专题10函数期中复习讲义 (12大题型+题型突破)2025-2026学年人教版八年级数学下册

专题10函数期中复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.理解变量、常量、函数概念，能判断函数关系； 2.掌握函数三种表示方法，能完成简单互化； 3.会列写函数解析式，熟练求自变量取值范围和函数值； 4.能按步骤用描点法画函数图象，从图象提取关键信息； 5.了解动点问题的函数图象特征，能识别简单分段函数图象。 1.能将实际问题转化为函数模型，建立关系式解决问题； 2.掌握数形结合思想，实现函数解析式与图象的灵活转化； 3.能从表格、图象、文字中提取信息，分析变量关系； 4.整合知识点解决多考点综合题，掌握动点压轴题基础解题思路； 5.形成分类讨论意识，避免自变量取值、图象分析漏解。 1.基础题（60%+，确保满分） 快速解答函数概念、取值范围、函数值计算等选填题；规范完成解析式列写、描点作图、基础信息提取等解答题。 2.中档题（30%，稳拿分数） 熟练解决三种表示方法互化、图象信息综合提取、实际问题建模求解等综合题。 3.压轴题（10%，突破拉分） 能判定几何动点的函数图象，初步解答函数图象与实际问题结合的综合压轴题，规避常见解题错误。 题型1.函数概念与解析式 题型2.自变量取值与函数值计算 题型3.函数三种表示法 题型4.函数图形识别与作图 题型5.函数图象信息提取 题型6.几何动点图象分析 题型7.函数三种表示法综合应用 题型8.几何图形函数建模 题型9.分段函数综合分析 题型10.函数值最值分析 题型11.函数图象逆向推导 题型12.函数表示法实际应用 解答题4题 知识点01:常量与变量 变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量（如时间t、路程s、数量x）。 常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量（如速度v、单价、固定票价）。 关键：同一变化过程中区分，不同过程常量 / 变量可互换。 知识点02:函数的定义（核心考点） 在一个变化过程中，有两个变量x、y，如果对于x的每一个确定值，y都有唯一确定的值与之对应，那么： x：自变量 y：x的函数 函数值：当x=a时，y=b，则b叫x=a时的函数值 判定关键：一对一、多对一是函数；一对多不是函数 知识点03:自变量的取值范围（必考） 整式型（如y=2x+1）：全体实数 分式型（如y=）：分母≠0 二次根式型（如y=，）：被开方数≥0 组合型（如y=）：取各条件的公共解（交集） 实际问题：符合实际意义（如时间、数量≥0） 知识点04:函数的三种表示方法 表示方法 具体形式 优点 缺点 表格法 列表格表示x与y的对应值 直观、易查对应值 只能表示有限个点的对应关系 关系式法（解析式法） 用数学式子表示x与y的关系（如y=2x+1） 精准、可计算任意值 抽象，需推导，实际问题需考虑取值范围 图象法 平面直角坐标系中描点连线形成的图形 直观反映变化趋势 读取数值不够精准 关键：三种方法可相互转化，根据题目需求灵活选用。 知识点05:函数图象的画法（三步） 1.列表：取自变量范围内的若干值，算出对应函数值 2.描点：在坐标系中描出(x,y)对应点 3.连线：用 ** 平滑曲线（或直线）** 连接各点 从图象获取信息 看起点 / 终点：初始 / 结束状态； 看增减性：上升（y随x增大而增大）、下降（y随x增大而减小）； 看交点：两函数值相等的点； 看特殊点：最值点、与坐标轴交点。 题型01.函数概念与解析式 【典例】在一个变化过程中有两个变量x，y，如果对于x的_________的值，y都有______的值与它______，那么称y是x的函数，x是______，对x的每一个取值，函数y的对应值称为______． 【答案】 每一个确定 唯一 对应 自变量 函数值 【分析】本题需要明确函数定义的内容，准确填写每个空； 本题考查了函数的定义，掌握函数的定义是解题的关键． 【详解】根据函数的定义：在一个变化过程中有两个变量x，y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与它对应，那么称y是x的函数，x是自变量，对x的每一个取值，函数y的对应值称为函数值． 故答案为：①每一个确定；②唯一；③对应；④自变量；⑤函数值． 【跟踪专练1】等腰三角形顶角的度数与底角的度数之间的函数关系式及的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形的内角和为，可知，，整理可得：． 【详解】解：三角形内角和为，两底角相等， 顶角的度数与底角的度数之间的函数关系式为：； ， ． 故选：C． 【跟踪专练2】下列与的关系中，不是的函数关系的是_______．（填序号） ①；②；③；④； ⑤；⑥． 【答案】②③ 【分析】本题考查函数定义，解题的关键是理解掌握自变量x在一定的范围内取一个值，因变量y有唯一确定的值与之对应，则y叫x的函数．根据函数的定义，自变量x在一定的范围内取一个值，因变量y有唯一确定的值与之对应，则y叫x的函数，即可得出答案． 【详解】解：根据题意得①、④、⑤和⑥满足取一个x的值，有唯一确定的y值和它对应，y是x的函数，而②和③对一个x的值，与之对应的可能有两个y的值，故②和③y不是x的函数， 故答案为：②③． 【跟踪专练3】如图，直线l与x轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点，P在线段上（不包括端点），过点P作轴于D，轴于E，四边形的周长为8，则直线l的函数表达式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查列函数关系式．设 P点坐标为，由坐标的意义可知 ，，根据围成的图形的周长为8，可得到 x、y之间的关系式． 【详解】解：如图，过点分别作轴，轴，垂足分别为、， 设点坐标为， 点在第一象限， ，， 四边形的周长为8， ， ， 即该直线的函数表达式是， 故选择：C． 题型02.自变量取值与函数值计算 【典例】函数的自变量x的取值范围是________________ 【答案】且 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件和分式有意义的条件是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件解答即可． 【详解】解： 由题意可得：， 解得：， 故答案为：且． 【跟踪专练1】某种烟花点燃后垂直升空，其离地面的高度h(m)和点燃后的时间t(s)之间的关系可以用公式表示，其中重力加速度．烟花点燃后以的初速度上升，在点燃后的时，离地面的高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求代数式的值．把，，代入计算即可． 【详解】解：当时， ∵，， ∴ ， 即在点燃后的时，离地面的高度为． 故选：A 【跟踪专练2】已知函数的自变量的取值范围是全体实数，则的取值范围为_______． 【答案】 【分析】本题考查求自变量的取值范围，根据绝对值的意义，得到当时，这个距离之和最小，最小值为5，根据二次根式有意义的条件，得到恒成立，即可得出结果． 【详解】解：表示在数轴上表示数的点到表示数3与表示数的点的距离之和， 当时，这个距离之和最小，最小值为5，即 ∵函数的自变量的取值范围是全体实数，恒成立， ． 【跟踪专练3】根据如图所示的程序计算函数的值，若输入的值是7，则输出的值是，若输入的值是，则输出的值是（    ） A．9 B．11 C．4 D．14 【答案】B 【分析】先根据输入时输出求出参数的值，确定函数解析式，再判断符合哪个条件，代入计算即可． 【详解】解：当输入时，输出，且， 将代入， 得：， 解得． 当时，函数解析式为． 当输入时，， 将代入， 得：． 题型03.函数三种表示法 【典例】某科技小组在网上获取了声音在空气中传播速度与空气温度之间关系的一些数据，如下表所示： 空气温度 0 10 20 30 声音在空气中传播速度 318 324 330 336 342 348 给出下面三个结论：①空气温度越高声音在空气中传播速度越快；②声音在空气中传播速度与空气温度关系式可以是；③温度每升高，声音在空气中传播速度增加．上述结论中，所有正确结论的序号是_________． 【答案】①③ 【分析】本题考查了用表格表示变量之间的关系，正确从表格获取信息是解答本题的关键． 根据表格中所描述的声音在空气中传播的速度与空气中的温度之间的关系进行逐项分析，进行判断，即可作答． 【详解】解：由题意可得：在这变化过程中，空气的温度越高声音传播的速度越快，故①说法正确； 温度每升高，声音速度增加，故③说法正确； 即温度每升高，声音速度增加， 又∵温度为时，声音的速度是， ∴声音速度与关系式可以是，故②说法不正确； 故答案为：①③ 【跟踪专练1】如图是（    ）的图像． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了根据函数图像判断函数关系式，解题的关键熟练掌握正比例和反比例函数的图像特点，根据函数图像中时，，判断函数关系式即可． 【详解】解：根据图像可知：y与x成正比，故选项B、D不符合题意； 根据图像可知：时，， 所以，故C符合题意，A不符合题意． 故选：C． 【跟踪专练2】某商店为减少某种商品的积压，采取降价销售的策略．商品原价为520元/件，随着不同幅度的降价，日销量发生相应的变化，如下表所示： 降价/元 10 20 30 40 50 60 日销量/件 155 160 165 170 175 180 根据以上日销售量随降价幅度的变化情况，当售价为440元时，日销量为________件． 【答案】190 【分析】从表中可以看出每降价10元，日销量增加5件，日销量与降价之间的关系为：日销量（原价-售价），将已知数据代入上式即可求得要求的量． 【详解】解：从表中可以看出每降价10元，日销量增加 5件， ∴降价之前的日销量为件， ∴日销量与降价之间的关系为：日销量（原价-售价）， ∴售价为440元时，日销量件， 故答案为：190． 【点睛】本题考查了函数，正确理解题意找出日销量的关系式是解题的关键． 【跟踪专练3】根据如图所示的程序计算的值．已知当输入的值是4和7时，输出的值相等，则等于____________． 【答案】 【分析】此题考查了函数值，用关系式表示变量间的关系，弄清程序中的关系式是解本题的关键． 把与代入程序中计算，根据值相等即可求出的值． 【详解】解：当时，， 当时，， 由题意得：， 解得：， 故答案为：． 【跟踪专练4】小红和小星分别从甲、乙两地相向而行，进行跑步训练．他们同时出发，小红从甲地向乙地跑，到达乙地停止，小星从乙地向甲地跑，到达甲地停止．假设小红和小星跑步的速度均为匀速，且小红的速度比小星的速度慢．在跑步过程中，已知小红和小星之间相距的路程s(单位：km)与小红所花的时间t(单位：h)之间的关系如图所示，则当小星到达终点时，小红离终点的路程是____________km． 【答案】0.64 【分析】设小红的速度为，小星的速度为．由图知甲乙两地相距，两人出发0.2小时相遇，由此可得．又由图知小星从乙地跑到甲地用了0.32小时，则可得的值，进而求得的值，由此即可求出当小星到达终点时，小红离终点的路程． 本题考查了用图像表示变量之间的关系，解题的关键是认真读题，并结合图像弄清楚图像上每一个点所表示的实际意义． 【详解】解：设小红的速度为，小星的速度为． 由图知甲乙两地相距，两人出发0.2小时相遇， ∴， ， 又由图知小星从乙地跑到甲地用了0.32小时， ， ， ∴小星到达甲地时小红好跑了， 此时小红离终点的路程为． 故答案为：0.64 题型04.函数图象识别与作图 【典例】以下四种情景分别所描述了两个变量之间的关系： ①篮球运动员投篮时，抛出去的篮球的高度与时间的关系. ②小华在书店买同一单价的作业本，所付费用与作业本数量的关系. ③李老师上班打出租车，他所付车费与路程的关系. ④周末，小亮从家到体育馆，打了一段时间的篮球后，按原速度原路返回，小亮离家的距离与时间的关系. 用图像法依次刻画以上变量之间的关系，排序正确的是__________ 【答案】①④②③ 【分析】本题考查了函数的图象，解题的关键是了解两个变量之间的关系，解决此类题目还应有一定的生活经验．①篮球运动员投篮时，抛出去的篮的高度变大后逐渐变小至；②小华在书店买同一单价的作业本，所付费用与作业本数量成正比例关系；③李老师上班打出租车，他所付车费与路程的关系是一次函数关系；④周末，小亮从家到体育馆，打了一段时间的篮球后，按原速度原路返回，小亮离家的距离从开始变大，到达体育馆打篮球的时候与家的距离不变，返回时与家的距离变小直至为．据此可以得到答案． 【详解】解：①篮球运动员投篮时，抛出去的篮的高度变大后逐渐变小至0； ②小华在书店买同一单价的作业本，所付费用与作业本数量成正比例关系； ③李老师上班打出租车，他所付车费与路程的关系是一次函数关系； ④周末，小亮从家到体育馆，打了一段时间的篮球后，按原速度原路返回，小亮离家的距离从0开始变大，到达体育馆打篮球的时候与家的距离不变，返回时与家的距离变小直至为0． 故顺序为①④②③． 故答案为：①④②③． 【跟踪专练1】如图，小颗做物理实验，用弹簧秤将铁块A悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度．设弹簧秤的读数为y(单位：N)，铁块被提起的高度为x(单位：)．在铁块被提起过程中选取5组数对在直角坐标系中进行描点，则正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数图象，根据浮力的知识，铁块露出水面前读数y不变，出水面后y逐渐增大，离开水面后y不变． 【详解】解：用弹簧秤将铁块A悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度． 根据浮力的知识可知，当铁块露出水面之前，， 此过程浮力不变，铁块的重力不变，故拉力不变，即弹簧测力计的读数y不变； 当铁块逐渐露出水面的过程中，， 此过程浮力逐渐减小，铁块重力不变，故拉力逐渐增大，即弹簧测力计的读数y逐渐增大； 当铁块完全露出水面之后，， 此过程拉力等于铁块重力，即弹簧测力计的读数y不变． 综上，弹簧测力计的读数y先不变，再逐渐增大，最后不变． 观察四个选项可知，只有选项A符合题意． 故选：A 【跟踪专练2】如图（1），△ABC和是两个腰长不相等的等腰直角三角形，其中，∠A＝．点、C'、B、C都在直线l上，△ABC固定不动，将在直线l上自左向右平移，开始时，点与点B重合，当点移动到与点C重合时停止．设△移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，y与x之间的函数关系如图（2）所示，则BC的长是____． 【答案】6 【分析】观察函数图象可得，重叠部分的图形均为等腰直角三角形，运动距离为a时函数面积为1，知，求出a的值，再运动4个单位长度，面积保持不变，由此求出的长度，即可得到答案． 【详解】解：如图，运动过程中，重叠部分的图形均为等腰直角三角形，图2至图4重叠部分面积不变，都是的值，由题中的函数图象知，．当恰为1时（如图2）． 设，则， ∴a＝2， 使保持1时， 即下图中图2—图4的情形，即图2中的长为4． ∴BC的长为6． 故答案为：6． 【点睛】此题考查了运动问题，函数图象，会看函数图象，根据图形运动结合函数图象得到相关信息由此解决问题是解题的关键． 【跟踪专练3】小明在画函数（＞0）的图象时，首先进行列表，下表是小明所列的表格，由于不认真列错了一个不在该函数图象上的点，这个点是 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先将各选项代入计算看是否在直线上即可. 【详解】A 选项，当 代入 故在直线上. B 选项，当 代入 故在直线上. C选项，当 代入 故在直线上. D选项，当 代入 故不在直线上. 故选D. 【点睛】本题主要考查直线上的点满足直线方程，是考试的基本知识，应当熟练掌握. 题型05.函数图象信息提取 【典例】随着科技的发展，部分快递送货被无人驾驶快递车替代．一辆无人驾驶快递车从公司出发，到达甲快递点卸完包裹后，立即前往乙快递点，卸完包裹后，快递车按原路返回公司．已知公司和甲、乙两个快递点依次在同一条直线上，且在每个快递点卸包裹的时间相同，快递车离公司的路程s（米）与时间t（）的函数关系如图所示，根据图象可知，快递车在每个快递点卸包裹的时间为________． 【答案】4 【分析】本题考查了从函数的图象获取信息，解题关键是读懂函数图象． 根据函数图象求解． 【详解】解：由题意可知，快递车行驶米所需时间为（）， 所以快递车行驶的总时间为（）， 所以快递车在每个驿站卸包裹的时间为：（）， 故答案为：4． 【跟踪专练1】物理活动中，小明探究了物质质量与体积的关系，得到甲、乙、丙三个实心物体的质量（单位：）与（单位：）之间的关系如图所示（表示密度），则下列说法正确的是（    ） A．甲物质的质量随着其体积的增加而减小 B．随着体积的增加，乙物质的质量的变化是不“均匀”的 C．丙物质的质量为 D．丙物质的密度最大 【答案】D 【分析】从函数图象中获取信息，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、甲物质的质量随着其体积的增加而增大，原说法错误； B、随着体积的增加，乙物质的质量的变化是“均匀”的，原说法错误； C、无法求出丙物质的质量，原说法错误； D、相同体积下，丙物质的质量最大，故丙物质的密度最大，原说法正确． 【跟踪专练2】已知甲、乙两地相距，小瑞、小安两人沿同一条公路从甲地出发到乙地，小瑞骑自行车，小安骑摩托车．如图，，分别表示小瑞、小安离开甲地的路程与小瑞离开甲地的时间的函数关系的图象．根据图中信息，当小瑞离开甲地___________时，小安追上小瑞． 【答案】 【分析】根据速度等于路程除以时间，结合函数图象可求出两人的速度，设当小瑞离开甲地时小安追上小瑞，根据小安追上小瑞时两人的路程相同建立方程求解即可． 【详解】解：由函数图象可知，小瑞的速度为，小安的速度为，且小瑞出发1小时后小安才出发， 设当小瑞离开甲地时小安追上小瑞， 则， 解得， ∴当小瑞离开甲地时小安追上小瑞． 【跟踪专练3】在用焦距为f的凸透镜探究凸透镜成像规律时，多次实验，记录凸透镜成实像时的物距u、像距v，算出物、像间距L（即），绘出如图所示的图象（以f为1个单位长度）．结合图象，下列说法错误的是（    ） A．随着物距的增大，物、像间距先减小再增大 B．当物距为时，像距为 C．物距从增大到，像距减小 D．当物、像间距大于时，物距大于 【答案】D 【分析】先根据图象分析物距u与物像间距L的变化关系，再结合及凸透镜成像规律进行判断即可． 【详解】解：A项：由图象可知，随着物距u的增大，纵坐标L先减小后增大，故A说法正确； B项：由图象可知，当时，， ∵， ∴，故B说法正确； C项：当时，，则， 当时，， ∴物距从增大到，像距减小，故C说法正确； D项：由图象可知，当时，对应的物距u的范围是或，故D说法错误， ∴说法错误的是D． 题型06.几何动点图象分析 【典例】如图（1），在中，，点P从点A出发沿以的速度匀速运动至点C，图（2）是点P运动时，的面积随时间变化的函数图象，则的周长为______，面积为______． 【答案】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，解题关键是能读懂函数图象． 依据题意，由时和，分别求出、，再由，可求得，进而可以计算的周长与面积． 【详解】解：由题意得，当时，面积最大，此时（）；当时，面积为0，此时可得（）． ∵， ∴（）． 的面积为（），周长为（）． 故答案为：，． 【跟踪专练1】如图1，在矩形中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，图中阴影部分的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则矩形的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是根据函数图象得出矩形的边长．根据图2可得：当时，点R与点P重合，由此可得矩形的宽，当时，点R与点Q重合，由此可得矩形的长，进而可求得矩形的面积． 【详解】解：由图2可知： 当时，点R与点P重合，； 当时，点R与点Q重合，； 所以矩形的面积为． 故选∶B． 【跟踪专练2】如图1，点P从的顶点B出发，沿匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段的长度y随时间x变化的关系图象，其中M为曲线部分的最低点，则的面积是________． 【答案】12 【分析】本题考查动点的函数图象，从函数图象中有效地获取信息是解题的关键， 由图象可知，，则是等腰三角形，当点运动到上时，时，最小为，且此时点在的中点处，勾股定理求出的长，进而得到的长，再利用面积公式进行计算即可． 【详解】解：根据题意观察图象可得，则是等腰三角形， 点P在上运动时，时，有最小值， 观察图象可得，的最小值为4，即：时，， 此时，， ∵时等腰三角形， ∴， 的面积． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，在长方形自动化工作区中，一台巡检小车从点出发，沿的路径匀速运动，最终到达点．设小车运动的时间为（秒），的面积为（平方米）．已知与的函数图象是一个“梯形”，图象上的三个关键转折点坐标分别为，最终在时降为0．根据图像信息，下列关于工作区和运动过程的分析，错误的是（   ） A．当时，的面积为3平方米 B．小车的运动速度为1米／秒 C．长方形的周长为14米 D．在运动过程中，的面积为2平方米的时间共有两个，且这两个时刻之和为10秒 【答案】D 【分析】本题主要考查了通过函数图象解决几何问题，解题的关键是掌握数形结合的思想． 通过函数图象获取信息，然后逐项进行判断即可． 【详解】解：A.由图可知，用时4秒，面积达到6平方米，面积每秒的变化为平方米， 当时，的面积为平方米， 该选项正确，不符合题意； B.假设运动速度为米／秒，， 结合图象可得，，联立两个方程可得， ， 该选项正确，不符合题意； C.由选项B可知，小车的运动速度为1米／秒， ∴， ∴长方形的周长为米， 该选项正确，不符合题意； D.由选项A得，面积每秒的变化为平方米， 当的面积增加为2平方米时，， 解得； 当的面积减少为2平方米时，， 解得； ∴这两个时刻之和为， 该选项错误，符合题意； 故选：D． 题型07.函数三种表示法综合 【典例】声音在空气中的传播速度（简称声音速度）与空气温度的关系如下表： 空气温度 0 10 20 30 声音速度 318 324 330 336 342 348 时，声音在空气中的传播速度为 __． 【答案】354 【分析】本题考查了用列表法表示函数，根据表中的数据可得空气温度每升高，声音速度就增加，从而计算当空气温度为时的声音速度即可，掌握自变量、函数的定义是解题的关键． 【详解】解：由表中的数据可得，空气温度每升高，声音速度就增加， 由表得空气温度为时，声音速度为， 所以空气温度为时，声音在空气中的传播速度为， 故答案为：354． 【跟踪专练1】已知y是关于x的一次函数，下表是部分x与y的对应值，则m的值为（    ） x … 0 1 2 3 … y … 2 m … A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的图像和性质，结合表格数据确定函数解析式是解题关键．根据表格数据，待定系数法求出一次函数的解析式，再将代入求解即可． 【详解】解：设一次函数的解析式为，由表格可知，直线经过点， ∴，解得：， ∴， ∴当时，． 故选：C． 【跟踪专练2】阅读下面材料：小明想探究函数的性质，他借助计算器求出了y与x的几组对应值，并在平面直角坐标系中画出了函数图象：小聪看了一眼就说：“你画的图象肯定是错误的．”请回答：小聪判断的理由是______．写出函数的一条性质：______． x … 1 2 3 … y … 2.83 1.73 0 0 1.73 2.83 … 【答案】 因为函数值不可能为负，所以在x轴下方不会有图象 当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大（答案不唯一） 【分析】此题考查函数的表示方法：表格法和图象法，还考查了函数的性质：利用表格中x与y的对应值确定函数图象的位置及函数的性质，正确理解表格中自变量与函数值的对应关系，分析其变化规律是解题的关键. 根据表格函数值没有负数解答，根据表格的x与y的值得到增减性. 【详解】解：由表格可知：∵函数值不可能为负， ∴在x轴下方不会有图象， 性质：当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大， 故答案为：因为函数值不可能为负，所以在x轴下方不会有图象；当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大； 【跟踪专练3】下列不能表示是的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的定义（给定一个值都有唯一确定的值与它对应），对选项逐个判断即可． 【详解】解：根据函数的定义（给定一个值都有唯一确定的值与它对应），对选项逐个判断， A：观察列表数据发现，符合函数的定义，不符合题意； B：观察x与y的等式发现，符合函数的定义，不符合题意； C：观察函数图像发现，不符合函数的定义，符合题意； D：观察函数图像发现，符合函数的定义，不符合题意； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了函数的定义，涉及到了函数的表示方法（解析法，图像法和列表法），熟练掌握函数的基础知识是解题的关键． 题型08.几何图形函数建模 【典例】如图①，底面积为的空圆柱容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体”，现向容器内匀速注水，注满为止，在注水过程中，水面高度与注水时间之间的关系如图②，若“几何体”的下方圆柱的底面积为，求“几何体”上方圆柱体的底面积为______． 【答案】24 【分析】本题考查了函数图像的应用：把分段函数图像中自变量与对应的函数值转化为实际问题中的数量关系，然后运用方程的思想解决实际问题是解决本题的关键． 根据图像，分三个部分：满过“几何体”下方圆柱需，漫过“几何体”上方圆柱需，注满“几何体”上面的空圆柱形容器需，再设匀速注水的水流速度为，根据圆柱的体积公式列方程可得匀速注水的水流速度；设“几何体”下方圆柱的高为，根据圆柱的体积公式得，解得，于是得到“几何体”上方圆柱的高为，设“几何体”上方圆柱的底面积为，根据圆柱的体积公式得，再解方程即可求解． 【详解】解：根据函数图像得到圆柱形容器的高为，两个实心圆柱组成的“几何体”的高度为， 水从刚漫过由两个实心圆柱组成的“几何体”到注满用了：， 这段高度为：， 设匀速注水的水流速度为，则， 解得， 即匀速注水的水流速度为； “几何体”下方圆柱的高为，则， 解得， 所以“几何体”上方圆柱的高为， 设“几何体”上方圆柱的底面积为， 根据题意得， 解得， 即“几何体”上方圆柱的底面积为， 故答案为：24． 【跟踪专练1】如图①，有一水平放置的正方形，点D为的中点，等腰满足顶点A，B在同一水平线上且，点B与的中点重合．等腰以每秒1个单位长度的速度水平向右匀速运动，当点B运动到点D时停止．在这个运动过程中，等腰与正方形重叠部分的面积y与运动时间t（s）之间的对应关系如图②所示，下列说法错误的是（   ） A． B． C．当时， D．的周长为 【答案】D 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，函数解析式的建立，正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质等知识点，读懂题意和函数图象是解题的关键． 由的运动可知，等腰与正方形重叠部分的图形一开始是直角三角形，当过了顶角顶点之后，则重叠部分的图形为四边形，当等腰整体全部运动到正方形内部时，则重叠部分的图形为，此时面积不变，然后分析每一种情况下的重叠部分的图形，结合函数图象作答即可． 【详解】解：由的运动可知，等腰与正方形重叠部分的图形一开始是直角三角形，当过了顶角顶点之后，则重叠部分的图形为四边形，当等腰整体全部运动到正方形内部时，则重叠部分的图形为，此时面积不变． 记中点为， 由函数图象可得，当时，，此时点落在上，如图： 则， 由题意得， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴此时为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故A、B正确，不符合题意； ∴当时，重叠部分记为， 由题意得：， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 故C正确，不符合题意； 由函数图象可得，当时运动停止，那么的顶点从点运动到点用时，如图： ∴， ∵四边形是正方形， ∴， 由题意得：为的中点， ∴， ∴， ∴的周长为， 故D错误，符合题意， 故选：D． 【跟踪专练2】如图1，已知点从的边上的一点出发，沿的方向匀速运动，速度为，到点后停止运动．设的长为，运动的时间为（单位：），的面积为（单位：）．如图2是关于的函数图象，图象与轴交于点，当时，有最大值为． (1)求的度数． (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过题意可知动点在上起始点时，的面积，还可知动点与点重合时，的面积，过点作于点，过点作于点，过点作于点，进而得出在中，，，即可求出的度数； （2）先求出，再得出，由即可求出的值． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点，过点作于点，过点作于点， 图象与轴交于点，的长为， 此时， ， 当时，有最大值为， ，， ， ，，， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ； （2）解：，， ，， ， ， ， ． 【跟踪专练3】如图，在长方形中，．点在上运动，设，图中阴影部分的面积为． (1)在这个变化过程中，自变量是_____________，因变量是_________________； (2)写出阴影部分的面积与之间的关系式； (3)点在什么位置时，阴影部分的面积为20？ 【答案】(1)的长，阴影部分的面积 (2)； (3)点到点的距离为3时，阴影部分的面积为20． 【分析】该题考查了变量、函数关系式，解题的关键是列出函数关系式． （1）根据题意即可解答； （2）根据梯形面积公式即可求出y与x的函数关系式； （3）直接将代入（1）中所得的关系式，从而可求得x的值． 【详解】（1）解：自变量是的长，因变量是阴影部分的面积； （2）解：因为， 所以图中阴影部分的面积为：， 所以阴影部分的面积与之间的关系式为； （3）解：由题意得，则， 解得：， 所以， 即点到点的距离为3时，阴影部分的面积为20． 题型09.分段函数综合分析 【典例】如图A，B两地相距，甲于某日下午1点骑自行车从A地出发去B地，乙也于同日下午骑摩托车按相同路线从A地出发去B地，图中的折线和线段分别表示甲乙所行驶的路程S与时间t的关系，根据图中的数据，乙出发_________就追上甲． 【答案】/ 【分析】设乙出发后经过x小时追上甲，根据乙追上甲时两人的路程相等列方程，求解即可． 【详解】解：设乙出发后经过x小时追上甲， 甲在段的速度是， 乙的速度为， ∴， 解得， ∴乙出发后经过追上甲． 【跟踪专练1】如图（1）在梯形中，，，动点从点出发，以的速度沿着的方向不停移动，直到点到达点后才停止．已知的面积（单位：）与点移动的时间t（单位：）的函数关系如图（2）所示，则点从开始移动到停止移动一共用了（　　）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图（）判断出的,的长度，过点作于点，过点作于点，根据矩形的判定和性质，则，，根据勾股定理求出，根据面积公式，求出，根据，再根据勾股定理求出，动点运动的总路程，再根据时间路程速度计算即可得解． 【详解】解：由图（2）可知，在到秒时，的面积不发生变化， ∴在上运动的时间是秒，在上运动的时间是：（秒）， ∵动点的运动速度是， ∴，， 如图，过点作于点，过点作于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 在中，， ∴动点运动的总路程为：， ∵动点的运动速度是， ∴点从开始移动到停止移动一共用了（秒）． 【跟踪专练2】如图，在长方形ABCD中，，，动点E从点B出发，以1cm/s的速度沿B→C→D→A的路径运动，则的面积y（单位：）与点E运动的时间x（单位：s）的函数图象大致表示为（    ） A． B． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数与几何动点问题的综合运用，熟练掌握相关方法是解题关键. 根据题意，当点分别在、、上运动时，形成了不同情况下的三角形，据此进一步用将相对应的情况下的三角形的面积表示出来，最后观察解析式即可． 【详解】解：①当点在段运动时，的面积随的增大而增大，运动到点时面积最大，为，此时； ②当点在段运动时，的面积不变，始终为，运动到点时，； ③当点在段运动时，的面积随的减小而减小，当点与点重合时，，此时． 综上可知，选项A的图象符合要求． 故选：A． 【跟踪专练3】已知动点P以的速度沿如图1所示的边框以的路径运动，记的面积为，s与运动时间的关系如图2所示，若．请回答下列问题： (1) ， ， ． (2)当的面积为15时，求出t的值． (3)若是等腰三角形时，请直接写出t的值． 【答案】(1)8；24；17 (2)t或 (3)或或 【分析】本题考查动点问题的函数图象，等腰三角形的性质，速度、时间、路程之间的关系，三角形的面积等知识，采用了数形结合的思想方法．解题的关键是读懂图象信息． （1）因为点速度为，所以根据图的时间可以求出线段，和的长度；由图像可知的值就是的面积，的值就是运动的总时间，由此即可解决； （2）分两和情况，由三角形面积可得出答案； （3）分，，三种情况，利用矩形的判定及性质及等腰三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：由图2可知，点从的运动时间为， ∴， 由图2可知，点从的运动时间为：， ∴， 由图2可知，点从的运动时间为， ∴． 根据题意得： ， ∵， ∴ ． ∴图2中的值为，的值为． 故答案为：8；24；17． （2）解：①当点P在上时， ， ∴， 此时； ②当点P在上时， ， ∴， 即还剩，P点运动到A点， ∴此时， 综上，或时，的面积S是15； （3）解：如图，当时，， 如图，当时，过点作于， ∴ 由题意得 ∴四边形是长方形， ∴， ∴； 如图，当时， ， 综上，若是等腰三角形时，的值为或或． 题型10.函数值最值分析 【典例】为了优化快递配送路线，物流系统需要计算快递员（运动点）与仓储中心（固定点之间距离的平方．如图1，快递员从站点出发，沿笔直公路向配送区域处运动，到达处停止运动．设（单位：），（单位：）．如图2，关于的函数图象，请根据信息填空：_________，的最小值为___________． 【答案】 5 2 【分析】本题考查函数图象的应用，勾股定理，垂线段最短，从图象上获取正确的信息是关键． 当时，，根据函数图象进行填空即可．作，垂足为，设，由函数图象可知，，．根据勾股定理，，解方程求出，进而求出．根据垂线段最短，求出的最小值． 【详解】解：由图象可知，当时，， ∴； 如图，作，垂足为，设， 由图象可知，当时，， ∴，， ∴， 在直角中，， 在直角中，， ∴， 解得，， ∴，即， 由垂线段最短可得，的最小值为． 故答案为：；． 【跟踪专练1】如图1，在菱形中，E为的中点，点F沿从点A向点C运动，连接，，设，，图2是点F运动时y随x变化的关系图象，则y的最小值是______．    【答案】 【分析】利用函数图象可得：当点F与点A重合时；求出，当点F与点C重合时；求出，当三点共线时，有最小值，最小值为的长，连接，得到，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：由函数图象得：当点F与点A重合时；如图，    此时，， ∵ E为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 当点F与点C重合时；如图，过点E作，垂足为G，设与交于点H，    此时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， 在中，，即， 解得：， ∴， ∴， 如图，当三点共线时，有最小值，最小值为的长，连接，    ∵，E为的中点， ∴， ∴ ∴y的最小值是， 故答案为． 【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象，菱形的性质，相似三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理等知识，利用数形结合思想解答是解题的关键． 【跟踪专练2】如图1，在平行四边形ABCD中，动点P从点A出发，沿折线方向匀速运动，运动到点C时停止，设点P的运动路程为x，线段AP的长度为y，y与x的函数图象如图2所示．若AP的最大值为4，则BC的长为（   ） A．4 B．4.4 C．4.8 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了根据函数图象获取有效信息，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 连接，过点A作于，根据函数图象可知：，，所以 ，在中，由勾股定理得：，在中，由勾股定理得：，最后根据即可解答． 【详解】解：连接，过点作于点，如解图， 由题意得，，， ， ， ， ， 故选：D． 【跟踪专练3】如图，在矩形中，，，动点以每秒2个单位长度的速度从点出发，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，点沿折线方向运动，点沿射线方向运动，当点追上点时，均停止运动．设运动时间为秒，的面积为． (1)①当时，___________，___________，___________；（用含的代数式填空） ②当点在线段运动时，求出关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围． (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图象． (3)结合函数图象， ①当___________时，有最大值是___________； ②若的面积为4，求点的运动时间． 【答案】(1)①，，；② (2)见解析 (3)①，；②秒或秒． 【分析】本题是动点下的图象的面积问题，考查了三角形的面积公式，函数的图象与性质，写出函数表达式并画出函数图象是解题的关键． （）①由速度与时间的关系表示出各线段，②再根据三角形面积公式即可得出答案； （）根据函数表达式画线即可画出图象； （）①由函数图象的趋势即可得出答案；②根据关于的函数表达式，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， ∴当时，点在上， ∴，， ∴； 故答案为：，，； ②∵在矩形中，，， ∴， ∵点追上点时，均停止运动， ∴，解得， ∵时，两点重合，不能构成， ∴当点在上时，即， 则， ∴， 关于的函数表达式为； （2）解：由（1）可知关于的函数表达式为， 列表： 描点，连线，如图， （3）解：①由图象可知：当时，有最大值是； ②∵关于的函数表达式为， 令，解得（负值舍去）； 令，解得； ∴当的面积为4，点的运动时间为秒或秒． 题型11.函数图象逆向推导 【典例】勤俭节约是中华民族的传统美德，某天然气公司为了鼓励居民节约用气，生活用气实行按阶梯式气价计费，如图是某户居民每月的用气费y（元）与所用的气量x（立方米）之间的函数图象，请根据图象所提供的信息，解答下列问题： (1)当用气量不超过10立方米时，每立方米气收费多少元？ (2)当用气量超过10立方米且不超过40立方米时，求y与x之间的函数关系式； (3)某户居民九、十月份用气费共82元，十月份用气比九月份少6立方米，求这户居民十月份用气多少立方米？ 【答案】(1)2元 (2) (3)14立方米 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，从函数图象获取信息，一元一次方程的实际应用，正确理解题意列出对应的函数关系式是解题的关键． （1）根据函数图象中的信息即可得到答案； （2）利用待定系数法求解即可； （3）设这户居民十月份用气m立方米，则这户居民九月份用气立方米，根据题意可推出九月份的用气量必然超过10立方米且不超过40立方米，则可分十月份的用气量不超过10立方米和十月份的用气量超过10立方米且不超过40立方米两种情况，根据九月和十月的费用为82元建立方程求解即可． 【详解】（1）解：元/立方米， 答：当用气量不超过10立方米时，每立方米气收费2元； （2）解：设当用气量超过10立方米且不超过40立方米时，y与x之间的函数关系式为， 把代入中得， ∴， ∴y与x之间的函数关系式为； （3）解：设这户居民十月份用气m立方米，则这户居民九月份用气立方米， ∵，且， ∴九月份的用气量必然超过10立方米且不超过40立方米， 当十月份的用气量不超过10立方米时，则， 解得（舍去）； 当十月份的用气量超过10立方米且不超过40立方米时，则， 解得； 综上所述，， 答：这户居民十月份用气14立方米． 【跟踪专练1】某果园今年种植的草莓喜获丰收，采摘上市15天全部售完，该果园果农对销售情况进行统计后发现，在该草莓上市第x天时，日销售量P（单位：千克）与x之间的函数关系式为，草莓单价y（单位：元/千克）与x之间的函数关系如图所示． (1)当时，求y与x之间的函数关系式； (2)设日销售额为元，当时，求的最大值． 【答案】(1) (2)最大值为800元 【分析】本题考查待定系数法求解析式，二次函数的图象及性质． （1）由题意可得当时，；当时，设函数解析式为，把点，代入即可求解； （2）当时，日销售额为．当时，日销售额为，根据二次函数的图象及性质即可解答． 【详解】（1）解：由题意，当时，； 当时，设函数解析式为， ∵该图象过， ， 该函数解析式为． 综上，当时，． （2）解：由题意，当时，单价为，此时销量， 日销售额为． 当时，销量，单价为， ∴日销售额为， ∵， 当时，W随x的增大而增大． 当时，取最大值，最大值为． 综上，当时，取最大值，最大值为800元． 【跟踪专练2】如图1，在长方形中，，为边中点．动点从点开始，以的速度沿路线运动，到点停止．图2是点出发秒后，的面积随时间变化的图象．根据图中提供的信息，回答下列问题： (1)______； (2)当点在上运动时，求的面积为时的值； (3)如图3，当点从点出发时，动点同时以的速度从点出发，沿边运动，当点运动到点时，、两点停止运动．当为何值时，与全等，请直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，全等三角形的性质，三角形的面积公式． （1）根据图1和图2，结合点P运动时，面积的变化情况，进行解答即可； （2）根据，点P在上运动，的面积为，求出，得出，最后求出结果即可； （3）分和根据全等三角形的性质得出线段相等，进而建立方程组，解方程组，即可求解； 【详解】（1）解：∵，E为边中点， ∴， 根据图2可知，当点P运动时，的面积达到最大值，根据图1可知，当点P从点B开始运动，到达点C时，的面积达到最大值， ∴， 故答案为：； （2）解：∵，点P在上运动，的面积为， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴当与全等时，有两种情况， ①时，， ∴， 解得：； ②时，， ∴， 解得：； 综上分析可知：当或时，与全等． 【跟踪专练3】如图①，在中，，动点以的速度从点出发沿匀速运动至点．图②是点运动时，的面积（单位：）随时间（单位：s）变化的函数图象．求的斜边的长． 【答案】 【分析】本题考查根据函数图象获取信息，完全平方公式，勾股定理，熟练掌握并运用是解决问题的关键． 由图②可知，当点运动到点处时，的面积为6，得到，， 根据勾股定理，结合完全平方公式即可求解． 【详解】解：由图②可知，当点运动到点处时，的面积为6， ， ． ∵点从点运动至点的时间为7s， ， ，即， ． 又，， ． 题型12.函数表示法实际应用 【典例】将长为，宽为的长方形白纸，按照如图所示的方法粘合起来，粘合部分宽为．设x张白纸粘合后的总长度为，则y与x之间的关系式为______，其中常量是______，变量是______． 【答案】 ，12 x，y 【详解】解：设x张白纸粘合后的总长度为， ∴， 其中常量是，12，变量是x，y． 【跟踪专练1】国庆节期间，小明跟爸爸妈妈一起自驾去外地旅游，出发前将油箱加满油．如表记录了轿车行驶的路程与油箱剩余油量之间的部分数据： 轿车行驶的路程 0 150 300 450 600 … 油箱剩余油量 60 48 36 24 12 … 下列说法中①该车的油箱容量为；②该车每行驶耗油；③当轿车行驶的路程为时，油箱中剩余油量；④油箱剩余油量与行驶的路程之间的关系式为其中正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的应用，找到变量的变化规律是解题的关键． ①根据时对应的y值判断即可； ②根据变量的变化规律判断即可； ③根据“油箱剩余油量=加满油后油箱内的油量-消耗的油量”计算即可； ④根据变量的变化规律写出y与x之间的关系式即可． 【详解】解：当时，， 该车的油箱容量为， ①正确，符合题意； 由表格可知，轿车行驶的路程增加，油箱剩余油量减小，即该车每行驶耗油为：， ②正确，符合题意； 由②知，每耗油， 耗油，则油箱中剩余油量为：， ③不正确，不符合题意； 该车每行驶耗油为，油箱容量为， 油箱剩余油量与行驶的路程之间的关系式为， ④正确，符合题意； 故选：C． 【跟踪专练2】物流公司在一条东西向的轨道上有两个货仓，货仓B在A东面处．1号智能无人运输车从货仓A向东出发，先匀速行驶，然后在停下来分拣货物，后继续以原速行驶；2号智能无人运输车从货仓B向东出发，全程匀速行驶，两车均在行驶15min后到达各自的终点．设运动时间为（单位：min），记录仪记录1号车，2号车与货仓A的距离的部分数据如下： 运动时间 0 1 3 5 8 9 10 12 15 1号车与货仓A的距离（单位：） 0 10 30 80 80 100 2号车与货仓A的距离（单位：） 10 18 50 74 82 90 130 请根据以上信息和数据，解决下列问题： (1)表中___________，2号车的速度为___________； (2)求2号车与A货仓的距离为时的值． 【答案】(1)50，8； (2) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，用表格表示变量之间的关系． （1）根据表格数据求解即可． （2）根据题意列出关于t的一元一次方程，求解即可得出答案． 【详解】（1）解：根据表格数据可知，当时，1号车与货仓A的距离， 当时，1号车与货仓A的距离， 则1号智能无人运输车在之前的速度为， 则当时，1号车与货仓A的距离． 即． ∵2号智能无人运输车从货仓B向东出发，全程匀速行驶， ∴2号车的速度为：， 故答案为：50，8； （2）解：由题意，得， 解得． 2号车与A货仓的距离为时的值为． 【跟踪专练3】如图1，中，，M点在边上，且，过M点作的垂线交边于E点，动点 P 从点A 出发沿边向M 点运动，速度为1个单位/秒，当动点P 到达M点时，运动停止．连接，设运动时间为t．在此过程中 (1)当时，求的长度； (2)设的面积为s，试求s与t的函数关系式并写出自变量的取值范围； (3)当t为何值时，是等腰三角形? (4)如图2，若点N是线段上一点，且，点Q 是线段上一动点，连接得到，请直接写出周长的最小值． 【答案】(1) (2)， (3)当秒或秒或秒时，是等腰三角形 (4) 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，轴对称的性质，函数关系式的建立等知识点． （1）确定出、均为等腰直角三角形，然后对运用勾股定理求解即可； （2）由题意得，，根据即可建立函数关系式； （3）由题意得，根据勾股定理可得，，然后分三种情况结合等腰三角形的性质求解即可； （4）过点分别作的对称点，连接，则，，那么，，则当点共线时，的周长取得最小值，即为，然后对运用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴为等腰直角三角形，， ∵， ∴ ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 由题意得，当时，， ∴， ∴； （2）解：由题意得，， ∴， 由得； （3）解：由题意得，，，， 当时，则，解得； 当时，，解得； 当时， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上：当秒或秒或秒时，是等腰三角形 （4）解：过点分别作的对称点，连接， ∴， ∴，， ∴当点共线时，的周长取得最小值，即为， ∵， ∴， ∴的周长最小值为． 【解答题】 1．从有关方面获悉，某市农村已经实行了农民新型合作医疗保险制度，享受医保的农民可在规定的医院就医，并按规定标准报销部分医疗费用．下表是医疗费用报销的标准． 住院医疗费用x元 每年报销比例标准 （说明：住院医疗费用的报销分段计算，如：某人住院医疗费用共30000元，则5000元按报销，15000元按报销，余下的10000元按报销．自付住院医疗费用住院医疗费用按标准报销的金额） (1)某农民一年中住院医疗费用15000元，则他在这一年中自付住院医疗费用为______元． (2)当时，设自付住院医疗费用为y元，试求出y与x的函数关系式． (3)若某农民一年内本人自付住院医疗费17000元，则该农民当年住院医疗费用为多少元？ 【答案】(1)9500 (2) (3)29000元 【分析】本题主要考查了有理数四则混合计算的实际应用，列函数关系式，求函数的自变量的值，正确理解题意是解题的关键． （1）分别计算出5000元报销的费用，超过5000元部分的报销费用，再根据自费住院医疗费用计算公式求解即可； （2）分别计算出5000元报销的费用，超过5000元不超过20000元部分的报销费用和超过20000元部分的报销费用，再根据自费住院医疗费用计算公式求解即可； （3）可推出该农民一年中住院医疗费用一定超过20000元，再把代入（2）所求函数关系式中求出x的值即可得到答案． 【详解】（1）解： 元， ∴他在这一年中自付住院医疗费用为9500元； （2）解：由题意得， ； （3）解：， ∴该农民一年中住院医疗费用一定超过20000元， 在中，当时，，解得， 答：该农民当年住院医疗费用为29000元． 2．某校科技节启用无人机进行航拍，在操控无人机时根据现场状况调节高度，已知无人机在上升和下降过程中速度相同，设无人机的飞行高度h（米）与操控无人机的时间t（分钟）之间的关系如图中的实线所示，根据图象回答下列问题： (1)无人机在75米高的上空停留的时间是 分钟； (2)在上升或下降过程中，无人机的速度为 米/分； (3)图中a表示的数是 ；b表示的数是 ； (4)图中点A表示的实际意义是 ． 【答案】(1)5 (2)25 (3)2，15 (4)6分钟时，无人机的高度为50米 【分析】根据坐标轴的实际意义，函数图象中，向上部分的实际意义为无人机上升，水平部分的实际意义为无人机停留，向下部分的实际意义为无人机下降，直线的斜率的实际意义为无人机的飞行速度，根据图象计算分析即可求出各问的答案． 【详解】（1）解：由图象可知，分钟这一段为无人机在75米高的上空停留的时间段， 故停留的时间为（分钟）； （2）解：由题意，无人机全程在上升和下降时的速度相同， 由图象可知，分钟这一段，无人机从50米上升到75米， 故速度为（米/分）； （3）解：由（2）可知，无人机的速度为25米/分， 故， ，即； （4）解：根据坐标轴的实际意义，点A表示6分钟时，无人机的高度为50米． 3．如图①，长方形的边的长为，动点H以的速度从点A出发沿折线匀速运动到终点D，设点H的运动时间为，的面积为S，S与t之间的关系如图②所示． (1)图②中反映了两个变量之间的关系，其中自变量是_________，因变量是_________． (2) _________， _________； (3)点H的运动时间为时，求的面积b． 【答案】(1)H的运动时间为，的面积为S (2)4，14 (3) 【分析】本题主要考查动点问题的函数图象，理解题意是解题的关键． （1）根据题意及函数的定义即可作答； （2）根据三角形的面积及图象即可得出答案； （3）根据题意确定三角形的底和高即可求面积． 【详解】（1）解：由图象可知，的面积S随着时间t的改变而改变． 所以自变量为：H的运动时间t；因变量为：的面积S． 故答案为：H的运动时间t；的面积S； （2）解：，，则， ， 故答案为：4，14； （3）解：∵动点H按从的路径匀速运动， 由题意可知，点H在上运动时的面积不变， ， 4．小莉根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究． 下面是小莉的探究过程，请补充完整： (1)下表是x与y的几组对应值．请直接写出： ______， ______； x … 0 1 2 3 … y … m 0 2 n … (2)如图，在平面直角坐标系中，描出上表中的点，然后用平滑的曲线连接起来，画出函数的图象； (3)当时，对应的自变量是______ 【答案】(1)；4 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了求一次函数的函数值或自变量值，画一次函数图象，熟知相关知识点是解题的关键． （1）代入函数解析式即可解答； （2）描点画图即可； （3）把代入函数解析式即可． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 故答案为：；4； （2）解：函数的图象如图所示， ， （3）解：当时，可得， 解得， 故答案为：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10函数期中复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.理解变量、常量、函数概念，能判断函数关系； 2.掌握函数三种表示方法，能完成简单互化； 3.会列写函数解析式，熟练求自变量取值范围和函数值； 4.能按步骤用描点法画函数图象，从图象提取关键信息； 5.了解动点问题的函数图象特征，能识别简单分段函数图象。 1.能将实际问题转化为函数模型，建立关系式解决问题； 2.掌握数形结合思想，实现函数解析式与图象的灵活转化； 3.能从表格、图象、文字中提取信息，分析变量关系； 4.整合知识点解决多考点综合题，掌握动点压轴题基础解题思路； 5.形成分类讨论意识，避免自变量取值、图象分析漏解。 1.基础题（60%+，确保满分） 快速解答函数概念、取值范围、函数值计算等选填题；规范完成解析式列写、描点作图、基础信息提取等解答题。 2.中档题（30%，稳拿分数） 熟练解决三种表示方法互化、图象信息综合提取、实际问题建模求解等综合题。 3.压轴题（10%，突破拉分） 能判定几何动点的函数图象，初步解答函数图象与实际问题结合的综合压轴题，规避常见解题错误。 题型1.函数概念与解析式 题型2.自变量取值与函数值计算 题型3.函数三种表示法 题型4.函数图形识别与作图 题型5.函数图象信息提取 题型6.几何动点图象分析 题型7.函数三种表示法综合应用 题型8.几何图形函数建模 题型9.分段函数综合分析 题型10.函数值最值分析 题型11.函数图象逆向推导 题型12.函数表示法实际应用 解答题4题 知识点01:常量与变量 变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量（如时间t、路程s、数量x）。 常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量（如速度v、单价、固定票价）。 关键：同一变化过程中区分，不同过程常量 / 变量可互换。 知识点02:函数的定义（核心考点） 在一个变化过程中，有两个变量x、y，如果对于x的每一个确定值，y都有唯一确定的值与之对应，那么： x：自变量 y：x的函数 函数值：当x=a时，y=b，则b叫x=a时的函数值 判定关键：一对一、多对一是函数；一对多不是函数 知识点03:自变量的取值范围（必考） 整式型（如y=2x+1）：全体实数 分式型（如y=）：分母≠0 二次根式型（如y=，）：被开方数≥0 组合型（如y=）：取各条件的公共解（交集） 实际问题：符合实际意义（如时间、数量≥0） 知识点04:函数的三种表示方法 表示方法 具体形式 优点 缺点 表格法 列表格表示x与y的对应值 直观、易查对应值 只能表示有限个点的对应关系 关系式法（解析式法） 用数学式子表示x与y的关系（如y=2x+1） 精准、可计算任意值 抽象，需推导，实际问题需考虑取值范围 图象法 平面直角坐标系中描点连线形成的图形 直观反映变化趋势 读取数值不够精准 关键：三种方法可相互转化，根据题目需求灵活选用。 知识点05:函数图象的画法（三步） 1.列表：取自变量范围内的若干值，算出对应函数值 2.描点：在坐标系中描出(x,y)对应点 3.连线：用 ** 平滑曲线（或直线）** 连接各点 从图象获取信息 看起点 / 终点：初始 / 结束状态； 看增减性：上升（y随x增大而增大）、下降（y随x增大而减小）； 看交点：两函数值相等的点； 看特殊点：最值点、与坐标轴交点。 题型01.函数概念与解析式 【典例】在一个变化过程中有两个变量x，y，如果对于x的_________的值，y都有______的值与它______，那么称y是x的函数，x是______，对x的每一个取值，函数y的对应值称为______． 【跟踪专练1】等腰三角形顶角的度数与底角的度数之间的函数关系式及的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】下列与的关系中，不是的函数关系的是_______．（填序号） ①；②；③；④； ⑤；⑥． 【跟踪专练3】如图，直线l与x轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点，P在线段上（不包括端点），过点P作轴于D，轴于E，四边形的周长为8，则直线l的函数表达式是（   ） A． B． C． D． 题型02.自变量取值与函数值计算 【典例】函数的自变量x的取值范围是________________ 【跟踪专练1】某种烟花点燃后垂直升空，其离地面的高度h(m)和点燃后的时间t(s)之间的关系可以用公式表示，其中重力加速度．烟花点燃后以的初速度上升，在点燃后的时，离地面的高度为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知函数的自变量的取值范围是全体实数，则的取值范围为_______． 【跟踪专练3】根据如图所示的程序计算函数的值，若输入的值是7，则输出的值是，若输入的值是，则输出的值是（    ） A．9 B．11 C．4 D．14 题型03.函数三种表示法 【典例】某科技小组在网上获取了声音在空气中传播速度与空气温度之间关系的一些数据，如下表所示： 空气温度 0 10 20 30 声音在空气中传播速度 318 324 330 336 342 348 给出下面三个结论：①空气温度越高声音在空气中传播速度越快；②声音在空气中传播速度与空气温度关系式可以是；③温度每升高，声音在空气中传播速度增加．上述结论中，所有正确结论的序号是_________． 【跟踪专练1】如图是（    ）的图像． A． B． C． D． 【跟踪专练2】某商店为减少某种商品的积压，采取降价销售的策略．商品原价为520元/件，随着不同幅度的降价，日销量发生相应的变化，如下表所示： 降价/元 10 20 30 40 50 60 日销量/件 155 160 165 170 175 180 根据以上日销售量随降价幅度的变化情况，当售价为440元时，日销量为________件． 【跟踪专练3】根据如图所示的程序计算的值．已知当输入的值是4和7时，输出的值相等，则等于____________． 【跟踪专练4】小红和小星分别从甲、乙两地相向而行，进行跑步训练．他们同时出发，小红从甲地向乙地跑，到达乙地停止，小星从乙地向甲地跑，到达甲地停止．假设小红和小星跑步的速度均为匀速，且小红的速度比小星的速度慢．在跑步过程中，已知小红和小星之间相距的路程s(单位：km)与小红所花的时间t(单位：h)之间的关系如图所示，则当小星到达终点时，小红离终点的路程是____________km． 题型04.函数图象识别与作图 【典例】以下四种情景分别所描述了两个变量之间的关系： ①篮球运动员投篮时，抛出去的篮球的高度与时间的关系. ②小华在书店买同一单价的作业本，所付费用与作业本数量的关系. ③李老师上班打出租车，他所付车费与路程的关系. ④周末，小亮从家到体育馆，打了一段时间的篮球后，按原速度原路返回，小亮离家的距离与时间的关系. 用图像法依次刻画以上变量之间的关系，排序正确的是__________ 【跟踪专练1】如图，小颗做物理实验，用弹簧秤将铁块A悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度．设弹簧秤的读数为y(单位：N)，铁块被提起的高度为x(单位：)．在铁块被提起过程中选取5组数对在直角坐标系中进行描点，则正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图（1），△ABC和是两个腰长不相等的等腰直角三角形，其中，∠A＝．点、C'、B、C都在直线l上，△ABC固定不动，将在直线l上自左向右平移，开始时，点与点B重合，当点移动到与点C重合时停止．设△移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，y与x之间的函数关系如图（2）所示，则BC的长是____． 【跟踪专练3】小明在画函数（＞0）的图象时，首先进行列表，下表是小明所列的表格，由于不认真列错了一个不在该函数图象上的点，这个点是 A． B． C． D． 题型05.函数图象信息提取 【典例】随着科技的发展，部分快递送货被无人驾驶快递车替代．一辆无人驾驶快递车从公司出发，到达甲快递点卸完包裹后，立即前往乙快递点，卸完包裹后，快递车按原路返回公司．已知公司和甲、乙两个快递点依次在同一条直线上，且在每个快递点卸包裹的时间相同，快递车离公司的路程s（米）与时间t（）的函数关系如图所示，根据图象可知，快递车在每个快递点卸包裹的时间为________． 【跟踪专练1】物理活动中，小明探究了物质质量与体积的关系，得到甲、乙、丙三个实心物体的质量（单位：）与（单位：）之间的关系如图所示（表示密度），则下列说法正确的是（    ） A．甲物质的质量随着其体积的增加而减小 B．随着体积的增加，乙物质的质量的变化是不“均匀”的 C．丙物质的质量为 D．丙物质的密度最大 【跟踪专练2】已知甲、乙两地相距，小瑞、小安两人沿同一条公路从甲地出发到乙地，小瑞骑自行车，小安骑摩托车．如图，，分别表示小瑞、小安离开甲地的路程与小瑞离开甲地的时间的函数关系的图象．根据图中信息，当小瑞离开甲地___________时，小安追上小瑞． 【跟踪专练3】在用焦距为f的凸透镜探究凸透镜成像规律时，多次实验，记录凸透镜成实像时的物距u、像距v，算出物、像间距L（即），绘出如图所示的图象（以f为1个单位长度）．结合图象，下列说法错误的是（    ） A．随着物距的增大，物、像间距先减小再增大 B．当物距为时，像距为 C．物距从增大到，像距减小 D．当物、像间距大于时，物距大于 题型06.几何动点图象分析 【典例】如图（1），在中，，点P从点A出发沿以的速度匀速运动至点C，图（2）是点P运动时，的面积随时间变化的函数图象，则的周长为______，面积为______． 【跟踪专练1】如图1，在矩形中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，图中阴影部分的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则矩形的面积为（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图1，点P从的顶点B出发，沿匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段的长度y随时间x变化的关系图象，其中M为曲线部分的最低点，则的面积是________． 【跟踪专练3】如图，在长方形自动化工作区中，一台巡检小车从点出发，沿的路径匀速运动，最终到达点．设小车运动的时间为（秒），的面积为（平方米）．已知与的函数图象是一个“梯形”，图象上的三个关键转折点坐标分别为，最终在时降为0．根据图像信息，下列关于工作区和运动过程的分析，错误的是（   ） A．当时，的面积为3平方米 B．小车的运动速度为1米／秒 C．长方形的周长为14米 D．在运动过程中，的面积为2平方米的时间共有两个，且这两个时刻之和为10秒 题型07.函数三种表示法综合 【典例】声音在空气中的传播速度（简称声音速度）与空气温度的关系如下表： 空气温度 0 10 20 30 声音速度 318 324 330 336 342 348 时，声音在空气中的传播速度为 __． 【跟踪专练1】已知y是关于x的一次函数，下表是部分x与y的对应值，则m的值为（    ） x … 0 1 2 3 … y … 2 m … A． B． C． D． 【跟踪专练2】阅读下面材料：小明想探究函数的性质，他借助计算器求出了y与x的几组对应值，并在平面直角坐标系中画出了函数图象：小聪看了一眼就说：“你画的图象肯定是错误的．”请回答：小聪判断的理由是______．写出函数的一条性质：______． x … 1 2 3 … y … 2.83 1.73 0 0 1.73 2.83 … 【跟踪专练3】下列不能表示是的函数的是（    ） A． B． C． D． 题型08.几何图形函数建模 【典例】如图①，底面积为的空圆柱容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体”，现向容器内匀速注水，注满为止，在注水过程中，水面高度与注水时间之间的关系如图②，若“几何体”的下方圆柱的底面积为，求“几何体”上方圆柱体的底面积为______． 【跟踪专练1】如图①，有一水平放置的正方形，点D为的中点，等腰满足顶点A，B在同一水平线上且，点B与的中点重合．等腰以每秒1个单位长度的速度水平向右匀速运动，当点B运动到点D时停止．在这个运动过程中，等腰与正方形重叠部分的面积y与运动时间t（s）之间的对应关系如图②所示，下列说法错误的是（   ） A． B． C．当时， D．的周长为 【跟踪专练2】如图1，已知点从的边上的一点出发，沿的方向匀速运动，速度为，到点后停止运动．设的长为，运动的时间为（单位：），的面积为（单位：）．如图2是关于的函数图象，图象与轴交于点，当时，有最大值为． (1)求的度数． (2)若，求的值． 【跟踪专练3】如图，在长方形中，．点在上运动，设，图中阴影部分的面积为． (1)在这个变化过程中，自变量是_____________，因变量是_________________； (2)写出阴影部分的面积与之间的关系式； (3)点在什么位置时，阴影部分的面积为20？ 题型09.分段函数综合分析 【典例】如图A，B两地相距，甲于某日下午1点骑自行车从A地出发去B地，乙也于同日下午骑摩托车按相同路线从A地出发去B地，图中的折线和线段分别表示甲乙所行驶的路程S与时间t的关系，根据图中的数据，乙出发_________就追上甲． 【跟踪专练1】如图（1）在梯形中，，，动点从点出发，以的速度沿着的方向不停移动，直到点到达点后才停止．已知的面积（单位：）与点移动的时间t（单位：）的函数关系如图（2）所示，则点从开始移动到停止移动一共用了（　　）． A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在长方形ABCD中，，，动点E从点B出发，以1cm/s的速度沿B→C→D→A的路径运动，则的面积y（单位：）与点E运动的时间x（单位：s）的函数图象大致表示为（    ） A． B． B． C． D． 【跟踪专练3】已知动点P以的速度沿如图1所示的边框以的路径运动，记的面积为，s与运动时间的关系如图2所示，若．请回答下列问题： (1) ， ， ． (2)当的面积为15时，求出t的值． (3)若是等腰三角形时，请直接写出t的值． 题型10.函数值最值分析 【典例】为了优化快递配送路线，物流系统需要计算快递员（运动点）与仓储中心（固定点之间距离的平方．如图1，快递员从站点出发，沿笔直公路向配送区域处运动，到达处停止运动．设（单位：），（单位：）．如图2，关于的函数图象，请根据信息填空：_________，的最小值为___________． 【跟踪专练1】如图1，在菱形中，E为的中点，点F沿从点A向点C运动，连接，，设，，图2是点F运动时y随x变化的关系图象，则y的最小值是______．    【跟踪专练2】如图1，在平行四边形ABCD中，动点P从点A出发，沿折线方向匀速运动，运动到点C时停止，设点P的运动路程为x，线段AP的长度为y，y与x的函数图象如图2所示．若AP的最大值为4，则BC的长为（   ） A．4 B．4.4 C．4.8 D．5 【跟踪专练3】如图，在矩形中，，，动点以每秒2个单位长度的速度从点出发，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，点沿折线方向运动，点沿射线方向运动，当点追上点时，均停止运动．设运动时间为秒，的面积为． (1)①当时，___________，___________，___________；（用含的代数式填空） ②当点在线段运动时，求出关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围． (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图象． (3)结合函数图象， ①当___________时，有最大值是___________； ②若的面积为4，求点的运动时间． 题型11.函数图象逆向推导 【典例】勤俭节约是中华民族的传统美德，某天然气公司为了鼓励居民节约用气，生活用气实行按阶梯式气价计费，如图是某户居民每月的用气费y（元）与所用的气量x（立方米）之间的函数图象，请根据图象所提供的信息，解答下列问题： (1)当用气量不超过10立方米时，每立方米气收费多少元？ (2)当用气量超过10立方米且不超过40立方米时，求y与x之间的函数关系式； (3)某户居民九、十月份用气费共82元，十月份用气比九月份少6立方米，求这户居民十月份用气多少立方米？ 【跟踪专练1】某果园今年种植的草莓喜获丰收，采摘上市15天全部售完，该果园果农对销售情况进行统计后发现，在该草莓上市第x天时，日销售量P（单位：千克）与x之间的函数关系式为，草莓单价y（单位：元/千克）与x之间的函数关系如图所示． (1)当时，求y与x之间的函数关系式； (2)设日销售额为元，当时，求的最大值． 【跟踪专练2】如图1，在长方形中，，为边中点．动点从点开始，以的速度沿路线运动，到点停止．图2是点出发秒后，的面积随时间变化的图象．根据图中提供的信息，回答下列问题： (1)______； (2)当点在上运动时，求的面积为时的值； (3)如图3，当点从点出发时，动点同时以的速度从点出发，沿边运动，当点运动到点时，、两点停止运动．当为何值时，与全等，请直接写出的值． 【跟踪专练3】如图①，在中，，动点以的速度从点出发沿匀速运动至点．图②是点运动时，的面积（单位：）随时间（单位：s）变化的函数图象．求的斜边的长． 题型12.函数表示法实际应用 【典例】将长为，宽为的长方形白纸，按照如图所示的方法粘合起来，粘合部分宽为．设x张白纸粘合后的总长度为，则y与x之间的关系式为______，其中常量是______，变量是______． 【跟踪专练1】国庆节期间，小明跟爸爸妈妈一起自驾去外地旅游，出发前将油箱加满油．如表记录了轿车行驶的路程与油箱剩余油量之间的部分数据： 轿车行驶的路程 0 150 300 450 600 … 油箱剩余油量 60 48 36 24 12 … 下列说法中①该车的油箱容量为；②该车每行驶耗油；③当轿车行驶的路程为时，油箱中剩余油量；④油箱剩余油量与行驶的路程之间的关系式为其中正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【跟踪专练2】物流公司在一条东西向的轨道上有两个货仓，货仓B在A东面处．1号智能无人运输车从货仓A向东出发，先匀速行驶，然后在停下来分拣货物，后继续以原速行驶；2号智能无人运输车从货仓B向东出发，全程匀速行驶，两车均在行驶15min后到达各自的终点．设运动时间为（单位：min），记录仪记录1号车，2号车与货仓A的距离的部分数据如下： 运动时间 0 1 3 5 8 9 10 12 15 1号车与货仓A的距离（单位：） 0 10 30 80 80 100 2号车与货仓A的距离（单位：） 10 18 50 74 82 90 130 请根据以上信息和数据，解决下列问题： (1)表中___________，2号车的速度为___________； (2)求2号车与A货仓的距离为时的值． 【跟踪专练3】如图1，中，，M点在边上，且，过M点作的垂线交边于E点，动点 P 从点A 出发沿边向M 点运动，速度为1个单位/秒，当动点P 到达M点时，运动停止．连接，设运动时间为t．在此过程中 (1)当时，求的长度； (2)设的面积为s，试求s与t的函数关系式并写出自变量的取值范围； (3)当t为何值时，是等腰三角形? (4)如图2，若点N是线段上一点，且，点Q 是线段上一动点，连接得到，请直接写出周长的最小值． 【解答题】 1．从有关方面获悉，某市农村已经实行了农民新型合作医疗保险制度，享受医保的农民可在规定的医院就医，并按规定标准报销部分医疗费用．下表是医疗费用报销的标准． 住院医疗费用x元 每年报销比例标准 （说明：住院医疗费用的报销分段计算，如：某人住院医疗费用共30000元，则5000元按报销，15000元按报销，余下的10000元按报销．自付住院医疗费用住院医疗费用按标准报销的金额） (1)某农民一年中住院医疗费用15000元，则他在这一年中自付住院医疗费用为______元． (2)当时，设自付住院医疗费用为y元，试求出y与x的函数关系式． (3)若某农民一年内本人自付住院医疗费17000元，则该农民当年住院医疗费用为多少元？ 2．某校科技节启用无人机进行航拍，在操控无人机时根据现场状况调节高度，已知无人机在上升和下降过程中速度相同，设无人机的飞行高度h（米）与操控无人机的时间t（分钟）之间的关系如图中的实线所示，根据图象回答下列问题： (1)无人机在75米高的上空停留的时间是 分钟； (2)在上升或下降过程中，无人机的速度为 米/分； (3)图中a表示的数是 ；b表示的数是 ； (4)图中点A表示的实际意义是 ． 3．如图①，长方形的边的长为，动点H以的速度从点A出发沿折线匀速运动到终点D，设点H的运动时间为，的面积为S，S与t之间的关系如图②所示． (1)图②中反映了两个变量之间的关系，其中自变量是_________，因变量是_________． (2) _________， _________； (3)点H的运动时间为时，求的面积b． 4．小莉根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究． 下面是小莉的探究过程，请补充完整： (1)下表是x与y的几组对应值．请直接写出： ______， ______； x … 0 1 2 3 … y … m 0 2 n … (2)如图，在平面直角坐标系中，描出上表中的点，然后用平滑的曲线连接起来，画出函数的图象； (3)当时，对应的自变量是______ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $