专题15 几何最值之造桥选址模型（几何模型讲义）（浙江专用）2026年中考数学一轮复习几何模型系列

专题15 几何最值之造桥选址模型 造桥选址模型是将军饮马模型的加强版，在解决将军遛马和将军过桥（造桥），不管是横向还是纵向的 线段长度（定长），只要将线段按照长度方向平移即可，即可以跨越长度转化为标准的将军饮马模型，再依据同侧做对称点变异侧，异侧直接连线即可。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 5 7 ‌ 造桥选址模型（Bridge Location Problem）核心思想最早可追溯至17世纪的费马-托里拆利问题，并在20世纪中叶随线性规划发展而系统化。法国数学家费马（Pierre de Fermat）提出：在平面上找一点，使其到三个给定点的距离之和最小。这奠定了“最短路径”的数学基础。意大利物理学家托里拆利（Evangelista Torricelli）给出了几何解法，成为早期选址理论的雏形。 古希腊-中国古典模型：即“将军饮马”问题（古希腊海伦、中国唐代 《太白阴经》），核心是“两点一线同侧找点使路径最短”，本质是利用轴对称化折为直。当问题加入“桥必须垂直于河岸（固定方向）”这一约束时，演变为经典的造桥选址模型，常见于初中数学“最短路径”题型。 德国经济学家阿尔弗雷德·韦伯（Alfred Weber）研究工业选址（最小化运输成本），将选址问题系统理论化。丹齐格（George Dantzig）提出单纯形法后，选址问题被纳入设施选址（Facility Location Problem）框架，造桥问题成为其特例（固定成本+欧几里得距离）。 1.（2025•延安模拟）如图，在菱形ABCD中，AB＝5，BD＝8，点E，F在BD上，连接AE，CF．若EF＝2，则AE+CF的最小值为　 　 ． 【分析】作AG∥BD，FG∥AE，构造平行四边形AEFG，推出AG＝EF＝2，AE＝GF，可得AE+CF＝GF+CF≥GC，当点G，F，C共线时等号成立，AE+CF的最小值等于GC，结合菱形的性质，勾股定理，即可求解． 【解答】解：如图，作AG∥BD，FG∥AE，菱形ABCD的对角线交于点O， ∵菱形ABCD中，AB＝5，BD＝8， ∴AC⊥BD，， ∴， ∴AC＝2OA＝6． ∵FG∥AE，AG∥BD， ∴四边形AEFG是平行四边形， ∴AE＝GF，AG＝EF＝2， ∴AE+CF＝GF+CF≥GC， 当点G，F，C共线时等号成立，AE+CF的最小值等于GC， ∵AG∥BD，AC⊥BD， ∴AC⊥AG， ∴， ∴AE+CF的最小值为． 故答案为：． 2.（2025•泸县校级二模）如图，在直角坐标系中，A（﹣2，0），B（0，2），C是OB的中点，点D在第二象限，且四边形AOCD为矩形，P是CD上一个动点，过点P作PH⊥OA于H，Q是点B关于点A的对称点，则BP+PH+HQ的最小值为 　　 ． 【分析】连接CH，根据A、B的坐标先确定OA和OB的长，证明四边形PHOC是矩形，得PH＝OC＝BC＝1，再证明四边形PBCH是平行四边形，则BP＝CH，在BP+PH+HQ中，PH＝1是定值，所以只要CH+HQ的值最小就可以，当C、H、Q在同一直线上时，CH+HQ的值最小，利用平行四边形的性质求出即可． 【解答】解：如图，连接CH， ∵A（﹣2，0），B（0，2）， ∴OB＝2，OA＝2， ∵C是OB的中点， ∴BC＝OC＝1， ∵∠PHO＝∠COH＝∠DCO＝90°， ∴四边形PHOC是矩形， ∴PH＝OC＝BC＝1， ∵PH∥BC， ∴四边形PBCH是平行四边形， ∴BP＝CH， ∴BP+PH+HQ＝CH+HQ+1， 要使CH+HQ的值最小，只需C、H、Q三点共线即可， ∵点Q是点B关于点A的对称点， ∴Q（﹣4，﹣2）， 又∵点C（0，1）， 根据勾股定理可得， 此时，BP+PH+HQ＝CH+HQ+PH＝CQ+1＝5+1＝6， 即BP+PH+HQ的最小值，6； 故答案为：6． 3.如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0），经过点A（﹣1，0），B（3，0）两点． （1）求抛物线的解析式及顶点M的坐标； （2）连接AC、BC，N为抛物线上的点且在第四象限，当S△NBC＝S△ABC时，求N点的坐标； （3）在（2）问的条件下，过点C作直线l∥x轴，动点P（m，3）在直线l上，动点Q（m，0）在x轴上，连接 PM、PQ、NQ，当m为何值时，PM+PQ+QN最小，并求出PM+PQ+QN的最小值． 【分析】（1）由点A，B的坐标，利用待定系数即可求出抛物线的解析式，再将其变形成顶点式后，即可得出顶点M的坐标； （2）连接AN，则AN∥BC，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，由点B，C的坐标，利用待定系数法可求出直线BC的解析式，设直线AN的解析式为y＝﹣x+d，代入点A的坐标可求出d值，再联立直线AN与抛物线的解析式，即可求出点N的坐标； （3）过点M作MM′∥PQ，且MM′＝PQ，连接M′Q，则当点M′，Q，N三点共线时，PM+QN取最小值，此时PM+PQ+QN最小，由点P，Q的坐标可得出PQ＝3，结合点M的坐标可得出点M′的坐标，由点M′，N的坐标，利用待定系数法可求出直线M′N的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出m的值，再利用两点间的距离公式（勾股定理）可求出M′N的长度，进而可得出PM+PQ+QN最小值． 【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+3， 得：，解得：， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3． 又∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴顶点M的坐标为（1，4）. （2）连接AN，如图1所示． ∵S△NBC＝S△ABC，且两三角形有相同的底BC， ∴AN∥BC． 当x＝0时，y＝3， ∴点C的坐标为（0，3）． 设直线BC的解析式为y＝kx+c（k≠0）， 将B（3，0），C（0，3）代入y＝kx+c， 得：，解得：， ∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3． 设直线AN的解析式为y＝﹣x+d， 将A（﹣1，0）代入y＝﹣x+d得：1+d＝0， 解得：d＝﹣1， ∴直线AN的解析为y＝﹣x﹣1． 联立两函数解析式得：， 解得：（不符合题意，舍去），， ∴点N的坐标为（4，﹣5）． （3）过点M作MM′∥PQ，且MM′＝PQ，连接M′Q，如图2所示． ∵MM′∥PQ，且MM′＝PQ， ∴四边形MM′QP为平行四边形， ∴M′Q＝MP， ∴当点M′，Q，N三点共线时，PM+QN取最小值． ∵点P的坐标为（m，3），点Q的坐标为（m，0）， ∴PQ＝3， ∴MM′＝3， ∴点M′的坐标为（1，4﹣3），即（1，1）． 设直线M′N的解析式为y＝px+q（p≠0）， 将M′（1，1），N（4，﹣5）代入y＝px+q， 得：，解得：， ∴直线M′N的解析式为y＝﹣2x+3． 又∵点Q在直线M′N上， ∴0＝﹣2m+3， ∴m，此时M′N＝M′Q+QN＝MP+QN3， ∴当m为时，PM+PQ+QN最小，PM+PQ+QN的最小值为3+3． 1）将军遛马模型： 条件：已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧,且PQ间长度恒定,在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。 （1）点A、B在直线m两侧： 如图，过A点作AC∥m,且AC长等于PQ长，连接BC,交直线m于Q,Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。 （2）点A、B在直线m同侧： 如图，过A点作AE∥m,且AE长等于PQ长，作B关于m的对称点B’,连接B’E,交直线m于Q,Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。 2）将军造桥模型（单桥模型） 已知，如图1将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？ 考虑MN长度恒定，只要求AM+NB最小值即可．问题在于AM、NB彼此分离，所以首先通过平移，使AM与NB连在一起，将AM向下平移使得M、N重合，此时A点落在A’位置（图2 ）． 问题化为求A’N+NB最小值，显然，当共线时，值最小，并得出桥应建的位置（图3）． 图1 图2 图3 3）将军造桥模型（双桥模型） 已知，如图4，将军在图中点A处，现要过两条河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？ 图4 图5 图6 考虑PQ、MN均为定值，所以路程最短等价于AP+QM+NB最小，对于这彼此分离的三段，可以通过平移使其连接到一起．AP平移至A'Q，NB平移至MB'，化AP+QM+NB为A'Q+QM+MB'．（如图5） 当A'、Q、M、B'共线时，A'Q+QM+MB'取到最小值，再依次确定P、N位置．（如图6） 例1（2025春•两江新区期末）如图，CD是直线x＝1上长度固定为1的一条动线段．已知A（﹣1，0），B（0，4），则四边形ABCD周长的最小值为（　　） A． B． C． D． 【分析】在y轴上取点E，使BE＝CD＝1，则四边形BCDE为平行四边形，作点A关于直线x＝1的对称点A′，则AD+DE＝A′D+DE，即A′、E、D三点共线时，DE+AD＝BC+AD最小值为A′E的长，求出BC+AD的最小值为，再求出，CD＝1，即可得到答案． 【解答】解：如图，在y轴上取点E，使BE＝CD＝1，则四边形BCDE为平行四边形， 由条件可知OB＝4，OA＝1， ∴OE＝3， 作点A关于直线x＝1的对称点A′， ∴A'（3，0），AD＝A′D， ∴BC+AD＝DE+AD＝A′D+DE，即A′、E、D三点共线时，AD+DE最小值为A′E的长， 由勾股定理得， ∴BC+AD的最小值为， ∵，CD＝1， ∴四边形ABCD周长AB+CD+BC+AD的最小值为． 故选：D． 例2已知在河的两岸有A，B两个村庄，河宽为4千米，A，B两村庄的直线距离AB＝10千米，A，B两村庄到河岸的距离分别为1千米，3千米，计划在河上修建一座桥MN垂直于两岸，M点为靠近A村庄的河岸上一点，则从A村庄到B村庄的最短路程为（　　） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 【分析】作BB'垂直于河岸，使BB′等于河宽，连接AB′，与靠近A的河岸相交于M，作MN垂直于另一条河岸，则MN∥BB′且MN＝BB′，得四边形MNBB′为平行四边形，则MB′＝BN；根据“两点之间线段最短”，AB′最短，即AM+BN最短，此时AM+BN＝AB′，然后由勾股定理求出AB'的长，即可解决问题． 【解答】解：如图，作BB′垂直于河岸，使BB′等于河宽，连接AB′，与靠近A的河岸相交于M，作MN垂直于另一条河岸， 则MN∥BB′且MN＝BB′， ∴四边形MNBB′为平行四边形， ∴MB′＝BN， 当AM+MB′＝AB'时，AM+BN最小， 由题意可知，AB＝10千米，BC＝1+3+4＝8（米）， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC6（米）， 在Rt△AB′C中，B′C＝1+3＝4（千米）， 由勾股定理得：AB'2（米）， ∴从A村庄到B村庄的最短路程为（24）米， 故选：B． 例3如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，点E，F在对角线BD上运动，且EF＝2，连接AE，AF，则△AEF周长的最小值是 　6　 ． 【分析】如图作AH∥BD，使得AH＝EF＝2，连接CH交BD于F，则AE+AF的值最小，进而得出△AEF周长的最小值即可． 【解答】解：如图作AH∥BD，使得AH＝EF＝2，连接CH交BD于F，则AE+AF的值最小，即△AEF的周长最小． ∵AH＝EF，AH∥EF， ∴四边形EFHA是平行四边形， ∴EA＝FH， ∵FA＝FC， ∴AE+AF＝FH+CF＝CH， ∵菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°， ∴AC＝AB＝2， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∵AH∥DB， ∴AC⊥AH， ∴∠CAH＝90°， 在Rt△CAH中，CH4， ∴AE+AF的最小值4， ∴△AEF的周长的最小值＝4+2＝6， 故答案为：6． 例4（2025春•思明区校级期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝6，E、F分别是AD、BC的中点，动点P、Q在线段EF上，且满足PQ＝2．则四边形APQB周长的最小值为 　 　 ． 【分析】因为PQ和AB是定长，所以要使四边形APQB的周长最小，只要AP+BQ最小即可；过点Q作QM∥PA交AB于M，连接CQ，可证明四边形ABFE是矩形，则有PQ∥AB，∠QFC＝∠QFB＝90°，再证明四边形APQM是平行四边形，得到AM＝PQ＝2，则BM＝AB﹣AM＝3，证明△FQC≌△FQB（SAS），得到BQ＝CQ，则当C、Q、M三点共线时，CQ+MQ有最小值，即此时AP+BQ有最小值，最小值为CM的长，据此求解即可． 【解答】解：在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝6，PQ＝2， ∴四边形APQB周长＝AP+PQ+QB+AB＝7+AP+BQ， ∴要使四边形APQB的周长最小，只要AP+BQ最小即可， 如图，过点Q作QM∥PA交AB于M，连接CQ， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC，AD∥BC，∠BAD＝90°， ∵E、F分别是AD、BC的中点， ∴， ∴AE＝BF， ∴四边形ABFE是平行四边形， ∴平行四边形ABFE是矩形， ∴PQ∥AB，∠QFC＝∠QFB＝90°， 又∵QM∥PA， ∴四边形APQM是平行四边形， ∴AM＝PQ＝2， ∴BM＝AB﹣AM＝3， 在△FQC和△FQB中， ， ∴△FQC≌△FQB（SAS）， ∴BQ＝CQ， ∴AP+BQ＝CQ+MQ， ∴当C、Q、M三点共线时，CQ+MQ有最小值，即此时AP+BQ有最小值，最小值为CM的长， 在Rt△MBC中，由勾股定理得：， ∴AP+BQ的最小值为， ∴四边形APQB周长的最小值为， 故答案为：． 例5（2024•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）经过点（﹣1，6），与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），连接AC，BC，tan∠CBA＝4． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是射线CA上方抛物线上的一动点，过点P作PE⊥x轴，垂足为E，交AC于点D．点M是线段DE上一动点，MN⊥y轴，垂足为N，点F为线段BC的中点，连接AM，NF．当线段PD长度取得最大值时，求AM+MN+NF的最小值； （3）将该抛物线沿射线CA方向平移，使得新抛物线经过（2）中线段PD长度取得最大值时的点D，且与直线AC相交于另一点K．点Q为新抛物线上的一个动点，当∠QDK＝∠ACB时，直接写出所有符合条件的点Q的坐标． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）将点A向右平移2个单位得到点A′（﹣2，0），连接A′F交y轴于点N，过点N作NM⊥PE，连接AM，则此时AM+MN+NF＝A′N+MN+NF＝2+A′F最小，即可求解； （3）∠QDK＝∠ACB，则DQ∥BC，则直线DQ的表达式为：y＝﹣4（x+2）+2，即可求解；当点Q（Q′）在AC上方时，同理可解． 【解答】解：（1）由抛物线的表达式知，OC＝4， ∵tan∠CBA＝4，则OB＝1， 即点B（1，0）， 由题意得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣3x+4； （2）由抛物线的表达式知，点A、B、C的坐标分别为：（﹣4，0）、（1，0）、（0，4），则点F（，2）， 由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝x+4， 设点P（x，﹣x2﹣3x+4），则点D（x，x+4）， 则PD＝﹣x2﹣3x+4﹣x﹣4＝﹣x2﹣4x， 当x＝﹣2时，PD取得最大值，则点E（﹣2，0）、D（﹣2，2），则MN＝2， 将点A向右平移2个单位得到点A′（﹣2，0），连接A′F交y轴于点N，过点N作NM⊥PE，连接AM， 则四边形MNA′A为平行四边形，则AM＝A′N， 则此时AM+MN+NF＝A′N+MN+NF＝2+A′F＝22为最小； （3）将该抛物线沿射线CA方向平移，当向左平移m个单位时，则向下平移了m个单位， 则新抛物线的表达式为：y＝﹣（x+m）2﹣3（x+m）+4﹣m， 将点D（﹣2，2）的坐标代入上式得：2＝﹣（﹣2+m）2﹣3（﹣2+m）+4﹣m， 解得：m＝2， 则新抛物线的表达式为：y＝﹣（x+m）2﹣3（x+m）+4﹣m＝﹣x2﹣7x﹣8， 由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝﹣4x+4， 当点Q在AC下方时， ∵∠QDK＝∠ACB，则DQ∥BC， 则直线DQ和BC表达式中的k值相同， 而DQ过点D（﹣2，2）， 则直线DQ的表达式为：y＝﹣4（x+2）+2， 联立上式和新抛物线的表达式得：﹣4（x+2）+2＝﹣x2﹣7x﹣8， 解得：x＝﹣2（舍去）或﹣1， 即点Q（﹣1，﹣2）； 当点Q（Q′）在AC上方时， 同理可得，点H′（﹣4，）， 由点D、H′的坐标得，直线DH′的表达式为：y（x+2）+2， 联立上式和新抛物线的表达式得：（x+2）+2+2＝﹣x2﹣7x﹣8， 解得：x＝﹣2（舍去）或， 即点Q（，）； 综上，点Q的坐标为：（﹣1，﹣2）或（，）． 1．如图，AC是菱形ABCD的对角线，∠ABC＝120°，点E，F是AC上的动点，且，若AD＝4，则DE+BF的最小值为（　　） A． B． C．4 D． 【分析】连接BD交AC于O，以EF，BF为邻边作平行四边形BFEG，则EF＝BG，BF＝GE，所以DE+BF＝DE+EG≥DG，即DE+BF的最小值． 【解答】解：如图，连接BD交AC于O，以EF，BF为邻边作平行四边形BFEG，连接DG， ∴EF＝BG，BF＝GE， ∴DE+BF＝DE+EG≥DG， ∴DE+BF的最小值为DG， ∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°，AD＝4， ∴∠DAB＝60°， ∵AD＝4， ∴OD＝2，BD＝4，OA＝2，AC＝4， ∴EFAC， GB， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∴∠AOD＝90°， ∴∠GBD＝90°， ∴DG． 即DE+BF的最小值为． 故选：D． 2．如图，AB＝AC＝12，∠BAC＝120°，AD⊥AB交BC于点D，P是AB中点，过点P作PQ∥BC交AD于点Q．M，N在线段BC上，且，则PM+QN的最小值是（　　） A． B． C． D． 【分析】作点P关于BC的对称点F，过点M作ME∥NQ交PQ于点E，连接PF，BF，EF，MF，根据勾股定理得到，，根据平行线的性质得出∠APQ＝∠B＝30°30°，再利用勾股定理得出AQ＝QD，求出PQ＝4，证明△EMX≌△QNY，得到ME＝QN，由此PM+QN＝MF+ME，当F，M，E三点共线时，PM+QN的值最小，即线段EF的长，证△BPF是等边三角形，PF＝BPAB＝6，利用勾股定理求出EF． 【解答】解：作点P关于BC的对称点F，过点M作ME∥NQ交PQ于点E，连接PF，BF，EF，MF，作EX⊥BC，QY⊥BC， ∵AB＝AC＝12，∠BAC＝120°， ∴∠B＝∠C＝30°， ∵AD⊥AB， ∴BD＝2AD， ∴122+AD2＝BD2，即122+AD2＝（2AD）2， ∴，BD＝8， ∵PQ∥BC， ∴∠APQ＝∠B＝30°， ∵P是AB中点， ∴， 设AQ＝a，则PQ＝2a， ∴62+a2＝（2a）2， ∴，即，，PQ＝4， ∴AQ＝QD， ∵ME∥NQ， ∴∠EMX＝∠QNY， ∵PQ∥BC， ∴EX＝QY， 在△EMX和△QNY中， ∴△EMX≌△QNY（AAS）， ∴ME＝QN， ∴PM+QN＝MF+ME≥EF，当且仅F，M，E三点共线时取等， ∵BP＝BF，∠ABC＝∠CBF＝30°， ∴△BPF是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵∠FPE＝90°， ∴， 故选：A． 3．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，G是AD的中点，线段EF在边AB上左右滑动，若EF＝1，则GE+CF的最小值为（　　） A．4 B．5 C． D． 【分析】作G关于AB的对称点G'，在CD上截取CH＝1，然后连接HG'交AB于E，在EB上截取EF＝1，此时GE+CF的值最小，结合平行四边形的判定和性质和勾股定理的运用解答即可． 【解答】解：如图，作G关于AB的对称点G'，在CD上截取CH＝1，然后连接HG'交AB于E，在EB上截取EF＝1，此时GE+CF的值最小， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD、AD＝BC＝2、DC＝AB＝4， ∵CH＝EF＝1，CH∥EF， ∴四边形EFCH是平行四边形， ∴EH＝CF， ∵G关于AB的对称点是G'、G为边AD的中点， ∴AB垂直平分GG'， ∴GE＝G'E、， ∴G'H＝EG'+EH＝EG+CF， ∵DC＝4，AD＝2， ∴DG'＝AD+AG'＝2+1＝3，DH＝DC﹣CH＝4﹣1＝3， 由勾股定理得：， 即GE+CF的最小值为． 故选：C． 4．（2025秋•绥德县月考）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴分别交于A，B两点，与y轴交于点C，PQ为抛物线对称轴上的线段，且PQ＝2，则四边形ACPQ周长的最小值为 　2+2　 ． 【分析】作点C关于抛物线对称轴的对称点D（2，3），将点D向下平移2个单位得到点E（2，1），连接AE交抛物线对称轴于点Q，将点Q向上平移两个单位得到点P，则此时，四边形ACPQ周长的最小，进而求解． 【解答】解：对于y＝﹣x2+2x+3，当x＝0时，y＝3，即点C（0，3）， 令y＝﹣x2+2x+3＝0，则x＝3或﹣1，即点A（﹣1，0），点B（3，0）， 则抛物线的对称轴为x＝1， 作点C关于抛物线对称轴的对称点D（2，3），将点D向下平移2个单位得到点E（2，1）， 连接AE交抛物线对称轴于点Q，将点Q向上平移两个单位得到点P，则此时，四边形ACPQ周长的最小， ∵DE∥PQ且DE＝PQ，则四边形DEQP为平行四边形，则PD＝QE， 由抛物线的对称性知，PC＝DP， 则四边形ACPQ周长＝AC+PQ+CP+AQ＝AC+PQ+QE+AQ＝AC+PQ+AE为最小， 即四边形ACPQ周长的最小值＝AC+PQ+AE22+2， 故答案为：2+2． 5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣4x+3与y轴交于点A，与x轴的一个交点为点B，点B在抛物线对称轴左侧，线段CD在对称轴上，CD＝2，则四边形ABCD周长的最小值为 　22　 ． 【分析】由抛物线的解析式求得A（0，3），B（1，0）得AB，可得四边形ABCD的周长＝AB+BC+CD+AD2+BC+AD，即知BC+AD最小时，四边形ABCD周长最小，作点A（0，3）关于函数对称轴直线x＝2的对称点A'（4，3），将B（1，0）上移2单位长度得B′（1，2），可知BC+AD＝B′D+DA′，故当A′、D、B′三点共线时，BC+AD＝B′D+DA′最小，此时B′D+DA′最小值为，故四边形ABCD的周长的最小值是22． 【解答】解：在y＝x2﹣4x+3中， 令x＝0，则y＝3， ∵A（0，3）， 令x2﹣4x+3＝0，解得x＝1或x＝3， ∴B（1，0）， ∴AB， ∴四边形ABCD的周长＝AB+BC+CD+AD2+BC+AD， ∴BC+AD最小时，四边形ABCD周长最小， ∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1， ∴抛物线的对称轴为直线x＝2， 作点A（0，3）关于函数对称轴直线x＝2的对称点A'（4，3），则AD＝A′D， 将B（1，0）上移2个单位长度得B′（1，2），则四边形BB'DC是平行四边形， ∴B′D＝BC， ∴BC+AD＝B′D+DA′， 当A′、D、B′三点共线时，BC+AD＝B′D+DA′最小，周长也最小， 此时A'（4，3），B'（1，2）， ∴B′D+DA′最小为A'B'，即B′D+DA′最小为， ∴四边形ABCD周长的最小值为是22． 故答案为：22． 6．（2025秋•北京期中）在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于点M，N（点M在点N的左侧），与y轴交于点C．点A，B是抛物线对称轴上两点（点A在点B的上方）且AB＝2，则CA+BM的最小值为　　 ． 【分析】先得求出M（1，0），N（3，0），C（0，4），连接BN，过点A作AE∥BN，BE∥y轴交于点E，连接EN，CE，证明四边形ABNE是平行四边形，得出AE＝BN，结合二次函数的对称性得到BM＝BN＝AE，由两点之间线段最短，当A，C，E三点共线时，CA+BM＝CA+AE有最小值，再根据平行四边形的性质得到E（3，2），运用两点距离公式列式计算即可作答． 【解答】解：令，则x＝1或x＝3， 将x＝0代入，则， ∴M（1，0），N（3，0），C（0，4）， ∴抛物线的对称轴为， 连接BN，过点A作AE∥BN，BE∥y轴交于点E，连接EN，CE， 则四边形ABNE是平行四边形， ∴AE＝BN， ∴BM＝BN＝AE， 当A，C，E三点共线时，CA+BM＝CA+AE有最小值，最小值为CE的长， ∵N（3，0），AB＝2， ∴EN＝2， ∴E（3，2）， ∴， ∴CA+BM的最小值为． 故答案为：． 7．如图，在正方形ABCD中，E，F是对角线AC上两点（点E靠近点A），且，当BE+BF的最小值为时，AB的长为 　4　 ． 【分析】作DG∥AC，使得DG＝EF，连接BG，FG，BD，推出BE+BF的最小值为BG，进而求出BD，再在Rt△ABD中，可求出AB． 【解答】解：如图，作DG∥AC，使得DG＝EF，连接BG，FG，BD， ∵DG＝EF，DG∥EF， ∴四边形DEFG是平行四边形， ∴DE＝FG， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AC是正方形ABCD的一条对称轴，BD⊥AC， ∴DE＝BE，∠BDG＝90°， ∴BE+BF＝DE+BF＝FG+FB≥BG， ∴BE+BF的最小值为BG， 在Rt△BDG中，BD， 在Rt△ABD中，AB＝ADBD＝4． 故答案为：4． 8．如图，正方形ABCD内接于⊙O，线段MN在对角线BD上运动，若⊙O的面积为2π，MN＝1，则（1）⊙O的直径长为 　2　 ；（2）△AMN周长的最小值是 　4　 ． 【分析】（1）利用圆的面积公式计算出半径即可求出直径； （2）连接AC，CM，以MN、MC为边作▱CMNE，连接AE，证明出AM＝EN，AM+AN＝AN+EN，当A、N、E共线时，AN+EN最小，即AE为AM+AN的最小值，利用勾股定理求出AE即可解答此问． 【解答】解：（1）∵⊙O的面积为πr2＝2π， ∴r， ∴⊙O的直径长为2， 故答案为：2； （2）如图，连接AC，CM，以MN、MC为边作▱CMNE，连接AE， ∵四边形ABCD为正方形， ∴AC⊥BD，AM＝CM， ∵四边CMNE为平行四边形， ∴CM＝EN， ∴AM＝EN， ∴AM+AN＝AN+EN， 当A、N、E共线时，AN+EN最小，即AE为AM+AN的最小值， 在▱CMNE中，EC＝MN＝1，EC∥MN， ∴∠ECN＝90°， ∵AC＝2， ∴AE3， ∴△AMN周长的最小值为3+1＝4， 故答案为：4． 9．（2025秋•栖霞市期末）河的两岸成平行线，A，B是位于河两岸的两个车间（如图），要在河上造一座桥，使桥垂直于河岸，并且使A，B间的路程最短．确定桥的位置的方案如下：作从A到河岸的垂线，分别交河岸PQ，MN于F，G．在AG上取AE＝FG，连接EB，EB交MN于D．在D处作到对岸的垂线DC，那么DC就是造桥的位置，请你对方案可行性给出证明． 【分析】证明四边形AEDC为平行四边形得AC＝ED，可得AC+CD+DB＝EB+CD，进而可说明方案可行． 【解答】解：∵AE⊥MN，CD⊥MN， ∴AE∥CD， ∵AE＝FG，FG＝CD， ∴AE＝CD， ∴四边形AEDC为平行四边形， ∴AC＝ED， 根据两点之间线段最短可知， AC+CD+DB＝（ED+DB）+CD＝EB+CD， ∵CD与河岸垂直，为定值， ∴当AC+BD＝BE时，路径A、C、D、B最短． 10．（2025秋•武城县月考）综合与实践 【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”里隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马，如图（1），将军从山脚下的点A出发，到一条笔直的河边l饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走才能使他每天走的路程之和最短呢？ 【分析问题】小亮：如图（2），作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时按路线走的路程就是最短的． 小慧：你能详细解释为什么吗？ 小亮：如图（3），在直线l上另取不同于点C的任一点C′，连接AC′，BC′，B′C′． ∵点B、B′关于直线l对称，点C、C′在直线l上， ∴CB＝CB′　 ，C′B＝C′B′　 ， ∴AC+CB＝AC+CB′＝AB′　 ． ∵在△AC′B′中，AB′＜AC′+C′B′， ∴AC+CB ＜AC′+C′B′，即AC+CB最小． 【解决问题】 任务一 请将小亮的说明过程补充完整．（直接填在横线上） 任务二 如图（4），将军从A地出发，先到草地边某一处牧马；再到河边饮马，然后回到B处，请在图中设计一条路线，使其所走的路径最短．（保留画图痕迹） 任务三 如图（5），在P、Q两村之间有一条河，且这条河的宽度处处相等，从P村前往Q村，要经过这条河，现要在这条河上造一座垂直于河岸的桥MN，则这座桥MN造在何处可使由P村到Q村的路程最短？（保留画图痕迹，在图上画出道路和桥的位置） 【分析】任务一：用轴对称把CB变成CB'，让AC+CB变成线段AB'，用三角形三边关系证明AB'比其他路径短，所以AC+CB最短； 任务二：对草地、河岸各做一次轴对称，把A、B分别对称到A'、B'．连接A'B'，交点就是牧马、饮水点，路径变线段，保证最短； 任务三：把P向下平移河宽到P'，抵消桥的长度．连P'Q交河岸得N，作垂线得桥MN，路径PM﹣MN﹣NQ最短． 【解答】解：任务一：∵点B、B′关于直线l对称，点C、C′在直线l上， ∴CB＝CB′，C′B＝C′B′， ∴AC+CB＝AC+CB′＝AB′． ∵在△AC′B′中，AB′＜AC′+C′B′， ∴AC+CB＜AC′+C′B′，即AC+CB最小， 故答案为：CB′，C′B′，AB′，AC+CB； 任务二：如图，AC﹣CD﹣BD即为最短路径． 任务三：如图，PM﹣MN﹣NQ即为最短路径． 11．如图，直线yx与y轴交于点A，与x轴交于点B，点C、D在直线x＝2（直线上所有点的横坐标均为2）上，且CD． （1）求A、B两点坐标； （2）四边形OACD的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在说明理由． 【分析】（1）根据坐标轴上点的特点即可得出结论； （2）将点AC向下平移个单位到点A′D，作出点O关于直线x＝2的对称点O′，连接DO′，AC，当点A′，D，O′三点在同一直线上时，此时四边形OACD的周长最小，据此求解即可． 【解答】解：（1）在一次函数中，令x＝0时，， ∴， 令y＝0时，， ∴x＝6， ∴B（6，0）； （2）如图，将点线段AC向下平移个单位到点A′D，作出点O关于直线x＝2的对称点O′，连接DO′，AC，当点A′，D，O′三点在同一直线上时，此时四边形OACD的周长最小， 由作图可得：， ∴A′（0，3）， 由对称可知O′（4，0），OD＝O′D， ∴A′O′＝5， ∴四边形OACD的周长最小值5＝11． 12．（2025春•环翠区期末）数学研究小组发现，求线段最值问题的解决策略：对两条线段作某种变换（平移、轴对称、旋转等），最终转化为“两点之间线段最短问题”去解决． （1）如图1，已知菱形ABCD，∠A＝60°，AB＝2，点E是BC边中点，点F是对角线BD边上的动点．连接EF，CF，则EF+CF的最小值为 　　 ； （2）如图2，已知矩形ABCD，AB＝6，BC＝3．点E是BC上的点，且CE＝1，点F，G是CD上的动点，且FG＝1，连接AG．则EF+FG+AG的最小值为 　1　 ； （3）如图3，已知正方形ABCD，AB＝2，E是AC上的动点，F是BC上的动点，且AE＝CF．连接AF，DE，求AF+DE的最小值． 【分析】（1）取AB的中点G，连接CG，交BD于F，则EF+CF的最小值是CG的长，进一步得出结果； （2）延长EC至W，使CW＝CE＝1，将W向上平移1个单位至V，连接AV，交CD于G，此时EF+FG+AG最小，进一步得出结果； （3）作CZ⊥AC，截取CZ＝AD，连接FZ，AZ，交BC于F′，则当F在F′处时，AF+DE最小，进一步得出结果． 【解答】解：（1）如图1， 取AB的中点G，连接CG，交BD于F，则EF+CF的最小值是CG的长， 作GH⊥CB，交BC的延长线于H， ∵∠H＝90°，∠GBH＝∠A＝60°，BGAB＝1， ∴BH，GH， ∴CH＝BH+BC， ∴CG， 故答案为：； （2）如图2， 延长EC至W，使CW＝CE＝1，将W向上平移1个单位至V，连接AV，交CD于G， 此时EF+FG+AG最小， 设WV交AD的延长线于X， 可得：∠X＝90°，AX＝AD+DX＝AD+CW＝4，XV＝CD﹣WV＝5， ∴AV， ∴EF+FG+AG的最小值是：， 故答案为：； （3）如图3， 作CZ⊥AC，截取CZ＝AD，连接FZ，AZ，交BC于F′，则当F在F′处时，AF+DE最小，理由如下： ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ADC＝∠ACB＝45°， ∴∠ZCF＝90°﹣∠ACB＝45°， ∴∠DAC＝∠ZCF， ∵CF＝AE， ∴△ADE≌△CZF（SAS）， ∴ZF＝DE， ∴AF+DE＝AF+ZF≤AZ，当A、F、Z共线时，AF+ZF最小， ∴CZ＝AD＝AB＝2，AC， ∴AZ2， ∴（AF+DE）最小＝2． 13．（1）问题提出 如图①，在△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，点D，E分别是AB，AC的中点．若点M，N分别是DE和BC上的动点，则AM+MN的最小值是 　3　 ． （2）问题探究 如图②，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥（与河床垂直），桥造在何处，才能使从A到B的路径A→M→N→B最短．博琳小组针对该问题展开讨论，小旭同学认为：过A作河岸的垂线，使AA′＝MN，MN为河宽，连接A′B，A′B与河的一岸交于点N，此时在点N处建桥，可使从A到B的路径A→M→N→B最短．你认为小旭的说法正确吗？请说明理由． （3）问题解决 如图③，在矩形ABCD中，AB＝60，BC＝80．E、F分别在AB，CD上，且满足EF∥BC，BE＝20．若边长为10的正方形MNPQ在线段EF上运动，连接BM、DP，当BM+DP取值最小时，求EN的长． 【分析】（1）连接AN，过点A作AF⊥BC于点F，根据两点之间线段最短，可得当AN⊥BC时，AN最短，此时点N与点F重合，即AM+MN的最小值为AF的长，再根据直角三角形的性质，即可求解； （2）根据题意可得四边形AA′NM为平行四边形，从而得到AM＝A′N，再根据“两点之间线段最短”，当点A′，N，B三点共线时，A′N+BN最短，即可求解； （3）过点N分别作HN∥BM，GN∥DP，分别交BC，CD于点H，G，连接GH交EF于点T，过点G作GX⊥EF于点X，则GX＝BE＝20，GX∥CD，证明四边形BMNH，四边形DPNG都是平行四边形，可得HN＝BM，DP＝GN，DH＝PN＝10，BG＝MN＝10，从而得到当点H，T，G三点共线时，BM+DP的值最小，此时点N与点T重合，然后证明△HTF∽△HGC，可得TF＝42，可求得ET的长；过点Q分别作KQ∥BM，QL∥DP，分别交AB，AD于点K，L，连接KL交EF于点S，当点K，S，L三点共线时，BM+DP的值最小，此时点N与点S重合，同理可求出ES的长，即可求解． 【解答】解：（1）如图1，连接AN，过点A作AF⊥BC于点F， ∴AM+MN≥AN， 当AN⊥BC时，AN最短，此时点N与点F重合，即AM+MN的最小值为AF的长， ∵AB＝AC＝6，∠BAC＝120°， ∴∠B＝∠C＝30°， ∴， ∴AM+MN的最小值为3； 故答案为：3； （2）小旭的说法正确，理由如下： 根据题意得：AA′＝MN，AA′∥MN， ∴四边形AA′NM为平行四边形， ∴AM＝A′N， 根据“两点之间线段最短”，当点A′，N，B三点共线时，A′N+BN最短， ∵MN为河宽， ∴在点N处建桥，可使从A到B的路径A→M→N→B最短． （3）如图3.1，过点N分别作HN∥BM，GN∥DP，分别交BC，CD于点H，G，连接GH交EF于点T，过点G作GX⊥EF于点X，则GX＝BE＝20，GX∥CD， 根据题意得：BH∥MN，PN∥DG，EF＝BC＝80， ∴四边形BMNH，四边形DPNG都是平行四边形， ∴HN＝BM，DP＝GN，DH＝PN＝10，BG＝MN＝10， ∴BM+DP＝HN+GN≥GH， 即当点H，T，G三点共线时，BM+DP的值最小，此时点N与点T重合， ∵AB＝CD＝60，BC＝AD＝80，CF＝BE＝20， ∴HF＝30，CH＝50，CG＝70， ∵EF∥BC， ∴△HTF∽△HGC， ∴， ∴， 解得：TF＝42， ∴ET＝EF﹣FT＝80﹣42＝38； 如图3.2，过点Q分别作KQ∥BM，QL∥DP，分别交AB，AD于点K，L，连接KL交EF于点S，当点K，S，L三点共线时，BM+DP的值最小，此时点N与点S重合， 同理ES＝14； 综上所述，当BM+DP取值最小时，EN的长为38或14． 14．（2025•雁塔区校级四模）问题提出 （1）如图1，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝3，E是AB的中点，P是BC边上的一动点，则PA+PE的最小值为 　　 ； 问题探究 （2）如图2，在平行四边形ABCD中，AB＝6，AD＝2，∠BAD＝60°，E，F是CD边上的动点，且EF＝1，则AE+BF的最小值是多少？ 问题解决 （3）如图3是夹角为30°的港湾（∠MON＝30°），ON岸上有一个码头A，湾内有个小岛B，OA＝2000m，小岛B与OM的距离为500m，与ON的距离为2000m．现拟在OM，ON岸上设置C，D，E三处游客接驳点，点C在OM上，点D，E在ON上，且为了游客方便及安全，D，E之间的距离为1000m，客船从码头A出发，沿AC﹣CD﹣DE﹣EB前行，最终到达小岛B，请问，根据两岸接驳点的安排，是否存在最短的运输路线？若存在，请求出最短运输路线长；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）延长AC至D，使CD＝AC＝3，连接BD，PD，DE，得到BC垂直平分AD，∠BDC＝∠DBC＝∠BAC＝∠ABC＝45°，则PD＝PA，∠DBA＝90°，得到PA+PE＝PD+PE≥DE，当P、D、E三点共线时，PA+PE＝DE最小，在Rt△BDE中利用勾股定理求解即可； （2）如图，作点A关于CD的对称点P，AP交CD延长线于H，在线段AB上取一点G，使BG＝EF＝1，连接PE，PG，EG，先证明四边形FBGE是平行四边形，得到BF＝EG，根据点A关于CD的对称点P，得到AE＝PE，HA＝HP，则AE+BF＝PE+EG≥PG，当P、E、G三点共线时，AE+BF＝PG最小，Rt△PAG中利用勾股定理求解即可； （3）过B作BQ∥DE，BQ＝DE＝1000m，连接QD，得到四边形BQDE是平行四边形，BE＝DQ，作点A关于OM的对称点K，点Q关于ON的对称点U，连接AC、DQ，则AC＝CK，DQ＝DU，得到AC+CD+DE+EB＝AC+CD+DQ+DE＝KC+CD+DU+1000≥KU+1000，当K、C、D、U四点共线时，AC+CD+DE+EB＝KU+1000最小，Rt△KPU中利用勾股定理求解即可． 【解答】解：（1）如图1，延长AC至D，使CD＝AC＝3，连接BD，PD，DE，则CD＝AC＝BC＝3， ∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝3， ∴BC垂直平分AD，∠BDC＝∠DBC＝∠BAC＝∠ABC＝45°， ∴PD＝PA，∠DBA＝∠DBC+∠ABC＝90°， ∴PA+PE＝PD+PE≥DE， ∴当P、D、E三点共线时，PA+PE＝DE最小， ∵CD＝AC＝BC＝3，∠ACB＝90°， ∴， ∵E是AB的中点， ∴， 在直角三角形BDE中，由勾股定理得： ， ∴PA+PE的最小值为， 故答案为：； （2）如图2，作点A关于CD的对称点P，AP交CD延长线于H，在线段AB上取一点G，使BG＝EF＝1，连接PE，PG，EG， ； ∵在平行四边形ABCD中，AB＝6，AD＝2，∠BAD＝60°， ∴AB∥CD，AG＝AB﹣BG＝6﹣1＝5， ∴四边形FBGE是平行四边形，∠BAD＝∠HDA＝60°，∠PHD＝∠PAB， ∴BF＝EG， ∵点A关于CD的对称点P， ∴CD垂直平分AP， ∴AE＝PE，∠DHA＝∠PHD＝∠PAB＝90°，HA＝HP， ∴AE+BF＝PE+EG≥PG， ∴当P、E、G三点共线时，AE+BF＝PG最小， Rt△ADH中，∠HDA＝60°，AD＝2，则∠HAD＝30°， ∴，， Rt△PAG中，，AG＝5， ∴， ∴AE+BF的最小值是； （3）存在最短的运输路线；理由如下： 过B作BQ∥DE，BQ＝DE＝1000m，连接QD，如图3， ∴四边形BQDE是平行四边形， ∴BE＝DQ， 如图4，作点A关于OM的对称点K，点Q关于ON的对称点U，连接AC、DQ，则AC＝CK，DQ＝DU， ∴AC+CD+DE+EB＝AC+CD+DQ+DE＝KC+CD+DU+1000≥KU+1000， ∴当K、C、D、U四点共线时，AC+CD+DE+EB＝KU+1000最小， 过K作KL⊥ON于L，KP⊥QU于P，KP交OM于H，过B作BS⊥OM于S，BT⊥ON于T，则四边形KLVP、BQVT都是矩形， ∴KL＝PV，KP＝LV，BT＝QV＝VU，KP∥ON， ∵小岛B与OM的距离为500m，与ON的距离为2000m， ∴BS＝500m，BT＝QV＝VU＝2000m， ∵∠MON＝30°，BQ∥DE， ∴∠MON＝∠BQS＝30°， ∴BQ＝1000＝2BS，即Q在OM上， ∵OA＝2000，点A关于OM的对称点K， ∴OA＝OK＝2000，∠MON＝∠FOK＝30°，KA⊥OM， ∴△KOA是等边三角形， ∵KA⊥OM，KL⊥ON， ∴OL＝AFOA＝1000m，KL＝OF＝1000m， ∴KL＝PVm， ∴PU＝PV+VU＝（2000）m， Rt△QOV中，∠MON＝30°，QV＝2000m， ∴OQ＝2QV＝4000m，OVm， ∴KP＝LV＝OV﹣OL＝（1000）m， ∵Rt△KPU中，PU＝（）m，KP＝（20001000）m， ∴KU ＝2000（m）， ∴AC+CD+DE+EB最小值为＝KU+1000＝（20001000）m， 即最短运输路线长为（20001000）m． 15．（2025秋•大足区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+b的图象与一次函数y＝﹣x+1的图象交于A，B两点，已知B（6，﹣5）． （1）求抛物线的表达式； （2）点C是直线AB上方抛物线上的一动点，连接AC，BC．点M，N是y轴上的两动点（M在N上方），且满足MN＝3，连接CM，BN，当△ABC的面积取得最大值时，求CM+MN+BN的最小值； （3）当（2）中CM+MN+BN取得最小值时，若Q是抛物线对称轴上位于直线MC上方的一动点，是否存在以C、M、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）首先确定A（0，1），将A（0，1），B（6，﹣5）两点代入y＝ax2+2x+b并求解即可； （2）过点C作CE∥y轴交直线AB于点E，设点C坐标为，易得点E 坐标为（t，﹣t+1），可知，结合三角形面积公式可得，由二次函数的性质可得当t＝3时，S△ABC有最大值，此时，将点 B 关于y轴的对称点B′，再向上平移3个单位得到B″（﹣6，﹣2），连接B′N、B″M，B″C，则有，即可获得答案； （3）根据待定系数法求出直线B′C解析式，则可求点M的坐标，设Q（2，m）（m＞2），分三种情况讨论：CM＝CQ；CM＝MQ；QM＝CQ，根据两点间距离公式构建关于m的方程，求解即可． 【解答】解：（1）抛物线y＝ax2+2x+b的图象与一次函数y＝﹣x+1的图象交于A，B两点， 当x＝0时，得：y＝1， ∴A（0，1）， 将点A（0，1），B（6，﹣5）分别代入y＝ax2+2x+b，得： ， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）如图，过点C作CE∥y轴交直线AB于点E，设点C坐标为， ∴点E坐标为（t，﹣t+1）， ∴， ∵A（0，1），B（6，﹣5）， ∴， ∴当t＝3时，S△ABC有最大值， 此时， 将点B关于y轴的对称点B′，再向上平移3个单位得到B″（﹣6，﹣2），连接B′N、B″M，B″C，则BN＝B′N， ∵B′B″∥MN，B′B″＝MN， ∴B′B″MN是平行四边形， ∴B′N＝B″M， ∴BN＝B″M， ∴CM+MN+BN＝CM+MN+B″M≥B′C+MN， 即当点C、M、B″三点共线时，CM+MN+BN有最小值， ∵， ∴， 即CM+MN+BN最小值为； （3）存在以C、M、Q为顶点的三角形是等腰三角形；点Q的坐标为或．理由如下： 设直线B′C解析式为y＝kx+n，将点B′，点C的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴直线B′C解析式为， 当x＝0时，得：y＝1， ∴M（0，1）， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线x＝2， 对于，当x＝2时，得：， 设Q（2，m）（m＞2）， 当CM＝CQ时，依题意得： ， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴； 当CM＝MQ时，依题意得： ， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴； 当QM＝CQ时，依题意得： ， 解得：（不合题意，舍去）， 综上所述，点Q的坐标为或． 16．【问题提出】 （1）如图1，点A、B在直线l的同侧，点A到直线l的距离AC＝2，点B到直线l的距离BD＝4，A、B两点的水平距离CD＝8，点P是直线l上的一个动点，则AP+BP的最小值是 　10　 ； 【问题探究】 （2）如图2，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，G是AD的中点，线段EF在边AB上左右滑动，若EF＝1，求GE+CF的最小值； 【问题解决】 （3）如图3，某公园有一块形状为四边形ABCD的空地，管理人员规划修两条小路AC和BD（小路的宽度忽略不计，两条小路交于点P），并在AD和BC上分别选取点M、N，沿PM、PN和MN修建地下水管，为了节约成本，要使得线段PM、PN与MN之和最小． 已测出∠ACB＝45°，∠ADB＝60°，∠CPD＝75°，PC＝50m，PD＝40m，管理人员的想法能否实现，若能，请求出PM+PN+MN的最小值，若不能，请说明理由． 【分析】（1）作点A关于直线l的对称点A′，连接BA′交直线l于P，则AP+BP的值最小，且AP+BP的最小值＝A′B，过A′作A′E⊥BD于E，根据矩形的性质得到DE＝A′C＝AC＝2，A′E＝CD＝8，根据勾股定理即可得到结论； （2）如图，作G关于AB的对称点G′，在CD上截取CH＝1，连接EH，G′E，G′H，则G′E＝GE，根据平行四边形的性质得到EH＝CF，根据三角形的三边关系得到GE+CF＝G′E+EH≥G′H，根据勾股定理即可得到结论； （3）作点P关于AD、BC的对称点E、F，连接PE，PF分别交AD、BC于点O、H，则PE⊥AD，PF⊥BC，连接EF，与AD、BC的交点即为点M、N的位置，连接PM，PN，此时PM＝EM，PN＝FN，EF的长就是PM+PN+MN的最小值，过点E作EG⊥PF交FP的延长线于点G，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】解：（1）作点A关于直线l的对称点A′，连接BA′交直线l于P，则AP+BP的值最小，且AP+BP的最小值＝A′B， 过A′作A′E⊥BD于E， 则DE＝A′C＝AC＝2，A′E＝CD＝8， ∴BE＝2+4＝6， ∴A′B10， 即AP+BP的最小值是10； 故答案为：10； （2）如图，作G关于AB的对称点G′，在CD上截取CH＝1，连接EH，G′E，G′H， 则G′E＝GE， ∵CH＝EF＝1，CH∥EF， ∴四边形EFCH是平行四边形， ∴EH＝CF， ∴GE+CF＝G′E+EH≥G′H， ∵AB＝4，BC＝AD＝2，G为AD的中点， ∴DG′＝AD+AG′＝2+1＝3，DH＝CD﹣CH＝4﹣1＝3， 由勾股定理得， ∴， 即GE+CF的最小值为； （3）管理人员的想法能实现， 理由：作点P关于AD、BC的对称点E、F，连接PE，PF分别交AD、BC于点O、H， 则PE⊥AD，PF⊥BC，连接EF，与AD、BC的交点即为点M、N的位置，连接PM，PN， 此时PM＝EM，PN＝FN，EF的长就是PM+PN+MN的最小值， 过点E作EG⊥PF交FP的延长线于点G， ∵∠ACB＝45°，∠ADB＝60°，PE⊥AD，PF⊥BC， ∴∠CPH＝45°，∠DPO＝30°． ∵， ∴PH＝PCsin∠BCP＝50（m），ODPD＝20（m）， ∴， ∴， ∵∠CPH＝45°，∠CPD＝75°，∠DPO＝30°， ∴∠EPG＝180°﹣∠CPH﹣∠CPD﹣∠DPO＝30°， ∵EG⊥PG， ∴， ∴， ∴GF＝PG+PF＝160（ m）， 在Rt△GEF中，， ∴PM+PN+MN的最小值为． 17．“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．这里包含了一个有趣的数学问题，通常称之为“将军饮马”． 【问题描述】 如图1，在直线上找一点P使得PA+PB最小？ 【问题解决】 作点A关于直线的对称点A′，连接PA′，则PA′＝PA，所以PA+PB＝PA′+PB，当A′、P、B三点共线的时候，PA′+PB＝A′B，此时为最小值（两点之间线段最短）． 【应用模型】 （1）如图3，在Rt△ABO中，∠OBA＝90°，A（4，4），点C在边AB上，且AC：CB＝1：3，点D为OB的中点，点P为边OA上的动点，当点P在OA上移动时，则四边形PDBC周长的最小值为　5　 ． （2）如图4，长方形ABCD中，AB＝8，BC＝4，点E、F、G、H分别在矩形ABCD各边上，且AE＝CG，BF＝DH，求四边形EFGH周长的最小值？ 【拓展延伸】 如图5，已知正比例函数y＝kx（k＞0）的图象与x轴相交所成的锐角为70°，定点A的坐标为（0，4），P为y轴上的一个动点，M、N为函数y＝kx（k＞0）的图象上的两个动点，则AM+MP+PN的最小值为　2　 ． 【分析】【应用模型】（1）根据已知条件得到AB＝OB＝4，∠AOB＝45°，求得BC＝3，OD＝BD＝2，得到D（2，0），C（4，3），作D关于直线OA的对称点E，连接EC交OA于P，则此时，四边形PDBC周长最小，E（0，2），求得直线EC的解析式为yx+2，解方程组即可得到结论； （2）作点E关于BC的对称点E′，连接E′G交BC于点F，此时四边形EFGH周长取最小值，过点G作GG′⊥AB于点G′，由对称结合矩形的性质可知：E′G′＝AB，GG′＝AD，利用勾股定理即可求出E′G的长度，进而可得出四边形EFGH周长的最小值； 【拓展延伸】如图所示直线OC、y轴关于直线y＝kx对称，直线OD、直线y＝kx关于y轴对称，点A′是点A关于直线y＝kx的对称点，作A′E⊥OD垂足为E，交y轴于点P，交直线y＝kx于M，作PN⊥直线y＝kx垂足为N，此时AM+PM+PN＝A′M+PM+PE＝A′E最小（垂线段最短），在Rt△A′EO中利用勾股定理即可解决． 【解答】解：【应用模型】（1）解：∵∠OBA＝90°，A（4，4）， ∴AB＝OB＝4，∠AOB＝45°， ∵AC：CB＝1：3，点D为OB的中点， ∴BC＝3，OD＝BD＝2， ∴D（2，0），C（4，3）， 作D关于直线OA的对称点E，连接EC交OA于P， 则此时，四边形PDBC周长最小，E（0，2），且四边形PDBC周长的最小值为CE+BD+BC， ∵CE， ∴四边形PDBC周长的最小值为3+25， 故答案为：5； （2）作点E关于BC的对称点E′，连接E′G交BC于点F，此时四边形EFGH周长取最小值，EF＝E'F， 过点G作GG′⊥AB于点G′，如图所示． ∵AE＝CG，BE＝BE′， ∴E′G′＝AB＝8， ∵GG′＝AD＝4， ∴E′G4， ∴C四边形EFGH＝2（GF+EF）＝2E′G＝8． 答：四边形EFGH周长的最小值为8； 【拓展延伸】如图所示，直线OC、y轴关于直线y＝kx对称，直线OD、直线y＝kx关于y轴对称，点A′是点A关于直线y＝kx的对称点． 作A′E⊥OD垂足为E，交y轴于点P，交直线y＝kx于M，作PN⊥直线y＝kx垂足为N， ∵PN＝PE，AM＝A′M， ∴AM+PM+PN＝A′M+PM+PE＝A′E最小（垂线段最短）， 在Rt△A′EO中，∠A′EO＝90°，OA′＝4，∠A′OE＝3∠AOM＝60°， ∴OEOA′＝2，A′E2． ∴AM+MP+PN的最小值为2． 故答案为：2． 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题15 几何最值之造桥选址模型 造桥选址模型是将军饮马模型的加强版，在解决将军遛马和将军过桥（造桥），不管是横向还是纵向的 线段长度（定长），只要将线段按照长度方向平移即可，即可以跨越长度转化为标准的将军饮马模型，再依据同侧做对称点变异侧，异侧直接连线即可。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 5 7 ‌ 造桥选址模型（Bridge Location Problem）核心思想最早可追溯至17世纪的费马-托里拆利问题，并在20世纪中叶随线性规划发展而系统化。法国数学家费马（Pierre de Fermat）提出：在平面上找一点，使其到三个给定点的距离之和最小。这奠定了“最短路径”的数学基础。意大利物理学家托里拆利（Evangelista Torricelli）给出了几何解法，成为早期选址理论的雏形。 古希腊-中国古典模型：即“将军饮马”问题（古希腊海伦、中国唐代 《太白阴经》），核心是“两点一线同侧找点使路径最短”，本质是利用轴对称化折为直。当问题加入“桥必须垂直于河岸（固定方向）”这一约束时，演变为经典的造桥选址模型，常见于初中数学“最短路径”题型。 德国经济学家阿尔弗雷德·韦伯（Alfred Weber）研究工业选址（最小化运输成本），将选址问题系统理论化。丹齐格（George Dantzig）提出单纯形法后，选址问题被纳入设施选址（Facility Location Problem）框架，造桥问题成为其特例（固定成本+欧几里得距离）。 1.（2025•延安模拟）如图，在菱形ABCD中，AB＝5，BD＝8，点E，F在BD上，连接AE，CF．若EF＝2，则AE+CF的最小值为　 　 ． 2.（2025•泸县校级二模）如图，在直角坐标系中，A（﹣2，0），B（0，2），C是OB的中点，点D在第二象限，且四边形AOCD为矩形，P是CD上一个动点，过点P作PH⊥OA于H，Q是点B关于点A的对称点，则BP+PH+HQ的最小值为 　　 ． 3.如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0），经过点A（﹣1，0），B（3，0）两点． （1）求抛物线的解析式及顶点M的坐标； （2）连接AC、BC，N为抛物线上的点且在第四象限，当S△NBC＝S△ABC时，求N点的坐标； （3）在（2）问的条件下，过点C作直线l∥x轴，动点P（m，3）在直线l上，动点Q（m，0）在x轴上，连接 PM、PQ、NQ，当m为何值时，PM+PQ+QN最小，并求出PM+PQ+QN的最小值． 1）将军遛马模型： 条件：已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧,且PQ间长度恒定,在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。 （1）点A、B在直线m两侧： 如图，过A点作AC∥m,且AC长等于PQ长，连接BC,交直线m于Q,Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。 （2）点A、B在直线m同侧： 如图，过A点作AE∥m,且AE长等于PQ长，作B关于m的对称点B’,连接B’E,交直线m于Q,Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。 2）将军造桥模型（单桥模型） 已知，如图1将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？ 考虑MN长度恒定，只要求AM+NB最小值即可．问题在于AM、NB彼此分离，所以首先通过平移，使AM与NB连在一起，将AM向下平移使得M、N重合，此时A点落在A’位置（图2 ）． 问题化为求A’N+NB最小值，显然，当共线时，值最小，并得出桥应建的位置（图3）． 图1 图2 图3 3）将军造桥模型（双桥模型） 已知，如图4，将军在图中点A处，现要过两条河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？ 图4 图5 图6 考虑PQ、MN均为定值，所以路程最短等价于AP+QM+NB最小，对于这彼此分离的三段，可以通过平移使其连接到一起．AP平移至A'Q，NB平移至MB'，化AP+QM+NB为A'Q+QM+MB'．（如图5） 当A'、Q、M、B'共线时，A'Q+QM+MB'取到最小值，再依次确定P、N位置．（如图6） 例1（2025春•两江新区期末）如图，CD是直线x＝1上长度固定为1的一条动线段．已知A（﹣1，0），B（0，4），则四边形ABCD周长的最小值为（　　） A． B． C． D． 例2已知在河的两岸有A，B两个村庄，河宽为4千米，A，B两村庄的直线距离AB＝10千米，A，B两村庄到河岸的距离分别为1千米，3千米，计划在河上修建一座桥MN垂直于两岸，M点为靠近A村庄的河岸上一点，则从A村庄到B村庄的最短路程为（　　） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 例3如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，点E，F在对角线BD上运动，且EF＝2，连接AE，AF，则△AEF周长的最小值是 　　 ． 例4（2025春•思明区校级期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝6，E、F分别是AD、BC的中点，动点P、Q在线段EF上，且满足PQ＝2．则四边形APQB周长的最小值为 　 　 ． 例5（2024•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）经过点（﹣1，6），与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），连接AC，BC，tan∠CBA＝4． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是射线CA上方抛物线上的一动点，过点P作PE⊥x轴，垂足为E，交AC于点D．点M是线段DE上一动点，MN⊥y轴，垂足为N，点F为线段BC的中点，连接AM，NF．当线段PD长度取得最大值时，求AM+MN+NF的最小值； （3）将该抛物线沿射线CA方向平移，使得新抛物线经过（2）中线段PD长度取得最大值时的点D，且与直线AC相交于另一点K．点Q为新抛物线上的一个动点，当∠QDK＝∠ACB时，直接写出所有符合条件的点Q的坐标． 1．如图，AC是菱形ABCD的对角线，∠ABC＝120°，点E，F是AC上的动点，且，若AD＝4，则DE+BF的最小值为（　　） A． B． C．4 D． 2．如图，AB＝AC＝12，∠BAC＝120°，AD⊥AB交BC于点D，P是AB中点，过点P作PQ∥BC交AD于点Q．M，N在线段BC上，且，则PM+QN的最小值是（　　） A． B． C． D． 3．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，G是AD的中点，线段EF在边AB上左右滑动，若EF＝1，则GE+CF的最小值为（　　） A．4 B．5 C． D． 4．（2025秋•绥德县月考）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴分别交于A，B两点，与y轴交于点C，PQ为抛物线对称轴上的线段，且PQ＝2，则四边形ACPQ周长的最小值为 　 ． 5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣4x+3与y轴交于点A，与x轴的一个交点为点B，点B在抛物线对称轴左侧，线段CD在对称轴上，CD＝2，则四边形ABCD周长的最小值为 　 ． 6．（2025秋•北京期中）在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于点M，N（点M在点N的左侧），与y轴交于点C．点A，B是抛物线对称轴上两点（点A在点B的上方）且AB＝2，则CA+BM的最小值为　 ． 7．如图，在正方形ABCD中，E，F是对角线AC上两点（点E靠近点A），且，当BE+BF的最小值为时，AB的长为 　 ． 8．如图，正方形ABCD内接于⊙O，线段MN在对角线BD上运动，若⊙O的面积为2π，MN＝1，则（1）⊙O的直径长为 　 ；（2）△AMN周长的最小值是　 ． 9．（2025秋•栖霞市期末）河的两岸成平行线，A，B是位于河两岸的两个车间（如图），要在河上造一座桥，使桥垂直于河岸，并且使A，B间的路程最短．确定桥的位置的方案如下：作从A到河岸的垂线，分别交河岸PQ，MN于F，G．在AG上取AE＝FG，连接EB，EB交MN于D．在D处作到对岸的垂线DC，那么DC就是造桥的位置，请你对方案可行性给出证明． 10．（2025秋•武城县月考）综合与实践 【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”里隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马，如图（1），将军从山脚下的点A出发，到一条笔直的河边l饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走才能使他每天走的路程之和最短呢？ 【分析问题】小亮：如图（2），作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时按路线走的路程就是最短的． 小慧：你能详细解释为什么吗？ 小亮：如图（3），在直线l上另取不同于点C的任一点C′，连接AC′，BC′，B′C′． ∵点B、B′关于直线l对称，点C、C′在直线l上， ∴CB＝　 ，C′B＝　 ， ∴AC+CB＝AC+CB′＝　 ． ∵在△AC′B′中，AB′＜AC′+C′B′， ∴　 ＜AC′+C′B′，即AC+CB最小． 【解决问题】 任务一 请将小亮的说明过程补充完整．（直接填在横线上） 任务二 如图（4），将军从A地出发，先到草地边某一处牧马；再到河边饮马，然后回到B处，请在图中设计一条路线，使其所走的路径最短．（保留画图痕迹） 任务三 如图（5），在P、Q两村之间有一条河，且这条河的宽度处处相等，从P村前往Q村，要经过这条河，现要在这条河上造一座垂直于河岸的桥MN，则这座桥MN造在何处可使由P村到Q村的路程最短？（保留画图痕迹，在图上画出道路和桥的位置） 11．如图，直线yx与y轴交于点A，与x轴交于点B，点C、D在直线x＝2（直线上所有点的横坐标均为2）上，且CD． （1）求A、B两点坐标； （2）四边形OACD的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在说明理由． 12．（2025春•环翠区期末）数学研究小组发现，求线段最值问题的解决策略：对两条线段作某种变换（平移、轴对称、旋转等），最终转化为“两点之间线段最短问题”去解决． （1）如图1，已知菱形ABCD，∠A＝60°，AB＝2，点E是BC边中点，点F是对角线BD边上的动点．连接EF，CF，则EF+CF的最小值为 　 ； （2）如图2，已知矩形ABCD，AB＝6，BC＝3．点E是BC上的点，且CE＝1，点F，G是CD上的动点，且FG＝1，连接AG．则EF+FG+AG的最小值为 　 ； （3）如图3，已知正方形ABCD，AB＝2，E是AC上的动点，F是BC上的动点，且AE＝CF．连接AF，DE，求AF+DE的最小值． 13．（1）问题提出 如图①，在△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，点D，E分别是AB，AC的中点．若点M，N分别是DE和BC上的动点，则AM+MN的最小值是　 ． （2）问题探究 如图②，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥（与河床垂直），桥造在何处，才能使从A到B的路径A→M→N→B最短．博琳小组针对该问题展开讨论，小旭同学认为：过A作河岸的垂线，使AA′＝MN，MN为河宽，连接A′B，A′B与河的一岸交于点N，此时在点N处建桥，可使从A到B的路径A→M→N→B最短．你认为小旭的说法正确吗？请说明理由． （3）问题解决 如图③，在矩形ABCD中，AB＝60，BC＝80．E、F分别在AB，CD上，且满足EF∥BC，BE＝20．若边长为10的正方形MNPQ在线段EF上运动，连接BM、DP，当BM+DP取值最小时，求EN的长． 14．（2025•雁塔区校级四模）问题提出 （1）如图1，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝3，E是AB的中点，P是BC边上的一动点，则PA+PE的最小值为 　 ； 问题探究 （2）如图2，在平行四边形ABCD中，AB＝6，AD＝2，∠BAD＝60°，E，F是CD边上的动点，且EF＝1，则AE+BF的最小值是多少？ 问题解决 （3）如图3是夹角为30°的港湾（∠MON＝30°），ON岸上有一个码头A，湾内有个小岛B，OA＝2000m，小岛B与OM的距离为500m，与ON的距离为2000m．现拟在OM，ON岸上设置C，D，E三处游客接驳点，点C在OM上，点D，E在ON上，且为了游客方便及安全，D，E之间的距离为1000m，客船从码头A出发，沿AC﹣CD﹣DE﹣EB前行，最终到达小岛B，请问，根据两岸接驳点的安排，是否存在最短的运输路线？若存在，请求出最短运输路线长；若不存在，请说明理由． 15．（2025秋•大足区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+b的图象与一次函数y＝﹣x+1的图象交于A，B两点，已知B（6，﹣5）． （1）求抛物线的表达式； （2）点C是直线AB上方抛物线上的一动点，连接AC，BC．点M，N是y轴上的两动点（M在N上方），且满足MN＝3，连接CM，BN，当△ABC的面积取得最大值时，求CM+MN+BN的最小值； （3）当（2）中CM+MN+BN取得最小值时，若Q是抛物线对称轴上位于直线MC上方的一动点，是否存在以C、M、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 16．【问题提出】 （1）如图1，点A、B在直线l的同侧，点A到直线l的距离AC＝2，点B到直线l的距离BD＝4，A、B两点的水平距离CD＝8，点P是直线l上的一个动点，则AP+BP的最小值是 　 ； 【问题探究】 （2）如图2，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，G是AD的中点，线段EF在边AB上左右滑动，若EF＝1，求GE+CF的最小值； 【问题解决】 （3）如图3，某公园有一块形状为四边形ABCD的空地，管理人员规划修两条小路AC和BD（小路的宽度忽略不计，两条小路交于点P），并在AD和BC上分别选取点M、N，沿PM、PN和MN修建地下水管，为了节约成本，要使得线段PM、PN与MN之和最小． 已测出∠ACB＝45°，∠ADB＝60°，∠CPD＝75°，PC＝50m，PD＝40m，管理人员的想法能否实现，若能，请求出PM+PN+MN的最小值，若不能，请说明理由． 17．“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．这里包含了一个有趣的数学问题，通常称之为“将军饮马”． 【问题描述】 如图1，在直线上找一点P使得PA+PB最小？ 【问题解决】 作点A关于直线的对称点A′，连接PA′，则PA′＝PA，所以PA+PB＝PA′+PB，当A′、P、B三点共线的时候，PA′+PB＝A′B，此时为最小值（两点之间线段最短）． 【应用模型】 （1）如图3，在Rt△ABO中，∠OBA＝90°，A（4，4），点C在边AB上，且AC：CB＝1：3，点D为OB的中点，点P为边OA上的动点，当点P在OA上移动时，则四边形PDBC周长的最小值为　 ． （2）如图4，长方形ABCD中，AB＝8，BC＝4，点E、F、G、H分别在矩形ABCD各边上，且AE＝CG，BF＝DH，求四边形EFGH周长的最小值？ 【拓展延伸】 如图5，已知正比例函数y＝kx（k＞0）的图象与x轴相交所成的锐角为70°，定点A的坐标为（0，4），P为y轴上的一个动点，M、N为函数y＝kx（k＞0）的图象上的两个动点，则AM+MP+PN的最小值为　　 ． 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $