专题01 正弦、余弦、正切、余切5种题型归类（压轴题专项训练）数学沪教版必修第二册

专题01 正弦、余弦、正切、余切6种题型归类 目录 类型一、n倍角与n分角的象限问题 类型二、扇形的弧长与面积公式 类型三、正弦、余弦、正切、余切的计算与证明 类型四、正余弦的齐次式问题 类型五、与的相互转化 类型六、诱导公式的化简求值与证明 压轴专练 类型一、n倍角与n分角的象限问题 解题技巧： α,2α,等n倍角和n分角的终边位置的确定方法 ①不等式分类讨论法 （1）利用象限角的概念或已知条件,写出角α的范围. （2）利用不等式的性质,求出2α,等角的范围. （3）利用“旋转”的观点,确定角终边的位置.例如,如果得到k·120°<<k·120°+30°,k∈Z,可画出0°<<30°所表示的区域,再将此区域依次逆时针或顺时针转动120°(如图所示).(注意由α的范围确定2α的范围时,不要忽视终边在坐标轴上的情况) ②等分象限法 对于的范围问题,可采用等分象限法,即把每个象限平均分成n份,从第一象限x轴正半轴的上方起按逆时针方向循环标注象限序号(如图以为例),则标注序号与α所在象限序号相同的区域即为所在的区域. 例1-1．设是第一象限的角，则所在的象限为（    ） A．第一象限 B．第三象限 C．第一象限或第三象限 D．第二象限或第四象限 变式1-1．已知为第一象限的角，则所在象限为（   ） A．第一象限 B．第一、二象限 C．第一、三象限 D．第一、四象限 变式1-2．若是第一象限角，则下列各角是第三象限角的是（    ） A． B． C． D． 变式1-3．角的终边在第三象限，则的终边不可能在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．y轴非负半轴 D．第三或四象限 变式1-4．已知角α的终边在第四象限，确定下列各角终边所在的象限： (1)； (2)； (3)； (4)． 类型二、扇形的弧长与面积公式 解题技巧： 弧长公式、扇形面积公式 设扇形的半径为R，弧长为l，圆心角为. (1)弧长公式 由公式，可得. (2)扇形面积公式 . (3)弧长公式及扇形面积公式的两种表示 角度制 弧度制 弧长公式 l=αR 扇形面积公式 注意事项 R是扇形的半径，n 是圆心角的角度数. R是扇形的半径，α是圆心角的弧度数. 例2-1．如图，从半径为的圆中剪下圆心角为弧度，半径为的扇形，此扇形的周长为，剩余部分扇形的周长为，若，则 .    例2-2．水滴是刘慈欣的科幻小说《三体Ⅱ》中提到的由三体文明使用强互作用力（SIM）材料所制成的宇宙探测器，因为其外形与水滴相似，所以被人类称为水滴．如图所示，水滴是由线段，和圆的优弧围成，其中，恰好与圆弧相切．若圆弧所在圆的半径为2，点到圆弧所在圆圆心的距离为4，则该封闭图形的面积为 ． 变式2-1．某书中记载计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积弦矢矢弧田如图所示由圆弧及其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差现有圆心角为，半径为的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是 .    变式2-2．已知所有周长为x的扇形中面积最大的扇形面积为x，则该扇形周长为 . 变式2-3．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就，其中《方田》一章中记载了计算弧田（弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形）的面积所用的经验公式：弧田面积=（弦矢+矢矢），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差，现有圆心角为，弦长为米的弧田，其实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为（    ）平方米（其中，） A．14 B．16 C．18 D．20 类型三、正弦、余弦、正切、余切的计算与证明 解题技巧： 在平面直角坐标系中，将角α的顶点与坐标原点o重合，始边与x轴的正半轴重合，在角α的终边上任取异于原点的一点p（x，y），就有 ；；；； 【注意】任意角的正弦、余弦、正切、余切的符号：一全二正弦，三切四余弦 例3-1．已知α的终边经过点，且，则＝（　　） A． B． C． D．2 例3-2．若，则（   ） A． B． C． D． 例3-3．函数的值域的真子集的个数为 变式3-1．已知角顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆交于点，则（    ） A． B． C． D． 变式3-2．若，则 . 变式3-3．已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边与以坐标原点为圆心、为半径的圆交于点，若点的横坐标与纵坐标之和为，则的值为 ． 变式3-4．（1）若，且，则角属于第几象限？ （2）若，且，则角属于第几象限？ 类型四、正余弦的齐次式问题 解题技巧： 1.给正切，利用正余弦一次分式齐次特征，可以同除余弦化为正切 2.二次型求正切，充分运用“1”的代换： （1） （2） 3.关于sinα，cosα的齐次式就是式子中的每一项都是关于sinα，cosα的式子且它们的次数之和相同，设为n次，将分子、分母同除以cosα的n次幂，其式子可化为关于tanα的式子，再代入求值． 4.若无分母时，把分母看作1，并将1用sin2α＋cos2α来代换，将分子、分母同除以cos2α，可化为关于tanα的式子，再代入求值． 例4-1．已知， . 例4-2．已知角满足，则 ． 变式4-1．已知，则 ． 变式4-2．已知． (1)求的值； (2)求的值． 变式4-3．（1）已知，求的值； （2）已知角是第二象限角，且，若角的终边与单位圆交于第二象限内的点P，求点P坐标． 类型五、与的相互转化 解题技巧： 已知中的一个可以求出其他两个，其中关键是根据的范围得到这三个值的符号，其具体的解法为： (1)用sinα表示cosα(或用cosα表示sinα)，代入sin2α＋cos2α＝1，根据角α的终边所在的象限解一元二次方程得sinα的值(或cosα的值)，再求其他． (2)利用sinα±cosα的值及sin2α＋cos2α＝1，先求出sinαcosα的值，然后结合sinα±cosα的值求出sinα，cosα的值，再求其他 例5-1．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 例5-2．已知，，则的值为 ； 变式5-1．已知，则 . 变式5-2．已知，则 ． 变式5-3．、是三角形的两个内角，且，，则 ， . 类型六、诱导公式的化简求值与证明 解题技巧： (1)诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 七 八 角 正弦 余弦 正切 余切 口诀 函数名不变，符号看象限. 函数名改变，符号看象限. (2)诱导公式的作用 诱导公式 作用 公式一 将任意角转化为0～2π的角求值 公式二 将0～2π的角转化为0~π的角求值 公式三 将负角转化为正角求值 公式四 将～π的角转化为0～的角求值 公式五 实现正弦与余弦、正切与余切的相互转化 公式六 实现正弦与余弦、正切与余切的相互转化 （3）诱导公式的两个应用 ①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了. ②化简：统一角，统一名，同角名少为终了. 例6-1．已知角的终边过点，则 ． 例6-2．已知，则（    ） A． B．2 C． D． 变式6-1．，化简： （    ） A． B． C． D．随k的变化而变化 变式6-2．黑洞原指非常奇怪的天体，它体积小，密度大，吸引力强，任何物体到了它那里都别想再出来，数字中也有类似的“黑洞”，任意取一个数字串，长度不限，依次写出该数字串中偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数，把这三个数从左到右写成一个新数字串；重复以上工作，最后会得到一个反复出现的数字，我们称它为“数字黑洞”，如果把这个数字设为a，则（    ） A． B． C． D． 变式6-3．化简： . 变式6-4．已知扇形的半径为r，弧长为l，若其周长为6，当该扇形面积最大时，其圆心角为，则 ． 压轴专练 1.若，则为（    ）. A．第一、四象限的角 B．第二、三象限的角 C．第一、三象限的角 D．第二、四象限的角 2.已知是三角形的内角，若，则的值等于（    ） A． B． C． D． 3.质点P和Q在以坐标原点O为圆心，半径为1的上逆时针作匀速圆周运动，同时出发.P的角速度大小为，起点为与x轴正半轴的交点；Q的角速度大小为，起点为射线与的交点.则当点与重合时，点的坐标不可能是（    ） A． B． C． D． 4.在中，，以为圆心，为半径作圆弧交于点，若弧等分的面积，且弧度，则（    ） A． B． C． D． 5.若，，则的值为（    ） A．或 B． C． D． 6.设，若是角的终边上一点，则下列各式恒为负值的是（    ） A． B． C． D． 7.“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号．如图是折扇的示意图，其中，，M为的中点，则扇面（图中扇环）部分的面积是 ．    8.化简： . 9.若，则 . 10.已知，是关于x的方程的两个实根，且，则 ， ． 11.已知及是关于的方程的两个实根，求的值． 12.已知角的终边在第四象限. （1）试分别判断、是哪个象限的角； （2）求的范围. 13.如图，有一个扇环形花圃，外圆弧的半径是内圆弧半径的两倍，周长为定值，圆心角的绝对值为． (1)当为多少弧度时，扇环面积最大，并求出最大面积； (2)当时，求弧的中点到弦的距离 14.设，已知，且关于的一元二次方程的两实根分别为和． (1)求的值； (2)分别求和的值． 15.如图，已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，为角终边与单位圆的交点，将角的终边绕点按逆时针方向旋转后得到角，此时点旋转至点. (1)求的值； (2)求的值 (3)求的值. 16.（1）是否存在实数，使，使，，且是第二象限角？若存在，请求出实数；若不存在，情说明理由. （2）若，，求的值. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 正弦、余弦、正切、余切6种题型归类 目录 类型一、n倍角与n分角的象限问题 类型二、扇形的弧长与面积公式 类型三、正弦、余弦、正切、余切的计算与证明 类型四、正余弦的齐次式问题 类型五、与的相互转化 类型六、诱导公式的化简求值与证明 压轴专练 类型一、n倍角与n分角的象限问题 解题技巧： α,2α,等n倍角和n分角的终边位置的确定方法 ①不等式分类讨论法 （1）利用象限角的概念或已知条件,写出角α的范围. （2）利用不等式的性质,求出2α,等角的范围. （3）利用“旋转”的观点,确定角终边的位置.例如,如果得到k·120°<<k·120°+30°,k∈Z,可画出0°<<30°所表示的区域,再将此区域依次逆时针或顺时针转动120°(如图所示).(注意由α的范围确定2α的范围时,不要忽视终边在坐标轴上的情况) ②等分象限法 对于的范围问题,可采用等分象限法,即把每个象限平均分成n份,从第一象限x轴正半轴的上方起按逆时针方向循环标注象限序号(如图以为例),则标注序号与α所在象限序号相同的区域即为所在的区域. 例1-1．设是第一象限的角，则所在的象限为（    ） A．第一象限 B．第三象限 C．第一象限或第三象限 D．第二象限或第四象限 【答案】C 【分析】根据是第一象限的角，求出的范围判断即可得解. 【详解】因为是第一象限的角， 所以，， 所以， 当时，，为第一象限角； 当时，，为第三象限角. 故选：C 变式1-1．已知为第一象限的角，则所在象限为（   ） A．第一象限 B．第一、二象限 C．第一、三象限 D．第一、四象限 【答案】C 【分析】根据是第一象限的角，求出的范围判断即可得解. 【详解】因为是第一象限的角， 所以，， 所以， 当时，，为第一象限角； 当时，，为第三象限角. 故选：C 变式1-2．若是第一象限角，则下列各角是第三象限角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据象限角的概念判断即可. 【详解】若是第一象限角，则， ，则是第四象限角，故D错误； ，则是第一象限角，故A错误； ，则是第二象限角，故B错误； ，则是第三象限角，故C错误. 故选：C. 变式1-3．角的终边在第三象限，则的终边不可能在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．y轴非负半轴 D．第三或四象限 【答案】D 【分析】由角的终边在第三象限可得，，进而可求，则的终边所在象限可定. 【详解】角的终边在第三象限， ，， ，． 的终边可能在第一、二象限或y轴非负半轴． 故选：D. 变式1-4．已知角α的终边在第四象限，确定下列各角终边所在的象限： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)的终边在第二或第四象限 (2)的终边在第三或第四象限，也可在轴的负半轴上 (3)的终边在第二､第三或第四象限 (4)的终边在第二或三或第四象限，也可在轴的负半轴上 【分析】由为第四象限角可知，根据不等式的性质可得，，，角终边所在区域，对分类讨论可得角终边所在的位置. 【详解】（1）由于为第四象限角，所以， 所以， 当时，，终边在第二象限， 当时，，终边在第四象限， 所以的终边在第二或第四象限； （2）由（1）得， 所以的终边在第三或第四象限，也可在轴的负半轴上. （3）由（1）得， 当时，，终边在第二象限， 当时，，终边在第三象限， 当时，，终边在第四象限， 所以的终边在第二､第三或第四象限； （4）由（1）得，即， 所以的终边在第二或三或第四象限，也可在轴的负半轴上 类型二、扇形的弧长与面积公式 解题技巧： 弧长公式、扇形面积公式 设扇形的半径为R，弧长为l，圆心角为. (1)弧长公式 由公式，可得. (2)扇形面积公式 . (3)弧长公式及扇形面积公式的两种表示 角度制 弧度制 弧长公式 l=αR 扇形面积公式 注意事项 R是扇形的半径，n 是圆心角的角度数. R是扇形的半径，α是圆心角的弧度数. 