精品解析：陕西省西安市新城区西安爱知初级中学2024-2025学年九年级下学期第七次月考数学试卷

初三年级数学学科第七次月考试题 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 实数中无理数是（ ） A. B. 0 C. D. 1.732 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数，解答本题的关键掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有的数．根据无理数的定义，“无限不循环的小数是无理数”逐个分析判断即可． 【详解】解：都是有理数，是无理数． 故选：C 2. 下列图形能折叠成三棱柱的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了几何体的展开图，熟记常见几何体的展开图是解题关键． 根据三棱柱展开图的特点，可得答案． 【详解】A．该图形由两个三角形和三个矩形组成，且矩形排列方式符合三棱柱展开图的特征，即两个三角形位于展开图的两端，三个矩形相连，所以可以折叠成三棱柱，故该选项符合题意； B．此图形由一个矩形和两个圆形组成，这是圆柱的展开图特征，不能折叠成三棱柱，故该选项不符合题意； C．该图形由一个半圆形和圆形组成，无法折叠成三棱柱，故该选项不符合题意； D．此图形由多个正方形组成，是正方体的展开图特征，不能折叠成三棱柱，故该选项不符合题意； 故选：A． 3. 据网络平台数据，截至3月7日，影片《哪吒之魔童闹海》全球票房（含预售）突破146亿，位居全球影史票房榜第七名．将146亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：亿， 故选：C． 4. 如图，水面与水杯下沿平行，光线从水中射向空气时发生折射，光线变成，点在射线上，已知，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．根据水面与水杯下沿平行，则有，结合即可解答． 【详解】解：水面与水杯下沿平行， ， ， ． 故选：A 5. 如图，在中，，、分别为、边上的高，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，设，则，勾股定理求得，在中，，进而根据含30度角的直角三角形的性质得出，在中，勾股定理，即可求解． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∵、分别为、边上的高， ∴， ∴， 设，则， ∴中，， ∴， 在中，， 在中，， 故选：B． 6. 一次函数（b为常数）的图象关于y轴对称后经过点，则b的值是（ ） A. 1 B. C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与几何变换，待定系数法求一次函数的解析式，明确坐标特征是解题的关键． 根据关于轴对称的两点纵坐标相同，横坐标互为相反数得到，把点代入即可求得的值． 【详解】解：根据题意，一次函数（b为常数）的图象关于y轴对称后所求的函数解析式是． ∵所得的图象经过点， ， 解得：， 故选：A． 7. 如图，△ABC内接于⊙O，点D在劣弧AB上，∠BAD=15°，∠ACB=60o，AD＝2，则AB的长为（ 　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同弧或等弧所对的圆周角相等得到，推算出，再根据一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半得到，根据勾股定理计算出圆的半径，再根据圆周角定理推算出，进一步得到，根据直角三角形的三角函数可计算出AE，从而得到AB的值． 【详解】解：连接AO、OB、OD、CD，过点O作OE垂于AB，垂足为E， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ , ∴， ∵， ∴, 故选：D． 【点睛】本题考查圆和等腰直角三角形的性质、解直角三角形，解题的关键是熟练掌握圆周角定理． 8. 将抛物线向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线．若抛物线与轴交于、两点，抛物线的顶点记为，连接、，则的值为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质和求锐角的正切值，解题的关键是掌握二次函数的平移规则，即上加下减，左加右减 ．先根据抛物线的平移得到平移后的抛物线的表达式，并转换为顶点式，得到平移后抛物线的顶点的坐标，并计算出平移后的抛物线与轴交点坐标，过点作轴，则，进而根据正切的定义，即可求解． 【详解】解：抛物线先向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度， 平移后的解析式为， 顶点的坐标为， 令，得， 解得：或， 点，， 过点作轴，则 ∴ ∴ 故选：D． 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 比较大小______3（填“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，先估算的大小，即可解答，掌握实数的大小比较法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为： ． 10. 如图，正八边形边长为，连接，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查多边形的内角和以及正多边形的性质和矩形的性质的运用．过点H作于点P，过点G作于点Q，由多边形内角和公式得，正八边形内角和为，根据正多边形的性质，可知每个角为，再由四边形内角和，可知，则，，进而求得． 【详解】解：过点H作于点P，过点G作于点Q， 由多边形内角和公式得，正八边形内角和为， ∴每个角为， ∴ ∴，， ∴， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴． 故答案为：． 11. 如图，菱形中，，面积为60，对角线AC与BD相交于点O，过点A作，交边于点E，连接，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边的中线，解题的关键是利用菱形的性质求 出的长度．根据菱形的面积公式结合的长度即可得出、的长度，在中利用勾股定理即可求出的长度，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出结论． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴（负值已舍去）， ∴， ∴， ∴， ∴，CO＝3（舍去）． ∵AE⊥BC，， ∴． 故答案为：． 12. 某滑动变阻器的电功率与电阻满足反比例函数关系，图象如图所示．小峰同学通过两次调节电阻，发现当从增加到时，电功率减少了，则当时，________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，解题关键是利用待定系数法求出函数解析式． 先利用待定系数法求出函数解析式，再求出时，的值． 【详解】解：设， 当时，， 当时，， ∵当从增加到时，电功率减少了， ∴，解得：， ∴， 当时，（）， 故答案为：． 13. 如图，在矩形中，，，点在线段上运动，（含、两点）连接，以点为中心，将线段逆时针旋转到，连接，则线段的最小值是__________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质，解直角三角形及垂线段最短．先根据全等三角形的性质得出点的运动轨迹，再利用垂线段最短找出最小时点的位置即可解决问题． 【详解】解：以为边在右侧构造等边三角形，连接， ， ． 在和中， ， ， ， 则点在经过点且与垂直的直线上运动． 过点作垂线，垂足为， 当点在点位置时，取得最小值，即为的长． ，， ． 在中，， ， ． ∵， ． 在中，， ， 即的最小值为1． 故答案为：1． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先化简各式，再进行加减计算． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算．熟练掌握负整数指数幂，二次根式的运算法则，熟记特殊角的三角函数值，是解题的关键． 15. 化简：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查整式混合运算，完全平方公式，熟练掌握运算法则是解题的关键． 利用多项式除以单项式，完全平方公式展开，再合并同类项即可． 【详解】解：原式 ． 16. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程．先把原方程去分母变为整式方程，再解方程后检验即可得到答案． 【详解】解：两边都乘， 得：， 去括号得，, 解得：， 经检验：是原方程的根． 17. 如图，线段绕点旋转一定角度后得到线段（两端点分别与对应），请你利用直尺和圆规确定点的位置．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】作图见解析 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，线段垂直平分线的画法和性质，连接，分别作线段的垂直平分线，相交于点，由线段垂直平分线的性质可得，，故点为旋转中心，即为所求，掌握对应点到旋转中心的距离相等是解题的关键． 【详解】解：如图，点即为所求． 18. 如图：已知，，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据平行线的性质得出，再由角的等量代换得出，，利用全等三角形的判定和性质即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】题目主要考查平行线的性质及全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． 19. 为加强校园消防安全，学校计划购买某种型号的水基灭火器和干粉灭火器共50个．其中水基灭火器的单价为540元/个，干粉灭火器的单价为380元/个．若学校购买这两种灭火器的总价不超过21000元，则最多可购买这种型号的水基灭火器多少个？ 【答案】最多可购买这种型号的水基灭火器12个 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，找出数量关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．设可购买这种型号的水基灭火器个，则购买干粉灭火器个，根据学校购买这两种灭火器的总价不超过21000元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】解：设可购买这种型号的水基灭火器个，则购买干粉灭火器个， 根据题意得：， 解得：， 为整数， 取最大值为12， 答：最多可购买这种型号的水基灭火器12个． 20. 一个不透明的口袋内装有红球和蓝球共5个，它们除颜色外完全相同． （1）小知想通过试验的方法探求红球的个数，他从中任取一个球，记下颜色后放回，记为一次试验．重复这个试验．下表是进行试验时，记录的一些数据： 试验次数（） 100 200 400 500 600 1000 取出红色球的次数（） 42 88 166 200 246 402 取出红色球的频率 0.43 0.44 0.415 0.4 0.41 0.402 由表格中的信息可得：口袋中有________个红球； （2）从口袋中随机取出一个球，记下颜色后不放回，再摸出一个球，求两个球的颜色能配成紫色的概率（蓝色和红色可配成紫色）． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，也考查了利用频率估计概率，正确理解题意是解题的关键． （1）根据频率估计概率可得摸到红球的概率，再用球的总个数乘以红球的概率即可； （2）先列表得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，当实验次数足够多时，取出红色球的频率为， ∴红球个数为， 故答案为：2； 【小问2详解】 解：将2个红球分别记为“红1”、“红2”，3个蓝球分别记为“蓝1”、“蓝2”、“蓝3” 是否为紫色 红1 红2 蓝1 蓝2 蓝3 红1 否 是 是 是 红2 否 是 是 是 蓝1 是 是 否 否 蓝2 是 是 否 否 蓝3 是 是 否 否 共有20种等可能结果，其中“配成紫色”有12种 ∴（配成紫色） 21. 周末，数学实践小组的同学带着测量工具测量银川北塔湖边北塔的高度．测量方案如下：首先，在处竖立一根高的标杆，发现地面上的点、标杆顶端与宝塔顶端在一条直线上，测得；然后，移开标杆，在处放置测角仪，调整测角仪的高度，当测角仪高为时，恰好测得点的仰角为，已知，，点在一条直线上，点在一条直线上，求北塔的高． 【答案】北塔的高为 【解析】 【分析】过点作于点，根据已知条件推出，得到，即可求得． 【详解】解：过点作于点，则四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴． ∴， ，， ∴， ∴，即， ∴ ∴北塔的高为． 【点睛】本题主要考查相似三角形的应用，证明是解决本题的关键． 22. 某边防局接到情报，近海处有一可疑船只正向公海方向行驶，边防部门迅速派出快艇从海岸出发追赶（如图①）．图②中、分别表示快艇、可疑船只相对于海岸的距离（海里）与追赶时间（分）之间的关系． 根据图象回答问题： （1）求的函数表达式； （2）当逃离海岸12海里时进入公海，将无法对其进行检查，照此速度，能否在逃入公海前将其拦截？请说明理由． 【答案】（1） （2）可以逃入公海前将其拦截，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，求一次函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法，求出直线的解析式． （1）用待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求出直线的解析式为，然后联立，求出交点的横坐标为，再求出纵坐标，进行判断即可． 【小问1详解】 解：设，将，代入得： ， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：设直线的解析式为：，将代入得， 解得 ∴直线的解析式为， 联立方程组得：， 解得：， ∵， ∴可以在逃入公海前将其拦截． 23. 某校组建了射击兴趣小组，甲、乙两人连续8次射击成绩如图所示． 根据统计图信息，整理分析数据如下表： 平均成绩（环） 中位数（环） 方差（环2） 甲 7.5 1.25 乙 7 3 （1）表格中的值为________； （2）求表格中的值； （3）根据以上统计数据，你认为甲、乙两人谁的成绩更好？并说明理由． 【答案】（1）7.5 （2）7 （3）甲的成绩更好，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了折线统计图、平均数、中位数、方差等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）根据中位数的定义计算即可解决问题； （2）根据平均数的定义计算即可解决问题； （3）根据平均数、中位数和方差分析求解即可． 【小问1详解】 解：将乙的成绩从小到大排列为：4，5，6，7，8，8，9，9 位于最中间的两个数是7，8 ∴中位数的值为； 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解：甲的成绩更好，理由为： ∵甲、乙的平均成绩和中位数均相等，甲的方差比乙小， ∴甲成绩比较稳定， 故甲的成绩更好． 24. 如图，在中，，延长至点，以为直径作，交延长线于点，过点作的切线交的延长线于点． （1）求证：； （2）若的半径为5，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查的是切线的性质、解直角三角形，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． (1)连接，根据切线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据对顶角相等得到，根据等角的余角相等得到，证明； (2)连接，解直角三角形求出、，根据勾股定理求出，证明，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算得到答案． 【小问1详解】 证明：连接 ∵与相切于点， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ， ∴， ∴ ， ∴． 【小问2详解】 连接， ∵是的直径， ∴， 在中 ， ∴ 由勾股定理得， 在中，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴． 25. 3月12日，某中学隆重举行了2025届中考百日誓师大会．学校为学生们搭建了一个拱形的“理想门”，其形状为抛物线．已知拱门的底部宽度为6米（即米），最高点距地面4.5米．如图所示，以为原点，所在的直线为轴建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的表达式； （2）拱门两侧各悬挂一条彩带，书写着“百日拼搏勤砺剑”、“誓师中考勇夺魁”．若彩带、的高为2米，求两条彩带之间的水平距离为多少米？ 【答案】（1） （2）米 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是： （1）设，把点A的坐标代入求解即可； （2）把代入（1）中所求表达式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得：，， 设， 代入，得， ∴， ∴ 【小问2详解】 解：当时，， 解得，， ∴， 答：两条彩带之间的水平距离为米． 26. 综合与实践 问题探究： （1）如图1，已知等边的边长为4，则的外接圆的半径为________． （2）如图2，四边形是正方形，点、分别在、边上，、交于点，且．试探究与有怎样的位置关系，并说明理由． 问题解决： （3）如图3，某城市有一块空地，经测量是边长为300米的等边三角形，城市规划部门准备把这块空地建成一个公园，边已建成栅栏，规划部门准备在和上再修建一段300米的栅栏、（即），连接、交于点，在点处修建一个凉亭，过、、修建一个弧形慢跑道，慢跑道的成本为800元/米，求修建弧形跑道的最少费用． 【答案】（1）；（2），见解析；（3）元 【解析】 【分析】（1）作直径，连接，根据等边三角形性质求出，根据圆周角定理求出，解直角三角形求出即可； （2）利用证明，推出，即可得到； （3）利用证明，推出，求得，，当长最小时，最小，此时弧长最小，设，则，过点作于点，则，利用勾股定理列式得到，则当时，的最小值为，据此求解即可． 【详解】解：（1）如图，作直径，连接， ∵等边内接于，为直径， ∴，， ∵， ∴， ∴的半径是， 故答案为：； （2）答：， 理由如下：∵四边形为正方形， ∴，， 又∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）∵为等边三角形且边长为300米， ∴米，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 连接，作的外接圆，连接、， 则， ∴， 设， ∴，弧的长度为， ∴当长最小时，最小，此时弧长最小， ∵， ∴设，则， 过点作于点，则， ∴，， ∴， ∴在中， ， ∴当时，的最小值为， ∴的最小值为， ∴， ∴的最小值为， ∴修建弧形跑道的最小费用为元． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，正方形的性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，弧长公式，二次函数的性质等知识，熟练掌握相关知识点和添加合适的辅助线是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三年级数学学科第七次月考试题 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 实数中无理数是（ ） A B. 0 C. D. 1.732 2. 下列图形能折叠成三棱柱的是（ ） A. B. C. D. 3. 据网络平台数据，截至3月7日，影片《哪吒之魔童闹海》全球票房（含预售）突破146亿，位居全球影史票房榜第七名．将146亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，水面与水杯下沿平行，光线从水中射向空气时发生折射，光线变成，点在射线上，已知，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，、分别为、边上的高，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 一次函数（b为常数）的图象关于y轴对称后经过点，则b的值是（ ） A. 1 B. C. 5 D. 7. 如图，△ABC内接于⊙O，点D在劣弧AB上，∠BAD=15°，∠ACB=60o，AD＝2，则AB的长为（ 　） A. B. C. D. 8. 将抛物线向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线．若抛物线与轴交于、两点，抛物线的顶点记为，连接、，则的值为（ ） A. B. C. D. 3 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 比较大小______3（填“”或“”）． 10. 如图，正八边形边长为，连接，则________． 11. 如图，菱形中，，面积为60，对角线AC与BD相交于点O，过点A作，交边于点E，连接，则______． 12. 某滑动变阻器的电功率与电阻满足反比例函数关系，图象如图所示．小峰同学通过两次调节电阻，发现当从增加到时，电功率减少了，则当时，________． 13. 如图，在矩形中，，，点在线段上运动，（含、两点）连接，以点为中心，将线段逆时针旋转到，连接，则线段的最小值是__________． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 计算：． 15. 化简：． 16. 解方程：． 17. 如图，线段绕点旋转一定角度后得到线段（两端点分别与对应），请你利用直尺和圆规确定点的位置．（不写作法，保留作图痕迹） 18. 如图：已知，，．求证：． 19. 为加强校园消防安全，学校计划购买某种型号的水基灭火器和干粉灭火器共50个．其中水基灭火器的单价为540元/个，干粉灭火器的单价为380元/个．若学校购买这两种灭火器的总价不超过21000元，则最多可购买这种型号的水基灭火器多少个？ 20. 一个不透明的口袋内装有红球和蓝球共5个，它们除颜色外完全相同． （1）小知想通过试验的方法探求红球的个数，他从中任取一个球，记下颜色后放回，记为一次试验．重复这个试验．下表是进行试验时，记录的一些数据： 试验次数（） 100 200 400 500 600 1000 取出红色球的次数（） 42 88 166 200 246 402 取出红色球的频率 0.43 0.44 0.415 0.4 041 0402 由表格中的信息可得：口袋中有________个红球； （2）从口袋中随机取出一个球，记下颜色后不放回，再摸出一个球，求两个球颜色能配成紫色的概率（蓝色和红色可配成紫色）． 21. 周末，数学实践小组的同学带着测量工具测量银川北塔湖边北塔的高度．测量方案如下：首先，在处竖立一根高的标杆，发现地面上的点、标杆顶端与宝塔顶端在一条直线上，测得；然后，移开标杆，在处放置测角仪，调整测角仪的高度，当测角仪高为时，恰好测得点的仰角为，已知，，点在一条直线上，点在一条直线上，求北塔的高． 22. 某边防局接到情报，近海处有一可疑船只正向公海方向行驶，边防部门迅速派出快艇从海岸出发追赶（如图①）．图②中、分别表示快艇、可疑船只相对于海岸的距离（海里）与追赶时间（分）之间的关系． 根据图象回答问题： （1）求的函数表达式； （2）当逃离海岸12海里时进入公海，将无法对其进行检查，照此速度，能否在逃入公海前将其拦截？请说明理由． 23. 某校组建了射击兴趣小组，甲、乙两人连续8次射击成绩如图所示． 根据统计图信息，整理分析数据如下表： 平均成绩（环） 中位数（环） 方差（环2） 甲 7.5 1.25 乙 7 3 （1）表格中的值为________； （2）求表格中的值； （3）根据以上统计数据，你认为甲、乙两人谁的成绩更好？并说明理由． 24. 如图，在中，，延长至点，以为直径作，交的延长线于点，过点作的切线交的延长线于点． （1）求证：； （2）若的半径为5，，，求的长． 25. 3月12日，某中学隆重举行了2025届中考百日誓师大会．学校为学生们搭建了一个拱形的“理想门”，其形状为抛物线．已知拱门的底部宽度为6米（即米），最高点距地面4.5米．如图所示，以为原点，所在的直线为轴建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的表达式； （2）拱门两侧各悬挂一条彩带，书写着“百日拼搏勤砺剑”、“誓师中考勇夺魁”．若彩带、的高为2米，求两条彩带之间的水平距离为多少米？ 26 综合与实践 问题探究： （1）如图1，已知等边的边长为4，则的外接圆的半径为________． （2）如图2，四边形是正方形，点、分别在、边上，、交于点，且．试探究与有怎样的位置关系，并说明理由． 问题解决： （3）如图3，某城市有一块空地，经测量是边长为300米的等边三角形，城市规划部门准备把这块空地建成一个公园，边已建成栅栏，规划部门准备在和上再修建一段300米的栅栏、（即），连接、交于点，在点处修建一个凉亭，过、、修建一个弧形慢跑道，慢跑道的成本为800元/米，求修建弧形跑道的最少费用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $