专题06 第6章 二项式定理（2考点清单，知识导图+8个考点清单&题型解读）-2024-2025学年高二数学下学期期中考点大串讲（沪教版2020选择性必修第二册）

清单06 第6章 二项式定理 （2个考点梳理+8题型解读+提升训练） 清单01 二项式定理 二项展开式： 清单02 二项式系数（和） ①最大值：当为奇数时，最中间两项二项式系数最大；当为偶数时，最中间一项的二项式系数最大. ②各二项式系数和： ； 奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等： 【考点题型一】二项式定理展开及其逆应用（） 【例1】（25-26高三上·上海·单元测试）设， ． 【变式1-1】.（24-25高三·上海·课堂例题）计算 ． 【变式1-2】.（24-25高三·上海·课堂例题）计算的值是 ． 【变式1-3】.（2024·山西太原·一模）化简 . 【考点题型二】二项展开式第项（） 【例2】（22-23高三上·上海浦东新·阶段练习）如果展开式中各项系数的和等于，则展开式中第项是 . 【变式2-1】.（24-25高二上·上海·期末）的二项展开式中的常数项为 ． 【变式2-2】.（24-25高二下·河北沧州·阶段练习）的二项展开式的第二项为 ． 【变式2-3】.（2025·山东·一模）展开式中第4项的系数为 ． 【变式2-4】.（23-24高二上·上海·课后作业）求的二项展开式中的中间项． 【考点题型三】二项式系数（和）（） 【例3】（2023·上海浦东新·三模）已知（为正整数）的展开式中所有项的二项式系数的和为64，则 . 【变式3-1】.（24-25高二上·上海松江·阶段练习）的二项展开式中系数最大的项是（    ）. A．第n项 B．第n＋1项 C．第n＋1项和第n－1项 D．无法确定 【变式3-2】.（24-25高三下·上海·阶段练习）已知的展开式中二项式系数最大的项的系数为 ． 【变式3-3】.（24-25高二上·上海·假期作业）展开式中，只有第6项的系数最大，展开式中的常数项是 . 【变式3-4】.（23-24高三上·上海浦东新·阶段练习）已知二项式，在其展开式中二项式系数最大的项的系数为 ． 【考点题型四】指定项系数（有理项）（） 【例4】（23-24高三下·上海杨浦·阶段练习）在的展开式中，有理项有 项． 【变式4-1】.（25-26高三上·上海·单元测试）二项式的展开式中，系数为有理数的项的个数为 ． 【变式4-2】.（23-24高二下·上海青浦·阶段练习）二项式的展开式中，有理项有 项. 【变式4-3】.（24-25高二上·上海·假期作业）已知展开式中的第一项和第三项的二项式系数之和为37，求： (1)的值； (2)展开式中所有的有理项. 【变式4-4】.（23-24高二下·上海·阶段练习）已知的开展式共9项. (1)求n的值； (2)求展开式中的有理项. 【考点题型五】系数和（） 【例5】（24-25高三·上海·随堂练习）已知对任何给定的实数x，都有，求值： (1)； (2)． 【变式5-1】.（24-25高三上·上海·开学考试）设，若，则 ． 【变式5-2】.（24-25高二上·上海·阶段练习）设，则 ． 【变式5-3】.（24-25高三·上海·随堂练习）在以下三个条件中任选一个，补充在问题中（横线处）． ①只有第5项的二项式系数最大； ②第3项与第7项的二项式系数相等； ③所有二项式系数的和为． 已知的二项展开式中，________，求： (1)中间项的系数； (2)各项的系数之和． 【变式5-4】.（24-25高二上·上海·假期作业）设，求： (1)的值； (2)的值. 【考点题型六】系数最大（小）项（） 【例6】（23-24高二下·上海·阶段练习）（1）若在的二项展开式中，第3项的系数是第2项的系数的4倍，求展开式中的常数项； （2）求的二项展开式中系数最大的项. 【变式6-1】.（23-24高二下·上海青浦）已知二项式（，）的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是． (1)求展开式中含的项 (2)求系数最大的项 【变式6-2】.（23-24高二下·上海浦东新）已知的二项展开式中的系数是. （1）求； （2）求二项展开式中系数最小的项. 【变式6-3】.（24-25高二上·上海·假期作业）展开式系数最大的项系数与最小的项的系数之比为，求展开式的常数项. 【考点题型七】三项（两个二项式相乘）展开式系数问题（） 【例7】（24-25高二上·上海·假期作业）求的展开式中的系数. 【变式7-1】.（23-24高二下·上海青浦）的展开式中，含有的项为 【变式7-2】.（24-25高二上·上海·期末）的展开式中，项的系数为 . 【变式7-3】.（25-26高三上·上海·期末）的展开式中的系数为 . 【变式7-4】.（24-25高三·上海·课堂例题）求的展开式中项的系数． 【考点题型八】二项式定理应用（） 【例8】（23-24高二上·上海·课后作业）利用的二项展开式，证明：是7的倍数． 【变式8-1】.（2023·上海闵行·三模）若，则被10除所得的余数为 . 【变式8-2】.（23-24高二下·上海·阶段练习）星期一小明在参加数学期中考试，那么再过天后是星期 . 【变式8-3】.（23-24高二下·上海奉贤·阶段练习）已知今天是周一，那么天后是 .（填周几） 【变式8-4】.（23-24高二下·上海·期末）除以49的余数是 . 提升训练 一、填空题 1．（24-25高三下·上海·阶段练习）在（）的二项式展开式中的系数为2880，则 . 2．（24-25高二下·上海·阶段练习）若的展开式中的系数为，则 3．（24-25高三下·上海·阶段练习）在二项式的展开式中，含项的系数是 . （用数值作答） 4．（24-25高二下·上海·阶段练习）若二项式 的展开式共有 6 项，则此展开式中含 的项的系数是 . 5．（24-25高三下·上海·阶段练习）在的二项式展开式中，项的系数是 . 6．（24-25高三下·上海·阶段练习）在的二项展开式中，若各项系数和为16，则项的系数为 ． 7．（24-25高三下·上海·阶段练习）的二项展开式中x项的系数为 . 8．（24-25高三下·上海宝山·阶段练习） 的展开式中的常数项为 . 9．（24-25高三下·青海玉树·开学考试）若展开式中的系数与的系数相等，则 . 10．（25-26高三上·上海·单元测试）设，则的反函数 . 二、单选题 11．（24-25高二上·上海浦东新·期中）已知乘积展开后共有60项，则的值为（   ） A．5 B．7 C．10 D．12 12．（22-23高二下·上海浦东新·期中）设，则（   ） A．80 B．242 C．405 D．810 三、解答题 13．（24-25高二下·上海·阶段练习）设．已知． (1)当时，求的展开式中项的系数； (2)若，求，，，…，中的最大值． 14．（23-24高二下·上海·期末）已知的二项展开式中各项的二项式系数和为64. (1)求二项展开式的中间项； (2)求展开式中的常数项. 15．（23-24高二下·上海·阶段练习）（1）若=64，其中是正整数，求展开式的常数项； （2）若展开式中第2项系数为，求的展开式中的系数. 16．（23-24高二上·上海·期末）把称为的二项展开式所有项的二项式系数之和，其中是正整数． (1)若的所有项的二项式系数的和为，求展开式的常数项； (2)若展开式中第项系数为，求的展开式中的系数． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单06 第6章 二项式定理 （2个考点梳理+8题型解读+提升训练） 清单01 二项式定理 二项展开式： 清单02 二项式系数（和） ①最大值：当为奇数时，最中间两项二项式系数最大；当为偶数时，最中间一项的二项式系数最大. ②各二项式系数和： ； 奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等： 【考点题型一】二项式定理展开及其逆应用（） 【例1】（25-26高三上·上海·单元测试）设， ． 【答案】 【知识点】二项展开式的应用 【分析】根据二项式定理计算可得. 【详解】因为展开式的通项为： （且）， 所以 ． 故答案为： 【变式1-1】.（24-25高三·上海·课堂例题）计算 ． 【答案】 【知识点】求二项展开式、二项展开式的应用 【分析】逆向使用二项式定理即可. 【详解】 . 故答案为：. 【变式1-2】.（24-25高三·上海·课堂例题）计算的值是 ． 【答案】 【知识点】二项展开式的应用 【分析】利用二项式定理得解. 【详解】由二项式定理可得，. 故答案为：. 【变式1-3】.（2024·山西太原·一模）化简 . 【答案】 【知识点】二项展开式的应用 【分析】对已知式子进行变形，根据二项式定理进行求解即可. 【详解】 . 故答案为：. 【考点题型二】二项展开式第项（） 【例2】（22-23高三上·上海浦东新·阶段练习）如果展开式中各项系数的和等于，则展开式中第项是 . 【答案】 【知识点】求二项展开式的第k项、二项展开式各项的系数和 【分析】利用各项系数和可得出的值，然后利用二项展开式通项可求得结果. 【详解】因为展开式中各项系数的和为，解得， 所以，展开式中第三项为. 故答案为：. 【变式2-1】.（24-25高二上·上海·期末）的二项展开式中的常数项为 ． 【答案】 【知识点】求二项展开式的第k项 【分析】利用二项式定理直接求出展开式的常数项. 【详解】二项式的展开式的常数项为. 故答案为： 【变式2-2】.（24-25高二下·河北沧州·阶段练习）的二项展开式的第二项为 ． 【答案】 【知识点】求二项展开式的第k项 【分析】应用二项式定理得到展开式通项，进而写出第二项即可得. 【详解】由题设，展开式通项为，， 所以，第二项为. 故答案为： 【变式2-3】.（2025·山东·一模）展开式中第4项的系数为 ． 【答案】 【知识点】求二项展开式的第k项、求指定项的系数 【分析】利用二项式展开式的通项公式计算求解即得. 【详解】由展开式的通项公式可得，， 所以展开式中第4项的系数为. 故答案为：． 【变式2-4】.（23-24高二上·上海·课后作业）求的二项展开式中的中间项． 【答案】 【知识点】求二项展开式的第k项 【分析】利用二项展开式通项可求得展开式的中间项. 【详解】解：的二项展开式中的中间项为. 【考点题型三】二项式系数（和）（） 【例3】（2023·上海浦东新·三模）已知（为正整数）的展开式中所有项的二项式系数的和为64，则 . 【答案】 【知识点】二项式的系数和 【分析】根据题意，由二项式系数之和的公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意可得，，则. 故答案为： 【变式3-1】.（24-25高二上·上海松江·阶段练习）的二项展开式中系数最大的项是（    ）. A．第n项 B．第n＋1项 C．第n＋1项和第n－1项 D．无法确定 【答案】B 【知识点】二项式系数的增减性和最值 【分析】根据二项式系数性质求解即可. 【详解】的二项展开式中共有项， 中间第n＋1项为系数最大项. 故选：B 【变式3-2】.（24-25高三下·上海·阶段练习）已知的展开式中二项式系数最大的项的系数为 ． 【答案】 【知识点】求指定项的系数、二项式系数的增减性和最值 【分析】利用二项式系数的性质可得第五项的二项式系数最大，由二项式展开的通项求解即可. 【详解】由已知可得的展开式中二项式系数最大的项为第五项， 第五项的系数为. 故答案为： 【变式3-3】.（24-25高二上·上海·假期作业）展开式中，只有第6项的系数最大，展开式中的常数项是 . 【答案】210 【知识点】二项式系数的增减性和最值、求指定项的系数、由项的系数确定参数 【分析】根据二项式系数的增减性可得，即可根据通项特征求解. 【详解】第六项的二项式系数为，展开式中每一项的系数即二项式系数，故最大， 所以. 则， 令，故， 所以常数项为. 故答案为：210 【变式3-4】.（23-24高三上·上海浦东新·阶段练习）已知二项式，在其展开式中二项式系数最大的项的系数为 ． 【答案】 【知识点】求二项展开式的第k项、二项式系数的增减性和最值 【分析】根据二项式系数的性质，可知第4项二项式系数最大，写出展开式的第4项即可得到. 【详解】由题意知，.根据二项式系数的性质可得，第4项二项式系数最大. ，所以展开式中二项式系数最大的项的系数为-160. 故答案为：-160. 【考点题型四】指定项系数（有理项）（） 【例4】（23-24高三下·上海杨浦·阶段练习）在的展开式中，有理项有 项． 【答案】 【知识点】求有理项或其系数 【分析】求出通项公式，令的系数为整数，找出符合的值即可. 【详解】的展开式的通项为， 令为整数，则，共项. 故答案为：. 【变式4-1】.（25-26高三上·上海·单元测试）二项式的展开式中，系数为有理数的项的个数为 ． 【答案】5 【知识点】求有理项或其系数 【分析】利用二项式展开式的通项公式可得结论. 【详解】因为展开式的通项为， 要使系数为有理数的项，需为整数，所以，共5项． 故答案为：5. 【变式4-2】.（23-24高二下·上海青浦·阶段练习）二项式的展开式中，有理项有 项. 【答案】7 【知识点】求有理项或其系数 【分析】写出展开式的通项，然后由x的指数为整数可得. 【详解】因为， 所以当时满足题意，共7项. 故答案为：7 【变式4-3】.（24-25高二上·上海·假期作业）已知展开式中的第一项和第三项的二项式系数之和为37，求： (1)的值； (2)展开式中所有的有理项. 【答案】(1)9 (2)， 【知识点】求指定项的二项式系数、求有理项或其系数 【分析】（1）根据二项式系数即可列方程求解， （2）利用二项式的通项，即可求解. 【详解】（1）由题意可得，故， 解得或（舍去） （2）因为， 而的有理项需满足，解得或， 所以的有理项为，. 【变式4-4】.（23-24高二下·上海·阶段练习）已知的开展式共9项. (1)求n的值； (2)求展开式中的有理项. 【答案】(1) (2) 【知识点】求二项展开式的第k项、多项式的展开式、求有理项或其系数、由项的系数确定参数 【分析】（1）由二项式展开式定理可知次方展开式有项，即可知道答案； （2）由二项式展开式的通项公式来计算，再判断的指数为整数时，是有理项，从而来求出指定项. 【详解】（1）由的展开式共有9项，可知， （2）由二项式展开式的通项公式：， 当，即时，为有理项， 所以， ， . 【考点题型五】系数和（） 【例5】（24-25高三·上海·随堂练习）已知对任何给定的实数x，都有，求值： (1)； (2)． 【答案】(1)1； (2)． 【知识点】二项展开式各项的系数和、奇次项与偶次项的系数和 【分析】（1）（2）根据给定的展开式，利用赋值法计算即得. 【详解】（1）记，令，得. （2）令，得， 所以． 【变式5-1】.（24-25高三上·上海·开学考试）设，若，则 ． 【答案】 【知识点】二项展开式各项的系数和 【分析】令，即可得到，再利用赋值法计算可得. 【详解】令，则， 令，可得， 令，可得， 所以. 故答案为： 【变式5-2】.（24-25高二上·上海·阶段练习）设，则 ． 【答案】 【知识点】二项展开式各项的系数和 【分析】应用赋值法求所有项系数之和. 【详解】令，则. 故答案为：16 【变式5-3】.（24-25高三·上海·随堂练习）在以下三个条件中任选一个，补充在问题中（横线处）． ①只有第5项的二项式系数最大； ②第3项与第7项的二项式系数相等； ③所有二项式系数的和为． 已知的二项展开式中，________，求： (1)中间项的系数； (2)各项的系数之和． 【答案】(1)选①②③，答案均为1120 (2)1 【知识点】求指定项的系数、二项展开式各项的系数和、二项式系数的增减性和最值、二项式的系数和 【分析】（1）若选填①，展开式中有9项，即，求出中间项为第5项，得到系数； 若选填②，则，即，求出中间项为第5项，得到系数； 若选填③，则，即，求出中间项为第5项，得到系数； （2）赋值法求出各项系数之和. 【详解】（1）若选填①，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中有9项，即； 中间项是第5项，系数为； 若选填②，第3项与第7项的二项式系数相等，则，即； 中间项是第5项，系数为； 若选填③，所有二项式系数的和为，则，即． 中间项是第5项，系数为； （2）令，得各项的系数之和． 【变式5-4】.（24-25高二上·上海·假期作业）设，求： (1)的值； (2)的值. 【答案】(1) (2)3025 【知识点】二项展开式各项的系数和、奇次项与偶次项的系数和、求指定项的系数 【分析】（1）令，则由二项式展开式结构特征得解. （2）由（1）得解. 【详解】（1）设， ，， 则， （2）， 由（1）可得 【考点题型六】系数最大（小）项（） 【例6】（23-24高二下·上海·阶段练习）（1）若在的二项展开式中，第3项的系数是第2项的系数的4倍，求展开式中的常数项； （2）求的二项展开式中系数最大的项. 【答案】（1）84；（2），. 【知识点】求指定项的系数、由项的系数确定参数、求系数最大（小）的项 【分析】（1）根据项的系数的关系求出，再由展开式通项公式求常数项即可； （2）设为系数最大项，列出不等式组求出即可得解. 【详解】（1）由题意知 所以 设为常数项， 则， 则展开式中的常数项为. （2）设为系数最大项， 则 ， 则的二项展开式中系数最大的项为. 【变式6-1】.（23-24高二下·上海青浦）已知二项式（，）的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是． (1)求展开式中含的项 (2)求系数最大的项 【答案】(1) (2)或 【知识点】由项的系数确定参数、求系数最大（小）的项、求指定项的系数 【分析】（1）由已知得出二项式展开式的通项为，然后根据已知列出方程式，整理求解即可得出.进而由，得出，代入通项即可得出答案； （2）设第项的系数为，然后求解不等式组，得出或.代入通项，即可得出答案. 【详解】（1）由已知可得，二项式展开式的通项为 ，. 所以，， 即， 整理可得，，解得，或（舍去负值）， 所以，. 由可得， ， 所以，展开式中含的项为. （2）由（1）可知，该二项式展开的第项的系数为. 设第项系数最大，则应有， 即， 即，解得. 因为，所以或. 当时，； 当时，. 综上所述，系数最大的项为或. 【变式6-2】.（23-24高二下·上海浦东新）已知的二项展开式中的系数是. （1）求； （2）求二项展开式中系数最小的项. 【答案】（1）；（2）. 【知识点】由项的系数确定参数、求系数最大（小）的项 【分析】（1）先求出二项式展开式的通项公式，由展开式中的系数是，列方程组可求出； （2）由题意利用二项式的通项公式求出展开式中系数最小的项 【详解】解：（1）展开式的通项公式为， 因为二项展开式中的系数是， 所以且， 由可知为奇数 解得， 所以， （2）由（1）可知展开式中的系数为， 要使该项系数最小，应为奇数，且接近， 所以， 所以二项展开式中系数最小的项为 【变式6-3】.（24-25高二上·上海·假期作业）展开式系数最大的项系数与最小的项的系数之比为，求展开式的常数项. 【答案】15 【知识点】求指定项的系数、求系数最大（小）的项、组合数的性质及应用 【分析】分析可知第项的系数为，讨论n的奇偶性，根据题意结合组合数的性质分析可得，进而可得结果. 【详解】由题意可知：的展开式的通项为， 可知第项的系数为， 若为奇数，则的最大值为，且对应的两项系数的符号相反， 即系数最大值为，系数最小值为， 可知系数最大的项系数与最小的项的系数之比为，不合题意； 若为偶数，则的最大值为，次之为，且对应的两项系数的符号相反， 注意到系数最大的项系数与最小的项的系数之比为，其绝对值小于1， 可知系数最大值为，系数最小值为， 可得，且为奇数，解得； 综上所述：. 可得的展开式的通项为， 令，解得， 所以展开式的常数项为. 【考点题型七】三项（两个二项式相乘）展开式系数问题（） 【例7】（24-25高二上·上海·假期作业）求的展开式中的系数. 【答案】 【知识点】两个二项式乘积展开式的系数问题、求指定项的系数 【分析】由题意可得，根据二项式展开式的通项公式分别令、、计算即可求解. 【详解】展开式的通项公式为， 又， 令，得， 令，得， 令，得， 所以展开式含的项的系数为. 【变式7-1】.（23-24高二下·上海青浦）的展开式中，含有的项为 【答案】 【知识点】三项展开式的系数问题 【分析】表示有个因式相乘，根据的来源分析即可. 【详解】表示有个因式相乘，可能来源如下： （1）有个提供，剩下的个提供常数，此时系数是； （2）有个提供，剩下的个提供常数，此时系数是； （3）有个提供，个提供，个提供常数，此时系数是； 于是的系数为，含有的项为. 故答案为： 【变式7-2】.（24-25高二上·上海·期末）的展开式中，项的系数为 . 【答案】 【知识点】求指定项的系数、两个二项式乘积展开式的系数问题 【分析】根据二项式展开式的通项特征即可求解. 【详解】由于的展开式通项为， 故的展开式中，含的项为 ， 故的系数为， 故答案为： 【变式7-3】.（25-26高三上·上海·期末）的展开式中的系数为 . 【答案】21 【知识点】求指定项的系数、两个二项式乘积展开式的系数问题 【分析】将已知式拆成两个二项式的和，再分别求展开式中含的一次项，合并即得. 【详解】由， 则其展开式中，含的一次项为：， 故展开式中的系数为21. 故答案为：21. 【变式7-4】.（24-25高三·上海·课堂例题）求的展开式中项的系数． 【答案】1008 【知识点】求指定项的系数、两个二项式乘积展开式的系数问题 【分析】分析出现的所有情况，后分类讨论，结合二项式定理通项公式求解即可. 【详解】在展开式中，的来源有： 第一个因式中取出，则第二个因式必出，其系数为； 第一个因式中取出1，则第二个因式中必出，其系数为； 所以的系数应为：． 【考点题型八】二项式定理应用（） 【例8】（23-24高二上·上海·课后作业）利用的二项展开式，证明：是7的倍数． 【答案】证明见解析. 【知识点】整除和余数问题 【分析】求出的展开式，取即可推理判断作答. 【详解】由二项式定理，得 ， 令，得， 从而， 而当时，是整数，14是7的倍数，因此是7的倍数， 所以也一定是7的倍数. 【变式8-1】.（2023·上海闵行·三模）若，则被10除所得的余数为 . 【答案】 【知识点】整除和余数问题、二项展开式的应用 【分析】令，可得，结合二项展开式，即可求解. 【详解】令，可得， 所以被10除所得的余数为. 故答案为：. 【变式8-2】.（23-24高二下·上海·阶段练习）星期一小明在参加数学期中考试，那么再过天后是星期 . 【答案】五 【知识点】整除和余数问题 【分析】 由题意可得，结合二项式定理分析求解. 【详解】 因为， 且， 则， 即被7除余4， 由于今天是星期一，则再过天后是星期五． 故答案为：五． 【变式8-3】.（23-24高二下·上海奉贤·阶段练习）已知今天是周一，那么天后是 .（填周几） 【答案】周日 【知识点】整除和余数问题 【分析】对给定条件合理转化，结合二项式定理求解即可. 【详解】由题意得， 由二项式定理得， ， 因为可以整除7，则除7后余数为6，则天后是周日. 故答案为：周日 【变式8-4】.（23-24高二下·上海·期末）除以49的余数是 . 【答案】15 【知识点】整除和余数问题 【分析】将转化为，利用二项式定理展开，结合整除问题，即得答案. 【详解】由题意得 ， 由于为49的倍数，除以49 余15， 故除以49的余数是15， 故答案为：15 提升训练 一、填空题 1．（24-25高三下·上海·阶段练习）在（）的二项式展开式中的系数为2880，则 . 【答案】 【知识点】由项的系数确定参数 【分析】根据二项式展开式的通项即可求解. 【详解】的展开式的通项为 令，则， 故 ， 故答案为： 2．（24-25高二下·上海·阶段练习）若的展开式中的系数为，则 【答案】 【知识点】由项的系数确定参数 【分析】写出展开式的通项，令，求出，再代入计算即可得解. 【详解】因为展开式的通项为（且）， 令，解得，所以，解得. 故答案为： 3．（24-25高三下·上海·阶段练习）在二项式的展开式中，含项的系数是 . （用数值作答） 【答案】 【知识点】求指定项的系数 【分析】写出展开式的通项，利用通项计算可得. 【详解】因为展开式的通项为（且）， 令，解得，所以， 所以展开式中的系数为. 故答案为： 4．（24-25高二下·上海·阶段练习）若二项式 的展开式共有 6 项，则此展开式中含 的项的系数是 . 【答案】-5 【知识点】求指定项的系数 【分析】由题意可求得n的值，利用二项式展开式的通项公式，即可求得答案. 【详解】由题意知二项式 的展开式共有 6 项，故， 则二项式的通项公式为， 令，故含的项的系数为， 故答案为：-5 5．（24-25高三下·上海·阶段练习）在的二项式展开式中，项的系数是 . 【答案】 【知识点】求指定项的系数 【分析】在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于3，求的值，即可求得系数. 【详解】展开式的通项为， 令，则， 所以项的系数为. 故答案为： 6．（24-25高三下·上海·阶段练习）在的二项展开式中，若各项系数和为16，则项的系数为 ． 【答案】4 【知识点】由二项展开式各项系数和求参数、求指定项的系数 【分析】利用赋值法求出，再求出项的系数. 【详解】依题意，的二项展开式的各项系数和为，则，解得， 所以展开式中项为，其系数为4. 故答案为：4 7．（24-25高三下·上海·阶段练习）的二项展开式中x项的系数为 . 【答案】 【知识点】求指定项的系数 【分析】先求出二项式的展开式的通项公式，令的指数等于，求出的值，即可求得展开式中的项的系数. 【详解】二项式的展开式的通项公式为 ， 则当时，， 所以. 故答案为：. 8．（24-25高三下·上海宝山·阶段练习） 的展开式中的常数项为 . 【答案】 【知识点】求指定项的系数 【分析】写出展开式的通项，令次数为0，即为常数项. 【详解】展开式的通项公式为， 其中，， 令， 则当时，常数项为； 当时，常数项为， 当时，得常数项为， 所以展开式中的常数项为. 故答案为：. 9．（24-25高三下·青海玉树·开学考试）若展开式中的系数与的系数相等，则 . 【答案】8 【知识点】组合数方程和不等式、由项的系数确定参数 【分析】利用二项式定理及已知有，再解组合数方程求解. 【详解】由题设，，且，， 由题意，即，则， 所以，可得. 故答案为：8 10．（25-26高三上·上海·单元测试）设，则的反函数 . 【答案】 【知识点】求反函数、二项展开式的应用 【分析】观察式子的特点，符合二项展开式，先用表示，再写出的反函数. 【详解】因为， 所以 ， 可得，所以. 故答案为： 二、单选题 11．（24-25高二上·上海浦东新·期中）已知乘积展开后共有60项，则的值为（   ） A．5 B．7 C．10 D．12 【答案】C 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、二项展开式的应用 【分析】根据二项展开式定理可得展开式中共有项，即可得的值. 【详解】易知的展开式中共有6项， 则乘积展开后共有项， 因此可得，解得. 故选：C 12．（22-23高二下·上海浦东新·期中）设，则（   ） A．80 B．242 C．405 D．810 【答案】D 【知识点】简单复合函数的导数、二项展开式各项的系数和 【分析】将给定的等式两边求导，再利用赋值法计算作答. 【详解】将两边求导， 得，显然均为正数，而均为负数， 令，得， 所以． 故选：D 三、解答题 13．（24-25高二下·上海·阶段练习）设．已知． (1)当时，求的展开式中项的系数； (2)若，求，，，…，中的最大值． 【答案】(1) (2)5 【知识点】求系数最大（小）的项、两个二项式乘积展开式的系数问题 【分析】（1）由中项得系数和的系数即可求解； （2）由通项公式得到求解即可； 【详解】（1）当时，中项得系数为，的系数为， 所以的展开式中项的系数为； （2）由， ，， 又， 所以，解得：， 假设第项系数最大， 即，即， 可得：， 即第3项系数最大，也即最大； 14．（23-24高二下·上海·期末）已知的二项展开式中各项的二项式系数和为64. (1)求二项展开式的中间项； (2)求展开式中的常数项. 【答案】(1) (2)24 【知识点】求二项展开式的第k项、二项式的系数和、两个二项式乘积展开式的系数问题 【分析】（1）根据二项展开式中各项的二项式系数求出n的值，再结合展开式的通项，即可求得答案； （2）求出展开式中的常数项以及项，即可求得答案. 【详解】（1）由的二项展开式中各项的二项式系数和为64， 得， 的通项为， 二项展开式的中间项为第4项，即； （2）结合（1）可得的常数项为， 展开式中的项为， 展开式中的常数项为. 15．（23-24高二下·上海·阶段练习）（1）若=64，其中是正整数，求展开式的常数项； （2）若展开式中第2项系数为，求的展开式中的系数. 【答案】（1）-160；（2） 【知识点】求二项展开式的第k项、由项的系数确定参数、两个二项式乘积展开式的系数问题 【分析】 （1）先根据二项式系数的性质得，求出二项式的展开式通项，令求解即可； （2）先由第2项系数求得，再根据分配律，结合二项式通项公式即可求解. 【详解】 （1）二项式的展开式的所有二项式系数和为，则， 所以二项式的展开式通项公式为， ，1，，6，令，解得，所以展开式的常数项为； （2）二项式的展开式的第二项为， 则，解得， 所以多项式的展开式中含的项为， 所以的系数为. 16．（23-24高二上·上海·期末）把称为的二项展开式所有项的二项式系数之和，其中是正整数． (1)若的所有项的二项式系数的和为，求展开式的常数项； (2)若展开式中第项系数为，求的展开式中的系数． 【答案】(1) (2) 【知识点】二项式的系数和、求指定项的系数、两个二项式乘积展开式的系数问题 【分析】（1）根据有项的二项式系数的和求得，根据二项式展开式的通项公式求得常数项. （2）根据展开式中第项的系数求得，根据二项式展开式的通项公式求得的系数. 【详解】（1）若的所有项的二项式系数的和为， 则，展开式的通项公式为， 令，所以，展开式的常数项为. （2）展开式的通项公式为， 若展开式中第项系数为， 即， 则， 含的项为 ， 所以的系数为. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$