例2-1．如图，从半径为的圆中剪下圆心角为弧度，半径为的扇形，此扇形的周长为，剩余部分扇形的周长为，若，则 .    【答案】 【分析】根据题意，利用扇形的弧长公式得到，，列出方程，即可求解. 【详解】由题可得，，， 所以，解得. 故答案为：. 例2-2．水滴是刘慈欣的科幻小说《三体Ⅱ》中提到的由三体文明使用强互作用力（SIM）材料所制成的宇宙探测器，因为其外形与水滴相似，所以被人类称为水滴．如图所示，水滴是由线段，和圆的优弧围成，其中，恰好与圆弧相切．若圆弧所在圆的半径为2，点到圆弧所在圆圆心的距离为4，则该封闭图形的面积为 ． 【答案】; 【分析】作出辅助线，得到，，利用扇形面积公式和三角形面积公式得到答案. 【详解】取优弧所在圆的圆心，连接，，则⊥，⊥， 则，所以，则， ， 故优弧对应的圆心角为，对应的扇形面积为， 而， 所以该封闭图形的面积为. 故答案为：. 变式2-1．某书中记载计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积弦矢矢弧田如图所示由圆弧及其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差现有圆心角为，半径为的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是 .    【答案】 【分析】根据题意，由题中条件结合弧田面积公式求解即可． 【详解】   如图，由题意可得，． 在中，可得，， 则， 所以矢． 由， 得弦， 所以弧田面积弦矢 . 故答案为：． 变式2-2．已知所有周长为x的扇形中面积最大的扇形面积为x，则该扇形周长为 . 【答案】 【分析】设扇形所在圆的半径为，弧长为，得到，再由，结合基本不等式，即可求解. 【详解】设扇形所在圆的半径为，弧长为，则，即 则， 所以，解得，即该扇形周长为. 故答案为：. 变式2-3．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就，其中《方田》一章中记载了计算弧田（弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形）的面积所用的经验公式：弧田面积=（弦矢+矢矢），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差，现有圆心角为，弦长为米的弧田，其实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为（    ）平方米（其中，） A．14 B．16 C．18 D．20 【答案】B 【分析】根据题意画出图形，结合图形求出扇形的面积与三角形的面积，计算弓形的面积，再利用弧长公式计算弧田的面积，求两者的差即可. 【详解】如图所示，扇形的半径为， 所以扇形的面积为， 又三角形的面积为， 所以弧田的面积为， 又圆心到弦的距离等于，所示矢长为， 按照上述弧田的面积经验计算可得弦矢矢， 所以两者的差为. 故选：B. 类型三、正弦、余弦、正切、余切的计算与证明 解题技巧： 在平面直角坐标系中，将角α的顶点与坐标原点o重合，始边与x轴的正半轴重合，在角α的终边上任取异于原点的一点p（x，y），就有 ；；；； 【注意】任意角的正弦、余弦、正切、余切的符号：一全二正弦，三切四余弦 例3-1．已知α的终边经过点，且，则＝（　　） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】利用任意角的三角函数的定义即可求解． 【详解】因为α的终边经过点，且， 所以，再由，解得， 由正切函数定义得：， 故选：A． 例3-2．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用平方关系求，再利用商数关系求出即可. 【详解】因为是第一象限角，余弦值为正数， 所以， 则 . 故选：B. 例3-3．函数的值域的真子集的个数为 【答案】 【分析】分为第一、二、三、四象限角讨论，根据三角函数值的正负求得值域，再得到真子集的个数. 【详解】当是第一象限角，，此时， 当是第二象限角，，此时， 当是第三象限角，，此时， 当是第四象限角，，此时， 所以，值域为，所以有个真子集， 故答案为：. 变式3-1．已知角顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由三角函数定义求出，相减即得． 【详解】角终边与单位圆交于点，则，. . 故选：A. 变式3-2．若，则 . 【答案】/ 【分析】根据题意得，结合，解得，再根据代入求解即可． 【详解】， ，即， 整理得，解得，（舍去）， ，， ． 故答案为：． 变式3-3．已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边与以坐标原点为圆心、为半径的圆交于点，若点的横坐标与纵坐标之和为，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】设，根据条件求解出的值，再根据，代入数值可求结果. 【详解】设，由题意可知，所以， 所以， 故答案为：. 变式3-4．（1）若，且，则角属于第几象限？ （2）若，且，则角属于第几象限？ 【答案】（1）第三象限；（2）第四象限． 【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系式化切为弦，再根据三角函数在各象限内的符号即可得解； （2）根据三角函数在各象限内的符号即可得解. 【详解】（1）因为，则，即， 又因为，则，即， 所以角属于第三象限； （2）由，且，知， 又因为，所以角属于第四象限． 类型四、正余弦的齐次式问题 解题技巧： 1.给正切，利用正余弦一次分式齐次特征，可以同除余弦化为正切 2.二次型求正切，充分运用“1”的代换： （1） （2） 3.关于sinα，cosα的齐次式就是式子中的每一项都是关于sinα，cosα的式子且它们的次数之和相同，设为n次，将分子、分母同除以cosα的n次幂，其式子可化为关于tanα的式子，再代入求值． 4.若无分母时，把分母看作1，并将1用sin2α＋cos2α来代换，将分子、分母同除以cos2α，可化为关于tanα的式子，再代入求值． 例4-1．已知， . 【答案】 【分析】利用同角三角函数的基本关系将代数式转化为正切的表达式，再带入计算即可. 【详解】由题意得， 又因为，所以， 分子分母同时除以得，原式. 故答案为： 例4-2．已知角满足，则 ． 【答案】 【分析】利用同角三角函数的基本关系，分子分母同时除以，即可求解． 【详解】， 分子分母同时除以，原式， 故答案为：． 变式4-1．已知，则 ． 【答案】 【分析】先进行弦化切，然后把代入求值. 【详解】 ∵，∴原式故答案为： 变式4-2．已知． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出的值，在分式的分子分母中同时除以，实现弦化切，再将的值代入分式计算即可； （2）首先将原式变形为，再将齐次分式化简为表示，计算求值 【详解】（1）由， 所以 （2） 变式4-3．（1）已知，求的值； （2）已知角是第二象限角，且，若角的终边与单位圆交于第二象限内的点P，求点P坐标． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）利用齐次式弦化切即可求解 （2）利用同角三角函数的关系解方程组可得和 , 然后利用正弦函数和余弦函数的定义即可得出点的坐标. 【详解】（1）. （2）因为是第二象限角，所以，，由，解得，所以点的坐标为. 类型五、与的相互转化 解题技巧： 已知中的一个可以求出其他两个，其中关键是根据的范围得到这三个值的符号，其具体的解法为： (1)用sinα表示cosα(或用cosα表示sinα)，代入sin2α＋cos2α＝1，根据角α的终边所在的象限解一元二次方程得sinα的值(或cosα的值)，再求其他． (2)利用sinα±cosα的值及sin2α＋cos2α＝1，先求出sinαcosα的值，然后结合sinα±cosα的值求出sinα，cosα的值，再求其他 例5-1．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为①，两边平方得， 故， 所以与异号，又，所以，， 所以②， 由①②解得 ， 所以． 故选：C 例5-2．已知，，则的值为 ； 【答案】/ 【分析】由求得，从而判断出的范围，进而可求出的值，得到的值. 【详解】将平方得， 所以， 因为，所以，所以， 而 所以 所以 故答案为： 变式5-1．已知，则 . 【答案】 【分析】运用与的关系，结合角的范围以及立方差公式，即可得解. 【详解】由，得， 得， 故， 因为，所以， 又因为，所以， 所以， ， 故 . 故答案为：. 变式5-2．已知，则 ． 【答案】/ 【分析】将平方可求出，借助完全平方公式求出，即可求值. 【详解】由得， 解得， 所以． 又因为，且， 所以， 所以， 则． 故答案为： 变式5-3．、是三角形的两个内角，且，，则 ， . 【答案】 【分析】将题目中两式相除以及即可求解. 【详解】因为，， 两式相除得， 因为， 因为，所以或， 所以，因为， 所以，所以， 所以. 故答案为：；. 类型六、诱导公式的化简求值与证明 解题技巧： (1)诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 七 八 角 正弦 余弦 正切 余切 口诀 函数名不变，符号看象限. 函数名改变，符号看象限. (2)诱导公式的作用 诱导公式 作用 公式一 将任意角转化为0～2π的角求值 公式二 将0～2π的角转化为0~π的角求值 公式三 将负角转化为正角求值 公式四 将～π的角转化为0～的角求值 公式五 实现正弦与余弦、正切与余切的相互转化 公式六 实现正弦与余弦、正切与余切的相互转化 （3）诱导公式的两个应用 ①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了. ②化简：统一角，统一名，同角名少为终了. 例6-1．已知角的终边过点，则 ． 【答案】 【分析】利用诱导公式及同角三角函数的关系将原式化简为，再根据三角函数的定义求出的值即可得解. 【详解】因为， ， ， ，，. 所以 . 因为角的终边过点，所以， 所以. 所以原式. 故答案为： 例6-2．已知，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】利用已知的三角函数值，利用换元法，结合三角函数的诱导公式，可得答案. 【详解】令，则， 从而 . 故选：A. 变式6-1．，化简： （    ） A． B． C． D．随k的变化而变化 【答案】B 【分析】根据给定条件按k是奇数和偶数分类，借助诱导公式化简计算即得. 【详解】因，则当k是奇数时，， 当k是偶数时，， 所以 故选：B 变式6-2．黑洞原指非常奇怪的天体，它体积小，密度大，吸引力强，任何物体到了它那里都别想再出来，数字中也有类似的“黑洞”，任意取一个数字串，长度不限，依次写出该数字串中偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数，把这三个数从左到右写成一个新数字串；重复以上工作，最后会得到一个反复出现的数字，我们称它为“数字黑洞”，如果把这个数字设为a，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得数字黑洞为123，然后利用诱导公式即得. 【详解】根据“数字黑洞”的定义，任取数字2021，经过一步之后为314，经过第二步之后为123，再变为123，再变为123， 所以数字黑洞为123，即， ∴. 故选：D. 变式6-3．化简： . 【答案】 【分析】根据诱导公式化简计算即可求解. 【详解】. 故答案为： 变式6-4．已知扇形的半径为r，弧长为l，若其周长为6，当该扇形面积最大时，其圆心角为，则 ． 【答案】/ 【分析】根据扇形的面积公式结合均值不等式得到，再利用诱导公式化简得到答案. 【详解】根据题意：，故， ， 当，即时等号成立. . 故答案为：. 压轴专练 1.若，则为（    ）. A．第一、四象限的角 B．第二、三象限的角 C．第一、三象限的角 D．第二、四象限的角 【答案】A 【分析】利用三角函数与象限角的符号关系，就可以作出判断. 【详解】由可知，同号， 所以为第一象限的角和第四象限的角， 故选：A. 2.已知是三角形的内角，若，则的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将两边平方，求出，即可得到且，最后根据计算可得. 【详解】因为，所以， 即，所以，即， 又是三角形的内角，所以，则， 所以. 故选：A 3.质点P和Q在以坐标原点O为圆心，半径为1的上逆时针作匀速圆周运动，同时出发.P的角速度大小为，起点为与x轴正半轴的交点；Q的角速度大小为，起点为射线与的交点.则当点与重合时，点的坐标不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设两质点重合时，所用时间为，则重合点坐标为，通过题意得到，结合周期性逐一代入判断即可. 【详解】设两质点重合时，所用时间为，则重合点坐标为， 由题意可知，两质点起始点相差角度为， 则，解得， 若，则，则重合点坐标为， 若，则，则重合点坐标为，即， 若，则，则重合点坐标为，即， 根据周期性可知，其余重合点与上述点重合. 故选：D 4.在中，，以为圆心，为半径作圆弧交于点，若弧等分的面积，且弧度，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析题意，首先设出扇形的半径，表示出扇形的面积和直角三角形的面积，列方程即可求得. 【详解】设扇形的半径为r，则扇形的面积为. 直角三角形POB中，，△POB的面积为. 由题意得，所以. 故选：B 5.若，，则的值为（    ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同角三角函数的基本关系及诱导公式求解. 【详解】由可得：， 平方得： 所以， 解得或， 又， 所以， 故， 故选：C 6.设，若是角的终边上一点，则下列各式恒为负值的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解法一：利用极限的思想判断角的大小即可判断正负. 解法二：利用三角函数的定义，求出角的三角函数值，再根据确定正负性. 选项A可根据进行判定；选项C可由正切的范围进行判定；选项B，D可由三角函数值的正负性进行判定. 【详解】解法一：当，则判断即可. 解法二：由题知，，，，. 其中为点到原点的距离. ， 因为，所以的取值可正可负可为0，故的取值可正可负可为0. 故选项A错误； ， 因为，，所以恒成立. 故选项B正确； 因为，当时，有. 又时，，. 故选项C错误； 因为，，所以. 故选项D错误. 故选：B. 7.“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号．如图是折扇的示意图，其中，，M为的中点，则扇面（图中扇环）部分的面积是 ．    【答案】 【分析】利用扇形面积公式去求扇环部分的面积即可. 【详解】设线段的中点为，则.    故答案为： 8.化简： . 【答案】 【分析】根据诱导公式化简可得结论. 【详解】由诱导公式可得，， ，， ，， 所以. 故答案为：. 9.若，则 . 【答案】1 【分析】根据同角三角函数的平方关系化解得，再将化解为即可. 【详解】因为,且， 所以， 所以. 故答案为：. 10.已知，是关于x的方程的两个实根，且，则 ， ． 【答案】 2 /0.5 【分析】根据韦达定理可得，进而可得方程的根，即可利用齐次式求解. 【详解】根据根与系数的关系得， ，∴． 而，∴，． 则，∴， 故，故，因此， ． 故答案为：2；． 11.已知及是关于的方程的两个实根，求的值． 【答案】. 【分析】由，可得，求出的值，再化简为即可求解. 【详解】因为 与 是关于 的方程 的两个实根， ， 将 两边平方可得： ， 即 整理得： ， 解得或， 当时原方程化为无解，舍去， 经检验符合题意， . 12.已知角的终边在第四象限. （1）试分别判断、是哪个象限的角； （2）求的范围. 【答案】（1）是第二或第四象限的角，是第三或第四象限或轴的非正半轴的角；（2）（）. 【分析】（1）先写出的范围，再求出和的范围，即可求解； （2）由写出的范围，再求出的范围，再判断即可. 【详解】是第四象限的角， ， ， 当时， 此时是第二象限； 当时， 此时是第四象限； 又 此时是第三象限或第四象限或轴的非正半轴； （2） 13.如图，有一个扇环形花圃，外圆弧的半径是内圆弧半径的两倍，周长为定值，圆心角的绝对值为． (1)当为多少弧度时，扇环面积最大，并求出最大面积； (2)当时，求弧的中点到弦的距离 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）设半径为，由弧长公式及周长得，根据扇形面积公式结合基本不等式可求得扇环的最大值 （2）利用垂径定理结合解直角三角形可得． 【详解】（1）设内圆弧半径为，则， 所以， 所以，则， 所以， ， 当且仅当，即，取得最大值 （2）设交于，则由垂径定理得， ， 由（1）知，， 所以， 所以 14.设，已知，且关于的一元二次方程的两实根分别为和． (1)求的值； (2)分别求和的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据韦达定理，结合同角公式的商数关系化简计算即可求解； （2）根据与的关系求出，结合完全平方公式计算即可求解. 【详解】（1）因为为一元二次方程的两个实根， 所以. . （2）由（1）知，， 则， 即，解得； 所以，由，知， 所以， 由，所以， 所以. 15.如图，已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，为角终边与单位圆的交点，将角的终边绕点按逆时针方向旋转后得到角，此时点旋转至点. (1)求的值； (2)求的值 (3)求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用三角函数的定义，即可得到答案； （2）根据题意得到，利用三角函数的定义和诱导公式，即可得出答案. （3）利用诱导公式，准确化简，即可得出答案. 【详解】（1）因为为角终边与单位圆的交点， 根据三角函数的定义，可得，. （2）因为为角终边与单位圆的交点， 根据三角函数的定义可得，， 因为将角的终边绕点按逆时针方向旋转后得到角，可得， 所以，， 所以. （3）因为，， ，， 所以 16.（1）是否存在实数，使，使，，且是第二象限角？若存在，请求出实数；若不存在，情说明理由. （2）若，，求的值. 【答案】（1）不存在，理由见解析；（2） 【分析】（1）假设存在实数，根据是第二象限角，可得、求出参数的取值范围，再根据平方关系求出参数的值，得出矛盾，即可说明； （2）首先求出，再通分计算可得. 【详解】解：（1）假设存在实数，使，， 因为是第二象限角， 所以，，解得， 又，即，解得， 与矛盾，故不存在实数满足题意； （2）因为，所以， ， ． ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $