第1章 5 第1课时 三角函数在实际问题中的应用(1)-【同行学案】2025-2026学年九年级下册数学学练测（北师大版）

☑同行学案学练测九年级数学下BS 5三角函数的应用 第1课时 三角函数在实际问题中的应用(1) (教材P19~20练习) 即基础闯关 >>>>>>>>>>>>>>> 难度等级基础题 4.时代中学组织学生进行红色研学活动.学生 知识点一：仰角、俯角问题 到达爱国主义教育基地后，先从基地门口A 1.如图，某飞机在空中A处探测到它的正下方地 处向正南方向走300米到达革命纪念碑B 平面上目标C,此时飞行高度AC=1200m,从 处，再从B处向正东方向走到党史纪念馆C 飞机上看地平面指挥台B的俯角α=30°，则 处，然后从C处向北偏西37°方向走200米到 飞机A与指挥台B的距离为( 达人民英雄雕塑D处，最后从D处回到A 处.已知人民英雄雕塑在基地门口的南偏东 A.1200m B.1200√2m 65°方向，求革命纪念碑与党史纪念馆之间的 C.1200√3m D.2400m 距离.（结果精确到1米，参考数据：sin37°≈ A 60° 45 0.60,cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin65°≈ 1200m 0.91,cos65°≈0.42，tan65°≈2.14) 北 A门口 B 第1题图 第2题图 659 2.[模型观念]（潍坊中考）某校“综合与实践”小 D人民英雄雕塑 371 组采用无人机辅助的方法测量一座桥的长 Bh C 度.如图，桥AB是水平并且笔直的.测量过 革命纪念碑 党史纪念馆 程中，小组成员遥控无人机飞到桥AB的上 方120米的点C处悬停，此时测得桥两端A, B两点的俯角分别为60°和45°，则桥AB的 长度为 米 知识点二：方位角问题 3.（百色中考)如图，在距离铁轨200米的B处， 观察由南宁开往百色的动车.当动车车头在 A处时，恰好位于B处的北偏东60°方向上. 10秒钟后，动车车头到达C处，恰好位于B 处的西北方向上，则这时段动车的平均速度 是( )米/秒 北 西B 东 A.20(√3+1) B.20(w3-1) C.200 D.300 20 做神龙题得好成绩 第一章直角三角形的边角关系☑ 知识点三：倾斜角问题 测得海岛B在C点的北偏东15°方向，求海岛 5.一座楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线， B离此航线的最近距离.（结果保留两位小 CA是水平线，BA与CA的夹角为O.现要在 数，参考数据：W3≈1.732，W2≈1.414) 楼梯上铺一条地毯，已知CA=4m,楼梯宽度 为1m,则地毯的面积至少为() A.4 sin mi B.4 cos m3 C.（4+ 41 tanb/m2 D.(44tan)m2 -4m 第5题图 第6题图 6.如图，长为4m的梯子搭在墙上与地面成45° 即培优创新 >>>>>>>>难度等级综合题 角，作业时调整为60°角，则梯子的顶端沿墙 10.[模型观念]如图所示，体育场内一看台与地 面升高了 m 面所成夹角为30°，看台最低点A到最高点 即能力提升 难度等级中等题】 B的距离为10√3米，A,B两点正前方有垂 7.(金华中考)如图，两根竹竿AB和AD斜靠在 直于地面的旗杆DE.在A,B两点处用仪器 墙CE上，量得∠ABC=a,∠ADC=B,则竹 测量旗杆顶端E的仰角分别为60°和15°. 竿AB与AD的长度之比为( ) (1)求AE的长， A.tana B. sinB C.Sina D.cosB (2)已知旗杆上有一面旗在离地1米的F点 tanB sina sinB coSa 处，这面旗以0.5米/秒的速度匀速上升，求 这面旗到达旗杆顶端需要多长时间. D --G 45°>D 看合 C地面A E 第7题图 第8题图 8.如图，某大楼AB的底部右侧有一障碍物，在 障碍物的旁边有一幢小楼DE,在小楼的顶端 D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°，测得 大楼顶端A的仰角为45°（点B,C,E在同一 水平直线上)，已知AB=80m,DE=10m,则 障碍物B,C两点间的距离为 m. (结果保留根号) 9.（绵阳中考变式)一艘在南北航线上的海监 船，于A点处测得海岛B在点A的南偏东 30°方向，继续向南航行30海里到达C点时， 做神龙题得好成绩21培优专题2：走进四边形解直角三角形 ∠CBE=∠ACB=15°，则∠BED=30°，BE=CE.设BD 1.B2B3244A59 =x,则AB=BE=CE=2x,AD=DE=√3x,.AC= 6.C7.80 AD十DE+CE=2√3x+2x.'AC=30,.2√3x+2x= 8.（1)证明：△ABF≌△CBE,∴.∠ABF=∠CBE ,∠ABF+∠CBF=90°，∴.∠CBF+∠CBE=90°， 30,解得z=15W5-D≈5.49，即海岛B离此航线的最 2 即∠EBF=90°.(2)解：，△ABF≌△CBE,∠AFB 近距离约为5.49海里. =∠CEB.·∠FGA=∠EGB,∴.∠FAC=∠EBF=90°， 10.解：(1)BG/CD,∴∠GBA=∠BAC=30°.又，∠GBE 正方形ABCD的边长为1，CE=2,∴.AC=√2，AF= =15°，.∠ABE=45°.∠EAD=60°，∠BAC=30°， CR-2nAPC-怨-号 ,.∠BAE=90°，∴.∠AEB=45°，，∴.AB=AE=10W3.故 AE的长为10W3米.(2)在Rt△ADE中，sin∠EAD= 5三角函数的应用 第1课时三角函数在实际问题中的应用(1) DE=103× 2=15.又DF=1,.EF= 1.D 14 14,0.5-28(秒).故这面旗到达旗杆顶端需要28秒， 2.(403+120)3.A 4.解：如图，过点D作DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F.由 第2课时三角函数在实际问题中的应用(2) 题意，得∠CDF=37°，CD=200米，在Rt△CDF中， 1.A2.A sinCDF--需-sn7r=0.60,o∠CDF-2S-as7 3.D 4.(4√3-4) ≈0.80，.∴.CF≈200×0.60=120（米），DF≈200X0.80= 5.3.75[解析]如图，连接BD,作OB A 160(米).AB⊥BC,DF⊥BC,DE⊥AB,∴.∠B= ⊥CD于点O.∠BCD=60°，AB C ∠DFB=∠DEB=90°，.四边形BFDE是矩形，.BF= 长为4m,C为AB的中点，∴.QC= 0 DE,BE=DF=160米，∴.AE=AB-BE=300-160= 1 140(米).在Rt△ADE中，tan∠DAE=DE BC=1 m,OB-/30C-/3m.CD AE =tan65°≈ 为xm,则OD=DC-QC=(x一1)m, 地面 2.14,.DE≈140×2.14=299.6（米），∴.BF=DE=299.6米， BD=CD-0.5=(x-0.5)m,OB=√3m,由勾股定理，得 ∴.BC=BF+CF=299.6+120≈420（米），故革命纪念碑 (x-0.5)2=(x-1)2+(W3)2,解得x=3.75.故立柱CD 与党史纪念馆之间的距离约为420米. 的长为3.75m. 门口 6.解：(I):点B为AD'的中点，∴AB=号AD.:AD' 659 40cm,.AB=20cm.(2)如图，过点B作BE⊥AD于 E D人民英雄雕塑 点E.由题知AB=BD,.AD=2AE.,AP平分∠BAC, 37°↑ Bh ∠BAC=140,i∠BAE-号∠BAC=70:在RAABE中，本 革命纪念碑 F 党史纪念馆 AB=20cm,.AE=AB· cos70°≈20×0.34=6.8(cm), 5.D6.(2√3-2√2) .AD=2AE=13.6(cm). 7B[解折]在R△ACD巾，：np-S:AD- AC sinB' 在 .AD'=40cm,.40-13.6 =26.4(cm).故伞圈D沿着 AC Rt△ABC中，，sina= ..AB= AC AC AB sina 伞柄向下滑动的距离约为 sina ,…ADAC 26.4cm sing 7.解：如图，过点D作DF⊥BC于点F,A 二，放选B 延长DE交AC于点M.由题意，得M9E 北 EM⊥AC,DF=MC,∠AEM=29° 8.(70-10√3) 9.解：如图所示，由题意知， 在RADFB中，sns0r-BS则Dr 80° ∠BAC=30°，∠ACB=15°，作 =BD·sin80°，AM=AC-CM= BD⊥AC于点D,以点B为顶 1790-1700×sin80°.在Rt△AME中，sin29°= AM AE,故 点，BC为边，在△ABC内部作 AE=A4=1790-1700×sin80°≈238(m.答：斜坡 sin29 sin29 RAB6r中，mBF-票P=-B装 0.75 AE的长度约为238m. =276.8(m).,CE=8×(15+50)=520(m),∴.AB=CF =CE-EF≈243(m).答：隧道AB的长度约为243m. 8.解：(l),新坡面的坡度为1：√3，.tana=tan∠CAB= 1 北 C160° YD 37°yE 一3，∴a=30.答：新坡面的坡角&为30，(2)文化墙 PM不需要拆除.理由：如图，过点C作CD⊥AB于点D, 则CD=6.:坡面BC的坡度为1：1，新坡面的坡度为 B 1:3,..BD=CD=6,AD=6√3，.AB=AD-BD= 培优专题3：解直角三角形的几种基本模型 6√5一6<8，.文化墙PM不需要拆除. 1.√52.7 M 3.解：(1)在Rt△AOC中，，∠AOC=90°，∠AC0=30°，AC =8kmA0=号AC=号×8=4(km.(2)在 PAB D Rt△AOC中，，∠AOC=90°，∠ACO=30°，AC=8km, 9.解：(1)如图①，过点C作CP⊥AE于点P,过点B作BQ ⊥CP于点Q,则PQ=AB=50cm.:∠ABC=143°， 00-AC=45km在R△BC中，∠B0C=90, .∠CBQ=53°，.在Rt△BCQ中，CQ=BC·sin53°≈70 ∠BC0=45°，∴.∠B00=∠OBC=45°，.OB=OC=4W3km, ×0.8=56(cm).,CD∥l,.DE=CP=CQ+PQ=56+ ∴.AB=OB-OA=(4√5一4)km,∴.飞船从A处到B处的 50=106(cm).故手臂端点D离操作台1的高度DE的长 约为106cm.(2)能.理由如下：当点B,C,D共线且点D 平均建度为。a3m/。 在l上时，如图②，BD=BC+CD=70+60=130(cm),AB 4.(100+1003) =50cm.在Rt△ABD中，AB2+AD2=BD2,.AD=120cm 5.解：如图，过点C作CD⊥AB于点D,在点A的正北方向 >110cm,'.手臂端点D能碰到点M. 上取点M,在点B的正北方向上取点N,由题意，得 ∠MAB=∠NBA=90°，∠MAC=60°，∠NBC=45°，AC =60√2海里，∴.∠CDA=∠CDB=90°.，'在Rt△ACD .0Q 中，∠CAD=∠MAB-∠MAC=90°-60°=30°，.CD= ?AC=302海里，：在R△BCD中，∠CBD=∠NBD日 EM MD I ① ② ∠NBC=90°-45°=45°，.BC=√2CD=60海里.，60÷ 50=1.2(小时)，∴.从B处到达C处需要1.2小时. 6利用三角函数测高 M 1.C2.A3.34.4055.12.7 609 6.B7.C8.(20√3-20)9.5.7 10.解：延长AD交FG于H,则四边形ABGH是矩形，AB= CD=GH=35m,AH=BG.设FH=xm.在Rt△AFH 6.8 中，AH=器孟G=DH=击-20，在 7.解：如图，延长CD,交AE于点E,可得DE⊥AE.在 Rt△AED中，AE=BC=40m,∠EAD=45°，'.ED=40m.在 R△F0G中，s5r-器2.1≈+35，=8.7， Rt△ABC中，∠BAC=90°-60°=30°，BC=40m,∴.AB= 1.120 x 403≈69.3(m),则CD=EC-ED=AB-ED=40√3-40 ≈29.3(m).答：这两座建筑物AB,CD的高度分别约为 .FG=FH十GH=84.7+35≈120(m).答：该信号发射 69.3m和29.3m. 塔顶端到地面的高度FG约为120m. 11.解：(1)由题意，得CD=8×15=120(m).在Rt△ACD 中，ADC=2SAC=CD·t6乙ADC=CD· tan60°=120X√3=120√3(m).答：无人机的高度AC是 1203m.(2)如图，过点B作BF⊥CD于点F,则四边 形ABFC是矩形，∴.BF=AC=120V3m,AB=CF.在 B C 同行学案学练测·13·