1.5三角函数的应用随堂练习卷2025-2026学年北师大版数学九年级下册

1.5 三角函数的应用 随堂练习卷 一、单选题 1．如图，从小明家（处）到学校有两条路，一条沿北偏东方向可直达学校前门（处），另一条从小明家一直往东，到商店处，向正北走，到学校后门（处），若两条路的路程相等，学校的后门在小明家北偏东处．则学校从前门到后门的距离是（   ） A． B． C． D． 2．如图．是地平线上的一点，小明在点的正上方飞无人机，他将无人机升高，此时无人机测得点的俯角为．若点，，在同一平面内，则点，之间的距离为（    ） A． B． C． D． 3．某校组织一次定向越野拉练活动．如图，点为出发点，途中设置两个检查点，分别为点和点，行进路线为，点在点的南偏东方向处，点在点的北偏东方向，．则检查点和之间的距离（   ） A． B． C． D． 4．如图，一艘军舰在处测得小岛位于南偏东方向，向正东航行海里后到达处，此时测得小岛位于南偏西方向，则小岛离观测点的距离是（ ）海里 A． B． C． D． 5．如图，一棵珍贵的树倾斜程度越来越厉害了．出于对它的保护，需要测量它的高度，现采取以下措施：在地面上选取一点C，测得∠BCA＝37°，AC＝28米，∠BAC＝45°，则这棵树的高AB约为（　　）（参考数据：sin37°≈，tan37°≈，≈1.4） A．14米 B．15米 C．17米 D．18米 6．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东方向，距离灯塔的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东方向上的B处，则A，B间的距离为（    ）（参考数据：，，） A． B． C． D． 7．如图，图，将一个直角三角形形状的楔子（）从木桩的底端点沿水平方向打入木桩底下，可以使木桩竖直向上运动．如果楔子斜面的倾斜角为，当楔子沿水平方向（如箭头所示）前进了厘米时，木桩上升了（   ） A．厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米 二、填空题 8．如图，飞机P在目标A的正上方1100米，飞行员测得目标B的俯角为，那么地面A、B之间的距离为________米（结果保留根号）． 9．如图，渔船向东航行，8点到达O处，看到灯塔A在其北偏东方向，距离12海里，10点到达B处，看到该灯塔在其正北方向，则渔船每小时航行__________海里．    10．如图，小明沿倾斜角的山坡从山脚步行到山顶，共走了，则山的高度是______．    11．如图，工人在某施工现场作业，地面上有一个长为米的梯子斜靠在墙上，梯子底端与地面的交点为C，梯子与墙面的交点为M，此时梯子的倾斜角为（即），如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，梯子与墙面的交点为N，此时梯子的倾斜角为（即），若连接，那么的长是________米． 12．如图，一艘渔船正以海里/小时的速度向正东方向航行，在处测得岛礁在东北方向上，继续航行小时后到达处，此时测得岛礁在北偏东方向，同时测得岛礁正东方向上的避风港在北偏东方向．为了在台风到来之前用最短时间到达处，渔船立刻加速以海里/小时的速度继续航行____小时即可到达．（结果保留根号） 三、解答题 13．如图所示，一轮船由西向东航行，在A处测得小岛P在北偏东75°的方向上，轮船行驶40海里后到达B处，此时测得小岛P在北偏东60°的方向上. (1)求BP的距离； (2)已知小岛周围22海里内有暗礁，若轮船仍向前航行，有无触礁的危险. 14．如图，在竖直的海岸线上有长为68米的码头AB，现有一艘货船在点P处，从码头A处测得货船在A的东南方向，若沿海岸线向南走30米后到达点C，在C处测得货船在C的南偏东75°方向．（参考数据：，，） (1)求货船到A的距离（结果精确到1米）； (2)若货船从点P出发，沿着南偏西60°的方向行驶，请问该货船能否行驶到码头所在的线段AB上？ 请说明理由． 15．由于受特大暴风影响，一线杆被吹倾斜（如图所示），倾斜角．九年级小强同学在线杆顶端的影子处用测角仪测得太阳光线与地面夹角；过了一段时间，在线杆顶端的影子处用测角仪测得太阳光线与地面夹角．测得，两处的距离等于3米，求线杆的长度．（结果保留整数．参考数据：，，，，，） 16．九年级（1）班学生计划利用无人机测量宿舍楼的高度．如图，此时无人机在离地面的距离为，操控者从A处观测无人机D的仰角为，无人机D测得宿舍楼BC顶端点C处的俯角为，又经过人工测量测得操控者A和宿舍楼之间的距离为，点A，B，C，D，E都在同一平面上．求宿舍楼的高度（结果取整数）（参考数据：，，，）． 17．如图，为了测量山坡的护坡石坝坝顶C与坝脚B之间的距离，把一根长为6米的竹竿斜靠在石坝旁，量出竿长1米处距离地面的高度为0.6米，又测得石坝与地面的倾斜角为．求石坝坝顶C与坝脚B之间的距离．（结果精确到，参考数据：，，） 18．如图，大坝的横截面是，坝高为．因防洪需要，将坝腰的土石推至坡脚（不计损耗），使坝面改造成长为的折线形坝面—，坝面的倾斜角为，坝面的倾斜角为．（参考数据：，．） (1)求坝面的长度； (2)求坡脚向前推进的距离的长度． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．A 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据为，利用的余弦值可得的长，也就是的长，减去即为所求的距离． 【详解】解：由题意得，米，， ， ， 解得：， （米）， （米）， 故选：A 2．D 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据正切的定义求解即可． 【详解】解：由题意得，，，， ， 即点A，B之间的距离为． 故选：D． 3．C 【分析】本题主要考查解直角三角形的方位角应用．过点A作，垂足为，由等角对等边得出，再由正弦函数及正切函数求解即可． 【详解】解：过点A作，垂足为． ， ， ． ， 在中， ， ． ， 依题意， 则 在中， ， ， ． 故选：C 4．B 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，含角的直角三角形，正确作出辅助线是解题的关键．过点作，交的延长线于，由题意可知，由含的直角三角形的性质可得出海里，再通过角度的计算得出，通过等角对等边可得出海里，根据余弦的定义求出，最后根据线段的和差关系可得出答案． 【详解】解：如图，过点作，交的延长线于， 则， 由题意可知：，海里， ∴海里，， ∵， ∴， ∴, ∴海里， ∵， ∴海里， ∴海里， 故选：B． 5．C 【分析】作BH⊥AC于H．设BH=x，利用解直角三角形，得到边的长度，然后构建方程即可解决问题． 【详解】解：如图，作BH⊥AC于H． ∵∠BCH＝37°，∠BHC＝90°， 设BH＝xm， ∴CH＝＝， ∵∠A＝45°， ∴AH＝BH＝x， ∴x+＝28， ∴x＝12， ∴AB＝AH＝×12≈17（m）； 故选：C． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，勾股定理的应用等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 6．D 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题意，结合图形，在中求出，，再利用是等腰直角三角形，从而得到长，即可得到结果． 【详解】解：如图，，， 根据题意得，， ∴，， ∴在中，， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 7．B 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，如图，由题意得，，厘米，在中，，所以，然后求出的长即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，由题意得，，厘米， 在中，， ∴， ∴（厘米）， ∴木桩上升了厘米， 故选：． 8． 【分析】本题主要考查的是锐角三角函数的应用，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键； 根据题意作出俯视角，利用平行线的性质和锐角三角函数解答即可． 【详解】解：如图所示 ， 故答案为． 9． 【分析】利用锐角三角函数求出的长，利用路程除以时间求出速度即可． 【详解】解：由题意，得：海里， ∴海里； ∴渔船每小时航行海里； 故答案为：． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用．熟练掌握锐角三角函数的定义，是解题的关键． 10． 【分析】根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解． 【详解】解：依题意，中，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了含度角的直角三角形的性质，掌握度角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键． 11． 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，理解题意，熟练掌握相关知识是解题关键． 证明三角形为等边三角形，然后由等边三角形的性质即可获得答案． 【详解】解：根据题意，米， ， ， ∴为等边三角形， 米， 故答案为：． 12． 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，解直角三角形的应用． 作，交延长线于点，作于点，设海里，根据列方程求解，可得从而可得，除以渔船加速后的速度即可． 【详解】解：作，交延长线于点，作于点， 根据题意可得，，，，， 设海里，则， 解得， ∴海里， ∴海里， （小时）， ∴渔船继续航行小时可到达避风港． 故答案为：． 13．(1)40海里 (2)若轮船仍向前航行有触礁的危险，理由见解析 【分析】（1）通过计算得到，得到，从而得解； （2）作于点，解得进而判定即可； 【详解】（1），， 又， ， （海里） （2）作于点. 在直角中，. 答：若轮船仍向前航行有触礁的危险 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方位角问题，掌握直角三角形中30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半是解决本题的关键． 14．(1)货船到A的距离为58米 (2)货船能行驶到码头所在线段上 【分析】（1）过点C作于M，在Rt△ACM中，根据sin45°解得CM的长，则AM=CM，在Rt△CPM中，∠CPM=∠PCB∠A=30°，根据tan30°求出PM的长，再根据AP=AM+PM即可得到答案； （2）设货船从P出发沿南偏西方向行驶到Q点，过P作于N，利用三角函数求出AN和NQ，再根据AQ=AN+NQ求出AQ的长，与AB作比较即可． 【详解】（1）过C作于M， 由题可得：，，， 在中，， ∴， 又∵， 在中，， ∴， ∴AP=AM+MP=（米）， 答：货船到A的距离为58米； （2）设货船从P出发沿南偏西方向行驶到Q点，过P作于N， 在中，， ， ∴， ∴AN=， 在中．， ， ∴， ∴， ∴货船能行驶到码头所在线段上． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用——方位角问题，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 15．线杆的长度约为13米 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是结合三角函数的定义求出的长．过点作于点，根据三角函数的定义，在中可得到：，同理在中，，结合题意可知：，继而求得的长，在中， 代入数据计算即可． 【详解】解：过点作于点． 在中，， ∴． 同理：， ∵米， ∴， ∴米， 在中，， ∴（米）． 答：线杆的长度约为13米． 16．32米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质等知识．熟练掌握解直角三角形的应用是解题的关键． 由题意知，，，，，则，，过点作于，则四边形是矩形，，，，，可得 ，，计算求解，进而可求． 【详解】解：由题意知，，，，， ∴， ∴， 如图，过点作于，则四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 宿舍楼的高度约为． 17．石坝坝顶C与坝脚B之间的距离为米． 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，过点C作交延长线于点F．在中，，在中，，可求出，再解，即可求出 【详解】解：过点C作交延长线于点F． 在中，， 在中，， ， 在中，， ， 答：石坝坝顶C与坝脚B之间的距离为米． 18．(1) (2) 【分析】本题主要考查了利用三角函数比解直角三角形，勾股定理，列一元一次方程解几何图形，线段的和差等知识点，解题的关键是熟练掌握三角函数比解直角三角形． （1）过点作交于，作交于，得出四边形为矩形，分别利用三角函数比表示出和，根据线段的和差列出方程求解即可； （2）利用勾股定理分别求出和，利用面积相等列出方程即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点分别作交于，作交于， ， 又 在中，， 四边形为矩形， ，， 在中，， ， 在中，， ， 又 ， ∵， ∴． 解得 ； （2）解：由（1）可知，， ，， 在中，由勾股定理得， ， 同理，由勾股定理得，， 由题可知，改造前后大坝的横截面的面积相等， ， ， 解得 ， ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $