专题01 第5章 导数的概念意义及运算（4考点清单，知识导图+10个考点清单&题型解读）-2024-2025学年高二数学下学期期中考点大串讲（沪教版2020选择性必修第二册）

清单01 导数的概念意义及运算 （4个考点梳理+10题型解读+提升训练） 清单01 函数的平均变化率 定义：一般地，函数在区间上的平均变化率为：，表示为函数从到的平均变化率，若设,则平均变化率为 清单02 函数在处的导数（瞬时变化率） 定义：函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数,记作. 清单03 导数的几何意义 如图,在曲线上任取一点,如果当点沿着曲线无限趋近于点时,割线无限趋近于一个确定的位置,这个确定位置的直线称为曲线在点处的切线.则割线的斜率 清单04 曲线的切线问题 1、在型求切线方程 已知：函数的解析式.计算：函数在或者处的切线方程. 步骤：第一步：计算切点的纵坐标（方法：把代入原函数中），切点. 第二步：计算切线斜率. 第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率。 根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 2、过型求切线方程 已知：函数的解析式.计算：过点（无论该点是否在上）的切线方程. 步骤：第一步：设切点 第二步：计算切线斜率；计算切线斜率； 第三步：令：，解出，代入求斜率 第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 【考点题型一】求平均变化率（） 【例1】（25-26高三上·上海·单元测试）一物体的运动方程是，则在内的平均速度为 ． 【变式1-1】.（25-26高三上·上海·单元测试）函数在区间上的平均变化率等于（    ） A．4 B． C． D． 【变式1-2】.（25-26高三上·上海·单元测试）若函数从到的平均变化率为，则实数 ． 【变式1-3】.（23-24高二下·上海·期中）函数在区间上的平均变化率为 ． 【变式1-4】（22-23高二下·上海浦东新·阶段练习）函数在到之间的平均变化率为 【考点题型二】求瞬时变化率（） 【例2】（24-25高二下·全国·课后作业）质点的运动方程是（s的单位为m，t的单位为s），则质点在时的瞬时速度为 ． 【变式2-1】.（22-23高二上·山西晋城·期末）有一机器人的运动方程为，（t是时间，s是位移），则该机器人在时刻时的瞬时速度为（    ） A．5 B．7 C．10 D．13 【变式2-2】.（24-25高二下·江苏南京·开学考试）函数在区间上的平均变化率等于时的瞬时变化率，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【变式2-3】.（24-25高三·上海·随堂练习）一质点的运动方程是，s为位移，t为时间，则在时质点瞬时速度为 ． 【变式2-4】.（2024·上海静安·一模）已知物体的位移（单位：）与时间（单位：）满足函数关系，则该物体在时刻的瞬时速度为 . 【考点题型三】导数概念中极限的简单计算（） 【例3】（24-25高三上·上海·阶段练习）已知函数，若，则 ． 【变式3-1】.（24-25高二上·河南安阳·期末）若，则 . 【变式3-2】.（23-24高二下·上海·阶段练习）极限 ． 【变式3-3】.（23-24高二下·上海·期中）若则 【考点题型四】求在某一点出切线（） 【例4】（2024高三·全国·专题练习）曲线在点处的切线方程为 ． 【变式4-1】.（24-25高三上·吉林长春·期末）函数在点处的切线方程为 ． 【变式4-2】.（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）曲线在处的切线方程为 【变式4-3】.（24-25高二上·全国·课后作业）曲线在处的切线方程为 ． 【考点题型五】求过某一点处切线（） 【例5】（22-23高三下·山东·开学考试）写出曲线过点的一条切线方程 ． 【变式5-1】.（24-25高三·上海·课堂例题）经过点且与曲线相切的直线方程为 . 【变式5-2】.（24-25高二下·江苏无锡·阶段练习）过点且曲线相切的直线的方程为 . 【变式5-3】.（2025·新疆·模拟预测）曲线过点的切线方程为 . 【考点题型六】已知切线求参数（） 【例6】（25-26高三上·上海·单元测试）若曲线的切线为，则一组满足条件的的取值为 ． 【变式6-1】.（24-25高三下·上海·阶段练习）已知函数的图像在处的切线与直线垂直，则实数 ． 【变式6-2】.（24-25高三上·上海·期中）设，函数在处的切线方程为，则 . 【变式6-3】.（2023高三·全国·专题练习）已知曲线在点处的切线与直线垂直，则 . 【考点题型七】已知某点处的导数值求参数 【例7】（23-24高三下·上海·开学考试）已知，若，则 ． 【变式7-1】.（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数，且，则m的值为（    ） A． B．2 C． D． 【变式7-2】.（24-25高三·上海·随堂练习）函数，若，则 ． 【变式7-3】.（23-24高二下·上海·期中）已知函数的导函数满足，则的值为 . 【变式7-4】.（23-24高二下·青海西宁·阶段练习）已知函数，且，则 . 【考点题型八】导数的加减乘除，复合运算（） 【例8】（24-25高二下·上海·阶段练习）求下列函数的导数： (1)； (2)． 【变式8-1】.（24-25高三·上海·课堂例题）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)． 【变式8-2】.（24-25高三·上海·课堂例题）求下列函数的导数． (1)； (2)． 【变式8-3】.（24-25高三·上海·随堂练习）求下列函数的导函数． (1)； (2)，n为常数． 【考点题型九】已知切线的条数求参数（） 【例9】（24-25高二下·上海·阶段练习）从点可向曲线引三条不同切线，则t的取值范围为（   ）． A． B． C． D． 【变式9-1】.（2024·江苏徐州·模拟预测）若曲线与，恰有2条公切线，则（   ） A． B． C． D． 【变式9-2】.（24-25高二下·山东济南·阶段练习）已知函数，若过点可作曲线的三条切线，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式9-3】.（24-25高三下·上海·阶段练习）从点可向曲线引三条不同切线，则的取值范围为 ． 【考点题型十】公切线问题（） 【例10】（24-25高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 【变式10-1】.（22-23高二下·上海浦东新·阶段练习）若直线是曲线和的公切线，则实数k的值是（    ） A． B． C．0 D．1 【变式10-2】.（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）若曲线在处的切线也是曲线的切线，则 ． 【变式10-3】.（22-23高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）若直线与曲线和均相切，则直线的方程为 . 【变式10-4】（24-25高三上·湖南永州·期末）已知直线是曲线和的一条公切线，则 ． 提升训练 一、填空题 1．（24-25高二下·上海松江·阶段练习）函数的图像在点处的切线方程为 . 2．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知函数，则 ． 3．（24-25高二下·全国·课后作业）已知，且，则 ． 4．（24-25高三上·上海·期中）设斜率为3的直线是曲线的切线，则直线的方程为 . 5．（24-25高三上·上海·期中）函数在区间上的平均变化率为 . 6．（24-25高二上·上海·期末）已知函数，则 ． 7．（24-25高三·上海·课堂例题）已知函数，则曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积是 8．（23-24高三上·上海浦东新·期中）已知函数的单调减区间是，过点存在与曲线相切的3条切线，则实数的取值范围为 9．（22-23高三上·上海徐汇·期中）函数在点处的切线方程为 ． 10．（2023·上海·模拟预测）已知，，请写出与和均相切的一条直线方程 ．（只需写一条） 二、单选题 11．（24-25高三上·上海·开学考试）经过点可以作与曲线相切的不同直线共有（    ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 12．（24-25高二下·吉林白城·阶段练习）曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（    ） A．1 B．3 C． D． 13．（24-25高二下·山东青岛·阶段练习）已知函数的图像在点处的切线与直线垂直，则实数的值为（   ） A． B． C． D．1 三、解答题 14．（24-25高二下·广东江门·阶段练习）已知函数，已知. (1)求函数的解析式； (2)设，求曲线的斜率为的切线方程． 15．（24-25高二下·广东广州·阶段练习）已知函数. (1)求的单调区间； (2)求曲线过点的切线的方程. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单01 导数的概念意义及运算 （4个考点梳理+10题型解读+提升训练） 清单01 函数的平均变化率 定义：一般地，函数在区间上的平均变化率为：，表示为函数从到的平均变化率，若设,则平均变化率为 清单02 函数在处的导数（瞬时变化率） 定义：函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数,记作. 清单03 导数的几何意义 如图,在曲线上任取一点,如果当点沿着曲线无限趋近于点时,割线无限趋近于一个确定的位置,这个确定位置的直线称为曲线在点处的切线.则割线的斜率 清单04 曲线的切线问题 1、在型求切线方程 已知：函数的解析式.计算：函数在或者处的切线方程. 步骤：第一步：计算切点的纵坐标（方法：把代入原函数中），切点. 第二步：计算切线斜率. 第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率。 根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 2、过型求切线方程 已知：函数的解析式.计算：过点（无论该点是否在上）的切线方程. 步骤：第一步：设切点 第二步：计算切线斜率；计算切线斜率； 第三步：令：，解出，代入求斜率 第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 【考点题型一】求平均变化率（） 【例1】（25-26高三上·上海·单元测试）一物体的运动方程是，则在内的平均速度为 ． 【答案】4.1 【知识点】平均变化率 【分析】根据题意结合平均速度的定义运算求解即可. 【详解】由题意可知：在内的平均速度为. 故答案为：4.1. 【变式1-1】.（25-26高三上·上海·单元测试）函数在区间上的平均变化率等于（    ） A．4 B． C． D． 【答案】B 【知识点】平均变化率 【分析】代入即可化简求解. 【详解】， 故选：B 【变式1-2】.（25-26高三上·上海·单元测试）若函数从到的平均变化率为，则实数 ． 【答案】 【知识点】平均变化率 【分析】根据平均变化率的定义直接列方程求解即可. 【详解】因为函数从到的平均变化率为， 所以，解得. 故答案为： 【变式1-3】.（23-24高二下·上海·期中）函数在区间上的平均变化率为 ． 【答案】 【知识点】平均变化率 【分析】根据平均变化率的公式，代入计算即可. 【详解】根据题意，， 在区间上，有，， 则其平均变化率. 故答案为：. 【变式1-4】（22-23高二下·上海浦东新·阶段练习）函数在到之间的平均变化率为 【答案】4 【知识点】平均变化率 【分析】直接代入平均变化率公式即可解. 【详解】因为， 所以函数在到之间的平均变化率为:. 故答案为：. 【考点题型二】求瞬时变化率（） 【例2】（24-25高二下·全国·课后作业）质点的运动方程是（s的单位为m，t的单位为s），则质点在时的瞬时速度为 ． 【答案】 【知识点】瞬时变化率的概念及辨析 【分析】由，可得，则当d趋近于0时，趋近于，即可得到答案. 【详解】因为质点在时， ， 则当d趋近于0时，趋近于， 所以质点在时的瞬时速度为． 故答案为：. 【变式2-1】.（22-23高二上·山西晋城·期末）有一机器人的运动方程为，（t是时间，s是位移），则该机器人在时刻时的瞬时速度为（    ） A．5 B．7 C．10 D．13 【答案】C 【知识点】瞬时变化率的概念及辨析、求某点处的导数值 【分析】对运动方程求导，根据导数的意义，将代入导函数即可求解. 【详解】因为，所以， 则， 所以该机器人在时刻时的瞬时速度为， 故选：. 【变式2-2】.（24-25高二下·江苏南京·开学考试）函数在区间上的平均变化率等于时的瞬时变化率，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【知识点】基本初等函数的导数公式、平均变化率、瞬时变化率的概念及辨析 【分析】分别求出函数的平均变化率和瞬时变化率，解方程可得结果. 【详解】易知平均变化率为， 可得，瞬时变化率为， 因此，解得. 故选：A 【变式2-3】.（24-25高三·上海·随堂练习）一质点的运动方程是，s为位移，t为时间，则在时质点瞬时速度为 ． 【答案】 【知识点】瞬时变化率的概念及辨析、导数定义中极限的简单计算 【分析】根据瞬时速度的定义计算求解即可得解. 【详解】因为， 所以， 所以当时的瞬时速度是：. 故答案为：. 【变式2-4】.（2024·上海静安·一模）已知物体的位移（单位：）与时间（单位：）满足函数关系，则该物体在时刻的瞬时速度为 . 【答案】2 【知识点】瞬时变化率的概念及辨析、导数的运算法则、求某点处的导数值 【分析】由瞬时速度的意义，求出函数在时的导数值即可. 【详解】函数，求导得，则， 所以所求瞬时速度为2. 故答案为：2 【考点题型三】导数概念中极限的简单计算（） 【例3】（24-25高三上·上海·阶段练习）已知函数，若，则 ． 【答案】2 【知识点】导数定义中极限的简单计算 【分析】利用导数的定义得到. 【详解】. 故答案为：2 【变式3-1】.（24-25高二上·河南安阳·期末）若，则 . 【答案】 【知识点】导数定义中极限的简单计算 【分析】根据导数的定义求值. 【详解】由题意：， 所以. 故答案为： 【变式3-2】.（23-24高二下·上海·阶段练习）极限 ． 【答案】/ 【知识点】导数定义中极限的简单计算 【分析】根据导数的定义结合题意直接求解即可. 【详解】 . 故答案为： 【变式3-3】.（23-24高二下·上海·期中）若则 【答案】 【知识点】导数定义中极限的简单计算 【分析】根据导函数的定义可得答案. 【详解】令， 因为 . 所以. 故答案为：. 【考点题型四】求在某一点出切线（） 【例4】（2024高三·全国·专题练习）曲线在点处的切线方程为 ． 【答案】 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】由导数的几何意义即可求解. 【详解】由题可得，当时，， 即曲线在点处的切线斜率，所以所求切线方程为． 故答案为： 【变式4-1】.（24-25高三上·吉林长春·期末）函数在点处的切线方程为 ． 【答案】 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】根据题意，由导数的几何意义代入计算，结合直线的点斜式方程，即可得到结果. 【详解】因为，所以切点坐标为， 又，则切线的斜率， 由直线的点斜式方程可得，即， 所以切线方程为. 故答案为： 【变式4-2】.（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）曲线在处的切线方程为 【答案】 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】由导数的几何意义求解即可. 【详解】因为，所以， 当时，，所以曲线在处的切线斜率为， 当时，，所以切点坐标为， 所以曲线在处的切线方程为：. 故答案为：. 【变式4-3】.（24-25高二上·全国·课后作业）曲线在处的切线方程为 ． 【答案】 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】求得，得到，且，结合导数的几何意义，即可求解. 【详解】由函数，可得， 所以，且， 所以在处的切线方程为，即． 故答案为：. 【考点题型五】求过某一点处切线（） 【例5】（22-23高三下·山东·开学考试）写出曲线过点的一条切线方程 ． 【答案】或（写出其中的一个答案即可） 【知识点】求过一点的切线方程、求已知函数的极值 【分析】首先判断点在曲线上，求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而求出切线方程，再说明函数的单调性，即可得到函数的极大值，从而得到曲线的另一条切线方程. 【详解】解：因为点在曲线上，所以曲线在点处的切线方程符合题意． 因为，所以， 所以曲线在点处的切线方程为，即． 因为当或时，；当时，， 所以函数在处取得极大值，又极大值恰好等于点的纵坐标，所以直线也符合题意． 故答案为：或（写出其中的一个答案即可） 【变式5-1】.（24-25高三·上海·课堂例题）经过点且与曲线相切的直线方程为 . 【答案】或 【知识点】求过一点的切线方程、基本初等函数的导数公式 【分析】设切点为，然后利用导数的几何意义求解即可. 【详解】设切点为，由，得， 所以切线的斜率为， 所以切线方程为， 因为切线过点，所以， 化简得，解得或， 所以切线方程为或， 即切线方程为或. 故答案为：或 【变式5-2】.（24-25高二下·江苏无锡·阶段练习）过点且曲线相切的直线的方程为 . 【答案】或 【知识点】求过一点的切线方程、导数的加减法 【分析】设切点为，利用导数的几何意义求出切线方程，将点的坐标代入切线方程，求出的值，即可得出所求切线的方程. 【详解】设切点为，对函数求导得，则切线斜率为， 所以，曲线在点处的切线方程为， 因为切线过点，则有，整理可得， 即， 当时，切线斜率为，切线方程为，即； 当时，切线斜率为，切线方程为，即. 故答案为：或. 【变式5-3】.（2025·新疆·模拟预测）曲线过点的切线方程为 . 【答案】 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求过一点的切线方程 【分析】求导，根据点斜式求解直线方程，代入即可求解，进而可求解. 【详解】设切点为，则， 故切线方程为， 将代入可得，解得， 故切线方程为，即， 故答案为： 【考点题型六】已知切线求参数（） 【例6】（25-26高三上·上海·单元测试）若曲线的切线为，则一组满足条件的的取值为 ． 【答案】 【知识点】已知切线（斜率）求参数、导数的运算法则、简单复合函数的导数 【分析】设切点为，则由题意得，解方程组可求得的值. 【详解】设切点为，由，得， 则由题意得， 所以，， 所以，所以. 故答案为： 【变式6-1】.（24-25高三下·上海·阶段练习）已知函数的图像在处的切线与直线垂直，则实数 ． 【答案】1 【知识点】已知切线（斜率）求参数、已知直线垂直求参数 【分析】根据导数的几何意义及两直线垂直的斜率关系即可求出的值． 【详解】由，得， 因为函数的图象在处的切线与直线垂直， 所以，则． 故答案为：1 【变式6-2】.（24-25高三上·上海·期中）设，函数在处的切线方程为，则 . 【答案】/2.75 【知识点】已知切线（斜率）求参数、导数的运算法则 【分析】求解导函数，计算处的导数值，再由切线方程得切线的斜率，由导数的几何意义列式求解出的值，再根据函数解析式求解切点坐标，并代入切线方程即可求解出的值，从而计算出的值. 【详解】由得， 因为函数在处的切线方程为， 所以， 所以， 所以， 当时，，即切点为， 将代入得， 所以. 故答案为： 【变式6-3】.（2023高三·全国·专题练习）已知曲线在点处的切线与直线垂直，则 . 【答案】1 【知识点】已知切线（斜率）求参数、导数的运算法则 【分析】易知点在曲线上，求出函数的导函数，由两直线垂直斜率之积为，得到，即可得到方程，解得即可. 【详解】易知点在曲线上， 令，则， 所以，又该切线与直线垂直， 所以，解得. 故答案为： 【考点题型七】已知某点处的导数值求参数 【例7】（23-24高三下·上海·开学考试）已知，若，则 ． 【答案】 【知识点】简单复合函数的导数、已知某点处的导数值求参数或自变量 【分析】求导，即可代入求解. 【详解】，由于，所以，所以， 故答案为：3 【变式7-1】.（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数，且，则m的值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【知识点】利用定义求函数在一点处的导数（切线斜率）、已知某点处的导数值求参数或自变量 【分析】利用导数的定义求解. 【详解】∵， ∴， ∴，，解得． 故选：D. 【变式7-2】.（24-25高三·上海·随堂练习）函数，若，则 ． 【答案】 【知识点】基本初等函数的导数公式、已知某点处的导数值求参数或自变量 【分析】利用基本初等函数的导数公式及导数值即可求解. 【详解】因为， 所以， 又， 所以，解得. 故答案为：. 【变式7-3】.（23-24高二下·上海·期中）已知函数的导函数满足，则的值为 . 【答案】1 【知识点】导数的运算法则、已知某点处的导数值求参数或自变量 【分析】求出函数的导数，利用给定导数值求出的值. 【详解】函数，求导得，由，得， 所以. 故答案为：1 【变式7-4】.（23-24高二下·青海西宁·阶段练习）已知函数，且，则 . 【答案】 【知识点】已知某点处的导数值求参数或自变量、基本初等函数的导数公式、导数的运算法则 【分析】求出函数的导函数，再代入计算可得. 【详解】根据题意，， 由，得，解得. 故答案为：. 【考点题型八】导数的加减乘除，复合运算（） 【例8】（24-25高二下·上海·阶段练习）求下列函数的导数： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) 【知识点】基本初等函数的导数公式、简单复合函数的导数、导数的运算法则 【分析】（1）由两函数积的导数公式求解即可； （2）由三角函数、指数函数及复合函数的求导方法，求解即可. 【详解】（1）解：因为， 所以 （2）解：因为， 所以 . 【变式8-1】.（24-25高三·上海·课堂例题）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】导数的运算法则、简单复合函数的导数 【分析】（1）先对函数化简后，再利用求导法则求导； （2）（3）直接利用导数的求导法则计算化简即可. 【详解】（1）因为， 所以； （2） （3） ． 【变式8-2】.（24-25高三·上海·课堂例题）求下列函数的导数． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】简单复合函数的导数 【分析】（1）利用复合函数求导即可； （2）利用复合函数求导即可. 【详解】（1）函数可看作函数和的复合函数， 所以； （2）函数可看作函数和的复合函数， 所以． 【变式8-3】.（24-25高三·上海·随堂练习）求下列函数的导函数． (1)； (2)，n为常数． 【答案】(1) (2) 【知识点】基本初等函数的导数公式、导数的运算法则 【分析】（1）根据基本初等函数的导数公式、导数的四则运算求解即可； （2）根据基本初等函数的导数公式、导数的四则运算求解即可． 【详解】（1）因为， ； （2） ． 【考点题型九】已知切线的条数求参数（） 【例9】（24-25高二下·上海·阶段练习）从点可向曲线引三条不同切线，则t的取值范围为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】函数与方程的综合应用、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求已知函数的极值 【分析】设切点为，利用，列出方程，从而将问题转化成函数有3个不同零点，借助于求导判断单调性，求出极值，作出图象得到不等式，求解即得. 【详解】设切点为，其中由求导得， 则 ，依题意，方程有三个不同的解. 设，则该函数有三个不同零点. 因，由，则或， 令，则或，令，则， 则函数在区间单调递减，在区间上单调递增， 当时，，当时，， 则函数在时取得极大值，在时取得极小值，如图所示： 由图知，函数有三个不同零点等价于， 解得. 故选：A． 【变式9-1】.（2024·江苏徐州·模拟预测）若曲线与，恰有2条公切线，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 【分析】设在曲线上的切点为，求出切线方程，设该切线方程与曲线相交于点，由此可得，再利用导数研究函数的性质，结合题意即可得出答案． 【详解】设在曲线上的切点为， 由，可得过点的切线斜率为， 此时切线方程为，即， 设切线与曲线相交于点，， 则， 消去，可得， 依题意，直线与函数的图象有两个不同的交点， 令， 解得或， 令，解得， 则函数在，上单调递增，在上单调递减， 故，且恒成立，当且仅当时等号成立，当时，， 要使直线与函数的图象有两个不同的交点， 则需，解得． 故选：B． 【点睛】方法点睛：利用导数的几何意义，分别写出两曲线的切线方程，让两切线方程的系数相等，得到方程组，消去一个变量后，问题转化为方程的根的个数问题，构造函数，利用导数研究其性质，即可得结论． 【变式9-2】.（24-25高二下·山东济南·阶段练习）已知函数，若过点可作曲线的三条切线，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求过一点的切线方程、利用导数研究方程的根 【分析】设切点为，利用导数的几何意义求出切线方程，将点的坐标代入切线方程，可得出，令，分析可知直线与函数的图象有三个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围. 【详解】设切点为，因为，则， 切线斜率为， 所以，曲线在点处的切线方程为， 将点的坐标代入切线方程得， 整理可得， 令，则， 由可得或，列表如下： 增 极大值 减 极小值 增 所以，函数的增区间为、，减区间为， 所以，函数的极大值为，极小值为，如下图所示： 由题意可知，直线与函数的图象有三个交点，则， 因此，实数的取值范围是. 故选：C. 【变式9-3】.（24-25高三下·上海·阶段练习）从点可向曲线引三条不同切线，则的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究方程的根、利用导数研究函数的零点 【分析】先设出切点坐标，根据两点坐标写出直线的斜率再根据切点的导数值等于切线的斜率列方程，因为有三条不同切线所以对应方程有三个不同的解，即对应函数有三个零点，通过函数的导数研究函数的单调性与极值并确定极值的取值范围从而求出的取值范围. 【详解】切点设为，其中 有三个不同的解 即有三个不同的解 设 ，该函数有三个不同零点, ， 令，则或， 令，则或， 令，则， 所以：函数在区间单调递减，在区间上单调递增， 所以函数在和处取得极值， 要想函数有三个不同零点， 则，即 所以： 故答案为： 【考点题型十】公切线问题（） 【例10】（24-25高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 【答案】2 【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、简单复合函数的导数、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、已知切线（斜率）求参数 【分析】设出两切点和点，求导，利用导数几何意义得到，表达出上点处的切线方程，代入点坐标，得到方程，联立得到，，求出. 【详解】设上点处的切线和在点处的切线相同， ，， 故，故， 上点处的切线方程为， 显然在切线上，故， 即，即， 解得， 故. 故答案为：2 【变式10-1】.（22-23高二下·上海浦东新·阶段练习）若直线是曲线和的公切线，则实数k的值是（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、导数的运算法则、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】设直线与曲线、分别相切于点、，利用导数求出曲线在点处的切线方程，以及曲线在点处的切线方程，可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可求得的值． 【详解】设直线与曲线、分别相切于点、， 对函数求导得，则， 曲线在点处的切线方程为，即， 对函数求导得，则， 曲线在点处的切线方程为，即， 所以，，化简可得． 故选：D. 【变式10-2】.（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）若曲线在处的切线也是曲线的切线，则 ． 【答案】 【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、简单复合函数的导数 【分析】由题可得曲线在处的切线，然后设切线与曲线相切的切点为，利用两条切线相同可得答案. 【详解】设，则，， 所以曲线在点处的切线方程为, 化为． 设，则， 又设切线与曲线相切的切点为， 由题，得，解得，则切点为． 因为切点在切线上，则． 故答案为： 【变式10-3】.（22-23高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）若直线与曲线和均相切，则直线的方程为 . 【答案】 【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 【分析】利用导数的几何意义及点在曲线上，结合直线的点斜式方程即可求解. 【详解】设，上的切点分别为，， 由，，可得， 故在处的切线方程为， 在处的切线方程为， 由已知, 所以， 故或，而，不合题意舍去，故，此时直线的方程为. 故答案为：. 【变式10-4】（24-25高三上·湖南永州·期末）已知直线是曲线和的一条公切线，则 ． 【答案】9 【知识点】已知切线（斜率）求参数、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、导数的运算法则 【分析】设出切点坐标，根据导数的几何意义，再结合切点同时满足直线方程与曲线方程求解即可. 【详解】设直线与曲线相切于点. 由，得. 又∵直线l的斜率为，∴. 又点在直线和曲线上，∴. 联立①②可得，故直线l的方程为. 设直线与曲线相切于点.由，得. 又∵直线l的斜率为3，. 又点在直线和曲线上，∴ 联立，解得，. 故答案：9. 提升训练 一、填空题 1．（24-25高二下·上海松江·阶段练习）函数的图像在点处的切线方程为 . 【答案】 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数的加减法 【分析】求导，可得，根据导数的几何意义求切线方程. 【详解】因为，则， 可得，即切点坐标为，切线斜率， 所以所求切线方程为，即. 故答案为：. 2．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知函数，则 ． 【答案】 【知识点】导数定义中极限的简单计算、基本初等函数的导数公式 【分析】根据导数的定义及基本初等函数的导数公式可得结果. 【详解】由得，， ∴. 故答案为：. 3．（24-25高二下·全国·课后作业）已知，且，则 ． 【答案】 【知识点】利用定义求函数在一点处的导数（切线斜率） 【分析】根据条件，利用导数的定义，即可求解. 【详解】因为， 所以，所以，整理得到，解得， 故答案为：. 4．（24-25高三上·上海·期中）设斜率为3的直线是曲线的切线，则直线的方程为 . 【答案】 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】设切点，根据斜率可得切点坐标，即可根据点斜式求解直线方程. 【详解】设切点为， 则,故，则， 故切点为，所以切线方程为，即， 故答案为： 5．（24-25高三上·上海·期中）函数在区间上的平均变化率为 . 【答案】3 【知识点】平均变化率 【分析】根据平均变化率的定义，函数的平均变化率为，分别计算出的值代入计算即可. 【详解】由题意得，函数在区间上的平均变化率为， 故答案为：3. 6．（24-25高二上·上海·期末）已知函数，则 ． 【答案】 【知识点】导数定义中极限的简单计算、简单复合函数的导数 【分析】运用导数定义分析与导数定义的关系，得解. 【详解】导数的定义为. 对于，我们可以令，当时，. 那么. 而. 然后求函数的导数，可得. 得到. 所以. 故答案为：. 7．（24-25高三·上海·课堂例题）已知函数，则曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积是 【答案】 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数的运算法则、简单复合函数的导数 【分析】先利用导数的几何意义求出切线方程，然后求出切线与坐标轴的交点，从而可求出切线与坐标轴围成的三角形的面积. 【详解】由，得， 切线的斜率为， 因为， 所以切线方程为， 当时，，当时，， 所以切线与坐标轴围成的三角形的面积为 . 故答案为： 8．（23-24高三上·上海浦东新·期中）已知函数的单调减区间是，过点存在与曲线相切的3条切线，则实数的取值范围为 【答案】 【知识点】已知切线（斜率）求参数、根据极值求参数、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】根据题意，求得，设切点，得到切线方程为，将点代入得，设，结合题意，转化为有3个零点，利用导数求得函数的单调性与极值，列出不等式组，即可求解. 【详解】设函数，可得， 根据题意，可得的解集为， 可得且，解得，即 设点是过点的直线与曲线的切点， 则点处的切线方程为，即， 因为切线过点，可得， 又因为存在三条切线，所以方程有三个实根， 设，只需函数有3个零点， 又由，令，解得或， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时，函数取得极大值， 当时，函数取得极小值， 要使得函数有3个零点，则满足，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 9．（22-23高三上·上海徐汇·期中）函数在点处的切线方程为 ． 【答案】 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】先求出切点坐标，利用导数求切线的斜率，再由导数的几何意义求解即可. 【详解】因为，所以， ， 所以函数在点处的切线斜率为， 所以函数在点处的切线方程为：. 故答案为： 10．（2023·上海·模拟预测）已知，，请写出与和均相切的一条直线方程 ．（只需写一条） 【答案】（或，只要答一个即可）． 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数的运算法则 【分析】设函数图象上的切点为，函数图象上切点为，求出导函数，利用列方程组求得后可得切线方程． 【详解】设函数图象上的切点为，函数图象上切点为， ，，,, 由得，消去得,或,从而有或, 又，， 所以切线方程为或，即或， 故答案为：（或，只要答一个即可）． 二、单选题 11．（24-25高三上·上海·开学考试）经过点可以作与曲线相切的不同直线共有（    ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 【答案】D 【知识点】利用导数研究函数的零点、求过一点的切线方程、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】设切点为，则切线的斜率为，又切线过点，可得，设，由导数的单调性和零点的存在性可得与轴有3个交点，则有3条切线. 【详解】设切点为，， 则切线的斜率为， 又切线过点， 所以， 则，设， 则，令， 解得或， 当和时，函数单调递增， 当时，函数单调递减， 又，， ，， 所以存在,；；， 所以与轴有3个交点， 则经过有3条切线. 故选：D. 12．（24-25高二下·吉林白城·阶段练习）曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（    ） A．1 B．3 C． D． 【答案】C 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】根据导数的几何意义求得曲线的切线方程，结合三角形面积公式计算即可. 【详解】由，得，则，， 所以曲线在点处的切线方程为， 令，得，令，得， 故该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为. 故选：C. 13．（24-25高二下·山东青岛·阶段练习）已知函数的图像在点处的切线与直线垂直，则实数的值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【知识点】简单复合函数的导数、已知直线垂直求参数、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、导数的运算法则 【分析】先根据求导公式求出函数的导数，进而得到函数在点处切线的斜率，再根据两直线垂直斜率之积为求出实数的值. 【详解】对求导可得：. 可得切线的斜率. 将直线转化为斜截式，可知直线斜率. 因为函数的图像在点处的切线与直线垂直， 根据两直线垂直斜率之积为，可得，即. 可得：， 故，即实数的值为. 故选：C. 三、解答题 14．（24-25高二下·广东江门·阶段练习）已知函数，已知. (1)求函数的解析式； (2)设，求曲线的斜率为的切线方程． 【答案】(1) (2)或 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求某点处的导数值 【分析】（1）求出，由可求出的值，即可得出函数的解析式； （2）求出函数的解析式，求出，由，求出切点的坐标，利用导数的几何意义可求出切线的方程. 【详解】（1）对，求导可得， 所以，．解得，则. （2）因为，对求导可得． 因为曲线切线斜率为，由， 整理可得，解得或． 当时，， 此时，切线方程为，即； 当时，． 此时，切线方程为，整理得． 综上所得，的斜率为的切线方程为或． 15．（24-25高二下·广东广州·阶段练习）已知函数. (1)求的单调区间； (2)求曲线过点的切线的方程. 【答案】(1)递增区间为R，无递减区间； (2)或 【知识点】求过一点的切线方程、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】（1）求出定义域，求导，得到函数单调区间； （2）设出切点，求导，利用导数几何意义求出切线方程，代入，求出或3，得到切线方程. 【详解】（1）的定义域为R， 恒成立，故单调递增区间为R，无递减区间； （2）， 点不在上， ，设切点为， 则，所以切线方程为， 将代入得， 化简得，解得或3， 当时，切线方程为， 当时，切线方程为， 综上，过点的切线的方程为或. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$