专题03 导数及其应用（期中复习知识清单，11常考题型4易错2技巧）高二数学下学期沪教版

专题03 导数及其应用 导数的概念及意义 1. 平均变化率 对于函数，自变量从变化到（），函数值的变化量为，则平均变化率为： 几何意义：表示函数图像上两点与连线的斜率。 2. 导数的定义（瞬时变化率） 设函数在附近有定义，当时，若平均变化率的极限存在，则称函数在处可导，该极限即为函数在处的导数，记作或，即： 补充：若函数在区间内每一点都可导，则称函数在该区间内可导，导数值构成的新函数称为导函数，记作或。 3. 导数的几何意义 函数在处的导数，就是曲线在点处的切线斜率。 切线方程：若存在，则曲线在该点的切线方程为：（必过切点）。 易错提醒：已知切线过某点，该点不一定是切点，需先设切点坐标再求解。 导数的运算 1. 基本初等函数的导数公式（核心必记） 常数函数：（为常数），则 幂函数：（为实数），则 指数函数：，则；（且），则 对数函数：（），则；（，且），则 三角函数：，则；，则 2. 导数的四则运算法则 设、均可导，且，则： 和差法则： 乘积法则：（口诀：前导后不导 + 前不导后导） 商法则：（口诀：上导下不导 - 上不导下导，除以下平方） 3. 复合函数求导（链式法则，易错核心） 若，，且、均可导，则复合函数的导数为： （即外层函数导数乘以内层函数导数） 示例：求的导数，令，则。 导数的应用 1. 利用导数研究函数的单调性 设函数在区间内可导，则： 若在内恒成立，则在内单调递增； 若在内恒成立，则在内单调递减； 若在内恒成立，则在内为常数函数。 注意：研究单调性需先确定函数的定义域，再解不等式或，得到单调区间。 2. 利用导数研究函数的极值 （1）极值的定义：设函数在附近有定义，若对附近的所有（），都有，则称为函数的极大值，为极大值点；若都有，则称为函数的极小值，为极小值点（极值是局部性质）。 （2）极值的判定条件（核心）： 必要条件：若是的极值点，且存在，则（即极值点必为驻点，但驻点不一定是极值点，如，，但不是极值点）； 充分条件：若，且在两侧的符号发生变化，则是极值点： 左侧，右侧，则为极大值点； 左侧，右侧，则为极小值点。 （3）求极值的步骤： 求函数的定义域； 求导函数； 令，求解得到驻点，同时找出不存在但函数有定义的点； 判断上述点两侧的符号，确定极值点； 将极值点代入原函数，计算极值。 3. 利用导数研究函数的最值 （1）最值的定义：函数在区间上的最大值（最小值）是指对区间内所有，都有（），（）为最值点（最值是区间整体性质）。 （2）闭区间上函数最值的求法（核心）： 求函数在闭区间上的定义域； 求在区间内的驻点和不存在的点； 计算上述点以及区间端点、对应的函数值； 比较所有函数值的大小，最大的即为最大值，最小的即为最小值。 注意：开区间内的函数不一定存在最值，若存在，必在极值点处取得。 4. 导数的实际应用（优化问题） 核心思路：将实际问题转化为函数最值问题，步骤如下： 设自变量（根据实际问题确定取值范围）； 根据题意建立目标函数； 求导函数，找出驻点和不可导点； 判断驻点是否为最值点，计算最值； 回归实际问题，给出答案（如成本最小化、利润最大化、用料最省等）。 高频易错点汇总 导数为0≠极值点：需满足“驻点+两侧导数符号变化”才是极值点； 极值点≠导数存在：如，在处有极小值，但导数不存在； 复合函数求导漏乘内层导数：务必遵循链式法则，先导外层再导内层，相乘得到结果； 求单调性、极值、最值时忽略定义域：定义域是所有运算的前提； 切线方程易错：已知切线过某点，需先判断该点是否为切点，非切点需设切点求解； 闭区间求最值漏算端点值：端点函数值必须参与最值比较。 导数定义中极限的简单计算 【例1】（24-25高二下·上海浦东新·期中）若函数在处可导，且，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据导数的定义及极限的相关运算性质计算可得. 【详解】因为，所以， 又函数在处可导， 所以. 故选：D 【变式1】（24-25高二下·上海·期中）设函数在点处可导，且，则的值为（   ） A．2 B．4 C．0 D． 【答案】B 【分析】由导数的概念求解即可. 【详解】由. 故选：B. 【变式2】（24-25高二下·上海黄浦·期中）设函数的导函数为，若，则_____． 【答案】4 【分析】利用导数的定义求解即可. 【详解】由题设， 所以. 故答案为：4. 【变式3】（24-25高二下·上海·期中）已知函数在处可导，且，则________. 【答案】 【分析】根据导数的定义及极限的简单运算计算可得. 【详解】因为， 所以， 所以. 故答案为： 求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【例2】（24-25高二下·上海杨浦·期中）设曲线在点处的切线为l.则以下说法正确的个数是（    ） ①l与曲线可能没有交点 ； ②l与曲线一定只有一个交点；③l与曲线不可能有且仅有两个交点；④l与曲线可能有无穷多个交点 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】根据切线的定义，结合直线与曲线的位置关系，即可判断. 【详解】①因为直线为曲线在点处的切线，所以至少有交点，故①错误； ②有可能切线与曲线有其他的交点，故②错误； ③切线与曲线有可能除切点外，还有1个交点，即仅有两个交点，故③错误； ④切线与曲线有可能有无穷多个交点，比如与，故④正确. 故选：B 【变式1】（24-25高二下·上海·期末）设函数图像上任意一点处的切线为，总存在函数图像上一点处的切线，使得，则实数的最小值是______． 【答案】/ 【分析】求出两个函数的导函数的值域后结合包含关系可求实数的最小值. 【详解】由题设有， ， 故，， 故， 因为函数图像上任意一点处的切线为， 总存在函数图像上一点处的切线，使得， 故为的子集， 所以，解得，故实数的最小值是， 故答案为：. 【变式2】（24-25高二下·上海徐汇·期中）已知函数图像在点处的切线方程是，则_________． 【答案】 【分析】结合导数的定义求解即可. 【详解】因为函数图像在点处的切线方程是， 则函数图像在点处的切线的斜率为 故答案为：. 【变式3】（24-25高二下·上海静安·期中）已知函数，则曲线在点处的切线方程为____________． 【答案】 【分析】求得，得到，进而求得切线的方程，得到答案. 【详解】由函数，可得，则， 即曲线在点处的切线的斜率为，切点坐标为， 所以曲线在点处的切线方程为. 故答案为：. 基本初等函数的导数公式 【例3】（24-25高二下·上海浦东新·期中）__________. 【答案】/ 【分析】根据导数的定义求极限即可. 【详解】由. 故答案为： 【变式1】（24-25高二下·上海徐汇·期中）设函数，其中，则_________． 【答案】/ 【分析】由基本初等函数的导数公式计算即可得答案. 【详解】因为，所以，则. 故答案为：. 【变式2】（24-25高二下·上海闵行·期中）曲线，则______． 【答案】/ 【分析】根据导数的定义求解即可. 【详解】由导数的定义可知：， 又，∴，. 故答案为：. 【变式3】（24-25高二下·上海·期中）已知函数，则______． 【答案】 【分析】求出函数的导数，再利用导数的定义求解即得. 【详解】函数，求导得， 所以. 故答案为： 导数的运算法则 【例4】（24-25高二下·上海·期中）曲线在处的切线斜率为_________． 【答案】 【分析】求导，然后分别计算在处的函数值和导数值，最后可得结果. 【详解】由题可知：，所以， 所以曲线在处的切线斜率为2 故答案为：2 【变式1】（24-25高二下·上海浦东新·期中）若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是____________． 【答案】 【分析】设出切点横坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得的取值范围. 【详解】∵， ∴，设切点为，则， 切线方程为：， ∵切线过原点， ∴， 整理得：， ∵切线有两条，∴， ∴的取值范围是， 故答案为： 【变式2】（24-25高二下·上海·期中）曲线在处的切线方程为________． 【答案】 【分析】利用导数的几何意义结合直线的点斜式方程即可求得答案. 【详解】由题意得，当时，， 所以曲线在处的切线方程为，即， 故答案为：. 【变式3】（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知函数． (1)求在区间上的平均变化率； (2)求曲线在处的切线． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平均变化率的定义计算可得； （2）求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而求出切线方程； 【详解】（1）因为，所以，， 所以在区间上的平均变化率为； （2）因为，所以， 所以， 所以切点为，切线的斜率， 所以曲线在处的切线为，即. 简单复合函数的导数 【例5】（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知函数，则______． 【答案】或-0.5 【分析】根据函数在某点处导数的定义，结合所给函数的导数公式进行求解. 【详解】根据函数的导数定义， 表示的是函数在处的导数. 根据复合函数求导法则，. 所以. 故答案为：. 【变式1】（24-25高二下·上海宝山·期中）函数 在 处的切线方程为_____ 【答案】 【分析】先求出，再利用导数的意义求出切线的斜率，由点斜式得到直线方程即可. 【详解】， ，， 所以函数 在 处的切线方程为，即. 故答案为：. 【变式2】（24-25高二下·上海嘉定·期中）已知函数，则_____. 【答案】 【分析】求出，结合导数的概念可求得的值. 【详解】因为，则，由导数的概念可得. 故答案为：. 【变式3】（24-25高二下·上海·期中）某个弹簧振子在振动过程中的位移（单位：）与时间（单位：）满足关系，其中. (1)求的导数； (2)计算，并解释它的实际意义. 【答案】(1) (2)，实际意义见解析 【分析】（1）利用复合函数的求导法则即可得解； （2）将代入（1）中导数，再利用导数的意义解释即可. 【详解】（1）因为， 令，则可以看作和的复合函数， 根据复合函数的求导法则，有 . （2）由（1）得， 它表示当时，弹簧振子振动的瞬时速度为． 用导数判断或证明已知函数的单调性 【例6】（24-25高二下·上海·期中）已知函数在区间上可导，则“函数在区间上是严格增函数”是“对任意的成立”的______条件.（请填写“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既非充分又非必要”中的一个） 【答案】充分非必要 【分析】利用推出思想来判断充要性，非必要性时可以举反例. 【详解】在函数在区间上可导的条件下， 由“函数在区间上是严格增函数”一定可以推出“对任意的成立”，故满足充分性， 反之：例举，此时，满足“对任意的成立”， 但是此时不是严格增函数，故非必要性， 所以“函数在区间上是严格增函数”是“对任意的成立”的充分不必要条件， 故答案为：充分不必要. 【变式1】（24-25高二下·上海宝山·期中）设是定义在R上的偶函数，为其导函数，，当时，有恒成立，则不等式的解集为______. 【答案】 【分析】构造，求定义域，求导，得到在上单调递增，结合，得到时，，故，求出为奇函数，故在上单调递增，故当时，，故，得到不等式解集. 【详解】令，的定义域为， 则， 时，恒成立，故， 所以在上单调递增， 又，所以， 故当时，，， 当时，，， 当时，，故， 是定义在R上的偶函数，故， 所以， 所以为奇函数，故在上单调递增， ，故， 当时，，， 故当时，，， 当时，，故， 综上，不等式的解集为. 故答案为： 【变式2】（24-25高二下·上海·期中）由所有连续且在定义域内导函数存在的全体函数构成的集合，记为.则以下命题为真命题的序号是______. ①对于任意的，若为奇函数，则为偶函数； ②存在，使得为非奇非偶函数，但为奇函数或偶函数： ③对于任意的，若为减函数，则为增函数； ④存在，使得在定义域上单调，但在定义域上不单调. 【答案】①②④ 【分析】两边求导可判断①；设可判断②；举反例可判断③；设可判断④. 【详解】对①，若为奇函数，则， 两边求导得，即，所以为偶函数，①正确； 对②，不妨设，因为，所以为非奇非偶函数， 但为偶函数，②正确； 对③，不妨设，易知为减函数，但不是增函数，③错误； 对④，设，则单调递增，但在定义域上不单调，④正确. 故答案为：①②④ 【变式3】（24-25高二下·上海闵行·期中）已知是定义在上的偶函数，且当时，，则满足的的取值范围是________. 【答案】 【分析】令，求得，根据题意，得到在单调递增，再由函数是上的偶函数，把不等式转化为，得出不等式，求得不等式的解集，即可得到答案. 【详解】令，可得， 当时，，可得，所以单调递增； 又因为是上的偶函数，可得的图象关于轴对称， 因为不等式， 即，即，即， 所以，可得，所以， 解得或，即的取值范围是. 故答案为：.. 函数（导函数）图像与极值点的关系 【例7】（24-25高二下·上海·期中）如图，已知直线与曲线相切于两点，则有（    ）． A．1个极大值点，2个极小值点 B．2个极大值点，1个极小值点 C．3个极大值点，无极小值点 D．2个极小值点，无极大值点 【答案】A 【分析】作出与直线平行且与的图象相切的直线，即可结合图象判断的正负性，从而判断函数单调性，从而求得函数极值点的个数. 【详解】作出与直线平行且与的图象相切的直线， 设切点的横坐标从小到大依次为， 则方程有三个根，即， 因， 则结合图象可知， 当时；时，； 时，；时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增， 故和为极小值点，为极大值点， 故有个极小值点，个极大值点. 故选：A. 【变式1】24-25高二下·上海·期中）已知函数的大致图象如图所示，则不等式的解集为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出函数的导函数，由可知是函数的极小值点，则，即可求出的值，即可求出函数解析式，再检验，最后再解不等式. 【详解】函数，则， 由图象可知，是函数的极小值点，则，解得， 此时，所以， 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，则是函数的极小值点，符合题意；， 所以不等式，即，解得， 所以不等式的解集为． 故选：C． 【变式2】（24-25高二下·上海嘉定·期中）函数的导函数的图像如图所示，则下列说法正确的是_____. ①函数在区间上严格递减； ②； ③函数在处取极大值； ④函数在区间内有两个极小值点. 【答案】②④ 【分析】先由图得函数的单调性，进而逐一判断即可. 【详解】由图可知，当时，，当时，， 当时，，当时，， 所以函数在 区间递增上，在区间上递减，故①错误，②正确； 所以的极小值点为和，极大值点为，故③错误，④正确. 故答案为：②④. 【变式3】（24-25高二下·上海静安·期中）已知函数，其导函数的图象如图所示，则下列所有真命题序号为：____________． ①在区间上严格增；②是的极小值点； ③在区间上严格增，在区间上严格减；④是的极小值点． 【答案】 【分析】已知导函数的图象，结合图象可识别导数值的正负，从而判断函数的单调情况，由变号零点的先负后正或先正后负判断极小或极大值点即可得解. 【详解】当时，，此时，函数单调递减，①错误； 时，，函数单调递减，时，，函数单调递增， 则是的极小值点，②正确； 时，，函数单调递增，时，，函数单调递减， 则是的极大值点，③正确，④错误. 故答案为： 由导数求函数的最值（不含参） 【例8】（24-25高二下·上海·期中）函数，的最小值是________. 【答案】 【分析】求出函数的导函数，即可求出函数的单调性，求出端点处的函数值，即可得解. 【详解】因为，，所以， 所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又，， 所以. 故答案为； 【变式1】（24-25高二下·上海闵行·期中）若恒成立，求的最小值为______． 【答案】/ 【分析】变形恒成立的不等式并构造函数，求出函数的导数，根据函数的单调性求出的最小值，进而利用导数确定的最小值即可． 【详解】不等式恒成立， 即恒成立， 令函数，即函数恒成立， 求导得， 由，得，令，函数在上递增， 当时，；， 则存在唯一，使得，即， 当时，；当时，，函数在上递减，在上递增， 因此 ， 由恒成立，得，即， ， 令，，则， 当时，，当时，，在上递减，在上递增， 因此，当，即，时，. 故答案为： 【变式2】（24-25高二下·上海·期中）已知函数，其图象在点处的切线方程为. (1)求函数的解析式； (2)求函数在区间上的最值. 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 【分析】（1）先求出，得出，再根据题目条件列出方程组，解出即可解答. （2）先利用导数判断函数的单调性，得出极小值和极大值；再计算端点处的函数值，，与极大值和极小值进行比较即可解答. 【详解】（1）由可得. 所以在点处切线的斜率为， 因为在点处切线方程为， 所以切线的斜率为，且， 所以，即，解得， 所以． （2）由（1）知， 则. 令得或， 所以当时单调递增，当时单调递减，当时单调递增. 所以在处，取得极大值，在处取得极小值. 又因为， ， 所以在上的最大值为，最小值为． 【变式3】（24-25高二下·上海·期中）已知函数 (1)求函数在点处的切线方程； (2)求的最小值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用导数的几何意义，结合，直接写出切线方程即可； （2）根据的正负，判断的单调性，即可求得的最小值. 【详解】（1）因为，故可得，，， 所以在点处的切线方程为：，即. （2），，令，解得， 故当，，单调递减；当，，单调递增； 又，故的最小值为. 利用导数研究不等式恒成立问题 【例9】（24-25高二下·上海徐汇·期中）已知，，，，使恒成立的有序数对有________对． 【答案】 【分析】只需恒成立，设当和时，求出函数的最小值即得解. 【详解】由题得函数定义域为， 要想恒成立， 只需恒成立， 只需恒成立， 设， 所以当时，， 令，解得或，令，解得, 又,所以在上单调递减，在上单调递增， 则，使恒成立的b可取1； 所以当时，， 令，解得或，令，解得, 又,所以在上单调递减，在上单调递增， 则，使恒成立的b可取1，2，3， 所以一共有共4种. 故答案为：4. 【变式1】（24-25高二下·上海·期中）已知函数，. (1)求的单调区间； (2)若，曲线在，两点（不重合）处的切线互相垂直，垂足为，两切线分别交轴于，两点，设面积为，若恒成立，求的最小值. 【答案】(1)当时，函数在单调递增； 当时，函数在单调递增，在单调递减. (2) 【分析】（1）求导函数，分和讨论函数的单调性即可； （2）设，求过两点的切线方程，根据两条切线相互垂直得，进而得到，再求出，根据的范围得出的范围，最后根据恒成立求出的最小值. 【详解】（1）由题意，函数的定义域为， ， 则导数， 当时，恒成立， 则函数在单调递增； 当时，令，则，即函数在单调递增； 令，则，即函数在单调递减. 综上所述，当时，函数在单调递增； 当时，函数在单调递增，在单调递减. （2）由函数， 设， 对求导得， 所以函数在点处的切线方程为. 令，则，即. 对求导得， 所以函数在点处的切线方程为. 令，则，即. 又因为两条切线垂直， 所以，即， 所以， 联立， 因为，即， 所以，解得， 因为， 又，根据基本不等式， 所以, 由恒成立，则， 所以的最小值为. 【变式2】（24-25高二下·上海·期中）已知函数，的图象在处的切线为． (1)求函数的解析式； (2)设，比较与大小关系，并说明理由； (3)若对任意的，对任意的恒成立，求满足条件的最大整数的值． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)． 【分析】（1）根据以及即可求得； （2）研究的单调性，得出即可； （3）利用参变分离构造函数，只需求其最小值即可. 【详解】（1）由得，， 因函数的图象在处的切线为，则， 因切点为，则，则， 故 （2） 则， 则得，得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则， 因此，对任意成立． （3）， 因对任意的恒成立，则， 即对任意的恒成立， 令，则， 则得，得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则， 则，即，故最大整数． 【变式3】（24-25高二下·上海·期中）已知函数 . (1)求曲线 在点 处的切线方程； (2)求 的单调区间; (3)设 ，若 对于 恒成立，求 的最大值. 【答案】(1) (2)减区间是，增区间是； (3)的最大值为. 【分析】（1）根据导数的几何意义，即可求解； （2）首先求函数的导数，根据导数的正负，判断函数的单调区间； （3）首先根据（2）的结果解不等式，再转化不等式，利用参变分离，转化为函数最值问题，即可求解. 【详解】（1），，， 所以曲线在点处的切线方程为； （2）， 当时，，，所以，所以在区间上单调递减， 当时，，，所以，所以在区间上单调递增， 所以函数的减区间是，增区间是； （3），，则，， 由（2）可知，，即，即，即, 当时，，设， 设，得， 当时，，单调递减，当，，单调递增， 所以函数在的最小值是，则， 当时，恒成立， 当时，，，所以恒成立， 综上可知，，所以的最大值为. 利用导数研究函数的零点 【例10】（24-25高二下·上海闵行·期中）已知函数有三个零点，则实数的取值范围是_______. 【答案】 【分析】当时，令，得到有2个零点；当时，转化为，在有1解，令，可得，再令，得到，求得函数的单调性，得到，进而得到在上单调递减，得到不等式，即可求解. 【详解】当时，令，解得或，有2个零点； 当时，令，即，在有且仅有1解， 令，可得， 令，可得， 当时，可得；当时，可得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以时，恒成立，即，所以在上单调递减， 又由，，所以，解得. 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式1】（24-25高二下·上海·期中）已知，若函数恰有四个零点，则实数k的取值范围是__________. 【答案】 【分析】分离参数可得，判断的单调性，计算极值，作出的函数图象，根据直线与的图象有四个交点得出k的范围. 【详解】当时，， 令，可得：， 令， 则， 对于函数，对称轴为，所以函数在上单调递减，当时，. 所以，当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减. 又因为当时，；当时，取得极小值； 当时，；当时，， 作出函数的大致图象如图所示： 因为函数恰有四个零点，所以直线与的图象有四个交点， 所以， 故答案为：. 【变式2】（24-25高二下·上海·期中）设且，，. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若函数有两个不同的驻点，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由导数的几何意义可得切线斜率，由点斜式可得切线方程； （2）对求导，令导函数为0，然后用根的判别式计算的取值范围. 【详解】（1）因为，求导得， 令代入，曲线在点处的切线方程为. （2）因为且，， 求导得， 且因为定义域为，函数有两个不同的驻点， 故在有两个不同正解，令，故， 设两个不同正解分别为和， 即，解得，即. 【变式3】（24-25高二下·上海嘉定·期中）已知，. (1)求的最大值； (2)设，试根据的不同取值，讨论关于的方程解的个数； (3)求证：有且只有两条直线与曲线、均相切. 【答案】(1)最大值为-2 (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）先求导得，利用导数研究单调性，进而求得最大值； （2）由得，即，由（1）即可作出的图像，利用数形结合即可求解； （3）假设直线与曲线、均相切，与相切于，与相切于，由题意有，消去得，令，利用导数研究单调性即可求证. 【详解】（1）有题意有，定义域为， 所以，令，解得或（舍去）， 当时，，函数严格增； 当时，，函数严格减， 故当时，函数取到最小值，最大值为-2. （2）令， ，即，由（1），在上严格增，在严格减， 又，， ，， 图像如图，求方程解得个数即求直线与图像的交点个数， 当时，有两个交点，即方程有2个解； 当时，有一个交点，即方程有1个解； 当时，有零个交点，即方程有0个解； （3）假设直线与曲线、均相切，与相切于， 与相切于， ，，则， 消去得，令， 则，令得或，又，所以， 当，，严格增， 又，， 则，，，有唯一零点； 当，，严格减， 又，， 则，，，有唯一零点， 综上所述，在区间和各有一个零点， 即证有且只有两条直线与曲线、均相切. 利用导数解决实际问题 【例11】（24-25高二下·上海·期中）某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元的管理费，预计当每件产品的售价为x元时，一年的销售量为万件. (1)用解析法表示分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x之间的函数； (2)求分公司一年的利润L的最大值M关于实数a的函数. 【答案】(1)， (2). 【分析】（1）根据给定函数模型写出解析式. （2）由（1）中函数，求出导数，利用导数求出最大值. 【详解】（1）依题意，，. （2）由（1）知，，， ， 令，解得，， 当时，，当时，，在上严格单调递减， 时，的最大值为，即； 当时，，当时，，在上严格单调递增， 当时，，在上严格单调递减， 则当时，的最大值为，即， 所以. 【变式1】（24-25高二上·上海·期中）一块边长为12cm的正三角形薄铁片，按如图所示设计方案，裁剪下三个全等的四边形（每个四边形中有且只有一组对角为直角），然后用余下的部分加工制作成一个底面边长为xcm的“无盖”正三棱柱形容器，容积记为Vcm3. (1)若加工人员为了充分利用边角料，考虑在加工过程中，使用裁剪下的三个四边形材料恰好拼接成这个正三棱柱形容器的“顶盖”，求出此时x的值； (2)将V表示为x的函数，并求V的最大值. 【答案】(1) (2),,最大值为 【分析】（1）由剪下的三个四边形是全等四边形组成与底面三角形全等的图形，即可得出的值； （2）结合平面图形数据及三棱柱直观图求得三棱柱的高和底面积，计算三棱柱容器的容积，求出最大值即可． 【详解】（1）由题意知，剪下的三个四边形是全等四边形，且这三个全等的四边形组成与底面三角形全等三角形， 所以，解得，即的值为； （2）结合平面图形数据及三棱柱直观图，求得三棱柱的高为， 其底面积为， 所以三棱柱容器的容积为，； 求导数得，令，解得或（舍去）， 所以时，，单调递增，时，，单调递减； 所以时，取得最大值，为， 所以的最大值为． 【变式2】（24-25高二下·上海嘉定·期中）某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元()的管理费，预计当每件产品的售价为x元() 时，一年的销售量为 万件． (1)求分公司一年的利润L (万元)与每件产品的售价x的函数关系式(并写出函数的定义域)； (2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q(a)． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）通过利润＝每件产品利润×售价，代入计算即可． （2）通过利润表达式求导函数，由a的范围分类讨论原函数的单调性，并求出a在不同范围内的利润的最值即可． 【详解】（1）分公司一年的利润（万元）与售价的函数关系式为：． （2）． 令得或（不合题意，舍去）． ，．在两侧的值由正变负． 所以当即时， ． 当即时，， 所以 答：若，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润最大，最大值（万元）； 若，则当每件售价为元时，分公司一年的利润最大，最大值（万元）． 【变式3】（24-25高二上·上海闵行·期中）高二学农期间，某高中组织学生到工厂进行实践劳动.在设计劳动中，某学生欲将一个底面半径为，高为的实心圆锥体工件切割成一个圆柱体，并使圆柱体的一个底面落在圆锥体的底面内. (1)求该圆柱的侧面积的最大值； (2)求该圆柱的体积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设圆柱的半径为，高为，由题意得，用表示，计算圆柱的侧面积，利用基本不等式求出侧面积的最大值． （2）写出圆柱的体积解析式，利用导数求出圆柱体的最大体积． 【详解】（1）设圆柱的半径为，高为， 则由题意可得，解得， 所以圆柱的侧面积为，， 因为， 当且仅当，即时取“”，所以圆柱的侧面积最大值为． （2）圆柱的体积为， 求导，得， 令，解得或（不合题意，舍去）， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 当时，取最大值， 所以圆柱体的最大体积为． 混淆平均变化率与瞬时变化率（导数） 【例1】（24-25高二下·上海·期中）下列命题正确的是 （   ） A．平均变化率: 就是图象上两点 连线的斜率 B．函数的导数越小， 函数的变化越慢， 函数的图象就越 “平缓” C．若某质点运动的位移 (单位: 米) 与时间 (单位: 秒) 之间的函数关系为 ，则该质点在 秒时的瞬时速度为 米/秒 D．已知函数 在 上可导，若 ，则 【答案】A 【分析】根据导数的几何意义，物理意义，定义，即可判断选项. 【详解】A.根据平均变化率的定义，对于函数，在区间上的平均变化率，从几何意义上讲，就是函数图象上两点连线的斜率，故A正确； B.导数的几何意义是函数在某一点处的切线的斜率，反映函数的变化快慢，应该是函数的导数的绝对值越小，说明函数在某点处切线斜率的绝对值越小，即函数的变化越慢，函数的图象就越平缓，故B错误； C.，，所以该质点在秒时的瞬时速度为米/秒，故C错误； D.已知函数在上可导，若， 即，所以，故D错误. 故选：A 【变式1】（24-25高二下·上海静安·期中）某质点沿直线运动，位移（单位：m）与时间（单位：s）之间的关系满足，其中，则该质点在时的瞬时速度为____________m/s． 【答案】7 【分析】根据题意，求导可得，代入计算，即可得到结果. 【详解】由可得，则， 即质点在时的瞬时速度为m/s． 故答案为： 【变式2】（24-25高二下·上海·期中）一质点做直线运动，若它所经过的路程与时间的关系为的单位：，的单位：，则时的瞬时速度为______． 【答案】 【分析】利用导数的几何意义，结合物理相关知识即可得解. 【详解】因为，所以， 则该质点在时的瞬时速度为. 故答案为：. 【变式3】（24-25高二下·上海·期中）函数在区间上的平均变化率为______． 【答案】 【分析】根据平均变化率的公式，代入计算即可. 【详解】根据题意，， 在区间上，有，， 则其平均变化率. 故答案为：. 误解导数的几何意义 【例2】（24-25高二下·上海杨浦·期中）若曲线 在点 处的切线与直线 垂直，则实数 （    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据导数的几何意义求出该切线的斜率，结合线线的位置关系建立关于的方程，解之即可求解. 【详解】由题意知，， 所以该切线的斜率为， 又该切线与直线垂直， 所以，解得. 故选：B 【变式1】（24-25高二下·上海·期中）已知 ，函数在点处切线的斜率是4，则实数_____． 【答案】 【分析】根据导数的几何意义列方程，求解即可. 【详解】由题意，， 因为函数在点处切线的斜率是4， 所以，解得. 故答案为：. 【变式2】（24-25高二下·上海黄浦·期中）已知曲线． (1)求曲线在处的切线方程； (2)求的极值． 【答案】(1) (2)极大值，极小值 【分析】（1）根据题意结合导数的几何意义可知，再由点斜式方程即可得出答案； （2）利用导数考查函数的单调性，求出极值点，进一步计算即可. 【详解】（1）由题意可知：，则 因为曲线在处的切线的斜率为， 又因为， 所以曲线在处的切线方程：， 化简可得：. （2）因为， 当时，；当时，； 可知函数的单调递增区间为和； 函数的单调递减区间为， 的极大值为，的极小值为. 【变式3】（24-25高二下·上海徐汇·期中）已知，． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)设，若，求时函数的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据导数的几何意义确定切线斜率与切点纵坐标，从而得函数的切线方程； （2）求导函数，根据已知条件确定函数的单调性即可得最值. 【详解】（1），则， 所以， 所以函数在处的切线方程为，即； （2）， 则，， 因为，则恒成立，所以函数在上单调递减， 所以. 导数四则运算法则误用 【例3】（24-25高二下·上海嘉定·期中）已知是定义域在上的函数，若对于任意，都有，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【分析】先根据导数的运算求出，再根据恒成立列不等式组求解即可. 【详解】由题意可得， 若对于任意，都有， 则，解得， 故答案为： 【变式1】（24-25高二下·上海·期中）已知函数和满足，函数满足，则______. 【答案】/ 【分析】根据商的导数的运算法则求解. 【详解】因为，所以， 所以. 故答案为： 【变式2】（24-25高二下·上海青浦·期中）已知函数，则的导函敎_____________. 【答案】 【分析】利用基本初等函数的导数公式以及导数的加法运算法则即可. 【详解】因，则 故答案为： 【变式3】（24-25高二下·上海·月考）函数的驻点为__________． 【答案】1 【分析】利用导数的四则运算法则对函数求导，令，求出满足题意的即可. 【详解】设函数，则的定义域为， 求导可得，令，解得或（舍去）. 所以，函数驻点为1. 故答案为：1. 利用导数判断单调性忽略定义域 【例4】（24-25高二下·上海·期中）函数的单调减区间是________. 【答案】/ 【分析】求出函数的定义域与导函数，再解关于导函数的不等式，即可得解. 【详解】函数的定义域为， 又， 令，解得，所以的单调递减区间为. 故答案为： 【变式1】（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知函数，又当时，，则关于的不等式的解集为________. 【答案】 【分析】构造函数，先判断函数的奇偶性，再利用导数判断函数的单调性，再根据函数的单调性和奇偶性解不等式即可. 【详解】由，得 设，所以，所以为R上的偶函数， 当时，， 因为当时，，所以当时，， 所以在区间上单调递增， 所以，即， 即， 等价于，即，解得， 所以关于的不等式的解集为. 故答案为：. 【变式2】（24-25高二下·上海闵行·期中）已知函数在区间上不单调，则实数a的取值范围为______. 【答案】 【分析】由于函数在区间上不单调，等价于函数在区间上存在极值点.对函数求导，对进行分类讨论，求出极值点，根据极值点在区间内，可得关于的不等式，即可求解. 【详解】∵，∴. 当时，，∴函数在上单调递增，不符合题意； 当时，令，解得；令，解得， ∵函数在上不单调，∴，解得. 故答案为：. 【变式3】（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知函数． (1)若，求的极小值； (2)讨论导函数的单调性． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）先求出函数的定义域，然后对函数求导，由导数的正负求出函数的单调区间，从而可求出函数的极小值； （2）先求出函数的定义域，然后对函数求导，再令，求出，再由的正负可求出的单调区间. 【详解】（1）当时，，的定义域为， 则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得极小值． （2）的定义域为， ， 令，则， 当时，恒成立，所以即在上单调递增． 当时，由，得，由，得， 所以即在上单调递减，在上单调递增. 复合函数求导（链式法则）速算 【例1】（24-25高二下·上海徐汇·期中）若曲线在与处的切线互相垂直，且两条切线的交点在直线上，则的值可能是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件可得，利用正弦函数的值域分析推得中必有一个为1，另一个为，由此确定，并求出，再作出图形数形结合求解判断. 【详解】函数，求导得, 曲线在与处的切线斜率分别为， 由两条切线互相垂直，得，而， 当且仅当中一个取1，另一个取时，它们的积为，不妨令，， 则，即， 此时,， 如图，设，则是以为直角顶点的等腰直角三角形， 由图知，， 则， 对于A，由，得不成立，A不是； 对于B，由，得不成立，B不是； 对于C，由，得不成立，C不是； 对于D，取，，D是. 故选：D 【变式1】（24-25高二下·上海·期中）设函数，则______． 【答案】 【分析】求，结合导函数的定义计算可得出答案. 【详解】因为，所以， 所以. 故答案为：. 【变式2】（24-25高二下·上海黄浦·期中）若函数的导函数为，则_____． 【答案】/ 【分析】求导，得到，再代入求出答案. 【详解】因为， 所以 故答案为：. 【变式3】（24-25高二下·上海·期中）已知． (1)求函数的单调减区间； (2)求函数的最小值，以及取最小值时自变量的取值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角函数的恒等式化简函数解析式，利用整体思想以及复合函数单调性，由正弦函数的单调区间，建立不等式组，可得答案； （2）利用求导法则求导，利用整体思想以及余弦函数的最值，建立方程，可得答案. 【详解】（1）， 令，其中， 解得，其中， 所以函数的单调减区间为. （2）， 易知当时，其中，函数取得最小值为， 所以函数取得最小值时，，其中. 极值点与最值快速求解 【例2】（24-25高二下·上海徐汇·期中）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（    ）． A．函数在点处的切线斜率小于零 B．函数在区间上严格增 C．函数在处取得极大值 D．函数在区间内至多有两个零点 【答案】D 【分析】根据导函数的图象，结合函数的切线斜率、单调性、极值、零点与导数的关系逐项判断即可得结论. 【详解】选项A:曲线在点处的切线斜率等于零，故A错误； 选项B:函数在区间上单调递减，故B错误； 选项C:函数在左右两侧都单调递减，函数在此处不取得极大值，故C错误； 选项D:函数在区间先单调递增，再单调递减，故在区间内内至多有两个零点，故D正确． 故选：D． 【变式1】（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知函数，其中正确结论的是（    ） A．当时，函数有最大值 B．对于任意的，函数是上的减函数 C．对于任意的，都有函数 D．对于任意的，函数一定存在最小值 【答案】D 【分析】对函数进行求导，根据导数的性质进行逐一判断即可. 【详解】， A：当时，，所以该函数是实数集上的增函数，故不存在最大值，不正确； B：当，时，因为，所以是上的增函数，因此不正确； C：当时，因为当时，，，所以对于任意的不恒成立，故不正确， D：当时，设，因为， 所以，因此是增函数，因为当，所以， 当时，，因此函数有唯一零点，设为， 因此当时，，即，此时函数在单调递减， 当时，，即，此时函数在单调递增， 因此当时，函数有最小值，正确， 故选：D 【变式2】（24-25高二下·上海·期中）已知函数在处取得极值，在点处的切线方程为. (1)求函数的解析式及单调增区间； (2)求函数在区间的最大值与最小值. 【答案】(1)，单调递增区间为和. (2)最大值为4，最小值为. 【分析】（1）先求导，根据函数取得极值计算参数，再根据导数的几何意义确定参数，从而得出解析式，结合导函数判定单调递增区级即可； （2）利用第一问结论结合端点值及极值确定最值即可. 【详解】（1）由，则， 因为函数在处取得极值，则，即， 此时，则， 令，得或；令，得， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减， 所以函数在处取得极小值，则， 又函数在点处的切线方程为， 则，所以， 单调递增区间为和. （2）由（1）知，函数在上单调递减，在上单调递增， 又，，， 所以函数的最大值为4，最小值为. 【变式3】（24-25高二下·上海宝山·期中）已知函数 . (1)当 时，求函数 的最小值； (2)证明方程 有且仅有一正一负根: (3)若关于 的不等式 恒成立，求实数 的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由题可得，判断导函数符号，可得函数的单调性，即可得函数的最小值； （2）问题转换成单调性结合零点存在性定理即可得答案； （3）令，求导得，然后分，两种情况讨论可得答案； 【详解】（1），     当，，单调递减， 当，，单调递增， ； （2）方程 可化简为， 方程的根就是函数 的零点， 由解析式易知在 ， 上单调递增， 因为 ， 所以函数在有唯一零点 ，且， 因为，，所以函数 在 有唯一零点 ，所以有且仅有一正一负根. （3）设， 则当时恒成立， ①由（1）得， 当时， ，，单调递减， ，，单调递增， .∴ ②当时，，这与矛盾， 综上，． 所以实数 的取值范围. 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 导数及其应用 导数的概念及意义 1. 平均变化率 对于函数，自变量从变化到（），函数值的变化量为，则平均变化率为： 几何意义：表示函数图像上两点与连线的______。 2. 导数的定义（瞬时变化率） 设函数在附近有定义，当时，若平均变化率的极限存在，则称函数在处______，该极限即为函数在处的导数，记作或，即： 3. 导数的几何意义 函数在处的导数，就是曲线在点处的______。 切线方程：若存在，则曲线在该点的切线方程为： 。 导数的运算 1. 基本初等函数的导数公式（核心必记） 常数函数：（为常数），则（ ） 幂函数：（为实数），则 （ ） 指数函数：，则；（且），则 （ ） 对数函数：（），则；（，且），则 （ ） 三角函数：，则；，则 （ ） 2. 导数的四则运算法则 设、均可导，且，则： 和差法则： 乘积法则： 商法则： 3. 复合函数求导（链式法则） 若，，且、均可导，则复合函数的导数为： 导数的应用 1. 利用导数研究函数的单调性 设函数在区间内可导，则： 若在内恒成立，则在内______； 若在内恒成立，则在内______； 若在内恒成立，则在内为______。 2. 利用导数研究函数的极值 （1）极值的定义：设函数在附近有定义，若对附近的所有（），都有，则称为函数的______，为______；若都有，则称为函数的______，为______。 （2）极值的判定条件： 必要条件：若是的极值点，且存在，则 ； 充分条件：若，且在两侧的______发生变化，则是极值点。 3. 利用导数研究函数的最值 闭区间上函数最值的求法： 求函数在闭区间上的______； 求在区间内的______和不存在的点； 计算上述点以及区间端点、对应的______； 比较所有函数值的大小，最大的即为______，最小的即为______。 4. 导数的实际应用（优化问题） 核心思路：将实际问题转化为______问题，步骤为：设自变量→建立______→求导找驻点→判断最值→回归实际。 高频易错点汇总 导数为0______（填“一定”或“不一定”）是极值点； 复合函数求导需遵循______法则，不可漏乘内层导数； 闭区间求最值______（填“需要”或“不需要”）计算端点函数值； 切线方程中，已知切线过某点，该点______（填“一定”或“不一定”）是切点。 导数定义中极限的简单计算 【例1】（24-25高二下·上海浦东新·期中）若函数在处可导，且，则（    ） A． B． C．1 D．2 【变式1】（24-25高二下·上海·期中）设函数在点处可导，且，则的值为（   ） A．2 B．4 C．0 D． 【变式2】（24-25高二下·上海黄浦·期中）设函数的导函数为，若，则_____． 【变式3】（24-25高二下·上海·期中）已知函数在处可导，且，则________. 求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【例2】（24-25高二下·上海杨浦·期中）设曲线在点处的切线为l.则以下说法正确的个数是（    ） ①l与曲线可能没有交点 ； ②l与曲线一定只有一个交点；③l与曲线不可能有且仅有两个交点；④l与曲线可能有无穷多个交点 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式1】（24-25高二下·上海·期末）设函数图像上任意一点处的切线为，总存在函数图像上一点处的切线，使得，则实数的最小值是______． 【变式2】（24-25高二下·上海徐汇·期中）已知函数图像在点处的切线方程是，则_________． 【变式3】（24-25高二下·上海静安·期中）已知函数，则曲线在点处的切线方程为____________． 基本初等函数的导数公式 【例3】（24-25高二下·上海浦东新·期中）__________. 【变式1】（24-25高二下·上海徐汇·期中）设函数，其中，则_________． 【变式2】（24-25高二下·上海闵行·期中）曲线，则______． 【变式3】（24-25高二下·上海·期中）已知函数，则______． 导数的运算法则 【例4】（24-25高二下·上海·期中）曲线在处的切线斜率为_________． 【变式1】（24-25高二下·上海浦东新·期中）若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是____________． 【变式2】（24-25高二下·上海·期中）曲线在处的切线方程为________． 【变式3】（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知函数． (1)求在区间上的平均变化率； (2)求曲线在处的切线． 简单复合函数的导数 【例5】（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知函数，则______． 【变式1】（24-25高二下·上海宝山·期中）函数 在 处的切线方程为_____ 【变式2】（24-25高二下·上海嘉定·期中）已知函数，则_____. 【变式3】（24-25高二下·上海·期中）某个弹簧振子在振动过程中的位移（单位：）与时间（单位：）满足关系，其中. (1)求的导数； (2)计算，并解释它的实际意义. 用导数判断或证明已知函数的单调性 【例6】（24-25高二下·上海·期中）已知函数在区间上可导，则“函数在区间上是严格增函数”是“对任意的成立”的______条件.（请填写“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既非充分又非必要”中的一个） 【变式1】（24-25高二下·上海宝山·期中）设是定义在R上的偶函数，为其导函数，，当时，有恒成立，则不等式的解集为______. 【变式2】（24-25高二下·上海·期中）由所有连续且在定义域内导函数存在的全体函数构成的集合，记为.则以下命题为真命题的序号是______. ①对于任意的，若为奇函数，则为偶函数； ②存在，使得为非奇非偶函数，但为奇函数或偶函数： ③对于任意的，若为减函数，则为增函数； ④存在，使得在定义域上单调，但在定义域上不单调. 【变式3】（24-25高二下·上海闵行·期中）已知是定义在上的偶函数，且当时，，则满足的的取值范围是________. 函数（导函数）图像与极值点的关系 【例7】（24-25高二下·上海·期中）如图，已知直线与曲线相切于两点，则有（    ）． A．1个极大值点，2个极小值点 B．2个极大值点，1个极小值点 C．3个极大值点，无极小值点 D．2个极小值点，无极大值点 【变式1】24-25高二下·上海·期中）已知函数的大致图象如图所示，则不等式的解集为（    ）． A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二下·上海嘉定·期中）函数的导函数的图像如图所示，则下列说法正确的是_____. ①函数在区间上严格递减； ②； ③函数在处取极大值； ④函数在区间内有两个极小值点. 【变式3】（24-25高二下·上海静安·期中）已知函数，其导函数的图象如图所示，则下列所有真命题序号为：____________． ①在区间上严格增；②是的极小值点； ③在区间上严格增，在区间上严格减；④是的极小值点． 由导数求函数的最值（不含参） 【例8】（24-25高二下·上海·期中）函数，的最小值是________. 【变式1】（24-25高二下·上海闵行·期中）若恒成立，求的最小值为______． 【变式2】（24-25高二下·上海·期中）已知函数，其图象在点处的切线方程为. (1)求函数的解析式； (2)求函数在区间上的最值. 【变式3】（24-25高二下·上海·期中）已知函数 (1)求函数在点处的切线方程； (2)求的最小值. 利用导数研究不等式恒成立问题 【例9】（24-25高二下·上海徐汇·期中）已知，，，，使恒成立的有序数对有________对． 【变式1】（24-25高二下·上海·期中）已知函数，. (1)求的单调区间； (2)若，曲线在，两点（不重合）处的切线互相垂直，垂足为，两切线分别交轴于，两点，设面积为，若恒成立，求的最小值. 【变式2】（24-25高二下·上海·期中）已知函数，的图象在处的切线为． (1)求函数的解析式； (2)设，比较与大小关系，并说明理由； (3)若对任意的，对任意的恒成立，求满足条件的最大整数的值． 【变式3】（24-25高二下·上海·期中）已知函数 . (1)求曲线 在点 处的切线方程； (2)求 的单调区间; (3)设 ，若 对于 恒成立，求 的最大值. 利用导数研究函数的零点 【例10】（24-25高二下·上海闵行·期中）已知函数有三个零点，则实数的取值范围是_______. 【变式1】（24-25高二下·上海·期中）已知，若函数恰有四个零点，则实数k的取值范围是__________. 【变式2】（24-25高二下·上海·期中）设且，，. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若函数有两个不同的驻点，求的取值范围. 【变式3】（24-25高二下·上海嘉定·期中）已知，. (1)求的最大值； (2)设，试根据的不同取值，讨论关于的方程解的个数； (3)求证：有且只有两条直线与曲线、均相切. 利用导数解决实际问题 【例11】（24-25高二下·上海·期中）某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元的管理费，预计当每件产品的售价为x元时，一年的销售量为万件. (1)用解析法表示分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x之间的函数； (2)求分公司一年的利润L的最大值M关于实数a的函数. 【变式1】（24-25高二上·上海·期中）一块边长为12cm的正三角形薄铁片，按如图所示设计方案，裁剪下三个全等的四边形（每个四边形中有且只有一组对角为直角），然后用余下的部分加工制作成一个底面边长为xcm的“无盖”正三棱柱形容器，容积记为Vcm3. (1)若加工人员为了充分利用边角料，考虑在加工过程中，使用裁剪下的三个四边形材料恰好拼接成这个正三棱柱形容器的“顶盖”，求出此时x的值； (2)将V表示为x的函数，并求V的最大值. 【变式2】（24-25高二下·上海嘉定·期中）某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元()的管理费，预计当每件产品的售价为x元() 时，一年的销售量为 万件． (1)求分公司一年的利润L (万元)与每件产品的售价x的函数关系式(并写出函数的定义域)； (2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q(a)． 【变式3】（24-25高二上·上海闵行·期中）高二学农期间，某高中组织学生到工厂进行实践劳动.在设计劳动中，某学生欲将一个底面半径为，高为的实心圆锥体工件切割成一个圆柱体，并使圆柱体的一个底面落在圆锥体的底面内. (1)求该圆柱的侧面积的最大值； (2)求该圆柱的体积的最大值. 混淆平均变化率与瞬时变化率（导数） 【例1】（24-25高二下·上海·期中）下列命题正确的是 （   ） A．平均变化率: 就是图象上两点 连线的斜率 B．函数的导数越小， 函数的变化越慢， 函数的图象就越 “平缓” C．若某质点运动的位移 (单位: 米) 与时间 (单位: 秒) 之间的函数关系为 ，则该质点在 秒时的瞬时速度为 米/秒 D．已知函数 在 上可导，若 ，则 【变式1】（24-25高二下·上海静安·期中）某质点沿直线运动，位移（单位：m）与时间（单位：s）之间的关系满足，其中，则该质点在时的瞬时速度为____________m/s． 【变式2】（24-25高二下·上海·期中）一质点做直线运动，若它所经过的路程与时间的关系为的单位：，的单位：，则时的瞬时速度为______． 【变式3】（24-25高二下·上海·期中）函数在区间上的平均变化率为______． 误解导数的几何意义 【例2】（24-25高二下·上海杨浦·期中）若曲线 在点 处的切线与直线 垂直，则实数 （    ） A．1 B． C．2 D． 【变式1】（24-25高二下·上海·期中）已知 ，函数在点处切线的斜率是4，则实数_____． 【变式2】（24-25高二下·上海黄浦·期中）已知曲线． (1)求曲线在处的切线方程； (2)求的极值． 【变式3】（24-25高二下·上海徐汇·期中）已知，． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)设，若，求时函数的最大值． 导数四则运算法则误用 【例3】（24-25高二下·上海嘉定·期中）已知是定义域在上的函数，若对于任意，都有，则实数的取值范围是_____. 【变式1】（24-25高二下·上海·期中）已知函数和满足，函数满足，则______. 【变式2】（24-25高二下·上海青浦·期中）已知函数，则的导函敎_____________. 【变式3】（24-25高二下·上海·月考）函数的驻点为__________． 利用导数判断单调性忽略定义域 【例4】（24-25高二下·上海·期中）函数的单调减区间是________. 【变式1】（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知函数，又当时，，则关于的不等式的解集为________. 【变式2】（24-25高二下·上海闵行·期中）已知函数在区间上不单调，则实数a的取值范围为______. 【变式3】（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知函数． (1)若，求的极小值； (2)讨论导函数的单调性． 复合函数求导（链式法则）速算 【例1】（24-25高二下·上海徐汇·期中）若曲线在与处的切线互相垂直，且两条切线的交点在直线上，则的值可能是（    ）． A． B． C． D． 【变式1】（24-25高二下·上海·期中）设函数，则______． 【变式2】（24-25高二下·上海黄浦·期中）若函数的导函数为，则_____． 【变式3】（24-25高二下·上海·期中）已知． (1)求函数的单调减区间； (2)求函数的最小值，以及取最小值时自变量的取值． 极值点与最值快速求解 【例2】（24-25高二下·上海徐汇·期中）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（    ）． A．函数在点处的切线斜率小于零 B．函数在区间上严格增 C．函数在处取得极大值 D．函数在区间内至多有两个零点 【变式1】（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知函数，其中正确结论的是（    ） A．当时，函数有最大值 B．对于任意的，函数是上的减函数 C．对于任意的，都有函数 D．对于任意的，函数一定存在最小值 【变式2】（24-25高二下·上海·期中）已知函数在处取得极值，在点处的切线方程为. (1)求函数的解析式及单调增区间； (2)求函数在区间的最大值与最小值. 【变式3】（24-25高二下·上海宝山·期中）已知函数 . (1)当 时，求函数 的最小值； (2)证明方程 有且仅有一正一负根: (3)若关于 的不等式 恒成立，求实数 的取值范围. 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $