提升课19函数的实际应用2026年中考数学分层作业本一轮复习

提升课19函数的实际应用 详解详析 一、选择题 1.A　 【解析】设I＝kU，∵当U＝5V时，I＝4A，∴4＝5k，∴k=  ，∴I=  U，当U＝15V时，I=  ×15＝12（A）.故选A. 2.D 【解析】由图象可知，弹簧压缩2cm后开始减速，故选项A不符合题意；由图象可知，当弹簧被压缩至最短，小球的速度最小为0，故选项B不符合题意；由图象可知小球速度最大时，弹簧压缩2cm，此时弹簧的长度为12﹣2＝10（cm），故选C不符合题意；由图象可知，当小球下落至最低点时，弹簧被压缩的长度为6cm时，此时弹簧的长度为12﹣6＝6（cm），故选项D符合题意． 3.C 【解析】∵烧杯有出水口，∴水平面在铁块下移过程中保持不变．∴铁块的高度为AB段铁块移动的距离为10﹣6＝4(cm)，故A选项正确，不符合题意；∵烧杯高度为16cm，铁块从烧杯口到下表面接触水时移动了6cm，∴烧杯内水的高度为10cm，故B选项正确，不符合题意；∵当铁块下降高度为8cm时，铁块的一半刚好浸入水中，∴拉力的大小为  ，∵铁块的重力为4N，∴铁块所受到的浮力为4﹣3.25＝0.75(N)，故C选项错误，符合题意；设F＝kx+b，代入（6，4），（10，2.5），得  ，将F＝3代入  ，得  ，  ，故D选项正确，不符合题意， 4.A 【解析】如图，记跳跃高度为y，身高为x，比值为k，则k= ，∴y=kx，根据正比例函数的意义，k越大，图象越陡，反之图象越陡，k越大，∴观察图象，跳跃高度与自己身高的比值最大的同学为甲，∴获胜的同学是甲. 5.B 【解析】∵当x＝0时，y＝k×0+1＝1，∴点N的坐标为(0，1)，∴入射光线MN与反射光线NP关于直线y＝1对称，∵反射光线NP交x轴于点P(－2，0)，∴点(－2，2)在入射光线MN上，∴2＝－2k+1，解得k ． 6.D 【解析】根据题意，近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，则设y  ，∵点（0.1，100）在此函数的图象上，∴k＝0．1×100＝10，∴y  （x＞0），∵y＜100，∴  100，∵x＞0，∴100x＞10，∴x＞0．1，即镜片焦距x的取值范围是x＞0.1． 7.A 【解析】∵阻力×阻力臂＝动力×动力臂，阻力和阻力臂分别是1000N和0.4m，∴动力F关于动力臂l的函数解析式为1000×0.4＝Fl，即F ，∴动力F关于动力臂l成反比例，∴动力臂l随动力F的增大而减小，∵动力F1＞F2，∴动力臂l1＜l2． 8.D 【解析】设反比例函数的解析式为I ，把点P坐标代入，得0.25 ，解得k＝220，∴反比例函数解析式为I （R＞0），当I＝0.2A时，R 1100（Ω），故A不正确；当I＝0.5A时，R 440（Ω），故B不正确；当R＞440Ω时，I＜0.5A，故C不正确；当R＜440Ω时，I＞0.5A，故D正确． 9.C 【解析】根据题意知，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点（0，54.0），（40，46.2），（20，57.9），则  ，解得  ，所以x  15（m）. 10.B 【解析】由题意知求水流喷出的最大高度，即为求抛物线的最高点的纵坐标，∵ = =2.75,∴水流喷出的最大高度是2.75 m. 二、填空题 11.160 【解析】∵乐器的弦长l为0.8米，振动频率f为200赫兹，∴把l＝0.8，f＝200代入 ，得 ，解得k＝160． 12.15℃ 【解析】由题意得 ＝1.705，解得v＝340，将v＝340代入v＝331+0.6t，即340＝331+0.6t，解得t＝15℃. 13.250　 【解析】设善行者要走x步才能追上，则不善行者走( ×60)步，根据题意得： ×60＋100＝x，解得：x＝250，则善行者要走250步才能追上不善行者．根据函数图象分析可知，两图象的交点P的纵坐标即为250，故答案为：250. 14.8　 【解析】∵OA=1.6 m,∴点A坐标为(0,1.6),将A(0,1.6)代入y=a(x-3)2+2.5中,得1.6=a(0-3)2+2.5,解得a=-  ,∴y=-  (x-3)2+2.5,令y=0,得-  (x-3)2+2.5=0,解得.x1=8,x2=-2(不符合题意，舍去)，∴铅球抛出的水平距离OB为8 m. 15. 【解析】设h＝kt2（k≠0），由h＝20时，t＝2，得20＝22×k，解得k＝5，∴函数的解析式为h＝5t2，∴当h＝50时，5t2＝50，解得t 或 （舍去）． 三、解答题 16.解：（1）设每个盲盒的价格是  元，每个玩偶杯价格是y元， 根据题意，得  ， 解得  ， 答：每个盲盒的价格是50元，每个玩偶杯的价格是30元； （2）设购买盲盒  个，则购买玩偶杯  个, 根据题意，得  ． 解得  ． ． 设该影城购买盲盒和玩偶杯共花费  元， 则  , ， 随  的增大而增大， 又  ，且  为正整数， 当  时，  取得最小值，此时  ， 答：购买盲盒1000个，玩偶杯3000个时，总费用最低． 17.解：（1）设二次函数关系式为h＝at2+bt+c(a≠0)， 由题意得，c=0， 将点（1，32）和点（2，0）代入，得  ， 解得  ， ∴高度h与时间t之间的函数关系式为h＝﹣32t2+64t； （2）当h＝24时，﹣32t2+64t＝24， 解得t1＝0.5，t2＝1.5， 其中t1＝0.5s对应上升过程，t2＝1.5s对应下降过程． 时间间隔为t2﹣t1＝1(s)， 答：在上升过程中0.5s和下降过程中1.5s触发闪光，时间间隔为1s． 18.解：（1）  ； 【解法提示】由题意可得  ，解得  ． （2）设当  时，y与x之间的函数关系式为  ， 则  ， 解得  ， ∴  ； （3）当  时，  ， ∴先匀速行驶  小时的速度为  ， ∵  ， ∴该辆汽车减速前没有超速． 19.解：(1)100； 【解法提示】由表格数据可得拉力的大小F与点A到点O的距离l之间的函数关系为反比例函数，设F=   （k≠0），把(1，300)代入，得k=300，∴F=   ，∴当l=3时，F=100，∴a=100. (2)描点及所画函数图象如答案图；  (3)当OA的长增大时，拉力F减小，原因如下： 由答案图得，当OA的长增大时，拉力F逐渐减小，∴拉力F随OA的长l的增大而减小.  答案图 20.解：（1）设“滨滨”摆件的零售价格为  元/件，“妮妮”摆件的零售价格为  元/件， 根据题意，列得方程组  ， 解得  ， 答：“滨滨”“妮妮”摆件的零售价格都为88元/件； （2）①设购进“滨滨”摆件  个，则购进“妮妮”摆件(100－m)个， 根据题意，得  ， ∴  与  的函数关系式为  ； ②  “滨滨”摆件的数量不低于“妮妮”摆件数量的2倍， ， 解得  ， 由①知，  为正整数， 随  的增大而减小， 当  取最小值67时，  有最大值，最大值为2330， 此时，  ， 所以购进“滨滨”摆件67个，“妮妮”摆件33个时利润最大，最大利润为2330元． 21.解：（1）根据图象，反比例函数图象经过点(1，200)， 设反比例函数表达式为y (k≠0)， 则 200， 解得k＝200， ∴反比例函数为y (1≤x≤4，且x取整数)， 将x＝4代入y 得，y＝50， ∴一次函数图象经过点(4，50)， 由图象可得，一次函数图象经过点(6，110)， 设技术改造完成后一次函数表达式为y＝mx＋b(m≠0)， 将(4，50)，(6，110)代入y＝mx＋b，得 ， 解得 ， ∴技术改造完成后一次函数表达式为y＝30x－70(x＞4且x取整数)； （2）当y＝100时，30x－70＝100， 解得x≈6， 当y＝100时， ， 解得x＝2， ∴6－2＝4， ∴当月利润不高于100万元时约共经历了4个月． 22.解：（1）由题可知，O(0，0)，B(40，0)，抛物线的顶点坐标为(20，10)， 设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx， 将(40，0)，(20，10)代入y＝ax2＋bx， 得 ， 解得 ， ∴抛物线的解析式为 ； （2）这艘货船能安全过桥；理由如下， 由题意得，点D的横坐标为 ， 把x＝12代入 ， 得 ， ∵8.4＞7， ∴这艘货船能安全过桥； （3）此时该货船能安全过桥.理由如下， 由题意得，水位上升0.5米，相当于将抛物线 向下平移0.5个单位长度， ∴平移后抛物线的表达式为 ， 把x＝12代入 ， 得 ， ∵7.9＞7， ∴此时该货船能安全过桥． 23.解：（1）设每棵成年的阔叶树种(例如杨树)和每棵成年的针叶树种(例如冷杉)每年大约吸收二氧化碳分别为  千克和  千克， 根据题意，得  ， 解得  ， 答：每棵成年的阔叶树种(例如杨树)和每棵成年的针叶树种(例如冷杉)每年大约吸收二氧化碳分别为  千克和  千克； （2）  购买了  棵杨树，则购买的冷杉树为  棵， 根据题意，得  ， 与  的函数关系式为  ； 杨树的棵数不超过冷杉的一半， ， ，且a取整数， ， 随  的增大而增大， 当整数  时，  的值最大， ∴  (棵)， 答：购买  棵杨树，  棵冷杉在一年内吸收的二氧化碳总量最大． 数学试卷 第页（共页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 提升课19函数的实际应用 一、选择题 1.在闭合电路中，通过定值电阻的电流I(单位：A)是它两端的电压U(单位：V)的正比例函数，其图象如图所示.当该电阻两端的电压为15V时，通过它的电流为 (　　) A.12 A B.8 A C.6 A D.4 A 1.A　 【解析】设I＝kU，∵当U＝5V时，I＝4A，∴4＝5k，∴k=  ，∴I=  U，当U＝15V时，I=  ×15＝12（A）.故选A. 2.如图①，质量为m的小球从某高处由静止开始下落到竖直放置的轻弹簧上并压缩弹簧（已知自然状态下，弹簧的初始长度为12cm）．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形变），得到小球的速度v（cm/s）和弹簧被压缩的长度△l（cm）之间的关系图象如图②所示．根据图象，下列说法正确的是（　　） A．小球从刚接触弹簧就开始减速 B．当弹簧被压缩至最短时，小球的速度最大 C．当小球的速度最大时，弹簧的长度为2cm D．当小球下落至最低点时，弹簧的长度为6cm 2.D 【解析】由图象可知，弹簧压缩2cm后开始减速，故选项A不符合题意；由图象可知，当弹簧被压缩至最短，小球的速度最小为0，故选项B不符合题意；由图象可知小球速度最大时，弹簧压缩2cm，此时弹簧的长度为12﹣2＝10（cm），故选C不符合题意；由图象可知，当小球下落至最低点时，弹簧被压缩的长度为6cm时，此时弹簧的长度为12﹣6＝6（cm），故选项D符合题意． 3.为了探究浮力的大小与哪些因素有关，物理实验小组进行了测浮力的实验．如图甲，先将一个长方体铁块放在玻璃烧杯上方，再向下缓缓移动，移动过程中记录弹簧测力计的示数F拉力（单位：N）与铁块下降的高度x（单位：cm）之间的关系如图乙所示．下列说法不正确的是（          ） A．铁块的高度为4cm B．铁块入水之前，烧杯内水的高度为10cm C．当铁块下降的高度为8cm时，该铁块所受到的浮力为3.25N D．当弹簧测力计的示数为3N时，此时铁块距离烧杯底 3.C 【解析】∵烧杯有出水口，∴水平面在铁块下移过程中保持不变．∴铁块的高度为AB段铁块移动的距离为10﹣6＝4(cm)，故A选项正确，不符合题意；∵烧杯高度为16cm，铁块从烧杯口到下表面接触水时移动了6cm，∴烧杯内水的高度为10cm，故B选项正确，不符合题意；∵当铁块下降高度为8cm时，铁块的一半刚好浸入水中，∴拉力的大小为  ，∵铁块的重力为4N，∴铁块所受到的浮力为4﹣3.25＝0.75(N)，故C选项错误，符合题意；设F＝kx+b，代入（6，4），（10，2.5），得  ，将F＝3代入  ，得  ，  ，故D选项正确，不符合题意， 4.在趣味跳高比赛中，规定跳跃高度与自己身高的比值最大的同学为获胜者.甲、乙、丙、丁四位同学的跳跃高度与他们身高的关系示意图如图所示，则获胜的同学是 (　　) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 4.A 【解析】如图，记跳跃高度为y，身高为x，比值为k，则k= ，∴y=kx，根据正比例函数的意义，k越大，图象越陡，反之图象越陡，k越大，∴观察图象，跳跃高度与自己身高的比值最大的同学为甲，∴获胜的同学是甲. 5.如图，入射光线MN遇到平面镜(y轴)上的点N后，反射光线NP交x轴于点P(－2，0)，若光线MN满足的一次函数关系式为y＝kx+1，则k的值是(　　) A． B． C． D． 5.B 【解析】∵当x＝0时，y＝k×0+1＝1，∴点N的坐标为(0，1)，∴入射光线MN与反射光线NP关于直线y＝1对称，∵反射光线NP交x轴于点P(－2，0)，∴点(－2，2)在入射光线MN上，∴2＝－2k+1，解得k ． 6.近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）之间是反比例函数关系（其中x，y均为正数），当近视眼镜的度数是100度时，镜片焦距为0．1米．则配制一副度数小于100度的近视眼镜，镜片焦距x的取值范围是（　　） A．x＞1 B．0＜x＜1 C．0＜x＜0．1 D．x＞0．1 6.D 【解析】根据题意，近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，则设y  ，∵点（0.1，100）在此函数的图象上，∴k＝0．1×100＝10，∴y  （x＞0），∵y＜100，∴  100，∵x＞0，∴100x＞10，∴x＞0．1，即镜片焦距x的取值范围是x＞0.1． 7.公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，即：阻力×阻力臂＝动力×动力臂，小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知在某一平衡状态下，阻力和阻力臂分别是1000N和0.4m，若动力F1＞F2(单位：N)，则动力臂l1与l2(单位：m)的数量关系为(　　) A．l1＜l2 B．l1＞l2 C．l1＝l2 D．无法确定 7.A 【解析】∵阻力×阻力臂＝动力×动力臂，阻力和阻力臂分别是1000N和0.4m，∴动力F关于动力臂l的函数解析式为1000×0.4＝Fl，即F ，∴动力F关于动力臂l成反比例，∴动力臂l随动力F的增大而减小，∵动力F1＞F2，∴动力臂l1＜l2． 8.某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现，如图所示的是该台灯的电流I（A）与电阻R（Ω）的关系图象，该图象经过点P（880，0.25）．根据图象可知，下列说法正确的是（　　） A．当I＝0.2A时，R＝1000Ω B．当I＝0.5A时，R＝500Ω C．当R＞440Ω时，I＞0.5A D．当R＜440Ω时，I＞0.5A 8.D 【解析】设反比例函数的解析式为I ，把点P坐标代入，得0.25 ，解得k＝220，∴反比例函数解析式为I （R＞0），当I＝0.2A时，R 1100（Ω），故A不正确；当I＝0.5A时，R 440（Ω），故B不正确；当R＞440Ω时，I＜0.5A，故C不正确；当R＜440Ω时，I＞0.5A，故D正确． 9.如图，跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）.如图记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为（　　） A.10m B.20m C.15m D.22.5m 9.C 【解析】根据题意知，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点（0，54.0），（40，46.2），（20，57.9），则  ，解得  ，所以x  15（m）. 10.如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OM，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系式是y=-x2+2x+ (x＞0),则水流喷出的最大高度是 (　　) A.3m B.2.75m C.2m D.1.75m 10.B 【解析】由题意知求水流喷出的最大高度，即为求抛物线的最高点的纵坐标，∵ = =2.75,∴水流喷出的最大高度是2.75 m. 二、填空题 11.在一定条件下，乐器中弦振动的频率f与弦长l成反比例关系，即f (k为常数，k≠0)．若某乐器的弦长l为0.8米，振动频率f为200赫兹，则k的值为______． 11.160 【解析】∵乐器的弦长l为0.8米，振动频率f为200赫兹，∴把l＝0.8，f＝200代入 ，得 ，解得k＝160． 12.声音在干燥空气中的传播速度随着温度变化而变化，当温度为t℃时，声音的传播速度v(单位：m/s)与温度为t(℃)的函数关系为v＝331+0.6t.小亮在一根铜管的一端用力敲了一下，小颖在铜管的另一端听到了两次敲击的声音（说明：一次为空气传播，一次为铜管传播），且用精密仪器测得两次声音间隔1.705s，已知该条件下声音在铜中的传播速度为3750m/s，铜管的长度为637.5m，此时的气温为______. 12.15℃ 【解析】由题意得 ＝1.705，解得v＝340，将v＝340代入v＝331+0.6t，即340＝331+0.6t，解得t＝15℃. 13.我国古代数学经典著作《九章算术》记载：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步，今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”如图是善行者与不善行者行走路程s(单位：步)关于善行者的行走时间t的函数图象，则两图象交点P的纵坐标是________． 13.250　 【解析】设善行者要走x步才能追上，则不善行者走( ×60)步，根据题意得： ×60＋100＝x，解得：x＝250，则善行者要走250步才能追上不善行者．根据函数图象分析可知，两图象的交点P的纵坐标即为250，故答案为：250. 14.如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线y=a(x-3)2+2.5运行，其中x是铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离地面的高度.若铅球抛出时离地面的高度OA为1.6 m，则铅球掷出的水平距离OB为            m. 14.8　 【解析】∵OA=1.6 m,∴点A坐标为(0,1.6),将A(0,1.6)代入y=a(x-3)2+2.5中,得1.6=a(0-3)2+2.5,解得a=-  ,∴y=-  (x-3)2+2.5,令y=0,得-  (x-3)2+2.5=0,解得.x1=8,x2=-2(不符合题意，舍去)，∴铅球抛出的水平距离OB为8 m. 15.在一场物理实验中，研究小球从高处自由下落到地面的情况，小球离地面高度为h（单位：m），落到地面所用时间为t（单位：s），已知h与t2成正比例关系，当h＝20时，t＝2．现在小球离地面高度h＝50时，那么小球落地所用时间t＝______． 15. 【解析】设h＝kt2（k≠0），由h＝20时，t＝2，得20＝22×k，解得k＝5，∴函数的解析式为h＝5t2，∴当h＝50时，5t2＝50，解得t 或 （舍去）． 三、解答题 16.2025年春节电影档掀起观影热潮，特别是《哪吒之魔童闹海》，截止到2月23日全球票房超135亿，登顶动画电影票房排行榜．某影城准备推出玩偶杯，哪吒手办盲盒等《哪吒之魔童闹海》的周边产品，采购时得知3个盲盒和5个玩偶杯的价格一样，购买2个盲盒和5个玩偶杯共需250元． （1）求每个盲盒和每个玩偶杯的价格； （2）该影城需要购买玩偶杯，盲盒共4000个，且购买玩偶杯的数量不超过盲盒数量的3倍．请你帮助影城计算应购买玩偶杯，盲盒各多少个，才能使总费用最低． 16.解：（1）设每个盲盒的价格是  元，每个玩偶杯价格是y元， 根据题意，得  ， 解得  ， 答：每个盲盒的价格是50元，每个玩偶杯的价格是30元； （2）设购买盲盒  个，则购买玩偶杯  个, 根据题意，得  ． 解得  ． ． 设该影城购买盲盒和玩偶杯共花费  元， 则  , ， 随  的增大而增大， 又  ，且  为正整数， 当  时，  取得最小值，此时  ， 答：购买盲盒1000个，玩偶杯3000个时，总费用最低． 17.2026年春晚由宇树科技开发的机器人在《武BOT》里与少年共“武”醉拳、六合拳、双截棍等传统武术，这是中国科技与中国功夫的最强合体！研究人员发现，该公司的其中一款机器人表演时其膝盖处的关节运动轨迹近似一条抛物线．假设机器人单腿抬起时，其膝盖相对于脚踝的竖直高度h（单位：cm）与时间t（单位：s）满足二次函数关系．研究人员测得三个时刻的高度：在t＝0s时膝盖高度为0cm（脚踝处），在t＝1s时高度为32cm，在t＝2s时高度为0cm． （1）求高度h与时间t之间的函数关系式； （2）若研究人员设定机器人需要在其膝盖相对于脚踝的竖直高度等于24cm时触发一次“庆祝成功”的闪光，问在膝盖上升和下降过程中，分别在哪两个时刻触发闪光？这两个时刻的时间间隔是多少？ 17.解：（1）设二次函数关系式为h＝at2+bt+c(a≠0)， 由题意得，c=0， 将点（1，32）和点（2，0）代入，得  ， 解得  ， ∴高度h与时间t之间的函数关系式为h＝﹣32t2+64t； （2）当h＝24时，﹣32t2+64t＝24， 解得t1＝0.5，t2＝1.5， 其中t1＝0.5s对应上升过程，t2＝1.5s对应下降过程． 时间间隔为t2﹣t1＝1(s)， 答：在上升过程中0.5s和下降过程中1.5s触发闪光，时间间隔为1s． 18.区间测速是指在某一路段前后设置两个监控点，根据车辆通过两个监控点的时间来计算车辆在该路段上的平均行驶速度．小春驾驶一辆小型汽车在高速公路上行驶，其间经过一段长度为20千米的区间测速路段，从该路段起点开始，他先匀速行驶  小时，再立即减速以另一速度匀速行驶(减速时间忽略不计)，当他到达该路段终点时，测速装置测得该辆汽车在整个路段行驶的平均速度为100千米/时．汽车在区间测速路段行驶的路程  (千米)与在此路段行驶的时间  (时)之间的函数图象如图所示． （1）  的值为            ； （2）当  时，求  与  之间的函数关系式； （3）通过计算说明在此区间测速路段内，该辆汽车减速前是否超速．(此路段要求小型汽车行驶速度不得超过120千米/时) 18.解：（1）  ； 【解法提示】由题意可得  ，解得  ． （2）设当  时，y与x之间的函数关系式为  ， 则  ， 解得  ， ∴  ； （3）当  时，  ， ∴先匀速行驶  小时的速度为  ， ∵  ， ∴该辆汽车减速前没有超速． 19.小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔(gāo)的古代汲水工具(如图①)，有一横杆固定于桔槔上O点，并可绕O点转动.在横杆A处连接一竹竿，在横杆B 处固定300 N的物体, 且 OB=1 m.若图中人物竖直向下施加的拉力为F，当改变点A与点O的距离l时，横杆始终处于水平状态，小星发现F与l有一定的关系，记录了拉力的大小 F与l的变化，如下表： 点A与点O的距离 l/m 1 1.5 2 2.5 3 拉力的大小F/N 300 200 150 120 a (1)表格中a的值是            ; (2)小星通过分析表格数据发现，用函数可以刻画F与l之间的关系.在如图②所示的平面直角坐标系中，描出表中对应的点，并画出这个函数的图象； (3)根据以上数据和图象判断，当OA的长增大时，拉力F是增大还是减小?请说明理由. 19.解：(1)100； 【解法提示】由表格数据可得拉力的大小F与点A到点O的距离l之间的函数关系为反比例函数，设F=   （k≠0），把(1，300)代入，得k=300，∴F=   ，∴当l=3时，F=100，∴a=100. (2)描点及所画函数图象如答案图；  (3)当OA的长增大时，拉力F减小，原因如下： 由答案图得，当OA的长增大时，拉力F逐渐减小，∴拉力F随OA的长l的增大而减小.  答案图 20.“滨滨”和“妮妮”是2025年哈尔滨亚冬会的吉祥物．某商家连续两周销售“滨滨”和“妮妮”摆件，销售情况如下表所示． （1）分别求出“滨滨”和“妮妮”摆件的零售价格； （2）根据消费者需求，该商家决定购进这两种摆件100个，其中“滨滨”摆件的数量不低于“妮妮”摆件数量的2倍，若“滨滨”和“妮妮”摆件的进价分别是68元/个和58元/个，设购进“滨滨”摆件  个，两种摆件全部售完时所获的利润为  元． ①求  与  的函数关系式； ②该商家如何进货才能获得最大利润，最大利润为多少元？ 销售量(个) 销售额(元) 滨滨 妮妮 第1周 25 10 3080 第2周 40 15 4840 20.解：（1）设“滨滨”摆件的零售价格为  元/件，“妮妮”摆件的零售价格为  元/件， 根据题意，列得方程组  ， 解得  ， 答：“滨滨”“妮妮”摆件的零售价格都为88元/件； （2）①设购进“滨滨”摆件  个，则购进“妮妮”摆件(100－m)个， 根据题意，得  ， ∴  与  的函数关系式为  ； ②  “滨滨”摆件的数量不低于“妮妮”摆件数量的2倍， ， 解得  ， 由①知，  为正整数， 随  的增大而减小， 当  取最小值67时，  有最大值，最大值为2330， 此时，  ， 所以购进“滨滨”摆件67个，“妮妮”摆件33个时利润最大，最大利润为2330元． 21.科技创新为实现可持续发展赋能．某企业自2024年1月开始限产进行技术改造，其月利润y(万元)与月份x之间的变化如图所示， 技术改造完成前是反比例函数图象的一部分，技术改造完成后是一次函数图象的一部分． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）求当月利润不高于100万元时共经历了多少个月？ 21.解：（1）根据图象，反比例函数图象经过点(1，200)， 设反比例函数表达式为y (k≠0)， 则 200， 解得k＝200， ∴反比例函数为y (1≤x≤4，且x取整数)， 将x＝4代入y 得，y＝50， ∴一次函数图象经过点(4，50)， 由图象可得，一次函数图象经过点(6，110)， 设技术改造完成后一次函数表达式为y＝mx＋b(m≠0)， 将(4，50)，(6，110)代入y＝mx＋b，得 ， 解得 ， ∴技术改造完成后一次函数表达式为y＝30x－70(x＞4且x取整数)； （2）当y＝100时，30x－70＝100， 解得x≈6， 当y＝100时， ， 解得x＝2， ∴6－2＝4， ∴当月利润不高于100万元时约共经历了4个月． 22.素材一：秦，汉时期是中国古代桥梁的创建发展时期，此时期创造了以砖石为材料主体的拱券结构，为后来拱桥的出现创造了先决条件．如图①是位于某市中心的一座大桥，已知该桥的桥拱呈抛物线形．在正常水位时测得桥拱处水面宽度OB为40米，桥拱最高点到水面的距离为10米． 素材二：在正常水位时，一艘货船在水面上航行，已知货船的宽DE为16米，露出水面的高DG为7米．四边形DEFG为矩形，OD＝BE．现以O为原点，以OB所在直线为x轴，建立如图②所示的平面直角坐标系，将桥拱抽象为一条抛物线． （1）求此抛物线的解析式； （2）这艘货船能否安全过桥？ （3）受天气影响，水位上升0.5米，若货船露出水面的高度不变，此时该货船能否安全过桥？ 22.解：（1）由题可知，O(0，0)，B(40，0)，抛物线的顶点坐标为(20，10)， 设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx， 将(40，0)，(20，10)代入y＝ax2＋bx， 得 ， 解得 ， ∴抛物线的解析式为 ； （2）这艘货船能安全过桥；理由如下， 由题意得，点D的横坐标为 ， 把x＝12代入 ， 得 ， ∵8.4＞7， ∴这艘货船能安全过桥； （3）此时该货船能安全过桥.理由如下， 由题意得，水位上升0.5米，相当于将抛物线 向下平移0.5个单位长度， ∴平移后抛物线的表达式为 ， 把x＝12代入 ， 得 ， ∵7.9＞7， ∴此时该货船能安全过桥． 23.绿动未来——树木固碳护家园 【素材呈现】 在全球气候变暖的严峻形势下，二氧化碳排放量不断攀升已成为亟待解决的关键问题，为了中和二氧化碳排放量，我们可以采取植树造林等绿化措施．根据相关统计结果，  棵成年的阔叶树种(例如杨树)和  棵成年的针叶树种(例如冷杉)每年大约吸收  千克二氧化碳，而  棵成年的阔叶树种(例如杨树)和  棵成年的针叶树种(例如冷杉)每年大约吸收  千克二氧化碳． 【问题解决】 （1）每棵成年的阔叶树种(例如杨树)和每棵成年的针叶树种(例如冷杉)每年大约吸收的二氧化碳分别是多少千克？ （2）某环保企业计划购买成年杨树和冷杉共  棵，设购买杨树  棵，这  棵树木一年内吸收的二氧化碳总量为  千克． 求  与  的函数关系式； 杨树会产生较多的飘絮物，因此规定采购杨树的棵数不超过冷杉的一半，请设计一个采购方案，使得这  棵树木在一年内吸收的二氧化碳总量最大． 23.解：（1）设每棵成年的阔叶树种(例如杨树)和每棵成年的针叶树种(例如冷杉)每年大约吸收二氧化碳分别为  千克和  千克， 根据题意，得  ， 解得  ， 答：每棵成年的阔叶树种(例如杨树)和每棵成年的针叶树种(例如冷杉)每年大约吸收二氧化碳分别为  千克和  千克； （2）  购买了  棵杨树，则购买的冷杉树为  棵， 根据题意，得  ， 与  的函数关系式为  ； 杨树的棵数不超过冷杉的一半， ， ，且a取整数， ， 随  的增大而增大， 当整数  时，  的值最大， ∴  (棵)， 答：购买  棵杨树，  棵冷杉在一年内吸收的二氧化碳总量最大． 数学试卷 第页（共页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 提升课19函数的实际应用 一、选择题 1.在闭合电路中，通过定值电阻的电流I(单位：A)是它两端的电压U(单位：V)的正比例函数，其图象如图所示.当该电阻两端的电压为15V时，通过它的电流为 (　　) A.12 A B.8 A C.6 A D.4 A 2.如图①，质量为m的小球从某高处由静止开始下落到竖直放置的轻弹簧上并压缩弹簧（已知自然状态下，弹簧的初始长度为12cm）．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形变），得到小球的速度v（cm/s）和弹簧被压缩的长度△l（cm）之间的关系图象如图②所示．根据图象，下列说法正确的是（　　） A．小球从刚接触弹簧就开始减速 B．当弹簧被压缩至最短时，小球的速度最大 C．当小球的速度最大时，弹簧的长度为2cm D．当小球下落至最低点时，弹簧的长度为6cm 3.为了探究浮力的大小与哪些因素有关，物理实验小组进行了测浮力的实验．如图甲，先将一个长方体铁块放在玻璃烧杯上方，再向下缓缓移动，移动过程中记录弹簧测力计的示数F拉力（单位：N）与铁块下降的高度x（单位：cm）之间的关系如图乙所示．下列说法不正确的是（          ） A．铁块的高度为4cm B．铁块入水之前，烧杯内水的高度为10cm C．当铁块下降的高度为8cm时，该铁块所受到的浮力为3.25N D．当弹簧测力计的示数为3N时，此时铁块距离烧杯底 4.在趣味跳高比赛中，规定跳跃高度与自己身高的比值最大的同学为获胜者.甲、乙、丙、丁四位同学的跳跃高度与他们身高的关系示意图如图所示，则获胜的同学是 (　　) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 5.如图，入射光线MN遇到平面镜(y轴)上的点N后，反射光线NP交x轴于点P(－2，0)，若光线MN满足的一次函数关系式为y＝kx+1，则k的值是(　　) A． B． C． D． 6.近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）之间是反比例函数关系（其中x，y均为正数），当近视眼镜的度数是100度时，镜片焦距为0．1米．则配制一副度数小于100度的近视眼镜，镜片焦距x的取值范围是（　　） A．x＞1 B．0＜x＜1 C．0＜x＜0．1 D．x＞0．1 7.公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，即：阻力×阻力臂＝动力×动力臂，小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知在某一平衡状态下，阻力和阻力臂分别是1000N和0.4m，若动力F1＞F2(单位：N)，则动力臂l1与l2(单位：m)的数量关系为(　　) A．l1＜l2 B．l1＞l2 C．l1＝l2 D．无法确定 8.某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现，如图所示的是该台灯的电流I（A）与电阻R（Ω）的关系图象，该图象经过点P（880，0.25）．根据图象可知，下列说法正确的是（　　） A．当I＝0.2A时，R＝1000Ω B．当I＝0.5A时，R＝500Ω C．当R＞440Ω时，I＞0.5A D．当R＜440Ω时，I＞0.5A 9.如图，跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）.如图记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为（　　） A.10m B.20m C.15m D.22.5m 10.如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OM，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系式是y=-x2+2x+ (x＞0),则水流喷出的最大高度是 (　　) A.3m B.2.75m C.2m D.1.75m 二、填空题 11.在一定条件下，乐器中弦振动的频率f与弦长l成反比例关系，即f (k为常数，k≠0)．若某乐器的弦长l为0.8米，振动频率f为200赫兹，则k的值为______． 12.声音在干燥空气中的传播速度随着温度变化而变化，当温度为t℃时，声音的传播速度v(单位：m/s)与温度为t(℃)的函数关系为v＝331+0.6t.小亮在一根铜管的一端用力敲了一下，小颖在铜管的另一端听到了两次敲击的声音（说明：一次为空气传播，一次为铜管传播），且用精密仪器测得两次声音间隔1.705s，已知该条件下声音在铜中的传播速度为3750m/s，铜管的长度为637.5m，此时的气温为______. 13.我国古代数学经典著作《九章算术》记载：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步，今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”如图是善行者与不善行者行走路程s(单位：步)关于善行者的行走时间t的函数图象，则两图象交点P的纵坐标是________． 14.如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线y=a(x-3)2+2.5运行，其中x是铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离地面的高度.若铅球抛出时离地面的高度OA为1.6 m，则铅球掷出的水平距离OB为            m. 15.在一场物理实验中，研究小球从高处自由下落到地面的情况，小球离地面高度为h（单位：m），落到地面所用时间为t（单位：s），已知h与t2成正比例关系，当h＝20时，t＝2．现在小球离地面高度h＝50时，那么小球落地所用时间t＝______． 三、解答题 16.2025年春节电影档掀起观影热潮，特别是《哪吒之魔童闹海》，截止到2月23日全球票房超135亿，登顶动画电影票房排行榜．某影城准备推出玩偶杯，哪吒手办盲盒等《哪吒之魔童闹海》的周边产品，采购时得知3个盲盒和5个玩偶杯的价格一样，购买2个盲盒和5个玩偶杯共需250元． （1）求每个盲盒和每个玩偶杯的价格； （2）该影城需要购买玩偶杯，盲盒共4000个，且购买玩偶杯的数量不超过盲盒数量的3倍．请你帮助影城计算应购买玩偶杯，盲盒各多少个，才能使总费用最低． 17.2026年春晚由宇树科技开发的机器人在《武BOT》里与少年共“武”醉拳、六合拳、双截棍等传统武术，这是中国科技与中国功夫的最强合体！研究人员发现，该公司的其中一款机器人表演时其膝盖处的关节运动轨迹近似一条抛物线．假设机器人单腿抬起时，其膝盖相对于脚踝的竖直高度h（单位：cm）与时间t（单位：s）满足二次函数关系．研究人员测得三个时刻的高度：在t＝0s时膝盖高度为0cm（脚踝处），在t＝1s时高度为32cm，在t＝2s时高度为0cm． （1）求高度h与时间t之间的函数关系式； （2）若研究人员设定机器人需要在其膝盖相对于脚踝的竖直高度等于24cm时触发一次“庆祝成功”的闪光，问在膝盖上升和下降过程中，分别在哪两个时刻触发闪光？这两个时刻的时间间隔是多少？ 18.区间测速是指在某一路段前后设置两个监控点，根据车辆通过两个监控点的时间来计算车辆在该路段上的平均行驶速度．小春驾驶一辆小型汽车在高速公路上行驶，其间经过一段长度为20千米的区间测速路段，从该路段起点开始，他先匀速行驶  小时，再立即减速以另一速度匀速行驶(减速时间忽略不计)，当他到达该路段终点时，测速装置测得该辆汽车在整个路段行驶的平均速度为100千米/时．汽车在区间测速路段行驶的路程  (千米)与在此路段行驶的时间  (时)之间的函数图象如图所示． （1）  的值为            ； （2）当  时，求  与  之间的函数关系式； （3）通过计算说明在此区间测速路段内，该辆汽车减速前是否超速．(此路段要求小型汽车行驶速度不得超过120千米/时) 19.小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔(gāo)的古代汲水工具(如图①)，有一横杆固定于桔槔上O点，并可绕O点转动.在横杆A处连接一竹竿，在横杆B 处固定300 N的物体, 且 OB=1 m.若图中人物竖直向下施加的拉力为F，当改变点A与点O的距离l时，横杆始终处于水平状态，小星发现F与l有一定的关系，记录了拉力的大小 F与l的变化，如下表： 点A与点O的距离 l/m 1 1.5 2 2.5 3 拉力的大小F/N 300 200 150 120 a (1)表格中a的值是            ; (2)小星通过分析表格数据发现，用函数可以刻画F与l之间的关系.在如图②所示的平面直角坐标系中，描出表中对应的点，并画出这个函数的图象； (3)根据以上数据和图象判断，当OA的长增大时，拉力F是增大还是减小?请说明理由. 20.“滨滨”和“妮妮”是2025年哈尔滨亚冬会的吉祥物．某商家连续两周销售“滨滨”和“妮妮”摆件，销售情况如下表所示． （1）分别求出“滨滨”和“妮妮”摆件的零售价格； （2）根据消费者需求，该商家决定购进这两种摆件100个，其中“滨滨”摆件的数量不低于“妮妮”摆件数量的2倍，若“滨滨”和“妮妮”摆件的进价分别是68元/个和58元/个，设购进“滨滨”摆件  个，两种摆件全部售完时所获的利润为  元． ①求  与  的函数关系式； ②该商家如何进货才能获得最大利润，最大利润为多少元？ 销售量(个) 销售额(元) 滨滨 妮妮 第1周 25 10 3080 第2周 40 15 4840 21.科技创新为实现可持续发展赋能．某企业自2024年1月开始限产进行技术改造，其月利润y(万元)与月份x之间的变化如图所示， 技术改造完成前是反比例函数图象的一部分，技术改造完成后是一次函数图象的一部分． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）求当月利润不高于100万元时共经历了多少个月？ 22.素材一：秦，汉时期是中国古代桥梁的创建发展时期，此时期创造了以砖石为材料主体的拱券结构，为后来拱桥的出现创造了先决条件．如图①是位于某市中心的一座大桥，已知该桥的桥拱呈抛物线形．在正常水位时测得桥拱处水面宽度OB为40米，桥拱最高点到水面的距离为10米． 素材二：在正常水位时，一艘货船在水面上航行，已知货船的宽DE为16米，露出水面的高DG为7米．四边形DEFG为矩形，OD＝BE．现以O为原点，以OB所在直线为x轴，建立如图②所示的平面直角坐标系，将桥拱抽象为一条抛物线． （1）求此抛物线的解析式； （2）这艘货船能否安全过桥？ （3）受天气影响，水位上升0.5米，若货船露出水面的高度不变，此时该货船能否安全过桥？ 23.绿动未来——树木固碳护家园 【素材呈现】 在全球气候变暖的严峻形势下，二氧化碳排放量不断攀升已成为亟待解决的关键问题，为了中和二氧化碳排放量，我们可以采取植树造林等绿化措施．根据相关统计结果，  棵成年的阔叶树种(例如杨树)和  棵成年的针叶树种(例如冷杉)每年大约吸收  千克二氧化碳，而  棵成年的阔叶树种(例如杨树)和  棵成年的针叶树种(例如冷杉)每年大约吸收  千克二氧化碳． 【问题解决】 （1）每棵成年的阔叶树种(例如杨树)和每棵成年的针叶树种(例如冷杉)每年大约吸收的二氧化碳分别是多少千克？ （2）某环保企业计划购买成年杨树和冷杉共  棵，设购买杨树  棵，这  棵树木一年内吸收的二氧化碳总量为  千克． 求  与  的函数关系式； 杨树会产生较多的飘絮物，因此规定采购杨树的棵数不超过冷杉的一半，请设计一个采购方案，使得这  棵树木在一年内吸收的二氧化碳总量最大． 数学试卷 第页（共页） 学科网（北京）股份有限公司 $