专题01 任意角及其度量6大题型（期中复习讲义+速记知识、易错卡片）高一数学下学期沪教版

专题01 任意角及其度量（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲（Ctrl并单击鼠标题型名称可跟踪链接） 题型01 终边相同的角(角度制) 题型02 终边相同的角(弧度制) 题型03 象限角、轴线角 题型04 弧度制 题型05 弧长公式 题型06 扇形面积公式 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 终边相同的角（角度制） 能规范写出与已知角终边相同的角的集合，能在指定角度区间内精准求解符合要求的终边相同角 期中基础必考点，多以填空、选择小题形式出现，分值4分，难度低，侧重通式规范书写与整数的合理赋值 终边相同的角（弧度制） 能熟练完成角度与弧度的互化，能在区间内快速求解与已知角终边相同的角，规范书写弧度制下终边相同角的集合 期中基础必考点，是弧度制应用的核心基础，常与后续三角函数内容结合命题，小题高频出现 象限角、轴线角 能准确判定任意角的终边位置（象限/轴线），掌握半角、倍角所在象限的分类讨论方法，能区分易混的区间角与象限角概念 期中高频易错点，易混淆锐角、小于的角与第一象限角的概念，常结合三角函数符号命题，是选择小题的核心易错题型 弧度制的概念与互化 能准确理解1弧度角的定义，熟练完成角度制与弧度制的双向互化，熟记特殊角的弧度值 基础必考点，是弧长、扇形面积公式应用的前提，常结合钟表旋转、实际场景命题考查 弧长公式 能灵活运用弧长公式完成“知二求一”的基础计算，能解决旋转、翻滚等实际场景的弧长求和问题 期中中档考点，多以填空小题出现，侧重公式的灵活应用与场景化分析，常与扇形面积公式结合考查 扇形面积公式 能熟练选用扇形面积公式完成基础计算，能结合已知条件求解圆心角、半径等未知量，掌握扇形周长与面积的最值求解方法 期中高频核心考点，填空必考题型，分值4分左右，易遗漏扇形周长的2倍半径项，最值问题常作为填空压轴题出现 知识点01 终边相同的角（角度制） 终边相同的角：与α角的终边相同的角是k•360°+α（k∈Z），（k＝0时，就是α本身） 【特别提醒】两个相等的角终边一定相同，而有相同的终边的两个角则不一定相等． 【易错点】 （1）与x轴正方向终边相同的角的集合是{x|x＝k•360°，k∈Z}； （2）与x轴负方向终边相同的角的集合是{x|x＝k•360°+180°，k∈Z}； （3）与y轴正方向终边相同的角的集合是{x|x＝k•360°+90°，k∈Z}； （4）与y轴负方向终边相同的角的集合是{x|x＝k•360°+270°，k∈Z} （5）终边在轴上的角的集合：； （6）终边在轴上的角的集合：； （7）终边在坐标轴上的角的集合：； 【特别提醒】通式书写必须标注，遗漏则集合表达无效；负角求解时需通过加的整数倍转化为正角，避免符号错误。 知识点02 终边相同的角（弧度制） 终边相同的角：与α角的终边相同的角是2kπ+α（k∈Z），（k＝0时，就是α本身）， 【解题方法】利用终边相同的角的集合S＝{β|β＝2kπ+α，k∈Z}判断一个角β时，只需把这个角写成[0，2π）范围内的一个角α与2π的整数倍的和． ﹣利用终边相同的角的性质，设定角度θ和（其中k为整数）． ﹣确定具体问题中角度的表达形式，求解相关角度值． 规范角度与弧度互化公式： （1）角度转弧度： （2）弧度转角度： （3）常用特殊角规范互化对照表 角度制 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 弧度制 0 -示例：在[0，2π）上与终边相同的角是_____． 解：∵与终边相同的角是2kπ，k∈Z，∴令k＝1，可得在[0，2π）上与终边相同的角是， 【易错点】 1.通式中必须标注，不可遗漏； 2.同一个式子中必须统一使用弧度制，不能角度制与弧度制混用（如为错误写法）； 3.求解内的终边相同角时，注意区间左闭右开，不属于该区间，不可取值使结果等于。 知识点03 象限角、轴线角 （1）象限角：角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边在第几象限，就认为这个角是第几象限角． （2）若角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． （3）所有与角α终边相同的角连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α+k•360°，k∈Z}． 第一象限角 第二象限角 第三象限角 第四象限角 【解题方法】 （1）注意易混概念的区别：第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角，第一类是象限角，第二类、第三类是区间角． （2）角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用． （3）注意熟记0°～360°间特殊角的弧度表示，以方便解题． 【易错点】 1.不可将象限角与区间角混淆，如“第一象限角”不等同于“到的角”； 2.轴线角不属于任何一个象限，判定时需先排除终边在坐标轴上的情况； 3.半角象限判定时，必须对进行奇偶分类讨论，不可直接根据原角象限判定半角象限。 -示例：已知α是第二象限角，那么是（　　） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第二或第四象限角 D．第一或第三象限角 解：∵α是第二象限角，∴2kπα＜2kπ+π，k∈z，∴kπkπ，k∈z， 当k取偶数（如 0）时，是第一象限角，当k取奇数（如 1）时，是第三象限角， 故选 D． 知识点04 弧度制 1. 1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角． 【特别提醒】规定：正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0，|α|，l是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径． 2．弧度制：把弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制，比值与所取的r的大小无关，仅与角的大小有关． 【易错点】 1. ，不可与的弧度数（）混淆； 2. 旋转类问题中，逆时针旋转形成的角为正角，顺时针旋转形成的角为负角，不可混淆符号； 3. 弧度的本质是两个长度的比值，无单位，书写时可省略，但角度制的绝对不可省略。 【解题方法】角度制与弧度制不可混用，角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用． -示例：将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数是（　　） A． B． C． D． 解：∵分针转一周为60分钟，转过的角度为2π将分针拨慢是逆时针旋转 ∴钟表拨慢10分钟，则分针所转过的弧度数为 2π，故选A． 知识点05 弧长公式 设扇形的弧长为l，圆心角大小为α（rad），半径为r，则 弧长公式：l＝rα， 扇形的面积为Slrr2α． 【解题方法】 弧长和扇形面积的计算方法 （1）在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷． （2）从扇形面积出发，在弧度制下使问题转化为关于α的不等式或利用二次函数求最值的方法确定相应最值． （3）记住下列公式：①l＝αR；②SlR；③SαR2．其中R是扇形的半径，l是弧长，α（0＜α＜2π）为圆心角，S是扇形面积． 【易错点】 1. 公式中，必须为弧度数，直接代入角度值会导致计算错误； 2. 不可混淆弧长与扇形周长：弧长仅为圆弧的长度，扇形周长； 3. 旋转、翻滚类实际问题中，需准确判断每一段旋转的圆心与半径，避免半径取值错误。 -示例：已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（　　） A．2 B． C．2sin1 D．sin2 解：如图：∠AOB＝2，过点0作OC⊥AB，C为垂足，并延长OC交 于D， ∠AOD＝∠BOD＝1，ACAB＝1， Rt△AOC中，AO， 从而弧长为α•r，故选B． 题型一 终边相同的角（角度制） 解｜题｜技｜巧 1. 终边相同角判定：两角差值为的整数倍两角终边相同； 2. 大角度象限判定：将大角度减去的整数倍，转化为内的终边相同角，再判定象限； 3. 指定区间求角：先写通式，再根据区间范围对赋值，从开始试算，正负根据区间调整。 【典例1】（24-25上学期•黄浦区期中）2025°是第________象限角． 【变式1】（2024•奉贤区期中）在[0°，360°]内与﹣80°终边重合的角为________． 【变式2】（24-25上学期•宝山区期中）0°＜α＜360°且角α与﹣60°终边相同，则角α等于________度． 题型二 终边相同的角（弧度制） 答｜题｜模｜板 解题步骤： 步骤1：统一单位，若已知角为角度制，先通过转化为弧度制； 步骤2：写通式：与终边相同的角的通式为； 步骤3：定值：根据的取值区间，代入整数试算，确定符合要求的值； 步骤4：得结果：将值代入通式，求出最终结果。 易｜错｜点｜拨 1. 不能在同一个式子中混用角度制与弧度制；2. 求解内的角时，注意区间左闭右开，不属于该区间；3. 通式中必须标注，不可遗漏。 【典例2】（青浦区期中）已知α＝2023°，若β与α的终边相同，且β∈（0，2π），则β＝_________ ． 【变式1】（2023春•青浦区期中）已知α＝2022°，若β与α的终边相同，且β∈（0，2π），则β＝______ （用弧度制表示）． 题型三 象限角、轴线角 答｜题｜模｜板 单角象限判定模板： 步骤1：将角转化为（或）内的终边相同角； 步骤2：根据终边位置，判定所属象限或轴线角； 半角/倍角象限判定模板： 步骤1：写出原角的象限不等式； 步骤2：对不等式进行乘除变形，得到目标角的范围； 步骤3：对进行奇偶（或对应余数）分类讨论； 步骤4：确定目标角的终边位置。 【典例3】（24-25上学期•宝山区期中）已知点P（tanα，cosα）在第二象限，则π﹣α是第（　　）象限的角． A．一 B．二 C．三 D．四 【变式1】（24-25上学期•普陀区期中）若α为第一象限角，则为（　　） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第一象限角或第三象限角 D．第二象限角或第四象限角 【变式2】（24-25上学期•上海期中）366°是第________象限的角． 【变式3】（24-25上学期•闵行区期中）已知sinθ＞0且cosθ＜0，则θ为第________象限角． 【变式4】（24-25上学期•长宁区期中）3弧度是第________象限角． 【变式5】（24-25上学期•浦东新区期中）在平面直角坐标系中，2025°是第________象限角． 题型四 弧度制 答｜题｜模｜板 角度与弧度互化模板： 步骤1：确定转化方向（角度→弧度/弧度→角度）； 步骤2：代入对应规范公式； 步骤3：化简得到最终结果。 钟表旋转弧度数求解模板： 步骤1：确定旋转方向（逆时针为正，顺时针为负）； 步骤2：计算旋转时长占一周总时长的比例； 步骤3：用比例，得到转过的弧度数。 易｜错｜点｜拨 1. 旋转方向决定角的正负，拨慢分针为逆时针（正角），拨快为顺时针（负角），不可混淆符号； 2. 同一个式子中必须统一度量制，严禁角度与弧度混用； 3. ，不可与的弧度数混淆。 【典例4】（24-25上学期•上海期中）我校第一节课从8：00到8：40，在此期间时钟分针转过了 弧度． 【变式1】20o化为弧度是______弧度． 【变式2】（24-25上学期•虹口区期中）当手表的分针转过10分钟时，转过的弧度数是_______． 【变式3】广告公司为某游乐场设计某项设施的宣传画，根据该设施的外观，设计成的平面图由半径为2m的扇形AOB和三角区域BCO构成，其中C，O，A在一条直线上，，记该设施平面图的面积为S（x）m2，∠AOB＝xrad，其中x＜π． （1）写出S（x）关于x的函数关系式； （2）如何设计∠AOB，使得S（x）有最大值？ 题型五 弧长公式 【典例5】（24-25上学期•上海期中）数学上常常用一个仅由角的大小的比值来度量角的大小，比如把周角的规定为1度，把弧长l与半径r的比值为1的角规定为1弧度．设扇形的半径为r，弧长为l，周长为C，面积为S，则下列比值中不能度量角的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】（24-25上学期•浦东新区期中）已知扇形的半径为5，圆心角为3rad，则扇形的弧长为________． 【变式2】（24-25上学期•浦东新区期中）已知扇形的弧长为，半径为2，则该扇形的圆心角的弧度数是________． 【变式3】（24-25上学期•闵行区期中）已知扇形的半径为8cm，弧长为4cm，则扇形的圆心角α的弧度数为________． 【变式4】如图，长为2，宽为1的矩形木块，在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第四次时被一小木块挡住，使木块底与桌面成30°角，则点A走过的路程是________． 【变式5】（24-25上学期•普陀区期中）已知扇形的圆心角为2，半径为1，则扇形的弧长为________． 【变式6】（24-25上学期•浦东新区期中）已知扇形的半径长为5cm，圆心角是2rad，则扇形的弧长是________cm． 题型六 扇形面积公式 【典例6】（24-25上学期•上海期中）若一扇形的圆心角为72°，半径为20cm，则扇形的面积为（　　） A．40π cm2 B．80π cm2 C．40 cm2 D．80 cm2 【变式1】已知扇形的弧所对的圆心角为60°，且半径为10cm，则该扇形的面积为________cm2． 【变式2】（24-25上学期•闵行区期中）已知扇形弧长为8cm，弧所对的圆心角为2弧度，则该扇形的面积为________cm2． 【变式3】（24-25上学期•浦东新区期中）已知扇形的周长为8，面积为4，则扇形圆心角的弧度数为_____． 【变式4】（24-25上学期•宝山区期中）扇形的半径等于2，面积等于6，则它的圆心角等于________． 【变式5】（24-25上学期•浦东新区期中）已知圆心角为的扇形面积等于3π，则该扇形的弧长为_______． 【变式6】（24-25上学期•宝山区期中）若扇形的面积为4，且弧长为其半径的两倍，则该扇形的半径为_______． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25上学期•虹口区期中）若扇形的弧长为π，半径为2，则该扇形的面积为_______． 2．（24-25上学期•普陀区期中）半径为3，圆心角等于的扇形的面积是________． 3．（24-25上学期•奉贤区期中）已知一个扇形的面积和周长均为16，则该扇形的圆心角大小为______．（用弧度制） 4．（24-25上学期•长宁区期中）如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，.图中阴影区域的面积的最大值为__________． 5．（24-25上学期•黄浦区期中）已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是2，则扇形的半径为________． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25上学期•浦东新区期中）已知扇形的半径为r，弧长为1，若其周长为6，当该扇形面积最大时， 其圆心角为α，则________． 2．（24-25上学期•嘉定区期中）水滴是刘慈欣的科幻小说《三体Ⅱ》中提到的由三体文明使用强互作用力（SIM）材料所制成的宇宙探测器，因为其外形与水滴相似，所以被人类称为水滴．如图所示，水滴是由线段AB，AC和圆的优弧BC围成，其中AB，AC恰好与圆弧相切．若圆弧所在圆的半径为2，点A到圆弧所在圆圆心的距离为4，则该封闭图形的面积为 ． 3．（24-25上学期•黄浦区期中）中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴．一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为S1，圆面中剩余部分的面积为S2，当S1与S2的比值为时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为________． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（24-25上学期•浦东新区期中）如图，在半径为3的圆O中，弦BC所对的圆周角，且，则图中阴影部分的面积为_______． 2．（24-25上学期•上海期中）如图，有一块扇形草地OMN，已知半径为R，∠MON，现要在其中圈出一块矩形场地ABCD作为儿童乐园使用，其中点A，B在弧MN上，且线段AB平行于线段MN； （1）若点A为弧MN的一个三等分点，求矩形ABCD的面积S； （2）设，当A在何处时，矩形ABCD的面积S最大？最大值为多少？ $ 专题01 任意角及其度量（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 终边相同的角(角度制) 题型02 终边相同的角(弧度制) 题型03 象限角、轴线角 题型04 弧度制 题型05 弧长公式 题型06 扇形面积公式 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 终边相同的角（角度制） 能规范写出与已知角终边相同的角的集合，能在指定角度区间内精准求解符合要求的终边相同角 期中基础必考点，多以填空、选择小题形式出现，分值4分，难度低，侧重通式规范书写与整数的合理赋值 终边相同的角（弧度制） 能熟练完成角度与弧度的互化，能在区间内快速求解与已知角终边相同的角，规范书写弧度制下终边相同角的集合 期中基础必考点，是弧度制应用的核心基础，常与后续三角函数内容结合命题，小题高频出现 象限角、轴线角 能准确判定任意角的终边位置（象限/轴线），掌握半角、倍角所在象限的分类讨论方法，能区分易混的区间角与象限角概念 期中高频易错点，易混淆锐角、小于的角与第一象限角的概念，常结合三角函数符号命题，是选择小题的核心易错题型 弧度制的概念与互化 能准确理解1弧度角的定义，熟练完成角度制与弧度制的双向互化，熟记特殊角的弧度值 基础必考点，是弧长、扇形面积公式应用的前提，常结合钟表旋转、实际场景命题考查 弧长公式 能灵活运用弧长公式完成“知二求一”的基础计算，能解决旋转、翻滚等实际场景的弧长求和问题 期中中档考点，多以填空小题出现，侧重公式的灵活应用与场景化分析，常与扇形面积公式结合考查 扇形面积公式 能熟练选用扇形面积公式完成基础计算，能结合已知条件求解圆心角、半径等未知量，掌握扇形周长与面积的最值求解方法 期中高频核心考点，填空必考题型，分值4分左右，易遗漏扇形周长的2倍半径项，最值问题常作为填空压轴题出现 知识点01 终边相同的角（角度制） 终边相同的角：与α角的终边相同的角是k•360°+α（k∈Z），（k＝0时，就是α本身） 【特别提醒】两个相等的角终边一定相同，而有相同的终边的两个角则不一定相等． 【易错点】 （1）与x轴正方向终边相同的角的集合是{x|x＝k•360°，k∈Z}； （2）与x轴负方向终边相同的角的集合是{x|x＝k•360°+180°，k∈Z}； （3）与y轴正方向终边相同的角的集合是{x|x＝k•360°+90°，k∈Z}； （4）与y轴负方向终边相同的角的集合是{x|x＝k•360°+270°，k∈Z} （5）终边在轴上的角的集合：； （6）终边在轴上的角的集合：； （7）终边在坐标轴上的角的集合：； 【特别提醒】通式书写必须标注，遗漏则集合表达无效；负角求解时需通过加的整数倍转化为正角，避免符号错误。 知识点02 终边相同的角（弧度制） 终边相同的角：与α角的终边相同的角是2kπ+α（k∈Z），（k＝0时，就是α本身）， 【解题方法】利用终边相同的角的集合S＝{β|β＝2kπ+α，k∈Z}判断一个角β时，只需把这个角写成[0，2π）范围内的一个角α与2π的整数倍的和． ﹣利用终边相同的角的性质，设定角度θ和（其中k为整数）． ﹣确定具体问题中角度的表达形式，求解相关角度值． 规范角度与弧度互化公式： （1）角度转弧度： （2）弧度转角度： （3）常用特殊角规范互化对照表 角度制 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 弧度制 0 -示例：在[0，2π）上与终边相同的角是_____． 解：∵与终边相同的角是2kπ，k∈Z，∴令k＝1，可得在[0，2π）上与终边相同的角是， 【易错点】 1.通式中必须标注，不可遗漏； 2.同一个式子中必须统一使用弧度制，不能角度制与弧度制混用（如为错误写法）； 3.求解内的终边相同角时，注意区间左闭右开，不属于该区间，不可取值使结果等于。 知识点03 象限角、轴线角 （1）象限角：角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边在第几象限，就认为这个角是第几象限角． （2）若角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． （3）所有与角α终边相同的角连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α+k•360°，k∈Z}． 第一象限角 第二象限角 第三象限角 第四象限角 【解题方法】 （1）注意易混概念的区别：第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角，第一类是象限角，第二类、第三类是区间角． （2）角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用． （3）注意熟记0°～360°间特殊角的弧度表示，以方便解题． 【易错点】 1.不可将象限角与区间角混淆，如“第一象限角”不等同于“到的角”； 2.轴线角不属于任何一个象限，判定时需先排除终边在坐标轴上的情况； 3.半角象限判定时，必须对进行奇偶分类讨论，不可直接根据原角象限判定半角象限。 -示例：已知α是第二象限角，那么是（　　） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第二或第四象限角 D．第一或第三象限角 解：∵α是第二象限角，∴2kπα＜2kπ+π，k∈z，∴kπkπ，k∈z， 当k取偶数（如 0）时，是第一象限角，当k取奇数（如 1）时，是第三象限角， 故选 D． 知识点04 弧度制 1. 1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角． 【特别提醒】规定：正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0，|α|，l是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径． 2．弧度制：把弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制，比值与所取的r的大小无关，仅与角的大小有关． 【易错点】 1. ，不可与的弧度数（）混淆； 2. 旋转类问题中，逆时针旋转形成的角为正角，顺时针旋转形成的角为负角，不可混淆符号； 3. 弧度的本质是两个长度的比值，无单位，书写时可省略，但角度制的绝对不可省略。 【解题方法】角度制与弧度制不可混用，角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用． -示例：将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数是（　　） A． B． C． D． 解：∵分针转一周为60分钟，转过的角度为2π将分针拨慢是逆时针旋转 ∴钟表拨慢10分钟，则分针所转过的弧度数为 2π，故选A． 知识点05 弧长公式 设扇形的弧长为l，圆心角大小为α（rad），半径为r，则 弧长公式：l＝rα， 扇形的面积为Slrr2α． 【解题方法】 弧长和扇形面积的计算方法 （1）在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷． （2）从扇形面积出发，在弧度制下使问题转化为关于α的不等式或利用二次函数求最值的方法确定相应最值． （3）记住下列公式：①l＝αR；②SlR；③SαR2．其中R是扇形的半径，l是弧长，α（0＜α＜2π）为圆心角，S是扇形面积． 【易错点】 1. 公式中，必须为弧度数，直接代入角度值会导致计算错误； 2. 不可混淆弧长与扇形周长：弧长仅为圆弧的长度，扇形周长； 3. 旋转、翻滚类实际问题中，需准确判断每一段旋转的圆心与半径，避免半径取值错误。 -示例：已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（　　） A．2 B． C．2sin1 D．sin2 解：如图：∠AOB＝2，过点0作OC⊥AB，C为垂足，并延长OC交 于D， ∠AOD＝∠BOD＝1，ACAB＝1， Rt△AOC中，AO， 从而弧长为α•r，故选B． 题型一 终边相同的角（角度制） 解｜题｜技｜巧 1. 终边相同角判定：两角差值为的整数倍两角终边相同； 2. 大角度象限判定：将大角度减去的整数倍，转化为内的终边相同角，再判定象限； 3. 指定区间求角：先写通式，再根据区间范围对赋值，从开始试算，正负根据区间调整。 【典例1】（24-25上学期•黄浦区期中）2025°是第________象限角． 【答案】三 【分析】根据相同的角判断象限角． 【解答】解：因为2025°＝5×360°+225°，则2025°与225°的终边相同， 而225°终边在第三象限， 所以2025°是第三象限角． 故答案为：三． 【点评】本题考查了象限角的判断，属于基础题． 【变式1】（2024•奉贤区期中）在[0°，360°]内与﹣80°终边重合的角为________． 【答案】280°． 【分析】将﹣80°表示成﹣80°＝﹣360°+280°即可得解． 【解答】解：因为﹣80°＝﹣360°+280°， 所以在[0°，360°]内与﹣80°终边重合的角为280°． 故答案为：280°． 【点评】本题考查终边相同的角的概念，为基础题． 【变式2】（24-25上学期•宝山区期中）0°＜α＜360°且角α与﹣60°终边相同，则角α等于________度． 【答案】300 【分析】结合终边相同角的表示可得α＝﹣60°+k•360°，k∈Z，然后结合已知角的范围可求． 【解答】解：因为角α与﹣60°终边相同， 所以α＝﹣60°+k•360°，k∈Z， 又0°＜α＜360°， 所以α＝300°． 故答案为：300． 【点评】本题主要考查了终边相同角的表示，属于基础题． 题型二 终边相同的角（弧度制） 答｜题｜模｜板 解题步骤： 步骤1：统一单位，若已知角为角度制，先通过转化为弧度制； 步骤2：写通式：与终边相同的角的通式为； 步骤3：定值：根据的取值区间，代入整数试算，确定符合要求的值； 步骤4：得结果：将值代入通式，求出最终结果。 易｜错｜点｜拨 1. 不能在同一个式子中混用角度制与弧度制；2. 求解内的角时，注意区间左闭右开，不属于该区间；3. 通式中必须标注，不可遗漏。 【典例2】（青浦区期中）已知α＝2023°，若β与α的终边相同，且β∈（0，2π），则β＝_________ ． 【答案】． 【分析】根据已知条件，结合终边相同的角的定义，即可求解． 【解答】解：因为β与α的终边相同， 且β∈（0，2π），即0°＜β＜360°， 所以， 故答案为：． 【点评】本题主要考查终边相同的角的定义，属于基础题． 【变式1】（2023春•青浦区期中）已知α＝2022°，若β与α的终边相同，且β∈（0，2π），则β＝______ （用弧度制表示）． 【答案】π 【分析】根据已知条件，结合终边相同的角的定义，即可求解． 【解答】解：∵α＝2022°＝360°×5+222°，β与α的终边相同， 又∵β∈（0°，360°）， ∴β＝222°π． 故答案为：π． 【点评】本题主要考查终边相同的角的定义，属于基础题． 题型三 象限角、轴线角 答｜题｜模｜板 单角象限判定模板： 步骤1：将角转化为（或）内的终边相同角； 步骤2：根据终边位置，判定所属象限或轴线角； 半角/倍角象限判定模板： 步骤1：写出原角的象限不等式； 步骤2：对不等式进行乘除变形，得到目标角的范围； 步骤3：对进行奇偶（或对应余数）分类讨论； 步骤4：确定目标角的终边位置。 【典例3】（24-25上学期•宝山区期中）已知点P（tanα，cosα）在第二象限，则π﹣α是第（　　）象限的角． A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】C 【分析】利用第二象限点的特征求出tanα＜0，cosα＞0，再利用诱导公式和象限角的特征求解即可． 【解答】解：因为点P（tanα，cosα） 在第二象限，所以tanα＜0，cosα＞0， cos（π﹣α）＝﹣cosα＜0，tan（π﹣α）＝﹣tanα＞0， 则π﹣α 是第三象限的角． 故选：C． 【点评】本题主要考查了三角函数值符号的判断，属于基础题． 【变式1】（24-25上学期•普陀区期中）若α为第一象限角，则为（　　） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第一象限角或第三象限角 D．第二象限角或第四象限角 【答案】C 【分析】α为第一象限角，从而，k∈Z，进而k，k∈Z，由此能求出结果． 【解答】解：∵α为第一象限角，∴，k∈Z， ∴k，k∈Z， 当k为偶数时，为第一象限角， 当k为奇数时，为第三象限角， ∴为第一象限角或第三象限角． 故选：C． 【点评】本题考查象限角、终边相同的角的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 【变式2】（24-25上学期•上海期中）366°是第________象限的角． 【答案】一 【分析】由366°＝360°+6°确定终边相同的最小正角所在象限，即可得． 【解答】解：由366°＝360°+6°， 故366°为第一象限角． 故答案为：一． 【点评】本题主要考查了象限角的判断，属于基础题． 【变式3】（24-25上学期•闵行区期中）已知sinθ＞0且cosθ＜0，则θ为第________象限角． 【答案】二． 【分析】根据三角函数在各象限符号求解． 【解答】解：因为sinθ＞0时，cosθ＜0时， 所以θ为第二象限角． 故答案为：二． 【点评】本题主要考查了象限角的判断，属于基础题． 【变式4】（24-25上学期•长宁区期中）3弧度是第________象限角． 【答案】二． 【分析】判断角的终边在第几象限即可． 【解答】解：∵1≈57.3°，∴3≈171.9°， ∴3弧度的角的终边在第二象限，是第二象限角． 故答案为：二． 【点评】本题主要考查了象限角的判断，属于基础题． 【变式5】（24-25上学期•浦东新区期中）在平面直角坐标系中，2025°是第________象限角． 【答案】三． 【分析】根据任意角定义找到2025°对应的最小正角，即可得． 【解答】解：由2025°＝360°×5+225°，所以2025°是第三象限角． 故答案为：三． 【点评】本题主要考查了象限角的判断，属于基础题． 题型四 弧度制 答｜题｜模｜板 角度与弧度互化模板： 步骤1：确定转化方向（角度→弧度/弧度→角度）； 步骤2：代入对应规范公式； 步骤3：化简得到最终结果。 钟表旋转弧度数求解模板： 步骤1：确定旋转方向（逆时针为正，顺时针为负）； 步骤2：计算旋转时长占一周总时长的比例； 步骤3：用比例，得到转过的弧度数。 易｜错｜点｜拨 1. 旋转方向决定角的正负，拨慢分针为逆时针（正角），拨快为顺时针（负角），不可混淆符号； 2. 同一个式子中必须统一度量制，严禁角度与弧度混用； 3. ，不可与的弧度数混淆。 【典例4】（24-25上学期•上海期中）我校第一节课从8：00到8：40，在此期间时钟分针转过了 弧度． 【答案】． 【分析】首先求出转过的角度，再转化为弧度制． 【解答】解：由题意，分针一小时转过﹣360°， 可得时钟分针从8：00到8：40转过了， 可得（弧度）． 故答案为：． 【点评】本题考查了角度与弧度的转化，属于基础题． 【变式1】20o化为弧度是______弧度． 【答案】． 【分析】根据条件，利用角度与弧度的转化，即可求解． 【解答】解：由于180°＝π， 可得． 故答案为：． 【点评】本题考查了角度与弧度的转化，属于基础题． 【变式2】（24-25上学期•虹口区期中）当手表的分针转过10分钟时，转过的弧度数是_______． 【答案】． 【分析】根据弧度制的定义和任意角的弧度数，进行求解． 【解答】解：当手表的分针转过10分钟时，转过的弧度数是2π． 故答案为：． 【点评】本题主要考查弧度制，属于基础题． 【变式3】广告公司为某游乐场设计某项设施的宣传画，根据该设施的外观，设计成的平面图由半径为2m的扇形AOB和三角区域BCO构成，其中C，O，A在一条直线上，，记该设施平面图的面积为S（x）m2，∠AOB＝xrad，其中x＜π． （1）写出S（x）关于x的函数关系式； （2）如何设计∠AOB，使得S（x）有最大值？ 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）首先，求解三角形和扇形的面积，然后，求和即可得到相应的解析式； （2）根据三角函数辅助角公式和导数的计算等知识求解其最大值即可． 【解答】解：（1）∵扇形AOB的半径为2m，∠AOB＝xrad， ∴S扇形x•22＝2x， 过点B作边AC的垂线，垂足为D，如图所示： 则∠BOD＝π﹣x， ∴BD＝2sin（π﹣x）＝2sinx，OD＝2cos（π﹣x）＝﹣2cosx， ∵∠ACB， ∴CD＝BD＝2sinx， ∴S△BOCCO•BD（2sinx﹣2cosx）×2sinx＝2sin2x﹣2sinxcosx＝1﹣cos2x﹣sin2x， ∴S（x）＝1﹣cos2x﹣sin2x+2x， （2）根据（1），得到S（x）＝1﹣cos2x﹣sin2x+2x， ∴S′（x）＝2sin2x﹣2cos2x+2， 令S′（x）＝0， ∴2sin（2x）＝﹣2， ∴sin（2x）， ∴2x， ∴x， 根据实际意义知，当x时，该函数取得最大值， 故设计∠AOB时，此时S（x）有最大值． 【点评】本题重点考查了三角形的面积公式、辅助角公式、三角函数的图象与性质等知识，属于中档题． 题型五 弧长公式 【典例5】（24-25上学期•上海期中）数学上常常用一个仅由角的大小的比值来度量角的大小，比如把周角的规定为1度，把弧长l与半径r的比值为1的角规定为1弧度．设扇形的半径为r，弧长为l，周长为C，面积为S，则下列比值中不能度量角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将各选项中的代数式进行化简，观察代数式中是否含有，即可得出结论． 【解答】解：，可以度量，故A选项不符合题意； ，可以度量，故B选项不符合题意； ，无比值，无法度量，故C选项符合题意； ，可以度量，故D选项不符合题意． 故选：C． 【点评】本题主要考查弧长公式，属于基础题． 【变式1】（24-25上学期•浦东新区期中）已知扇形的半径为5，圆心角为3rad，则扇形的弧长为________． 【答案】15． 【分析】根据弧长公式计算可得． 【解答】解：因为半径r＝5，圆心角α＝3rad， 所以由弧长公式可知，弧长l＝αr＝15． 故答案为：15． 【点评】本题主要考查弧长公式，属于基础题． 【变式2】（24-25上学期•浦东新区期中）已知扇形的弧长为，半径为2，则该扇形的圆心角的弧度数是________． 【答案】． 【分析】由弧长的计算公式代入即可得出答案． 【解答】解：扇形的弧长为，半径为2， 则该扇形的圆心角的弧度数是：． 故答案为：． 【点评】本题主要考查弧长公式，属于基础题． 【变式3】（24-25上学期•闵行区期中）已知扇形的半径为8cm，弧长为4cm，则扇形的圆心角α的弧度数为________． 【答案】0.5． 【分析】由圆心角定义得解． 【解答】解：扇形的半径为8cm，弧长为4cm， 根据圆心角定义可知，． 故答案为：0.5． 【点评】本题主要考查了扇形的弧长公式，属于基础题． 【变式4】如图，长为2，宽为1的矩形木块，在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第四次时被一小木块挡住，使木块底与桌面成30°角，则点A走过的路程是________． 【答案】． 【分析】易得每次旋转的轨迹都为圆的一部分，算出每次旋转的圆心角和半径即可求出答案． 【解答】解：第一次是以B为旋转中心，以为半径旋转90°， 此次点A走过的路径是． 第二次是以C为旋转中心，以CA1＝1为半径旋转90°，此次点A走过的路径是． 第三次是以D为旋转中心，以DA2＝2为半径旋转60°，此次点A走过的路径是， ∴点A三次共走过的路径是． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了弧长的求解，属于基础题． 【变式5】（24-25上学期•普陀区期中）已知扇形的圆心角为2，半径为1，则扇形的弧长为________． 【答案】2． 【分析】利用扇形的弧长公式，即可得出结论． 【解答】解：∵扇形的圆心角α是2弧度，半径r为1， ∴扇形的弧长l＝rα＝2×1＝2． 故答案为：2． 【点评】本题主要考查扇形的面积公式，属于基础题． 【变式6】（24-25上学期•浦东新区期中）已知扇形的半径长为5cm，圆心角是2rad，则扇形的弧长是________cm． 【答案】10 【分析】根据已知条件，结合弧长公式，即可求解． 【解答】解：扇形的半径长为5cm，圆心角是2rad， 则扇形的弧长是5×2＝10． 故答案为：10． 【点评】本题主要考查弧长公式，属于基础题． 题型六 扇形面积公式 【典例6】（24-25上学期•上海期中）若一扇形的圆心角为72°，半径为20cm，则扇形的面积为（　　） A．40π cm2 B．80π cm2 C．40 cm2 D．80 cm2 【答案】B 【分析】将角度转化为弧度，再利用扇形的面积公式，即可得出结论． 【解答】解：扇形的圆心角为72°， ∵半径等于20cm， ∴扇形的面积为400＝80πcm2， 故选：B． 【点评】本题考查扇形的面积公式，考查学生的计算能力，属于基础题． 【变式1】已知扇形的弧所对的圆心角为60°，且半径为10cm，则该扇形的面积为________cm2． 【答案】． 【分析】由条件利用扇形的弧长公式，求得扇形的弧长l的值，利用扇形的面积公式即可求其面积． 【解答】解：因为扇形的弧所对的圆心角为60°，半径r＝10cm， 则扇形的弧长l＝α•rπ•10（cm）， 扇形的面积为Slr10cm2． 故答案为：． 【点评】本题主要考查角度与弧度的互化，扇形的面积公式的应用，属于基础题． 【变式2】（24-25上学期•闵行区期中）已知扇形弧长为8cm，弧所对的圆心角为2弧度，则该扇形的面积为________cm2． 【答案】16． 【分析】根据弧长公式求出扇形的半径，再计算扇形的面积． 【解答】解：扇形弧长为8cm，弧所对的圆心角为2弧度，所以扇形的半径为r4， 则该扇形的面积为4×8＝16（cm2）． 故答案为：16． 【点评】本题考查了扇形的面积计算问题，是基础题． 【变式3】（24-25上学期•浦东新区期中）已知扇形的周长为8，面积为4，则扇形圆心角的弧度数为_____． 【答案】2． 【分析】设扇形的圆心角弧度数为α，半径为r，根据题意列方程组，即可求得r和α的值． 【解答】解：设扇形的圆心角弧度数为α，半径为r， 则周长为l＝2r+αr＝8， 面积为Sαr•r＝4， 解得r＝2，α＝2； 所以扇形圆心角的弧度数为2． 故答案为：2． 【点评】本题考查了扇形的周长与面积计算问题，也考查了方程思想，是基础题． 【变式4】（24-25上学期•宝山区期中）扇形的半径等于2，面积等于6，则它的圆心角等于________． 【答案】3． 【分析】利用扇形的面积公式即可求解． 【解答】解：由题意扇形的半径r等于2，面积S等于6， 设它的圆心角为α， 则由Sr2α，可得622×α，解得α＝3． 故答案为：3． 【点评】本题考查了扇形的面积公式的应用，属于基础题． 【变式5】（24-25上学期•浦东新区期中）已知圆心角为的扇形面积等于3π，则该扇形的弧长为_______． 【答案】． 【分析】设扇形的半径为r，由扇形的面积公式求出r，再由弧长公式计算可得． 【解答】解：设扇形的半径为r， 因为圆心角，圆心角为的扇形面积等于3π， 所以扇形面积，解得（负值已舍去）， 所以该扇形的弧长． 故答案为：． 【点评】本题主要考查扇形面积公式，属于基础题． 【变式6】（24-25上学期•宝山区期中）若扇形的面积为4，且弧长为其半径的两倍，则该扇形的半径为_______． 【答案】2． 【分析】由扇形面积及弧长公式可得答案． 【解答】解：设扇形面积为S，半径为r，对应弧度为θ，弧长为l， 由题可得：． 故答案为：2． 【点评】本题考查了扇形面积及弧长公式，属于基础题． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25上学期•虹口区期中）若扇形的弧长为π，半径为2，则该扇形的面积为_______． 【答案】π 【分析】由已知根据扇形的面积公式即可求解． 【解答】解：根据扇形面积公式可得： 扇形的面积为S扇， 故答案为：π． 【点评】本题考查了扇形的面积公式的应用，属于基础题． 2．（24-25上学期•普陀区期中）半径为3，圆心角等于的扇形的面积是________． 【答案】 【分析】利用扇形面积计算公式即可得出． 【解答】解：S， 故答案为：． 【点评】本题考查了扇形面积计算公式，考查了计算能力，属于基础题． 3．（24-25上学期•奉贤区期中）已知一个扇形的面积和周长均为16，则该扇形的圆心角大小为______．（用弧度制） 【答案】2． 【分析】设出圆心角和半径，根据弧长和面积公式得到周长，得到答案． 【解答】解：设扇形的半径为r，圆心角为θ， 所以扇形的弧长为l＝θr，周长为θr+2r＝16， 扇形的面积为θr2＝16， 由，解得r＝4，θ＝2． 故答案为：2． 【点评】本题考查了扇形的周长与面积计算问题，是基础题． 4．（24-25上学期•长宁区期中）如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，.图中阴影区域的面积的最大值为__________． 【答案】． 【分析】先求出扇形AOB和其中弓形的面积，则阴影部分面积由△PAB和弓形面积组成，△PAB面积最大即点P到AB的距离最大，此时高最大为半径加上等腰直角△AOB底边AB上的高，由此可求得阴影区域的面积的最大值． 【解答】解：如图，设圆心为O， 因为，所以， 所以， 所以在扇形AOB中，弓形面积为π﹣2，在等腰直角△AOB中，， P到AB最大距离为半径加上等腰直角△AOB底边AB上的高，即为， 所以， 所以阴影面积． 故答案为：． 【点评】本题主要考查扇形的面积公式，属于中档题． 5．（24-25上学期•黄浦区期中）已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是2，则扇形的半径为________． 【答案】． 【分析】根据扇形面积公式即可求解． 【解答】解：根据扇形面积公式，则，因为半径r＞0，所以． 故答案为：． 【点评】本题考查了扇形面积公式，属于基础题． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25上学期•浦东新区期中）已知扇形的半径为r，弧长为1，若其周长为6，当该扇形面积最大时， 其圆心角为α，则________． 【答案】1+sin1． 【分析】根据扇形的面积公式与基本不等式，算出当r时，扇形的面积S有最大值，此时α＝2．然后根据三角函数的诱导公式与特殊角的三角函数值加以计算，可得答案． 【解答】解：由题意得l+2r＝6，可得l＝6﹣2r， 所以扇形的面积Slr（6﹣2r）•r＝（3﹣r）•r， 当且仅当3﹣r＝r时，即r时，S有最大值． 此时l＝6﹣2r＝3，扇形的圆心角α2， 所以cos（cos）+sin（sin） ＝cos[cos（1012π）]+sin[sin（1012π）] ＝cos（cos）+sin（sin）＝cos0+sin1＝1+sin1． 故答案为：1+sin1． 【点评】本题主要考查扇形的面积公式、运用基本不等式求最值、三角函数的诱导公式等知识，属于基础题． 2．（24-25上学期•嘉定区期中）水滴是刘慈欣的科幻小说《三体Ⅱ》中提到的由三体文明使用强互作用力（SIM）材料所制成的宇宙探测器，因为其外形与水滴相似，所以被人类称为水滴．如图所示，水滴是由线段AB，AC和圆的优弧BC围成，其中AB，AC恰好与圆弧相切．若圆弧所在圆的半径为2，点A到圆弧所在圆圆心的距离为4，则该封闭图形的面积为 ． 【答案】． 【分析】作出辅助线，得到，，利用扇形面积公式和三角形面积公式得到答案． 【解答】解：取优弧BC所在圆的圆心D，连接AD，BD，CD，则BD⊥AB，CD⊥AC， 则AD＝4，BD＝CD＝2，所以，则， ， 故优弧BC对应的圆心角为，对应的扇形面积为， 而， 所以该封闭图形的面积为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查扇形面积公式，考查运算求解能力，属于中档题． 3．（24-25上学期•黄浦区期中）中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴．一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为S1，圆面中剩余部分的面积为S2，当S1与S2的比值为时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为________． 【答案】（3）π 【分析】由题意知S1与S2所在扇形圆心角的比即为它们的面积比，可设S1与S2所在扇形圆心角分别为α、β，列出方程组求出即可． 【解答】解：由题意知，S1与S2所在扇形圆心角的比即为它们的面积比， 设S1与S2所在扇形圆心角分别为α，β， 则， 又α+β＝2π， 解得α＝（3）π． 故答案为：（3）π． 【点评】本题考查了扇形的面积计算问题，也考查了古典文化与数学应用问题，是基础题． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（24-25上学期•浦东新区期中）如图，在半径为3的圆O中，弦BC所对的圆周角，且，则图中阴影部分的面积为_______． 【答案】3π． 【分析】根据正弦定理算出BC长，进而运用余弦定理列式算出AB•AC＝9，可得△ABC的面积．然后根据扇形面积公式与三角形的面积公式算出弓形BC的面积，进而求得图中阴影部分的面积． 【解答】解：在△ABC中，由正弦定理得2R＝6，可得BC＝6sin． 根据余弦定理得BC2＝AB2+AC2﹣2AB•ACcos27，整理得（AB+AC）2﹣3AB•AC＝27， 结合，可得（）2﹣3AB•AC＝27，解得AB•AC＝9， 所以S△ABCAB•ACsinAAB•AC． 因为∠BOC＝2∠A，所以S扇形BOC32＝3π，S△OBCOB•OCsin， 可得S弓形BC＝S扇形BOC﹣S△OBC＝3π，所以图中阴影部分的面积S＝S弓形BC+S△ABC＝3π． 故答案为：3π． 【点评】本题主要考查扇形的面积公式、正弦定理与余弦定理等知识，考查了计算能力、图形的理解能力，属于中档题． 2．（24-25上学期•上海期中）如图，有一块扇形草地OMN，已知半径为R，∠MON，现要在其中圈出一块矩形场地ABCD作为儿童乐园使用，其中点A，B在弧MN上，且线段AB平行于线段MN； （1）若点A为弧MN的一个三等分点，求矩形ABCD的面积S； （2）设，当A在何处时，矩形ABCD的面积S最大？最大值为多少？ 【答案】（1）； （2）θ时，Smax＝（1）R2，此时A在弧MN的四等分点处． 【分析】（1）作OH⊥AB于点H，交线段CD于点E，连接OA、OB，求出AB，EH，可得矩形ABCD的面积S； （2）设∠AOB＝θ（0＜θ），求出AB，EH，可得矩形ABCD的面积S，再求最大值． 【解答】解：（1）如图，作OH⊥AB于点H，交线段CD于点E，连接OA、OB， ∴∠AOB， ∴AH＝Rsin，AB＝2Rsin，OH＝Rcos， OE＝DEAB＝Rsin， ∴EH＝OH﹣OE＝R（cossin）， S＝AB•EH＝2R2（2sincos2sin2）（1）R2； （2）因为∠AOB＝θ（0＜θ）， 则AB＝2Rsin，OH＝Rcos，OEAB＝Rcos， ∴EH＝OH﹣OE＝R（cossin）， S＝AB•EH＝2R2（2sincos2sin2）＝2R2[sin（θ）﹣1]， ∵0＜θ， ∴θ即θ时，Smax＝（1）R2，此时A在弧MN的四等分点处． 【点评】本题主要考查了扇形的面积公式，考查三角函数的性质，属于中档题． $而学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01任意角及其度量（期中复习易错卡片）》 【易错点1】 (1)与x轴正方向终边相同的角的集合是{xx=k360°，k∈Z}: (2)与x轴负方向终边相同的角的集合是{xx=k360°+180°，k∈Z}: (3)与y轴正方向终边相同的角的集合是{xx=k360°+90°，k∈Z}: (4)与y轴负方向终边相同的角的集合是{xx=k360°+270°，k∈Z} (5)终边在x轴上的角的集合：{xIx=k·180°，k∈Z: (6)终边在y轴上的角的集合：{xIx=k·180°+90°，k∈Z: (7)终边在坐标轴上的角的集合：{xIx=k·90°，k∈Z: 【易错点2】 1.通式中必须标注k∈Z,不可遗漏； 2.同一个式子中必须统一使用孤度制，不能角度制与弧度制混用（如2+30°为错误写法）： 3.求解[0,2)内的终边相同角时，注意区间左闭右开，2π不属于该区间，不可取k值使结果等于2π。 【易错点3】 1.不可将象限角与区间角混淆，如“第一象限角”不等同于“0°到90°的角” 2轴线角不属于任何一个象限，判定时需先排除终边在坐标轴上的情况： 3.半角象限判定时，必须对k进行奇偶分类讨论，不可直接根据原角象限判定半角象限。 【易错点4】 1.1rad57.30°，不可与1的孤度数(1°=0rad0.01745rad)混淆： 2.旋转类问题中，逆时针旋转形成的角为正角，顺时针旋转形成的角为负角，不可混淆符号： 3.孤度的本质是两个长度的比值，无单位，书写时rd可省略，但角度制的°绝对不可省略。 【易错点5】 1.公式=中，必须为孤度数，直接代入角度值会导致计算错误； 2.不可混淆孤长与扇形周长：孤长仅为圆孤的长度，扇形周长C=什2： 3.旋转、翻滚类实际问题中，需准确判断每一段旋转的圆心与半径，避免半径取值错误。 1/1终边相同的角：a+k·360°(k∈Z) x轴正方向终边相同角：{x|x=k.360°，k∈Z} x轴负方向终边相同角：{x|x=k.360°+180°，k∈Z y轴正方向终边相同角：{x|x=k·360°+90°，k∈Z} ⊙终边相同的角（角度制） y轴负方向终边相同角：{x|x=·360°+270°，k∈Z} △终边在x轴上的角：{x|x=k·180°，k∈Z} 终边在y轴上的角：{c|x=k.180°+90°，k∈☑] g===5======555=====当=====s===5=============当==gg:= △终边在坐标轴上的角：{x|x=k·90°，k∈Z} 终边相同的角：α十2kπ(k∈Z) 角度转孤度：弧度数三 角度值×80 ============================±===== ⊙终边相同的角（孤度制） 弧度转角度：角度值=弧度数×180 特殊角角度-孤度互化： 0°=0,30°=吾，45°=牙，60°=5,90°=号 120°=爱，135°=票，150°=警，180°=元 终边相同的角与弧度制 270°=2,360°=2m 第一 象限角：{a|2kπ<a<2kπ+5，k∈Z 第二象限角：{a|2kπ+吾<a<2km+不，k∈Z} 象限角、轴线角（孤度制） 第三象限角：{a|2kr+π<a<2kr+,k∈Z} 第四象限角：{a|2km+<a<2kπ+2π，k∈Z} 孤度核心公式：=(l为弧长，r为半径) ⊙弧度制定义 角度与孤度基础换算：1°=80rad,1rad=(1o)° 孤长公式：l=a·r 22522 ⊙孤长与扇形面积（孤度制） 0扇形面积公式：S=r=r2a 扇形周长公式：C=l+2r