精品解析：湖南常德市2025-2026学年下学期高三年级模拟考试（二模）数学试卷

2026年常德市高三年级模拟考试数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】等价于，得，即， 因为，所以. 2. 已知 是虚数单位，满足，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】复数，则，代入已知条件根据复数相等求解. 【详解】设，则， 所以， 即， 由复数相等得， 解得，所以 ， 故选：A． 3. 一个袋中有6个大小和质地相同的球，其中红球2个，白球4个，现从中不放回地依次随机摸取2次，每次摸出1个球，则第二次摸出的球是红球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】第二次摸出的球是红球有两种情况，利用古典概率公式分类列式计算即得. 【详解】第二次摸出的球是红球的事件有两种情况： 第一次摸到白球，第二次摸到红球的概率为 第一次摸到红球，第二次摸到红球的概率为 则第二次摸出的球是红球的概率为. 故选： 4. 如图，在边长为2的正方形 中， 分别为的中点，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】以为坐标原点建立如图所示直角坐标系， 则，则， 则. 5. 一个圆锥的底面半径与一个球的半径相等，且它们的体积也相等，则圆锥的侧面积与球的表面积的比值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意设圆锥的底面半径与球的半径均为 ，圆锥的母线长为 ，高为，由已知可得，，计算侧面积与球的表面积的比值. 【详解】由题意设圆锥的底面半径与球的半径均为 ，圆锥的母线长为 ，高为． 由，得，， ，则． 6. 已知圆与双曲线的渐近线相切，则椭圆的离心率 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由圆与双曲线渐近线相切得出，即可求解椭圆的离心率． 【详解】由圆得，圆心，半径为1， 双曲线的一条渐近线为 ，即 ， 因为圆与双曲线的渐近线相切， 所以圆心到渐近线 的距离，整理得， 所以椭圆 的离心率． 7. 已知实数满足：，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用指数函数单调性分析不同取值对应的 与1的大小关系，从而判断的符号. 【详解】 因为，所以，即，所以， 设 ，求导得 ， 因为，，因此，即在上是单调递增. 若 ，则，对应 ，得 ，此时 ； 若 ，由单调递增得 ，即， 又是增函数，故 ，此时 ，得 ； 若 ，由单调递增得得，解得 ，此时； 综上，所有情况都满足，选C. 【点睛】本题考查指数函数单调性的应用，核心是利用函数单调性判断变量的取值范围，体现了函数思想在不等式判断中的应用. 8. 已知中，，， 分别是角， ，的对边， 的面积，角的平分线交 于 点，且，则 （ ） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】由三角形的面积公式以及正弦定理的边角互化代入计算可得，由等面积法以及三角形的面积公式代入计算可得，再由余弦定理代入计算，即可得到结果 【详解】，化简得， 再由正弦定理，得， 又， 代入得，整理得． 又，为的内角，则，即． 因为 为 的平分线，所以，， 在中，．① 又， ∴， 则， 化简得， 又 ，∴．② ①代入②，得，解得或（舍去）， ∴， 在中，由余弦定理得， ∴． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用弦化切计算逐项判断即可. 【详解】对于A选项，，A对； 对于B选项，，B错； 对于C选项，，C对； 对于D选项，，D对. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 样本数据2，3，3，4，7，8，10，18的第80百分位数为10 B. 样本数据的正线性相关程度越强，则样本相关系数 的值越大 C. 根据分类变量 与 的成对数据，计算得到，依据 的独立性检验，结论为变量 与 不独立 D. 一元线性回归模型的残差比较均匀地分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A：根据百分位数的定义求解即可；选项B：根据相关系数与相关程度的关系判断即可；选项C：根据小概率值的独立性检验原理判断即可；选项D：根据一元线性回归模型拟合效果判断即可. 【详解】选项A：将样本数据从小到大排列：2，3，3，4，7，8，10，18， 则，所以第80百分位数为第7个数字，即，故A正确. 选项B：样本正相关系数 的取值范围是， 越接近1，随机变量之间的线性相关程度越强. 故正线性相关程度越强，则样本相关系数 越接近1，故B正确. 选项C：在独立性检验中，当时，没有充分证据推断原假设不成立，应认为变量 与 独立，故C错误. 选项D：残差均匀分布在0附近的水平带状区域，则模型拟合效果好，故D正确. 11. 已知 成等差数列，若关于 的方程组恰有组解，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据条件可得直线过定点，再结合题设条件，可将问题转化成与直线恰有个交点，求出过点且与相切的直线方程，可得到，再对各个选项分析判断，即可求解. 【详解】因为 成等差数列，则，代入得到， 整理得到，令，解得， 所以直线过定点，又由，得到， 因为方程组恰有组解，则与直线恰有个交点， 设过点的直线与切于点， 又，则，得到，解得 所以过点且与相切的直线方程为，即， 又的斜率为，由图可知，要使与直线恰有个交点， 则，即，所以，，故A和D正确， 取，显然满足，但 ，所以B错误， 取，显然满足，但，所以C错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知曲线在处的切线 与圆相交于两点，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】求导，根据点斜式求解切线方程，即可根据圆的弦长公式求解. 【详解】由得，故，进而可得曲线在处的切线 方程为：，即 ， 圆心到直线 的距离为， 故.其中 为圆的半径. 13. 已知函数为奇函数，则实数______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据奇函数的定义可将问题转化为对定义域内的任意 恒成立，即可求解 . 【详解】由题意可得对定义域内的任意 恒成立，故，因此， 化简可得：对定义域内的任意 恒成立， 由于是变化的，因此 ，故 . 14. 函数的值域为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先将函数平方，转化为关于的函数，再利用换元法，转化为关于 的函数，利用导数求出 的值域，进而得出函数 的值域． 【详解】因为，所以，所以定义域为， 由题可知，， 令，不妨设， 则， 令，解得或， 当时，，则 在单调递增， 当时，，则 在单调递减， 又， 所以，即， 所以． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的前 项和，． （1）求数列的通项公式； （2）设 ，数列的前 项和为，求证：． 【答案】（1） （2）由（1）知，，则. 所以， 又，所以，则 ，即 . 【解析】 【分析】（1）根据与的关系，推出为等比数列，结合等比数列的通项公式求解即可. （2）求出，结合裂项相消法求出，进一步证明即可. 【小问1详解】 当时，，解得 . 当时，，则， 即，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列， . 【小问2详解】 略 16. 如图，在三棱柱中，平面平面， ， 为的中点． （1）证明：平面 平面； （2）若，求直线 与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）由三棱柱的性质可知四边形，均为平行四边形， 所以，又， 所以， 所以，所以. 因为平面平面，平面 平面， 平面， 所以平面. 如图，连接，与交于点 ，连接， 则 为的中点，所以. 所以 平面， 又平面 ，所以平面 平面. （2） 【解析】 【分析】（1）连接，与交于点 ，根据面面垂直的性质定理可得平面，进而根据及面面垂直的判定定理可得结果；（2）以C为原点建立空间直角坐标系，根据的坐标及平面 的法向量可求结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由三棱柱的性质可知四边形为平行四边形， 所以，，又， 所以， 所以，所以， 由（1）知平面，所以两两垂直， 以C为原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 由 ，可得 由 ，可得 ， 所以 设平面 的法向量为，则，即， 令，可得 . 所以直线 与平面 所成角的正弦值为 ． 17. 泊松分布是一种统计与概率学里常见的离散型分布．若随机变量服从参数为的泊松分布（记作），则其概率分布为，其中为自然对数的底数． （1）当时，泊松分布可以用正态分布来近似，当时，泊松分布基本上就等于正态分布，此时可认为．若，求的值； （2）设，当且时，二项分布可近似看作泊松分布，即，其中. 某工厂生产件电子元器件，次品率为，各元件是否为次品相互独立，记为产品中的次品数，按泊松分布近似计算． （i）若，求产品中恰有2件次品的概率； （ii）求使得最大时的值． （参考数据：；若，则有，，） 【答案】（1） （2）这1000件产品中恰有2件次品的概率为；当为整数时，最大时的值为或；当不为整数时，最大时的值为小于的最大整数. 【解析】 【分析】（1）根据正态分布求解相应区间的概率即可；（2）（i）根据题意将已知数据代入公式即可，（ii）根据最大时列不等式组求解即可. 【小问1详解】 因为， 所以泊松分布基本上就等于正态分布，此时可认为，即． 所以， 由，得 ，即. 【小问2详解】 （i）由题意知，且， 又，所以二项分布可近似看作泊松分布， 所以， 所以，即这1000件产品中恰有2件次品的概率为. （ii）因为最大，所以， 即，解得， 又，所以当为整数时，最大时的值为或； 当不为整数时，最大时的值为小于的最大整数. 18. 抛物线的焦点为 为坐标原点，抛物线上的一点到焦点的距离为． （1）求抛物线的标准方程； （2）已知直线 交抛物线于 两点，直线 交抛物线的准线于点，且 轴． （i）证明：直线 过定点； （i）点为抛物线的准线与 轴的交点，若 的面积与 的面积相等，求直线 的方程． 【答案】（1） （2）（i）证明：由题可设 ，， 由，消 得到 ，则 ， ， 又，所以 ，令，得到， 所以，又 轴，则，得到 ， 所以 ，解得，则 ，所以直线 过定点. （ii） 或 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用抛物线的定义，建立方程组，即可求解； （2）（i）设直线 ，，联直线与抛物线方程，再结合题设条件和根与系数间的关系，得，即可求解；（ii）根据条件，将问题转化成 到直线 的距离相等，再利用点到直线的距离公式，即可求解. 【小问1详解】 因为抛物线上的一点到焦点的距离为， 则，消得到 ，解得 ，所以抛物线的标准方程 . 【小问2详解】 （i）略 （ii）因为在抛物线上，则 ，解得 ，所以，由（i）知 ， 又点为抛物线的准线与 轴的交点，则，又 的面积与 的面积相等， 则 到直线 的距离相等，所以，即 ，解得 ， 所以直线 的方程为 或 . 19. 已知函数 （其中为自然对数的底数）． （1）求函数的单调区间； （2）当时，证明： ； （3）若有两个不同的实数解，且，求证： ． 【答案】（1）单调递减区间是，单调递增区间是. （2）令 ， 则 ， 因为 与的单调性一致，故 在 上单调递增， 因为 ，所以 使得 ， 则当时，当 时， 则 在 上单调递减，在上单调递增， 因为 ， ，所以当 时， ， 故当 时， ； （3）由（1）知， 的单调递减区间是，单调递增区间是， 因为 ，所以 ， 因为 ，所以 ， 令 ，得 ， 由（2）可知， 时， ，故 ， 欲证 ，只需证 ， 即证 ， 因为 ，故只需证 ， 令 ， 则， 因为在上单调递增，且 ，所以 在上恒成立， 则在上单调递减，则 ， 则 ，故命题得证. 【解析】 【分析】（1）根据导函数的正负性判断其单调性； （2）令 ，研究其单调性，求端点处的函数即可； （3）先求出 ，令 得出 ，结合（2）可知 ，将问题转化为求证 ，最后构造函数 求其范围即可. 【小问1详解】 由 得 ， 因为 在 上单调递增，所以在 上单调递增， 因为，所以当 时 ，当 时 ， 故 的单调递减区间是，单调递增区间是. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年常德市高三年级模拟考试数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则 （ ） A. B. C. D. 2. 已知 是虚数单位，满足，则 （ ） A. B. C. D. 3. 一个袋中有6个大小和质地相同的球，其中红球2个，白球4个，现从中不放回地依次随机摸取2次，每次摸出1个球，则第二次摸出的球是红球的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在边长为2的正方形 中， 分别为的中点，则（ ） A. B. 1 C. D. 5. 一个圆锥的底面半径与一个球的半径相等，且它们的体积也相等，则圆锥的侧面积与球的表面积的比值为（ ） A. 1 B. C. D. 6. 已知圆与双曲线的渐近线相切，则椭圆的离心率 （ ） A. B. C. D. 7. 已知实数满足：，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知中，，， 分别是角，，的对边， 的面积，角的平分线交 于 点，且，则 （ ） A. B. C. D. 3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 样本数据2，3，3，4，7，8，10，18的第80百分位数为10 B. 样本数据的正线性相关程度越强，则样本相关系数 的值越大 C. 根据分类变量 与 的成对数据，计算得到，依据 的独立性检验，结论为变量 与 不独立 D. 一元线性回归模型的残差比较均匀地分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内 11. 已知 成等差数列，若关于 的方程组恰有组解，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知曲线在处的切线 与圆相交于两点，则___________． 13. 已知函数为奇函数，则实数______． 14. 函数的值域为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的前 项和，． （1）求数列的通项公式； （2）设 ，数列的前 项和为，求证：． 16. 如图，在三棱柱中，平面平面， ， 为的中点． （1）证明：平面 平面； （2）若，求直线 与平面所成角的正弦值． 17. 泊松分布是一种统计与概率学里常见的离散型分布．若随机变量服从参数为的泊松分布（记作），则其概率分布为，其中为自然对数的底数． （1）当时，泊松分布可以用正态分布来近似，当时，泊松分布基本上就等于正态分布，此时可认为．若，求的值； （2）设，当且时，二项分布可近似看作泊松分布，即，其中. 某工厂生产件电子元器件，次品率为，各元件是否为次品相互独立，记为产品中的次品数，按泊松分布近似计算． （i）若，求产品中恰有2件次品的概率； （ii）求使得最大时的值． （参考数据：；若，则有，，） 18. 抛物线的焦点为 为坐标原点，抛物线上的一点到焦点的距离为． （1）求抛物线的标准方程； （2）已知直线 交抛物线于 两点，直线 交抛物线的准线于点，且 轴． （i）证明：直线 过定点； （i）点为抛物线的准线与 轴的交点，若 的面积与 的面积相等，求直线 的方程． 19. 已知函数 （其中为自然对数的底数）． （1）求函数的单调区间； （2）当时，证明： ； （3）若有两个不同的实数解，且，求证： ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $