专题03 一次函数（专项训练）数学新教材湘教版八年级下册

专题03 一次函数 目录 A题型建模・专项突破 题型一、函数与一次函数的判断 1 题型二、求自变量的取值范围 2 题型三、求自变量的值或函数值 3 题型四、根据一次函数的定义求参数 4 题型五、正比例函数的图像与性质 4 题型六、一次函数的图像与性质 5 题型七、函数图像共存问题 6 题型八、已知一次函数图像经过象限或增减性求参数 8 题型九、从函数的图像获取信息 9 题型十、比较自变量或函数值的大小（常考点） 12 题型十一、画一次函数图像 13 题型十二、一次函数与坐标轴交点问题 14 题型十三、一次函数图像的平移（常考点） 14 题型十四、一次函数图像的对称 15 题型十五、一次函数图像的旋转 16 题型十六、待定系数法求一次函数图像解析式（常考点） 16 题型十七、一次函数的规律探究（难点） 17 题型十八、一次函数与方程（组）、不等式（重点） 20 题型十九、求直线与坐标系所围成的面积 22 题型二十、一次函数的实际应用（重点） 23 题型二十一、一次函数与几何综合（难点） 25 B综合攻坚・能力跃升 题型一、函数与一次函数的判断 1．下列图象中，表示y是x的函数的是（    ）． A． B． C． D． 2．下列关于两个变量的关系，表述不正确的是（   ） A．圆的面积公式中，S是r的函数 B．在匀速运动公式中，s是t的函数 C．光线照到平面镜上，入射角为，反射角为，则是的函数 D．表达式中，y是x的函数 3．有下列6个等式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中表示“是的函数有（      ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．下列关系中，是正比例函数关系的是（    ） A．淘气看一本书，已看的页数和剩下的页数 B．总价一定时，数量和单价 C．三角形的面积一定时，一边长和该边上的高之间的关系 D．匀速运动中，速度一定时，路程和时间之间的关系 5．下列函数中是正比例函数的是（    ） A． B． C． D． 6．下列函数中，是一次函数，但不是正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 7．在下列函数中，y是x的一次函数的是（   ） A．（k、b是常数） B． C． D． 8．下列函数中，是一次函数的有________，是正比例函数的有________．（请填写序） ①；②；③；④；⑤；⑥． 题型二、求自变量的取值范围 9．函数的自变量x的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 10．函数中自变量x的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 11．（2025·安徽滁州·三模）在数轴上表示函数的自变量x的取值范围，正确的是（   ） A． B． C． D． 12．已知关于的函数图象如图所示，则当时，自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 13．写出一个使函数，有意义的x的整数值：________． 14．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在函数中，自变量x的取值范围是________ 题型三、求自变量的值或函数值 15．当时，的值为（     ） A． B． C．6 D．1 16．变量y与x之间的关系式是，当自变量时，因变量y的值是（    ） A． B． C．55 D．105 17．根据如图所示的程序计算函数的值，若输入的值是，则输出的值是（   ） A．9 B．7 C． D． 18．下列函数中，其图象不经过点的是（   ） A． B． C． D． 19．果子成熟后从树上落到地面，它落下的高度与经过的时间有如下的关系：如果果子经过2秒落到地上，那么此果子开始落下时离地面的高度大约是____米． 时间秒 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 落下的高度米 20．小涵爸爸为了了解新买的轿车的耗油情况，将油箱加满后进行了耗油试验，得到下表中的数据： 行驶的路程S/km 0 100 200 300 400 … 油箱剩余油量Q/L 50 42 34 26 18 … （1）该轿车油箱的容量为________L． （2）行驶________km时，油箱剩余油量为42 L；行驶150 km时，油箱剩余油量为________L． 21．（25-26八年级上·江西九江·期中）自变量x与函数y的关系如图所示，当x增加1时，y增加______． 题型四、根据一次函数的定义求参数 22．若函数是一次函数，则应满足的条件是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 23．若表示一次函数，则m等 于（   ） A．1 B． C．1或 D．1或 0 24．若关于的函数是一次函数，则的值为（   ） A．3 B．2或1 C．1 D．0 25．若函数是关于x的一次函数，则常数k必须满足________________． 26．已知函数． （1）当m________时，y是x的一次函数．（2）当m________时，y是x的正比例函数． 27．若函数是关于的一次函数，则_____． 题型五、正比例函数的图像与性质 28．在下列各图象中，表示函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 29．正比例函数的图象经过的象限是（   ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第三、四象限 D．第一、二象限 30．已知正比例函数，下列结论正确的是（   ） A．图象是一条射线 B．y随x的增大而减小 C．图象必经过点 D．图象经过第二、三、四象限 31．若一个正比例函数的图象经过， 两点，则m的值为（   ） A．8 B．2 C． D． 32．（25-26九年级上·安徽马鞍山·期末）已知点在平面直角坐标系中，若点在第三象限的角平分线上，则 _______． 33．直线经过点，，横坐标处填________，且经过第________象限，y随x的增大而________． 34．若正比例函数的图象上有一点，且，则的值为______． 题型六、一次函数的图像与性质 35．一次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 36．（25-26八年级上·贵州贵阳·期末）已知是的函数，列出部分自变量的值与其对应函数值如下表为常数），则这个函数的图象可能是（   ） ．．． ．．． ．．． ．．． A． B． C． D． 37．已知一次函数满足，且随的增大而减小，则该一次函数的大致图象是大致是（　　） A． B． C． D． 38．对于一次函数，下列结论错误的是（　　） A．函数图象与x轴交点坐标是 B．当x增加1时，y增加1 C．函数图象不经过第四象限 D．函数值y随自变量x的增大而增大 39．（25-26八年级上·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象不过第几象限（   ） A．一 B．二 C．三 D．四 40．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）函数中，图象经过第______________象限，图象自左向右呈____________（填“上升”或“下降”）趋势，y随x的增大而_____________ （填“增大”或“减小”）． 41．已知点，在一次函数的图象上．当时，，则该函数图象不经过第______象限． 42．关于一次函数，下列说法正确的有______．（直接填序号） ①y随x的增大而增大；    ②图象与直线平行； ③函数图象与y轴的交点为；    ④函数图象经过第一、二、三象限 题型七、函数图像共存问题 43．两个一次函数，，它们在同一坐标系中的图象可能是图中的（   ） A． B． C． D． 44．一次函数和在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 45．将一次函数与的图象画在同一坐标系中，它们的图象可能是（    ） A． B． C． D． 46．已知直线：与直线：在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   47．已知其，，则关于的一次函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 题型八、已知一次函数图像经过象限或增减性求参数 48．一次函数的图像经过第一、二、三象限，则的值可能为（    ） A． B． C．0 D．1 49．一次函数的图象不经过第二象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 50．已知一次函数的图象不经过第四象限，那么一定满足（    ） A． B． C． D． 51．设，关于x的一次函数，当时y的最大值是（   ） A． B． C．k D． 52．若点和都在一次函数（k为常数）的图象上，且当时，，则的值可能是（　　） A． B． C． D． 53．已知一次函数，且y的值随x值的增大而减小，则m的取值范围为_________． 54．若一次函数的图像经过点和点，当时，，则的取值范围是______． 55．一次函数过第四象限，且随的增大而增大，请写出一个符合条件的整数的值___________． 56．（25-26八年级上·四川成都·期中）一次函数的图象如图所示：则点在平面直角坐标系中位于第______象限． 题型九、从函数的图像获取信息 57．小明听到弟弟诵读诗句“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”时，他想借助图象大致刻画出诗句中儿童从学校放学回家，再到田野这段时间内，离家距离的变化情况．下列图象中能大致刻画这段时间儿童离家距离与时间关系的是（   ） A． B． C． D． 58．涨潮时，潮水高度不断上升，海水淹没滩涂．退潮时，潮水高度不断下降，露出滩涂，若此时潮水高度小于当日潮水最大高度的一半，则适合赶海．如图呈现了某地一天内潮水高度的变化情况，下列说法错误的是（    ） A．该地当日时潮水高度最大，高度为 B．该地当日时和时潮水高度相同 C．该地当日到适合赶海 D．该地当日到适合赶海 59．周末，小李8时骑自行车从家里出发，到野外郊游，16时回到家里，他离家的距离与时间t（时）之间的函数关系可以用图中的折线表示．根据图象回答下列问题： （1）小李到达离家最远的地方是______时； （2）小李______时第一次休息； （3）11时到12时，小李骑了______km； （4）返回时，小李的平均车速是______． 60．（25-26七年级上·山东青岛·期末）甲、乙两家公司在年最近几个月份的销售收入情况如图所示，其中销售收入增长较快的是_____（填甲公司或乙公司） 61．6月13日，某港口的潮水高度和时间的部分数据及函数图象如下． … 11 12 13 14 15 16 17 18 … … 189 137 103 80 101 133 202 260 … （数据来自某海洋研究所） 【数学活动】 根据表中数据，通过描点、连线（光滑曲线）的方式补全该函数的图象． 【数学应用】 根据研究，当潮水高度超过时，货轮能够安全进出该港口．请问当天什么时间段适合货轮进出此港口？ 62．如图所示，小彬和爸爸一起去车站接从外地学习回来的妈妈，在去的过程中小彬坐在汽车上看着时速表，用所学知识绘制了一幅反映汽车速度与时间的关系图，第二天，小彬拿着这幅图给同学看，并向同学提出如下问题，你能回答吗？ (1)汽车共行驶了多长时间？最高时速是多少？ (2)汽车在哪段时间保持匀速运动？速度是多少？ (3)汽车在哪段时间内速度在增加？哪段时间内速度在减少？ 63．（25-26七年级上·山东烟台·期末）为推进乡村道路硬化工程建设，A，B两地技术员甲、乙前往施工现场C地开展专项工作．如图1，已知A，B，C三地共线，B距A地10千米，C距B地80千米，甲乘车从A地出发，乙骑摩托车从B地同时启程；甲抵达C地停留0.5小时后，随即返回A地．两人离A地的距离y（千米）与时间x（小时）之间的关系如图2所示． (1)图中_______，______． (2)甲前往C地时的速度为_______千米/小时，甲返回A地时的速度为______千米/小时； (3)求乙离A地的距离（千米）与时间x（小时）之间的表达式； (4)请直接写出甲，乙二人相遇时x的值． 题型十、比较自变量或函数值的大小（常考点） 64．已知一次函数的图象经过点、，则、的大小关系为（    ） A． B． C． D．不能确定 65．（25-26八年级上·陕西宝鸡·期末）已知点和点都在直线上，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 66．（25-26八年级上·辽宁朝阳·期末）已知，是一次函数图象上的两个点，且，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D．无法确定 67．平面直角坐标系中，过点的直线l经过第二、四象限，若点，，都在直线l上，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 68．已知点 和点 在直线图象上，且 则a的值可能是（   ） A． B． C．1 D．2 69．一次函数，与的图像如图所示，，，的大小关系是_____．（用“”连接） 70．已知一次函数，当时，y的最大值是______． 71．已知点都在函数的图象上，则的大小关系为________．（用“<”号连接） 72．已知一次函数，若，则y的取值范围是________． 73．已知点，都在直线上，则________．（填“”或“”或“”） 74．直线 上有两点和，若，则和的大小关系是___________． 题型十一、画一次函数图像 75．把下面画函数的图象的过程补充完整． 解：（1）列表如下： x … 0 1 2 3 …      … 4 … （2）画出的函数图象如下图所示． 76．在坐标系中操作： (1)画出函数的图象； (2)若，直接写出的取值范围，并在坐标系内用粗线描出这部分图象． 77．下面是画函数的图象的过程． 列表： x … 0 1 … y … ______ ______ ______ … 描点并连线： 请根据上面的信息回答问题： (1)补全表格中y对应的值． (2)在如图所示的平面直角坐标系中，描出表格中对应的点，并画出函数的图象． (3)若点在函数的图象上，求出m的值． 78．已知一次函数． (1)在图中画出该函数的图象； (2)若和是一次函数图象上的两点，比较和的大小，并说明理由． 题型十二、一次函数与坐标轴交点问题 79．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）一次函数的图象与轴的负半轴相交，则的值可以是（   ） A．3 B．0 C． D． 80．（25-26八年级上·陕西西安·期中）关于一次函数的图象，下列说法正确的是（   ） A．它的图象经过二、三、四象限 B．随的增大而减小 C．它的图象必过点 D．它的图象与轴的交点为 81．（25-26七年级上·山东济南·期中）对于一次函数，下列结论正确的是（   ） A．它的图象与轴的交点为 B．的值随的增大而减小 C．它的图象与轴的交点为 D．它的图象经过第一、二、三象限 82．如果一次函数的图像与x轴的交点在轴的正半轴上，那么m的取值范围是_________． 83．直线与轴、轴的交点坐标分别为__________，__________，图象不经过第__________象限． 84．直线与坐标轴围成的三角形面积为1，则__________． 题型十三、一次函数图像的平移（常考点） 85．把的图象沿轴向下平移5个单位后所得图象的关系式是（   ） A． B． C． D． 86．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）将直线平移得到直线，则移动方法为（   ） A．向左平移3个单位 B．向右平移3个单位 C．向上平移3个单位 D．向下平移3个单位 87．（25-26八年级上·陕西渭南·期中）若一次函数（k，b为常数且）的图象是由函数的图象向上平移3个单位长度得到的，则下列关于一次函数的说法正确的是（   ） A．图象经过二、三、四象限 B．随的增大而减小 C．函数图象经过点 D．函数图象与轴交点的坐标为 88．（25-26八年级上·陕西西安·期中）与直线平行的是（    ） A． B． C． D． 89．将直线向上平移5个单位长度后经过点，则m的值为_________． 90．已知直线平行于直线，且在y轴上的截距为，那么该直线的解析式是_______． 91．直线可由直线向_______（选填“上”或“下”）平移_______个单位得到． 92．平移一次函数的图象，使其成为正比例函数，则需要向下平移________个单位． 93．（25-26八年级上·安徽淮北·期中）已知函数，若函数是由函数向上平移3个单位长度得到． (1)求m，n 的值； (2)判断点是否在该函数图象上？ 94．已知一次函数的图象与直线平行，且经过点，求一次函数解析式． 95．已知正比例函数的图象向下平移3个单位长度后，经过点，求点P的坐标． 题型十四、一次函数图像的对称 96．如图，在平面直角坐标系中，已知点，点．若点A与点A′关于直线l成轴对称，则直线l的解析式是（　　） A． B． C． D． 97．（2025·陕西榆林·二模）已知在平面直角坐标系中，直线（为常数，且）与直线（为常数）关于轴对称，则的值依次为（   ） A． B． C． D． 98．已知直线． （1）该直线关于y轴对称的直线的函数解析式为______； （2）该直线关于x轴对称的直线的函数解析式为______． 题型十五、一次函数图像的旋转 99．已知一次函数的图象， 绕x轴上一点 旋转， 所得的图象经过， 则m的值为（    ） A． B． C．1 D．2 100．（25-26九年级上·天津河东·期末）如图，直线经过点，将绕点顺时针旋转，得到直线．点在上，若，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 101．（25-26八年级上·江苏南京·期末）将一次函数（为常数）的图象绕原点顺时针旋转，所得图象与轴交于点，当时，的取值范围是________． 题型十六、待定系数法求一次函数图像解析式（常考点） 102．在平面直角坐标系中，一次函数图像经过点和．求该函数的解析式． 103．如图，已知直线经过点M，求k的值和此直线与x轴，y轴的交点坐标． 104．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）已知y是x的一次函数，当时，；当时，． (1)求y关于x的函数表达式； (2)若点在这个函数的图象上，求a的值． 105．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，且与正比例函数的图象交于点． (1)求点的坐标； (2)求一次函数的表达式． 106．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）已知是的正比例函数，并且当时，． (1)求y关于x的函数解析式； (2)求当时，函数y的值． 107．已知与成正比例，且当时，，求与之间的函数表达式． 108．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）已知一次函数的图象与直线平行，且与x轴交于点，求该一次函数的表达式． 109．已知一次函数，若一次函数的图象经过原点，求的值． 110．已知，其中与x成正比例，与成正比例，且当时，；当时，． (1)求y与x之间的函数表达式； (2)求当时，y的值． 111．已知一次函数的图象经过点和点，且点在正比例函数的图象上． (1)求该一次函数的表达式． (2)若，是该一次函数图象上的两点，当时，求函数值的取值范围． 112．直线与直线平行，且在轴上的截距是，求直线的函数表达式以及它与轴的交点坐标． 题型十七、一次函数的规律探究（难点） 113．如图，在平面直角坐标系中，点，…都在轴上，点，…在直线上，，，，，，…，都是等腰直角三角形，如果，则点的坐标是（　　） A． B． C． D． 114．如图，已知直线：，直线：和点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，…，按此作法进行下去，则点的横坐标为（   ） A． B． C． D． 115．如图，过点作轴的垂线，交直线于点，在轴的正半轴上取点，使得，过点作轴的垂线，交直线于点，在轴的正半轴上取点，使得，过点作轴的垂线，交直线于点，依次这样作图，则点的纵坐标为（　　） A． B． C． D． 116．（25-26八年级上·河南郑州·期中）正方形、，…按如图所示的方式放置．点、、…和点、、…分别在直线和轴上，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 117．在平面直角坐标系中，解析式为的直线a，解析式为的直线b如图所示，直线a交y轴于点A，以为边作第一个等边三角形，过点B作y轴的平行线交直线a于点，以为边作第二个等边三角形 顺次这样作下去，第2020个等边三角形的边长为（　　） A． B． C．4038 D．4040 118．如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，点在直线上，都是等腰直角三角形，如果，则点的坐标为___________． 119．《庄子·天下篇》记载“一尺之棰，日取其半，万世不竭”．如图，直线与轴交于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，以此类推，令，则的值为__________． 120．如图，在平面直角坐标系中，都是等腰直角三角形，点都在x轴上，点与原点重合，点都在直线上，点C在y轴上，轴，轴，若点A的横坐标为，则点的纵坐标是____________________． 题型十八、一次函数与方程（组）、不等式（重点） 121．直线与直线交于点，则下列各方程组中满足解为的是（   ） A． B． C． D． 122．如图，已知一次函数为常数，且的图象与轴、轴分别交于点，，有下列结论： ①图象经过点；②关于的方程的解为； ③关于的方程的解为；④当时； 其中正确的结论有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 123．（25-26九年级下·甘肃兰州·开学考试）如图，直线与相交于点，则关于的方程的解是（    ） A． B． C． D． 124．（25-26八年级上·河南郑州·期末）一次函数与分别与y轴交于点A、B，交点为，在同一坐标系中图像如图所示，下列说法错误的是（    ）． A． B．点A、B关于x轴对称 C． D．当时， 125．如图，函数和的图象交于点，则方程组的解是_____． 126．若一次函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为 _________ ． 127．画出函数的图象，结合图象： (1)求方程的解； (2)求不等式的解集； (3)若，直接写出的取值范围． 128．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，已知直线过点，过点A的直线交x轴于点． (1)求两条直线对应的函数表达式． (2)观察图象，直接写出当时x的取值范围． 题型十九、求直线与坐标系所围成的面积 129．（25-26八年级上·全国·期中）如图，直线与轴、轴的交点分别为，，求直线的表达式及的面积． 130．已知直线和直线的图象如图所示， (1)求点A，B的坐标； (2)已知直线和直线相交于点C，求的面积． 131．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象和一次函数的图象相交于点，且一次函数的图象与x轴交于点B． (1)求m，a的值． (2)求的面积． 132．如图，直线与轴交于点，与轴交于点． (1)求，两点的坐标； (2)过点作直线与轴交于点，且使，求的面积． 133．如图，直线与轴，轴交于点，点在直线上，点的横坐标为1． (1)求点的坐标； (2)求的面积． 题型二十、一次函数的实际应用（重点） 134. 某单位要印刷产品说明书，甲印刷厂提出，每份说明书收取1元印刷费，另收取元制版费；乙印刷厂提出，每份说明书收取元印刷费，不收取制版费．请选取适当的变量建立函数，给出最节省费用的印刷厂选择方案． 135．为鼓励学生加强锻炼，增强体质，某校准备购买若干套健身器材供学生使用，经调查，某公司有，两种健身器材可供选择，每套型健身器材售价为万元，每套型健身器材售价为万元，经协商，该公司承诺：每套型健身器材在售价的基础上减免万元；每套型健身器材在售价的基础上打七折．学校想购进，两种健身器材共套，若型健身器材买套，共花费万元． (1)请求出与的函数关系式； (2)若型健身器材的数量不超过套，学校应如何购买才能使总费用最少？ 136．在“综合与实践”活动课时，小明关注了佛山移动公司手机资费两种套餐： A套餐：月租0元，市话通话费每分钟元； B套餐：月租费48元，免费市话通话时间48分钟，超出部分每分钟元． 设A套餐每月市话话费为元，B套餐每月市话话费为元，月市话通话时间为x分钟． (1)分别写出，与x的函数关系式； (2)小明爸爸每月市话通话时间为200分钟，请说明选择哪种套餐更合算． 137．（25-26七年级上·山东济南·期末）为提升训练质量，某羽毛球俱乐部计划采购某品牌羽毛球训练器材．经市场调查了解到该品牌羽毛球拍每副120元，羽毛球每筒40元，某体育用品商场抓住机遇推出促销活动，提供了两种优惠方案： 方案一：买一副羽毛球拍送一筒羽毛球； 方案二：羽毛球拍和羽毛球全部按定价打八折． 若该羽毛球俱乐部需采购球拍100副，羽毛球x筒．方案一、二所需付款金额分别为元、元． (1)求， 与之间的函数表达式； (2)当时，通过计算比较这两种方案哪种更划算． 138．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）小明使用出行软件打车回家的行程详情如图（1）所示，爱动脑筋的小明查看了计价规则，如图（2）所示．他发现，在不考虑其他因素的情况下，在其打车的时间段（），3公里以内（含3公里）的起步价为元；超过3公里的部分，按元/公里的标准收取里程费． (1)当行程超过3公里时，判断实际打车费用y元是否是里程x公里的函数，并用含x的代数式表示y； (2)如图（1）所示，小明此次行程的实际路线为公里，那么打车费用是多少元？ 139．（2026·陕西西安·模拟预测）某公司招聘外卖送餐员进行送餐服务，送餐员的月工资由底薪1500元加上外卖送单补贴（送一次外卖为一单）构成，外卖送单补贴的具体方案如下： 外卖送单数量 补贴（元／单） 每月不超过500单 3.5 超过500单但不超过900单的部分 5 超过900单的部分 8 (1)若某外卖小哥一个月送餐单（），所得工资元，求与的函数关系式． (2)若某外卖小哥2月份的工资总额为5650元，那么他2月份外卖送餐多少单？ 140．综合与实践 【问题背景】 某超市员工现需利用扶梯将70辆购物车从一层转运到负一层． 【相关素材】 素材1：如图，假设购物车在整齐叠放的状态下，购物车数量每增加1辆，购物车列的车身总长变化情况相同．如表中探究了整齐叠放的购物车列的车身总长与购物车数量的关系： 购物车数量辆 1 2 3 4 5 车身总长米 素材2：如图，该超市的扶梯竖直高度米，水平宽度米．为了安全起见，该超市员工在利用扶梯运输购物车时，一次只能转运一列购物车，且购物车列的车头与车尾需同时处于扶梯承载区域内． 【问题解决】 (1)根据表格可知，购物车列的车身总长与购物车数量之间的关系式为______； (2)在不考虑其他因素的影响下，判断该超市员工能否通过一次转运就将全部的购物车转运完毕，并通过计算说明理由． 141．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）在探究“圆柱体浸入水中时拉力与下降高度的关系”实验中（即图1测浮力的实验中，下方为盛水的烧杯，上方有弹簧测力计悬挂的圆柱体，将圆柱体缓慢下降，直至圆柱体完全浸入水中，整个过程中，弹簧测力计读数与圆柱体下降高度的关系图象如图2所示），相关数据记录如下： 1．弹簧测力计的读数F（单位：，牛顿，只需当作数值单位即可）代表拉力大小； 2．当圆柱体下底面刚接触水面时（对应下降高度），拉力为； 3．当圆柱体完全浸入水中时（对应下降高度），拉力为； 4．下降高度在到之间时，拉力随下降高度的增加呈线性减少（即拉力F与下降高度h成一次函数关系）． 请根据以上信息解答下列问题： (1)分析题意，若图2中下降高度对应拉力a，对应拉力b，则_______，_______； (2)求段与之间的一次函数表达式： (3)若弹簧测力计的读数为，求圆柱体浸入水中的高度． 题型二十一、一次函数与几何综合（难点） 142．如图，四边形是平行四边形，其中点A的坐标是，点O的坐标是，点C的坐标是． (1)请求出点B的坐标； (2)已知点D是直线上一个动点，若三角形是等腰三角形，请求出所有符合要求的点D的坐标； (3)已知直线以每秒1个单位长度的速度沿y轴向下平移，经过多少秒该直线恰好将平行四边形分成面积相等的两部分？ 143．在平面直角坐标系中，已知，，等腰的底边经过点． (1)求直线的解析式； (2)如图，与交于点，若点的坐标为，请求出点的坐标； (3)如图，点是的中点，若，请求出的长． 144．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期末）如图，直线与直线交于点，与轴交于点． (1)_____，不等式的解集为_____； (2)若点在线段上，点在直线上，求的最大值． (3)在直线上是否存在一点，使得的面积为6，若不存在，请说明理由，若存在，请求出点的坐标． 145．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）【问题提出】 （1）如图1，在中，于点，，，，求的面积， 【问题解决】 （2）如图2，是某农科院的一块试验田，边上的点处有一口灌溉水井，是一条与边垂直的地下水管（在上，），和是该试验田中的两条小路．现以所在直线为轴、所在直线为轴建立平面直角坐标系（图中1个单位长度表示），得到所在直线的函数关系式为（为常数），点的坐标为．已知区域的面积为．求所在直线的函数关系式．（水井的大小和小路的宽度均忽略不计） 146．（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与轴，轴分别交于点，，与函数的图象交于点．函数的图象与轴交于点，点从点出发沿方向，以每秒2个单位长度匀速运动到点（到停止运动）．设点的运动时间为秒． (1)求的面积； (2)在点运动过程中，是否存在的值，使为直角三角形？若存在，请求的值及点的坐标；若不存在，请说明理由． 147．（25-26八年级上·福建三明·期末）如图，已知平面直角坐标系中，点，在直线上．C为y轴负半轴上一点，且，连结，． (1)求m的值及的长； (2)一次函数的图象经过点C且与线段交于点D（不与点A，B重合）． （ⅰ）若k为整数，求k的值； （ⅱ）若，求此时点D的坐标． 148．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）【问题探究】 （1）如图1，已知一次函数的图象与轴，轴分别交于点A，B，点在直线上，其纵坐标为5．在轴上找一点，连接，使的值最小，求出的最小值． 【问题解决】 （2）如图2，某科学小组研制出一种激光设备，设备外围由线段组成，，，一条线路从点发出，经过线段上的点最终到达点（点是上的动点），其中点在边上，且，点为的中点．以所在直线为轴，以平行于且经过点的所在直线为轴建立平面直角坐标系，请问线段是否存在最小值？若存在，求出当线段最小时点的坐标；若不存在，请说明理由．（坐标系中一个单位长度表示1cm） 1．（2025·江苏扬州·中考真题）已知，则一次函数的图象不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（2025·江苏常州·中考真题）小华家、小丽家与图书馆位于一条笔直的街道上，小丽家位于小华家和图书馆之间，小华家到小丽家、图书馆的距离分别为300米、1800米．若小华、小丽各自从自己家同时出发，分别以米/分钟、米/分钟的速度匀速前往图书馆，则两人恰好同时到达．现两人各自从自己家同时出发，小丽仍然以米/分钟的速度匀速前往图书馆，小华先以米/分钟的速度追赶小丽，与小丽相遇后，再以米/分钟的速度与小丽一同前往图书馆，则小华到图书馆的距离y（米）与行进时间x（分钟）之间的函数图像可能是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·四川南充·中考真题）已知直线与直线的交点在轴上，则的值是________． 4．（2025·河北唐山·三模）如图，在第一象限内的直线上取点，使，以为边作等边，交x轴于点；过点作x轴的垂线交直线l于点，以为边作等边，交x轴于点；过点作x轴的垂线交直线l于点，以为边作等边，交x轴于点，……，依次类推，的坐标为_______． 5．（2025·山东德州·中考真题）如图，，点M在线段上，将沿直线折叠，点B恰好落在点处． (1)求a的值； (2)求直线的解析式； (3)若直线与直线的交点在直线的左侧，请直接写出t的取值范围． 6．（2025·四川攀枝花·中考真题）在攀枝花高质量发展建设共同富裕试验区的进程中，有关部门积极助力果农成立芒果种植专业合作社，运用“实体店+直播”的新电商模式扩大芒果销售．某合作社精品芒果成本为60元/箱，每天的销售量箱与售价元/箱满足关系式． (1)若芒果的售价为80元/箱，求合作社每天芒果的销售利润； (2)若规定芒果的售价不低于86元/箱，且每天的销售量不少于300箱，求芒果的售价应定在什么范围． 7．（2025·宁夏·中考真题）中国结起源于旧石器时代的结绳记事，唐宋时期发展为装饰艺术，明清达到鼎盛．某种中国结有大、小两个型号，编织一个大号需用绳4米，编织一个小号需用绳3米． (1)编织这种中国结恰用绳25米，则大、小号各编织多少个？ (2)计划用不超过1200米的绳子编织350个这种中国结，一个大号的利润为12元，一个小号的利润为8元．当大号编织多少个时总利润最大？最大利润是多少？ 8．（2025·河北·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴、y轴分别交于点 A、B，直线 ： ()与x轴、y轴分别交于点 C、D，点在直线l₂上． (1)直线 过定点吗？_______；（填“过”或“不过”） (2)若点 B、O关于点D对称，求此时直线的解析式； (3)若直线将的面积分为两部分，请求出m的值． 9．（2025·河北邯郸·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，将点A向上平移4个单位长度得到点B，连接，P为线段上的一点，过点P作直线． (1)当P是线段的中点时，求直线l的解析式； (2)若动点恒在直线上，当直线时，求点P的坐标； (3)Q是线段上的任意一点，在（1）的条件下，将直线l沿y轴向上平移个单位长度得到直线，记点Q关于直线的对称点为．若在线段上，存在点Q，使得点落在y轴上，直接写出满足条件的m的取值范围． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 一次函数 目录 A题型建模・专项突破 题型一、函数与一次函数的判断 1 题型二、求自变量的取值范围 4 题型三、求自变量的值或函数值 6 题型四、根据一次函数的定义求参数 9 题型五、正比例函数的图像与性质 11 题型六、一次函数的图像与性质 13 题型七、函数图像共存问题 17 题型八、已知一次函数图像经过象限或增减性求参数 20 题型九、从函数的图像获取信息 24 题型十、比较自变量或函数值的大小（常考点） 29 题型十一、画一次函数图像 33 题型十二、一次函数与坐标轴交点问题 37 题型十三、一次函数图像的平移（常考点） 40 题型十四、一次函数图像的对称 43 题型十五、一次函数图像的旋转 45 题型十六、待定系数法求一次函数图像解析式（常考点） 47 题型十七、一次函数的规律探究（难点） 52 题型十八、一次函数与方程（组）、不等式（重点） 59 题型十九、求直线与坐标系所围成的面积 63 题型二十、一次函数的实际应用（重点） 68 题型二十一、一次函数与几何综合（难点） 74 B综合攻坚・能力跃升 题型一、函数与一次函数的判断 1．下列图象中，表示y是x的函数的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了函数的定义，正确理解函数的定义是解题的关键．函数的定义是对于两个变量和，如果给定一个值，都有唯一的一个值和它对应，则称是的函数．根据函数的定义分别对各选项中的图象任取一个值，看是否有唯一的一个值与它对应，依次进行判断即可 【详解】解：A、对于任意一个值不是有唯一的一个值与其对应，故不是的函数，本选项不符合题意； B、对于任意一个值有唯一的一个值与其对应，故是的函数，本选项符合题意； C、对于任意一个值不是有唯一的一个值与其对应，故不是的函数，本选项不符合题意； D、对于任意一个值不是有唯一的一个值与其对应，故不是的函数，本选项不符合题意． 故选：B． 2．下列关于两个变量的关系，表述不正确的是（   ） A．圆的面积公式中，S是r的函数 B．在匀速运动公式中，s是t的函数 C．光线照到平面镜上，入射角为，反射角为，则是的函数 D．表达式中，y是x的函数 【答案】D 【分析】本题的解题思路是逐一分析每个选项，看是否满足对于自变量的每一个确定的值，函数都有唯一确定的值与之对应； 本题考查了函数的定义，掌握函数的定义是解题的关键． 【详解】解：A、在圆的面积公式中，对于r的每一个确定的值，S都有唯一确定的值与之对应，所以S是r的函数，表述正确，不符合题意； B、在匀速运动公式中，对于t的每一个确定的值，s都有唯一确定的值与之对应，所以s是t的函数，表述正确，不符合题意； C、根据光的反射定律，反射角等于入射角，对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值（等于）与之对应，所以是的函数，表述正确，不符合题意； D、在表达式中，当时，对于的每一个确定的值，都有两个值，不满足函数定义中“唯一确定”的条件，所以不是的函数，表述不正确，符合题意． 故选：D． 3．有下列6个等式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中表示“是的函数有（      ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查函数的概念，根据函数的概念，对于自变量的每一个值，都有唯一的值与它对应，据此判断即可． 【详解】解：在下列6个等式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中表示“是的函数有①；③；⑥，共3个． 故选：B． 4．下列关系中，是正比例函数关系的是（    ） A．淘气看一本书，已看的页数和剩下的页数 B．总价一定时，数量和单价 C．三角形的面积一定时，一边长和该边上的高之间的关系 D．匀速运动中，速度一定时，路程和时间之间的关系 【答案】D 【分析】根据正比例函数的定义（两种相关联的量，相对应的两个数的比值为定值且不为，即形如，是不为的常数），逐一分析各选项的变量关系． 【详解】解：、已看页数与剩下页数的和为定值，比值不是定值，不符合正比例函数关系，不符合题意； 、数量单价总价（定值），二者乘积为定值，是反比例关系，不是正比例函数关系，不符合题意； 、一边长该边上的高三角形面积（定值），二者乘积为定值，是反比例关系，不是正比例函数关系，不符合题意； 、路程时间速度（定值且不为），符合正比例函数的形式，是正比例函数关系，符合题意． 5．下列函数中是正比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是正比例函数的定义，形如为常数且的函数是正比例函数，需满足：①自变量的次数为1；②无常数项；③分母不含自变量．根据正比例函数的定义解答即可． 【详解】解：A．是正比例函数，符合题意； B．，是反比例函数，不符合题意； C．，未知数的次数是二次，不符合题意； D．，是一次函数，不是正比例函数，不符合题意． 故选：A． 6．下列函数中，是一次函数，但不是正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的定义，正比例函数，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 根据一次函数的定义，（，为常数，），当时，函数为正比例函数，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、不是一次函数，故该选项不符合题意； B、，变形为，是正比例函数，故该选项不符合题意； C、，不是一次函数，故该选项不符合题意； D、是一次函数但不是正比例函数，故该选项符合题意； 故选：D． 7．在下列函数中，y是x的一次函数的是（   ） A．（k、b是常数） B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的概念，熟知形如（k、b是常数，且）叫一次函数是解题的关键．根据一次函数的定义逐项判断即得答案． 【详解】解：A、当时，不是一次函数； B、化为，是一次函数； C、分母中含有自变量，不是一次函数； D、自变量次数不是一次，不是一次函数； 故选：B． 8．下列函数中，是一次函数的有________，是正比例函数的有________．（请填写序） ①；②；③；④；⑤；⑥． 【答案】 ①②④⑥ ②⑥/⑥② 【分析】本题考查了一次函数和正比例函数的概念辨析，解题的关键是掌握一次函数和正比例函数，即的定义特征． 先对各函数表达式进行化简（若有需要），再根据一次函数形如、正比例函数形如的定义，逐一判断每个函数是否符合条件． 【详解】解：①，符合一次函数的形式，是一次函数，不是正比例函数； ②，符合正比例函数的形式，既是一次函数也是正比例函数； ③，既不是一次函数也不是正比例函数； ④，可化为，符合一次函数定义，是一次函数，不是正比例函数； ⑤，未知数最高次数为2，既不是一次函数也不是正比例函数； ⑥，化简得，符合正比例函数定义，既是一次函数也是正比例函数． 因此，是一次函数的有①②④⑥，是正比例函数的有②⑥． 故答案为：①②④⑥；②⑥． 题型二、求自变量的取值范围 9．函数的自变量x的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的性质和分式的意义，求函数自变量的取值范围需满足两个条件：分母不为零，且根号下的表达式非负,据此进行求解即可． 【详解】解：根据题意得：，且， 解得：且． 故选：B． 10．函数中自变量x的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 【答案】B 【分析】本题考查函数自变量的取值范围，由题意根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，即可求出的范围． 【详解】解：由题意可知， ， 解得：． 故选：B． 11．（2025·安徽滁州·三模）在数轴上表示函数的自变量x的取值范围，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 【详解】解：根据二次根式有意义，分式有意义得：且， 解得：且， 在数轴上表示为： 故选：C． 12．已知关于的函数图象如图所示，则当时，自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了函数的图象，利用时，即对应图象在x轴及其上方，进而求出x的取值范围． 【详解】解：如图所示：当时，或． 故选：D． 13．写出一个使函数，有意义的x的整数值：________． 【答案】2（答案不唯一） 【分析】本题主要考查二次根式的存在条件以及分式有意义的条件． 观察函数的形式，考查分式的意义和二次根式的意义． 【详解】解：由题意得：且， 且，只要是符合该范围的整数即可． 故答案为：2（答案不唯一） 14．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在函数中，自变量x的取值范围是________ 【答案】 【分析】本题考查了求函数自变量的取值范围，分式有意义的条件，根据题意可得，即可求解． 【详解】解：依题意，， 解得：． 故答案为：． 题型三、求自变量的值或函数值 15．当时，的值为（     ） A． B． C．6 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了求函数值，将代入即可求解． 【详解】解：将代入， 则， 故选：D． 16．变量y与x之间的关系式是，当自变量时，因变量y的值是（    ） A． B． C．55 D．105 【答案】A 【分析】此题考查了求因变量的值，把自变量的值代入关系式计算即可． 【详解】解：当自变量时，， 故选：A 17．根据如图所示的程序计算函数的值，若输入的值是，则输出的值是（   ） A．9 B．7 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求函数值，当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数解析式，给出函数值时，求相应的自变量的值就是解方程． 依据题意，输入的值是时，输出的值即可． 【详解】解：∵， 当时，， 故选：D． 18．下列函数中，其图象不经过点的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数图象上点的特征，分别计算时的四个函数值，然后判断是否为1即可． 【详解】解：A、当时，，则点在函数上，所以A选项不符合题意； B、当时，，则点在函数上，所以B选项不符合题意； C、当时，，则点不在函数上，所以C选项符合题意； D、当时，，则点在函数上，所以D选项不符合题意． 故选：C． 19．果子成熟后从树上落到地面，它落下的高度与经过的时间有如下的关系：如果果子经过2秒落到地上，那么此果子开始落下时离地面的高度大约是____米． 时间秒 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 落下的高度米 【答案】20 【分析】本题主要考查了用表格表示变量之间的关系，根据表格数据，落下的高度与时间满足关系，将代入即可求解． 【详解】解：观察表格，当时，， 当时，， 以此类推，， 当时，， 故果子开始落下时离地面的高度大约是20米． 故答案为：20． 20．小涵爸爸为了了解新买的轿车的耗油情况，将油箱加满后进行了耗油试验，得到下表中的数据： 行驶的路程S/km 0 100 200 300 400 … 油箱剩余油量Q/L 50 42 34 26 18 … （1）该轿车油箱的容量为________L． （2）行驶________km时，油箱剩余油量为42 L；行驶150 km时，油箱剩余油量为________L． 【答案】 50 100 38 【分析】本题考查了从表格数据中提取信息及行程耗油量的计算，掌握利用初始数据确定总量，通过单位路程耗油量计算剩余油量是解题的关键． （1）从表格初始数据确定油箱容量； （2）通过表格直接匹配行驶路程与剩余油量的对应关系，再计算单位路程耗油量，进而求出指定行驶路程的剩余油量． 【详解】解：（1）当行驶路程时，油箱处于加满状态，此时剩余油量为，故该轿车油箱的容量为． 故答案为：. （2）由表格可知，行驶时，油箱剩余油量为，每行驶，油量减少， 所以行驶时，油箱剩余油量为． 故答案为：，． 21．（25-26八年级上·江西九江·期中）自变量x与函数y的关系如图所示，当x增加1时，y增加______． 【答案】 【分析】本题考查了求自变量的值或函数值，根据自变量x与函数y的关系图，得，再分析当x增加1时，，即可作答． 【详解】解：依题意，， 则当x增加1时，， 此时， 即当x增加1时，y增加， 故答案为：2 题型四、根据一次函数的定义求参数 22．若函数是一次函数，则应满足的条件是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数的定义条件是：、为常数，，自变量次数为1．根据一次函数的定义列出计算解答即可． 【详解】解：由题意得，， ∴且， 故选：C． 23．若表示一次函数，则m等 于（   ） A．1 B． C．1或 D．1或 0 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的定义，形如（为常数，）的函数叫作一次函数，由一次函数的定义可得，，求解即可． 【详解】解：∵表示一次函数， ∴，， ∴， 故选：B． 24．若关于的函数是一次函数，则的值为（   ） A．3 B．2或1 C．1 D．0 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，一般地，形如，且k、b是常数的函数叫做一次函数．根据一次函数的定义进行求解即可． 【详解】解：∵关于x的函数是一次函数， ∴或， ∴或， 故选：B． 25．若函数是关于x的一次函数，则常数k必须满足________________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的定义，掌握一次函数中，自变量的系数是解题的关键． 根据一次函数的定义，的系数不能为零，因此令，求解的条件． 【详解】解：函数是关于的一次函数，则的系数必须不等于零， 即， 所以， 解得：， 故答案为：． 26．已知函数． （1）当m________时，y是x的一次函数．（2）当m________时，y是x的正比例函数． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数与一次函数，熟练掌握正比例函数和一次函数的特点是解题的关键； （1）根据一次函数的特点求解即可； （2）根据正比例函数的特点求解即可． 【详解】解：（1）一次函数的一般形式为， 若使为一次函数 则需， 解得． ∴时，为一次函数． 故答案为：． （2）若使为正比例函数 则需 解得 ∴时，为正比例函数． 故答案为：． 27．若函数是关于的一次函数，则_____． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的定义：形如的函数是一次函数．根据一次函数的定义得到且，进而解方程即可求解． 【详解】解：∵函数是关于的一次函数， ∴且， 解得， 故答案为：． 题型五、正比例函数的图像与性质 28．在下列各图象中，表示函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正比例函数的图象特点，熟练掌握正比例函数图象与系数关系是关键．一条经过原点的直线．由（）的图象经过一、三象限可得答案． 【详解】解：∵正比例函数的图象是一条经过原点的直线，且当时，经过一、三象限， ∴正比例函数的大致图象是A． 故选：A． 29．正比例函数的图象经过的象限是（   ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第三、四象限 D．第一、二象限 【答案】B 【分析】本题主要考查了正比例函数的性质，根据正比例函数的性质即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴正比例函数的图象经过第二、四象限， 故选：B． 30．已知正比例函数，下列结论正确的是（   ） A．图象是一条射线 B．y随x的增大而减小 C．图象必经过点 D．图象经过第二、三、四象限 【答案】C 【分析】本题考查正比例函数的图象及性质，根据正比例函数的图象及性质逐项判断即可． 【详解】解：A、正比例函数的图象是一条直线，故本选项的结论错误； B、y随x的增大而增大，故本选项的说法错误； C、当时，， ∴图象必经过点，故本选项的说法正确； D、图象经过第一、三象限，故本选项的说法错误． 故选：C 31．若一个正比例函数的图象经过， 两点，则m的值为（   ） A．8 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】先用待定系数法求解正比例函数解析式，再代入点B坐标求m的值，用到正比例函数的基本形式． 【详解】解：设该正比例函数的解析式为 （）． ∵函数图象经过点 ， ∴将 代入解析式得 ， 解得 ， 即正比例函数解析式为 ． ∵点 在函数图象上， ∴将 代入解析式得 ， 解得 ． 32．（25-26九年级上·安徽马鞍山·期末）已知点在平面直角坐标系中，若点在第三象限的角平分线上，则 _______． 【答案】 【分析】本题主要考查正比例函数的性质，根据第三象限的角平分线得到正比例函数是解题的关键． 首先根据点P在第三象限角平分线上得到方程为，则横纵坐标相等，据此列出方程求解即可． 【详解】解：∵第三象限角平分线的方程为， ∴点P的横坐标与纵坐标相等，即，解得：， 故答案为：． 33．直线经过点，，横坐标处填________，且经过第________象限，y随x的增大而________． 【答案】 2 一、三 增大 【分析】本题考查了正比例函数的性质，熟练掌握正比例函数的性质是解答本题的关键． 将点纵坐标代入解析式求横坐标；根据正比例函数的比例系数判断象限和增减性即可． 【详解】解：当时，， 解得 ．即横坐标处填， ∵比例系数， ∴图像经过原点且经过第一、三象限，随的增大而增大． 故答案为：；一、三；增大． 34．若正比例函数的图象上有一点，且，则的值为______． 【答案】1 【分析】本题考查了正比例函数的定义，正比例函数的性质，根据正比例函数的图象上有一点，且，得出 ，再解得，最后代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵正比例函数的图象上有一点，且， ∴经过第二、四象限，， ∴ ， ∴，， 解得， ∴， 故答案为：1 题型六、一次函数的图像与性质 35．一次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先判断出y随x的增大而减小，结合一次函数与y轴交于正半轴，进而求解． 【详解】解：∵一次函数中一次项系数， ∴y随x的增大而减小， ∵当时，， ∴一次函数与y轴交于正半轴， ∴一次函数的图象大致是： ． 36．（25-26八年级上·贵州贵阳·期末）已知是的函数，列出部分自变量的值与其对应函数值如下表为常数），则这个函数的图象可能是（   ） ．．． ．．． ．．． ．．． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数图象的识别，用表格表示变量之间的关系，由表格中的数据可知，mx的值每增大1，y的值就减小，则y是x的一次函数，据此结合函数图象可得答案． 【详解】解：由表格中的数据可知，x的值每增大1，y的值就减小，即 ∴y是x的一次函数，且y所x的增大而减小， ∴四个选项中只有D选项中的函数图象符合题意， 故选：D 37．已知一次函数满足，且随的增大而减小，则该一次函数的大致图象是大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是一次函数的图象和性质，熟知一次函数的图象与性质是解题的关键．先根据题意判断出、的符号，进而可得出结论． 【详解】解：一次函数的随的增大而减小， ． ， ， 此函数的图象经过第一、二、四象限． 故选：B． 38．对于一次函数，下列结论错误的是（　　） A．函数图象与x轴交点坐标是 B．当x增加1时，y增加1 C．函数图象不经过第四象限 D．函数值y随自变量x的增大而增大 【答案】A 【分析】根据一次函数的性质，交点坐标的计算方法逐一判断选项即可． 【详解】解：∵一次函数解析式为，可得，． 对于A选项：∵x轴上点的纵坐标为，令，则，解得． ∴函数图象与x轴的交点坐标是，是函数与y轴的交点坐标，故A错误，符合题意． 对于B选项：当增加变为时，，因此增加时增加，故B正确，不符合题意． 对于C选项：∵，，∴函数图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，故C正确，不符合题意． 对于D选项：∵，∴函数值随自变量的增大而增大，故D正确，不符合题意． 39．（25-26八年级上·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象不过第几象限（   ） A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象及性质，关键如何判断图象所在象限；根据一次函数解析式中的和的符号，判断图象经过的象限. 【详解】解：∵一次函数的， ∴随的增大而减小， 又∵， ∴直线与轴的交点位于轴的正半轴， ∴直线经过第一、第二和第四象限，不经过第三象限. 故选：C． 40．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）函数中，图象经过第______________象限，图象自左向右呈____________（填“上升”或“下降”）趋势，y随x的增大而_____________ （填“增大”或“减小”）． 【答案】 一、二、四 下降 减小 【分析】本题考查一次函数的性质，解题的关键是掌握k，b的作用． 一次函数，当 时，图象经过一、二、三象限；当时，图象经过一、三、四象限；当时，图象经过一、二、四象限；当时，图象经过二、三、四象限，当时，图象自左向右上升，y随x的增大而增大；当 时，图象自左向右下降，y随x的增大而减小． 【详解】解：函数，因为，， 所以图象经过第一、二、四象限，图象自左向右呈下降趋势，y随x的增大而减小， 故答案为：一、二、四；下降；减小． 41．已知点，在一次函数的图象上．当时，，则该函数图象不经过第______象限． 【答案】三 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，先由已知判断出该函数的增减性，再利用一次函数的性质求解即可． 【详解】解：∵点，在一次函数的图象上，且当时，， ∴y随x的增大而减小， ∴， 又， ∴该一次函数图象经过第一、二、四象限， ∴该函数图象不经过第三象限， 故答案为：三． 42．关于一次函数，下列说法正确的有______．（直接填序号） ①y随x的增大而增大；    ②图象与直线平行； ③函数图象与y轴的交点为；    ④函数图象经过第一、二、三象限 【答案】②③/③② 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，以及一次函数与坐标轴的交点． 根据一次函数的性质逐个判断即可． 【详解】解：①∵， ∴y随x的增大而减小，故本项错误，不符合题意； ②∵与直线中k值相同， ∴图象与直线平行，故本项正确，符合题意； ③当时，， ∴函数图象与y轴的交点坐标是，故本项正确，符合题意； ④∴，， ∴函数的图象经过第一、二、四象限，故本项错误，不符合题意； 综上分析可知：正确的有②③． 故答案为：②③． 题型七、函数图像共存问题 43．两个一次函数，，它们在同一坐标系中的图象可能是图中的（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数图象的判断，熟练掌握一次函数图象与函数解析式的关系式，是解题的关键．利用一次函数图象与，的关系，逐项判断即可． 【详解】解：、如果过第一、二、三象限的图象是的图象，由的图象可知，，；由的图象可知，，，两结论相矛盾，故A错误； 、如果过第一、二、三象限的图象是的图象，由的图象可知，，；由的图象可知，，，两结论相矛盾，故B错误； 、如果过第一、三、四象限的图象是的图象，由的图象可知，，；由的图象可知，，，故C正确； 、如果过第二、三、四象限的图象是的图象，由的图象可知，，；由的图象可知，，，两结论相矛盾，故D错误． 故选：C． 44．一次函数和在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与正比例函数的图象，熟练掌握两个函数图象与系数的关系是解答本题的关键．根据选项中正比例函数图象确定k值，再去判定一次函数经过的象限即可判定． 【详解】解：A、选项中没有过原点的直线，此选项不符合题意； B、由正比例函数图象可知，则，故一次函数图象经过第一、三、四象限，此选项符合题意； C、由正比例函数图象可知，则，由一次函数图象经过第一、二、四象限，此选项不符合题意； D、由正比例函数图象可知，则，由一次函数图象经过第一、二、四象限，此选项不符合题意； 故选：B． 45．将一次函数与的图象画在同一坐标系中，它们的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数图象与性质，根据题中选项的图，假定其中一条之间的解析式为，由一次函数图象与性质得到符号，再判断另一条直线是否满足即可得到答案，熟记一次函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：A．由一次函数图象知：，，则，由正比例函数图象知：，故选项A不符合题意； B．由一次函数图象知：，，则，由正比例函数图象知：，故选项B不符合题意； C．是正比例函数，图象必经过原点，故选项C不符合题意； D．由一次函数图象知：，，则，由正比例函数图象知：，故选项D不符合题意； 故选：D． 46．已知直线：与直线：在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，掌握一次函数的图象与性质，数形结合是本题的关键．根据两个一次函数的图象逐一分析系数符号即可解决． 【详解】解：A、直线中，，中，，b的取值相矛盾，故本选项不符合题意； B、直线中，，中，，k、b的取值一致，故本选项符合题意； C、直线中，，中，，k的取值相矛盾，故本选项不符合题意； D、直线中，，中，，b的取值相矛盾，故本选项不符合题意． 故选：B． 47．已知其，，则关于的一次函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对于每个选项，先确定一个解析式所对应的图象，根据一次函数图象与系数的关系确定、的符号，然后根据此符号看另一个函数图象的位置是否正确．本题考查了一次函数图象：一次函数、为常数，是一条直线，当，图象经过第一、三象限，随的增大而增大；当，图象经过第二、四象限，随的增大而减小；图象与轴的交点坐标为． 【详解】解：A、如图：当一次函数的图象经过第一、二、三象限，则，，此时的图象也经过第一、二、三象限，所以A选项不符合题意； B、如图：当一次函数的图象经过第一、三、四象限，则，，此时的图象经过第一、二、四象限，所以B选项符合题意； C、如图：当一次函数的图象经过第一、二、四象限，则，，此时的图象经过第一、三、四象限，所以C选项不符合题意； D、如图：当一次函数的图象经过第一、三、四象限，则，，此时的图象经过第一、二、四象限，所以D选项不符合题意； 故选：B． 题型八、已知一次函数图像经过象限或增减性求参数 48．一次函数的图像经过第一、二、三象限，则的值可能为（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】C 【分析】本题考查一次函数图像与系数的关系；熟练掌握一次函数中与的符号对函数图像的影响是解题的关键．根据，，时，函数图像经过第一、二、三象限，则有且，通过解该不等式即可求得的取值范围，然后写出的值即可． 【详解】解：一次函数的图像经过第一、二、三象限， 且， ． 观察选项中的数字，只有数字0符合题意． 故选：C． 49．一次函数的图象不经过第二象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了根据一次函数经过的象限求参数，解不等式组，根据题意可得一次函数的图象经过第一、三象限或经过第一、三、四象限，则，解不等式组即可得到答案． 【详解】解：∵一次函数的图象不经过第二象限， ∴一次函数的图象经过第一、三象限或经过第一、三、四象限， ∴， ∴， 故选：B． 50．已知一次函数的图象不经过第四象限，那么一定满足（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，根据一次函数的图象和性质解答即可求解，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数图形不经过第四象限， ∴， 当此函数图象经过原点时，， 当此函数图象不经过原点时，， ∴， 故选：． 51．设，关于x的一次函数，当时y的最大值是（   ） A． B． C．k D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的增减性，解题关键是根据图像情况比较得到的两个值的大小．根据题意得出，则一次函数中随的增大而减小，将代入解析式，即可求解． 【详解】解：∵ 又，则， ∴y随着x增大而减小， 又∵， ∴当时，y取得最大值，最大值为， 故选：C． 52．若点和都在一次函数（k为常数）的图象上，且当时，，则的值可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查一次函数的性质，根据一次函数的增减性，当即时，函数y随x的增大而减小，即可得答案． 【详解】解：由题意，点A和B在函数的图象上，且当时，， ∴函数值y随x的增大而减小， ∴， 解得， 选项中只有满足， 故选：A． 53．已知一次函数，且y的值随x值的增大而减小，则m的取值范围为_________． 【答案】 【分析】根据一次函数的性质，y随x的增大而减小时，一次项系数小于0，据此列出不等式求解即可． 【详解】解：∵一次函数，且y的值随x值的增大而减小， ∴， 解得：． 54．若一次函数的图像经过点和点，当时，，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，关键是知识点的灵活应用；根据一次函数的性质，当时，函数随的增大而减小． 【详解】解：由题意，当时，， ∴， 解得， 故答案为：． 55．一次函数过第四象限，且随的增大而增大，请写出一个符合条件的整数的值___________． 【答案】3（答案不唯一） 【分析】根据一次函数的性质，y随x的增大而增大时斜率大于0，过第四象限时一次函数与y轴的交点在负半轴上，列出不等式组求解k的取值范围，再取整数解． 本题考查了一次函数图象的分布，熟练掌握分布规律与k，b的关系是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数过第四象限，且随的增大而增大 ∴ 解得 ∴符合条件的整数的值为3或4， 故答案为：3（答案不唯一）． 56．（25-26八年级上·四川成都·期中）一次函数的图象如图所示：则点在平面直角坐标系中位于第______象限． 【答案】四 【分析】本题考查了已知一次函数经过的象限求参数范围，判断点所在的象限．先观察图象，得出一次函数经过第一、三、四象限，即，故点位于第四象限，即可作答． 【详解】解：观察图象，得出一次函数经过第一、三、四象限， ∴， 则点在平面直角坐标系中位于第四象限， 故答案为：四. 题型九、从函数的图像获取信息 57．小明听到弟弟诵读诗句“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”时，他想借助图象大致刻画出诗句中儿童从学校放学回家，再到田野这段时间内，离家距离的变化情况．下列图象中能大致刻画这段时间儿童离家距离与时间关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意“儿童从学校放学回家，再到田野”分析判断即可． 【详解】解：根据题意“儿童从学校放学回家，再到田野”，可知儿童离家距离先从大变小直到0，再慢慢变大直到一固定值，由此可知选项D符合题意． 58．涨潮时，潮水高度不断上升，海水淹没滩涂．退潮时，潮水高度不断下降，露出滩涂，若此时潮水高度小于当日潮水最大高度的一半，则适合赶海．如图呈现了某地一天内潮水高度的变化情况，下列说法错误的是（    ） A．该地当日时潮水高度最大，高度为 B．该地当日时和时潮水高度相同 C．该地当日到适合赶海 D．该地当日到适合赶海 【答案】D 【分析】根据图象信息逐项判断即可． 【详解】解：由图象可知， 该地当日时潮水高度最大，高度为，故选项A说法正确，不符合题意； 该地当日时和时潮水高度相同，均为3.5m，故选项B说法正确，不符合题意； 该地当日到适合赶海，故选项C说法正确，不符合题意； 该地当日到，夜间不安全，不适合赶海，故原说法错误，故选项D符合题意． 59．周末，小李8时骑自行车从家里出发，到野外郊游，16时回到家里，他离家的距离与时间t（时）之间的函数关系可以用图中的折线表示．根据图象回答下列问题： （1）小李到达离家最远的地方是______时； （2）小李______时第一次休息； （3）11时到12时，小李骑了______km； （4）返回时，小李的平均车速是______． 【答案】 14 10 5 【详解】解：（1）由函数图象可知，小李到达离家最远的地方是14时； （2）由函数图象可知，在第10小时到第11小时，小李离家的距离没有发生变化，即小李在休息， ∴小李10时第一次休息； （3）由题意得：11时到12时，小李骑了千米； （4）， ∴返回时，小李的平均车速是． 60．（25-26七年级上·山东青岛·期末）甲、乙两家公司在年最近几个月份的销售收入情况如图所示，其中销售收入增长较快的是_____（填甲公司或乙公司） 【答案】甲公司 【分析】本题主要考查了折线统计图的信息提取、增长量的计算与比较，熟练掌握从统计图中获取数据并进行定量分析的方法是解题的关键．先从统计图中提取甲、乙两家公司8月和11月的销售收入数据，分别计算两家公司这段时间内的销售收入增长量，再通过比较增长量的大小，判断哪家公司销售收入增长更快． 【详解】解：∵甲公司月销售收入为万元，月为万元， ∴甲公司增长量（万元）， ∵乙公司月销售收入为万元，月为万元， ∴乙公司增长量（万元）， ∵， ∴销售收入增长较快的是甲公司， 故答案为：甲公司． 61．6月13日，某港口的潮水高度和时间的部分数据及函数图象如下． … 11 12 13 14 15 16 17 18 … … 189 137 103 80 101 133 202 260 … （数据来自某海洋研究所） 【数学活动】 根据表中数据，通过描点、连线（光滑曲线）的方式补全该函数的图象． 【数学应用】 根据研究，当潮水高度超过时，货轮能够安全进出该港口．请问当天什么时间段适合货轮进出此港口？ 【答案】数学活动：见解析；数学应用：时和时适合货轮进出此港口 【分析】数学活动：根据表格数据在函数图象上描点连线即可； 数学应用：根据图象找到时所有的x值，再结合图象判断即可． 【详解】解：数学活动：补全该函数的图象如答图所示． 数学应用：根据图象，可知当潮水高度超过时，和． 所以时和时适合货轮进出此港口． 62．如图所示，小彬和爸爸一起去车站接从外地学习回来的妈妈，在去的过程中小彬坐在汽车上看着时速表，用所学知识绘制了一幅反映汽车速度与时间的关系图，第二天，小彬拿着这幅图给同学看，并向同学提出如下问题，你能回答吗？ (1)汽车共行驶了多长时间？最高时速是多少？ (2)汽车在哪段时间保持匀速运动？速度是多少？ (3)汽车在哪段时间内速度在增加？哪段时间内速度在减少？ 【答案】(1)汽车共行驶了21分钟，汽车的最高时速为80千米/时 (2)汽车在出发后第3到第9分钟保持匀速运动，其速度为 (3)汽车在出发后第0到第3分钟及出发后第18到第21分钟内速度在增加；汽车在出发后第9到第15分钟及出发后第21到第24分钟内速度在减少 【分析】（）根据函数图象解答即可求解； （）根据函数图象解答即可求解； （）根据函数图象解答即可求解； 本题考查了函数图象的应用，看懂函数图象是解题的关键． 【详解】（1）解： （分钟），（分钟）， ∵（分钟）， ∴汽车共行驶了21分钟， 由图象可知，汽车的最高时速为千米/时； （2）解：由图象可知，汽车在出发后第3到第9分钟保持匀速运动，其速度为； （3）解：由图象可知，汽车在出发后第0到第3分钟及出发后第18到第21分钟内速度在增加；汽车在出发后第9到第15分钟及出发后第21到第24分钟内速度在减少． 63．（25-26七年级上·山东烟台·期末）为推进乡村道路硬化工程建设，A，B两地技术员甲、乙前往施工现场C地开展专项工作．如图1，已知A，B，C三地共线，B距A地10千米，C距B地80千米，甲乘车从A地出发，乙骑摩托车从B地同时启程；甲抵达C地停留0.5小时后，随即返回A地．两人离A地的距离y（千米）与时间x（小时）之间的关系如图2所示． (1)图中_______，______． (2)甲前往C地时的速度为_______千米/小时，甲返回A地时的速度为______千米/小时； (3)求乙离A地的距离（千米）与时间x（小时）之间的表达式； (4)请直接写出甲，乙二人相遇时x的值． 【答案】(1)90，2 (2)60，50 (3) (4)或 【分析】此题考查了从函数图象获取信息、求函数解析式、一元一次方程的应用等知识，正确列出方程和函数解析式是解题的关键． （1）根据图象反映的时间变化情况即可求出答案； （2）根据路程除以时间即可求出答案； （3）求出乙的速度，即可得到函数解析式； （4）分甲前往地和甲返回地两种情况分别列出方程，解方程即可求出答案． 【详解】（1）解：根据题意可得， ∵甲抵达C地停留0.5小时后，随即返回A地． ∴， 故答案为：90，2 （2）∵（千米/小时），（千米/小时） ∴甲前往C地时的速度为千米/小时，甲返回A地时的速度为千米/小时； 故答案为：， （3）由图象可知，乙的速度为（千米/小时）， ∴， （4）甲前往地时，， 解得， 甲返回地时，， 解得 ∴甲，乙二人相遇时x的值为或． 题型十、比较自变量或函数值的大小（常考点） 64．已知一次函数的图象经过点、，则、的大小关系为（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的性质，掌握“，随的增大而增大；，随的增大而减小”是解题的关键． 由 ，可知 随 的增大而减小，再比较点 和 的横坐标大小，即可判断 和 的大小关系． 【详解】解：∵ 一次函数 中，， ∴ 随 的增大而减小． 又 ∵ 点 和 在函数图象上，且 ，即 ， ∴ ． 故选：A． 65．（25-26八年级上·陕西宝鸡·期末）已知点和点都在直线上，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据一次函数的性质，当时，随的增大而减小，结合点和点的横坐标大小关系，即可判断与的大小，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵直线中， ∴随的增大而减小， 又∵点和点都在直线上，且， ∴， 故选：． 66．（25-26八年级上·辽宁朝阳·期末）已知，是一次函数图象上的两个点，且，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据的，得出随着增大而减小，又因为，则，即可作答． 【详解】解：∵函数 的， ∴ 随的增大而减小， ∵， ∴， 故选：A． 67．平面直角坐标系中，过点的直线l经过第二、四象限，若点，，都在直线l上，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质解答即可． 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，熟练掌握一次函数图象与系数的关系是解答本题的关键． 【详解】解：过点的直线l经过第二、四象限， 一次函数经过第一、二、四象限， 一次函数，，，y随x的增大而减小， A、， ，故选项判断错误，不符合题意； B、当，则一次函数图象与交于， ∵，y随x的增大而减小， ∴，选项判断错误，不符合题意； C、∵，y随x的增大而减小， ∴，选项判断错误，不符合题意； D、∵，y随x的增大而减小， ∴，选项判断正确，符合题意． 故选：D． 68．已知点 和点 在直线图象上，且 则a的值可能是（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查一次函数图象的性质，掌握一次函数图象的增减性是关键． 由于直线为负，函数递减，因此y随x增大而减小；由可推得，即，由此即可求解． 【详解】解：∵ 点和点在直线上， ∵， ∴y随x增大而减小， ∵， ∴， ∴， ∴结合选项，a的值可能是2， 故选：D． 69．一次函数，与的图像如图所示，，，的大小关系是_____．（用“”连接） 【答案】 【分析】本题考查一次函数以及正比例函数图象与性质；首先根据直线经过的象限判断k的符号，再根据直线的平缓趋势判断k的绝对值的大小，最后判断三个系数的大小． 【详解】解：由直线经过的象限，知：， ∵根据直线越陡，越大， ∴， ∴， 故答案为：． 70．已知一次函数，当时，y的最大值是______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，一次函数，当时y随x的增大而减小，时，y随x的增大而增大；掌握一次函数的性质是解题的关键． 根据可知一次函数，y随x的增大而减小，代入计算即可得到答案． 【详解】解： 一次函数中，y随x的增大而减小， 当时，在时有最大值 此时 故答案为：． 71．已知点都在函数的图象上，则的大小关系为________．（用“<”号连接） 【答案】 【分析】本题考查一次函数的性质，根据一次函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征即可求解，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴y随x的增大而减小， ∵都在函数的图象上，且， ∴， 故答案为：． 72．已知一次函数，若，则y的取值范围是________． 【答案】/ 【分析】由，利用一次函数的性质，可得出随的增大而减小，由一次函数图象上点的坐标特征，可求出当及时的值，进而可得出结果； 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，利用一次函数的性质及一次函数图象上点的坐标特征得出取值范围是解题的关键． 【详解】, 随的增大而减小， 当时，， 当时，， 若， 则的取值范围是 故答案为：． 73．已知点，都在直线上，则________．（填“”或“”或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查了比较一次函数函数值的大小，正确判断出一次函数的增减性是解题的关键．先根据一次函数解析式判断一次函数的增减性，由此即可得到答案． 【详解】解：∵直线中，， ∴对于，随增大而增大， ∵点，都在直线上，且， 故答案为：． 74．直线 上有两点和，若，则和的大小关系是___________． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的图象与性质；根据一次函数的性质，当时，y随着x的增大而减小，由已知即可判断大小关系. 【详解】解：∵在一次函数中， ∴y随x的增大而减小， ∵， ∴. 故答案为：. 题型十一、画一次函数图像 75．把下面画函数的图象的过程补充完整． 解：（1）列表如下： x … 0 1 2 3 …      … 4 … （2）画出的函数图象如下图所示． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题考查了一次函数的图象，熟练掌握一次函数图象的画法是解题的关键． （1）将的值代入函数解析式求出的值即可； （2）描点、连线即可作出一次函数的图象． 【详解】解：（1）列表如下： x … 0 1 2 3 …      … 4 3 2 1 0 … （2）画出的函数图象如图所示． 76．在坐标系中操作： (1)画出函数的图象； (2)若，直接写出的取值范围，并在坐标系内用粗线描出这部分图象． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查了画一次函数的图象，两点确定一条直线，根据函数值的范围求自变量的范围，解题关键是画出一次函数的图象． （1）求出一次函数与两坐标轴的交点即可画出函数图象； （2）先确定一次函数的增减性，再根据一次函数的增减性，求出当时的取值范围． 【详解】（1）解：，当时，； 当时，，解得：， 所以一次函数经过，， 画出函数图象如图： （2）， ∵， ∴随的增大而增大， 当时，，解得； 当时，，解得， ∴当时，， 其图象如图： 77．下面是画函数的图象的过程． 列表： x … 0 1 … y … ______ ______ ______ … 描点并连线： 请根据上面的信息回答问题： (1)补全表格中y对应的值． (2)在如图所示的平面直角坐标系中，描出表格中对应的点，并画出函数的图象． (3)若点在函数的图象上，求出m的值． 【答案】(1)；；2 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据解析式，计算自变量对应的函数值，解答即可． （2）根据描点法画图象解答即可． （3）根据点在函数的图象上，得点的坐标满足函数的解析式，代入转化为m的方程，解方程求出m的值． 本题考查了坐标与解析式，图象的画法，解方程，熟练掌握坐标与解析式的关系，解方程是解题的关键． 【详解】（1）解：由， 当时，； 当时，； 当时，； 故答案为：    2． （2）解：根据题意，如答图所示， 图象即为所求． （3）解：点在函数的图象上， 将代入， 得． 解得． 78．已知一次函数． (1)在图中画出该函数的图象； (2)若和是一次函数图象上的两点，比较和的大小，并说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)，见解析 【分析】本题主要考查一次函数图象及性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． （1）根据解析式得出当时，；当时，，列表、描点，画出直线即可； （2）根据一次函数的性质，得出y随x的增大而增大即可得出答案． 【详解】（1）解： ， 当时，；当时，； 列表如下： 0 2 0 描点，该函数的图象如下： （2）， 随的增大而增大， ， ． 题型十二、一次函数与坐标轴交点问题 79．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）一次函数的图象与轴的负半轴相交，则的值可以是（   ） A．3 B．0 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图象与y轴的交点特征，解题的关键是确定一次函数与y轴交点的纵坐标（截距）的符号，进而求出的取值范围． 求出一次函数与y轴的交点纵坐标为，根据交点在y轴负半轴得，解得，再判断选项中符合该范围的值． 【详解】解：一次函数与y轴的交点纵坐标为， 图象与y轴负半轴相交， ，即． 故选：D． 80．（25-26八年级上·陕西西安·期中）关于一次函数的图象，下列说法正确的是（   ） A．它的图象经过二、三、四象限 B．随的增大而减小 C．它的图象必过点 D．它的图象与轴的交点为 【答案】C 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键；根据一次函数的性质，分析各个选项即可． 【详解】解：∵函数为，其中，， 对于A：图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，故A错误； 对于B：∵，∴y随x的增大而增大，故B错误； 对于C：当时，，∴图象过点，故C正确； 对于D：当时，，∴与y轴交点为，故D错误； 故选C． 81．（25-26七年级上·山东济南·期中）对于一次函数，下列结论正确的是（   ） A．它的图象与轴的交点为 B．的值随的增大而减小 C．它的图象与轴的交点为 D．它的图象经过第一、二、三象限 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是一次函数的图象与性质，解题关键是熟练掌握一次函数的图象与性质． 根据一次函数的性质，分别计算与坐标轴的交点、判断增减性和图象所经象限． 【详解】解：一次函数为， 当时，， 与 轴交点为 ，选项错误； ， 随的增大而增大，选项错误； 当时，， 解得， 与轴交点为，选项正确； ，， 图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，选项错误． 故选：． 82．如果一次函数的图像与x轴的交点在轴的正半轴上，那么m的取值范围是_________． 【答案】 【分析】先求出一次函数与x轴交点的横坐标，再根据交点在正半轴列出不等式，解不等式即可得到的取值范围. 【详解】解：x轴上点的纵坐标为0，令，得， 解得， 因为一次函数的图象与x轴的交点在正半轴上， 所以， 根据不等式的基本性质，不等式两边同乘正数2，不等号方向不变，得， 解得：． 83．直线与轴、轴的交点坐标分别为__________，__________，图象不经过第__________象限． 【答案】 三 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征和一次函数图象与系数的关系，熟知以上知识是解题的关键． 求直线与坐标轴的交点，分别令和 解方程；根据一次函数的和判断图象所经过的象限即可． 【详解】解：与 轴交点：令 ，得 ，解得 ，坐标为 ； 与轴交点：令 ，得 ，坐标为； 由于一次函数中 ，，图象经过第一、第二和第四象限，不经过第三象限． 故答案为： ，，三． 84．直线与坐标轴围成的三角形面积为1，则__________． 【答案】± 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键．根据一次函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：在函数中，当时，；当时，， 直线与坐标轴围成的三角形面积为1， ， ． 故答案为：． 题型十三、一次函数图像的平移（常考点） 85．把的图象沿轴向下平移5个单位后所得图象的关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一次函数的平移，根据一次函数图象平移的规律，沿y轴向下平移时，函数关系式中的常数项减去平移单位即可． 【详解】解：∵原函数为 ，沿y轴向下平移5个单位， ∴新函数为 ． 故选：C． 86．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）将直线平移得到直线，则移动方法为（   ） A．向左平移3个单位 B．向右平移3个单位 C．向上平移3个单位 D．向下平移3个单位 【答案】D 【分析】本题考查一次函数图象的平移规律，关键掌握“上加下减”的垂直平移规律，通过比较原函数与目标函数的常数项变化，即可确定平移方向． 【详解】解：∵直线平移得到直线， ∴将原直线向下平移3个单位得到直线， 故选：D． 87．（25-26八年级上·陕西渭南·期中）若一次函数（k，b为常数且）的图象是由函数的图象向上平移3个单位长度得到的，则下列关于一次函数的说法正确的是（   ） A．图象经过二、三、四象限 B．随的增大而减小 C．函数图象经过点 D．函数图象与轴交点的坐标为 【答案】C 【分析】本题主要考查一次函数图象的平移，掌握平移规律是关键． 根据一次函数图象平移规律“上加下减”，向上平移3个单位，则b值增加3，得出新函数解析式，再逐一判断选项． 【详解】解：∵函数向上平移3个单位， ∴新函数为，即， 对于A：∵， ∴图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，故A错误； 对于B：∵， ∴y随x的增大而增大，故B错误； 对于C：当时，， ∴点在图象上，故C正确； 对于D：当时，， ∴与y轴交点为，故D错误； 故选：C． 88．（25-26八年级上·陕西西安·期中）与直线平行的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数图象的性质， 两条直线平行的条件是k值相等，给定直线，只需比较各选项可得答案． 【详解】解：∵一次函数中， 选项A：一次函数中，； 选项B：一次函数中，，符合； 选项C：一次函数中，； 选项D：一次函数中，， ∴与给定直线平行的是选项B． 故选：B． 89．将直线向上平移5个单位长度后经过点，则m的值为_________． 【答案】7 【分析】本题考查了一次函数的平移和一次函数图象上点坐标特点；先根据一次函数的平移规律：上加下减得出平移后的直线解析式为，再把点代入求解即可． 【详解】解：∵直线向上平移5个单位长度， ∴平移后的直线解析式为， ∵直线经过点， ∴； 故答案为：7． 90．已知直线平行于直线，且在y轴上的截距为，那么该直线的解析式是_______． 【答案】 【分析】本题考查两条直线相交或平行问题，根据互相平行的直线的解析式的一次项系数的值相等确定出k，根据“在y轴上的截距为”计算求出b值，即可得解． 【详解】解：∵直线平行于直线， ∴． 又∵直线在y轴上的截距为， ∴， ∴这条直线的解析式是． 故答案为：． 91．直线可由直线向_______（选填“上”或“下”）平移_______个单位得到． 【答案】 上 3 【分析】本题考查了一次函数图象平移问题，熟练掌握一次函数图象的平移规律是解题的关键：左加右减，上加下减． 根据一次函数图象的平移规律求解即可． 【详解】∵ ∴直线可由直线向上平移3个单位得到． 故答案为：上，3． 92．平移一次函数的图象，使其成为正比例函数，则需要向下平移________个单位． 【答案】4 【分析】本题考查了平移的性质，正比例函数的定义，根据正比例函数的解析式为进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵平移一次函数的图象，使其成为正比例函数， ∴， 即需要向下平移4个单位． 故答案为：4 93．（25-26八年级上·安徽淮北·期中）已知函数，若函数是由函数向上平移3个单位长度得到． (1)求m，n 的值； (2)判断点是否在该函数图象上？ 【答案】(1)， (2)点在该函数图象上 【分析】本题主要考查了一次函数的平移，已知自变量的值求函数值，熟练掌握待定系数法，是解题的关键． （1）根据一次函数定义可得，求出m，n的值即可； （2）将代入求出函数值与9比较即可． 【详解】（1）解：∵函数是由直线向上平移3个单位长度得到， ∴， 解得 ； （2）解：由（1）得函数的表达式为， ∴当时，， ∴点在该函数图象上． 94．已知一次函数的图象与直线平行，且经过点，求一次函数解析式． 【答案】 【分析】本题主要考查了两直线平行问题，求一次函数解析式．根据互相平行的两直线解析式的k值相等，得到一次函数的解析式为，再把点代入解析式求解即可． 【详解】解：∵一次函数的图象与直线平行， ∴， ∴一次函数为， ∵一次函数过点， ∴， ∴， ∴一次函数的解析式为：． 95．已知正比例函数的图象向下平移3个单位长度后，经过点，求点P的坐标． 【答案】点P的坐标为． 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象与几何变换，掌握“左加右减，上加下减”的平移规律是解题的关键．由平移得得一次函数，把代入求解即可． 【详解】解：将正比例函数的图象向下平移3个单位长度， 得一次函数． 把点代入， 得，解得， ∴， ∴点P的坐标为． 题型十四、一次函数图像的对称 96．如图，在平面直角坐标系中，已知点，点．若点A与点A′关于直线l成轴对称，则直线l的解析式是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查中点坐标公式、轴对称的性质、一次函数的图象与性质，连接，利用中点坐标公式求得线段的中点，再根据轴对称的性质得，直线l垂直平分，进而得直线l经过一、三象限，且经过点B，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵点，点， ∴线段的中点， ∵点A与点A′关于直线l成轴对称， ∴直线l垂直平分， ∴直线l经过一、三象限，且经过点B， ∴直线l的解析式是， 故选：C． 97．（2025·陕西榆林·二模）已知在平面直角坐标系中，直线（为常数，且）与直线（为常数）关于轴对称，则的值依次为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴交点的计算，点关于坐标轴对称的性质，掌握以上知识的计算是关键． 根据一次函数与坐标轴的交点的计算得到各自的交点坐标，由关于轴对称得到，，由此即可求解． 【详解】解：直线（为常数，且）中，当时，，当时，， ∴该直线与轴的交点为，与轴的交点为， 直线（为常数）中，当时，，当时，， ∴该直线与轴的交点为，与轴的交点为， ∵直线（为常数，且）与直线（为常数）关于轴对称， ∴，， 解得，， 故选：C ． 98．已知直线． （1）该直线关于y轴对称的直线的函数解析式为______； （2）该直线关于x轴对称的直线的函数解析式为______． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象的对称变换，熟悉一次函数关于轴和轴的对称变换规律，是解题的关键．利用点关于坐标轴对称的性质求解对称直线表达式即可． 【详解】解：（1）关于轴对称时，点的对称点为， 代入原方程得，即． （2）直线关于轴对称时，其上任意一点的对称点为， 代入原方程得，即， 题型十五、一次函数图像的旋转 99．已知一次函数的图象， 绕x轴上一点 旋转， 所得的图象经过， 则m的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据题意得出旋转后的函数解析式为 然后根据解析式求得与 x轴的交点坐标，结合点的坐标即可得出结论． 本题考查了一次函数图象与几何变换，解题的关键是求出旋转后的函数解析式． 本题属于基础题，难度不大． 【详解】解：∵一次函数的图象与坐标轴的交点坐标为， ， 故图象绕x轴上一点 旋转后的新坐标，， 设新解析式为， 根据题意，得， 解得， 故函数的解析式为， 又图象经过， ∴ 解得， 故选∶ C． 100．（25-26九年级上·天津河东·期末）如图，直线经过点，将绕点顺时针旋转，得到直线．点在上，若，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数的图像与性质，根据点在直线上求出，根据点的坐标是，所以当时，，即可知的值可以是． 【详解】解：如下图所示，过点作轴， 当时，， 点的坐标是， 由直线的图像可知随的增大而增大， 当时，， 的值可以是． 故选：D． 101．（25-26八年级上·江苏南京·期末）将一次函数（为常数）的图象绕原点顺时针旋转，所得图象与轴交于点，当时，的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象的旋转以及一次函数与坐标的交点问题，掌握一次函数图象的旋转是解题的关键．一次函数中，令，则，当一次函数绕原点顺时针旋转后，则的对应点为，得到，分别当和时讨论，即可解得． 【详解】解：在一次函数中，令，则， ∴直线经过点， 将一次函数的图象绕原点顺时针旋转， 则的对应点为， 旋转后图象与轴交于点， ， ， ， 当时，，解得，即； 当时，，解得，与矛盾，无解； 的取值范围是， 故答案为：． 题型十六、待定系数法求一次函数图像解析式（常考点） 102．在平面直角坐标系中，一次函数图像经过点和．求该函数的解析式． 【答案】． 【分析】利用待定系数法求解析式方法即可求解． 【详解】解：设（）， 把点和， ∴，解得， ∴该函数的解析式． 103．如图，已知直线经过点M，求k的值和此直线与x轴，y轴的交点坐标． 【答案】，直线与x轴的交点坐标为，与y轴的交点坐标为 【分析】本题考查了求一次函数的解析式，求一次函数与坐标轴的交点坐标，熟练掌握求一次函数的解析式及求一次函数与坐标轴的交点坐标是关键．将代入，求得；令，求得直线与x轴的交点坐标；令，可求得直线与y轴的交点坐标． 【详解】解：由图象可知，点在直线上， ， 解得：， 直线的解析式为， 令，得， ； 令，得， 直线与x轴的交点坐标为，与y轴的交点坐标为． 104．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）已知y是x的一次函数，当时，；当时，． (1)求y关于x的函数表达式； (2)若点在这个函数的图象上，求a的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键； （1）由题意可设，然后根据待定系数法可进行求解； （2）把点代入（1）中函数解析式进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意可设，把，和，代入得： ，解得：， ∴y关于x的函数表达式为； （2）解：把点代入得：， ∴． 105．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，且与正比例函数的图象交于点． (1)求点的坐标； (2)求一次函数的表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了求一次函数的解析式，一次函数的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，把代入，求出，即可作答． （2）运用待定系数法求一次函数的解析式，即可作答． 【详解】（1）解：点在正比例函数图象上， ， ， （2）解：由（1）得，在一次函数图象上， 代入一次函数解析式可得， 解得， 一次函数的解析式为． 106．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）已知是的正比例函数，并且当时，． (1)求y关于x的函数解析式； (2)求当时，函数y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法． （1）将，代入，求出k的值，得出函数解析式即可； （2）将代入（1）中的函数解析式，求值即可． 【详解】（1）解：∵是的正比例函数， ∴设， 把，代入得： ， 解得：， ∴y关于x的函数解析式为，即； （2）解：由（1）知，y关于x的函数解析式是， ∴当时，． 107．已知与成正比例，且当时，，求与之间的函数表达式． 【答案】 【分析】本题考查的是用待定系数法求函数的表达式，掌握待定系数法求得函数解析式是解题的关键． 根据与成正比例，设出函数关系式，利用已知点求比例系数k，进而得到函数表达式． 【详解】解：∵与成正比例， ∴设， ∵当时，， ∴， ∴， ∴， ∴． 108．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）已知一次函数的图象与直线平行，且与x轴交于点，求该一次函数的表达式． 【答案】 【分析】本题考查求一次函数的解析式，一次函数图象的平移，根据两直线平行，得到，再利用待定系数法进行求解即可． 【详解】解：∵一次函数的图象与直线平行， ∴， ∴， 把，代入，得：，解得， ∴． 109．已知一次函数，若一次函数的图象经过原点，求的值． 【答案】4 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，直接把原点坐标代入一次函数解析式中计算求解即可． 【详解】解：∵一次函数的图象经过原点， ∴， ∴， 当时，， ∴符合题意． 110．已知，其中与x成正比例，与成正比例，且当时，；当时，． (1)求y与x之间的函数表达式； (2)求当时，y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了正比例函数的定义，待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据题意设，则，然后利用待定系数法求得a、b的值，即可解答； （2）根据（1）中的结论，把代入计算，即可解答． 【详解】（1）解：设， ， ， 当时，；当时，． ， 解得， ； （2）解：当时，． 111．已知一次函数的图象经过点和点，且点在正比例函数的图象上． (1)求该一次函数的表达式． (2)若，是该一次函数图象上的两点，当时，求函数值的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先把点代入正比例函数，求出的值，得到点的坐标，再根据待定系数法即可求出一次函数的表达式； （2）先根据的取值范围求出的取值范围，再根据函数增减性求出的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵点在正比例函数的图象上， ∴， 解得， ∴， ∵一次函数的图象经过点和点， ∴， 解得， 则该一次函数的表达式为． （2）∵，是一次函数图象上的两点， ∴，， 又， ∴， 解得， ∴， 又， 则函数值的取值范围为． 112．直线与直线平行，且在轴上的截距是，求直线的函数表达式以及它与轴的交点坐标． 【答案】， 【分析】根据两直线平行可求的值，再根据截距可知的值，进而可求得一次函数的解析式，代入可求交点坐标． 【详解】解：直线与直线平行， ， 则直线即为． 在轴上的截距是， ． 直线的解析式为． 当时，，解得 所以直线与轴的交点坐标为． 题型十七、一次函数的规律探究（难点） 113．如图，在平面直角坐标系中，点，…都在轴上，点，…在直线上，，，，，，…，都是等腰直角三角形，如果，则点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点坐标的规律，掌握等腰直角三角形的性质，一次函数的性质，找出点坐标的规律是关键． 根据题意得到（为正整数），由此即可求解． 【详解】解：点，…都在轴上，点，…在直线上，， ∴，点的横坐标为， ∴的纵坐标为，即，即 ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴，，则，即， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴，则，即， ∴， 同理，，， ∴（为正整数）， ∴点的坐标是， 故选：B ． 114．如图，已知直线：，直线：和点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，…，按此作法进行下去，则点的横坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，规律型：点的坐标．点在直线上，得到，求得的纵坐标的纵坐标，得到，即的横坐标为，同理，的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，求得的横坐标为，于是得到结论． 【详解】解：点，在直线上， ， 轴， 的纵坐标的纵坐标， 在直线上， ， ， ，即的横坐标为， 同理，的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为， ∴的横坐标为， 的横坐标为， 故选：B． 115．如图，过点作轴的垂线，交直线于点，在轴的正半轴上取点，使得，过点作轴的垂线，交直线于点，在轴的正半轴上取点，使得，过点作轴的垂线，交直线于点，依次这样作图，则点的纵坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质．根据一次函数图象上点的坐标特征和等腰三角形的性质即可得到规律，再利用规律求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴点的横坐标为1， ∵，， 在直线的图象上， ∴纵坐标为2， ∴， ∴， ∴点的纵坐标为， ∴的纵坐标为的纵坐标为， ……， ∴点的纵坐标为． 故选：A． 116．（25-26八年级上·河南郑州·期中）正方形、，…按如图所示的方式放置．点、、…和点、、…分别在直线和轴上，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标的特征，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，能够找出坐标的变化规律是解题的关键． 分别求出、、、、，探究坐标的变化规律，进而得出的坐标，做出选择即可． 【详解】解：当时，， 当时，， ，是等腰直角三角形， 同理可得：，，都是等腰直角三角形， 于是：，，，， ， ． 故选：． 117．在平面直角坐标系中，解析式为的直线a，解析式为的直线b如图所示，直线a交y轴于点A，以为边作第一个等边三角形，过点B作y轴的平行线交直线a于点，以为边作第二个等边三角形 顺次这样作下去，第2020个等边三角形的边长为（　　） A． B． C．4038 D．4040 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的图象中的规律探索，等边三角形性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识并运用数形结合思维分析是解题的关键．依题意，分别求出前面几个等边三角形的边长，得出规律，即可求解． 【详解】解：如图，延长交轴于点， 当时，， ∴， 即第1个等边三角形的边长为； ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴， 即第2个等边三角形的边长为2； 延长交轴于点，同理可得，即第3个等边三角形的边长为； 同理得，即第4个等边三角形的边长为； 可得第2020个等边三角形的边长为， 故选：A． 118．如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，点在直线上，都是等腰直角三角形，如果，则点的坐标为___________． 【答案】 【分析】本题需利用等腰直角三角形的性质（直角边相等）和直线上点的坐标特征（横、纵坐标相等），通过分析前几个点的坐标规律，推导出的坐标． 【详解】解：已知，是等腰直角三角形，且点在直线上（横、纵坐标相等）． 为等腰直角三角形，在x轴上， ，且轴， ． 是等腰直角三角形， ∴， ． 又是等腰直角三角形，且在直线上， ， 同理，是等腰直角三角形，，则． 是等腰直角三角形，在直线上，故的横、纵坐标均为，即． 观察，，，可归纳出：点的坐标为． 当时，代入规律得的坐标为． 故答案为 【点睛】本题核心是利用等腰直角三角形的边长关系和直线的坐标特征，通过归纳法找规律．解题关键在于观察前几个点的坐标变化，发现指数规律，进而推广到第个点．这类问题需注重“特殊到一般”的思维方法，通过具体实例推导普遍规律． 119．《庄子·天下篇》记载“一尺之棰，日取其半，万世不竭”．如图，直线与轴交于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，以此类推，令，则的值为__________． 【答案】 【分析】由直线的解析式求得，即可求得，把的坐标代入求得的坐标，进而求得的坐标，即可求得，把的纵坐标代入求得的坐标，进而求得的坐标，即可求得，…..，得到规律，即可求得，然后问题可求解． 【详解】解：把代入得，， ， ∴， 把代入得，， ， 把代入得，， ， ∴， 把代入得，， ， 把代入得，， ， ， ……， ∴， ∴； 故答案为． 120．如图，在平面直角坐标系中，都是等腰直角三角形，点都在x轴上，点与原点重合，点都在直线上，点C在y轴上，轴，轴，若点A的横坐标为，则点的纵坐标是____________________． 【答案】 【分析】分别求出，探究规律，利用规律解决问题即可．本题考查等腰直角三角形的性质，一次函数的应用，规律型问题等知识，找规律是关键． 【详解】由题意，可得， 设，则，解得， ， 设，则，解得， ， 设，则，解得， ， 同法可得的纵坐标为， 点的纵坐标是． 故答案为：． 题型十八、一次函数与方程（组）、不等式（重点） 121．直线与直线交于点，则下列各方程组中满足解为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】两条直线的交点坐标就是这两条直线方程组成的二元一次方程组的解，直接对应选项即可得到答案. 【详解】解：∵直线与直线交于点， ∴同时满足两个直线的方程， ∴解为的方程组就是由这两个直线方程组成的方程组． 122．如图，已知一次函数为常数，且的图象与轴、轴分别交于点，，有下列结论： ①图象经过点；②关于的方程的解为； ③关于的方程的解为；④当时； 其中正确的结论有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】观察图象知，当时，函数值为正，由此可判断①；当时，由此可判断④；根据函数图象与坐标轴的交点可判断②和③． 【详解】解：由图象知，当时，函数值为正，即当时，函数值为正，不可能为，故①错误； 由图象知，当时，故④正确； 直线与x轴交于点，即关于的方程的解为，故②正确； 直线与y轴交于点，关于的方程的解为，故③正确； 所以正确的结论有②③④3个． 【点睛】数形结合是解题的关键． 123．（25-26九年级下·甘肃兰州·开学考试）如图，直线与相交于点，则关于的方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数与一元一次方程的应用，熟练掌握一次函数的图像性质是解题的关键． 根据一次函数的交点求出点P的坐标，据此解答即可． 【详解】解：把点代入与得， ， ， ， 直线与相交于点， 关于的方程的解是， 故选：B． 124．（25-26八年级上·河南郑州·期末）一次函数与分别与y轴交于点A、B，交点为，在同一坐标系中图像如图所示，下列说法错误的是（    ）． A． B．点A、B关于x轴对称 C． D．当时， 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的性质、一次函数与不等式等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． 根据一次函数的性质以及数形结合思想逐项判断即可． 【详解】解：A．由一次函数与y轴的交点在y轴的负半轴，即，故A选项正确，不符合题意； B．由题意可得，即点A、B关于x轴对称，故B选项正确，不符合题意； C．由一次函数，y随x增大而增大，即；由一次函数，y随x增大而减小，即；则，故C选项错误，符合题意； D．由函数图像可得：当时，一次函数的图像在上方，即，故D选项正确，不符合题意． 故选C． 125．如图，函数和的图象交于点，则方程组的解是_____． 【答案】 【分析】根据两条直线的交点坐标即为由两条直线的解析式组成的二元一次方程组的解，即可得出结果． 【详解】解：由图象可知：方程组，即的解是． 126．若一次函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为 _________ ． 【答案】 【分析】由函数图象可知当时，，所以关于的不等式的解集为． 【详解】解：由一次函数的图象可知: 当时，， 当时，， 关于的不等式的解集为． 127．画出函数的图象，结合图象： (1)求方程的解； (2)求不等式的解集； (3)若，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】先作出函数的图象，数形结合即可解决问题． 【详解】（1）解：当时，，即直线与轴交于点； 当时，，即直线与轴交于点； 作出函数的图象，如图所示： 观察图象知，函数图象经过点， 则方程的解为； （2）解：观察图象知，当时，函数图象在轴下方，即， 不等式的解集为； （3）解：当时，，解得； 当时，，解得； 观察图象知，当时，． 128．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，已知直线过点，过点A的直线交x轴于点． (1)求两条直线对应的函数表达式． (2)观察图象，直接写出当时x的取值范围． 【答案】(1)， (2)当时x的取值范围为 【分析】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的图象和性质． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据图象求解即可． 【详解】（1）解：把点代入，得， 解得， ∴； 把点，点代入，得 ， 解得， ∴； （2）解：由观察图象可知，当时x的取值范围为． 题型十九、求直线与坐标系所围成的面积 129．（25-26八年级上·全国·期中）如图，直线与轴、轴的交点分别为，，求直线的表达式及的面积． 【答案】， 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，三角形的面积，设直线的表达式为，利用待定系数法求出直线的表达式，利用三角形的面积公式求出的面积，掌握待定系数法是解题的关键． 【详解】解：设直线的表达式为，把，代入得， ， 解得， ∴直线的表达式为， ∵，， ∴，， ∵， ∴． 130．已知直线和直线的图象如图所示， (1)求点A，B的坐标； (2)已知直线和直线相交于点C，求的面积． 【答案】(1)， (2)12 【分析】本题考查了一次函数的几何综合，与坐标轴的交点坐标，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）观察图象，把代入，得出，把代入，得，即可作答． （2）建立方程组，算出点C的坐标，再结合三角形面积公式列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵ ∴当时，， 解得， ∴， 当时，， ∴． （2）解：依题意，， 解得： ， ∴， ∴． 131．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象和一次函数的图象相交于点，且一次函数的图象与x轴交于点B． (1)求m，a的值． (2)求的面积． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）把点代入，求出的值，再把点代入，求出的值即可； （2）求出点坐标，利用三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：把点代入，得， 解得， ∴点A的坐标为． 把点代入，得， 解得． （2）令，，解得， ∴点B的坐标为． ∵点，． ∴． 132．如图，直线与轴交于点，与轴交于点． (1)求，两点的坐标； (2)过点作直线与轴交于点，且使，求的面积． 【答案】(1)，； (2)的面积是或． 【分析】本题考查的知识点是一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数与几何综合，解题关键是分类讨论． （1）由一次函数解析式，令求得点坐标，令求得点坐标； （2）分两种情况讨论：①点在点左边，，②点在点右边，． 【详解】（1）解：依题得：点是直线与轴交点，点是直线与轴交点， 时，，解得，即； 时，，即． （2）解：由（1）可得，，， 分两种情况考虑： ①点在点左边， ， ， ； ②点在点右边， ， ， ． 综上，的面积是或． 133．如图，直线与轴，轴交于点，点在直线上，点的横坐标为1． (1)求点的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了一次函数的几何综合，一次函数与坐标轴的交点，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）因为直线与轴，轴交于点，故当时，，当时，，然后把代入计算，即可作答． （2）先得，结合，故，即可作答． 【详解】（1）解：∵直线与轴，轴交于点， 当时，， 当时，，解得：， ，， 当时，则， ； （2）解：， ， ， ． 题型二十、一次函数的实际应用（重点） 134. 某单位要印刷产品说明书，甲印刷厂提出，每份说明书收取1元印刷费，另收取元制版费；乙印刷厂提出，每份说明书收取元印刷费，不收取制版费．请选取适当的变量建立函数，给出最节省费用的印刷厂选择方案． 【答案】见解析 【分析】先设定印刷份数为变量，分别写出甲、乙两厂的费用函数；再分三种情况(费用相等、甲费用更低、乙费用更低)列方程或不等式，求解对应的印刷份数范围；最后根据求解结果给出不同情况下的选择方案． 【详解】解：设要印刷的说明书份数为份，甲印刷厂的总费用为元，乙印刷厂的总费用为元． 根据题意，甲印刷厂收取每份1元印刷费和元制版费， ∴； 乙印刷厂仅收取每份元印刷费，无制版费， ∴． 当时，即，解得． 此时甲、乙两印刷厂的费用相同． 当时，即， 解得． 此时选择甲印刷厂的总费用更低，更节省费用． 当时，即， 解得． 此时选择乙印刷厂的总费用更低，更节省费用． 答：当印刷说明书份数为份时，选择甲、乙印刷厂费用相同；当印刷份数大于份时，选择甲印刷厂更节省费用；当印刷份数小于份时，选择乙印刷厂更节省费用． 135．为鼓励学生加强锻炼，增强体质，某校准备购买若干套健身器材供学生使用，经调查，某公司有，两种健身器材可供选择，每套型健身器材售价为万元，每套型健身器材售价为万元，经协商，该公司承诺：每套型健身器材在售价的基础上减免万元；每套型健身器材在售价的基础上打七折．学校想购进，两种健身器材共套，若型健身器材买套，共花费万元． (1)请求出与的函数关系式； (2)若型健身器材的数量不超过套，学校应如何购买才能使总费用最少？ 【答案】(1) (2)购买型健身器材套，型健身器材套才能使总费用最少 【分析】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据题意易得购买型健身器材套，然后可列函数解析式进行求解； （2）根据题意易得，然后由及一次函数的增减性可进行求解． 【详解】（1）解：若型健身器材买套，则型健身器材套， 由题意得：， 即与的函数关系式为（，且x为整数）； （2）解：由题意可知，，由可知，总费用为：， 随的增大而减小， 当时，有最小值， 即若型健身器材买套， 则型健身器材买套， 答：购买型健身器材套，型健身器材套才能使总费用最少． 136．在“综合与实践”活动课时，小明关注了佛山移动公司手机资费两种套餐： A套餐：月租0元，市话通话费每分钟元； B套餐：月租费48元，免费市话通话时间48分钟，超出部分每分钟元． 设A套餐每月市话话费为元，B套餐每月市话话费为元，月市话通话时间为x分钟． (1)分别写出，与x的函数关系式； (2)小明爸爸每月市话通话时间为200分钟，请说明选择哪种套餐更合算． 【答案】(1) (2)选择B种套餐更合算 【分析】（1）根据已知，列出函数关系式即可； （2）结合（1），求出时，两种套餐的费用，再比较即可． 本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． 【详解】（1）解：根据题意得：，； （2）解：当时， ， ， 选择B种套餐更合算． 137．（25-26七年级上·山东济南·期末）为提升训练质量，某羽毛球俱乐部计划采购某品牌羽毛球训练器材．经市场调查了解到该品牌羽毛球拍每副120元，羽毛球每筒40元，某体育用品商场抓住机遇推出促销活动，提供了两种优惠方案： 方案一：买一副羽毛球拍送一筒羽毛球； 方案二：羽毛球拍和羽毛球全部按定价打八折． 若该羽毛球俱乐部需采购球拍100副，羽毛球x筒．方案一、二所需付款金额分别为元、元． (1)求， 与之间的函数表达式； (2)当时，通过计算比较这两种方案哪种更划算． 【答案】(1)， (2)方案一更划算，理由见解析 【分析】本题主要考查了函数关系式，求函数值，根据题意列出代数式是解题的关键． （1）根据两种不同的优惠方案列出函数关系式即可； （2）把分别代入（1）中函数关系式，然后进行比较即可． 【详解】（1）解：， （2）解：当时，， ， 方案一更划算． 138．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）小明使用出行软件打车回家的行程详情如图（1）所示，爱动脑筋的小明查看了计价规则，如图（2）所示．他发现，在不考虑其他因素的情况下，在其打车的时间段（），3公里以内（含3公里）的起步价为元；超过3公里的部分，按元/公里的标准收取里程费． (1)当行程超过3公里时，判断实际打车费用y元是否是里程x公里的函数，并用含x的代数式表示y； (2)如图（1）所示，小明此次行程的实际路线为公里，那么打车费用是多少元？ 【答案】(1)y是x的函数， (2)元 【分析】本题考查一次函数的实际应用，正确列出函数关系式是解题的关键． （1）根据题意，得，化简为即可求解； （2）根据题意，当时，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：由题可得，当里程x超过3公里时，其中3公里以内（含3公里）的起步价为元；超过3公里的部分里程为公里，费用为元， 则实际打车费用，即， 对于每一个超过3公里的x值，都有唯一的y值与之对应， y是x的函数，； （2）当时，， 则打车费用是元． 139．（2026·陕西西安·模拟预测）某公司招聘外卖送餐员进行送餐服务，送餐员的月工资由底薪1500元加上外卖送单补贴（送一次外卖为一单）构成，外卖送单补贴的具体方案如下： 外卖送单数量 补贴（元／单） 每月不超过500单 3.5 超过500单但不超过900单的部分 5 超过900单的部分 8 (1)若某外卖小哥一个月送餐单（），所得工资元，求与的函数关系式． (2)若某外卖小哥2月份的工资总额为5650元，那么他2月份外卖送餐多少单？ 【答案】(1)当时，；当时， (2)他2月份外卖送餐950单 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，解题的关键是理解题意，列出函数关系式，注意分类讨论． （1）分两种情况，列出函数关系式即可； （2）先确定他2月份送餐单数超过900单，再利用（1）中函数解析式求解． 【详解】（1）解：当时， ； 当时， ； 综上，当时，；当时，． （2）解：（元，（元； 元元 ； ∴当时，得 ， 解得， 他2月份外卖送餐950单． 140．综合与实践 【问题背景】 某超市员工现需利用扶梯将70辆购物车从一层转运到负一层． 【相关素材】 素材1：如图，假设购物车在整齐叠放的状态下，购物车数量每增加1辆，购物车列的车身总长变化情况相同．如表中探究了整齐叠放的购物车列的车身总长与购物车数量的关系： 购物车数量辆 1 2 3 4 5 车身总长米 素材2：如图，该超市的扶梯竖直高度米，水平宽度米．为了安全起见，该超市员工在利用扶梯运输购物车时，一次只能转运一列购物车，且购物车列的车头与车尾需同时处于扶梯承载区域内． 【问题解决】 (1)根据表格可知，购物车列的车身总长与购物车数量之间的关系式为______； (2)在不考虑其他因素的影响下，判断该超市员工能否通过一次转运就将全部的购物车转运完毕，并通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 【分析】（1）根据增加1辆购物车，车身总长增加米，列出表达式即可； （2）利用勾股定理求出的长，再把代入求出的值，再进行比较即可． 【详解】（1）解：根据表格，增加1辆购物车，车身总长增加米， 则， ∴车身总长与购物车数量之间的关系式为 （2）该超市员工不能通过一次转运就将全部的购物车转运完毕．理由如下： 在中利用勾股定理得：（米）， 当时，， ∵， ∴该超市员工不能通过一次转运就将全部的购物车转运完毕． 141．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）在探究“圆柱体浸入水中时拉力与下降高度的关系”实验中（即图1测浮力的实验中，下方为盛水的烧杯，上方有弹簧测力计悬挂的圆柱体，将圆柱体缓慢下降，直至圆柱体完全浸入水中，整个过程中，弹簧测力计读数与圆柱体下降高度的关系图象如图2所示），相关数据记录如下： 1．弹簧测力计的读数F（单位：，牛顿，只需当作数值单位即可）代表拉力大小； 2．当圆柱体下底面刚接触水面时（对应下降高度），拉力为； 3．当圆柱体完全浸入水中时（对应下降高度），拉力为； 4．下降高度在到之间时，拉力随下降高度的增加呈线性减少（即拉力F与下降高度h成一次函数关系）． 请根据以上信息解答下列问题： (1)分析题意，若图2中下降高度对应拉力a，对应拉力b，则_______，_______； (2)求段与之间的一次函数表达式： (3)若弹簧测力计的读数为，求圆柱体浸入水中的高度． 【答案】(1)14，8 (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． （1）根据已知直接可得，； （2）利用待定系数法即可得出段与之间的函数表达式； （3）令时，，求出h的值即可得出答案． 【详解】（1）解：根据已知可得：，， 故答案为：14，8； （2）解：设段与之间的函数表达式为， ∴，解得：， ∴； （3）解：在中，令时，， 解得， ∵， ∴圆柱体浸入水中的高度为． 题型二十一、一次函数与几何综合（难点） 142．如图，四边形是平行四边形，其中点A的坐标是，点O的坐标是，点C的坐标是． (1)请求出点B的坐标； (2)已知点D是直线上一个动点，若三角形是等腰三角形，请求出所有符合要求的点D的坐标； (3)已知直线以每秒1个单位长度的速度沿y轴向下平移，经过多少秒该直线恰好将平行四边形分成面积相等的两部分？ 【答案】(1) (2)或或或或 ； (3)12秒 【分析】（1）根据平行四边形的性质得，再结合C点的坐标即可求出点B的坐标； （2）设，分，，这三种情况求出点D的坐标； （3）先求出平行四边形对角线交点的坐标，设平移后解析式为，再把交点坐标代入求解即可． 【详解】（1）解：点坐标是，， ，   四边形是平行四边形，   ，，   点坐标是，   ； （2）解：点是直线上一个动点，   设，   ①当时，三角形是等腰三角形，   或，   或，   ②当时，三角形是等腰三角形，   则点在的垂直平分线上，   ，   ③时，， 或， 或， 综上所述，点D的坐标为或或或或 ； （3）解：∵，， ∴平行四边形对角线交点的坐标为，即， ∵该直线恰好将平行四边形分成面积相等的两部分， ∴平移后的直线经过平行四边形对角线交点， 设平移t秒，直线向下平移t个单位，平移后解析式为， 将代入得：，解得． 答：经过12秒该直线恰好将平行四边形分成面积相等的两部分． 【点睛】若直线平分平行四边形的面积，则该直线一定过对角线的交点． 143．在平面直角坐标系中，已知，，等腰的底边经过点． (1)求直线的解析式； (2)如图，与交于点，若点的坐标为，请求出点的坐标； (3)如图，点是的中点，若，请求出的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）用待定系数法求函数表达式即可； （2）过作轴于，过作轴于，根据，求出的坐标及解析式，再把解析式联立成方程组即可解得答案； （3）连接，证明，可得，，在中，由勾股定理得求出，再计算，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得，即可得解． 【详解】（1）解：设直线的表达式为：，代入，得： ， 解得：， 直线的解析式为：； （2）解：过作轴于，过作轴于，如图： 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ，， ， ，， ， 设直线解析式是，将代入得： ，解得， 直线解析式是， 由得：， ； （3）解：连接，如图： ， ， 又，， ， ，， ， ，， ， 在中，， ， 是等腰底边的中点， ． 【点睛】解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理，通过全等三角形对应边角相等解决问题． 144．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期末）如图，直线与直线交于点，与轴交于点． (1)_____，不等式的解集为_____； (2)若点在线段上，点在直线上，求的最大值． (3)在直线上是否存在一点，使得的面积为6，若不存在，请说明理由，若存在，请求出点的坐标． 【答案】(1)1； (2) (3)存在；或 【分析】本题主要考查了一次函数的解析式求解、一次函数与不等式的关系、一次函数的最值问题以及三角形面积的计算，熟练掌握一次函数的图象与性质，结合数形结合思想和分类讨论思想解题是解题的关键． （1）将点代入直线的解析式求值；再结合函数图象，确定不等式的解集． （2）先根据点在线段上、点在直线上，分别写出和的表达式，再构造的函数，结合自变量的取值范围求最大值． （3）先求出点的坐标，设出点的坐标，分点在轴下方和上方两种情况，利用面积关系列方程求解． 【详解】（1）解：∵ 点在直线上， ∴ ， 解得 ， ∵ 不等式， ∴ 解得 ， 解得 ， ∴ 不等式的解集为； （2）解：由（1）知：点在线段上，点在直线上， ，， ， ，， 当时，有最大值， 的最大值为； （3）解：存在．直线，令得， ． 点在直线上，设点坐标为， ①当时，点在轴的下方, ， 解得，点坐标为， ②当时，点在轴的上方, ， 解得，此时点坐标为． 点的坐标为或． 145．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）【问题提出】 （1）如图1，在中，于点，，，，求的面积， 【问题解决】 （2）如图2，是某农科院的一块试验田，边上的点处有一口灌溉水井，是一条与边垂直的地下水管（在上，），和是该试验田中的两条小路．现以所在直线为轴、所在直线为轴建立平面直角坐标系（图中1个单位长度表示），得到所在直线的函数关系式为（为常数），点的坐标为．已知区域的面积为．求所在直线的函数关系式．（水井的大小和小路的宽度均忽略不计） 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）通过论证可得，接着利用勾股定理求出，则面积可求； （2）过点作于点，先利用面积求出点坐标，再利用全等三角形求出的坐标，接着求出解析式，继而得到点坐标，则利用待定系数法求函数解析式即可． 【详解】（1）解：， ． 在和中， ∵， （）， ， ， ， ； （2）解：如图，过点作于点， 点的坐标为， ， ， ， 解得， 点的坐标为， ， ， 在和中， ， （）， ， 则点的坐标为， 将点代入中，得， 解得， 所在直线的函数关系式为， 将代入，得， 解得， 点的坐标为， 设所在直线的函数关系式为， 将代入上式，得， 解得， 所在直线的函数关系式为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、一次函数的图象及性质、待定系数法求函数解析式，关键是灵活应用知识点解题． 146．（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与轴，轴分别交于点，，与函数的图象交于点．函数的图象与轴交于点，点从点出发沿方向，以每秒2个单位长度匀速运动到点（到停止运动）．设点的运动时间为秒． (1)求的面积； (2)在点运动过程中，是否存在的值，使为直角三角形？若存在，请求的值及点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或，点坐标为或． 【分析】（1）把点代入函数求出m的值即可得到点坐标，把点C的坐标代入即可求出b的值；进而求出、坐标，再利用三角形面积公式计算即可； （2）先证明，得出为等腰三角形，再分当和两种情况利用勾股定理分别求出长，进而列方程求出对应的的值，再根据点E的运动速度和方向求出点E表示的数即可． 本题考查了一次函数的性质、三角形的面积、动点问题，平面直角坐标系两点间距离公式，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质和分类讨论的数学思想解答． 【详解】（1）解：当时，，所以 所以函数的图象与轴的交点A的坐标为， 把点代入函数，得： 所以点坐标为 把点代入函数，得：， 所以； ∴函数的表达式为 当时，， ∴， ∴函数的图象与轴的交点D的坐标为， ∴ ； （2）存在，或． 理由：当时，， 所以函数的图象与y轴的交点B的坐标为， ∵，， ∴， ∴， 当时，则， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴， 解得； 当，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得； ∵，点从点出发沿方向，以每秒2个单位长度匀速运动到点（到停止运动）． ∴当时，点表示的数为，； 当时，点表示的数为， 综上，当或时，为直角三角形；或． 147．（25-26八年级上·福建三明·期末）如图，已知平面直角坐标系中，点，在直线上．C为y轴负半轴上一点，且，连结，． (1)求m的值及的长； (2)一次函数的图象经过点C且与线段交于点D（不与点A，B重合）． （ⅰ）若k为整数，求k的值； （ⅱ）若，求此时点D的坐标． 【答案】(1)， (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，勾股定理解三角形，一次函数解析式的求解，直角坐标系下三角形面积的计算，解决本题的关键是添加辅助线使用割补法转化面积． （1）将点代入函数解析式即可求解m的值，再由勾股定理即可求解的长； （2）（ⅰ）分别求解出直线与直线的函数解析式，再根据k为整数求解即可； （ⅱ）添加辅助线，设，分别表示出与，再根据求解出a的值即可求解点D的坐标． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ∴，解得， 过作轴，如图1， ∵C为y轴负半轴上一点，且， ∴，， ∴． （2）解：（ⅰ）当的图象经过点，时， 则有，解得， ∴直线为， 当的图象经过点，时， 则有，解得， ∴直线为， ∵一次函数的图象经过点C且与线段相交， ∴k大于小于． ∵k为整数， ∴． （ⅱ）∵D在直线上，可设， 过D作轴，分别交x轴，于点E，F， 过A作，垂足为H；过C作，垂足为G，如图2， 则有，，，， ∴，． 又∵在直线上，∴， ∴， ∴． ∵，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 将代入， ∴． 148．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）【问题探究】 （1）如图1，已知一次函数的图象与轴，轴分别交于点A，B，点在直线上，其纵坐标为5．在轴上找一点，连接，使的值最小，求出的最小值． 【问题解决】 （2）如图2，某科学小组研制出一种激光设备，设备外围由线段组成，，，一条线路从点发出，经过线段上的点最终到达点（点是上的动点），其中点在边上，且，点为的中点．以所在直线为轴，以平行于且经过点的所在直线为轴建立平面直角坐标系，请问线段是否存在最小值？若存在，求出当线段最小时点的坐标；若不存在，请说明理由．（坐标系中一个单位长度表示1cm） 【答案】（1）的最小值为；（2）存在，点的坐标为． 【分析】本题考查了求一次函数与坐标轴的交点、利用轴对称处理线段之和最小的问题，能够识别这种问题实际上就是“将军饮马”问题是解题的关键． （1）在中，分别令和即可求出点B、C的坐标；将B点关于x轴对称为，将转化为，数形结合即可求出最值时P的位置，利用勾股定理求解即可； （2）根据已知条件得到,，作D关于直线的对称点E，连接交于P，则此时，最小，，且的最小值为的长，求得直线和的解析式，解方程组即可得到结论． 【详解】解：（1）对于， 令，得， 故点B的坐标为； 令，得， 故点C的坐标为； 作点B关于x轴的对称点，连接， ∴，当且仅当三点共线时，等号成立， ∴的最小值为，此时P是与x轴的交点． ∴， ∴的最小值为； （2）∵，， ∴， ∴， ∵，点D为的中点， ∴，， ∴,， 作D关于直线的对称点E，连接交于P， 则此时，最小，，且的最小值为的长， 设直线的解析式为， 将代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 同理，直线的解析式为， 联立得， 解得，， ∴点的坐标为． 1．（2025·江苏扬州·中考真题）已知，则一次函数的图象不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数的图象，熟练掌握一次函数的图象特点是解题关键．先根据可得，从而可得，再可得，然后根据一次函数的图象特点即可得． 【详解】解：∵， ∴， 当时，，，与矛盾， 当时，，  ，与矛盾， 当时，，，与矛盾， 当时，，，与矛盾， ∴， ∴， ∴一次函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限， 故选：D． 2．（2025·江苏常州·中考真题）小华家、小丽家与图书馆位于一条笔直的街道上，小丽家位于小华家和图书馆之间，小华家到小丽家、图书馆的距离分别为300米、1800米．若小华、小丽各自从自己家同时出发，分别以米/分钟、米/分钟的速度匀速前往图书馆，则两人恰好同时到达．现两人各自从自己家同时出发，小丽仍然以米/分钟的速度匀速前往图书馆，小华先以米/分钟的速度追赶小丽，与小丽相遇后，再以米/分钟的速度与小丽一同前往图书馆，则小华到图书馆的距离y（米）与行进时间x（分钟）之间的函数图像可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查函数图象，行程问题，分式方程，熟练根据题意找到等量关系是解题的关键．由题意得小丽家到图书馆的距离为米，若小华、小丽各自从自己家同时出发，分别以米/分钟、米/分钟的速度匀速前往图书馆，则两人恰好同时到达，得出，可得现在小华开始的速度为（米/分钟）,设小华分钟后与小丽相遇后，由题意得，得，则相遇时小华到图书馆的距离为（米），再结合小华开始的速度为米/分钟，大于后面的速度米/分钟，即可求解． 【详解】解：由题意得小丽家到图书馆的距离为（米）， ∵若小华、小丽各自从自己家同时出发，分别以米/分钟、米/分钟的速度匀速前往图书馆，则两人恰好同时到达， ∴， ∴， ∴现在小华开始的速度为（米/分钟）, 设小华分钟后与小丽相遇， 由题意得， 得， 则相遇时小华到图书馆的距离为（米）， 剩余路程为（米）， 再结合小华开始的速度为米/分钟，大于后面的速度米/分钟， 则开始的900米所用时间小于后面的900米所用时间， 可知只有选项A符合题意， 故选：A． 3．（2025·四川南充·中考真题）已知直线与直线的交点在轴上，则的值是________． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的交点问题，由直线与直线的交点在轴上可知当时函数值相等，得到，然后代入化简即可．推导知时函数值相等是解题的关键． 【详解】解：当时，，， ∵直线与直线的交点在轴上， ∴， ∴． 4．（2025·河北唐山·三模）如图，在第一象限内的直线上取点，使，以为边作等边，交x轴于点；过点作x轴的垂线交直线l于点，以为边作等边，交x轴于点；过点作x轴的垂线交直线l于点，以为边作等边，交x轴于点，……，依次类推，的坐标为_______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的规律探索，等边三角形的性质，由等边三角形的性质可得，作轴于，则，，即可得出，求出，，…，得出规律，由此即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】解：∵，是等边三角形， ∴， 如图，作轴于， ， 则，， ∴， ∵过点作x轴的垂线交直线l于点， ∴的横坐标为，纵坐标为，即， ∴， ∵以为边作等边，交x轴于点；过点作x轴的垂线交直线l于点， ∴的横坐标为，纵坐标为，即， …， ∴， ∴的坐标为， 故答案为：． 5．（2025·山东德州·中考真题）如图，，点M在线段上，将沿直线折叠，点B恰好落在点处． (1)求a的值； (2)求直线的解析式； (3)若直线与直线的交点在直线的左侧，请直接写出t的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】题目主要考查坐标与图形，勾股定理解三角形，翻折的性质，确定一次函数解析式及一次函数的性质，理解题意，结合图象求解是解题关键． （1）根据题意得出，再由勾股定理及折叠的性质求解即可； （2）设，根据折叠的性质，得，，根据勾股定理确定点M的坐标，再利用待定系数法计算解析式即可． （3）根据题意作出相应草图，结合图象得出，代入一次函数解析式即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵将沿直线折叠，点B恰好落在点处， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）设， 根据折叠的性质，得，， 由（1）得， ∵， ∴， 解得， 故， 设直线的解析式为， ∴， 解得， 故直线的解析式为． （3）由（1）得：， ∴直线与直线的交点在直线的左侧， 如图所示： 当时，， ∴， ∵直线与直线的交点在直线的左侧， ∴直线经过点N时恰好是临界点， ∴， 解得：， ∴t的取值范围为． 6．（2025·四川攀枝花·中考真题）在攀枝花高质量发展建设共同富裕试验区的进程中，有关部门积极助力果农成立芒果种植专业合作社，运用“实体店+直播”的新电商模式扩大芒果销售．某合作社精品芒果成本为60元/箱，每天的销售量箱与售价元/箱满足关系式． (1)若芒果的售价为80元/箱，求合作社每天芒果的销售利润； (2)若规定芒果的售价不低于86元/箱，且每天的销售量不少于300箱，求芒果的售价应定在什么范围． 【答案】(1)合作社每天芒果的销售利润为元 (2)芒果的售价应该定在86元/箱到95元/箱之间 【分析】本题考查一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确的列出不等式，是解题的关键： （1）求出时的函数值，根据总利润等于单件利润乘以销量，列式计算； （2）根据每天的销售量不少于300箱，列出不等式求出的范围，结合芒果的售价不低于86元/箱，求出范围即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，； ∴合作社每天芒果的销售利润为（元）； 答：合作社每天芒果的销售利润为元； （2）由题意，得：， 解得：， 又∵， ∴． 故芒果的售价应该定在86元/箱到95元/箱之间． 7．（2025·宁夏·中考真题）中国结起源于旧石器时代的结绳记事，唐宋时期发展为装饰艺术，明清达到鼎盛．某种中国结有大、小两个型号，编织一个大号需用绳4米，编织一个小号需用绳3米． (1)编织这种中国结恰用绳25米，则大、小号各编织多少个？ (2)计划用不超过1200米的绳子编织350个这种中国结，一个大号的利润为12元，一个小号的利润为8元．当大号编织多少个时总利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)大号中国结编了4个，则小号中国结编了3个或大号中国结编了1个，则小号中国结编了7个． (2)当大号编织个时总利润最大，最大利润是元． 【分析】此题考查了一次函数的应用、一元一次不等式和二元一次方程的应用，正确列出方程和函数解析式是关键． （1）设大号中国结编了个，小号中国结编了个，编织这种中国结恰用绳25米，据此列出二元一次方程，求出整数解即可； （2）设大号编织个，则小号编织个，根据用不超过1200米的绳子编织350个这种中国结列不等式，解得的取值范围，设总利润为元，得到关于的一次函数，根据一次函数的性质即可求出答案． 【详解】（1）解：设大号中国结编了个，小号中国结编了个， 由题意列方程得：， ∴， ∵，均是正整数， ∴当时，， 当时，， 答：大号中国结编了4个，则小号中国结编了3个或大号中国结编了1个，则小号中国结编了7个． （2）解：设大号编织个，则小号编织个， 则， 解得， ∵为正整数， ∴， 设总利润为元，则 ， ∵， ∴随着的增大而增大， ∴当时，取得最大值，最大值为， 答：当大号编织个时总利润最大，最大利润是元． 8．（2025·河北·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴、y轴分别交于点 A、B，直线 ： ()与x轴、y轴分别交于点 C、D，点在直线l₂上． (1)直线 过定点吗？_______；（填“过”或“不过”） (2)若点 B、O关于点D对称，求此时直线的解析式； (3)若直线将的面积分为两部分，请求出m的值． 【答案】(1)过； (2)； (3)4或． 【分析】（1）在中，令求得，从而可求得直线过定点的坐标即可； （2）先根据点 B、O关于点D对称，求得点D的坐标，代入，求得，从而可求得直线的解析式； （3）先求得，再根据在直线上，可得出直线：与直线：的交点为，从而可求得，，进而求得，分、两种情况，分别求出m的值． 【详解】（1）解：在中，令得， ∴直线过定点， 故答案为：过； （2）在中，令得， ∴， ∵点B、O关于点D对称， ∴D是的中点， ∴， ∵点在直线上， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为为； （3）在中，令得， ∴在直线上， ∴直线：与直线：的交点为， 在中，当时，； 当时，，解得：， ∴，， ∴， 当时，如图： 此时， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点在直线上， ∴， ∴； 当时，如图： 此时， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点在直线上， ∴， ∴； 综上所述，m的值为4或． 【点睛】本题考查了一次函数的综合应用，一次函数图象上点坐标的特征，三角形面积，待定系数法求一次函数解析式等知识，解题关键是分类讨论思想的应用． 9．（2025·河北邯郸·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，将点A向上平移4个单位长度得到点B，连接，P为线段上的一点，过点P作直线． (1)当P是线段的中点时，求直线l的解析式； (2)若动点恒在直线上，当直线时，求点P的坐标； (3)Q是线段上的任意一点，在（1）的条件下，将直线l沿y轴向上平移个单位长度得到直线，记点Q关于直线的对称点为．若在线段上，存在点Q，使得点落在y轴上，直接写出满足条件的m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了坐标与图形变换—平移和轴对称，一次函数与几何综合，熟练掌握待定系数法求函数解析式，一次函数的图象和性质，平移性质，轴对称性质，是解题的关键． 本题考查一次函数的综合、对称的性质． （1）求出线段的中点，代入直线，解方程即得； （2）可知直线的解析式为，根据直线，得直线l的解析式为，当时，求出y值即得； （3）可知直线的解析式为，分点Q在点A和在点B时的对称点为，求出的坐标，得中点坐标，代入解析式求出m的临界值即得． 【详解】（1）解：∵向上平移4个单位长度得到点B， ∴， ∵P是线段的中点， ∴， ∵直线过点P， ∴， 解得， ∴直线l的解析式为．    （2）解：∵动点恒在直线上， ∴直线的解析式为 ∵直线， ∴， ∴直线l的解析式为． 令， 则， ∴点P的坐标为． （3）m的取值范围为． 解法提示： 根据题意可得，直线的解析式为， 则直线与x轴所夹锐角为．如解图， 当点Q运动到点A时， 记点Q的对称点为，直线所在位置为直线． 由可知，A与的水平距离为4， ∴垂直距离也为4， ∴点的坐标为， ∴直线经过的中点． 将代入， 得， 解得； 当点Q运动到点B时，记点Q的对称点为，直线所在位置为直线． 由可知，B与的水平距离为4， ∴垂直距离也为4， 点的坐标为， ∴直线经过的中点． 将代入，得， 解得． 综上所述，当直线l向上平移到与之间（包括和）时，满足题意， 故满足条件的m的取值范围是． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $