专题16 几何最值之胡不归模型（几何模型讲义）（浙江专用）2026年中考数学一轮复习几何模型系列

专题16 几何最值之胡不归模型 “PA+k·PB”型的最值问题，当k值为1时，即可转化为“PA+PB”型的最值问题，就可用我们常见的“将军饮马”模型来处理，即可以转化为轴对称问题来处理。而当k取任意不为1的正数时，若再以常规的轴对称思想来解决问题，则难以进行，因此必须转换思路。本专题就最值模型中的胡不归问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。在解决胡不归问题主要依据是：点到线的距离垂线段最短。 1 模型趣事 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 4 7 ‌ 有一则历史故事：从前有个少年外出求学，得知父亲病危的消息后便日夜赶路回家。根据“两点之间线段最短”，虽然从他位置点A到家点B之间是一片砂地，但是仍然义无反顾踏上归途。然而，当他气喘吁吁地来到父亲的面前时，老人刚刚咽气了。人们告诉他，在弥留之际，老人在不断喃喃地叨念：“胡不归？胡不归？”（“胡”同“何”） 1．（2025•港北区三模）如图，△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC，AB＝2，点E为BD上动点，连接AE，则的最小值为（　　） A．1 B． C． D．2 2．（2025•肇源县二模）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（1，0），C（﹣3，0）两点，与y轴交于点B（0，3）．若P为y轴上一个动点，连接AP，则的最小值为（　　） A． B．2 C． D．4 3．如图，△ABC中，AB＝AC＝15，tanA＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CDBD的最小值是（　　） A．3 B．6 C．5 D．10 4．（2025•苏州二模）如图，二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接BC，二次函数上第一象限内有一点D，第三象限有一点E，线段OB上有一点G，连接DE交BC于F，连接FG． （1）请求出直线BC对应函数的表达式； （2）当四边形ABCD的面积最大时，求D点的坐标． （3）在（2）的条件下，当△ECD和△EBD的面积比为1：3时，猜想有没有最小值？如果有，请求出这个最小值，如果没有，请说明理由． 5．（2025•祁阳市模拟）【定义】在平面直角坐标系中，与x轴有交点的函数称为：“零点函数”，交点的横坐标称为“零点”．例如：函数y＝x﹣1与x轴的交点坐标是（1，0），所以函数y＝x﹣1是“零点函数”，1是该函数的零点． 【探究】运用上述定义解决下列问题： （1）下列函数是“零点函数”的是 　　 ，其零点是：　　 ． ①；②y＝x2+1；③y＝3x+6． （2）已知二次函数是“零点函数”，且两个零点x1＜0，x2＞0，|x1|＜|x2|，求实数a的取值范围． 【应用】如图：已知二次函数y＝x2﹣bx﹣c（b，c为常数，b＞0）的一个零点为﹣1，点M（t，0）是x轴正半轴上的动点，点在抛物线上，当的最小值为时，求二次函数的另一个零点． 那么，如果他先沿着驿道走一段长度AC，再走砂道CB，会不会更早些到家呢？我们假设在AC段的速度为V2，在BC段的速度为V1，可知V2＞V1，根据路程、时间、速度之间的关系，我们明确要求时间最短，就是确定点C的位置，使得的值最小。处理此式子，可得：，设，即求BC+kAC的最小值。 构造射线AD，使得，即sin∠DAN=k，那么CH=kAC。求BC+kAC的最小值转化为求BC+CH的最小值，根据垂线段最短可知，过点B作BH⊥AD交直线MN与点C，交射线AD为点H，此时BC+CH取得最小值。 【解题关键】在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB” 型问题转化为“PA+PC”型，（若k>1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。 【最值原理】垂线段最短。 例1如图，在矩形ABCD中，AD＝2，，点P为BC边上一点，则的最小值等于 　 ． 例2如图，在矩形ABCD中，，AB＝6，对角线AC，BD相交于点O，点E在线段AC上，且AE＝4，点F为线段BD上的一个动点，则的最小值为 　　 ． 例3（2025•渝中区校级模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧）．与y轴交于点C，OBOC，OA＝OC． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点D是抛物线的顶点，连接AD，点F是AD上方抛物线上一动点，过点F作FE⊥AD于点E，过点F作FH⊥y轴于点H，点N是x轴上一动点．连接FN，当EFFH取得最大值时，求出点F的坐标及FNBN的最小值； （3）如图2，连接CA，将抛物线沿射线CA方向平移得到新抛物线y′，新抛物线y′的顶点P为（4，1），CA延长线交抛物线y′于点Q，点K为抛物线y′上一动点，当直线PK与直线CA所夹锐角为∠AQP的两倍时，请直接写出所有符合条件的点K的横坐标，并写出其中一个点的横坐标的求解过程． 例4（2025•广安校级模拟）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2，E是BC边上一个动点，连接AE，AE的垂直平分线MN交AE于点M，交BD于点N，连接EN、CN． （1）求证：EN＝CN； （2）求2EN+BN的最小值． 例5在△ABC中，∠A＝45°，点D是边AB上一动点，连接CD． （1）如图1，若∠ADC＝30°，将线段CD绕着D逆时针旋转90°得到ED，连接CE．若CE＝12，求AD的长； （2）如图2，过点C作CF⊥AB于F，当点D在线段BF上时，将线段CD绕着D逆时针旋转90°得到ED，连接CE，过点E作EG∥AC交AB于点G．求证：AG＝2DF； （3）如图3，若∠ABC＝15°，AB＝3+3，将线段CD绕着D逆时针旋转120°得到ED，连接CE．请直接写出DEBD的最小值． 1．如图在平面直角坐标系中，抛物线的图象交x轴于A、B，于y轴交于C，点P为y轴上一动点，则的最小值为（　　） A．2 B． C． D．4 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y与x轴的正半轴交于点A，B点为抛物线的顶点，C点为该抛物线对称轴上一点，则3BC+5AC的最小值为（　　） A．24 B．25 C．30 D．36 3．如图，在△ABC中，P为平面内的一点，连接AP、PB、PC，若∠ACB＝30°，AC＝8，BC＝10，则4PA+2PB+2PC的最小值是（　　） A．4 B．36 C．426 D．1610 4．如图，在菱形ABCD中，AB＝AC＝6，对角线AC、BD相交于点O，点M在线段AC上，且AM＝2，点P是线段BD上的一个动点，则的最小值是（　　） A．2 B． C．4 D． 5．（2025春•新吴区校级月考）如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC上的动点，且满足AE＝BF，AF与DE交于点O，点M是DF的中点，G是边AB上的点，AG＝2GB，则的最小值是（　　） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 6．如图所示，菱形ABCO的边长为5，对角线OB的长为4，P为OB上一动点，则APOP的最小值为（　　） A．4 B．5 C．2 D．3 7．（2025•龙凤区二模）如图，在△ABC中，，tan∠C＝2，则的最大值为　 　 ． 8．在平面直角坐标系中，已知，A（2，0），C（0，﹣1），若P为线段OA上一动点，则CPAP的最小值为　 　 ． 9．如图，矩形ABCD的对角线交于点O，AB＝2，BC＝2，点P是BC上的动点，则OPBP的最小值是 　 　 ． 10．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于点A，C两点，与y轴交于点B，对称轴与x轴交于点D，若P为y轴上的一个动点，连接PD，则PB+PD的最小值为 　 　 ． 11．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AB＝2，P是AC上的动点，求BPAP的最小值为　 　 ． 12．如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足为D，P为线段AD上的一个动点，连接PB，则的最小值为 　 　 ． 13．如图，在长方形ABCD中，对角线BD＝6，∠ABD＝60°．将长方形ABCD沿对角线BD折叠，得△BED，点M是线段BD上一点．则EMBM的最小值为 　 　 ． 14．（2025•西安校级自主招生）在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，E为BC边中点，连接AE，点P为直线AE上的动点，F为PD中点，则2BF+CF的最小值为 　 　 ． 15．（2025春•锦江区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝60°，在线段AD上取一点E，使DE＝1，连接BE，点M，N分别是线段AE，BE上的动点，连接MN，则的最小值为　 　 ． 16．（2025秋•双流区校级期中）如图所示，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，E，F分别是AC，CD上的动点，且，连接BE，BF，在整个运动过程中，的最小值为　 　 ． 17．（2025秋•海淀区校级期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，若D是边AB上的一个动点，连接CD，则AD+2CD的最小值是　 　 ． 18．（2025•雁塔区校级模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足为D，P为线段AD上的一动点，连接PB、PC．则PA+2PB的最小值为　 　 ． 19．如图，已知抛物线y（x+2）（x﹣4）（k为常数，且k＞0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线yx+b与抛物线的另一交点为D． （1）若点D的横坐标为﹣5，求抛物线的函数表达式； （2）若在第一象限内的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，求k的值； （3）在（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？ 20．如图，抛物线yx2﹣6x+7交x轴于A，B两点（点A在点B左侧），交y轴于点C，直线yx+7经过点A、C，点M是线段AC上的一动点（不与点A，C重合）． （1）求A，B两点的坐标； （2）当点P，C关于抛物线的对称轴对称时，求PMAM的最小值及此时点M的坐标； （3）连接BC，当△AOM与△ABC相似时，求出点M的坐标． 21．抛物线y＝﹣x2+bx+3与直线y＝x+1相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点A在x轴的负半轴上． （1）求抛物线的函数表达式及顶点D的坐标； （2）如图1，直线AB上方的抛物线上有一动点P，过点P作PH⊥AB于点H，求垂线段PH的最大值； （3）如图2，当点P运动到抛物线对称轴右侧时，连接AP，交抛物线的对称轴于点M，当AMDM最小时，直接写出此时AP的长度． 22．如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴相交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C，连接BC． （1）求抛物线的解析式； （2）若点P为y轴上一个动点，连接BP，求CP+10BP的最小值； （3）连接AC，在x轴上是否存在一点P，使得∠PCO+∠ACO＝45°？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 23．（2025春•花都区期中）已知，在平面直角坐标系中，正方形AOBC的顶点B，A分别在x轴和y轴的正半轴上，顶点C的坐标为（a，b），且a，b满足：，点D为边OA上的一个动点，将△BOD沿BD翻折，得到△BED． （1）求出a，b的值； （2）如图1，若点D为AO中点，延长DE交AC于点F，求CF的长； （3）如图2，若∠OBD＝30°，点M为线段BD上的动点，求2OM+MB的最小值． 24．（2025•北碚区校级开学）如图1，抛物线C：y＝ax2+bx﹣3与坐标轴分别交于A、B、D三点，其中A点坐标为（4，0），3OB＝OD． （1）求抛物线解析式； （2）点P是直线AD下方抛物线上的一动点，点Q是x轴上一动点，当四边形OAPD的面积最大时，求的最小值； （3）在（2）条件下，将抛物线C沿x轴翻折得到C1，则P点的对应点为P1，并将C1沿射线P1B方向平移个单位长度得到C2，记P1在抛物线C2上的对应点为P2，过P2作P2E⊥x轴于点E，F是直线DE上一点，连接AF，则是否存在点F使得∠AFD＝∠AED+∠DAF，若存在，请直接写出点F的坐标． 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题16 几何最值之胡不归模型 “PA+k·PB”型的最值问题，当k值为1时，即可转化为“PA+PB”型的最值问题，就可用我们常见的“将军饮马”模型来处理，即可以转化为轴对称问题来处理。而当k取任意不为1的正数时，若再以常规的轴对称思想来解决问题，则难以进行，因此必须转换思路。本专题就最值模型中的胡不归问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。在解决胡不归问题主要依据是：点到线的距离垂线段最短。 1 模型趣事 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 4 7 ‌ 有一则历史故事：从前有个少年外出求学，得知父亲病危的消息后便日夜赶路回家。根据“两点之间线段最短”，虽然从他位置点A到家点B之间是一片砂地，但是仍然义无反顾踏上归途。然而，当他气喘吁吁地来到父亲的面前时，老人刚刚咽气了。人们告诉他，在弥留之际，老人在不断喃喃地叨念：“胡不归？胡不归？”（“胡”同“何”） 1．（2025•港北区三模）如图，△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC，AB＝2，点E为BD上动点，连接AE，则的最小值为（　　） A．1 B． C． D．2 【分析】过E作EM⊥BC于M，过H作AH⊥BC于H，交BD于E'，由△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC，可得EMBE，当AEBE最小时，AE+EM最小，此时E与E'重合，M与H重合，AEBE的最小值为AH的长度，在Rt△ABH中，有AH＝AB•sin∠ABH＝2×sin60°，故AEBE最小值为． 【解答】解：过E作EM⊥BC于M，过A作AH⊥BC于H，交BD于E'，如图： ∵△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC， ∴∠EBM＝30°， ∴EMBE， ∴AEBE＝AE+EM， 当AEBE最小时，AE+EM最小，此时E与E'重合，M与H重合，AEBE的最小值为AH的长度， 在Rt△ABH中， AH＝AB•sin∠ABH＝2×sin60°， ∴AEBE最小值为， 故选：C． 2．（2025•肇源县二模）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（1，0），C（﹣3，0）两点，与y轴交于点B（0，3）．若P为y轴上一个动点，连接AP，则的最小值为（　　） A． B．2 C． D．4 【分析】连接BC，AP，过点P作PG⊥BC于点G，连接AG，过点A作AH⊥BC于点H，推出的最小值为AH的长，再求出AH即可． 【解答】解：连接BC，AP，过点P作PG⊥BC于点G，连接AG，过点A作AH⊥BC于点H，如图， ∵C（﹣3，0），B（0，3）， ∴OC＝OB， ∴∠OBC＝45°， ∴PGBP， ∴PG+AP≥AG≥AH， ∴的最小值为AH的长， ∵A（1，0），C（﹣3，0） ∴AC＝1﹣（﹣3）＝4， 在Rt△ACH中， ∵∠ACH＝45°，AC＝4， ∴AHAC， ∴的最小值为． 故选：C． 3．如图，△ABC中，AB＝AC＝15，tanA＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CDBD的最小值是（　　） A．3 B．6 C．5 D．10 【分析】如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．由，设AE＝a，BE＝2a，利用勾股定理构建方程求出a，再证明，推出，由垂线段最短即可解决问题． 【解答】解：如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M． ∵BE⊥AC， ∴∠AEB＝90°， ∵， 设AE＝a，BE＝2a， 则有：225＝a2+4a2， ∴a2＝45， ∴a＝3或﹣3（舍弃）， ∴BE＝2a＝6， ∵AB＝AC，BE⊥AC，CM⊥AB， ∴CM＝BE＝6（等腰三角形两腰上的高相等）， ∵∠DBH＝∠ABE，∠BHD＝∠BEA， ∴， ∴， ∴， ∵CD+DH≥CM， ∴当点H与M重合，且C，D，H共线时，CD+DH的值最小， ∴的最小值为线段CM的长， ∴的最小值为6． 故选：B． 4．（2025•苏州二模）如图，二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接BC，二次函数上第一象限内有一点D，第三象限有一点E，线段OB上有一点G，连接DE交BC于F，连接FG． （1）请求出直线BC对应函数的表达式； （2）当四边形ABCD的面积最大时，求D点的坐标． （3）在（2）的条件下，当△ECD和△EBD的面积比为1：3时，猜想有没有最小值？如果有，请求出这个最小值，如果没有，请说明理由． 【分析】（1）分别令x＝0，y＝0，求出点B和点C坐标，进而利用待定系数法求出直线BC的解析式即可； （2）过D作DM∥y轴于点M，S四边形ABCD＝S△ABC+S△BCD，据此求解即可； （3）先由面积关系求可得CF：BF＝1：3，进而可得点F坐标，再根据问题可识别胡不归模型，构造等腰直角三角形BGL，可得GLBG，据此转化求解即可． 【解答】解：（1）令x＝0，得y＝3，令y＝0，得x＝﹣1或3， ∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）， 设直线BC的解析式为y＝kx+b， 将点B、点C坐标代入可得， 解得， ∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3； （2）如图，过D作DM∥y轴于点M， 设D（m，﹣m2+2m+3），则M（m，﹣m+3）， ∴DM＝﹣m2+2m+3+m﹣3＝﹣m2+3m， ∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△BCD （﹣m2+3m）×3 m2m+6 （m）2， 当m时，四边形ABCD的面积最大值为， 此时D（，）； （3）如图，过C作CQ⊥DE于点Q，BP⊥DE于点P， 则， 由辅助线可知BP∥CQ， ∴， ∵C（0，3），B（3，0）， ∴F（，）， ∵OB＝OC＝3， ∴∠OBC＝45°， ∴△OBC为等腰直角三角形， 过G作GL⊥BC于点L， 则△BGL为等腰直角三角形， ∴GLBG， ∴FG+BG（FGBG）（FG+GL）， 要求FG+BG的最小值，则可求FG+GL的最小值， 作F关于x轴对称点F'，则FG＝F'G， ∴FG+GL＝F'F+GL≥F'L，当且仅当F'、G、L三点共线时取等， 另根据垂线段最短可知，当F'L⊥BC时，F'L最小， ∵∠OBF＝45°， ∴∠BFF'＝45°， ∴△FF'L是等腰直角三角形， ∴F'LFF'2， ∴FG+BGF'L，故FG+BG有最小值为． 5．（2025•祁阳市模拟）【定义】在平面直角坐标系中，与x轴有交点的函数称为：“零点函数”，交点的横坐标称为“零点”．例如：函数y＝x﹣1与x轴的交点坐标是（1，0），所以函数y＝x﹣1是“零点函数”，1是该函数的零点． 【探究】运用上述定义解决下列问题： （1）下列函数是“零点函数”的是 　　 ，其零点是：　　 ． ①；②y＝x2+1；③y＝3x+6． （2）已知二次函数是“零点函数”，且两个零点x1＜0，x2＞0，|x1|＜|x2|，求实数a的取值范围． 【应用】如图：已知二次函数y＝x2﹣bx﹣c（b，c为常数，b＞0）的一个零点为﹣1，点M（t，0）是x轴正半轴上的动点，点在抛物线上，当的最小值为时，求二次函数的另一个零点． 【分析】【探究】（1）根据定义直接判断即可； （2）由题意可得Δ＝（a﹣1）2﹣4a（a﹣5）＞0①，x1+x2＝a﹣1＞0②，x1•x2a（a﹣5）＜0③，联立①②③求出a的取值范围即可； 【应用】在y轴上取点G（0，1），连接AG，过点Q作QP⊥AG于点P，交x轴于M，作QH⊥x轴于H，则AM+2QM＝2（AM+QM）＝2（PM+QM），当M取最小值时，PM+QM取最小值，即P、M、Q三点共线，再由的最小值为，可得方程，解得b＝4，即可确定函数的解析式为y＝x2﹣4x﹣5；令x2﹣4x﹣5＝0，求出二次函数的另一个零点为5． 【解答】解：【探究】（1）∵3x+6＝0时，x＝﹣2， ∴y＝3x+6是“零点函数”，零点是﹣2， 故答案为：③；﹣2； （2）由题意可知：Δ＝（a﹣1）2﹣4a（a﹣5）＞0①，x1+x2＝a﹣1＞0②，x1•x2a（a﹣5）＜0③， 由①得：a， 由②得：a＞1， 由③得：0＜a＜5， 综上所述，实数a的取值范围是：1＜a＜5； 【应用】∵二次函数y＝x2﹣bx﹣c的一个零点为﹣1， ∴1+b﹣c＝0，即c＝1+b， ∵b＞0， ∴x1+x2＝b＞0，即另一个零点大于1， ∵Q点在抛物线上， ∴， 在y轴上取点G（0，1），连接AG，过点Q作QP⊥AG于点P，交x轴于M，作QH⊥x轴于H， ∴H， 在Rt△APM中，， ∴AM+2QM＝2（AM+QM）＝2（PM+QM）， 当M取最小值时，PM+QM取最小值，即P、M、Q三点共线， 在Rt△MHQ中，， ∵M（t，0）， ∴， ∴， ∵的最小值为，， QM（b）（b）， ∴， 解得b＝4， ∴二次函数y＝x2﹣4x﹣5； 令x2﹣4x﹣5＝0，解得x＝5或x＝﹣1， ∴二次函数的另一个零点为5． 那么，如果他先沿着驿道走一段长度AC，再走砂道CB，会不会更早些到家呢？我们假设在AC段的速度为V2，在BC段的速度为V1，可知V2＞V1，根据路程、时间、速度之间的关系，我们明确要求时间最短，就是确定点C的位置，使得的值最小。处理此式子，可得：，设，即求BC+kAC的最小值。 构造射线AD，使得，即sin∠DAN=k，那么CH=kAC。求BC+kAC的最小值转化为求BC+CH的最小值，根据垂线段最短可知，过点B作BH⊥AD交直线MN与点C，交射线AD为点H，此时BC+CH取得最小值。 【解题关键】在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB” 型问题转化为“PA+PC”型，（若k>1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。 【最值原理】垂线段最短。 例1如图，在矩形ABCD中，AD＝2，，点P为BC边上一点，则的最小值等于 　 ． 【分析】在矩形外作∠BCM＝30°，过点P作PE⊥CM，则PEPC，过点A作AF⊥CM于点F，交BC于点P'，推出APPC的最小值为AF的长，在分别求出AP'和P'F即可求出答案． 【解答】解：在矩形外作∠BCM＝30°，过点P作PE⊥CM，则PEPC，过点A作AF⊥CM于点F，交BC于点P'， ∴APPC＝AP+PE≥AF， ∴APPC的最小值为AF的长， ∵∠AP'B＝∠CP'F＝90°﹣∠BCM＝60°，∠B＝90°， 在Rt△ABP'中， AP'2，BP'1， ∴CP'＝BC﹣BP'＝AD﹣BP'＝2﹣1＝1， 在Rt△CFP'中， P'FCP'， ∴AF＝AP'+P'F＝2， 故答案为：． 例2如图，在矩形ABCD中，，AB＝6，对角线AC，BD相交于点O，点E在线段AC上，且AE＝4，点F为线段BD上的一个动点，则的最小值为 　　 ． 【分析】过点E作EG⊥BC于点G，过点F作FH⊥BC于点H，首先根据题意将BF用FH表示，再将EF+FH的最小值用EG表示，进而求出EG的长即可解决问题． 【解答】解：过点E作EG⊥BC于点G，过点F作FH⊥BC于点H，如图， ∵四边形ABCD是矩形，，AB＝6， ∴∠BAD＝∠ABC＝90°，BC＝AD，DC＝AB＝6， ∴AC12， tan∠DBC， ∴∠DBC＝30°， ∵FH⊥BC， ∴FHBF， ∴EF+FH≥EG， ∴的最小值为EG的长， ∵AE＝4， ∴CE＝AC﹣AE＝12﹣4＝8， ∵EG⊥BC，∠ACB＝∠DBC＝30°， ∴EGCE＝4， ∵的最小值为4， 故答案为：4． 例3（2025•渝中区校级模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧）．与y轴交于点C，OBOC，OA＝OC． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点D是抛物线的顶点，连接AD，点F是AD上方抛物线上一动点，过点F作FE⊥AD于点E，过点F作FH⊥y轴于点H，点N是x轴上一动点．连接FN，当EFFH取得最大值时，求出点F的坐标及FNBN的最小值； （3）如图2，连接CA，将抛物线沿射线CA方向平移得到新抛物线y′，新抛物线y′的顶点P为（4，1），CA延长线交抛物线y′于点Q，点K为抛物线y′上一动点，当直线PK与直线CA所夹锐角为∠AQP的两倍时，请直接写出所有符合条件的点K的横坐标，并写出其中一个点的横坐标的求解过程． 【分析】（1）先求出点C坐标，进而求出A和B坐标，最后代入求解即可； （2）易求lAD：y＝﹣2x+6，所以其边角关系则有1：2：，所以过点F作FGlly轴，交AD于点G，则EFFG，设参，求出当EFFH时，F（，），再过点B构造30°角，转化BN，三点共线取等，进而利用等面积求解即可； （3）分类讨论，构造等腰三角形外角处理二倍角，另一种情况则是与第一种情况成为等腰三角形，进而求解即可． 【解答】解：（1）∵y＝ax2+bx+3（a≠0）， ∴C（0，3）， ∵，OA＝OC， ∴B（﹣1，0），A（3，0）， ∴， 解得：， ∴y＝﹣x2+2x+3； （2）如图，过点F作FGlly轴，交AD于点G ∵D为抛物线顶点， ∴D（1，4）， ∴lAD：y＝﹣2x+6， ∵EF⊥AD，FG∥y轴， ∴， 设F（m，﹣m2+2m+3），则G（m，﹣2m+6）， ∴， ∴当m时，最大，此时F（，）， 过B作直线BM与直线FG交于点M，且∠MBN＝30°，过N作NL⊥BM于点L， ∴NLBN，直线BM的解析式为yx， ∴FNBN＝FN+NL≥FL， 当F、N、L三点共线时取等，即最小值为FL， 当FL⊥BM时有最小值， 令，则y， ∴M（，）， ∴，BM， 连接BF， 则S△BFMFM•（xM﹣xB）BM•FL， ∴FL， ∴； （3）x11或x；如图， 由题可得y'＝﹣x2+8x﹣15， ①当点K在点P右侧时，取线段PQ中点为R，过点R作 RS⊥PQ交AC于点S， 则PS＝QS， ∴∠PSA＝2∠AQP， ∵lAC：y＝﹣x+3， ∴Q（6，﹣3）， ∵P（4，1）， ∴R（5，﹣1），直线PQ解析式为y＝﹣2x+9， ∴lRS：yx， ∴S（，）， 由P和S的坐标可得直线PS解析式为y＝﹣7x+29， 令﹣7x+29＝﹣x2+8x﹣15， 解得x1＝4，x2＝11， ∴x11； ②当点K在点P左侧时，设此时PK与AC交点为I，则PI＝PS， 根据两点距离公式可求I（，）， ∴直线PI解析式为yx， 令xx2+8x﹣15， 解得x1＝4，x2， ∴x； 综上，x11或x． 例4（2025•广安校级模拟）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2，E是BC边上一个动点，连接AE，AE的垂直平分线MN交AE于点M，交BD于点N，连接EN、CN． （1）求证：EN＝CN； （2）求2EN+BN的最小值． 【分析】（1）利用线段垂直平分线的性质和菱形的性质即可证明出结论； （2）过点N作NG⊥BC于点G，连接AN，AG，过点A作AH⊥BC于点H，证明出2EN+BN的最小值为2AH，再求出AH即可解决问题． 【解答】解：（1）连接AN，如图， ∵四边形ABCD是菱形， ∴点A，点C关于直线BD轴对称， ∴AN＝CN， ∵AE的垂直平分线MN交AE于点M，交BD于点N， ∴AN＝EN， ∴EN＝CN； （2）过点N作NG⊥BC于点G，连接AN，AG，过点A作AH⊥BC于点H， ∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°， ∴∠DBC＝30°， ∴BN＝2NG， ∵AE的垂直平分线MN交AE于点M，交BD于点N， ∴EN＝AN， ∴2EN+BN＝2AN+2NG＝2（AN+NG）≥2AG≥2AH， ∴2EN+BN的最小值为2AH， ∵∠ABC＝60°，AB＝2， ∴AH＝AB•sin60°， ∴2EN+BN的最小值为2． 例5在△ABC中，∠A＝45°，点D是边AB上一动点，连接CD． （1）如图1，若∠ADC＝30°，将线段CD绕着D逆时针旋转90°得到ED，连接CE．若CE＝12，求AD的长； （2）如图2，过点C作CF⊥AB于F，当点D在线段BF上时，将线段CD绕着D逆时针旋转90°得到ED，连接CE，过点E作EG∥AC交AB于点G．求证：AG＝2DF； （3）如图3，若∠ABC＝15°，AB＝3+3，将线段CD绕着D逆时针旋转120°得到ED，连接CE．请直接写出DEBD的最小值． 【分析】（1）过点C作CH⊥AB交于点H，先求出CD＝6，在Rt△CDH中，求出CH＝3，DH＝3，在Rt△ACH中，求出AH＝HC＝3，即可得AD＝AH+DH＝33； （2）过E点作EK⊥AB交于点K，证明△EDK≌△DCF（AAS），可得DK＝CF，EK＝DF，根据∠A＝45°，推导DK＝AF，再由GE∥AC，推导出GD＝KF，即可证明AG＝2DF； （3）过点C作CF⊥AB交于F点，过点B作∠ABG＝30°，过点D作DM⊥BG交于点M，过点C作CN⊥BG交于点N，当DEBD＝CN时，DEBD有最小值；过A作AQ⊥BC交延长线于点Q，设CQ＝x，则AC＝2x，AQx，在Rt△ACF中，AF＝CFx，利用△ABC的面积求出BC•，在等腰直角三角形BCN中求出CNBC3，即可得DEBD的最小值是3． 【解答】（1）解：过点C作CH⊥AB交于点H， 由旋转可知，DE＝CD，∠CDE＝90°， ∵CE＝12， ∴CD＝6， 在Rt△CDH中，∠ADC＝30°， ∴CH＝3，DH＝3， 在Rt△ACH中，∠A＝45°， ∴AH＝HC＝3， ∴AD＝AH+DH＝33； （2）证明：过E点作EK⊥AB交于点K， 由旋转可知，DE＝CD，∠CDE＝90°， ∴∠EDK+∠FDC＝∠FDC+∠DCF， ∴∠EDK＝∠DCF， ∴△EDK≌△DCF（AAS）， ∴DK＝CF，EK＝DF， ∵∠A＝45°， ∴CF＝AF， ∴DK＝AF， ∵GE∥AC， ∴∠EGK＝∠A＝45°， ∴GK＝EK＝DF， ∴GD＝KF， ∴DF＝DK+KF＝AF+GD， ∴AG＝2DF； （3）解：过点C作CF⊥AB交于F点，过点B作∠ABG＝30°，过点D作DM⊥BG交于点M， ∴MDBD， ∵CD＝ED， ∴DEBD＝DE+MD＝CD+MD≥CM， 过点C作CN⊥BG交于点N， 当DEBD＝CN时，DEBD有最小值； 过A作AQ⊥BC交延长线于点Q， ∵∠BAC＝45°，∠ABC＝15°， ∴∠ACQ＝60°， 设CQ＝x，则AC＝2x，AQx， 在Rt△ACF中，AF＝CFx， ∴AB•CF＝BC•AQ， ∴（3+3）•x＝BC•x， 解得BC•， ∵∠CBN＝45°， ∴CNBC3， ∴DEBD的最小值是3． 1．如图在平面直角坐标系中，抛物线的图象交x轴于A、B，于y轴交于C，点P为y轴上一动点，则的最小值为（　　） A．2 B． C． D．4 【分析】连接AC，作BH⊥AC于H，推出PC+PB最小值就是线段BH的长，求出BH即可． 【解答】解：连接AC，BP，过点P作PG⊥AC于点G，过点B作BH⊥AC于H，连接BG，如图， ∵当y＝0时，x2x0， 解得x1＝﹣1，x2＝2， ∴A（﹣1，0），B（2，0）， ∴OA＝1， ∵当x＝0时，y， ∴OC， ∴tan∠ACO， ∴∠ACO＝30°， ∴PGPC， ∴PC+PB＝PG+PB≥BG≥BH， ∴PB+PD的最小值为BH的长， 在Rt△ABH中， ∵∠AHB＝90°，AB＝2﹣（﹣1）＝3，∠HAB＝60°， ∴sin60°， ∴BH＝3， ∴PC+PB的最小值为， 故选：B． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y与x轴的正半轴交于点A，B点为抛物线的顶点，C点为该抛物线对称轴上一点，则3BC+5AC的最小值为（　　） A．24 B．25 C．30 D．36 【分析】连接OB，过C点作CM⊥OB于M点，过A点作AN⊥OB于N点，抛物线的对称轴与x轴交于点D，先求出抛物线与坐标轴的交点坐标，继而得出BD、OA、OD，再证明△OBD∽△CBM，△OBD∽△OAN，进而可得3BC+5AC＝5MC+5AC＝5（AC+CM），当A、C、M三点共线，且三点连线垂直OB时，AC+CM最小，根据求出AN，AC+CM最小值即为AN，则问题得解． 【解答】解：连接OB，过C点作CM⊥OB于M点，过A点作AN⊥OB于N点，抛物线的对称轴与x轴交于点D，如图， 令y＝0，得方程， 解得：x1＝0，x2＝6， ∴A点坐标为（6，0），即OA＝6， 将配成顶点式得：， ∴B点坐标为（3，4）， ∴BD＝4，OD＝3， ∵CM⊥OB，AN⊥OB， ∴∠BMC＝∠ANO＝90°， 根据抛物线对称轴的性质可知BD⊥OA， ∴∠BDO＝90°， 在Rt△BDO中， 利用勾股定理得， ∵∠OBD＝∠CBM，∠BDO＝∠BMC＝90°， ∴△OBD∽△CBM， 同理可证得△OBD∽△OAN， ∴，， ∴，即3BC＝5MC， ∴3BC+5AC＝5MC+5AC＝5（AC+CM）， ∵当A、C、M三点共线，且三点连线垂直OB时，AC+CM最小， ∴AC+CM最小值为AN，如图所示， ∵， ∴， ∴AC+CM最小值， ∴即3BC+5AC＝5（AC+CM）＝24． 故选：A． 3．如图，在△ABC中，P为平面内的一点，连接AP、PB、PC，若∠ACB＝30°，AC＝8，BC＝10，则4PA+2PB+2PC的最小值是（　　） A．4 B．36 C．426 D．1610 【分析】以PC为边构造等边三角形，将CB旋转60°，构造△BCP和△DCQ的全等，证明BP＝DQ，利用中位线定理用BP表示出EF，利用三线合一证明PE⊥CQ，利用三角函数用PC表示出PE，在根据两点之间线段最短证出AF是AP+PE+EF的最小值，利用勾股定理求出4AF即可． 【解答】解：以CP为边，在CP下方构造等边△CPQ， 将CB绕点C逆时针旋转60°得到CD， 连接QD，取CQ、CD中点E、F，连接PE、EF， ∵△CPQ为等边三角形， ∴∠PCQ＝60°， ∵∠BCD＝60°， ∴∠BCP＝∠DCQ， ∵BC＝DC，PC＝QC， ∴△BCP≌△DCQ， ∴BP＝DQ， ∵E、F分别是CQ、CD中点， ∴EF是△CDQ的中位线， ∴EFDQ，即EFBP， ∵△CPQ为等边三角形，且CE＝QE， ∴PE⊥CQ， ∵∠PCQ＝60°， ∴PE：PC＝sin60°，即PEPC， 由图可得：当A、P、E、F共线时，AP+PE+EF最小， 即PABPPC最小， 连接AF，∵∠ACB＝30°，∠BCD＝60°， ∴APD＝90°． ∵AC＝8，CFCD＝5， ∴AF， ∴PABPPC最小为， ∴4（PABPPC）最小为4， 即4PA+2PB+2PC的最小值为4． 故选：A． 4．如图，在菱形ABCD中，AB＝AC＝6，对角线AC、BD相交于点O，点M在线段AC上，且AM＝2，点P是线段BD上的一个动点，则的最小值是（　　） A．2 B． C．4 D． 【分析】过点P作PE⊥BC，垂足为E，根据菱形的性质可得AB＝BC＝6，BD⊥AC，从而可得△ABC是等边三角形，进而可求出∠ABC＝∠ACB＝60°，然后在Rt△BPE中，可得PEBP，从而可得MP+PE，当点M，点P，点E共线时，且ME⊥BC时，MP+PE有最小值为ME，最后在Rt△CME中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【解答】解：过点P作PE⊥BC，垂足为E， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝6，BD⊥AC， ∵AB＝AC＝6， ∴AB＝AC＝BC＝6， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°， ∴∠DBC∠ABC＝30°， ∵∠BEP＝90°， ∴PEBP， ∴MP+PE， ∴当点M，点P，点E共线时，且ME⊥BC时，MP+PE有最小值为ME， 如图： ∵AC＝6，AM＝2， ∴CM＝AC﹣AM＝6﹣2＝4， 在Rt△CME中，∠ACB＝60°， ∴ME＝CM•sin60°＝42， ∴的最小值是2， 故选：B． 5．（2025春•新吴区校级月考）如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC上的动点，且满足AE＝BF，AF与DE交于点O，点M是DF的中点，G是边AB上的点，AG＝2GB，则的最小值是（　　） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 【分析】先证明△ADE≌△BAF（SAS）得到∠ADE＝∠BAE，进而得到∠DOF＝90°，则由直角三角形的性质可得，如图所示，在AB延长线上截取BH＝BC，连接FH，易证明△FBG≌△FBH（SAS），则FH＝FG，可得当H、D、F三点共线时，DF+HF有最小值，即此时有最小值，最小值即为DH 的长的一半，求出AH＝4，在 Rt△ADH 中，由勾股定理得DH＝5，则的最小值为2.5． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝AB，∠DAB＝∠ABC＝90°， ∵AE＝BF， ∴△ADE≌△BAF（SAS）， ∴∠ADE＝∠BAF， ∴∠DOF＝∠ADO+∠DAO＝∠BAF+∠DAO＝∠DAB＝90°， ∵点M是DF的中点， ∴， 如图所示，在AB延长线上截取BH＝BG，连接FH， ∴FBG＝∠FBH＝90°，FB＝FB，BG＝BH， ∴△FBG≌△FBH（SAS）， ∴FH＝FG， ∴， ∴当H、D、F三点共线时，DF+HB有最小值，即此时有最小值，最小值即为DH的长的一半， ∵AG＝2GB，AB＝3， ∴BH＝BG＝1， ∴AH＝4， 在Rt△ADH中， 由勾股定理得DH5， ∴的最小值为2.5， 故选：B． 6．如图所示，菱形ABCO的边长为5，对角线OB的长为4，P为OB上一动点，则APOP的最小值为（　　） A．4 B．5 C．2 D．3 【分析】如图，过点A作AH⊥OC于点H，过点P作PF⊥OC于点F，连接AC交OB于点J．利用面积法求出AH，再证明PFOP，利用垂线段最短，可得结论． 【解答】解：如图，过点A作AH⊥OC于点H，过点P作PF⊥OC于点F，连接AC交OB于点J． ∵四边形OABC是菱形， ∴AC⊥OB， ∴OJ＝JB＝2，CJ， ∴AC＝2CJ＝2， ∵AH⊥OC， ∴OC•AH•OB•AC， ∴AH4， ∴sin∠POF， ∴PFOP， ∴APOP＝AP+PF， ∵AP+PF≥AH， ∴APOP≥4， ∴APOP的最小值为4， 故选：A． 7．（2025•龙凤区二模）如图，在△ABC中，，tan∠C＝2，则的最大值为　10　 ． 【分析】过点B作BD⊥AC，垂足为D，如图1，首先推导出；延长DC到E，使 EC＝CD＝x，连接BE，如图2，得到；由辅助圆：定弦定角模型，作△ABE的外接圆，如图3，当弦AE过圆心O，即AE是直径时，弦最大，最后由勾股定理可得AE＝10． 【解答】解：过点B作 BD⊥AC，垂足为D，如图1所示： ∵tan∠C＝2， ∴在Rt△BCD中，设DC＝x，则BD＝2x， 由勾股定理可得， ∴， 即， ∴， 延长DC到E，使 EC＝CD＝x，连接BE，如图2所示： ∴， ∵BD⊥DE，DE＝2x＝BD， ∴△BDE是等腰直角三角形，则∠E＝45°， 在△ABE中，AB＝5，∠E＝45°， 由辅助圆一定弦定角模型，作△ABE的外接圆，如图3所示： 由圆周角定理可知，点E在⊙O上运动，AE是⊙O的弦，求的最大值就是求弦AE的最大值， 根据圆的性质可知，当弦AE过圆心O，即AE是直径时，弦最大，如图4所示： ∵AE是⊙O的直径， ∴∠ABE＝90°， ∵∠E＝45°， ∴△ABE是等腰直角三角形， ∵AB＝5， ∴BE＝AB＝5， 则由勾股定理可得AE10， 即的最大值为10； 故答案为：10． 8．在平面直角坐标系中，已知，A（2，0），C（0，﹣1），若P为线段OA上一动点，则CPAP的最小值为　　 ． 【分析】可以取一点D（0，1），连接AD，作CN⊥AD于点N，PM⊥AD于点M，根据勾股定理可得AD＝3，证明△APM∽△ADO得，PMAP．当CP⊥AD时，CPAP＝CP+PM的值最小，最小值为CN的长． 【解答】解：如图， 取一点D（0，1），连接AD，作CN⊥AD于点N，PM⊥AD于点M， 在Rt△AOD中， ∵OA＝2， ∴AD3 ∠PAM＝∠DAO，∠AMP＝∠AOD＝90° ∴△APM∽△ADO ∴ 即 ∴PMAP ∴PCAP＝PC+PM ∴当CP⊥AD时，CPAP＝CP+PM的值最小，最小值为CN的长． ∵△CND∽△AOD ∴ 即 ∴CN． 所以CPAP的最小值为． 故答案为． 9．如图，矩形ABCD的对角线交于点O，AB＝2，BC＝2，点P是BC上的动点，则OPBP的最小值是 　　 ． 【分析】过点P作PE⊥BD于点E，作点O关于BC的对称点O'，OO'交BC于点F，连接PO'，过点O'作O'H⊥BD于点H，先求得∠DBC＝30°，将OPBP的最小值表示成O'H，再利用三角函数关系求出O'H的长即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AB＝2， ∴∠ABC＝90°，DC＝AB＝2， ∵BC＝2， ∴tan∠DBC， ∴∠DBC＝30°， 过点P作PE⊥BD于点E， 则PEBP， 作点O关于BC的对称点O'，OO'交BC于点F，连接PO'， 则PO'＝PO， 过点O'作O'H⊥BD于点H，如图， 则OPBP＝OP'+PE≥O'H， ∴OPBP的最小值是O'H， 在Rt△O'OH中， ∠BOO'＝60°，OO'＝2OF＝AB＝2， ∴O'H＝OO'•sin∠BOO'＝2×sin60°， 即OPBP的最小值是， 故答案为：． 10．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于点A，C两点，与y轴交于点B，对称轴与x轴交于点D，若P为y轴上的一个动点，连接PD，则PB+PD的最小值为 　　 ． 【分析】利用胡不归模型求解． 【解答】解：令0，解得x＝﹣1或x＝2， ∴OA＝1，OC＝2，令x＝0，y， ∴OB， 作直线AB，过P作PQ⊥AB于Q，过D作DQ'⊥AB，交y轴于P'，Rt△AOB中，OA＝1，OB， ∴∠ABO＝30°， ∴在Rt△PQB中，PQPB， ∵抛物线的对称轴是直线x， ∴OD，在Rt△ADQ'中，AD，∠DAQ'＝60°， ∴DQ'＝ADsin60°． ∴PB+PD＝PQ+PD≥DQ'， ∴PB+PD的最小值为． 故答案为：． 11．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AB＝2，P是AC上的动点，求BPAP的最小值为 　　 ． 【分析】过点P作PF⊥AD，则PFAP，可知BPAP＝BP+PF，BP+PF的最小值就是点B到线段AD的垂线段长． 【解答】解：过点P作PF⊥AD，垂足为点F， ∵ABCD是菱形，且∠BAD＝60°， ∴∠PAF∠BAD＝30°， ∴PFAP， ∴BPAP＝BP+PF， ∵P是AC上的动点， ∴BP+PF的最小值就是点B到线段AD的垂线段长． 过点B作BM⊥AD，在Rt△ABM中，∠BAM＝60°，AB＝2， ∴BM•AB． 12．如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足为D，P为线段AD上的一个动点，连接PB，则的最小值为 　2　 ． 【分析】过点A作直线AE，使∠CAE＝15°，作PQ⊥AE于点Q，作BQ'⊥AE于点Q'，易证∠DAE＝30°，∠BAE＝45°，根据直角三角形的性质得PQPA，BQ'AB＝2，因为PB+PQ≥BQ'，所以当PB+PQ＝BQ'时，PA+PB值最小． 【解答】解：如图，过点A作直线AE，使∠CAE＝15°，作PQ⊥AE于点Q，作BQ'⊥AE于点Q'， ∵AB＝AC，∠CAB＝30°，AD⊥BC， ∴∠CAD＝∠BAD＝15°， ∵∠CAE＝15°， ∴∠PAQ＝∠CAD+∠CAE＝30°，∠BAQ'＝∠BAC+∠CAE＝45°， 又∵PQ⊥AE，BQ'⊥AE，AB＝4， ∴PQPA，BQ'AB4＝2， ∵PB+PQ≥BQ'， ∴当PB+PQ＝BQ'时值最小， 即PA+PB的最小值为2． 故答案为：2． 13．如图，在长方形ABCD中，对角线BD＝6，∠ABD＝60°．将长方形ABCD沿对角线BD折叠，得△BED，点M是线段BD上一点．则EMBM的最小值为 　　 ． 【分析】作MH⊥BC于H，由∠DBC＝30°，得MHBM，即E、M、H三点共线时，EM+MH最小值为EH，然后通过含30°角的直角三角形的性质求出EH的长即可． 【解答】解：如图，作MH⊥BC于H， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°， ∵∠ABD＝60°， ∴∠DBC＝30°， ∴MHBM，CDBD＝3，BC＝3， ∴EMBM＝EM+MH， 即E、M、H三点共线时，EM+MH最小值为EH， ∵将长方形ABCD沿对角线BD折叠，得△BED， ∴∠EBC＝2∠DBC＝60°，EB＝BC＝3， ∴BHBE， ∴EH， ∴EMBM的最小值为， 故答案为：． 14．（2025•西安校级自主招生）在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，E为BC边中点，连接AE，点P为直线AE上的动点，F为PD中点，则2BF+CF的最小值为 　4　 ． 【分析】由题可识别胡不归问题，所以将2BF+CF＝2（BFCF），构造30°直角三角形，转化，由点P在直线运动，点F随P动而动可识别为瓜豆模型，进而可知点F在线段CM上运动，过C作直线CN交DM于N，使∠MCN＝30°，作FG⊥CN于G，则，所以BF，过作BH⊥CN于H，则（BF+FG）min＝BH，最后解Rt△BCH即可得解． 【解答】解：如图，取AD的中点M，连MF，MC， ∵F是DP中点， ∴MF∥AP，即MF∥AE， ∵E为BC中点， ∴CE， ∵AM∥CE， ∴四边形AMCE是平行四边形， ∴CM∥AE， ∴M，F，C三点共线， ∴点F在线段CM上运动， ∵AB＝4，BC＝8， ∴CD＝DM＝4，即△CDM为等腰直角三角形， 过C作直线CN交DM于N，使∠MCN＝30°，作FG⊥CN于G，则， ∴BFBF+FG≥BG，当且仅当B、F、G三点共线时取等， 过作BH⊥CN于H，则（BF+FG）min＝BH， 在Rt△BCH中，BC＝8，∠BCH＝75°， ∴BH＝BC•sin75°＝82， 即（BF+FG）min＝BH＝2， ∴（2BF+CF）min＝2（BF）min＝2（BF+FG）min， 故答案为：． 15．（2025春•锦江区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝60°，在线段AD上取一点E，使DE＝1，连接BE，点M，N分别是线段AE，BE上的动点，连接MN，则的最小值为 　　 ． 【分析】过点N作NF⊥BC于点F，连接MF，过点A作AH⊥BC于点H，推出NFBN，进一步得到的最小值为AH，再求出AH的长即可解决问题． 【解答】解：过点N作NF⊥BC于点F，连接MF，过点A作AH⊥BC于点H， ∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝3，BC＝4， ∴AD＝BC＝4， ∵DE＝1， ∴AE＝AD﹣DE＝4﹣1＝3＝AB， ∴∠ABE＝∠CBE， ∵AD∥BC， ∴∠AEB＝∠CBE， ∴∠ABE＝∠AEB， ∵∠ABC＝60°， ∴∠CBE＝30°， ∴NFBN， ∴MN+NF≥MF≥AH， ∴的最小值为AH， 在Rt△ABH中， AB＝3，∠BAH＝90°﹣∠ABC＝30°， ∴BH， 由勾股定理，得AH， ∴的最小值为， 故答案为：． 16．（2025秋•双流区校级期中）如图所示，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，E，F分别是AC，CD上的动点，且，连接BE，BF，在整个运动过程中，的最小值为　　 ． 【分析】在CD右侧构造∠DCG＝∠ACD，并截取CG，使，连接BG、FG，可证明△ABE∽△CGF，可得BE，从而得到其最小值为BG，当且仅当B、F、G三点共线时取等，据此求解即可． 【解答】解：在CD右侧构造∠DCG＝∠ACD，并截取CG，使，连接BG、FG，如图， 在矩形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD＝4， ∴CGAB，∠BAC＝∠ACD， ∴∠BAE＝∠GCF， ∴， ∴△ABE∽△CGF， ∴， ∴BEFG， ∴BEBFFGBF（FG+BF）BG， 当且仅当B、F、G三点共线时，BEBF取得最小值，最小值为BG， 如图，过点G作GH⊥BC交BC延长线于点H， ∵∠DCG＝∠ACD， ∴∠ACB＝∠GCH， ∵∠ABC＝∠H＝90°， ∴△ABC∽△GHC， ∴， ， 解得：GH＝2，CH， ∴BH＝BC+CH， ∴BG ∴BEBF的最小值为BG， 故答案为：． 17．（2025秋•海淀区校级期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，若D是边AB上的一个动点，连接CD，则AD+2CD的最小值是　6　 ． 【分析】过D作DG⊥AC于点G，则AD＝2DG，进而可得AD+2CD＝2（CD+DG），再利用将军饮马模型求解即可． 【解答】解：在Rt△ABC中，BC＝2，∠A＝30°， ∴AB＝2AC＝4，AC2， 过D作DG⊥AC于点G， 则AD＝2DG， ∴AD+2CD＝2（CD+DG）， 作点C关于AB的对称点C'，连接C'D、AC'， 则AC'＝AC＝2，∠CAC'＝2∠BAC＝60°，CD＝C'D， ∴CD+DG＝C'D+DG≥C'G，当且仅当C'、D、G三点共线时取等， 过C'作C'H⊥AC于点H，则C'G≥CH，当点G和点H重合时取等， 在Rt△AC'H中，∠C'AH＝60°，AC'＝2， ∴AH， ∴C'H3， ∴CD+CG≥C'G≥C'H＝3，即CD+CG的最小值为3， ∴AD+2CD＝2（CD+DG）＝6， 故答案为：6． 18．（2025•雁塔区校级模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足为D，P为线段AD上的一动点，连接PB、PC．则PA+2PB的最小值为　　 ． 【分析】在∠BAC的外部作∠CAE＝15°，作BF⊥AE于点F，交AD于点P，此时PA+2PB＝2（PA+PB）＝2（PF+PB）＝2BF，最后根据等腰直角三角形ABF的性质求得结果． 【解答】解：如图，在∠BAC的外部作∠CAE＝15°，作BF⊥AE于点F，交AD于点P， ∴∠AFB＝90°， ∵AB＝AC，AD⊥BC，∠CAB＝30°， ∴∠PAC＝∠EAC＝15°＝∠CAE， ∴∠PAF＝30°， ∴PFPA， 此时PA+2PB＝2（PA+PB）＝2（PF+PB）＝2BF， 此时PA+2PB最小， 在Rt△ABF中，BF， 故（PA+2PB）min＝2BF， 故答案为：． 19．如图，已知抛物线y（x+2）（x﹣4）（k为常数，且k＞0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线yx+b与抛物线的另一交点为D． （1）若点D的横坐标为﹣5，求抛物线的函数表达式； （2）若在第一象限内的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，求k的值； （3）在（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？ 【分析】（1）首先求出点A、B坐标，然后求出直线BD的解析式，求得点D坐标，代入抛物线解析式，求得k的值； （2）因为点P在第一象限内的抛物线上，所以∠ABP为钝角．因此若两个三角形相似，只可能是△ABC∽△APB或△ABC∽△PAB．如答图2，按照以上两种情况进行分类讨论，分别计算； （3）由题意，动点M运动的路径为折线AF+DF，运动时间：t＝AFDF．如答图3，作辅助线，将AFDF转化为AF+FG；再由垂线段最短，得到垂线段AH与直线BD的交点，即为所求的F点． 【解答】解：（1）抛物线y（x+2）（x﹣4）， 令y＝0，解得x＝﹣2或x＝4， ∴A（﹣2，0），B（4，0）． ∵直线yx+b经过点B（4，0）， ∴4+b＝0，解得b， ∴直线BD解析式为：yx． 当x＝﹣5时，y＝3， ∴D（﹣5，3）． ∵点D（﹣5，3）在抛物线y（x+2）（x﹣4）上， ∴（﹣5+2）（﹣5﹣4）＝3， ∴k． ∴抛物线的函数表达式为：y（x+2）（x﹣4）． 即yx2x． （2）由抛物线解析式，令x＝0，得y＝﹣k， ∴C（0，﹣k），OC＝k． 因为点P在第一象限内的抛物线上，所以∠ABP为钝角． 因此若两个三角形相似，只可能是△ABC∽△APB或△ABC∽△PAB． ①若△ABC∽△APB，则有∠BAC＝∠PAB，如答图2﹣1所示． 设P（x，y），过点P作PN⊥x轴于点N，则ON＝x，PN＝y． tan∠BAC＝tan∠PAB，即：， ∴yx+k． ∴P（x，x+k），代入抛物线解析式y（x+2）（x﹣4）， 得（x+2）（x﹣4）x+k，整理得：x2﹣6x﹣16＝0， 解得：x＝8或x＝﹣2（与点A重合，舍去）， ∴P（8，5k）． ∵△ABC∽△APB， ∴，即， 解得：k． ②若△ABC∽△PAB，则有∠ABC＝∠PAB，如答图2﹣2所示． 设P（x，y），过点P作PN⊥x轴于点N，则ON＝x，PN＝y． tan∠ABC＝tan∠PAB，即：， ∴yx． ∴P（x，x），代入抛物线解析式y（x+2）（x﹣4）， 得（x+2）（x﹣4）x，整理得：x2﹣4x﹣12＝0， 解得：x＝6或x＝﹣2（与点A重合，舍去）， ∴P（6，2k）． ∵△ABC∽△PAB， ， ∴， 解得k＝±， ∵k＞0， ∴k， 综上所述，k或k． （3）方法一： 如答图3，由（1）知：D（﹣5，3）， 如答图2﹣2，过点D作DN⊥x轴于点N，则DN＝3，ON＝5，BN＝4+5＝9， ∴tan∠DBA， ∴∠DBA＝30°． 过点D作DK∥x轴，则∠KDF＝∠DBA＝30°． 过点F作FG⊥DK于点G，则FGDF． 由题意，动点M运动的路径为折线AF+DF，运动时间：t＝AFDF， ∴t＝AF+FG，即运动的时间值等于折线AF+FG的长度值． 由垂线段最短可知，折线AF+FG的长度的最小值为DK与x轴之间的垂线段． 过点A作AH⊥DK于点H，则t最小＝AH，AH与直线BD的交点，即为所求之F点． ∵A点横坐标为﹣2，直线BD解析式为：yx， ∴y（﹣2）2， ∴F（﹣2，2）． 综上所述，当点F坐标为（﹣2，2）时，点M在整个运动过程中用时最少． 方法二： 作DK∥AB，AH⊥DK，AH交直线BD于点F， ∵∠DBA＝30°， ∴∠BDH＝30°， ∴FH＝DF×sin30°， ∴当且仅当AH⊥DK时，AF+FH最小， 点M在整个运动中用时为：t， ∵lBD：yx， ∴FX＝AX＝﹣2， ∴F（﹣2，）． 20．如图，抛物线yx2﹣6x+7交x轴于A，B两点（点A在点B左侧），交y轴于点C，直线yx+7经过点A、C，点M是线段AC上的一动点（不与点A，C重合）． （1）求A，B两点的坐标； （2）当点P，C关于抛物线的对称轴对称时，求PMAM的最小值及此时点M的坐标； （3）连接BC，当△AOM与△ABC相似时，求出点M的坐标． 【分析】（1）在yx2﹣6x+7中，令y＝0，解得x＝﹣7或x＝1，即得A（﹣7，0），B（1，0）； （2）过P作PN⊥x轴于N，交AC于M，抛物线yx2﹣6x+7的对称轴为直线x3，在yx2﹣6x+7中，得C（0，7），可得sin∠CAB，在Rt△AMN中，MNAM，故PMAM最小，即是PM+MN最小，PMAM的最小值即为PN的长，根据点P，C（0，7）关于抛物线的对称轴直线x＝﹣3对称，即得PN＝OC＝7，即PMAM的最小值为7，由A（﹣7，0），C（0，7）得直线AC解析式为yx+7，可求出M（﹣6，）； （3）过M作MH⊥x轴于H，过M'作M'G⊥x轴于G，△AOM与△ABC相似，分两种情况：①当△ABC∽AMO时，，可得AM，由△AMH∽△ACO，即得M（，），②当△ABC∽△AOM'时，，得AM'，同理可得M'（，）． 【解答】解：（1）在yx2﹣6x+7中，令y＝0得： x2﹣6x+70，解得x＝﹣7或x＝1， ∴A（﹣7，0），B（1，0）； （2）过P作PN⊥x轴于N，交AC于M，如图： 抛物线yx2﹣6x+7的对称轴为直线x3， 在yx2﹣6x+7中，令x＝0得y＝7， ∴C（0，7）， ∴AC7， ∴sin∠CAB， 在Rt△AMN中，MN＝AM•sin∠CABAM， ∴PMAM最小，即是PM+MN最小，由垂线段最短可知PMAM的最小值即为PN的长， ∵点P，C（0，7）关于抛物线的对称轴直线x＝﹣3对称， ∴PN与OC关于抛物线yx2﹣6x+7的对称轴直线x＝﹣3对称，P（﹣6，7）， ∴PN＝OC＝7，即PMAM的最小值为7， 由A（﹣7，0），C（0，7）得直线AC解析式为yx+7， 在yx+7中，令x＝﹣6得y， ∴M（﹣6，）； （3）过M作MH⊥x轴于H，过M'作M'G⊥x轴于G，如图： ∵A（﹣7，0），B（1，0），C（0，7）， ∴AB＝8，AC＝7， ∵∠MAO＝∠BAC， ∴△AOM与△ABC相似，分两种情况： ①当△ABC∽AMO时，， ∴， ∴AM， ∵MH⊥x轴， ∴MH∥OC， ∴△AMH∽△ACO， ∴，即， ∴AH，MH， ∴OH＝OA﹣AH， ∴M（，）， ②当△ABC∽△AOM'时， ∴，即， ∴AM'， 同理可得， ∴， ∴AG，M'G， ∴OG＝OA﹣AG， ∴M'（，）， 综上所述，当△AOM与△ABC相似时，M坐标为（，）或（，）． 21．抛物线y＝﹣x2+bx+3与直线y＝x+1相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点A在x轴的负半轴上． （1）求抛物线的函数表达式及顶点D的坐标； （2）如图1，直线AB上方的抛物线上有一动点P，过点P作PH⊥AB于点H，求垂线段PH的最大值； （3）如图2，当点P运动到抛物线对称轴右侧时，连接AP，交抛物线的对称轴于点M，当AMDM最小时，直接写出此时AP的长度． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）证明△PNH是等腰直角三角形，则PHPN，进而求解； （3）证明MR＝DMsin∠LDTDM，得到故当A、M、R共线时，AMDM＝AM+MR为最小，进而求解． 【解答】解：（1）∵y＝x+1与x轴交于点A． ∴将y＝0代入得x＝﹣1， ∴点A（﹣1，0）， 将点A的坐标代入抛物线表达式得：0＝﹣1﹣b+3， 解得：b＝2． 故抛物线的函数表达式为：y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4①， 即顶点D的坐标为（1，4）； （2）设直线AB与y轴交于点E，令x＝0，得y＝1，故点E的坐标为（0，1）， ∵OA＝OE＝1， ∴△OAE为等腰直角三角形， 如图1，过点P作PN∥y轴，交直线AB于点N，则∠PNB＝45°， ∴△PNH是等腰直角三角形， ∴PHPN，设点P（m，﹣m2+2m+3），则点N（m，m+1）， ∴PN＝﹣m2+2m+3﹣m﹣1＝﹣（m）2， ∴PH的最大值为； （3）如图2，设抛物线与x轴的另外一个交点为T（3，0），抛物线和x轴的交点为L（1，0），连接DT， 则tan∠LDT，则sin∠LDT， 过点M作MR⊥DT于点R，延长MR交抛物线于点P， 则此时，MR＝DMsin∠LDTDM， 故当A、M、R共线时，AMDM＝AM+MR为最小， ∵∠DRM＝∠ALM＝90°，∠DMR＝∠AML， ∴∠PAL＝∠LDT， 即sin∠PAL＝sin∠LDT， 则tan∠PAL， 故直线AP的表达式为：y（x﹣xA）（x+1）x②， 联立①②得：﹣x2+2x+3x， 解得：x＝﹣1（舍去）或， 则点P的坐标为：（，）， 由点P、A的坐标得，PA． 22．如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴相交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C，连接BC． （1）求抛物线的解析式； （2）若点P为y轴上一个动点，连接BP，求CP+10BP的最小值； （3）连接AC，在x轴上是否存在一点P，使得∠PCO+∠ACO＝45°？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）待定系数法求抛物线的解析式； （2）对条件CP+10BP提取系数10，再利用胡不归模型； （3）构造和∠ACO相等的角，利用相似或三角函数值建立方程解决． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴相交于点A（﹣1，0），B（3，0）， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3； （2）过点P作PM⊥AC，垂足为M，过点B作BN⊥AC，垂足为N， 在y＝﹣x2+2x+3中，令x＝0，则y＝3， ∴C（0，3）， 在△AOC中，OA＝1，OC＝3，AC， ∴sin∠ACO， 在△CMP中，sin∠ACO， ∴MP， ∵S△ABCAB×OC4×3AC×BNBN， ∴BN， ∴CP+10BP＝10（CP+BP）＝10（MP+BP）≥10BN＝1012， ∴CP+10BP的最小值为12． （3）如图，∠PCO+∠ACO＝45°， ∴∠ACP＝45°， ∵OA＝OB＝3， ∴△COB是等腰直角三角形， ∴∠OCB＝45°， ∴∠ACO＝∠PCB， 过点B作PQ⊥BC，垂足为Q， ∴tan∠PCBtan∠ACO， ∴CQ＝3PQ， 设OP＝x，则PB＝3﹣x，BQ＝PQ（3﹣x）， 又CQ+PQ＝BC， ∴3（3﹣x）（3﹣x）＝3， ∴x， ∴P（，0）． 由对称性得，P'（，0）也满足题意， ∴P（，0）或（，0）． 23．（2025春•花都区期中）已知，在平面直角坐标系中，正方形AOBC的顶点B，A分别在x轴和y轴的正半轴上，顶点C的坐标为（a，b），且a，b满足：，点D为边OA上的一个动点，将△BOD沿BD翻折，得到△BED． （1）求出a，b的值； （2）如图1，若点D为AO中点，延长DE交AC于点F，求CF的长； （3）如图2，若∠OBD＝30°，点M为线段BD上的动点，求2OM+MB的最小值． 【分析】（1）由绝对值和二次根式的非负性即可得解； （2）先证CF＝EF，设参，在Rt△ADF中利用勾股定理求解即可； （3）根据30°结合胡不归可知，将BM转化为2MN，进而利用2OM+MB＝2OM+2MN＝2（OM+MN）≥2ON，求出ON即可． 【解答】解：（1）∵|a﹣4|≥0，，且， ∴a＝4，b＝4； （2）连接CF， 在正方形OACB中，OB＝BC，∠BOD＝∠C＝∠OAC＝90°， 根据折叠可得OB＝BE，OD＝OE，∠BED＝∠BOD＝90°， ∴∠BEF＝90°，BE＝BC， 在Rt△BCF和Rt△BEF中， ， ∴Rt△BCF≌Rt△BEF（HL）， ∴设CE＝CF＝m， 由（1）知正方形边长为4， ∴AF＝4﹣m， ∵D是OA中点， ∴OD＝AD＝DE＝2， ∴DF＝DE+EF＝2+m， 在Rt△ADF中，AD2+AF2＝DF2， ∴22+（4﹣m）2＝（2+m）2， 解得m， ∴CF； （3）过M作MN⊥BE于点N， 由折叠可知，∠EBD＝∠OBD＝30°， ∴在Rt△BMN中，BM＝2MN， ∴2OM+MB＝2OM+2MN＝2（OM+MN）≥2ON， 当且仅当O、M、N依次共线时取等，即此时ON⊥BE， 连接OE， ∵BO＝BE＝4，∠OBE＝60°， ∴△BOE是等边三角形， ∵ON⊥BE， ∴∠BON＝30°， ∴BN＝2， ∴ON2， ∴2ON＝4， 即2OM+MB， ∴2OM+MB的最小值为4． 24．（2025•北碚区校级开学）如图1，抛物线C：y＝ax2+bx﹣3与坐标轴分别交于A、B、D三点，其中A点坐标为（4，0），3OB＝OD． （1）求抛物线解析式； （2）点P是直线AD下方抛物线上的一动点，点Q是x轴上一动点，当四边形OAPD的面积最大时，求的最小值； （3）在（2）条件下，将抛物线C沿x轴翻折得到C1，则P点的对应点为P1，并将C1沿射线P1B方向平移个单位长度得到C2，记P1在抛物线C2上的对应点为P2，过P2作P2E⊥x轴于点E，F是直线DE上一点，连接AF，则是否存在点F使得∠AFD＝∠AED+∠DAF，若存在，请直接写出点F的坐标． 【分析】（1）先求出B（﹣1，0），再把A（4，0），B（﹣1，0）代入y＝ax2+bx﹣3得计算即可； （2）过P作PN⊥x轴于N，交AD于M，先求直线AD解析式为，再设，则，0＜m＜4，根据S四边形OAPD＝S△AOD+S△APD，求出面积最大时，再过B在x轴上方找一点E，使BE⊥EQ，EQ＝2BE，连接EP，延长BE交y轴于F，根据，当Q在EP上时，最小，再求出E的轨迹方程，设E（n，2n+2），根据求解即可； （3）先求出，得到E（﹣6，0），直线DE解析式为，再根据E的位置分情况讨论，分别画出图形求解即可． 【解答】解：（1）令x＝0，则y＝ax2+bx﹣3＝﹣3， ∴D（0，﹣3），OD＝3， ∵3OB＝OD， ∴OB＝1， ∴B（﹣1，0）， 把A（4，0），B（﹣1，0）代入y＝ax2+bx﹣3得， 解得， ∴抛物线解析式； （2）∵D（0，﹣3）， ∴设直线AD解析式为y＝kx﹣3， 把A（4，0）代入得0＝4k﹣3，解得k， ∴直线AD解析式为， 过点P作PM∥y轴交AD于点M， 设，， ∴， ∴S四边形OAPD＝S△OAD+S△APD （m2+3m） （m﹣2）2+12， ∵，开口向下， ∴m＝2时，四边形OAPD面积最大， ∴， 过点B作直线BH交y轴与点K，且直线BH解析式为yBHx， ∴K（0，）， ∴BK， ∴sin∠OBK， 过点Q作QF⊥BH于点F，过点P作PN⊥BH于点N，则QFQB， ∴PQQB＝PQ+QF≥PN， 当且仅当P、Q、N三点共线时取等， 方法一：设N（n，n）， 则BN2＝（n+1）2+（n）2，BP2＝（2+1）2，PN2＝（n﹣2）2+（n+5）2， ∵∠BNP＝90°， ∴BN2+PN2＝BP2，即（n+1）2+（n）2+（n﹣2）2+（n+5）2， 整理得5n2+7n+2＝0， 解答n或n＝﹣1（舍去）， ∴PN， ∴（PQQB）min＝（PQ+QF）min＝PN； 方法二提示：如图，过N作GH∥x轴，过P作PH⊥GH，过B作BG⊥GH， 易证△BGN∽△NHP，利用相似比求出点N坐标，再求PN长度． （3）∵（x，y）关于x轴翻折得到点（x，﹣y）， ∴将抛物线沿x轴翻折得到C1，C1解析式为，整理得，的对应点， 连接P1P交x轴于M，则P1M⊥x轴，M（2，0）， ∴，BM＝3，， ∴将C1沿射线P1B方向平移个单位长度得到C2，相当于先向左移动8个单位长度，再向下移动12个单位长度， ∴在抛物线C2上的对应点为，即， ∵过P2作P2E⊥x轴于点E， ∴E（﹣6，0）， ∵D（0，﹣3）， ∴设直线DE解析式为y＝k2x﹣3， 把E（﹣6，0）代入得0＝﹣6k2﹣3，解得， ∴直线DE解析式为， 当点F在点E左边时，由外角可得∠AED＞∠AFD，不合题意； 当点F在线段DE上时，如图F1，连接AF1交y轴于点N，过N作NG⊥AD于G， ∵∠AF1D＝∠AED+∠DAF1＝∠AED+∠EAF1， ∴∠DAF1＝∠EAF1，即AF1平分∠EAD， ∵∠AON＝∠AGN＝90°，AN＝AN， ∴△AON≌△AGN（AAS）， ∴ON＝NG，OA＝AG＝4， ∵， ∴DG＝AD﹣AG＝1， ∵Rt△ODG中，OG2+DG2＝OD2， ∴ON2+12＝（3﹣ON）2， 解得， ∴， 同理可求得直线AN解析式为， 直线AN与DE交点为F1， ∴联立，解得， ∴F1（﹣2，﹣2）； 当点F在点D右边时，如图F2，过N作NH⊥OA交AF2于H，过H作HK⊥y轴于K， ∵∠AF2D＝∠AED+∠DAF2，∠AF2D+∠AED+∠DAF2+∠EAD＝180°，∠EAD＝2∠EAF1， ∴∠AF2D+∠EAF1＝90°， ∴∠AF2D＝∠ANO＝∠DNF1＝90°﹣∠EAF1， ∴180°﹣∠DF1A﹣∠AF2D＝180°﹣∠DF1A﹣∠DNF1， ∴∠EDO＝∠NAF2， ∴， ∵NH⊥OA，HK⊥y轴， ∴∠AON＝∠OKH＝90°，∠ANO＝∠NHK＝90°﹣∠KNH， ∴△AON∽△NKH， ∴， ∴， 解得KH，NK＝8， ∴OK＝ON+NK8， ∴H（，）， 同理可求得直线AH解析式为y＝7x﹣28， ∵直线AH与DE交点为F2， 联立，解得， ∴F2（，）； 综上所述，F（﹣2，﹣2）或F2（，）． 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $