2026年九年级数学中考复习二次函数与角度问题综合压轴题解答题专题训练

2026年 九年级数学中考复习 二次函数与角度问题综合压轴题 解答题专题训练 1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，与轴交于点，顶点为． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)如图，连接，，若在上方的抛物线上存在点，满足，求点的坐标． 2．如图，抛物线与x轴交于点A（-1，0）和B（3，0），与y轴交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，若点M为直线BC上方抛物线一动点（与点B、C不重合），作MN平行于y轴，交直线BC于点N，当线段MN的长最大时，请求出点M的坐标； (3)如图2，若P为抛物线的顶点，动点Q在抛物线上，当时，请求出点Q的坐标． 3．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为且图象经过点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图2，连接，，若抛物线上存在点，满足，求点的坐标． 4．如图1，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)为轴下方抛物线上一点，，求点坐标； (3)如图2，直线与抛物线交于，两点，直线与直线交于点，问：点是否在定直线运动，若是，求直线的解析式，若不是，请说明理由． 5．如图1，抛物线与轴相交于原点和点，直线与抛物线在第一象限的交点为点，抛物线的顶点为点． (1)求点和点的坐标； (2)当时，抛物线的取值范围是_______； (3)抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由； 6．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)连接，在抛物线上是否存在一点，使得，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图，连接，点是抛物线上第一象限内的点，连接、，交于点，当为何值时，存在唯一的点，使得，并请求出此时的点坐标． 7．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点，，点P为抛物线顶点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知C关于x轴的对称点为，连接，，，求的面积； (3)如图，将抛物线沿射线方向平移个单位得新抛物线，M是新抛物线上一点，连接，当时，直接写出符合条件的点M的横坐标，并写出求其中一个点M的横坐标的过程． 8．抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于A点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，连接，在y轴的负半轴是否存在点Q，使得？若存在，求Q点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，点P是抛物线上的一个动点，且点P在第三象限内，连接与直线交于点D，若，请求出k的取值范围． 9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、点，与轴交于点，对称轴为直线，点P、Q在此抛物线上，其横坐标分别为、． (1)求此抛物线的解析式； (2)当轴时，求的值； (3)当时，求点的坐标； (4)设此抛物线在点与点之间的部分（包括点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为，在点与点之间的部分（包括点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为．当时，直接写出的值． 10．如图，抛物线经过、，与轴交于另一点为直线上方抛物线上一动点，过点作轴于点，与相交于点．于点． (1)求抛物线的解析式； (2)求线段长度的最大值； (3)连接，是否存在点，使得中有一个角与相等？若存在，求点的横坐标；若不存在，请说明理由． 11．如图，抛物线经过点，与轴正半轴交于点，且，抛物线的顶点为，直线经过两点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点是直线上方的抛物线上的一动点，是否存在点，使的面积最大．若存在，请求出面积的最大值；若不存在，试说明理由； (3)若是抛物线上一点，且，请直接写出点的坐标． 12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴，轴分别交，，三点．其中，，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，连接，在线段上取点、，且的横坐标比的横坐标小1；过点、分别作轴的平行线，交抛物线于、两点．求的最大值及此时点的坐标； (3)连接，若是抛物线上一点，且，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 13．在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，与x轴交于A，B两点． (1)求抛物线的表达式． (2)如图，已知直线与抛物线C1交于顶点M和另一点C，连接 ．若恰好平分，求k的值． (3)点是抛物线上的两点，若P，Q之间的图象（包括点P，Q）的最高点与最低点纵坐标的差为，请直接写出t的值． 14．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，两点，与轴交于点，连接，． (1)求抛物线解析式； (2)如图1，点是直线上方且为抛物线对称轴左侧的抛物线上一动点，过点作轴，交直线于点，作轴，交抛物线于点，求的最大值以及此时点的坐标； (3)将原抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线，新抛物线的对称轴与轴交于点，新抛物线上是否存在点，使得．若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 15．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴的交点分别为，，过点、的抛物线与轴的另一个交点为，连接、． (1)求该抛物线的解析式； (2)抛物线上是否存在点，使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)是抛物线上的任意一点（不与点重合），且点的横坐标为，过点作轴于点，作轴于点，当此抛物线在矩形内部的点的纵坐标随的增大而增大时，直接写出的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026年 九年级数学中考复习 二次函数与角度问题综合压轴题 解答题专题训练》参考答案 1．(1)；； (2)． 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数与二次函数交点问题等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）将点和点坐标代入求解即可； （2）由题意可知，进而求出解析式，联立方程组求解． 【详解】（1）解：由条件可得， 解得 抛物线， 顶点； （2）解：如图， 当时，， 则， 设直线表达式为，则由题意得： ， 解得： ∴直线表达式为， 由条件可知， 设直线的解析式为， 将点的坐标代入得：， 直线的解析式为， 联立， 解得：舍或， ． 2．(1)y＝﹣x2＋2x＋3 (2)M（，） (3)Q（﹣1，0）或（5，﹣12） 【分析】（1）根据二次函数的交点式，即可求解； （2）先求出C（0，3），可得直线BC的解析式为y＝-x＋3，然后设M的坐标（m，-m2＋2m＋3），则N（m，-m＋3），再利用二次函数的性质，即可求解； （3）过点Q作QH⊥y轴于点H，连接PC，先求出点P坐标（1，4），可得PC＝，PB＝，BC＝，从而得到△PBC为直角三角形，进而得到tan∠PBC＝，然后设点Q（x，﹣x2＋2x＋3），再由，列出等式，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点A（-1，0）和B（3，0）， ∴函数的表达式为：y＝﹣（x＋1）（x﹣3）＝﹣x2＋2x＋3； （2）解：当 时， ， ∴C（0，3）， 设直线BC的解析式为 ， 把点B（3，0），C（0，3）代入得： ，解得： ， ∴直线BC的解析式为y＝-x＋3， 设M的坐标（m，-m2＋2m＋3），则N（m，-m＋3）， ∴MN＝-m2＋2m＋3-（- m＋3）＝- m2＋3m＝ -（m -）2＋， 当m ＝时，MN的长度最大， 此时M（，）； （3）如图，过点Q作QH⊥y轴于点H，连接PC， ∵ ， ∴点P坐标（1，4）， ∵点B（3，0），C（0，3）， ∴PC＝，PB＝，BC＝， ∴ ， ∴△PBC为直角三角形， ∴tan∠PBC＝， 设点Q（x，﹣x2＋2x＋3）， ∵， 则， 解得：x＝0或5或﹣1（舍去0）， 故点Q（﹣1，0）或（5，﹣12）． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，勾股定理逆定理，锐角三角函数，熟练掌握二次函数的图象和性质，勾股定理逆定理，锐角三角函数是解题的关键． 3．(1) (2)点的坐标为或． 【分析】（1）将点和点坐标代入求解即可； （2）分两种情况讨论，当点E在上方的抛物线上，当点E在下方的抛物线上，画出图形，根据∠分情况求解即可． 【详解】（1）解：由条件可得， 解得， 抛物线； （2）解：当点E在上方的抛物线上，如图， 当时，， 则， 设直线表达式为，则由题意得： ， 解得： ∴直线表达式为， 由条件可知， 设直线的解析式为， 将点的坐标代入得：， 直线的解析式为， 联立， 解得：（舍去）或， ∴点的坐标为； 当点E在下方的抛物线上，如图，设交于点G， 由条件可知， 设，则， 解得， 则， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为，联立， 解得（舍去）或， ∴点的坐标为； 综上，点的坐标为或． 4．(1) (2) (3)点在定直线上运动． 【分析】（1）将点、坐标代入即可得解； （2）设交轴于点，取点，连接，则，易证△△，可得平分，进而利用比例求出点坐标，再求直线解析式，联立二次函数解析式即可得解； （3）设点，，求出直线、的解析式，进而可得点坐标，再根据参数直接的关系，可得点横纵坐标的关系，据此得解． 【详解】（1）解：将，代入得， ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：如图，设交轴于点，取点，连接，过点F作， 则， 令，可得或， ， ， 在△和△中， ， △△， ， 平分，，， ， ， ， 设， 则有， 解得或（舍去）， ，即， 设直线解析式为， 则有， 解得， 直线解析式为， 联立， 解得（与点重合，故舍去）或， ； （3）设点，， 设直线的解析式为， ，解得， 直线的解析式为， 设直线的解析式为， ，解得， 直线的解析式为， 联立得：， 解得：， ， 联立直线与抛物线得： ， 整理得：， ，， ， ， 将代入得，      ，      ， ， 点在直线上． 【点睛】本题主要考查了二次函数解析式、二次函数与一次函数交点问题、含参的直线解析式等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 5．(1)， (2) (3)存在；， 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的图象与性质、函数与方程的关系、几何中角度相等的条件转化，涉及全等三角形和两直线平行和内错角相等；解题的关键是将角度相等的几何条件转化为代数关系． （1）联立抛物线方程与直线方程解出点坐标；将抛物线化为顶点式或利用顶点公式求出点坐标； （2）确定抛物线在的递增或递减情况，计算端点及顶点的函数值，比较得出范围； （3）当在直线上方时，构造，利用两直线平行，内错角相等，计算点坐标；当在直线下方，构造全等三角形，，计算点坐标． 【详解】（1）解：求点和点的坐标 联立：解得或 故点． 抛物线化为顶点式：， 故点． （2）抛物线开口向上，对称轴为， 当 取值范围内时，时，（最小值）； 当时，随增大而减小，时，； 当时，随增大而增大，时， 比较得：最小值为，最大值为， 故的取值范围为 ． （3）解：分两种情况讨论： ①当在直线上方时， 过点作， 设，， 解得，则 令，，点 ∵，直线与轴交于点，直线与轴交于点 ∴可将直线是直线沿方向平移（即向左平移个单位） 则 联立：解得或（舍） 故点． ②当在直线下方， ， 过点作轴于点，延长与交于 ∵ ∴为等腰直角三角形 ∴ 又∵ ∴ 即 又∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴点 设，，则 联立：，解得或（舍） 故点． 综上所述，，． 6．(1) (2)存在，点的坐标为或 (3)， 【分析】（1）把点和点代入，即可求得抛物线解析式； （2）由抛物线的函数表达式可得点的坐标，则可得、的长，在抛物线上取点，过点作轴于，则，，由题意得，则，代入即可求解； （3）过点作轴于，过点作轴于，由点、点可求得直线的解析式，设，可得直线的解析式，则可求得点的坐标，由，代入相应数值即可求解． 【详解】（1）解：把点和点代入， 得，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：存在． 如图，设，过点作轴于，则，， 由，可得，则， 由可得， 当时，则， ∴，即， 解得，， 当时，，则， 当时，，则， ∴点的坐标为或． （3）解：如图，过点作轴于，过点作轴于， 设直线的解析式为， 把、代入， 得，解得， ∴直线的解析式为， 设，直线的解析式， 把代入， 得，解得， ∴直线的解析式， 由得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，整理得， 由题意可得方程有唯一解， ∴， 解得， 当时，方程为， 解得， 当时，， ∴点的坐标为， ∴当为何值时，存在唯一的点，使得，的坐标为． 【点睛】本题属于二次函数综合问题，考查了待定系数法求二次函数解析式，一次函数解析式，二次函数的图象和性质，三角形的面积比，相似三角形的性质和判定等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，相似三角形的性质和判定是解题的关键． 7．(1) (2)9 (3)符合条件的点的横坐标为或 【分析】（1）先求解，，利用待定系数法求解函数解析式即可． （2）求解关于轴对称的点，，求解直线的解析式为，过作轴交于，则，再进一步求解即可． （3）先求解平移后，新抛物线为，如图，当在轴下方时，与平行时，． 求解直线为，进一步可得答案，如图，当在轴上方时， ．证明，可得，过作于，设，进一步求解即可． 【详解】（1）解：令，得 由，， 得，即， 将，代入，得， 解得， 抛物线的函数表达式为． （2）解：关于轴对称的点 由，得， 设直线的解析式为，将代入，得， 解得，即． 过作轴交于，则． ． （3）解：原抛物线，沿射线平移个单位， ∴抛物线向右平移1个单位，向下平移3个单位，平移后，新抛物线为， 如图，当在轴下方时，与平行，． ∵，， 同理可得：直线为， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线为 ∴， 得，即， 解得，（舍去）， ∴的横坐标为， 如图，当在轴上方时， ． ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 过作于， 设， ∴，即， 解得：，（舍去）， ∴点的横坐标为， 综上，符合条件的点的横坐标为或． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，轴对称的性质，图形面积的计算，二次函数的平移，锐角三角函数的应用，一次函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 8．(1) (2)存在， (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）当，可导角得到，由（1）可得点A坐标由勾股定理得即可求解； （3）过点P作轴垂线交直线于点E得将转化为，再利用二次函数的性质求解最值，即可求解取值范围 【详解】（1）解：将，两点代入得 ， 解得：， 抛物线解析式为：； （2）解：存在， ∵， ∴， ， ∴， ∴， 设点Q坐标为， 由（1）可知：，， ， ， ， 解得：， 故Q点的坐标为； （3）解：过点P作轴垂线交直线于点E如图： 设直线的解析式为：， 将代入得， ， 解得：， 直线的解析式为： 设点P的坐标为， ， ∴， 解得， 则E的坐标为， ∴， ， ， ， ， ， ， 当时，有最大值为， 当或时，， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数—几何综合，三角形相似的判定及性质，一次函数，勾股定理，等腰三角形的判定等知识，题目综合性强、难度较大，解题关键的正确做出辅助线及数形结合思想．为中考常考题型． 9．(1) (2) (3)点的坐标为或 (4)或 【分析】（1）将点代入解析式，由对称轴为直线得，即可求解； （2）由轴得，即可求解； （3）由勾股定理得，，，即可求解； （4）分类讨论：①当、都在直线的左侧时，②当、在对称轴两侧或其中一点在对称轴上时，③当点在直线的右侧且在直线上方时，④当点在直线的右侧且在直线下方时；即可求解． 【详解】（1）解：点，对称轴为直线， ，， 解得：， 故此抛物线的解析式； （2）解： 轴， ， ， 整理得：， 解得：，（舍去）， 故； （3）解：点P、Q在此抛物线上，其横坐标分别为、， ，， ， ， ， 当时， ， ， 解得：，； 当时，， 当时，， 点的坐标为或； （4）解：由（3）得，顶点坐标为， ①当、都在直线的左侧时， ， 解得：， ， ， ， ， 解得：，（舍去）， 的值为； ②当、在对称轴两侧或其中一点在对称轴上时，如图， ， 解得：， ， ， ， 解得：（舍去），（舍去）， 此种情况的值不存在； ③当点在直线的右侧且在直线上方时，如图， ， ， ， ， ， 解得：，（舍去）； 的值为； ④当点在直线的右侧且在直线下方时，如图， ， ， ， ， ， 解得：（舍去），（舍去）， 综上所述：的值为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，勾股定理等，能利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 10．(1) (2) (3)存在，或 【分析】（1）设抛物线解析式为，将代入，即可求出抛物线解析式； （2）设，且，设直线的解析式为，将，代入，求出直线BC的解析式，证明，得出，，即可得解； （3）由正切的定义得出，过点B作，交的延长线于点G，过点G作轴于H，分两种情况①若，②若分别求解即可． 【详解】（1）解：抛物线经过、， ， 解得， 抛物线的解析式为。 （2）解： 设直线的解析式为， 将，代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， 设，且，则， ， ∵， ∴， ∵轴， ∴轴， ∴， ∴， ∴， ， ∴当时，取得最大值，最大值是。 （3）解：存在点D，使得中有一个角与相等． ，，， ∴,，， ∴， 如图2，过点B作，交的延长线于点G，过点G作轴于H， ①若， ∴， ∵， ∴， ∵，轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴，， ∴， ∴； 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴D的横坐标为：； ②若， 则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴D的横坐标为：， ∴存在点D，使得中有一个角与相等，点D的横坐标为或． 【点睛】此题考查了二次函数的综合问题， 待定系数法求二次函数解析式，求一次函数与二次函数交点，相似三角形的判定以及性质，正切等知识，正确作出辅助线，综合运用以上知识是解题的关键． 11．(1) (2)存在点，使的面积最大，面积的最大值为 (3)或 【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，等角对等边，两点距离计算公式，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）根据点A的坐标可得的长，则可得到的长，进而得到点C的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）可求出直线的解析式为；过点P作交于E，设，则，可求出，，据此求解即可； （3）分点M在点B上方和点M在点B下方两种情况，讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵点C在y轴的正半轴， ∴； ∵抛物线经过点，与轴正半轴交于点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：设直线的解析式为， ∵，， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； 如图所示，过点P作交于E，设，则， ∴； ∵ ， ∵， ∴当，即时，的面积有最大值，最大值为； （3）解：如图所示，当点M在B上方时， ∵， ∴，即轴， ∴点M的纵坐标为， 在中，当时，解得或， ∴点M的坐标为； 如图所示，当点M在点B下方时，设直线交x轴于F， 设， ∵， ∴，即， ∴， 解得， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 联立，解得或， ∴点M的坐标为； 综上所述，点M的坐标为或． 12．(1) (2)， (3)或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出直线的解析式，设出的坐标，将转化为二次函数求最值即可； （3）分点在的上方或下方，两种情况进行讨论求解，作点关于轴的对称点，连接，易得，进而得到，推出，进而得到当点在射线上时，满足题意，求出直线的解析式，联立直线和抛物线的解析式求出一个点的坐标，作轴于点，且（E在点上方），连接，得到当点在射线上时，也满足题意，同法求出另一个点的坐标即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，，， ∴设抛物线的解析式为， 把代入，得：， ∴， ∴； （2）∵，， ∴设直线的解析式为，把代入，得：， ∴， 设，则：， ∵过点、分别作轴的平行线，交抛物线于、两点， ∴，， ∴，， ∴ ， ∴当时，的值最大为，此时，即； （3）作点关于轴的对称点，连接，则：， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴当点在射线上时，满足题意， 同（2）法可得直线的解析式为， 联立，解得：或， ∴； 作轴于点，且（E在点上方），连接，则，， ∵， ∴， ∴， ∴当点在射线上时，也满足题意； 同法可得：直线的解析式为， 联立，解得：或， ∴； 综上：或． 13．(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）根据（1）可得抛物线的表达式为，得出，求出，过点M作 轴交的延长线于点D，证明，联立抛物线和直线的表达式求出（舍去）或，即可得点，求出直线的表达式，根据轴，得出，求出点，根据，列出方程，求解即可； （3）根据（2）可知抛物线顶点为，开口向下，根据点是抛物线上的两点，得出，分三种情况：①当时，即，②当时（即），③当时（即），分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：将点和点代入， 则，解得：， ∴抛物线的表达式为． （2）解：根据（1）可得抛物线的表达式为， ∴， 令，解得：或， ∴， 过点M作轴交的延长线于点D， 则， ∵恰好平分，即， ， ， 联立抛物线和直线的表达式得：， 解得：（舍去）或， 当时，， 即点， 设直线的表达式为， 代入点的坐标得， 解得：， ∴直线的表达式为：， ∵轴，则， 当，则， 即点， ∵，由的坐标得：， 则， 解得：； （3）解：根据（2）可知抛物线顶点为，开口向下， ∵点是抛物线上的两点， ∴， 分情况讨论：①当时，即， 此时，最高点为顶点， 最低点由和的较小值决定： 若，最低点为， 差值为，即， 解得：（不在范围内，舍去）． 若，最低点为， 差值为，即， 解得：（均不符合区间条件）． ②当时（即）， 此时y随x的增大而增大，最高点为，最低点为， 差值为，即， 解得：（正值舍）． ③当时（即）， 此时y随x的增大而减小，最高点为，最低点为， 差值为，即， 解得：（负值舍）． 综上，或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，解一元二次方程，等腰三角形的判定，勾股定理，一次函数解析式求解，二次函数最值，熟练掌握以上知识点，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 14．(1) (2)有最大值6，此时. (3)或 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形的性质，解三角形，勾股定理的应用是解题的关键． （1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）先求出直线的解析式为，设点横坐标为，可得， ，进而用表示、，进而可得，由此求出当时，有最大值6，此时. （3）先求平移后的函数解析式，根据，过N点作轴交于M点， 设设，根据列方程求解即可． 【详解】（1）解：将点，两代入抛物线， ∴ 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：当时，， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 设点横坐标为，则， ， ∴， ∵ ∴抛物线的对称轴为，点、是关于对称轴为的对称， 由图可知：点在对称轴左侧时，更大， ∴， ∴ ∴， 当时，，， ∴有最大值6，此时. （3）解：∵，， ∴， ∵将原抛物线沿射线方向平移个单位，即将原抛物线右平移4个单位，向上平移2个单位， ∴新抛物线， ∴新抛物线的对称轴与轴交于点， ∵，， ∴， ∴， 过N点作轴交于M点， 设， ∴， 当在第一象限时，， 解得：（不合题意，舍去），， 此时，即 当在第四象限时，， 解得：（不合题意，舍去）， 此时，即 15．(1) (2)存在，点的坐标为或 (3)或 【分析】本题考查了二次函数的性质，全等三角形的性质与判定，矩形的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键； （1）将，，代入，待定系数法求解析式，即可求解； （2）分两种情况讨论，①在上截取，证明，得出直线与抛物线的交点即为所求点，求得直线的解析式，联立抛物线解析式，即可求解；②过作轴，过作轴，交于点，则四边形为正方形，作关于的对称点，点在上，连接，则直线与抛物线的交点即为所求点，进而得出点和点重合，即可求解； （3）根据题意画出图形，根据图象点在轴之间，即或点在点的左侧，即可求解． 【详解】（1）解：将，，代入 ∴ 解得： ∴抛物线解析式为 （2）解：存在， 当时， 解得； ∴，即， ①如图所示，在上截取， ，， ， ， ， ， 即 所以直线与抛物线的交点即为所求点 设直线 的解析式为 将，，代入得， 解得： ∴直线的解析式为 联立 解得：（舍去）或 ∴点的坐标为 ②如图所示，过作轴，过作轴，交于点，则四边形为正方形，作关于的对称点，点在上，连接，则直线与抛物线的交点即为所求点 ，， 把 代入得 点 即为所求点 综上所述，点的坐标为或 （3）解：如图，     ∵点的横坐标为，过点作轴于点，作轴于点， ∴的横坐标为， 又，， 当 ，解得：或 ∵抛物线在矩形内部的点的纵坐标随的增大而增大时， ∴点在轴之间，即或点在点的左侧 ∴或 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $