重难点12 三角函数新定义问题讲义-2025-2026学年高一下学期数学沪教版第二册

2025-2026学年高一数学下学期同步培优讲义【精英班课程】 重难点12 三角函数新定义问题 题型01 与周期有关的新定义问题 【例1】（2024上海普陀校级联考）定义：若函数的定义域为D，且存在非零常数，对任意，恒成立，则称为线周期函数，为的线周期. （1）下列函数（其中表示不超过x的最大整数），是线周期函数的是____________（直接填写序号）； （2）若为线周期函数，其线周期为，求证：为周期函数； （3）若为线周期函数，求的值. 【跟踪训练】 1．（25-26高一上·上海嘉定·月考）我们知道：对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当x取其定义域D中的任意值时，有，且成立，那么函数叫做周期函数．对于一个周期函数，如果在它的所有周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数就叫做函数的最小正周期．对于定义域为R的函数，若存在正常数T，使得是以T为周期的函数，则称为正弦周期函数，且称T为其正弦周期． (1)验证是以为周期的正弦周期函数． (2)已知函数是周期函数，请求出它的一个周期．并判断此周期函数是否存在最小正周期，并说明理由． (3)已知存在这样一个函数，它是定义在R上严格增函数，值域为R，且是以T为周期的正弦周期函数．若，，且存在，使得，求的值． 2．（24-25大同中学高一下期中）已知函数．若存在非零常数和非零常数，对于集合内的任意实数，恒有成立，则称是上的周期为的级类增周期函数；若存在非零常数和非零常数，对于集合内的任意实数，恒有成立，则称是上的周期为的级类周期函数． (1)设，已知是上的周期为1的2级类增周期函数，求实数的取值范围； (2)已知是上的周期为1的级类周期函数，且当时，．若函数在上严格增，求实数的取值范围； (3)已知，设．试问：是否存在，使是上的周期为的级类周期函数？若存在，求出和相应的的值；若不存在，说明理由． 3．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知函数，，如果对于定义域D内的任意实数x，对于给定的非零常数P，总存在非零常数T，恒有成立，则称函数是D上的P级递减周期函数，周期为T；若恒有成立，则称函数是D上的P级周期函数，周期为T. (1)判断函数是R上的周期为1的2级递减周期函数吗，并说明理由？ (2)已知，是上的P级周期函数，且是上的严格增函数，当时，.求当时，函数的解析式，并求实数P的取值范围； (3)是否存在非零实数k，使函数是R上的周期为T的T级周期函数？请证明你的结论. 题型02 与零点有关的新定义问题 【例2】（24-25杨浦区高一下期中）若函数和均存在零点，且零点完全相同，则称和是一对 “共零函数”. （1）判断与是否为 “共零函数”，并说明理由； （2）已知与是一对“共零函数”，求的值； （3）已知是实数，若函数与是一对“共零函数”，函数与也是一对 “共零函数”，求的值. 【跟踪训练】 1. （24-25南汇中学高一下期中）对于函数，若在其定义域内存在实数，使得成立，称是“跃点”函数，并称是函数的“跃点”． （1）若函数，是“跃点”函数，求实数的取值范围； （2）若函数，，求证：“”是“对任意，为‘跃点’函数”的充分非必要条件； （3）是否同时存在实数和正整数使得函数在上有个“跃点”？若存在，请求出所有符合条件的和的值；若不存在，请说明理由． 2．若函数满足且，则称函数为“M函数”． (1)试判断是否为“M函数”，并说明理由； (2)函数为“M函数”，其在的图象落在直线上，在函数图象上任取一点P，对于定点，求线段AP的最小值； (3)函数为“M函数”，且当时，，求的解析式；若当，关于x的方程（a为常数）有解，记该方程所有解的和为S，求S． 3．（24-25高一下·上海嘉定·期中）对于函数，若在其定义域内存在实数、，使得成立，称是“跃点”函数，并称是函数的“跃点”． (1)求证：函数在上是“1跃点”函数； (2)若函数在上是“1跃点”函数，求实数的取值范围； (3)是否同时存在实数和正整数使得函数在上有2022个“跃点”？若存在，请求出所有符合条件的和；若不存在，请说明理由． 4. 定义有序实数对的“跟随函数”为． （1）记有序数对的“跟随函数”为，若为偶函数，求的值； （2）记有序数对的“跟随函数”为，若函数，，请画出函数的图像，并求出与直线有且仅有四个不同的交点时，实数k的取值范围； （3）记有序数对的“跟随函数”，若在上恰有奇数个零点，求实数与零点的个数． 题型03 分类讨论动区间新定义问题 【例3】（2024上海位育中学高一下期中）函数的定义域为，对于区间，如果存在，，使得，则称区间为函数的“区间”． （1）判断是否是函数的“区间”，并说明理由； （2）设为正实数，若是函数的“区间”，求的取值范围． 【跟踪训练】 1．定义域为R的函数满足：对任意，都有，则称具有性质P. (1)分别判断以下两个函数是否具有性质和； (2)若函数具有性质P. （ⅰ）求出，的值； （ⅱ）若将函数的图象向左平移个单位长度，再对图象上每个点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，若对任意的a，，当时，恒成立，求正实数m的取值范围. 题型04 定义新函数 【例4】（24-25上师大附中闵行分校高一下期中）若对于实数m，n， 关于x的方程在函数 的定义域D上有实数解． 则称为函数的“可消点”.若存在实数m，n，对任意实数 x均为函数的“可消点”，则称函数为“可消函数”，此时，有序数对称为函数的“可消数对”。 （1）若是“可消函数”，求函数的“可消数对”； （2）若为函数的“可消数对”，求m的值： （3）若函数的定义域为R，存在实数同时为的“可消点”与 “ 可消点”，求的最小值． 【跟踪训练】 1．若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“依赖函数”. (1)判断函数是否为“依赖函数”，并说明理由； (2)若函数在定义域上为“依赖函数”，求的取值围； (3)已知函数在定义域上为“依赖函数”，若对任意实数，任意，不等式都成立，求实数的最大值. 2．已知函数的定义域为，若存在常数，使得对内的任意，，都有，则称是“-利普希兹条件函数”. (1)判断函数，是否为“2-利普希兹条件函数”，并说明理由； (2)若函数是“-利普希兹条件函数”，求的最小值； (3)设，若是“2024-利普希兹条件函数”，且的零点也是的零点，. 证明：方程在区间上有解. 3．（25-26高一上·上海浦东·月考）定义有序实数对(a,b)的“跟随函数”为． (1)记有序数对(1,－1)的“跟随函数”为f(x)，若，求满足要求的所有x的集合； (2)记有序数对(0,1)的“跟随函数”为f(x)，若函数与直线有且仅有四个不同的交点，求实数k的取值范围； (3)已知，若有序数对(a,b)的“跟随函数”在处取得最大值，当b在区间(0,]变化时，求的取值范围． 4. （24-25奉贤中学高一下期中）对于函数，，若存在非零常数和，使得对任意实数都有，且等式恒成立，则称函数是“类对称函数”. （1）判断函数否是“类对称函数”，请说明理由； （2）设，若函数是“类对称函数”，求的值； （3）设，证明：函数是“类对称函数”的充要条件是“且”. 题型05 新定义函数性质 【例5】（25-26高一上·上海杨浦·月考）定义函数为“正余弦”函数.结合学过的知识，可以得到该函数的一些性质：容易证明为该函数的周期，但是否是最小正周期呢？我们继续探究：.可得：也为函数的周期.但是否为该函数的最小正周期呢？我们可以分区间研究的单调性：函数在是严格减函数，在上严格增函数，再结合，可以确定：的最小正周期为.进一步我们可以求出该函数的值域了.定义函数为“余正弦”函数，根据阅读材料的内容，解决下列问题： (1)求“余正弦”函数的定义域； (2)判断“余正弦”函数的奇偶性，并说明理由； (3)探究“余正弦”函数的单调性及最小正周期，说明理由，并求其值域. 【跟踪训练】 1．若函数在定义域区间上连续，对任意，恒有，则称函数是区间上的上凸函数，若恒有，则称函数是区间上的下凸函数，当且仅当时等号成立，这个性质称为函数的凹凸性．上述不等式可以推广到取函数定义域中的任意n个点，即若是上凸函数，则对任意，，…，恒有，若是下凸函数，则对任意，，…，恒有，当且仅当时等号成立．应用以上知识解决下列问题： (1)判断函数在定义域上是上凸函数还是下凸函数（说明理由）； (2)证明，上是上凸函数； (3)若A、B、C、，且，求的最大值． 2．对于函数及实数m，若存在，使得，则称函数与具有“m关联”性质． (1)若与具有“m关联”性质，求m的取值范围； (2)已知，为定义在上的奇函数，且满足； ①在上，当且仅当时，取得最大值1；②对任意，有． 求证：与不具有“4关联”性． 3．对于分别定义在，上的函数，以及实数，若存在，使得，则称函数与具有关系. (1)若，；，，判断与是否具有关系，并说明理由； (2)若与具有关系，求的取值范围； (3)已知，为定义在上的奇函数，且满足： ①在上，当且仅当时，取得最大值1； ②对任意，有. 判断与是否具有关系，并说明理由. 3．（2022·上海嘉定·一模）已知函数的定义域为区间D，若对于给定的非零实数m，存在，使得，则称函数在区间D上具有性质. (1)判断函数在区间上是否具有性质，并说明理由； (2)若函数在区间上具有性质，求n的取值范围； (3)已知函数的图像是连续不断的曲线，且，求证：函数在区间上具有性质. 1. （24-25上海大学附中高一下期中）定义：对于函数，若存在非零常数、，使对于定义域内任意实数都有，则称函数是广义周期函数，其中称为广义周期，为周距. （1）证明函数是以2为广义周期的广义周期函数，并求出函数周距的值； （2）试判断函数（、、、为常数，，，）是否为广义周期函数，若是，请求出广义周期和周距，若不是，请说明理由； （3）设函数是周期的周期函数，当函数在上的值域为时，求在上的最大值和最小值. 2．（2024上海市行知中学高一期中）已知函数，如果对于定义域内的任意实数，对于给定的非零常数，总存在非零常数，恒有成立，则称函数是上的周期为的级类周期函数． （1）已知是上的周期为1的级类周期函数，且是上的严格增函数，当时，，求实数的取值范围； （2）设函数是上的周期为1的2级类周期图数，且当时，．若对任意，都有，求的取值范围； （3）是否存在实数，使函数是上的周期为的级类周期函数，若存在，求出实数和的值，若不存在，说明理由． 3．（23-24高一下·上海·期中）对于定义域为R的函数，若存在常数，使得是以为周期的周期函数，则称为“正弦周期函数”，且称为其“正弦周期”. (1)判断函数是否为“正弦周期函数”，并说明理由； (2)已知是定义在R上的严格增函数，值域为R，且是以为“正弦周期”的“正弦周期函数”，若，且存在，使得，求的值； (3)已知是以为一个“正弦周期”的“正弦周期函数”，且存在和，使得对任意，都有，证明：是周期函数. 4. （24-25上海中学高一下期中）已知函数的定义域为且满足：对任意的，有恒成立，则称为“”函数. （1）分别判断和是否为“”函数； （2）若函数是“”函数，求的取值范围； （3）若为上的“”函数，且是以4为周期的周期函数，证明：对任意的，都有：. 5．（22-23高一下·上海宝山·期末）在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数，其中双曲正弦函数：，双曲余弦函数：.（e是自然对数的底数，）. (1)计算的值； (2)类比两角和的余弦公式，写出两角和的双曲余弦公式：______，并加以证明； (3)若对任意，关于的方程有解，求实数的取值范围. 6．（24-25高一下·上海宝山·期末）若定义域为的函数满足：对于任意，都有，则称函数具有性质． （1）设函数，的表达式分别为，，判断函数与是否具有性质，说明理由； （2）设函数的表达式为，是否存在以及，使得函数具有性质？若存在，求出，的值；若不存在，说明理由； （3）设函数具有性质，且在上的值域恰为；以为周期的函数的表达式为，且在开区间上有且仅有一个零点，求证：． 7．（21-22高一下·上海闵行·期中）已知函数 ， 若存在实数 ， 使得对于定义域内的任意实数 ，均有 成立， 则称函数 为 “可平衡” 函数， 有序数对 称为函数 的 “平衡” 数对; (1)若 ， 求函数 的 “平衡” 数对; (2)若 ， 判断 是否为 “可平衡” 函数， 并说明理由; (3)若 ， 且 均为函数 的 “平衡” 数对， 求 的取值范围. 8．对于函数及给定的实数，若存在正实数t使得函数在区间和上同为增函数或同为减函数，则称函数为区间上的函数； (1)已知，请指出函数是否为区间[0,1]上的函数(不需要说明理由)； (2)已知，且函数是区间上 的函数，请写出t的所有取值，并说明理由； (3)若函数既是区间上的函数又是区间上的函数，当α、β取遍所有可取的值时，求出的取值范围. 9．（22-23高一下·上海杨浦·期中）对于函数，，如果存在一组常数，，…，（其中k为正整数，且）使得当x取任意值时，有则称函数为“k级周天函数”. (1)判断下列函数是否是“2级周天函数”，并说明理由：①；②； (2)求证：当时，是“3级周天函数”； (3)设函数，其中b，c，d是不全为0的实数且存在，使得，证明：存在，使得. 10．（24-25高一下·上海徐汇·期中）对于函数（），若存在非零常数，使得对任意的，都有成立，我们称函数为“函数”，若对任意的，都有成立，则称函数为“严格函数”． (1)求证：，是“函数”； (2)若函数是“函数”，求的取值范围； (3)对于定义域为的函数，．函数是奇函数，且对任意的正实数，均是“严格函数”．若，，求的值 11．（2024复兴高级中学高一下期中）如果对于三个数、、能构成三角形的三边，则称这三个数为“三角形数”，对于“三角形数”、、，如果函数使得三个数、、仍为“三角形数”，则称为“保三角形函数”. （1）对于“三角形数”、、，其中，若，判断函数是否是“保三角形函数”，并说明理由； （2）对于“三角形数”、、，其中，若，判断函数是否是“保三角形函数”，并说明理由. 12．已知函数，称非零向量为的“特征向量”，为的“特征函数”． (1)设函数，求函数的“特征向量”； (2)若函数的“特征向量”为，求当且时的值； (3)若的“特征函数”为，且方程存在4个不相等的实数根，求实数a的取值范围． 13．（24-25高一下·上海浦东新·阶段练习）对于函数，若存在非零常数T，使得对任意的，都有成立，我们称函数为“T函数”，若对任意的，都有成立，则称函数为“严格T函数”． (1)求证：，是“T函数”； (2)若函数是“函数”，求k的取值范围； (3)对于定义域为R的函数，函数是奇函数，且对任意的正实数，均是“严格T函数”，若，，求的值． 14．对于分别定义在上的函数以及实数若存在使得则称函数与具有关系 (1)若判断与是否具有关系并说明理由； (2)若与具有关系求实数的取值范围； (3)已知为定义在上的奇函数，且满足： ①在上，当且仅当时，取得最大值1； ②对任意有 判断是否存在实数使得与具有关系若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 15．设函数定义在区间上，若对任意的、、、，当，且时，不等式成立，就称函数具有M性质. (1)判断函数，是否具有M性质，并说明理由； (2)已知函数在区间上恒正，且函数，具有M性质，求证：对任意的、，且，有； (3)①已知函数，具有M性质，证明：对任意的、、，有，其中等号当且仅当时成立； ②已知函数，具有M性质，若、、为三角形的内角，求的最大值. (可参考：对于任意给定实数、，有，且等号当且仅当时成立.) 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期同步培优讲义【精英班课程】 重难点12 三角函数新定义问题 题型01 与周期有关的新定义问题 【例1】（2024上海普陀校级联考）定义：若函数的定义域为D，且存在非零常数，对任意，恒成立，则称为线周期函数，为的线周期. （1）下列函数（其中表示不超过x的最大整数），是线周期函数的是____________（直接填写序号）； （2）若为线周期函数，其线周期为，求证：为周期函数； （3）若为线周期函数，求的值. 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）. 【解析】 【分析】 （1）根据新定义逐一判断即可； （2）根据新定义证明即可； （3）若为线周期函数，则存在非零常数，对任意，都有 ，可得，解得的值再检验即可. 【详解】 （1）对于，，所以不是线周期函数， 对于，，所以不是线周期函数， 对于，，所以是线周期函数； （2）若为线周期函数，其线周期为， 则存在非零常数对任意，都有恒成立， 因为， 所以， 所以为周期函数； （3）因为为线周期函数， 则存在非零常数，对任意， 都有， 所以， 令，得， 令，得， 所以，因为，所以， 检验：当时，， 存在非零常数，对任意， ， 所以为线周期函数， 所以：. 【点睛】 关键点点睛：本题解题的关键点是对新定义的理解和应用，以及特殊值解决恒成立问题. 【跟踪训练】 1．（25-26高一上·上海嘉定·月考）我们知道：对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当x取其定义域D中的任意值时，有，且成立，那么函数叫做周期函数．对于一个周期函数，如果在它的所有周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数就叫做函数的最小正周期．对于定义域为R的函数，若存在正常数T，使得是以T为周期的函数，则称为正弦周期函数，且称T为其正弦周期． (1)验证是以为周期的正弦周期函数． (2)已知函数是周期函数，请求出它的一个周期．并判断此周期函数是否存在最小正周期，并说明理由． (3)已知存在这样一个函数，它是定义在R上严格增函数，值域为R，且是以T为周期的正弦周期函数．若，，且存在，使得，求的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)是它的一个周期且是最小正周期，证明见解析； (3)． 【详解】（1），证毕． （2），易知是它的一个周期， 因为， 下面证明是的最小正周期， 时，是增函数， 时，是减函数， 又， ， 所以，即函数图象关于直线对称， 所以当时，不可能是函数的周期， 假设函数有小于的正周期，则，取， 与时，函数的单调性相同，但，而在这两个区间上单调性相反，假设错误． 所以是的最小正周期． （3）因为是周期函数，是它的一个周期， ，，又由题意，, 因为，，是严格递增函数， 所以， 又时，， ，， 因为是严格递增函数， 所以与是一一对应的， 因此，． 2．（24-25大同中学高一下期中）已知函数．若存在非零常数和非零常数，对于集合内的任意实数，恒有成立，则称是上的周期为的级类增周期函数；若存在非零常数和非零常数，对于集合内的任意实数，恒有成立，则称是上的周期为的级类周期函数． (1)设，已知是上的周期为1的2级类增周期函数，求实数的取值范围； (2)已知是上的周期为1的级类周期函数，且当时，．若函数在上严格增，求实数的取值范围； (3)已知，设．试问：是否存在，使是上的周期为的级类周期函数？若存在，求出和相应的的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，当时，；当时， 【分析】（1）由题意可知对任意恒成立，整理得，令，由的单调性，求出的最小值即可； （2）由时，，可求得)时，，利用在上单调递增，即可求出的范围； （3）由对一切实数恒成立，得一切实数恒成立．当时，；当时，可得，进而可得答案． 【解析】（1）由题意可知：对任意恒成立， 即对任意恒成立， 整理得：， ∴， 令，则， ∵在上单调递增，∴， ∴． （2）∵时，， ∴当时，， ∴当时，， 即)时，， ∵在上单调递增， ∴且，即. （3）由已知，有对一切实数恒成立， 即一切实数恒成立， 当时，； 当时，∵，∴，， 于是，， 故要使恒成立，只有， 当时，，得到且； 当时，，得到，即， 综上可知：当时，；当时，． 3．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知函数，，如果对于定义域D内的任意实数x，对于给定的非零常数P，总存在非零常数T，恒有成立，则称函数是D上的P级递减周期函数，周期为T；若恒有成立，则称函数是D上的P级周期函数，周期为T. (1)判断函数是R上的周期为1的2级递减周期函数吗，并说明理由？ (2)已知，是上的P级周期函数，且是上的严格增函数，当时，.求当时，函数的解析式，并求实数P的取值范围； (3)是否存在非零实数k，使函数是R上的周期为T的T级周期函数？请证明你的结论. 【答案】(1)是，理由见解析； (2)当时，，且； (3)存在，. 【分析】（1）利用P级递减周期函数定义，计算验证作答. （2）根据给定条件，利用P级周期函数定义，依次计算时解析式，根据规律写出结论作答. （3）假定存在符合题意的k值，利用P级周期函数定义列出方程，探讨方程解的情况即可作答. 【解析】（1）依题意，函数定义域是R， ， 即，成立， 所以函数是R上的周期为1的2级递减周期函数. （2）因，是上的P级周期函数，则，即， 而当时，，当时，，， 当时，，则， 当时，，则， …… 当时，，则， 并且有：当时，，当时，，当时，，……， 当时，， 因是上的严格增函数，则有，解得， 所以当时，，且. （3）假定存在非零实数k，使函数是R上的周期为T的T级周期函数， 即，恒有成立，则，恒有成立， 即，恒有成立，当时，，则，， 于是得，，要使恒成立，则有， 当，即时，由函数与的图象存在交点知，方程有解， 此时恒成立，则，即， 当，即时，由函数与的图象没有交点知，方程无解， 所以存在，符合题意，其中满足. 【点睛】思路点睛：涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，再转化、抽象为相应的数学问题作答. 题型02 与零点有关的新定义问题 【例2】（24-25杨浦区高一下期中）若函数和均存在零点，且零点完全相同，则称和是一对 “共零函数”. （1）判断与是否为 “共零函数”，并说明理由； （2）已知与是一对“共零函数”，求的值； （3）已知是实数，若函数与是一对“共零函数”，函数与也是一对 “共零函数”，求的值. 【答案】（1）不是； （2）； （3）. 【分析】（1）根据指数函数、余弦函数的性质，应用方程法求零点，结合新定义判断即可； （2）由正余弦型函数的性质求零点，再根据已知得，，即可得参数值； （3）根据“共零函数”的定义分别求得、，结合的单调性即可得. 【小问1详解】 由指数函数的单调性知，在R上单调递增，且存在唯一零点， 由余弦函数的性质知，的零点为， 所以与不是 “共零函数”. 【小问2详解】 由，则，即， 由，则，即， 又与是一对“共零函数”，则，， 所以，即，； 小问3详解】 由，则， 又与是一对“共零函数”，则， 所以， 由，则， 由与也是一对 “共零函数”，则， 所以，即， 由在上单调递增，故，则. 【跟踪训练】 1. （24-25南汇中学高一下期中）对于函数，若在其定义域内存在实数，使得成立，称是“跃点”函数，并称是函数的“跃点”． （1）若函数，是“跃点”函数，求实数的取值范围； （2）若函数，，求证：“”是“对任意，为‘跃点’函数”的充分非必要条件； （3）是否同时存在实数和正整数使得函数在上有个“跃点”？若存在，请求出所有符合条件的和的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）存，或. 【分析】（1）根据跃点函数定义，解得，利用三角化简求值域即可； （2）由跃点函数定义，解得，即可证明； （3）由跃点函数定义，即在上个根，根据正弦函数的周期性和图像。讨论即可得到答案. 【小问1详解】 由已知得存在实数， 使得. 所以. 【小问2详解】 若，则，此时， 则对任意，令，即， 显然是此方程的解，所以对任意实数，为‘跃点’函数”； 反之，若对任意，为‘跃点’函数”， 即对任意，都有解， 即. 取，得，从而， 因此“”是“对任意，为‘跃点’函数”的充分非必要条件. 【小问3详解】 假设存在，由， 得，， ，令， 即方程，有个根. ①当，即，有个根，不符合； ②当，即，有个根，不符合； ③当，即，有个根，所以； ④当，即，有个根，所以. 综上，存在实数和正整数使得函数在上有个“跃点”， 符合条件的和的值为或. 2．若函数满足且，则称函数为“M函数”． (1)试判断是否为“M函数”，并说明理由； (2)函数为“M函数”，其在的图象落在直线上，在函数图象上任取一点P，对于定点，求线段AP的最小值； (3)函数为“M函数”，且当时，，求的解析式；若当，关于x的方程（a为常数）有解，记该方程所有解的和为S，求S． 【答案】(1)不是“M函数”，理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）由“函数”的定义，即可判断； （2）结合函数的周期性和对称性，画出函数的图象，利用数形结合转化为点到直线的距离，即可求解； （3）首先结合“函数”的定义，利用周期性和对称性求函数的解析式，再画出函数的图象，讨论得到取值，利用对称性求和. 【解析】（1）的周期为，满足， ，， ，所以函数不是“函数”； （2）若为“M函数”， 满足且， 所以函数的周期为，且函数关于对称， 根据，函数的图象落在直线上，利用对称性和周期性画出函数的图象， 设，， 所以， 根据周期可知，的图象，如上图所示， 线段的最小值就是如图点到直线的距离，根据周期转化为到直线的距离， 即， 所以的最小值为. （3）设，则 所以， 设，则， ， 设，则， ， 所以； 所以 作出函数的图象，如图所示， 关于的方程（为常数）有解等价于函数与的图象有交点， 由图可知，当时，方程（为常数）有3个解， 则方程所有的解的和为, 当或时，方程（为常数）有4个解，其方程所有解的和, 当时，方程（为常数）有6个解，其方程所有解的和， 当时，方程（为常数）有8个解，其方程所有解的和 综上所述，当，关于的方程（为常数）所有解的和为， 则. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解“函数”的定义，确定函数的周期和对称性，利用周期性和对称性求函数的解析式，以及画出函数的图象. 3．（24-25高一下·上海嘉定·期中）对于函数，若在其定义域内存在实数、，使得成立，称是“跃点”函数，并称是函数的“跃点”． (1)求证：函数在上是“1跃点”函数； (2)若函数在上是“1跃点”函数，求实数的取值范围； (3)是否同时存在实数和正整数使得函数在上有2022个“跃点”？若存在，请求出所有符合条件的和；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，或或 【分析】（1）根据题意令，利用零点存在定理即可证明； （2）由题意可得，可整理得，然后用基本不等式求解即可； （3）根据题意可得到，然后分，，或三种情况进行讨论即可 【解析】（1）， 所以，， 令， 因为，，所以由零点存在定理可得在有解， 所以存在，使得， 即函数在是“1跃点”函数． （2）由题意得 ， 因为， 所以，当且仅当取等号， 所以的取值范围为． （3），即， 化简得，的最小正周期为， 当，；当（为正整数），； 所以从在上的值可得 ①当时，在有个“跃点”， 故，所以； ②当时，在有个“跃点”，故，无解； ③当或时，在上有个“跃点”，故， 综上，或或． 【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决. 4. 定义有序实数对的“跟随函数”为． （1）记有序数对的“跟随函数”为，若为偶函数，求的值； （2）记有序数对的“跟随函数”为，若函数，，请画出函数的图像，并求出与直线有且仅有四个不同的交点时，实数k的取值范围； （3）记有序数对的“跟随函数”，若在上恰有奇数个零点，求实数与零点的个数． 【答案】（1）； （2）； （3）；. 【分析】(1)由题意整理，再由偶函数的定义列出等式计算即可； (2)根据自变量的不同范围解出函数的解析式，利用辅助角公式对函数进行化简，结合函数的图像和与直线有且仅有四个不同的交点，求得实数的取值范围； (3)根据题意整理出，分别讨论：显然不成立；时，通过，推出，画出的图象，根据图象即可得出所求. 【小问1详解】 由题意有序数对的“跟随函数”为， 若偶函数，有， 故， 整理得，故； 【小问2详解】 由题意，则， 时，， 时，， 作出函数，的图象，如图， 在和上递增，在和上递减， ，，由图象可知，时， 函数，的图象与直线有且仅有四个不同的交点， 所以的范围是； 【小问3详解】 因为有序实数对的“跟随函数”为， 所以有序数对的“跟随函数”， 故， 时，显然不成立； 时，， 即，的定义域为， 设，则， 在上单调递增，且， 函数在上单调递减，所以在上单调递减； 同理，在和上单调递增；在上单调递减； ，，的周期为， 所以的函数图象如图所示， 在上，直线与的图象恰有奇数个交点， 结合图象，可得时，. 综上，，在上有个零点. 题型03 分类讨论动区间新定义问题 【例3】（2024上海位育中学高一下期中）函数的定义域为，对于区间，如果存在，，使得，则称区间为函数的“区间”． （1）判断是否是函数的“区间”，并说明理由； （2）设为正实数，若是函数的“区间”，求的取值范围． 【答案】（1）不是，理由见解析；（2）. 【解析】 【分析】 (1)根据函数值的范围可判定不是函数的“区间”； (2)根据新定义和余弦函数的性质可得存在k，，使得，再分类讨论即可求出的取值范围. 【详解】 (1) 不是函数的“区间”.理由如下： 因为， 所以对于任意的，，都有， 所以不是函数的“区间”. (2)因为是函数的“区间”， 所以存在，，使得. 所以 所以存在，使得 不妨设，又因为， 所以，所以. 即在区间内存在两个不同的偶数. ①当时，区间的长度， 所以区间内必存在两个相邻的偶数，故符合题意. ②当时，有， 所以. 当时，有，即. 所以也符合题意. 当时，有，即. 所以符合题意. 当时，有，此式无解. 综上所述，的取值范围是. 【跟踪训练】 1．定义域为R的函数满足：对任意，都有，则称具有性质P. (1)分别判断以下两个函数是否具有性质和； (2)若函数具有性质P. （ⅰ）求出，的值； （ⅱ）若将函数的图象向左平移个单位长度，再对图象上每个点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，若对任意的a，，当时，恒成立，求正实数m的取值范围. 【答案】(1)不具有性质，具有性质. (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）根据性质的定义，结合两个函数的解析式，即可判断； （2）（ⅰ）结合性质的定义，根据特殊值，即可判断，再根据定义得到，，并推导出，并求的值，（ⅱ） 【详解】（1）， ， 所以，所以不具有性质， ， ， 所以，所以具有性质. （2）若具有性质，则， 则，因为，所以， 则， 由得，，， 若，则存在，使得， 而，上式不成立， 故，即，因为，所以， 则，，则， 验证：当时，， 则对任意，， ， 所以等式成立， 故存在，使得具有性质. （ⅱ），所以， ，， 由，得 即， 即， 即， 即， 因为对任意的，当时，恒成立， 所以对任意的，当时，，恒成立， ，，不妨设， 则问题转化为在区间上单调递减， 所以，解得： 题型04 定义新函数 【例4】（24-25上师大附中闵行分校高一下期中）若对于实数m，n， 关于x的方程在函数 的定义域D上有实数解． 则称为函数的“可消点”.若存在实数m，n，对任意实数 x均为函数的“可消点”，则称函数为“可消函数”，此时，有序数对称为函数的“可消数对”。 （1）若是“可消函数”，求函数的“可消数对”； （2）若为函数的“可消数对”，求m的值： （3）若函数的定义域为R，存在实数同时为的“可消点”与 “ 可消点”，求的最小值． 【答案】（1），m可取任意实数； （2） （3）8 【分析】（1）结合题目给的新的定义，求出的“可消数对”即可. （2）利用题目给的定义，根据为函数的“可消数对”，得到相应方程，求解，从而求出答案； （3）结合题意得到的表达式，利用进一步转化结合二次函数的单调性知识，求出结果. 【小问1详解】 由于是“可消函数”， 则任意，都有，即， 即，则，m可取任意实数， 因此函数的“可消数对”为，m可取任意实数； 【小问2详解】 由题意知， 则为函数的“可消数对”， 故任意，都有， 即，由于，不恒等于0， 故， 则； 【小问3详解】 因为存在实数同时为的“可消点”与 “ 可消点”， 所以，， 整理得， 因为，故， 则， 则，当时，随着的增大而增大， 故， 即的最小值为8. 【跟踪训练】 1．若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“依赖函数”. (1)判断函数是否为“依赖函数”，并说明理由； (2)若函数在定义域上为“依赖函数”，求的取值围； (3)已知函数在定义域上为“依赖函数”，若对任意实数，任意，不等式都成立，求实数的最大值. 【答案】(1)不是，理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据“依赖函数”的定义，即可判断出答案； （2）由在上递增，结合“依赖函数”的定义可得，继而求出，利用二次函数性质，即可求得答案； （3）由题意可求出，即可将不等式恒成立问题逐步转化，结合分离参数以及基本不等式，即可求得答案. 【解析】（1）对于函数的定义域内存在，， 则无解， 故不是“依赖函数”. （2）因为在上递增，故，即，则， 由，故，得， 从而在上单调递增，故. （3）因为，故在上单调递减， 从而，即，解得(舍)或， 对任意使得对任意的，有不等式都成立， 即恒成立， 由，得. 由，可得， 又，当且仅当时取到“=”， 所以，从而，解得， 综上，故实数的最大值为. 【点睛】关键点睛：本题考查了函数新定义问题，解答时要准确理解新定义的含义，并由此解决问题，关键在于第三问，要将恒成立问题不断转化，结合其他知识综合求解. 2．已知函数的定义域为，若存在常数，使得对内的任意，，都有，则称是“-利普希兹条件函数”. (1)判断函数，是否为“2-利普希兹条件函数”，并说明理由； (2)若函数是“-利普希兹条件函数”，求的最小值； (3)设，若是“2024-利普希兹条件函数”，且的零点也是的零点，. 证明：方程在区间上有解. 【答案】(1)函数是“2-利普希兹条件函数”； 函数不是“2-利普希兹条件函数”； (2)2 (3)证明见解析 【分析】（1）根据函数新定义得和，即可判断； （2）由题知均有成立，不妨设，得恒成立，由，得，即可求解； （3）由题得，即，不妨设，根据零点的定义可得、，进而，则，设，有，结合零点的存在性定理即可证明. 【解析】（1）由题知，函数，定义域为R， 所以， 所以函数是“2-利普希兹条件函数”； 函数， 所以， 当时，则， 函数不是“2-利普希兹条件函数”； （2）若函数是“利普希兹条件函数”， 则对于定义域上任意两个，均有成立， 不妨设，则恒成立， 因为，所以，得， 所以的最小值为2． （3）因为函数是“利普希兹条件函数”， 所以在R上恒成立，即在R上恒成立， 由，得. 因为是函数的零点，则， 又是函数的零点，则，又， 所以，而，故， 设，， 由，， 得，由零点的存在性定理知函数在上有零点， 即方程在上有解. 【点睛】本题考查运用所学的函数知识解决新定义等相关问题，关键在于运用所学的函数知识，紧紧抓住定义，构造所需要达到的定义式，此类题目综合性强，属于难度题. 3．（25-26高一上·上海浦东·月考）定义有序实数对(a,b)的“跟随函数”为． (1)记有序数对(1,－1)的“跟随函数”为f(x)，若，求满足要求的所有x的集合； (2)记有序数对(0,1)的“跟随函数”为f(x)，若函数与直线有且仅有四个不同的交点，求实数k的取值范围； (3)已知，若有序数对(a,b)的“跟随函数”在处取得最大值，当b在区间(0,]变化时，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3) 【详解】（1）由题意，，， ， 又，所以或，即所求集合为； （2）由题意，则， 时，， 时，， 作出函数，的图象，如图，在和上递增，在和上递减，，， 由图象可知，时，函数的图象与直线有且仅有四个不同的交点， 所以的范围是； （3）由题意，其中，， 易知时，， ， ，同理， ， ， 时，函数是增函数，因此， 从而，即． 4. （24-25奉贤中学高一下期中）对于函数，，若存在非零常数和，使得对任意实数都有，且等式恒成立，则称函数是“类对称函数”. （1）判断函数否是“类对称函数”，请说明理由； （2）设，若函数是“类对称函数”，求的值； （3）设，证明：函数是“类对称函数”的充要条件是“且”. 【答案】（1）是，理由见解析； （2）或； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据三角函数公式，确定一组，即可说明； （2）根据类对称函数的定义，代入公式，根据等式成立的条件，列式求解； （3）根据“类对称函数”的定义，结合所需要满足的式子，从充分性和必要性分别证明. 【小问1详解】 是，理由如下： 存在，，对任意的，都有，且恒成立， 所以函数“类对称函数”. 【小问2详解】 由题意知， 即（*）恒成立， 令，得，令，得， 又且时（*）恒成立， 所以，又，所以或. 【小问3详解】 充分性： 当且时，， ， 所以函数是“类对称函数”： 必要性： 若函数是“类对称函数”， 则， 即①恒成立； 下用反证法证明：若，因为，， 所以，所以， 故足够大时，一定会超过，①式不成立， （事实上，可以取）， 此时①式为② 令，得，令，得， 则，解得，从而或， 当时，②式左边为不是定值，因此②式不恒成立， 当时，②式为，此时， 综上所述，函数是“类对称函数”的充要条件是“ 题型05 新定义函数性质 【例5】（25-26高一上·上海杨浦·月考）定义函数为“正余弦”函数.结合学过的知识，可以得到该函数的一些性质：容易证明为该函数的周期，但是否是最小正周期呢？我们继续探究：.可得：也为函数的周期.但是否为该函数的最小正周期呢？我们可以分区间研究的单调性：函数在是严格减函数，在上严格增函数，再结合，可以确定：的最小正周期为.进一步我们可以求出该函数的值域了.定义函数为“余正弦”函数，根据阅读材料的内容，解决下列问题： (1)求“余正弦”函数的定义域； (2)判断“余正弦”函数的奇偶性，并说明理由； (3)探究“余正弦”函数的单调性及最小正周期，说明理由，并求其值域. 【答案】(1) (2)偶函数，理由见解析 (3)在是严格减函数，在上严格增函数；最小正周期为；理由见解析.值域为. 【详解】（1）的定义域为. （2）对于函数， ，所以是偶函数. （3）， 在区间上递减，在区间上递增，所以在上递减. 在区间上递增，在区间上递增，所以在上递增. 所以的最小正周期为， 在上是严格减函数，在上是严格增函数. 结合的单调性可知，的值域为. 【跟踪训练】 1．若函数在定义域区间上连续，对任意，恒有，则称函数是区间上的上凸函数，若恒有，则称函数是区间上的下凸函数，当且仅当时等号成立，这个性质称为函数的凹凸性．上述不等式可以推广到取函数定义域中的任意n个点，即若是上凸函数，则对任意，，…，恒有，若是下凸函数，则对任意，，…，恒有，当且仅当时等号成立．应用以上知识解决下列问题： (1)判断函数在定义域上是上凸函数还是下凸函数（说明理由）； (2)证明，上是上凸函数； (3)若A、B、C、，且，求的最大值． 【答案】(1)下凸函数，理由见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）作差，化简即可证明； （2）任意取，作差，再分析其符号即可； （3）根据（2）中结论得，代入计算即可得到答案. 【解析】（1）下凸函数，理由如下：任意取， 因为 即，当且仅当时等号成立， 故是下凸函数. （2）任意取，不妨设， ， 由于，根据在上单调递增，在上单调递减， 则， 所以，即函数是上凸函数. （3）当，且， 由（2）知是上凸函数， 所以， 故 所以当且仅当时等号成立， 即的最大值为. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是作差因式分解得，再分析其正负即可. 2．对于函数及实数m，若存在，使得，则称函数与具有“m关联”性质． (1)若与具有“m关联”性质，求m的取值范围； (2)已知，为定义在上的奇函数，且满足； ①在上，当且仅当时，取得最大值1； ②对任意，有． 求证：与不具有“4关联”性． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据函数与具有“m关联”性质的定义，结合正余弦函数的性质，即可得答案. （2）根据满足的性质，推出其对称性以及周期，可得，再结合正弦函数的性质推出，即说明不存在，使得，即可得结论. 【解析】（1）由题意可知， 故， 则m的取值范围为； （2）证明：因为在上，当且仅当时，取得最大值1， 且为定义在上的奇函数， 故在上当且仅当时，取得最小值-1， 由对任意，有，可知图象关于点对称， 又，即， 故2a为函数的周期， 故， ， 当时，， 时，， 若，，，此时有为最大值； 当时，， 时，， 若，，此时有为最大值， 由于，故， 即不存在，使得， 所以与不具有“4关联”性． 【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于要理解函数与具有“m关联”性质的定义，明确其含义，继而结合定义去解决问题，特别是第2问的证明，要结合定义说明不存在，使得成立. 3．对于分别定义在，上的函数，以及实数，若存在，使得，则称函数与具有关系. (1)若，；，，判断与是否具有关系，并说明理由； (2)若与具有关系，求的取值范围； (3)已知，为定义在上的奇函数，且满足： ①在上，当且仅当时，取得最大值1； ②对任意，有. 判断与是否具有关系，并说明理由. 【答案】(1)与具有关系，理由见解析 (2)； (3)不具有关系，理由见解析 【分析】（1）根据三角函数的性质可得，结合新定义即可下结论； （2）根据三角函数与二次函数的性质可得、，则，结合新定义即可求解； （3）根据函数的对称性和周期性求出、、的值域. 当、时，有；当、时，有，进而，结合新定义即可下结论. 【解析】（1）与具有关系，理由如下： 当时，，， 当，，当时，， 此时， 则与具有关系； （2）， ， 因为，则当时，，则， 所以， 则； （3）不具有关系，理由如下： 因为在上，当且仅当时，取得最大值1； 又为定义在上的奇函数， 故在上，当且仅当时，取得最小值-1， 由对任意，有， 所以关于点对称， 又， 所以的周期为，故的值域为，，， 当时，，； 时，，， 若，则，， 此时有； 当时，，； 时，，， 若，则，时， 有； 由于， 所以， 故不存在，，使得， 所以与不具有关系. 【点睛】方法点睛： 学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质，落脚点仍然是三角函数的图象与性质. 3．（2022·上海嘉定·一模）已知函数的定义域为区间D，若对于给定的非零实数m，存在，使得，则称函数在区间D上具有性质. (1)判断函数在区间上是否具有性质，并说明理由； (2)若函数在区间上具有性质，求n的取值范围； (3)已知函数的图像是连续不断的曲线，且，求证：函数在区间上具有性质. 【答案】(1)具有性质，理由见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由题可得，则，结合条件即得； （2）由，解得，，可得，即得； （3）设，，可得，当、、、、、中有一个为0时，可得，，即证；当、、、、、中均不为0时，由于其和为0，则其中必存在正数和负数，不妨设，，结合条件可知，存在，，即证. 【解析】（1）函数在上具有性质. 若，则， 因为，且， 所以函数在上具有性质. （2）解法1：由题意，存在，使得， 得（舍）或， 则得. 因为，所以. 又因为且， 所以，即所求的取值范围是. 解法2：当时，函数，是增函数， 所以不符合题意； 当时，因为直线是函数的一条对称轴， 而函数在区间上具有性质， 所以， 解得，即所求的取值范围是. （3）设，. 则有，，，， ，，. 以上各式相加得 即， （ⅰ）当、、、、、中有一个为0时，不妨设，，即，即，， 所以函数在区间上具有性质. （ⅱ）当、、、、、中均不为0时，由于其和为0， 则其中必存在正数和负数，不妨设，， 其中，. 由于函数的图像是连续不断的曲线，所以当时，至少存在一个实数（当时，至少存在一个实数），其中，使得，即， 即存在，使得， 所以函数在区间上也具有性质. 综上，函数在区间上具有性质. 1. （24-25上海大学附中高一下期中）定义：对于函数，若存在非零常数、，使对于定义域内任意实数都有，则称函数是广义周期函数，其中称为广义周期，为周距. （1）证明函数是以2为广义周期的广义周期函数，并求出函数周距的值； （2）试判断函数（、、、为常数，，，）是否为广义周期函数，若是，请求出广义周期和周距，若不是，请说明理由； （3）设函数是周期的周期函数，当函数在上的值域为时，求在上的最大值和最小值. 【答案】（1）证明见解析； （2）是； （3）最大值为；最小值为 【解析】 【分析】（1）考虑到，因此取，则有，得到符合题设，即得. （2）考虑到正弦函数的周期性，取，代入新定义式子计算即可. （3）由题意得到函数应该是广义周期函数，结合新定义可求得一个广义周期是，周距，由于，可见在区间上取得最小值，在上取得最大值，而当时，由上面结论可得，最小值为，当时，，从而最大值为． 【小问1详解】 因为， 所以， 故函数是广义周期函数，它的周距为2． 【小问2详解】 由题意得， 因， 所以是广义周期函数，且． 【小问3详解】 因为， 所以广义周期函数，且， 设满足， 由得 ， 因为， 所以在区间上的最小值是在上获得的， 而，故在上的最小值为， 由得到， 则， 因为， 所以在区间上的最大值是在上获得的， 而，所以在上的最大值为23． 2．（2024上海市行知中学高一期中）已知函数，如果对于定义域内的任意实数，对于给定的非零常数，总存在非零常数，恒有成立，则称函数是上的周期为的级类周期函数． （1）已知是上的周期为1的级类周期函数，且是上的严格增函数，当时，，求实数的取值范围； （2）设函数是上的周期为1的2级类周期图数，且当时，．若对任意，都有，求的取值范围； （3）是否存在实数，使函数是上的周期为的级类周期函数，若存在，求出实数和的值，若不存在，说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）答案见解析； 【分析】 （1）根据函数定义有，易得时，根据已知条件有且即可求的范围； （2）由函数定义有时，再结合题设函数不等式恒成立、二次函数的性质，求的范围； （3）由题意恒成立，讨论、分别求对应值. 【详解】 （1）由级类周期函数定义知：，即 ∴当时，，…，当时，， ∵是上的严格增函数，且上单调递增， ∴且，解得， ∴. （2）由题设：，而时， ∴当，即时， 当，即时， ∴，使，解得或 对任意都有，则. （3）若存在，则，即恒成立， ∴当时，； 当时，，则， 若，，可得， 若，，可得， ∴综上，时；时. 【点睛】 关键点点睛：利用级类周期函数的定义确定相应区间上的函数解析式，根据函数的单调性、函数不等式恒成立、存在性问题求参数. 3．（23-24高一下·上海·期中）对于定义域为R的函数，若存在常数，使得是以为周期的周期函数，则称为“正弦周期函数”，且称为其“正弦周期”. (1)判断函数是否为“正弦周期函数”，并说明理由； (2)已知是定义在R上的严格增函数，值域为R，且是以为“正弦周期”的“正弦周期函数”，若，且存在，使得，求的值； (3)已知是以为一个“正弦周期”的“正弦周期函数”，且存在和，使得对任意，都有，证明：是周期函数. 【答案】(1)是，理由见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由题意得到，即可判断为“正弦周期函数”； （2）由题意条件得到，故，，由函数单调性得到不等式，求出，再证明不合要求，从而得到，并求出； （3）法1：，满足要求，若，则对任意，存在正整数，使得且，得到，，若，同理可证明，得到结论； 法2：反证法，假设不是周期函数，则与均不恒成立，存在，使得，再利用题目条件推出，故假设不成立，证明出结论. 【解析】（1），则， 故， 所以是正弦周期函数. （2）存在，使得，故， 因为是以为“正弦周期”的“正弦周期函数”， 所以， 又，， 所以， 又， 则， 故，， 因为，所以，且严格增， 由于，， 故，解得， 则整数， 下证. 若不然，，则，由的值域为R知， 存在，，使得，， 则， ， 由严格单调递增可知， 又， 故，这与矛盾. 故，综上所述，； （3）法1：若，则由可知为周期函数. 若，则对任意，存在正整数，使得且. 因为是以为一个“正弦周期”的“正弦周期函数”，且， 所以， 故，所以， 若，则同理可证（取为负整数即可）. 综上，得证. 法2：假设不是周期函数，则与均不恒成立. 显然. 因为不恒成立，所以存在，使得， 因为，所以存在，使得且， 其中若，取为负整数；若，取为正整数. 因为是以为一个“正弦周期”的“正弦周期函数”，且， 由正弦周期性得， 即， 所以，矛盾，假设不成立， 综上，是周期函数. 【点睛】函数新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 4. （24-25上海中学高一下期中）已知函数的定义域为且满足：对任意的，有恒成立，则称为“”函数. （1）分别判断和是否为“”函数； （2）若函数是“”函数，求的取值范围； （3）若为上的“”函数，且是以4为周期的周期函数，证明：对任意的，都有：. 【答案】（1）不是，是 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用函数的定义证明即可. （2）利用函数的定义建立不等式，求解参数范围即可. （3）由题意得到是以为周期的周期函数，不妨设，按分类讨论，并结合“”函数的定义和函数周期性的性质证明结论即可. 【小问1详解】 对于， 由正切函数性质得的定义域不为，则不为“”函数， 对于，， 由和差化积公式得， 两侧同时取绝对值得， 由余弦函数性质得， 则， 如图，我们设，则，圆为单位圆， 则扇形的弧长为，扇形面积为，， 由图象得三角形面积一定小于扇形面积，故，即. 当时，，故对于恒成立； 当时，显然成立； 当时，由上可得，，所以； 当时，，故对于恒成立， 综上可得对于恒成立， 故， 即，则是“”函数. 【小问2详解】 若函数是“”函数，则， 即，故， 因为，所以，得到， 解得，即的取值范围为. 小问3详解】 由题意得是以为周期的周期函数，不妨设， 当时，而函数为上的“”函数， 则， 当时，不妨设，且， 由题意得是以为周期的周期函数，得， 又因为函数为上的“”函数， 所以 ， 则对任意的，均有， 由于是以为周期的周期函数，则对任意， 存在，使得， 从而， 故对任意的，均有. 5．（22-23高一下·上海宝山·期末）在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数，其中双曲正弦函数：，双曲余弦函数：.（e是自然对数的底数，）. (1)计算的值； (2)类比两角和的余弦公式，写出两角和的双曲余弦公式：______，并加以证明； (3)若对任意，关于的方程有解，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）求出，代入化简即可求出答案； （2）类比推理可得出展开式中含有两项，展开即可得出结论；证明时，分别从左右两边化简，均可得出； （3）代入整理可得有解.令，，，根据的单调性以及基本不等式得出，.然后即可得出关于的不等式，求解即可得出答案. 【解析】（1）由已知可得，，， 所以，， 所以，. （2）. 证明如下： 左边， 右边. 所以，左边=右边， 所以，. （3）原题可转化为方程有解，即有解. 令，，， 因为在上单调递增，，， 所以，. 又，当且仅当，即时等号成立， 所以，即有最大值， 又当， 则要使有解，应有， 即，所以. 【点睛】思路点睛：小问3，由已知得出有解，构造函数，，，，然后分别求出的值域，即可得出关系式. 6．（24-25高一下·上海宝山·期末）若定义域为的函数满足：对于任意，都有，则称函数具有性质． （1）设函数，的表达式分别为，，判断函数与是否具有性质，说明理由； （2）设函数的表达式为，是否存在以及，使得函数具有性质？若存在，求出，的值；若不存在，说明理由； （3）设函数具有性质，且在上的值域恰为；以为周期的函数的表达式为，且在开区间上有且仅有一个零点，求证：． 【答案】（1）函数具有性质，不具有性质，理由见解析；（2）不具备，理由见解析；（3）证明见解析. 【分析】（1）根据具有性质的定义依次讨论即可得答案； （2）假设函数具有性质，则有，即，进而得，再根据并结合函数的值域为得，故，此时，在验证不具有性质，进而得到答案； （3）结合（2），并根据题意得，进而得在的值域为，当时，与零点唯一性矛盾得或，再讨论当时不成立得，即． 【解析】（1）函数具有性质，不具有性质，说明如下： ， ， 对任意，都有， 所以具有性质， ，， 所以， 所以不具有性质； （2）若函数具有性质， 则有，即， 于是，结合知， 因此； 若，不妨设 由可知： （记作*），其中 只要充分大时，将大于1 考虑到的值域为为，等式（*）将无法成立， 综上所述必有，即； 再由，，从而，而 当时，， 而，显然两者不恒相等（比如时) 综上所述，不存在以及使得具有性质； (3）由函数具有性质以及（2）可知， 由函数是以为周期的周期函数，有， 即，也即 由，及题设可知 在的值域为 当时，当及时，均有， 这与零点唯一性矛盾，因此或， 当时，，在的值域为 此时 于是在上的值域为， 由正弦函数的性质，此时当时和的取值范围不同， 因而，即． 【点睛】本题考查函数的新定义问题，考查逻辑推理能力，运算求解能力，是难题.本题解题的关键在于正确理解具有性质P的函数的定义，利用定义，结合反证法，分类讨论思想等讨论求解. 7．（21-22高一下·上海闵行·期中）已知函数 ， 若存在实数 ， 使得对于定义域内的任意实数 ，均有 成立， 则称函数 为 “可平衡” 函数， 有序数对 称为函数 的 “平衡” 数对; (1)若 ， 求函数 的 “平衡” 数对; (2)若 ， 判断 是否为 “可平衡” 函数， 并说明理由; (3)若 ， 且 均为函数 的 “平衡” 数对， 求 的取值范围. 【答案】(1)； (2)是“可平衡” 函数，理由见解析； (3). 【分析】(1)根据“平衡数对”定义建立方程，根据恒成立求解即可； (2) 时,判断是否存在使等式恒成立，利用三角函数化简求解即可； (3)根据“平衡数对”的定义将用关于的三角函数表达,再利用三角函数的取值范围求解即可. 【解析】（1）根据题意可知,对于任意实数,, 即,即对于任意实数恒成立, 只有,,故函数的“平衡”数对为, （2）若,则, , 要使得为“可平衡”函数,需使对于任意实数均成立,只有, 此时,,故存在,所以是“可平衡”函数. （3）,所以, ,所以, 由于,所以,, , 由于,所以时,, , 所以, 即. 【点睛】关键点点睛：利用新定义，根据新定义列出满足的恒等关系，根据等式恒成立求出参数满足关系，即可解决问题. 8．对于函数及给定的实数，若存在正实数t使得函数在区间和上同为增函数或同为减函数，则称函数为区间上的函数； (1)已知，请指出函数是否为区间[0,1]上的函数(不需要说明理由)； (2)已知，且函数是区间上 的函数，请写出t的所有取值，并说明理由； (3)若函数既是区间上的函数又是区间上的函数，当α、β取遍所有可取的值时，求出的取值范围. 【答案】(1)不是[0,1]上的函数，是[0,1]上的函数 (2) (3) 【分析】（1）根据函数定义，结合正余弦函数的性质判断给定区间内对应函数是否为函数； （2）由函数新定义及正弦函数性质知在是增函数，根据求t的所有取值； （3）由题意，在和、和上单调性分别相同，讨论的范围，进而求目标式范围. 【解析】（1）由在上为增函数，而在上为减函数， 故两个区间上的增减性不同，不是[0,1]上的函数； 由在上为减函数，在上也为减函数， 故两个区间上的增减性相同，是[0,1]上的函数； （2）由在上为增函数，要使也是增函数，且， 而在，上递增，且， 所以，，故，，故. （3）由在和上单调性相同，即为一个单调区间，且， 若，， 当，则，故，， 当，如，则，故，， 若，， 如，则，故，， 此时，要使α、β取遍所有值，则，而； 又在和上单调性相同，即为一个单调区间，且， 若，， 当时，则，故，， 当，如，则，故，， 若，， 如，则，故，， 此时，要使α、β取遍所有值，则，而； 综上，，而在上值域为， 所以. 【点睛】关键点点睛：首先理解函数定义，再结合正余弦函数的性质研究单调性求参数. 解. 9．（22-23高一下·上海杨浦·期中）对于函数，，如果存在一组常数，，…，（其中k为正整数，且）使得当x取任意值时，有则称函数为“k级周天函数”. (1)判断下列函数是否是“2级周天函数”，并说明理由：①；②； (2)求证：当时，是“3级周天函数”； (3)设函数，其中b，c，d是不全为0的实数且存在，使得，证明：存在，使得. 【答案】(1)是，不是；理由见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）令，，然后化简，根据定义可知； （2）令，，，然后化简，从而得证； （3）若，则，取，则；若，则利用反证法证明即可；若时，由，可得，从而可得结论 【解析】（1）令，，则， 所以是“2级周天函数”； ，不对任意x都成立， 所以不是“2级周天函数”； （2）令，，，则 所以是“3级周天函数”； （3）对其进行分类讨论： 1°若，则，此时取，则； 2°若，采用反证法，若不存在，使得，则恒成立， 由（2）可知是“3级周天函数”， 所以， 所以， 因为，，， 所以， 再由恒成立， 所以， 进而可得，这与b，c，d是不全为0矛盾， 故存在，使得； 3°若，由，， 得， 所以存在，使得， 所以命题成立. 10．（24-25高一下·上海徐汇·期中）对于函数（），若存在非零常数，使得对任意的，都有成立，我们称函数为“函数”，若对任意的，都有成立，则称函数为“严格函数”． (1)求证：，是“函数”； (2)若函数是“函数”，求的取值范围； (3)对于定义域为的函数，．函数是奇函数，且对任意的正实数，均是“严格函数”．若，，求的值 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)0 【分析】（1）取非零常数，证明函数满足即可； （2）根据函数是“函数”，可推出恒成立，化简为，结合余弦函数性质可得答案； （3）由“严格函数”的定义可知函数为单调递增函数，再结合是奇函数，利用其对称性即可求得答案. 【解析】（1）证明：取非零常数， 则对任意的，都有， 因为，即成立， 故，是“函数”. （2）函数是“函数”，， 则，即， 整理得，而， 故， 即的取值范围为； （3）因为对于任意，对任意的，都有成立， 则在R上为单调增函数， 令，，由题意知为奇函数， 因为，， 所以， 所以，则. 【点睛】关键点睛：本题是给出新的函数定义，然后根据该定义解决问题，解答此类题目的关键是理解新定义，明确其含义，根据其含义明确函数的性质，继而解决问题. 11．（2024复兴高级中学高一下期中）如果对于三个数、、能构成三角形的三边，则称这三个数为“三角形数”，对于“三角形数”、、，如果函数使得三个数、、仍为“三角形数”，则称为“保三角形函数”. （1）对于“三角形数”、、，其中，若，判断函数是否是“保三角形函数”，并说明理由； （2）对于“三角形数”、、，其中，若，判断函数是否是“保三角形函数”，并说明理由. 【答案】（1）不是，理由见解析；（2）是，理由见解析. 【解析】 【分析】 （1）取，分别求得，由此可得，故函数不是“保三角形函数”； （2）分，，三种情况均可证得能构成三角形的三边，故函数是“保三角形函数”. 【详解】 （1）因为，取， 则，，， 显然，即不能构成三角形的三边， 故函数不是“保三角形函数”. （2）①当时，，所以最大. 由得，所以， 故，即能构成三角形的三边； ②当时，，所以最大. 由得，， 故，即能构成三角形的三边； ③当时，，所以最大. 由得，所以， 故，即能构成三角形的三边； 综合①②③可知，函数是“保三角形函数”. 12．已知函数，称非零向量为的“特征向量”，为的“特征函数”． (1)设函数，求函数的“特征向量”； (2)若函数的“特征向量”为，求当且时的值； (3)若的“特征函数”为，且方程存在4个不相等的实数根，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)． 【分析】（1）先利用两角和正余弦公式展开化简函数，再根据特征函数的概念求解即可； （2）由已知可得，利用即可求解； （3）由定义得并化简（化为一个角的一个三角函数形式），解方程得或且，求得两根，然后作出函数，的图象，由图象可得且有两根的的范围． 【解析】（1）因为 所以的“特征向量”为． （2）由题意知， 由得，， 因为，，所以， 所以． （3），当时，． 由得， 所以或， 由，即，而，解得或， 即在上有两个根， 因为方程在上存在4个不相等的实数根， 所以当且仅当且在上有两个不等实根， 在同一坐标系内作出函数在上的图像和直线， 因为方程在上有两个不等实根， 即当且仅当函数在上的图像和直线有两个公共点， 由图像可知：或， 解得或， 所以实数G的取值范围是． 【点睛】本题在以新定义基础之上考查了三角函数的有关知识点，考查了诱导公式及三角恒等变换中的几个公式，还考查了三角函数中的方程的根的问题. 13．（24-25高一下·上海浦东新·阶段练习）对于函数，若存在非零常数T，使得对任意的，都有成立，我们称函数为“T函数”，若对任意的，都有成立，则称函数为“严格T函数”． (1)求证：，是“T函数”； (2)若函数是“函数”，求k的取值范围； (3)对于定义域为R的函数，函数是奇函数，且对任意的正实数，均是“严格T函数”，若，，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)0 【分析】（1）取，由题目中的定义，即可证得； （2）由题意得，整理得，由余弦函数的值域，即可求出的范围； （3）由题意得出在上为增函数，设，得出为上的奇函数，由奇函数的对称性及和的值，即可得出的值． 【解析】（1）证明：取非零常数, 对任意的，， ，即， ，是“函数”． （2）函数是“函数”，， ， 即，整理得，， ， ，即， 故． （3）对任意，对任意的正实数，都有， 在上为增函数， 设， 函数是奇函数， 为上的奇函数，即图像关于原点对称， ，， ，， ， ． 14．对于分别定义在上的函数以及实数若存在使得则称函数与具有关系 (1)若判断与是否具有关系并说明理由； (2)若与具有关系求实数的取值范围； (3)已知为定义在上的奇函数，且满足： ①在上，当且仅当时，取得最大值1； ②对任意有 判断是否存在实数使得与具有关系若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)与具有关系，理由见解析 (2) (3)不具有关系，理由见解析 【分析】（1）根据题意，求得，结合函数的新定义，即可求解； （2）根据题意，利用三角函数的性质，分给求得的值域，即可求解； （3）根据题意，利用三角函数的对称性和三角函数的值域，得到不存在使得，即可得到答案. 【解析】（1）解：函数与具有关系. 理由如下： 当时；当时，； 当时，；当时，， 此时，所以函数与具有关系. （2）解：由函数， 且， 因为，当时，，所以， 所以，所以，即实数的取值范围为. （3）解：不具有关系. 理由如下： 因为在上，当且仅当时，取得最大值1， 且为定义在上的奇函数， 所以在上，当且仅当时，取得最小值－1， 由对任意有，可得关于点对称， 又，故的周期为， 故的值域为，， 当时，，时，， 若，即，此时有； 当时，时，； 若，则时，有， 因为，所以， 所以不存在使得， 故与不具有关系 【点睛】方法点拨：与函数的新定义有关的问题的求解策略： 1、通过给出一个新的数列的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的； 2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决. 3、若数列中涉及到三角函数有关问题时，常利用三角函数的周期性等特征，寻找计算规律求 15．设函数定义在区间上，若对任意的、、、，当，且时，不等式成立，就称函数具有M性质. (1)判断函数，是否具有M性质，并说明理由； (2)已知函数在区间上恒正，且函数，具有M性质，求证：对任意的、，且，有； (3)①已知函数，具有M性质，证明：对任意的、、，有，其中等号当且仅当时成立； ②已知函数，具有M性质，若、、为三角形的内角，求的最大值. (可参考：对于任意给定实数、，有，且等号当且仅当时成立.) 【答案】(1)不具有，理由见解析； (2)证明见解析； (3)①证明见解析；②. 【分析】（1）取特殊值验证即可，如：，，，； （2）根据要证明的不等式可令，代入计算即可； （3）①对任意的、、，令，显然，令，，，然后题意即可证明； ②利用①中的结论按三角形ABC的类型分类讨论可得. 【解析】（1）令，，，，于是，，显然. 因此函数，不具有M性质. （2）设、，且，令， 显然，且，于是，即. ∵函数在区间上为增函数，∴. （3）①对任意的、、，令，显然. 若，则不等式中等号成立. 下面考虑、、不全相等，不妨设的值最小，的值最大，于是，且. 令，，， 于是，且 ， 故，从而. 又，且， 故，因此. 综上，，其中等号当且仅当时成立. ②当△为锐角三角形时，由①，得， 等号当时成立； 当△为直角三角形时，不妨设为直角，于是 ； 当△为钝角三角形时，不妨设为钝角，此时，于是 ，由， 得，于是，故. 综上，的最大值为. 【点睛】本题考查函数新定义，是对函数性质和不等式性质的综合应用，需要运用已知函数性质和不等式性质，并结合要证明的结论或计算的结果进行赋值运算，综合考查逻辑推理能力. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $