛的练习中，甲赢60局，若以此频率估计甲每局获胜的概率．当时，求甲以的比分获得整场比赛胜利的概率． （2）若甲、乙两人每局比赛获胜的概率分别为p和，，甲可以选择n的值（其中），则对于甲而言，选择n为哪个值更为有利？请说明理由． （3）若甲、乙两人每局比赛获胜的概率均为，当时，设甲在没有进行第局时就能获得整场比赛胜利的概率为，求证：． 19. 已知O为坐标原点，分别是双曲线的左、右焦点，直线与E交于A，B两点，﹒ （1）求E的离心率； （2）M为E上一点（不在x轴上），过作平分线的垂线，垂足为N，若，求的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $