精品解析：2026年陕西西安市新城区初中学业水平考试3月阶段测评数学试题

2026年初中学业水平考试阶段测评（数学） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项符合题意） 1. 中国古代著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数，若增加四斗粮食记作，则减少9斗粮食记作（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正数和负数的意义，正负数可用来表示一对具有相反意义的量，已知增加记为正，据此即可得到减少的记法． 【详解】解：∵增加四斗粮食记作， ∴减少9斗粮食记作． 2. 右图是我们生活中常用的“空心卷纸”，其主视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．看不见的棱要用虚线表示．找到从前面看所得到的图形即可． 【详解】解：卷纸的主视图应是： ， 故选：C． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，完全平方公式，单项式除以单项式，积的乘方，据此相关运算法则进行逐项分析即可作答，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D 4. 如图，点D、E分别在线段、上，连接、，若，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据三角形外角的性质求出，然后利用三角形内角和定理求解． 【详解】解：∵，， ∴ ∵， ∴． 5. 如图，在中，，，是边上的高，的平分线交于点F，交于点E，则图中共有等腰三角形（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理以及三角形的高、角平分线，等腰三角形的判定．根据在中，，，利用三角形内角和定理，是边上的高，的平分线是可得的度数，即可判断等腰三角形有几个． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， 是等腰三角形， 是的角平分线， ， ， ， 是等腰三角形， ， ， ， 是等腰三角形， 故等腰三角形有3个， 故选：B． 6. 将直线向左平移m个单位长度，若平移后的直线经过第一、二、三象限，则m的值可以是（ ） A. 0 B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】利用“左加右减”的平移规则得到平移后的解析式，再结合一次函数图象性质求解m的范围，即可判断选项． 【详解】解：根据一次函数图象平移“左加右减”的规则，原直线向左平移个单位长度后，解析式为， 整理得， ∵平移后的直线经过第一、二、三象限，一次项系数， ∴截距， 解得， 观察选项，只有D选项符合题意． 7. 如图，是的直径，为的弦，连接，若，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，连接，先利用同弧所对的圆周角相等可得，然后利用直径所对的圆周角是直角可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余进行计算，即可解答． 详解】解：连接， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 故选：C． 8. 已知点，，都在抛物线上．若点在对称轴左侧，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的性质和二次函数图像上点的坐标特征即可得到答案． 【详解】解：抛物线，其中， 抛物线的开口向上，对称轴为：直线，当时，随的增大而减小，当时， 随的增大而增大， 点、、都在抛物线上， 关于抛物线对称轴的对称点为， 点在对称轴左侧， ， ， ， ， ． 二、填空（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 分解因式__________． 【答案】 【解析】 【分析】先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解：． 10. 若一个正多边形的每一个外角都为，则这个正多边形的中心角度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据多边形外角和为求出正多边形的边数，再计算中心角度数即可． 【详解】解：∵一个正多边形的每一个外角都为，任意多边形的外角和为． ∴这个正多边形的边数为． ∵正多边形的中心角和为． ∴这个正多边形的中心角度数为． 11. 如图，在矩形中，，，点在上，，连接并延长交的延长线于点，则的长为________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据勾股定理求出的长，进而求出的长，根据等边对等角可得，再结合对顶角相等，两直线平行，内错角相等，得到，进而得到，线段的和差关系求出的长即可． 【详解】解：矩形中，，， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 12. 已知点，都在反比例函数的图象上，且，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据点，的坐标可知，当时，，可知，解不等式可得． 【详解】解：点，都在反比例函数的图象上， ，， ， ， 解得：， ∴． 13. 如图，B、C是半径为6的半圆O上的两个点，是直径，，若图中阴影部分的面积为，则劣弧的长为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】由等边对等角可得等腰三角形的性质，，证明得出，从而得出，进而利用扇形面积公式得出，再利用弧长公式进行计算即可得出答案． 【详解】解：∵半圆半径， ∴， ∵， ∴，； ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 由图可得，， ∵， ∴， ∴ 解得， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∴劣弧的长为． 14. 如图，在菱形中，，对角线，点E、O分别在边、上，，半径为2，点P为上一动点，点Q为上一动点．当时，的长为_________． 【答案】6 【解析】 【分析】作，连接，，连接交圆于点，得到，可得共线，再利用相似三角形的判定和性质，即可解答． 【详解】解：如图，作，连接，，连接交于点， 四边形是菱形， ， ， 四边形为平行四边形， ， 半径为2， ， ， ， ，， ， ， 共线，且与重合， 此时为与的交点， ， ， ， ， ， ， ，即， ． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据负整数指数幂的运算法则、绝对值的定义、立方根的定义，把算式中各部分分别计算出来，再根据运算法则进行计算． 【详解】解： ． 16. 解方程组： 【答案】 【解析】 【分析】方程组整理后，利用加减消元法求出解即可． 【详解】解：方程组整理得：， ①+②得：6x=12， 解得：x=2， ①-②得：4y=-4， 解得：y=-1， 则方程组的解为． 【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 17. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的求解，方程两边同时乘以将分式方程化为整式方程即可求解． 【详解】解：方程两边同时乘以得： ， 整理得：， 解得：， 检验：当时，， ∴原分式方程的解为： 18. 已知：如图，四边形，E为边上一点． 求作：四边形内一点P，使，且点P到的距离相等． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查作图-复杂作图，角平分线的性质，解题的关键是掌握作角平分线和作一个角等于已知角的尺规作图方法．作的平分线，以E为顶点，为一边作，交于P，点P即为所求． 【详解】解：作的平分线，以E为顶点，为一边作，交于P，如图，点P即为所求． 19. 如图，在平行四边形中，E为边上一点，F在的延长线上，且．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据平行四边形证明，证明，即可得到结论． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ． ． 20. 如图，小刚和小红制作了两个质地均匀、可以自由转动的转盘，A盘被等分为四个扇形，上面分别标有数字1，2，4，5；B盘中圆心角为120°的扇形上面标有数字3，其余部分上面标有数字4． （1）小刚转动一次A盘，指针所指的数字为奇数的概率是_________； （2）小刚和小红用如图所示的两个转盘做游戏，游戏规则如下：分别转动两个转盘，将A盘转出的数字作为被减数，B盘转出的数字作为减数；若差为正数，则小红胜；若差为负数，则小刚胜．这个游戏对双方公平吗？请用列表或画树状图的方法说明你的理由． 【答案】（1） （2）不公平，理由见解析 【解析】 【分析】（1）找出转盘上数字中奇数的个数，再根据概率公式计算即可； （2）运用列表或画树状图的方法找出所有等可能的结果，及差为负数，差为正数的结果数，分别计算小刚获胜和小红获胜的概率，进行比较即可． 【小问1详解】 解∶转盘上数字中的奇数为1，5，共2个，因此小刚转动一次A盘，指针所指的数字为奇数的概率是． 【小问2详解】 解：这个游戏对双方不公平，理由如下： 把B盘的4平均2等分，分别记在“”，“” A B 1 2 4 5 3 1 2 0 1 0 1 ∴共有12种等可能结果，其中差为负数的有6种结果，差为正数的有4种结果， ∴P（小刚胜），P（小红胜）， ， ∴这个游戏对双方不公平． 21. 在陕西省洛南县有一右手执刀笔，左手持结绳的古人雕像，是为了纪念中华汉字造字始祖仓颉而建．因不能直接测量，小凯和同学小段想利用所学知识来测量雕像的高度．如图，小凯站在雕像（AB）旁的水平地面上D处，小段在BD之间的水平地面上放置一个平面镜并来回移动，当平面镜移动到点E时，小凯刚好在平面境内看到雕像顶端A，此时测得DE＝0.9米，小凯眼睛距地面的高度CD＝1.8米，然后小段在距离小凯4.1米的点G处用测角仪测得雕像顶端A处的仰角为40°，测角仪FG＝1.6米．已知G、D、E、B在同一水平线上，AB、CD、FG都垂直GB，请根据以上信息，求出雕像的高（AB的长）．（参考数据：sin40°＝0.64，cos40°＝0.77，tan40°＝0.84） 【答案】雕像的高为10m． 【解析】 【分析】如图，过F作FH⊥AB于H，证明四边形BGFH是矩形，可得BH＝GF＝1.6米，BG＝HF，设AB＝x米，再证明△CDE∽△ABE，利用相似三角形的性质表示BE＝0.5x，再利用tan∠AFH＝，从而解方程可得答案． 【详解】解：如图，过F作FH⊥AB于H， ∵AB⊥BG，CD⊥BG，FG⊥BG， ∴四边形BGFH是矩形， ∴BH＝GF＝1.6米，BG＝HF， 设AB＝x米， 由题意得，∠CED＝∠AEB，∠CDE＝∠ABE， ∴△CDE∽△ABE， ∴， 即， 解得：BE＝0.5x， DE＝0.9米，米， ∴HF＝BG＝GD+DE+BE＝（5+0.5x）（m）， ∵∠AFH＝40°，AH＝（x﹣1.6）m， ∴tan∠AFH＝， 解得：x≈10， 经检验：是原方程的根，且符合题意， ∴雕像的高为10m． 【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，解直角三角形的应用，掌握利用相似三角形的性质与锐角三角函数的含义解题是解题的关键． 22. 近年来，智能化和新能源越来越受到人们的追捧．为了解某新能源汽车的充电速度，某校数学兴趣小组经调查研究发现：如图，用快速充电器时，汽车电池电量（单位：）与充电时间x（单位：h）的函数图象是折线；用普通充电器时，汽车电池电量（单位：）与充电时间x（单位：h）的函数图象是线段．根据以上信息，回答下列问题： （1）普通充电器对该汽车每小时的充电量为_______，的解析式为_________； （2）求的解析式； （3）若将该汽车电池电量从充至，快速充电器比普通充电器少用多长时间？ 【答案】（1）30， （2） （3）小时 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，熟练掌握一次函数是解题的关键． （1）利用小时所充的电池电量除以即可求解；利用待定系数法求解即可； （2）利用待定系数法求解即可； （3）将代入两个函数解析式中，计算差值即可． 【小问1详解】 解：， 设函数解析式为， 将代入， ， 解得， ； 【小问2详解】 解：设（） 过点和 ， ； 【小问3详解】 解：将代入中得， 将代入中得， ． 答：快速充电器比普通充电器少用时间为小时． 23. 为了提高学生的计算能力，某中学举行了数学计算竞赛，现从七、八年级中各随机抽取15名学生的数学成绩（百分制）进行整理、描述和分析．（成绩得分用x表示，共分成4组：A．，B．，C．，D．）．下面给出部分信息： 七年级学生的数学成绩在C组中的数据为：83，84，89． 八年级抽取的学生数学成绩为：68，77，76，100，81，100，82，86，95，90，100，86，84，93，90． 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 七 87 a 98 八 b 86 100 （1）填空：_______，_______； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生计算能力较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七、八年级共1800人参加了此次竞赛活动，请估计该校七、八年级参加此次竞赛活动成绩达到90分及以上的学生有多少人？ 【答案】（1）84； （2）八年级学生计算能力较好，理由见解析 （3）780人 【解析】 【分析】（1）根据平均数、中位数的定义，进行求解可以得到a、b的值； （2）根据题目中的数据，从平均数、中位数、众数、方差来说明理由，符合实际即可； （3）利用样本估计总体，用1800乘以样本中测试成绩达到90分及以上的所占的百分比即可． 【小问1详解】 解：由直方图可知，七年级的数学成绩15个数据按从小到大的顺序排列，第8个数落在C组的第二个， ∵七年级的测试成绩在C组中的数据为：83，84，89， ∴中位数：， 由题意得，八年级的总成绩为， ∴平均数为； 【小问2详解】 解：我认为八年级学生计算能力较好， 理由：八年级竞赛成绩的平均数、中位数、众数均高于七年级，且方差小于七年级，成绩更稳定，所以从平均数的角度八年级学生计算能力较好； 【小问3详解】 解：由题意得，（人）， 答：参加此次竞赛活动成绩达到90分及以上的学生人数是780人． 24. 如图，为的直径，点和点为上异侧的两点，连接交于点，点在延长线上，连接，． （1）求证：是的切线； （2）若点为中点，，的半径为5．求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理得到，得到，求得，根据切线判定定理即可得到结论； （2）根据直角三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【小问1详解】 证明：为的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的切线； 【小问2详解】 解：点为的中点，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键． 25. 已知，拋物线过和点，与轴的另一交点为，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线关于原点对称的抛物线为，点的对称点为，在上存在点，且点在轴的上方，满足，求点的坐标． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）将点和代入抛物线，得到方程组，解得，，即可得到抛物线的解析式； （2）先求得、，计算得；由中心对称进行求解得；根据得，代入中，进行求解即可． 【小问1详解】 解：将和代入中， 得：， 解得， ； 小问2详解】 解：由（1）得， 令，得， ∴， 令得， 解得，， ， ∴， ， 由题意得，关于原点对称的抛物线为，A的对称点为， 设B的对称点为，C的对称点为， ，，， ∴设抛物线的解析式为， 将和代入得，， 解得 ∴， ∵点P在上，设， ， 解得， ∵点P在x轴上方， ∴ 则 解得，， ，． 【点睛】本题以抛物线为载体，结合待定系数法、中心对称变换与面积计算，将函数解析式求解、图形变换与方程思想融合，体现了数形结合与转化化归的核心数学思想． 26. 按要求解答： （1）如图1，直线，连接、、、，若，则______； （2）如图2，是的内接三角形，，，，求的面积． （3）如图3，某林业部门计划在一片空地上修建一个四边形阳光花园，其中，米，米，现需要修建一块三角形区域作为牡丹观赏区，要求点E在上，米，点F在上，且．请问牡丹观赏区的面积是否有最大值？若有，请求出最大值；若没有，请说明理由． 【答案】（1）5 （2） （3）存在，（平方米） 【解析】 【分析】（1）根据平行线间的距离处处相等得到和同底等高，则它们的面积相等，即可解答； （2）连接并延长交于点D，连接，，由，得到是的垂直平分线，因此，，又由得到，因此根据勾股定理求出，从而可求出，再根据三角形的面积公式即可求解； （3）由得到，作外接圆，连接并延长交于点M，连接，由得到，过点A作于H，通过解直角三角形在中求出，，进而在中求出，．过点F作于点N，则，当最大时，最大，即最大，过点O作于点，延长交于点，连接，，可得，连接，，求出，，，，即可解答． 【小问1详解】 解：∵， ∴和同底等高， ∴． 【小问2详解】 解：连接并延长交于点D，连接，， ，， ∴是的垂直平分线， ，， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ． 【小问3详解】 解：，， 作的外接圆，连接并延长交于点M，连接， ∵， 过点A作于H． ，， ∴在中，， ， ∵，， ∴， 在中， ∴在中，， ∴， ∴． 过点F作于点N， ∴当最大时，最大，即最大， 过点O作于点，延长交于点，连接， ， 为的边上高的最大值， 连接，， ， ， ∵ ， ， 在等腰中，，， 易得， ∴， 在中， （平方米）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中学业水平考试阶段测评（数学） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项符合题意） 1. 中国古代著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数，若增加四斗粮食记作，则减少9斗粮食记作（ ） A B. C. D. 2. 右图是我们生活中常用“空心卷纸”，其主视图为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，点D、E分别在线段、上，连接、，若，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，，是边上的高，的平分线交于点F，交于点E，则图中共有等腰三角形（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 6. 将直线向左平移m个单位长度，若平移后的直线经过第一、二、三象限，则m的值可以是（ ） A. 0 B. C. D. 1 7. 如图，是直径，为的弦，连接，若，则（　　） A. B. C. D. 8. 已知点，，都在抛物线上．若点在对称轴左侧，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 二、填空（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 分解因式__________． 10. 若一个正多边形的每一个外角都为，则这个正多边形的中心角度数为________． 11. 如图，在矩形中，，，点在上，，连接并延长交的延长线于点，则的长为________． 12. 已知点，都在反比例函数的图象上，且，则的取值范围是________． 13. 如图，B、C是半径为6的半圆O上的两个点，是直径，，若图中阴影部分的面积为，则劣弧的长为_________． 14. 如图，在菱形中，，对角线，点E、O分别在边、上，，半径为2，点P为上一动点，点Q为上一动点．当时，的长为_________． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 计算：． 16. 解方程组： 17. 解方程：． 18. 已知：如图，四边形，E为边上一点． 求作：四边形内一点P，使，且点P到的距离相等． 19. 如图，在平行四边形中，E为边上一点，F在的延长线上，且．求证：． 20. 如图，小刚和小红制作了两个质地均匀、可以自由转动的转盘，A盘被等分为四个扇形，上面分别标有数字1，2，4，5；B盘中圆心角为120°的扇形上面标有数字3，其余部分上面标有数字4． （1）小刚转动一次A盘，指针所指的数字为奇数的概率是_________； （2）小刚和小红用如图所示的两个转盘做游戏，游戏规则如下：分别转动两个转盘，将A盘转出的数字作为被减数，B盘转出的数字作为减数；若差为正数，则小红胜；若差为负数，则小刚胜．这个游戏对双方公平吗？请用列表或画树状图的方法说明你的理由． 21. 在陕西省洛南县有一右手执刀笔，左手持结绳的古人雕像，是为了纪念中华汉字造字始祖仓颉而建．因不能直接测量，小凯和同学小段想利用所学知识来测量雕像的高度．如图，小凯站在雕像（AB）旁的水平地面上D处，小段在BD之间的水平地面上放置一个平面镜并来回移动，当平面镜移动到点E时，小凯刚好在平面境内看到雕像顶端A，此时测得DE＝0.9米，小凯眼睛距地面的高度CD＝1.8米，然后小段在距离小凯4.1米的点G处用测角仪测得雕像顶端A处的仰角为40°，测角仪FG＝1.6米．已知G、D、E、B在同一水平线上，AB、CD、FG都垂直GB，请根据以上信息，求出雕像的高（AB的长）．（参考数据：sin40°＝0.64，cos40°＝0.77，tan40°＝0.84） 22. 近年来，智能化和新能源越来越受到人们追捧．为了解某新能源汽车的充电速度，某校数学兴趣小组经调查研究发现：如图，用快速充电器时，汽车电池电量（单位：）与充电时间x（单位：h）的函数图象是折线；用普通充电器时，汽车电池电量（单位：）与充电时间x（单位：h）的函数图象是线段．根据以上信息，回答下列问题： （1）普通充电器对该汽车每小时的充电量为_______，的解析式为_________； （2）求的解析式； （3）若将该汽车电池电量从充至，快速充电器比普通充电器少用多长时间？ 23. 为了提高学生的计算能力，某中学举行了数学计算竞赛，现从七、八年级中各随机抽取15名学生的数学成绩（百分制）进行整理、描述和分析．（成绩得分用x表示，共分成4组：A．，B．，C．，D．）．下面给出部分信息： 七年级学生的数学成绩在C组中的数据为：83，84，89． 八年级抽取的学生数学成绩为：68，77，76，100，81，100，82，86，95，90，100，86，84，93，90． 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 七 87 a 98 八 b 86 100 （1）填空：_______，_______； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生计算能力较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七、八年级共1800人参加了此次竞赛活动，请估计该校七、八年级参加此次竞赛活动成绩达到90分及以上的学生有多少人？ 24. 如图，为的直径，点和点为上异侧的两点，连接交于点，点在延长线上，连接，． （1）求证：是切线； （2）若点为的中点，，的半径为5．求的长． 25. 已知，拋物线过和点，与轴的另一交点为，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线关于原点对称的抛物线为，点的对称点为，在上存在点，且点在轴的上方，满足，求点的坐标． 26. 按要求解答： （1）如图1，直线，连接、、、，若，则______； （2）如图2，是的内接三角形，，，，求的面积． （3）如图3，某林业部门计划在一片空地上修建一个四边形阳光花园，其中，米，米，现需要修建一块三角形区域作为牡丹观赏区，要求点E在上，米，点F在上，且．请问牡丹观赏区的面积是否有最大值？若有，请求出最大值；若没有，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $