专题07 四边形综合问题（复习讲义）（浙江专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题07 四边形综合问题 目 录 01 析·考情目标 02 筑·专题框架 03 攻·重难考点 真题动向 题型一：平行四边形的性质和判定 题型二：矩形的性质和判定 题型三：菱形的性质和判定 题型四：正方形的性质和判定 必备知识 知识1 平行四边形的性质和判定 知识2 矩形的性质和判定 知识3 菱形的性质和判定 知识4 正方形的性质和判定 命题预测 命题 透视 命题形式：根据近5年浙江省中考数学试题，四边形综合问题的命题形式主要为解答题，多位于试卷第20-24题中后部压轴位置，常与三角形、相似、旋转变换及函数结合考查，难度较高。 命题内容： 1. 特殊四边形性质与判定：考查矩形、菱形、正方形的性质与判定，结合折叠、轴对称、旋转变换进行综合证明与计算。 2. 动态几何与综合应用：包括动点问题、最值问题、图形面积计算及与三角形相似、全等结合的探究性问题。 热考角度 考点 2025年 2024年 2023年 2022年 2021年 四边形与三角形综合压轴 T24：菱形与三角形综合（轴对称、最值） T22：菱形与三角形综合（轴对称、面积比） T24：正方形与三角形综合（翻折、最值） T16：菱形与相似三角形综合 T25：新定义“比例三角形”与四边形综合 特殊平行四边形（菱形、正方形、矩形）的性质与判定 T16：菱形性质与三角形综合 T15：菱形性质与折叠问题 T22：矩形翻折问题（折叠、对称） T19：菱形性质与相似 T9：矩形与勾股定理综合 命题预测 对2026年中考数学试题的考情预测： 1. 压轴地位稳固：将继续作为几何压轴题核心，与三角形、相似综合命题，分值约10-12分。 2. 动态探究深化：动点问题、最值问题将持续出现，考查分类讨论与数形结合思想。 3. 情境创新：可能融入项目化学习背景，考查从复杂图形中提炼基本模型的能力。 备考建议： 1. 夯实基础：熟练掌握矩形、菱形、正方形的性质与判定，确保基本概念清晰。 2. 突破中档：针对折叠问题、中点四边形进行专项训练，掌握常用辅助线添加方法。 3. 强化综合：练习与三角形全等、相似及函数结合的综合性题目，提升几何直观能力。 4. 关注创新：适应新定义、项目化试题，培养“确定即可求”的解题理念，将复杂图形拆解为基本图形。 题型一 平行四边形的性质和判定 1. 性质运用：熟练掌握对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分，常用于线段相等、角度计算或中点问题。 2. 判定方法：从边、角、对角线三角度判定，即一组对边平行且相等、两组对边分别相等或平行、对角线互相平分。 3. 构造转化：遇平行四边形问题，常通过连接对角线构造全等三角形或利用对称性简化问题。 1．（2023·浙江杭州·中考真题）如图，平行四边形的对角线相交于点，点在对角线上，且，连接，．    (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若的面积等于2，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)1 【分析】（1）根据平行四边形对角线互相平分可得，，结合可得，即可证明四边形是平行四边形； （2）根据等底等高的三角形面积相等可得，再根据平行四边形的性质可得． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形． （2）解：，， ， 四边形是平行四边形， ． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，解题的关键是掌握平行四边形的对角线互相平分． 2．（2023·浙江台州·中考真题）如图，四边形中，，，为对角线．    (1)证明：四边形是平行四边形． (2)已知，请用无刻度的直尺和圆规作菱形，顶点E，F分别在边，上（保留作图痕迹，不要求写作法）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）先证明，再证明，即，从而可得结论； （2）作对角线的垂直平分线交于，交于，从而可得菱形． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， 即． ∴． ∴四边形是平行四边形． （2）如图，    四边形就是所求作的菱形． 【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，作线段的垂直平分线，菱形的判定，熟练的利用菱形的判定进行作图是解本题的关键． 3．（2024·浙江·中考真题）尺规作图问题： 如图1，点E是边上一点（不包含A，D），连接．用尺规作，F是边上一点． 小明：如图2．以C为圆心，长为半径作弧，交于点F，连接，则． 小丽：以点A为圆心，长为半径作弧，交于点F，连接，则． 小明：小丽，你的作法有问题，小丽：哦……我明白了！ (1)证明； (2)指出小丽作法中存在的问题． 【答案】(1)见详解 (2)以点A为圆心，长为半径作弧，与可能有两个交点，故存在问题 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质， （1）根据小明的作图方法证明即可； （2）以点A为圆心，长为半径作弧，与可能有两个交点，据此作答即可． 【详解】（1）∵， ∴， 又根据作图可知：， ∴四边形是平行四边形， ∴； （2）原因：以点A为圆心，长为半径作弧，与可能有两个交点， 故无法确定F的位置， 故小丽的作法存在问题． 4．（2023·浙江绍兴·中考真题）在平行四边形中（顶点按逆时针方向排列），为锐角，且．    (1)如图1，求边上的高的长． (2)是边上的一动点，点同时绕点按逆时针方向旋转得点． ①如图2，当点落在射线上时，求的长． ②当是直角三角形时，求的长． 【答案】(1)8 (2)①；②或 【分析】（1）利用正弦的定义即可求得答案； （2）①先证明，再证明，最后利用相似三角形对应边成比例列出方程即可； ②分三种情况讨论完成，第一种：为直角顶点；第二种：为直角顶点；第三种，为直角顶点，但此种情况不成立，故最终有两个答案． 【详解】（1）在中，， 在中，． （2）①如图1，作于点，由（1）得，，则， 作交延长线于点，则，    ∴． ∵ ∴． 由旋转知， ∴． 设，则． ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴． ②由旋转得，， 又因为，所以． 情况一：当以为直角顶点时，如图2．    ∵， ∴落在线段延长线上． ∵， ∴， 由（1）知，， ∴． 情况二：当以为直角顶点时，如图3．    设与射线的交点为， 作于点． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴． 设，则， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 化简得， 解得， ∴． 情况三：当以为直角顶点时， 点落在的延长线上，不符合题意． 综上所述，或． 题型二 矩形的性质和判定 1. 性质运用：矩形具有平行四边形所有性质，且四个角为直角、对角线相等，常用于角度计算及线段证明。 2. 判定方法：通过一个角为直角的平行四边形、对角线相等的平行四边形或三个角为直角的四边形判定。 3. 直角三角形结合：矩形对角线相等且互相平分，常构造直角三角形利用勾股定理或斜边中线性质求解。 1．（2023·浙江温州·中考真题）如图，已知矩形，点E在延长线上，点F在延长线上，过点F作交的延长线于点H，连结交于点G，．    (1)求证：． (2)当，时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据等边对等角得出，根据矩形的性质得出，，即可证明，根据全等三角形的性质得出，进而即可求解； （2）根据，得出，设，则， ，，根据相似三角形的性质列出等式，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴． ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴，即． （2）∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 设，∵， ∴，， ∴， 解得， ∴．    2．（2022·浙江绍兴·中考真题）如图，在矩形中，，，动点从点出发，沿边，向点运动，，关于直线的对称点分别为，，连结． (1)如图，当在边上且时，求的度数． (2)当在延长线上时，求的长，并判断直线与直线的位置关系，说明理由． (3)当直线恰好经过点时，求的长． 【答案】(1)∠AEM＝90°； (2)DE＝；MN∥BD，证明见解析； (3)DE的长为或． 【分析】（1）由DE＝2知，AE＝AB＝6，可知∠AEB＝∠MEB＝45°，从而得出答案； （2）根据对称性得，∠ENC＝∠BDC，则cos∠ENC＝，得EN＝，利用SSS证明△BMN≌△DCB，得∠DBC＝∠BNM，则MN∥BD； （3）当点E在边AD上时，若直线MN过点C，利用AAS证明△BCM≌△CED，得DE＝MC；当点E在边CD上时，证明△BMC∽△CNE，可得，从而解决问题． 【详解】（1）解：∵DE=2， ∴AE＝AB＝6， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝90°， ∴∠AEB＝∠ABE＝45°， 由对称性知∠BEM＝45°，     ∴∠AEM=∠AEB+∠BEM＝90°； （2）如图1， ∵AB=6，AD=8， ∴由勾股定理得BD=10， ∵当N落在BC延长线上时，BN＝BD＝10， ∴CN＝2． 由对称性得，∠ENC＝∠BDC， ∴cos∠ENC＝， ∴EN＝， ∴DE＝EN＝； 直线MN与直线BD的位置关系是MN∥BD． 由对称性知BM＝AB＝CD，MN＝AD＝BC， 又∵BN＝BD， ∴△BMN≌△DCB（SSS）， ∴∠DBC＝∠BNM， 所以MN∥BD； （3）①情况1：如图2，当E在边AD上时，直线MN过点C， ∴∠BMC＝90°， ∴MC＝． ∵BM＝AB＝CD，∠DEC＝∠BCE，∠BMC＝∠EDC＝90°， ∴△BCM≌△CED（AAS）， ∴DE＝MC＝； ②情况2：如图3，点E在边CD上时， ∵BM＝6，BC＝8， ∴MC＝，CN＝8-， ∵∠BMC＝∠CNE＝∠BCD＝90°， ∴∠BCM＋∠ECN＝90°， ∵∠BCM＋∠MBC＝90°， ∴∠ECN＝∠MBC， ∴△BMC∽△CNE， ∴， ∴EN， ∴DE＝EN＝． 综上所述，DE的长为或． 3．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在矩形中，，点E是边上的动点，连结，以为边作矩形（点D，G在的同侧），且，连结． (1)如图1，当点E为边的中点时，点B，E，F在同一直线上，求的长． (2)如图2，若，设与交于点K．求证：． (3)在点E的运动过程中，的长是否存在最大（小）值？若存在，求出的最值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)存在，最小值，最大值 【分析】（1）当点E在的中点时可得，则和是等腰直角三角形，分别求出和的长，然后根据线段的和差即可解答； （2）如图：过B作交于M，由可得，即可得到得到，推出，再由得到，最后证明，然后根据全等三角形的性质即可证明结论； （3）如图：过点F作的垂线，交延长线于点M，过点E作的平行线交于点N，交于点P．设．然后证明可得，根据勾股定理可得，进而得到，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵矩形中，， ∴，，， ∵点E在的中点 ∴， ∴，， ∵点B、E、F在同一直线上， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴． （2）证明：如图：过B作交于H， ∵， ∴，， ∵， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ， ∴． （3）解：存在，的最小值，最大值． 如图：过点F作的垂线，交延长线于点M，过点E作的平行线交于点N，交于点P．则 设． ∵四边形和四边形都是矩形， ， ∴， ∴， ∵， ， ，即， ， ∴在中，， 即，                 当时，y有最小值为．                      ， ∴当时，y有最大值为， ∴在点E的运动过程中，的长存在最小值，最大值． 4．（2023·浙江衢州·中考真题）如图1，点为矩形的对称中心，，，点为边上一点，连接并延长，交于点，四边形与关于所在直线成轴对称，线段交边于点．    (1)求证：； (2)当时，求的长； (3)令，． ①求证：； ②如图2，连接，，分别交，于点，.记四边形的面积为，的面积为.当时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)①见解析；② 【分析】（1）根据轴对称和矩形的性质，证明，即可解答； （2）过点作于，设，则，求得，再利用勾股定理，列方程即可解答； （3）①过点作于，连接，证明，可得，得到，即可解答； ②连接，证明，进而证明，进而证明，可得，再证明，得到，再得到，最后根据①中结论，即可解答． 【详解】（1）证明：四边形为矩形， ， ， 四边形与关于所在直线成轴对称， ， ， ； （2）解：如图，过点作于， 设设，则， ， ， 四边形为矩形， ， 点为矩形的对称中心， ， ， 在中，， 可得方程， 解得（此时，故舍去0）， ；    （3）解：①证明：过点作于，连接， 点为矩形的对称中心， ，， ， ， ， ， ， ，即， ，， ；    ②如图，连接， 由题意可得, 点为矩形的对称中心， ， 同理可得， 由（1）知， ， 即， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 当时，由①可得， 解得， ， ， ．    题型三 菱形的性质和判定 1. 性质运用：菱形具有平行四边形所有性质，且四条边相等、对角线互相垂直平分且平分内角，常用于求边长、角度或面积（对角线积一半）。 2. 判定方法：通过一组邻边相等的平行四边形、对角线互相垂直的平行四边形或四条边相等的四边形判定。 3. 对称性：菱形是轴对称图形，常结合等腰三角形或直角三角形进行相关计算。 1．（2023·浙江嘉兴·中考真题）如图，在菱形中，于点，于点，连接    (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据菱形的性质的三角形全等即可证明． （2）根据菱形的性质和已知条件可推出度数，再根据第一问的三角形全等和直角三角形的性质可求出和度数，从而求出度数，证明了等边三角形，即可求出的度数． 【详解】（1）证明：菱形， ， 又， ． 在和中， ， ． ． （2）解：菱形， ， ， ． 又， ． 由（1）知， ． ． ， 等边三角形． ． 2．（2025·浙江·中考真题）在菱形中，． (1)如图1，求的值． (2)如图2，E是延长线上的一点，连接，作与关于直线对称，交射线于点P，连接． ①当时，求的长． ②求的最小值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）先根据菱形的性质可得，再根据勾股定理可得，然后根据正弦的定义求解即可得； （2）①连接，设交于点，同理求出，则；证明，得到，由轴对称的性质可得，则，据此可得，即可得到； ②由勾股定理得，根据，可求出，根据，可推出当有最小值时，有最小值，即此时有最大值，即当有最小值时，有最小值；过点B作于H，于T，由等面积法可得，则由轴对称的性质可得，由勾股定理得，则当有最小值时，有最小值，由垂线段最短可知，故当点P与点T重合时，有最小值，最小值为，据此求解即可． 【详解】（1）解：如图1，设交于点， ∵在菱形中，， ∴， ∴， ∴； （2）解：①如图所示，连接，设交于点， ∵四边形是菱形， ∴，，，， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴， ∴； ②在中，由勾股定理得 ∵， ∴ ， ∵， ∴要使的值最小，则要最大， ∴要有最小值， 又∵的值随着的值增大而增大， ∴的值随着的值增大而增大， ∴当有最小值时，有最小值，即此时有最大值， ∴当有最小值时，有最小值； 如图所示，过点B作于H，于T， ∵， ∴， ∴由轴对称的性质可得， 在中，由勾股定理得， ∴当有最小值时，有最小值， 由垂线段最短可知， ∴当点P与点T重合时，有最小值，最小值为， ∴， ∴． 3．（2022·浙江衢州·中考真题）如图，在菱形ABCD中，AB=5，BD为对角线.点E是边AB延长线上的任意一点，连结交于点，平分交于点G． (1)求证：. (2)若． ①求菱形的面积. ②求的值. (3)若，当的大小发生变化时（），在上找一点，使为定值，说明理由并求出的值． 【答案】(1)见解析 (2)①24，② (3)＝，理由见解析 【分析】（1）由菱形的性质可证得∠CBD＝∠ABD＝∠ABC，由平分交于点G，得到∠CBG＝∠EBG＝∠CBE，进一步即可得到答案； （2）①连接AC交BD于点O,Rt△DOC中，OC＝，求得AC＝8，由菱形的面积公式可得答案；②由BGAC，得到，DH＝HG，DG＝2DH，又由DG＝2GE，得到EG＝DH＝HG，则，再证明△CDH∽△AEH，CH＝AC＝，OH＝OC－CH＝4－＝，利用正切的定义得到答案； （3）过点G作GTBC，交AE于点T，△BGE∽△AHE，得AB＝BE＝5，则EG＝GH，再证△DOH∽△DBG，得DH＝GH＝EG，由△EGT∽△EDA得，GT＝，为定值，即可得到ET的值． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴BC＝DC，ABCD， ∴∠BDC＝∠CBD，∠BDC＝∠ABD， ∴∠CBD＝∠ABD＝∠ABC， ∵平分交于点G， ∴∠CBG＝∠EBG＝∠CBE， ∴∠CBD＋∠CBG＝（∠ABC＋∠CBE）＝×180°＝90°， ∴∠DBG＝90°； （2）解：①如图1，连接AC交BD于点O， ∵四边形ABCD是菱形，BD＝6， ∴OD＝BD＝3，AC⊥BD， ∴∠DOC＝90°， 在Rt△DOC中，OC＝， ∴AC＝2OC＝8， ∴， 即菱形的面积是24． ②如图2，连接AC，分别交BD、DE于点O、H， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∵∠DBG＝90° ∴BG⊥BD， ∴BGAC， ∴， ∴DH＝HG，DG＝2DH， ∵DG＝2GE， ∴EG＝DH＝HG， ∴， ∵ABCD， ∴∠DCH＝EAH，∠CDH＝∠AEH， ∴△CDH∽△AEH， ∴， ∴CH＝AC＝， ∴OH＝OC－CH＝4－＝， ∴tan∠BDE＝； （3）如图3，过点G作GTBC交AE于点T，此时ET＝． 理由如下：由题（1）可知，当∠DAB的大小发生变化时，始终有BGAC， ∴△BGE∽△AHE， ∴， ∵AB＝BE＝5， ∴EG＝GH， 同理可得，△DOH∽△DBG， ∴， ∵BO＝DO， ∴DH＝GH＝EG， ∵GTBC， ∴GTAD， ∴△EGT∽△EDA， ∴， ∵AD＝AB＝5， ∴GT＝，为定值， 此时ET＝AE＝（AB＋BE）＝． 题型四 正方形的性质和判定 1. 性质运用：正方形具有矩形和菱形的所有性质，即四边相等、四角为直角、对角线相等且垂直平分，常用于综合几何证明。 2. 判定方法：通过一组邻边相等的矩形、一个角为直角的菱形或对角线相等且垂直的平行四边形判定。 3. 模型构造：常与等腰直角三角形结合，利用旋转、全等构造“K”型全等模型解决问题。 1．（2025·浙江·中考真题）【问题背景】 如图所示，某兴趣小组需要在正方形纸板上剪下机翼状纸板（阴影部分），点E在对角线上． 【数学理解】 (1)该机翼状纸板是由两个全等三角形组成，请写出的证明过程． (2)若裁剪过程中满足，求“机翼角”的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定，等边对等角，三角形内角和定理，熟知相关知识是解题的关键． （1）由正方形的性质可得，据此可利用证明； （2）由正方形的性质可得，再由等边对等角和三角形内角和定理求出的度数即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在正方形中，是对角线上的一点（与点不重合），分别为垂足．连接，并延长交于点．    (1)求证：． (2)判断与是否垂直，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)与垂直，理由见解析 【分析】（1）由正方形的性质，得到，结合垂直于同一条直线的两条直线平行，可得，再根据平行线的性质解答即可； （2）连接交于点，由证明，再根据全等三角形对应角相等得到，继而证明四边形为矩形，最后根据矩形的性质解答即可． 【详解】（1）解：在正方形中， ∴， ∴． （2）与垂直，理由如下． 连接交于点． ∵为正方形的对角线， ∴， 又∵， ∴， ∴． 在正方形中，， 又∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴． 3．（2023·浙江杭州·中考真题）在边长为的正方形中，点在边上（不与点，重合），射线与射线交于点． (1)若，求的长． (2)求证：． (3)以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点．若，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）证明，利用相似三角形的对应边成比例求解； （2）证明，利用相似三角形的对应边成比例证明； （3）设，则，，在中，利用勾股定理求解． 【详解】（1）解：由题知，， 若，则． 四边形是正方形， ， 又， ， ， 即， ． （2）证明：四边形是正方形， ，， ， ， ， ． （3）解：设， 则，． 在中，， 即， 解得． ． 4．（2022·浙江杭州·中考真题）在正方形ABCD中，点M是边AB的中点，点E在线段AM上（不与点A重合），点F在边BC上，且，连接EF，以EF为边在正方形ABCD内作正方形EFGH． (1)如图1，若，当点E与点M重合时，求正方形EFGH的面积， (2)如图2，已知直线HG分别与边AD，BC交于点I，J，射线EH与射线AD交于点K． ①求证：； ②设，和四边形AEHI的面积分别为，．求证：． 【答案】(1)5 (2)①见解析；②见解析 【分析】（1）由中点定义可得，从而可求，然后根据勾股定理和正方形的面积公式可求正方形EFGH的面积； （2）①根据余角的性质可证，进而可证，然后利用相似三角形的性质和等量代换可证结论成立； ②先证明，再证明，利用相似三角形的性质和锐角三角函数的定义整理可得结论． 【详解】（1）解：∵，点M是边AB的中点， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理，得 ， ∴正方形EFGH的面积为5． （2）解：①由题意知， ∴， ∵四边形EFGH是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴． ②由①得， 又∵，， ∴， 设的面积为． ∵∠K=∠K， ∠KHI=∠A=90°， ∴， ∴， ∴． 知识1 平行四边形的性质和判定 1. 性质： 对边平行且相等；对角相等，邻角互补；对角线互相平分；是中心对称图形。 2. 判定： 两组对边分别平行；两组对边分别相等；一组对边平行且相等；对角线互相平分；两组对角分别相等。 3. 应用： 常与全等三角形结合，通过证全等得边角关系，是学习特殊四边形的基础。 知识2 矩形的性质和判定 1. 性质： 具有平行四边形所有性质；四个角都是直角；对角线相等且互相平分；是轴对称图形（2条对称轴）。 2. 判定： 平行四边形+一个直角；平行四边形+对角线相等；三个角是直角的四边形。 3. 应用： 直角三角形斜边中线等于斜边一半常用于矩形中对角线相关计算。 知识3 菱形的性质和判定 1. 性质： 具有平行四边形所有性质；四条边都相等；对角线互相垂直且平分内对角；是轴对称图形（2条对称轴）。 2. 判定： 平行四边形+一组邻边相等；平行四边形+对角线垂直；四条边都相等的四边形。 3. 面积公式： S =×对角线乘积，也可用底×高，两种方法灵活运用。 知识4 正方形的性质和判定 1. 性质： 具有平行四边形、矩形、菱形所有性质；四边相等、四角直角；对角线相等、垂直、互相平分，且平分内角。 2. 判定： 矩形+一组邻边相等；菱形+一个直角；平行四边形+对角线相等且垂直。 3. 对称性： 既是中心对称图形，又是轴对称图形（4条对称轴），综合性最强。 1．（2026·浙江杭州·一模）如图，在菱形中，与相交于点O，，垂足为点M，交于点N，若，，则的长为（    ） A． B．5 C． D． 【答案】C 【分析】根据菱形的性质可得，，通过互余关系证明，进而证得，利用相似比求出的长，最后在中利用勾股定理求出的长． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴在中，． 2．（2026·浙江杭州·一模）如图，正方形中，E为对角线上一点，连接，过点E作交的延长线于F，交于M，若，且，则线段的长为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】首先，添加辅助线，然后，证得四边形是矩形，四边形是正方形，再由，，，得，接着，证得，得，，最后，证得是的中位线，得，即． 【详解】解：如图，过点作于点，于点，于点， ∵四边形是正方形，E为对角线上一点， ∴，， ∵，，， ∴，，，即， ∴四边形是矩形，四边形是正方形， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∴． 3．（2026·浙江·模拟预测）如图，中，，，分别在上，连接，，若，与的面积相等，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据全等可得，，过点作于点，过点作于点，延长交于点，延长交于点，在中，求出，则，利用平行四边形的判定和性质，证明，得出，在中，求出，则．再结合列方程求解即可． 【详解】解：设，则，， ， ，， 如图，过点作于点，过点作于点，延长交于点，延长交于点， ， ， ， 在中，， ， ． 四边形是平行四边形， ，， ， 四边形是平行四边形， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ， 在和中， ， ， ， ， 在中，，， ， ． ， ， 整理得：， 解得：， 由，则． 4．（2026·浙江温州·一模）如图，在平行四边形中，点分别是边上的点．若，，，，则的长为___________． 【答案】 【分析】题目主要考查平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质，理解题意，作出辅助线，熟练掌握运用相似三角形的判定和性质是解题关键． 延长、交于点，根据平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质，通过角度之间的等量代换，证出，，，设，， 利用上述三组相似三角形可得出线段之间的比例关系，建立方程进行求解即可． 【详解】解：延长、交于点，如下图所示： ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵， ，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 设，， ∵， ∴， 即， ∴，， 又∵， ∴， 即， ∴，， ∴， ， ∵， ∴， 即， ∴，解得或（舍去）或（舍去）， 则， 故答案为：． 5．（2026·浙江·二模）如图，菱形中，对角线，相交于点P，与关于点D成中心对称．若，，则___________． 【答案】25 【分析】利用菱形的性质得到与互相垂直平分，从而求得的长和的长，再由与关于点D成中心对称，得到，从而求得的值，利用勾股定理即可得出的长． 【详解】解：在菱形中，与互相垂直平分， ∴，， 又∵与关于点D成中心对称， ∴， ∴，，， ∴， 在中，． 6．（2026·浙江杭州·一模）某中学数学社团开展折纸活动，如图，在一张宽为，长度足够的矩形纸条中剪取矩形纸片（）．先将纸片折出折痕，再在边上取点P，将沿折叠得．记与的交点为Q，在折纸过程中，当点Q平分线段时，恰好平分，则长度应取________． 【答案】7 【分析】延长交于点，过点作于点，通过翻折的性质和角平分线的性质得出相等的边和角，证明，得出相等的边，结合矩形的性质证明，得出相似比，设，表示出相关线段的长度，然后利用勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：如图所示，延长交BC于点E，过点P作于点F， ， 四边形为矩形， ，， 四边形为矩形， ， 根据折叠可得，，， 平分， ， 又， ， ， 点Q平分线段， ， ， ， ， ， 设， 则，， 由勾股定理得， ， 由勾股定理得， 即， 解得（负值已舍）， ． 7．（2026·浙江宁波·模拟预测）在菱形中，，点在边上，连接，与关于直线对称．若点在边的延长线上，且， (1)求的长． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由轴对称的性质可得，即，再根据菱形的性质可得，进而求得，再根据等腰三角形的性质求解即可； （2）利用勾股定理可得，再利用平行线的性质、等边对等角以及等量代换可得，然后根据正弦的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵与关于直线对称， ∴， ∴， ∵在菱形中，， ∴，， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵在中，， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 8．（2026·浙江温州·一模）如图，在矩形中，为延长线上一点，为的中点，以为圆心，长为半径的圆弧经过与的交点，连结． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：由作法知，， 在矩形中，． 为中点． ． （2）． ． 在矩形中，． ． 9．（2025·浙江杭州·二模）如图，在菱形中，点在边上，连接并延长，交的延长线于点，连结交于点，连结． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与方法是解题的关键． （1）利用菱形的性质得，，， ，证明，得，再证明，证明，即可证明； （2）由，结合，得，得，由， 得，可得，得，即可计算． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴，，， ， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 10．（2026·浙江·二模）如图，已知正方形是上的两个动点，交于点． (1)求证：； (2)若四边形的面积为，求的长； (3)求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据证明即可得出结论； （2）由得，可求出，设，其中，则，，，解得，再证明，根据相似三角形的性质列式解答即可； （3）由得，设，则，，求出，，设，则，其中，求得，得出的最小值为，可得出的最小值． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：， ， ， 即， 设，其中，则， ∴， 解得或（舍）， ∵， ∴， ∴，即， ； （3）解：由（1）得， ∴， 设，则，， ∴，， 设，则，其中， ，即， ，解得， ， 的最小值为， 的最小值为． 11．（2026·浙江·模拟预测）如图1，在中，． (1)求的长， (2)把绕点A逆时针旋转，点B、C的对应点分别为E、F． ①当点B的对应点E落在对角线上时，与的交点为G，求四边形的面积； ②如图2，点E在对角线下方时，线段的反向延长线交与点P，连接，求的最小值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）作延长线于H，由平行四边形性质得，，进而通过勾股定理进行求解即可； （2）①由旋转得，，作，利用、设，列方程求m，算出，再由得面积；②先求，得，，将转化为，利用旋转性质得，当时AP最小，代入求得最小值． 【详解】（1）解：如图，作，交的延长线H， ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴， ， ∴，即， 在中，可得， ∴，解得（负值舍去）， ，则， ； （2）解：①如图，作，交于点M， 由旋转可得，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ，， ， ∴， 令， ， 解得， ； ， ； ②如图，过点A作于点Q，过D作于M， 由（1）得，设，则， ∵， ∴ 解得， ∴，． ∴， 在中，， ∵， 又∵，且， ∴ 解得， 在中，， ∵P在上， ∴， ∴， 在中，， ∴， ， ∴， ∴， 要最小化，需最大化，即最小化． 由旋转性质得，， ∴， 由（2）得，， 当时，最小，也最小， 此时是中边上的高， 由旋转性质得，， ∴，即， ∴，解得， 在中，， ∴， ∴． 【点睛】本题以平行四边形旋转为载体，通过构造直角三角形结合三角函数与勾股定理求解线段长，将面积与最值问题转化为方程与函数思想，体现了“化斜为直”“转化化归”的几何解题策略． 12．（2026·浙江·模拟预测）如图，矩形中，．    (1)点E是边上一点，将沿直线翻折，得到． ①如图1，当平分时，求的长； ②如图2，连接，当时，求的面积； (2)点E为射线上一动点，将矩形沿直线进行翻折，点C的对应点为，当点E，，D三点共线时，求的长． 【答案】(1)①；②的面积 (2)的长为或 【分析】（1）①根据折叠的性质以及F平分，得出，根据勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，得出，即可求解；②延长交的延长线于点G，根据折叠的性质以及矩形的性质得出，进而在中，勾股定理求得的长，等面积法求得边上的高，进而根据三角形的面积公式即可求解； （2）分两种情况，①当E在的延长线上时，证明，②当E在线段上时，分别讨论即可求解． 【详解】（1）解：①∵四边形是矩形， ∴， ∵将沿直线翻折，得到， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴ ∴； ②如图所示，延长交的延长线于点G，    ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵将沿直线翻折，得到， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， 即， 解得：， ∴，， 设中边上的高为h，则， ∴， ∴的面积； （2）当点E、、D三点共线时，分两种情况： ①当E在的延长线上时，    ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当E在线段上时，    由折叠的性质得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴； 综上所述，的长为或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 四边形综合问题 目 录 01 析·考情目标 02 筑·专题框架 03 攻·重难考点 真题动向 题型一：平行四边形的性质和判定 题型二：矩形的性质和判定 题型三：菱形的性质和判定 题型四：正方形的性质和判定 必备知识 知识1 平行四边形的性质和判定 知识2 矩形的性质和判定 知识3 菱形的性质和判定 知识4 正方形的性质和判定 命题预测 命题 透视 命题形式：根据近5年浙江省中考数学试题，四边形综合问题的命题形式主要为解答题，多位于试卷第20-24题中后部压轴位置，常与三角形、相似、旋转变换及函数结合考查，难度较高。 命题内容： 1. 特殊四边形性质与判定：考查矩形、菱形、正方形的性质与判定，结合折叠、轴对称、旋转变换进行综合证明与计算。 2. 动态几何与综合应用：包括动点问题、最值问题、图形面积计算及与三角形相似、全等结合的探究性问题。 热考角度 考点 2025年 2024年 2023年 2022年 2021年 四边形与三角形综合压轴 T24：菱形与三角形综合（轴对称、最值） T22：菱形与三角形综合（轴对称、面积比） T24：正方形与三角形综合（翻折、最值） T16：菱形与相似三角形综合 T25：新定义“比例三角形”与四边形综合 特殊平行四边形（菱形、正方形、矩形）的性质与判定 T16：菱形性质与三角形综合 T15：菱形性质与折叠问题 T22：矩形翻折问题（折叠、对称） T19：菱形性质与相似 T9：矩形与勾股定理综合 命题预测 对2026年中考数学试题的考情预测： 1. 压轴地位稳固：将继续作为几何压轴题核心，与三角形、相似综合命题，分值约10-12分。 2. 动态探究深化：动点问题、最值问题将持续出现，考查分类讨论与数形结合思想。 3. 情境创新：可能融入项目化学习背景，考查从复杂图形中提炼基本模型的能力。 备考建议： 1. 夯实基础：熟练掌握矩形、菱形、正方形的性质与判定，确保基本概念清晰。 2. 突破中档：针对折叠问题、中点四边形进行专项训练，掌握常用辅助线添加方法。 3. 强化综合：练习与三角形全等、相似及函数结合的综合性题目，提升几何直观能力。 4. 关注创新：适应新定义、项目化试题，培养“确定即可求”的解题理念，将复杂图形拆解为基本图形。 题型一 平行四边形的性质和判定 1. 性质运用：熟练掌握对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分，常用于线段相等、角度计算或中点问题。 2. 判定方法：从边、角、对角线三角度判定，即一组对边平行且相等、两组对边分别相等或平行、对角线互相平分。 3. 构造转化：遇平行四边形问题，常通过连接对角线构造全等三角形或利用对称性简化问题。 1．（2023·浙江杭州·中考真题）如图，平行四边形的对角线相交于点，点在对角线上，且，连接，．    (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若的面积等于2，求的面积． 2．（2023·浙江台州·中考真题）如图，四边形中，，，为对角线．    (1)证明：四边形是平行四边形． (2)已知，请用无刻度的直尺和圆规作菱形，顶点E，F分别在边，上（保留作图痕迹，不要求写作法）． 3．（2024·浙江·中考真题）尺规作图问题： 如图1，点E是边上一点（不包含A，D），连接．用尺规作，F是边上一点． 小明：如图2．以C为圆心，长为半径作弧，交于点F，连接，则． 小丽：以点A为圆心，长为半径作弧，交于点F，连接，则． 小明：小丽，你的作法有问题，小丽：哦……我明白了！ (1)证明； (2)指出小丽作法中存在的问题． 4．（2023·浙江绍兴·中考真题）在平行四边形中（顶点按逆时针方向排列），为锐角，且．    (1)如图1，求边上的高的长． (2)是边上的一动点，点同时绕点按逆时针方向旋转得点． ①如图2，当点落在射线上时，求的长． ②当是直角三角形时，求的长． 题型二 矩形的性质和判定 1. 性质运用：矩形具有平行四边形所有性质，且四个角为直角、对角线相等，常用于角度计算及线段证明。 2. 判定方法：通过一个角为直角的平行四边形、对角线相等的平行四边形或三个角为直角的四边形判定。 3. 直角三角形结合：矩形对角线相等且互相平分，常构造直角三角形利用勾股定理或斜边中线性质求解。 1．（2023·浙江温州·中考真题）如图，已知矩形，点E在延长线上，点F在延长线上，过点F作交的延长线于点H，连结交于点G，．    (1)求证：． (2)当，时，求的长． 2．（2022·浙江绍兴·中考真题）如图，在矩形中，，，动点从点出发，沿边，向点运动，，关于直线的对称点分别为，，连结． (1)如图，当在边上且时，求的度数． (2)当在延长线上时，求的长，并判断直线与直线的位置关系，说明理由． (3)当直线恰好经过点时，求的长． 3．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在矩形中，，点E是边上的动点，连结，以为边作矩形（点D，G在的同侧），且，连结． (1)如图1，当点E为边的中点时，点B，E，F在同一直线上，求的长． (2)如图2，若，设与交于点K．求证：． (3)在点E的运动过程中，的长是否存在最大（小）值？若存在，求出的最值；若不存在，请说明理由． 4．（2023·浙江衢州·中考真题）如图1，点为矩形的对称中心，，，点为边上一点，连接并延长，交于点，四边形与关于所在直线成轴对称，线段交边于点．    (1)求证：； (2)当时，求的长； (3)令，． ①求证：； ②如图2，连接，，分别交，于点，.记四边形的面积为，的面积为.当时，求的值． 题型三 菱形的性质和判定 1. 性质运用：菱形具有平行四边形所有性质，且四条边相等、对角线互相垂直平分且平分内角，常用于求边长、角度或面积（对角线积一半）。 2. 判定方法：通过一组邻边相等的平行四边形、对角线互相垂直的平行四边形或四条边相等的四边形判定。 3. 对称性：菱形是轴对称图形，常结合等腰三角形或直角三角形进行相关计算。 1．（2023·浙江嘉兴·中考真题）如图，在菱形中，于点，于点，连接    (1)求证：； (2)若，求的度数． 2．（2025·浙江·中考真题）在菱形中，． (1)如图1，求的值． (2)如图2，E是延长线上的一点，连接，作与关于直线对称，交射线于点P，连接． ①当时，求的长． ②求的最小值． 3．（2022·浙江衢州·中考真题）如图，在菱形ABCD中，AB=5，BD为对角线.点E是边AB延长线上的任意一点，连结交于点，平分交于点G． (1)求证：. (2)若． ①求菱形的面积. ②求的值. (3)若，当的大小发生变化时（），在上找一点，使为定值，说明理由并求出的值． 题型四 正方形的性质和判定 1. 性质运用：正方形具有矩形和菱形的所有性质，即四边相等、四角为直角、对角线相等且垂直平分，常用于综合几何证明。 2. 判定方法：通过一组邻边相等的矩形、一个角为直角的菱形或对角线相等且垂直的平行四边形判定。 3. 模型构造：常与等腰直角三角形结合，利用旋转、全等构造“K”型全等模型解决问题。 1．（2025·浙江·中考真题）【问题背景】 如图所示，某兴趣小组需要在正方形纸板上剪下机翼状纸板（阴影部分），点E在对角线上． 【数学理解】 (1)该机翼状纸板是由两个全等三角形组成，请写出的证明过程． (2)若裁剪过程中满足，求“机翼角”的度数． 2．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在正方形中，是对角线上的一点（与点不重合），分别为垂足．连接，并延长交于点．    (1)求证：． (2)判断与是否垂直，并说明理由． 3．（2023·浙江杭州·中考真题）在边长为的正方形中，点在边上（不与点，重合），射线与射线交于点． (1)若，求的长． (2)求证：． (3)以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点．若，求的长． 4．（2022·浙江杭州·中考真题）在正方形ABCD中，点M是边AB的中点，点E在线段AM上（不与点A重合），点F在边BC上，且，连接EF，以EF为边在正方形ABCD内作正方形EFGH． (1)如图1，若，当点E与点M重合时，求正方形EFGH的面积， (2)如图2，已知直线HG分别与边AD，BC交于点I，J，射线EH与射线AD交于点K． ①求证：； ②设，和四边形AEHI的面积分别为，．求证：． 知识1 平行四边形的性质和判定 1. 性质： 对边平行且相等；对角相等，邻角互补；对角线互相平分；是中心对称图形。 2. 判定： 两组对边分别平行；两组对边分别相等；一组对边平行且相等；对角线互相平分；两组对角分别相等。 3. 应用： 常与全等三角形结合，通过证全等得边角关系，是学习特殊四边形的基础。 知识2 矩形的性质和判定 1. 性质： 具有平行四边形所有性质；四个角都是直角；对角线相等且互相平分；是轴对称图形（2条对称轴）。 2. 判定： 平行四边形+一个直角；平行四边形+对角线相等；三个角是直角的四边形。 3. 应用： 直角三角形斜边中线等于斜边一半常用于矩形中对角线相关计算。 知识3 菱形的性质和判定 1. 性质： 具有平行四边形所有性质；四条边都相等；对角线互相垂直且平分内对角；是轴对称图形（2条对称轴）。 2. 判定： 平行四边形+一组邻边相等；平行四边形+对角线垂直；四条边都相等的四边形。 3. 面积公式： S =×对角线乘积，也可用底×高，两种方法灵活运用。 知识4 正方形的性质和判定 1. 性质： 具有平行四边形、矩形、菱形所有性质；四边相等、四角直角；对角线相等、垂直、互相平分，且平分内角。 2. 判定： 矩形+一组邻边相等；菱形+一个直角；平行四边形+对角线相等且垂直。 3. 对称性： 既是中心对称图形，又是轴对称图形（4条对称轴），综合性最强。 1．（2026·浙江杭州·一模）如图，在菱形中，与相交于点O，，垂足为点M，交于点N，若，，则的长为（    ） A． B．5 C． D． 2．（2026·浙江杭州·一模）如图，正方形中，E为对角线上一点，连接，过点E作交的延长线于F，交于M，若，且，则线段的长为（   ） A．2 B． C．1 D． 3．（2026·浙江·模拟预测）如图，中，，，分别在上，连接，，若，与的面积相等，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·浙江温州·一模）如图，在平行四边形中，点分别是边上的点．若，，，，则的长为___________． 5．（2026·浙江·二模）如图，菱形中，对角线，相交于点P，与关于点D成中心对称．若，，则___________． 6．（2026·浙江杭州·一模）某中学数学社团开展折纸活动，如图，在一张宽为，长度足够的矩形纸条中剪取矩形纸片（）．先将纸片折出折痕，再在边上取点P，将沿折叠得．记与的交点为Q，在折纸过程中，当点Q平分线段时，恰好平分，则长度应取________． 7．（2026·浙江宁波·模拟预测）在菱形中，，点在边上，连接，与关于直线对称．若点在边的延长线上，且， (1)求的长． (2)求的值． 8．（2026·浙江温州·一模）如图，在矩形中，为延长线上一点，为的中点，以为圆心，长为半径的圆弧经过与的交点，连结． (1)求证：． (2)若，求的长． 9．（2025·浙江杭州·二模）如图，在菱形中，点在边上，连接并延长，交的延长线于点，连结交于点，连结． (1)求证：． (2)若，求的长． 10．（2026·浙江·二模）如图，已知正方形是上的两个动点，交于点． (1)求证：； (2)若四边形的面积为，求的长； (3)求的最小值． 11．（2026·浙江·模拟预测）如图1，在中，． (1)求的长， (2)把绕点A逆时针旋转，点B、C的对应点分别为E、F． ①当点B的对应点E落在对角线上时，与的交点为G，求四边形的面积； ②如图2，点E在对角线下方时，线段的反向延长线交与点P，连接，求的最小值． 12．（2026·浙江·模拟预测）如图，矩形中，．    (1)点E是边上一点，将沿直线翻折，得到． ①如图1，当平分时，求的长； ②如图2，连接，当时，求的面积； (2)点E为射线上一动点，将矩形沿直线进行翻折，点C的对应点为，当点E，，D三点共线时，求的长． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $