精品解析：2022年4月辽宁省大连市甘井子区弘文中学九年级数学中考模拟试卷

2022年4月辽宁省大连市甘井子区弘文中学九年级数学中考模拟试卷 1. 下列各数中， 的相反数的倒数是（ ） A. 4 B. −4 C. D. 2. 如图，是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，从左面看这个立体图形的形状图是（　 ） A. B. C. D. 3. 某地区户籍人口3141000人，则该市户籍人口数据用科学记数法可表示为（　　） A. 3.141×104人 B. 3.141×105人 C. 3.141×106人 D. 3.141×107人 4. 如图，在 中，，， 平分， 交 于点E，则（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 秦始皇兵马俑博物馆拟招聘一名优秀讲解员，张力的笔试、试讲、面试三轮测试成绩分别为90分、94分、92分．综合成绩中笔试占50%、试讲占30%、面试占20%，那么张力的最后得分为（　　） A. 91分 B. 91.6分 C. 92分 D. 93分 7. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 在疫情期间，口罩的需求量急剧上升.某口罩生产企业四月份生产了口罩200000只， 如果要在第二季度总共生产728000只口罩，设生产口罩月平均增长的百分率为 ，则可根据题意列出的方程是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在 中，，将 绕点 按逆时针方向旋转得到，若点刚好落在 边上，且，则 的度数为（　） A. B. C. D. 10. 已知反比例函数，则下列说法正确的为（ ） A. 随 的增大而增大 B. 图象分别位于一、三象限 C. 图象经过点 D. 若图象经过点，，则 11. 不等式的解集是______． 12. 在平面直角坐标系中，将点(﹣2，5)向左平移4个单位长度后得到的点的坐标为___________． 13. 抛掷一枚质地均匀的硬币2次，2次抛掷的结果都是正面朝上的概率是____． 14. 《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？译文：若人坐一辆车，则两辆车是空的；若 人坐一辆车，则人需要步行，问：人与车各多少？根据题意，设共有 人，辆车，则可列方程组______． 15. 如图，菱形纸片ABCD中，∠A=60°，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP(P为AB的中点)所在的直线上，得到经过点D的折痕DE，若菱形边长为1，则点E到CD的距离为_____. 16. 计算： 17. 如图，已知，点在线段 上，与 交于点 ，且．求证： ． 18. 某超市对甲、乙两种商品进行打折销售，其中甲种商品打八折，乙种商品打七五折，已知打折前，买 件甲种商品和件乙种商品需元；打折后，买件甲种商品和 件乙种商品需元． （1）打折前甲、乙两种商品每件分别为多少元？ （2）某人购买甲种商品 件，乙种商品 件问打折后购买这些商品比不打折可节省多少元？ 19. 文明交流互鉴是推动人类文明进步和世界和平发展的重要动力．2019年5月“亚洲文明对话大会”在北京成功举办，引起了世界人民的极大关注．某市一研究机构为了了解10～60岁年龄段市民对本次大会的关注程度，随机选取了100名年龄在该范围内的市民进行了调查，并将收集到的数据制成了尚不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图，如下所示： 组别 年龄段 频数（人数） 第1组 5 第2组 第3组 35 第4组 20 第5组 15 （1）请直接写出 　 　，　 　，第3组人数在扇形统计图中所对应的圆心角是　 　度． （2）请补全上面的频数分布直方图； （3）假设该市现有10～60岁的市民300万人，问40～50岁年龄段的关注本次大会的人数约有多少？ 20. 如图，某编辑部办公楼（矩形 ）前有一建筑物（矩形），建筑物垂直于地面，在办公楼底A处测得建筑物顶的仰角为37°，在办公楼天台B处测得建筑物的俯角为45°，已知办公楼高度 为14m，求建筑物的高度 ．（参考数据） 21. 已知， 是 的直径，与 相切于点，点C在 上，且 两点位于 异侧，，连接． （1）如图1，求证：平分 ； （2）如图2，若，求 的半径． 22. 某水果店销售某种水果，由历年市场行情可知，从第月至第 月，这种水果每千克售价（元）与销售时间第 月之间存在如图（一条线段）所示的变化趋势，每千克成本（元）与销售时间第 月之间存在如图 （一段抛物线）所示的变化趋势． （1）分别求函数和的表达式； （2）销售这种水果，第几月每千克所获得利润最大？最大利润是多少？ 23. 如图，在 中，cm，动点P从点C出发沿着的方向以的速度向终点A运动，另一动点Q同时从点A出发沿着 方向以的速度向终点C运动，P、Q两点同时到达各自的终点，设运动时间为t（s）．的面积为． （1）求 的长； （2）求S与t的函数关系式，并写出的取值范围； （3）当t为多少秒时，以P、C、Q为顶点的三角形和 相似？ 24. 已知等腰三角形 ，，，． （1）如图1，当 时， ①探究 与 之间的数量关系； ②探究 ， 与 之间的关系（用含α的式子表示）． （2）如图2，当时，探究 ， 与 之间的数量关系（用含k，α的式子表示）． 25. 已知函数，将此函数的图象记为G． （1）当 时， ①直接写出此函数的函数表达式； ②在图象G上，求点P的坐标； ③当 时，求的取值范围； （2）设图象 最低点的纵坐标为，当时，直接写出的取值范围； （3）矩形MNPQ的顶点坐标分别为、，若图象 落在矩形MNPQ内部的部分图象所对应的函数值随 的增大而增大时，直接写出的取值范围； （4）矩形ABCD的顶点坐标分别为，若函数，在范围内的图象与矩形ABCD的边有且只有一个公共点，求m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022年4月辽宁省大连市甘井子区弘文中学九年级数学中考模拟试卷 1. 下列各数中， 的相反数的倒数是（ ） A. 4 B. −4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数；倒数的定义：乘积为的两个数互为倒数；进行解答即可． 【详解】解： 的相反数是，的倒数是， ∴ 的相反数的倒数是， 故选：C． 2. 如图，是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，从左面看这个立体图形的形状图是（　 ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】从左面看有2列，左边一列有3层，右边一列有1层． 【详解】解：A．是从左面看到的图形，符合题意； B．是从前面看到的图形，故不符合题意； C．不是该几何体看到的图形，故不符合题意； D．是从上面看到的图形，故不符合题意． 故选A． 【点睛】本题考查了从不同方向看几何体，良好的空间想象能力是解答本题的关键． 3. 某地区户籍人口3141000人，则该市户籍人口数据用科学记数法可表示为（　　） A. 3.141×104人 B. 3.141×105人 C. 3.141×106人 D. 3.141×107人 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【详解】解：3141000=3.141×106， 故选：C． 【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 4. 如图，在 中，， ， 平分， 交于点E，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义以及平行线的性质，由三角形内角和定理可得出，由角平分线的定义可得出，最后根据平行线的性质可得出答案． 【详解】解：∵， ， ∴， ∵ 平分， ∴， ∵ ， ∴， 故选：C． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方等知识点进行判定即可． 【详解】解：A. ，选项计算错误，不符合题意； B. ，选项计算正确，符合题意； C．，选项计算错误，不符合题意； D. ，选项计算错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】此题考查了整式的运算，涉及的知识有：合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 6. 秦始皇兵马俑博物馆拟招聘一名优秀讲解员，张力的笔试、试讲、面试三轮测试成绩分别为90分、94分、92分．综合成绩中笔试占50%、试讲占30%、面试占20%，那么张力的最后得分为（　　） A. 91分 B. 91.6分 C. 92分 D. 93分 【答案】B 【解析】 【分析】由张力的笔试、试讲、面试三轮测试成绩分别为90分、94分、92分，再分别乘以各自的权重，再求和即可得到答案． 【详解】解：张力的最后得分为：90×50%+94×30%+92×20%=91.6（分）， 故选：B． 【点睛】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义． 7. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用二次根式的加减运算法则以及二次根式的除法运算法则、二次根式的性质分别化简，进而判断得出答案． 【详解】解：A．，无法合并，故此选项不合题意； B．，故此选项符合题意； C．，故此选项不合题意； D．，故此选项不合题意． 8. 在疫情期间，口罩的需求量急剧上升.某口罩生产企业四月份生产了口罩200000只， 如果要在第二季度总共生产728000只口罩，设生产口罩月平均增长的百分率为 ，则可根据题意列出的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意生产口罩月平均增长的百分率为 ，四月份生产了口罩200000只，第二季度总共生产728000只口罩，由此列出方程即可． 【详解】解：设生产口罩月平均增长的百分率为 ， 四月份生产了口罩200000只， 五月份生产了口罩只， 六月份生产了口罩只， 又在第二季度四、五、六3个月总共生产了728000只口罩， 列式为：． 故选：D． 【点睛】此题考查一元二次方程的实际应用问题，属于增长率问题，根据题意列出等式是解决本题的关键． 9. 如图，在 中，，将 绕点按逆时针方向旋转得到，若点刚好落在 边上，且，则 的度数为（　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，灵活运用这些的性质解决问题是本题的关键．由旋转的性质可得，，由等腰三角形的性质可得，，由三角形的外角性质和三角形内角和定理可求解． 【详解】解：， ， ， 将 绕点按逆时针方向旋转得到， ，， ， ， ， ， ， 故选：C． 10. 已知反比例函数，则下列说法正确的为（ ） A. 随 的增大而增大 B. 图象分别位于一、三象限 C. 图象经过点 D. 若图象经过点，，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数图象的性质对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、，图象在第二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大，故本选项说法错误； B、，图象在第二、四象限，故本选项说法错误； C、当时，，则图象经过点(-1，3)，故本选项说法错误； D、当时，，则；当时，，则； ∴ ，故本选项说法正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，当k＜0时，图象在第二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大；熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征和反比例函数图象和性质是解答此题的关键． 11. 不等式的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据解不等式的步骤解出不等式的解集即可 【详解】解： 故答案为： 【点睛】本题考查一元一次不等式的解集，正确解不等式是关键 12. 在平面直角坐标系中，将点(﹣2，5)向左平移4个单位长度后得到的点的坐标为___________． 【答案】(-6，5) 【解析】 【分析】把点（﹣2，5）的横坐标减4，纵坐标不变得到点（﹣6，5）平移后的对应点的坐标． 【详解】解：将点（﹣2，5）向左平移4个单位长度后得到的点的坐标为（﹣6，5）． 故答案为（﹣6，5）． 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中点的平移知识点，准确判断是解题的关键． 13. 抛掷一枚质地均匀的硬币2次，2次抛掷的结果都是正面朝上的概率是____． 【答案】 【解析】 【分析】列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可． 【详解】共有正反，正正，反正，反反4种可能， 则2次抛掷的结果都是正面朝上的概率为． 故答案为． 14. 《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？译文：若人坐一辆车，则两辆车是空的；若 人坐一辆车，则人需要步行，问：人与车各多少？根据题意，设共有 人，辆车，则可列方程组______． 【答案】 【解析】 【分析】设共有 人，辆车，根据“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步”，即可得出关于 ，的二元一次方程组，即可求解． 【详解】解：设共有x人，y辆车，根据题意得 ， 故答案为：． 15. 如图，菱形纸片ABCD中，∠A=60°，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP(P为AB的中点)所在的直线上，得到经过点D的折痕DE，若菱形边长为1，则点E到CD的距离为_____. 【答案】 【解析】 【分析】连接BD，过E作EH垂直于CD于点H．由菱形的性质及∠A=60°，得到三角形ABD为等边三角形，P为AB的中点，利用三线合一得到DP为角平分线，得到∠ADP=30°，∠ADC=120°，∠C=60°，进而求出∠PDC=90°，由折叠的性质得到∠CDE=∠PDE=45°．再设EH=x,表示出DH,CH，列出方程求解即可得． 【详解】解：连接BD，过E作EH垂直于CD于点H． 四边形ABCD为菱形，∠A=60°， ∴△ABD为等边三角形，∠ADC=120°，∠C=60°， ∵P为AB的中点， ∴DP为∠ADB的平分线，即∠ADP=∠BDP=30°， ∴∠PDC=90°， ∴由折叠的性质得到∠CDE=∠PDE=45°，设EH=x, 则DH=EH=x, ∠C=60°，则∠CEH=30°，EC=2CH, 由勾股定理可得：， ∵DH+CH=CD=1, ∴，解得 即点E到CD的距离为．  16. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】首先将分子分母能因式分解的进行因式分解，然后进行约分，最后进行加减计算. 【详解】解：原式= = = 【点睛】本题考查分式的混合运算，先将能因式分解的部分进行因式分解，然后约分化简，再计算加减法，掌握运算法则是是关键. 17. 如图，已知，点在线段 上，与 交于点 ，且．求证： ． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质证明三角形全等是解题的关键，判定两个三角形全等的一般方法有：．注意：、不能判定两个三角形全等； 由“”可证，可得 ． 【详解】证明：， ，即． ， 和 都是直角三角形． 在与中， ， ． ． 18. 某超市对甲、乙两种商品进行打折销售，其中甲种商品打八折，乙种商品打七五折，已知打折前，买 件甲种商品和件乙种商品需元；打折后，买件甲种商品和 件乙种商品需元． （1）打折前甲、乙两种商品每件分别为多少元？ （2）某人购买甲种商品 件，乙种商品 件问打折后购买这些商品比不打折可节省多少元？ 【答案】（1）打折前甲种商品每件 元，乙种商品每件元；（2）3640元 【解析】 【分析】（1）设打折前甲种商品每件 元，乙种商品每件元，根据“ 件甲种商品和件乙种商品需元；打折后，买件甲种商品和 件乙种商品需元”列方程组求解即可； （2）用不打折的钱数减去打折后的钱数即可． 【详解】解：（1）设打折前甲种商品每件 元，乙种商品每件元， 根据题意，得， 解这个方程组，得， 所以打折前甲种商品每件 元，乙种商品每件元； （2）（元）， 所以打折后购买这些商品比不打折可节省元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，仔细审题，找出题目的已知量和未知量，设两个未知数，并找出两个能代表题目数量关系的等量关系，然后列出方程组求解即可． 19. 文明交流互鉴是推动人类文明进步和世界和平发展的重要动力．2019年5月“亚洲文明对话大会”在北京成功举办，引起了世界人民的极大关注．某市一研究机构为了了解10～60岁年龄段市民对本次大会的关注程度，随机选取了100名年龄在该范围内的市民进行了调查，并将收集到的数据制成了尚不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图，如下所示： 组别 年龄段 频数（人数） 第1组 5 第2组 第3组 35 第4组 20 第5组 15 （1）请直接写出　 　，　 　，第3组人数在扇形统计图中所对应的圆心角是　 　度． （2）请补全上面的频数分布直方图； （3）假设该市现有10～60岁的市民300万人，问40～50岁年龄段的关注本次大会的人数约有多少？ 【答案】（1）25，20，126； （2）补全的频数分布直方图如图所示； （3）40～50岁年龄段的关注本次大会的人数约有60万人． 【解析】 【分析】（1）随机选取总人数减去其他组人数即可得到a，第4组人数除以调查总人数即可得到答案；第3组人数所占百分比乘以360度，即可得到答案； （2）由（1）值， 有25人，即可得到答案； （3）300万乘以调查40～50岁年龄段的百分比可得答案. 【详解】（1） ， ， 第3组人数在扇形统计图中所对应的圆心角是： ， 故答案为25，20，126； （2）由（1）值， 有25人， （3） （万人）， 答：40～50岁年龄段的关注本次大会的人数约有60万人． 【点睛】本题考查扇形统计图和条形统计图，解题的关键是熟练读出扇形统计图和条形统计图的信息. 20. 如图，某编辑部办公楼（矩形 ）前有一建筑物（矩形），建筑物垂直于地面，在办公楼底A处测得建筑物顶的仰角为37°，在办公楼天台B处测得建筑物的俯角为45°，已知办公楼高度为14m，求建筑物的高度 ．（参考数据） 【答案】建筑物的高度 约为 【解析】 【分析】设，过点M作于点P，则，四边形是矩形，则，，证，再由锐角三角函数定义得，然后由得，解方程即可． 【详解】解：设， 过点M作于点P，如图所示： 则，四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得： ， 即建筑物的高度 约为 ． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 21. 已知，是的直径，与相切于点，点C在上，且 两点位于异侧，，连接． （1）如图1，求证：平分； （2）如图2，若，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2）的半径为5 【解析】 【分析】（1）连接 ，利用圆周角定理即可证明； （2）连接，过点A作 于点G，在等腰 中，利用勾股定理求得 的值，则可得 的长，再由勾股定理求得 的长，最后由勾股定理即可求解． 【小问1详解】 证明：连接 ，如图1， ∵与相切于点 ， ∴， ∵ ， ∴ ， 即， ∵， ∴， ∴平分； 【小问2详解】 解：连接，过点A作 于点G，如图2， 由（1）知 ， ∴， ∴ ， 即 为等腰直角三角形， 由勾股定理得， 由勾股定理得， ∵， ∴由勾股定理得， 即的半径为5． 22. 某水果店销售某种水果，由历年市场行情可知，从第月至第 月，这种水果每千克售价（元）与销售时间第 月之间存在如图（一条线段）所示的变化趋势，每千克成本（元）与销售时间第 月之间存在如图 （一段抛物线）所示的变化趋势． （1）分别求函数和的表达式； （2）销售这种水果，第几月每千克所获得利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）； （2）销售这种水果，第4个月每千克所获得利润最大，最大利润是 元/千克 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）设第 月每千克所获得的利润为 （元 ，根据题意构造二次函数，用二次函数的最值思想求解即可． 【小问1详解】 解：由题意设， 将，代入，得： ，解得， ； 设， 将代入，得： ， 解得， ， 函数和的表达式分别为，； 【小问2详解】 解：设第 月每千克所获得的利润为 （元 ，由题意得： ， 当 时， 有最大值，． 销售这种水果，第4个月每千克所获得利润最大，最大利润是 元/千克． 【点睛】本题考查了待定系数法确定函数的解析式，二次函数的最值，熟练掌握待定系数法，灵活构造二次函数是解题的关键． 23. 如图，在中，cm，动点P从点C出发沿着的方向以的速度向终点A运动，另一动点Q同时从点A出发沿着 方向以的速度向终点C运动，P、Q两点同时到达各自的终点，设运动时间为t（s）．的面积为． （1）求 的长； （2）求S与t的函数关系式，并写出的取值范围； （3）当t为多少秒时，以P、C、Q为顶点的三角形和相似？ 【答案】（1） cm； （2）； （3）时，以P、C、Q为顶点的三角形和相似． 【解析】 【分析】（1）根据P、Q两点同时到达各自的终点知，，设cm，则cm，利用勾股定理列方程即可得出答案； （2）分或两种情形，分别表示出S与t的函数解析式； （3）当时，点P在 上，分或两种情形，根据相似三角形的性质可得答案，当时，点P在上，只有时，则 ，通过验证发现不存在． 【小问1详解】 解：根据P、Q两点同时到达各自的终点知， ， 设cm，则cm， 由勾股定理得，， ∴ ， ∴ cm； 【小问2详解】 解：当时，； 当时，作于点H， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上：； 【小问3详解】 解：当时，点P在 上， 当时， ∴， ∴， 解得； 当时， ∴， ∴， 解得（舍去）； 当时，点P在上， 则时， ， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， 故这种情形不成立， 综上：时，以P、C、Q为顶点的三角形和相似． 【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，化动为静，运用分类讨论思想是解题的关键． 24. 已知等腰三角形 ，，，． （1）如图1，当时， ①探究 与 之间的数量关系； ②探究 ， 与 之间的关系（用含α的式子表示）． （2）如图2，当时，探究 ， 与 之间的数量关系（用含k，α的式子表示）． 【答案】（1）①；②； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、解直角三角形、三角形相似等综合知识，解题的关键是构造三角形相似． （1）①作交 于H，推导，，从而，从而求得；②由①，推出 ，，作于I，，进一步求得． （2）由（1）的同样的方法，由特殊推出一般，方法不变． 【小问1详解】 ①作交 于H， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴点A、G、E、F共圆， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴； ②由上得， ，， ∴， 作于I， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 作交CG的延长线于H，作于I， 由（1）得，， ∴点A、G、F、E四点共圆， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴． 25. 已知函数，将此函数的图象记为G． （1）当 时， ①直接写出此函数的函数表达式； ②在图象G上，求点P的坐标； ③当 时，求的取值范围； （2）设图象最低点的纵坐标为，当时，直接写出 的取值范围； （3）矩形MNPQ的顶点坐标分别为、，若图象落在矩形MNPQ内部的部分图象所对应的函数值随 的增大而增大时，直接写出 的取值范围； （4）矩形ABCD的顶点坐标分别为，若函数，在范围内的图象与矩形ABCD的边有且只有一个公共点，求m的取值范围． 【答案】（1）①；②；③或 （2） （3）或 （4）或或或 【解析】 【分析】（1）①将 代入函数解析式即可； ②将点代入中即可求解； ③分两种情况讨论：当时，，当时，， （2）分两种情况讨论：当时，，当时，，当时，，解得；当时，，此时不满足题意；当时，，解得；当时，图象无最低点； （3）画出函数图象，分两种情况讨论：当时，当 点在图象上时，解得，当 点在图象上时，，则时，图象落在矩形内部的部分图象所对应的函数值随 的增大而增大；当时，当 点在图象上时，，当点在图象上时，则时，图象落在矩形内部的部分图象所对应的函数值随 的增大而增大； （4）画出函数图象，分两种情况讨论：当时，当时，此时矩形 边与图象在内与矩形 的边始终有两个公共点，，不符合题意；当时，当图象与 有交点时，当时，图象在内与矩形 的边有一个交点；当时，当，图象与矩形的边始终有交点，时，图象在内与矩形 的边有一个交点；当 时，，函数经过定点，，当，时，时，图象在内与矩形 的边有一个交点；时，图象在内与矩形 的边有一个交点． 【小问1详解】 解：① ， ； ②将代入中， ， ； ③当时，， 此时， 当时，， 此时， 综上所述，或； 【小问2详解】 解：当时，，当时，， 当时，， ， 解得或， ； 当时，，此时不满足题意； 当时，， ， 解得； 当时，图象无最低点； 综上所述：； 【小问3详解】 解：当时，当 点在图象上时，， 解得（舍 或（舍 或， 当 点在图象上时，， 解得（舍 或， 时，图象落在矩形内部的部分图象所对应的函数值随 的增大而增大； 当时，当 点在图象上时，， 解得或（舍 ， 当点在图象上时，， 解得（舍 或， 时，图象落在矩形内部的部分图象所对应的函数值随 的增大而增大； 综上所述：或时，图象落在矩形内部的部分图象所对应的函数值随 的增大而增大； 【小问4详解】 解：当时，如图3， 当时，即时，此时， ， ， 图象的最低点在直线 下方， 此时矩形 边与图象在内与矩形 的边始终有两个公共点，，不符合题意； 当时，即 时，如图4， 当图象与 有交点时，， 解得或（舍 ， 当时，图象在内与矩形 的边有一个交点； 当时，如图5， 当，即时， 图象与矩形的边始终有交点， 时，图象在内与矩形 的边有一个交点 如图6，当 时，，此时， ，函数经过定点，， 当时，， 当时，， 当，时，时，图象在内与矩形 的边有一个交点； 的对称轴为直线， 当， 时，， 解得 或（舍 或， 当时，， 时，图象在内与矩形 的边有一个交点； 综上所述：或或或时，图象在内与矩形 的边有一个交点． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，会画分段函数的图象，数形结合，分类讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $