精品解析：广东东莞市虎门成才实验学校2025-2026学年 第二学期八年级数学第一次教学质量检测

2025-2026学年度第二学期第一次教学质量检测 八年级数学试卷 全卷共3页，满分120分，考试用时为120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的准考证号、姓名、考场号、座位号．用2B铅笔把对应号码的标号涂黑． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试题上． 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定黑区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生务必保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各式中，是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 2 3. 下列各式中，正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列各式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ） A. 3，4，5 B. 1，1，2 C. 4，6，7 D. 5，11，12 7. 如图，点A表示的实数是（ ）． A. B. C. D. 8. 下列各组数是勾股数的是（ ） A. 6，8，10 B. 7，8，9 C. D. 52，122，132 9. 三角形的三边长为，且满足，则这个三角形是（ ） A. 等边三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 锐角三角形 10. 已知，则（　　） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 计算：__________． 12. 计算：___________． 13. 若最简二次根式与是同类二次根式，则a的值是______ 14. 三个正方形的面积如图所示，则正方形A的面积为______． 15. 有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，则水的深度为______尺． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算： （1）； （2）． 17. 计算：． 18. 在Rt△ABC中，∠C=90°，，b，c分别是∠A、∠B、∠C所对的三条边. （1）已知，b=3，求c的长． （2）已知c=13，b=12，求的长． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 已知，求下列各式的值 （1） （2） 20. 如图是由边长为1的小正方形组成的网格，点，，，均在格点上． （1）求四边形的面积； （2）与垂直吗？请说出你的理由． 21. 如图，在中，，，，将折叠，使点恰好落在斜边上，与点重合，为折痕，求和的长． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 阅读下列解题过程： ， ， 请回答下列问题： （1）观察上面的解答过程，请写出 ； （2）请你用含n（n 为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律； （3）利用上面的解法，请化简： 23. 【背景阅读】勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了验证勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今． 【实践操作】（1）请叙述勾股定理； （2）验证勾股定理，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的验证方法中任选一种来验证该定理：（以下图形均满足验证勾股定理所需的条件） 【探索发现】（3）如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有 个； （4）如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为、，直角三角形面积为，请判断、、的关系并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期第一次教学质量检测 八年级数学试卷 全卷共3页，满分120分，考试用时为120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的准考证号、姓名、考场号、座位号．用2B铅笔把对应号码的标号涂黑． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试题上． 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定黑区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生务必保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各式中，是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的定义，根据形如，这样的式子叫做二次根式，进行判断即可． 【详解】解：在，，，中是二次根式的是； 故选B． 2. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】进行分母有理化，即分子、分母都乘以分母的有理化因式即可． 【详解】解：． 故选：B 【点睛】本题考查分母有理化，熟练掌握将分子、分母都乘以分母的有理化因式即可完成分母有理化是解题的关键． 3. 下列各式中，正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的四则运算法则，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、和不是同类二次根式，无法合并，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项错误，不符合题意； C、，故本选项错误，不符合题意； D、，故本选项正确，符合题意； 故选：D 【点睛】本题主要考查了二次根式的四则运算，熟练掌握二次根式的四则运算法则是解题的关键． 4. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据将各项化简，故可判断是否为同类二次根式． 【详解】∵，，=4，=， ∴与是同类二次根式的是． 故选B． 【点睛】此题主要考查同类二次根式的识别，解题的关键是熟知同类二次根式的定义． 5. 下列各式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用最简二次根式的定义：根号下不含有分数，且不含有可开方的式子，一一判断即可． 【详解】A、原式为最简二次根式，符合题意； B、原式=，不合题意； C、原式=，不合题意； D、原式=，不合题意， 故选A． 【点睛】此题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式定义是解本题的关键． 6. 下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ） A. 3，4，5 B. 1，1，2 C. 4，6，7 D. 5，11，12 【答案】A 【解析】 【分析】利用勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形．最长边所对的角为直角．由此判定即可． 【详解】解：A、∵32+42=52，∴三条线段能组成直角三角形，故A选项正确； B、∵12+12≠22，∴三条线段不能组成直角三角形，故B选项错误； C、∵42+62≠72，∴三条线段不能组成直角三角形，故C选项错误； D、∵52+112≠122，∴三条线段不能组成直角三角形，故D选项错误； 故选：A． 【点睛】此题考查了勾股定理逆定理的运用，判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可，注意数据的计算． 7. 如图，点A表示的实数是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，实数与数轴，如图，利用勾股定理计算出的长，再根据，即可解答． 【详解】解：如图， 由勾股定理得， 则， 点A表示的实数是， 故选：D． 8. 下列各组数是勾股数的是（ ） A. 6，8，10 B. 7，8，9 C. D. 52，122，132 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查勾股数，掌握勾股数是正整数，勾股定理逆定理是解题关键．根据勾股定理逆定理与勾股数为正整数的特征对各选项进行一一判定即可． 【详解】解：A.∵，故选项是勾股数，符合题意； B.∵，故选项B不是勾股数； C. 不是整数，故选项不是勾股数； D.∵，故选项不是勾股数； 故选:A． 9. 三角形的三边长为，且满足，则这个三角形是（ ） A. 等边三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 锐角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】先利用完全平方公式化简原等式得到，利用勾股定理的逆定理可得答案． 【详解】解：∵， ∴，则， ∵是三角形的三边长， ∴这个三角形是直角三角形． 10. 已知，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由平方关系：，先代值，再开平方． 【详解】解： ， 故选C． 【点睛】本题考查了已知代数式与所求代数式关系的灵活运用，熟练掌握完全平方公式和开平方运算，开平方运算时，一般要取“”． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 计算：__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的性质即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 12. 计算：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的减法，先化简，再合并即可. 【详解】解：； 故答案为：． 13. 若最简二次根式与是同类二次根式，则a的值是______ 【答案】6 【解析】 【分析】根据同类二次根式的定义：化成最简二次根式后被开方数相同的，即为同类二次根式，即可解答． 【详解】解：由题意得：2a-9=3， 解得：a=6， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 14. 三个正方形的面积如图所示，则正方形A的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据直角三角形的勾股定理，得：两条直角边的平方等于斜边的平方．再根据正方形的面积公式，知：以两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积． 【详解】解：如图，设 则 在中，， ， 故正方形A的面积为． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的证明，本题的关键是理解：以两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积． 15. 有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，则水的深度为______尺． 【答案】12 【解析】 【分析】利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图， 由题意，，，，， 由得， 解得， 则水的深度为12尺． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】根据二次根式的性质和乘除运算法则求解即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】利用平方差公式和完全平方公式计算即可 【详解】解：原式 【点睛】本题考查了平方差公式和完全平方公式，二次根式的运算，熟悉公式是解题的关键． 18. 在Rt△ABC中，∠C=90°，，b，c分别是∠A、∠B、∠C所对的三条边. （1）已知，b=3，求c的长． （2）已知c=13，b=12，求的长． 【答案】(1)4;(2)5 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理计算c边的长； （2）利用勾股定理计算a边的长； 【详解】解：（1）∵∠C=90°，a=，b=3． ∴c==4 （2））∵∠C=90°，c=13，b=12， ∴a==5 【点睛】本题考查勾股定理的应用，属于基础题，解题关键是熟练掌握勾股定理． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 已知，求下列各式的值 （1） （2） 【答案】（1）12 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可求出的值，再把所求式子利用完全平方公式分解因式得到，据此代入求值即可； （2）根据题意可求出和的值，再把所求式子利用平方差公式分解因式得到，据此代入求值即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴ ； 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ∴ ． 20. 如图是由边长为1的小正方形组成的网格，点，，，均在格点上． （1）求四边形的面积； （2）与垂直吗？请说出你的理由． 【答案】（1） （2） ．理由如下： 在中，，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴． 【解析】 【分析】（1）分割法，求出四边形的面积即可； （2）利用勾股定理和逆定理进行判断即可． 【小问1详解】 解：四边形的面积； 【小问2详解】 略 21. 如图，在中，，，，将折叠，使点恰好落在斜边上，与点重合，为折痕，求和的长． 【答案】AC，EB′=3． 【解析】 【分析】设EB′=x，根据勾股定理求出AC的长，根据翻折变换的性质用x表示出EC、EB′、CB′，根据勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】解：设EB′=x， ∵∠B=90°，AB=6，BC=8， ∴AC=， 由折叠的性质可知，BE=EB′=x，AB′=AB=6， 则CB′=AC-AB′=4，EC=BC-BE=8-x， 由勾股定理得，x2+42=(8-x)2， 解得x=3， ∴EB′=3． 【点睛】本题考查了翻折变换的性质，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 阅读下列解题过程： ， ， 请回答下列问题： （1）观察上面的解答过程，请写出 ； （2）请你用含n（n 为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律； （3）利用上面的解法，请化简： 【答案】（1）；（2）；（3）9． 【解析】 【分析】观察所给例子得出（1）（2）答案；运用（2）的答案先对（3）的每项化简去掉分母，再把中间相邻的两项两两相消得到（3）的答案． 【详解】（1） ； 故答案为：． （2）观察前面例子的过程和结果得：； （3）反复运用得 = = ==-1+10=9． 【点睛】此题主要考查二次根式的运算，解题的关键是根据已知条件找到规律并运用规律去掉式子中的分母再相消进行求解． 23. 【背景阅读】勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了验证勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今． 【实践操作】（1）请叙述勾股定理； （2）验证勾股定理，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的验证方法中任选一种来验证该定理：（以下图形均满足验证勾股定理所需的条件） 【探索发现】（3）如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有 个； （4）如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为、，直角三角形面积为，请判断、、的关系并说明理由． 【答案】（1）在平面上的一个直角三角形中，两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平方； （2）证明：如图2， 大正方形面积为： 小正方形面积为： 四个直角三角形面积之和为： ∵大正方形面积=小正方形面积+四个直角三角形面积之和 ∴ ∴，满足直角三角形勾股定理； （3）3；（4） 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理的定义描述，即可得到答案； （2）结合图2，根据大正方形面积等于四个三角形面积和小正方形面积之和的关系计算，即可得到答案； （3）设面积为的正方形边长为a，面积为的正方形边长为b，面积为的正方形边长为c；根据题意得：，再分别计算正方形、半圆形和等边三角形的面积，即可完成求解； （4）结合题意，首先分别以a为直径的半圆面积、以b为直径的半圆面积、非阴影部分去除三角形后的面积，再根据阴影部分面积（+）=以a为直径的半圆面积+以b为直径的半圆面积-非阴影部分去除三角形后的面积，结合勾股定理，即可得到答案． 【详解】（1）勾股定理为：在平面上的一个直角三角形中，两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平方； （2）略 （3）设面积为的正方形边长为a，面积为的正方形边长为b，面积为的正方形边长为c； 根据题意得： 如图4： ，， ∴； 如图5： ，， ∵ ∴； 如图6： ，， ∵ ∴； ∴三个图形中面积关系满足的有3个 故答案为：3； （4）以a为直径的半圆面积为： 以b为直径的半圆面积为： 非阴影部分去除三角形后的面积为： ∵阴影部分面积（+）=以a为直径的半圆面积+以b为直径的半圆面积-非阴影部分去除三角形后的面积 ∴ 结合（1）的结论： ∴ ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理、正方形、等边三角形、圆面积计算的知识；解题的关键是熟练掌握勾股定理的性质，从而完成求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $