精品解析：重庆市万盛经济技术开发区溱州中学2021-2022学年九年级下学期开学考试数学试题

溱州中学教育集团2021-2022学年度下期九年级规范化训练（一） 数学试题 一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑． 1. 的绝对值是（ ） A. 8 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了绝对值，正数的绝对值等于它本身；负数的绝对值等于它的相反数；0的绝对值等于0. 根据正数的绝对值等于它本身；负数的绝对值等于它的相反数；0的绝对值等于0，可得答案． 【详解】解：的绝对值是8． 故选：A． 2. 下列新能源汽车的标志，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案． 【详解】解：A、不是中心对称图形，故本选项不合题意； B、不是中心对称图形，故本选项不合题意， C、不是中心对称图形，故本选项不合题意； D、是中心对称图形，故选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了中心对称图形，熟记定义是解答本题的关键． 3. 下列计算，正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别根据同底数幂乘除法、合并同类项、幂的乘方法则计算各选项，即可判断出正确结果． 【详解】解：A、根据同底数幂乘法法则，同底数幂相乘底数不变指数相加， ，计算错误； B、根据合并同类项法则，同类项合并时系数相加减，字母和指数不变， ，计算错误； C、根据同底数幂除法法则，同底数幂相除底数不变指数相减， ，计算正确； D、根据幂的乘方法则，幂的乘方底数不变指数相乘， ，计算错误． 4. 如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，已知BO：OE＝2：1，则△ABC与△DEF的面积比是（　　） A. 9：1 B. 4：1 C. 3：1 D. 2：1 【答案】B 【解析】 【分析】根据位似图形的位似比等于相似比，相似相似三角形的面积比等于相似比的平方，进而得到答案． 【详解】△ABC与△DEF位似， BO：OE＝2：1， 故选：B． 【点睛】本题考查的是位似图形的概念和性质，掌握位似图形的概念、相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 5. 如图，内接于圆O，是圆O的直径，若，则等于( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同弧所对圆周角相等得到，根据直径所对的圆周角是直角得到，根据直角三角形两锐角互余，得到． 【详解】解：∵， ∴， ∵是圆O的直径， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理及推论．熟练掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，半圆（或直径）所对的圆周角是直角，直角三角形两锐角互余，是解决问题的关键． 6. 估计的运算结果应在哪两个连续自然数之间（　　） A. 2和3 B. 3和4 C. 4和5 D. 5和6 【答案】C 【解析】 【分析】先利用二次根式乘法法则化简原式，再估算无理数的范围，即可得出结果所在的区间． 【详解】解：∵ ， ∴ 原式， ∵ ，即 ， ∴ 不等式两边同时加2得，， 因此运算结果在4和5两个连续自然数之间． 7. 如图，点B，F，C，E共线，∠B=∠E，BF=EC，添加一个条件，不能判断△ABC≌△DEF的是（ ） A. AB=DE B. ∠A=∠D C. AC=DF D. AC∥FD 【答案】C 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定与性质逐一分析即可解题． 【详解】解：BF=EC， A. 添加一个条件AB=DE， 又 故A不符合题意； B. 添加一个条件∠A=∠D 又 故B不符合题意； C. 添加一个条件AC=DF ，不能判断△ABC≌△DEF ，故C符合题意； D. 添加一个条件AC∥FD 又 故D不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查添加条件使得三角形全等即全等三角形的判定，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 8. 甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面20m高的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升10s．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y（单位：m）与无人机上升的时间x（单位：s）之间的关系如图所示．下列说法正确的是（ ） A. 5s时，两架无人机都上升了40m B. 10s时，两架无人机的高度差为20m C. 乙无人机上升的速度为8m/s D. 10s时，甲无人机距离地面的高度是60m 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意结合图象运用待定系数法分别求出甲、乙两架无人机距离地面的高度y（米）和上升的时间x（分）之间的关系式，进而对各个选项作出判断即可． 【详解】解：设甲的函数关系式为，把(5，40)代入得：，解得， ∴， 设乙的函数关系式为，把(0，20) ，(5，40)代入得： ，解得， ∴， A、5s时，甲无人机上升了40m，乙无人机上升了20m，不符合题意； B、10s时，甲无人机离地面80m， 乙无人机离地面60m，相差20m，符合题意； C、乙无人机上升的速度为m/s，不符合题意； D、10s时，甲无人机距离地面的高度是80m． 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，涉及的知识有：待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质，读懂图形中的数据是解本题的关键． 9. 如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N．若四边形MOND的面积是1，则AB的长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先证明，再证明四边形MOND的面积等于，的面积，继而解得正方形的面积，据此解题． 【详解】解：在正方形ABCD中，对角线BD⊥AC， 又 四边形MOND的面积是1， 正方形ABCD的面积是4， 故选：C． 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 10. 《九章算术》中有这样一个题：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”译文：“今有5只雀、6只燕，分别放在一起而且用称称重，5只雀总重量比6只燕的总重量要重．若交换一只雀、一只燕，它们重量相等．5只雀、6只燕重量为1斤．问每1只雀、燕各重多少斤？”设每一只雀的重量为x斤，每一只燕的重量为y斤，则可建立方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据“交换一只雀、一只燕，它们重量相等，5只雀和6只燕重量为1斤”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：依题意，得：， 即． 故选：C． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 11. 若整数a使关于x的分式方程的解为正整数，且使关于y的不等式组有解，则满足条件的整数a的值之积是（　　） A. ﹣4 B. 0 C. 16 D. 64 【答案】A 【解析】 【分析】先解分式方程，根据分式方程的解为正整数且不为增根确定a的初步范围，再解不等式组，根据不等式组有解确定a的取值范围，最后找出所有符合条件的整数a计算乘积即可． 【详解】解：先解分式方程， 方程两边同乘得：， 整理得：， ∴， ∵分式方程的解为正整数，且（分母不为0）， ∴，且， ∴，且，且为不等于4的正偶数，即为偶数， 再解不等式组， 解不等式， 两边同乘3得：， 解得：， 解不等式， 两边同乘得：， 解得：， ∵不等式组有解， ∴解集的公共部分存在，即， 综上，整数满足，为偶数，， 可得符合条件的为，， ∴满足条件的整数的值之积为． 12. 二次函数图象如图，下列结论：①；②，且，则；③；④当时，．其中正确的有（　　） A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ①④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据对称轴判断①，根据对称性判断②，特殊点判断③，最值判断④． 【详解】解：由图象可知，抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴，故①正确； ∵，即，且， ∴关于对称轴对称， ∴，故②错误； 由图象可知，当时，函数值小于0， ∵和关于对称轴对称， ∴时的函数值小于0，即，故③错误； ∵抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，，即．故④正确． 综上，正确的只有①④． 二、填空题：（本大题4个小题，每小题4分，共16分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上 13. _________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据对应运算法则分别求出两项的值. 再根据有理数加法法则计算结果即可． 解题的关键在于正确掌握负整数指数幂和零指数幂的运算法则． 【详解】解： ． 14. 在网络课程学习中，韩梅和李雷分别在《数学与天文》、《数学与绘画》、《数学与游戏》中随机选择一门，两人恰好选中同一门课程的概率为____． 【答案】 【解析】 【分析】画树状图，展示所有9种等可能的结果数，找出符合条件的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】把《数学与天文》、《数学与绘画》、《数学与游戏》分别记为A、B， 画树状图如图： 共有9个等可能的结果，韩梅和李雷两人恰好选中同一门课程的结果有3个， ∴韩梅和李雷两人恰好选中同一门课程的概率为 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法:利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m,然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率． 15. 在平行四边形中，为上一点，，，，以为圆心，为半径画弧与交于点，并刚好经过点，则阴影部分面积为________（结果保留π）． 【答案】 【解析】 【分析】先利用平行四边形性质得出，结合判断为等边三角形，得到；再通过作高计算等边三角形的高，进而求出扇形和的面积，最后用扇形面积减三角形面积得到阴影部分面积． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 过作于， 在中，，， ， ， ， ． 16. 金鹏手机专卖店以相同的价格购进A、B两种手机，并将A、B两种手机分别按利润率和定价销售．一段时间后，分别售出各自总进货量的和，此时，A、B两种手机的营业额之比为．为迎接店庆十周年，商店决定将B种手机降价销售，A种手机价格不变，最终全部售完，已知A、B两种手机的总利润之比为，则B种手机在降价销售时的利润率为_______． 【答案】 【解析】 【分析】设进价与A，B两种手机的总进货量，先根据已售部分的营业额之比得到A，B进货量的关系，再根据总利润之比列方程即可求解B降价后的利润率． 【详解】解：设每部手机进价为，A种手机总进货量为，B种手机总进货量为，B种手机降价销售时的利润率为， 由题意，A的定价为，B的定价为， 根据已售出部分营业额比为，列方程得：， 约去后化简得：，即，即， A种手机价格不变，全部售完后总利润为：， B种手机总利润分两部分计算：， 根据总利润比为，列方程得：， 将代入，约去得：，即， 交叉相乘计算得：，解得， 则B种手机在降价销售时的利润率为． 三、解答题：（本大题8个小题，共76分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡中对应的位置上 17. 化简： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用平方差公式和完全平方公式去括号，再合并求解，即可解题； （2）先计算括号内异分母分式减法，再利用分式的除法法则计算求解，即可解题． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 如图，山顶上有一个信号塔，已知信号塔高米，在山脚下点处测得塔底的仰角，塔顶的仰角．求山高(点在同一条竖直线上)． (参考数据： ) 【答案】75米 【解析】 【分析】设山高CD=x米，先在Rt△BCD中利用三角函数用含x的代数式表示出BD，再在Rt△ABD中，利用三角函数用含x的代数式表示出AD，然后可得关于x的方程，解方程即得结果． 【详解】解：设山高CD=x米，则在Rt△BCD中，，即， ∴， 在Rt△ABD中，，即， ∴， ∵AD－CD=15， ∴1.2x－x=15，解得：x=75． ∴山高CD=75米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握三角函数的知识是解题的关键． 19. 在四边形中，，，． （1）用尺规作的平分线（基本作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的情形下，设的平分线交于点，连接，猜想四边形是哪种特殊的平行四边形？并证明你的猜想． 【答案】（1）见详解； （2）四边形是菱形，证明见详解． 【解析】 【分析】（1）根据要求作出图形即可； （2）根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可． 【小问1详解】 解：如图，射线即为所求作； 【小问2详解】 四边形是菱形，证明如下： ， ， 平分， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． 20. 钟南山院士谈到防护新型冠状病毒肺炎时说：“我们需要重视防护，但也不必恐慌，尽量少去人员密集的场所，出门戴口罩，在室内注意通风，勤洗手，多运动，少熬夜．”某社区为了加强社区居民对新型冠状病毒肺炎防护知识的了解，通过微信群宣传新型冠状病毒肺炎的防护知识，并鼓励社区居民在线参与作答《2020年新型冠状病毒防治全国统一考试（全国卷）》试卷，社区管理员随机从甲、乙两个小区各抽取20名人员的答卷成绩，并对他们的成绩（单位：分）进行统计、分析，过程如下： 收集数据： 甲小区：85，80，95，100，90，95，85，65，75，85，90，90，70，90，100，80，80，90，95，75 乙小区：80，60，80，95，65，100，90，85，85，80，95，75，80，90，70，80，95，75，100，90 整理数据： 成绩（分） 甲小区 乙小区 分析数据： 统计量 平均数 中位数 众数 甲小区 乙小区 应用数据： （1）填空： ， ， ， ； （2）若甲小区共有人参与答卷，请估计甲小区成绩大于分的人数； （3）根据以上数据， （填“甲”或“乙”）小区对新型冠状病毒肺炎防护知识掌握得更好，理由 ． 【答案】（1）8；5；90；82.5 （2）200人 （3）甲，甲小区的平均数高于乙小区，掌握更好 【解析】 【分析】（1）根据所给数据可直接得出a、b的值，再根据众数和中位数的定义可得c、d的值； （2）用总人数乘以样本中甲小区成绩大于90分的人数所占比例； （3）从平均数、中位数和众数三方面均可得出甲小区比乙小区掌握的更好． 【小问1详解】 解：甲小区之间数据有85，90，85，85，90，90，90，90，共有8个 ∴， 甲小区之间数据有95，100，95，100，95，共有5个 ∴， ∵90出现了5次，出现的次数最多， ∴； 把乙小区的数据从小到大排列，第10、11个数是80、85， 则中位数是； 【小问2详解】 解：根据题意得： （人）， 答：估计甲小区成绩大于90分的人数有200人； 【小问3详解】 解：甲小区； 理由：甲小区的平均数、众数、中位数的成绩都大于乙小区，故甲小区对新型冠状病毒肺炎防护知识掌握更好． 21. 已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于点和点， （1）求这两个函数的表达式； （2）求的面积； （3）观察图象，直接写出时自变量x的取值范围； 【答案】（1），； （2）； （3）或． 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法即可解决问题； （2）直线与y轴交于点，根据即可解决问题； （3）根据时，反比例函数图象在一次函数图象上方，写出自变量取值范围即可． 【小问1详解】 解：把点代入，得到， ∴， 把点代入得到，， 把和点代入得到 ，解得， ∴； 【小问2详解】 解：令则 ∴直线与y轴交于点， ∴； 【小问3详解】 解：由图象可知得成立的自变量x的取值范围：或． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数图象的交点，待定系数法，解题的关键是利用待定系数法求解析式． 22. 为响应国家号召，帮助农副产品走出大山，“村头”电商平台将咸蛋和豆腐乳进行网上销售．咸蛋售价为4元/袋，豆腐乳售价为5元/袋，5月份咸蛋的销量比豆腐乳的销量多1200袋，五月份咸蛋的总销售额为豆腐乳总销售额的两倍． （1）5月份咸蛋和豆腐乳的销售量分别为多少袋？ （2）6月份咸蛋售价比5月份降低了，销量比5月份增加了．豆腐乳的销量比5月份增加了，售价保持不变，结果咸蛋和豆腐乳6月份的总销售额比5月份增加，求a的值． 【答案】（1）5月份咸蛋的销售量为2000袋，豆腐乳的销售量为800袋 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，准确掌握题中的等量关系是解题的关键． （1）设5月份豆腐乳的销售量为袋，则咸蛋的销售量为，根据等量关系列出一元一次方程进行计算即可； （2）根据题意得到6月份咸蛋售价为，销量为：， 豆腐乳的销量为，列出计算式即可得到答案． 【小问1详解】 解：设5月份豆腐乳的销售量为袋，则咸蛋的销售量为， 由题意得：， 解得， 咸蛋的销售量为袋， 答：5月份咸蛋的销售量为2000袋，豆腐乳的销售量为800袋； 【小问2详解】 解：6月份咸蛋售价为，销量为：， 豆腐乳的销量为， 由题意可得：， 解得． 23. 阅读下列材料，解决材料后的问题： 【材料1】对于任意一个多位数，如果它的各位数字之和除以一个正整数n所得的余数与它自身除以这个正整数n所得的余数相同，我们就称这个多位数是n的“余同数”．例如：对于多位数2714，，且，则2714是3的“余同数”； 【材料2】对于任意两个多位数A，B，若A除以正整数n所得的余数与B除以正整数n所得的余数相同，则A与B的差一定能被n整除． （1）判断3142是否是5的“余同数”，并说明理由； （2）若一个三位数是7的“余同数”，它的百位数字与十位数字之和小于9，个位数字比百位数字大1，求所有符合条件的三位数． 【答案】（1）不是，理由见解析；（2）132；263；324；516；708． 【解析】 【分析】（1）用3142除以5找出其余数，再将3142各数字相加除以5找出其余数，比较后即可得出结论； （2）设该三位数为M，它的百位数字为a，十位数字为b，则个位数字为（a+1），M的各位数字之和为N，分别表示出M、N，根据M-N是7的倍数，分析即可得出结论． 【详解】解：（1）3142不是5的“余同数”，理由如下： ∵， ∴3142不是5的“余同数”． （2）设该三位数为M，它的百位数字为a，十位数字为b，则个位数字为（a+1），M的各位数字之和为N， ∴M=100a+10b+a+1=101a+10b+1，N=a+b+a+1=2a+b+1， ∴M-N=99a+9b=9(11a+b) 由题意可知，M-N是7的倍数， ∴11a+b是7的倍数， ∵a+b＜9 ∴a=1,b=3；a=2,b=6；a=3,b=2；a=5,b=1；a=7,b=0； ∴符合条件的三位数有132；263；324；516；708． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，读懂题意弄明白“余同数”的概念是解题的关键． 24. 如图1所示，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于和两点，与轴交于点；直线经过点，． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点是抛物线上位于第二象限的一个动点，求四边形面积的最大值及此时点的坐标； （3）如图2，将原抛物线向射线方向平移个单位长度得到抛物线，点为轴上一动点，抛物线上是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）四边形的最大面积为，此时点的坐标为 （3）存在满足条件的点，点的坐标为或或 【解析】 【分析】（1）先通过直线求出与坐标轴交点、，将两点坐标代入抛物线解析式，得到关于、的方程组，解方程组求得、，即可确定抛物线表达式； （2）先求出抛物线与轴另一交点，算出面积，将四边形面积拆分为；设动点坐标，将面积转化为关于横坐标的二次函数，配方后结合取值范围，即可求出面积最大值及对应点坐标； （3）先根据的方向和平移距离，确定抛物线向右、向上各平移个单位，求出平移后解析式；分两类讨论：①为平行四边形的边，利用对边平行且相等的性质求解；②为对角线，利用对角线互相平分的中点公式求解，最终汇总所有符合条件的点坐标即可． 【小问1详解】 解：直线与轴交于点、与轴交于点， 令，得；令，得； ∴、， 将、代入抛物线，得 ， 解得 ， ∴抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：∵抛物线与轴交于、两点， ∴令，得， 解得 ，， ∴， ∴， ∵，垂直轴， ∴， ∵，​为固定值， ∴要使四边形面积最大，只需最大， 设第二象限内抛物线上的点，过点作垂直轴，交直线于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，抛物线开口向下，且， ∴当​时，四边形面积取得最大值， 将代入点纵坐标，得， ∴四边形的最大面积为，此时点的坐标为； 【小问3详解】 解：存在满足条件的点， ∵直线的解析式为，直线与轴夹角为， ∴沿射线方向平移时，水平方向（轴）与竖直方向（轴）的平移距离相等， 设向右平移个单位，竖直向上平移个单位，平移总距离为， 由勾股定理得 ， 解得， ∴抛物线整体向右平移个单位、向上平移个单位， ∵原抛物线为，顶点为， ∴平移后抛物线的顶点为，即， ∴平移后的抛物线解析式为， 已知、，点在轴上，设，点在抛物线​上，分两种情况讨论： 情况1：为平行四边形的边， ∵平行四边形对边平行且相等，在轴上，， ∴且，即、纵坐标相等，横坐标差的绝对值为， ∵N的横坐标为， ∴的横坐标为或， ①当的横坐标为时： ∵在​上， ∴把代入，得 ， ∴， ∵、纵坐标相等， ∴，即； ②当的横坐标为时： 把代入，得 ， ∴， ∵、纵坐标相等， ∴，即； 情况2：为平行四边形的对角线， ∵平行四边形对角线互相平分， ∴的中点与的中点完全重合， ∵、， ∴的中点坐标为，即， ∵、，的中点为， ∴，， 解得，， 即， ∵在上， ∴把代入，得 ， ∴， 解得， 即； 综上，存在满足条件的点，点的坐标为或或． 【点睛】求四边形面积的最大值，把不规则四边形拆成“固定面积的 动态面积的”，化繁为简，用铅垂高把斜三角形面积，直接转化为动点坐标的纵坐标差，完美避开复杂几何计算，是二次函数面积最值的通用通法；平行四边形存在性问题，必须先分“为边”、“ 为对角线”两类，这是避免漏解的核心，再用“对边平行且相等”、“对角线互相平分（中点公式）”，把几何性质直接转化为坐标计算，不用画图硬凑，是此类问题的标准解题逻辑． 四、解答题：（本大题1个小题，共10分）解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤 25. 在中，，以点A为旋转中心，将边逆时针旋转一定角度，得到线段，使，交于点G，过点C作交于点F． （1）若，求的长； （2）求证：； （3）点M是边上一动点，在线段上存在一点N，使的值最小时，的长为m，请直接用含m的式子表示的最小值． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）如图1中，过点B作于M，过点D作于N．证明四边形是矩形，求出，可得结论． （2）如图1中，延长交的延长线于T，连接，证明得到，根据三角形的外角的性质，求出，进而推出，得到，再证明，根据线段的和差关系可得结论． （3）将绕点B逆时针旋转得到，连接．则，是等边三角形，可得，因为，所以当P，Q，N，A共线时，的值最小，推出，求出，可得结论． 【小问1详解】 解：如图1中，过点B作于M，过点D作于N，则，， ∵，， ∴，， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 证明：如图1中，延长交的延长线于T，连接， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 由（1）可知：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：如图2，将绕点B逆时针旋转得到，连接，．则，，，是等边三角形， ∴，，，， ∵， ∴当P，Q，N，A共线时，的值最小为的长，如图， 此时， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 溱州中学教育集团2021-2022学年度下期九年级规范化训练（一） 数学试题 一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑． 1. 的绝对值是（ ） A. 8 B. C. D. 2. 下列新能源汽车的标志，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算，正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，已知BO：OE＝2：1，则△ABC与△DEF的面积比是（　　） A. 9：1 B. 4：1 C. 3：1 D. 2：1 5. 如图，内接于圆O，是圆O的直径，若，则等于( ) A. B. C. D. 6. 估计的运算结果应在哪两个连续自然数之间（　　） A. 2和3 B. 3和4 C. 4和5 D. 5和6 7. 如图，点B，F，C，E共线，∠B=∠E，BF=EC，添加一个条件，不能判断△ABC≌△DEF的是（ ） A. AB=DE B. ∠A=∠D C. AC=DF D. AC∥FD 8. 甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面20m高的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升10s．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y（单位：m）与无人机上升的时间x（单位：s）之间的关系如图所示．下列说法正确的是（ ） A. 5s时，两架无人机都上升了40m B. 10s时，两架无人机的高度差为20m C. 乙无人机上升的速度为8m/s D. 10s时，甲无人机距离地面的高度是60m 9. 如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N．若四边形MOND的面积是1，则AB的长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 10. 《九章算术》中有这样一个题：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”译文：“今有5只雀、6只燕，分别放在一起而且用称称重，5只雀总重量比6只燕的总重量要重．若交换一只雀、一只燕，它们重量相等．5只雀、6只燕重量为1斤．问每1只雀、燕各重多少斤？”设每一只雀的重量为x斤，每一只燕的重量为y斤，则可建立方程组为（ ） A. B. C. D. 11. 若整数a使关于x的分式方程的解为正整数，且使关于y的不等式组有解，则满足条件的整数a的值之积是（　　） A. ﹣4 B. 0 C. 16 D. 64 12. 二次函数图象如图，下列结论：①；②，且，则；③；④当时，．其中正确的有（　　） A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ①④ 二、填空题：（本大题4个小题，每小题4分，共16分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上 13. _________． 14. 在网络课程学习中，韩梅和李雷分别在《数学与天文》、《数学与绘画》、《数学与游戏》中随机选择一门，两人恰好选中同一门课程的概率为____． 15. 在平行四边形中，为上一点，，，，以为圆心，为半径画弧与交于点，并刚好经过点，则阴影部分面积为________（结果保留π）． 16. 金鹏手机专卖店以相同的价格购进A、B两种手机，并将A、B两种手机分别按利润率和定价销售．一段时间后，分别售出各自总进货量的和，此时，A、B两种手机的营业额之比为．为迎接店庆十周年，商店决定将B种手机降价销售，A种手机价格不变，最终全部售完，已知A、B两种手机的总利润之比为，则B种手机在降价销售时的利润率为_______． 三、解答题：（本大题8个小题，共76分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡中对应的位置上 17. 化简： （1）； （2）． 18. 如图，山顶上有一个信号塔，已知信号塔高米，在山脚下点处测得塔底的仰角，塔顶的仰角．求山高(点在同一条竖直线上)． (参考数据： ) 19. 在四边形中，，，． （1）用尺规作的平分线（基本作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的情形下，设的平分线交于点，连接，猜想四边形是哪种特殊的平行四边形？并证明你的猜想． 20. 钟南山院士谈到防护新型冠状病毒肺炎时说：“我们需要重视防护，但也不必恐慌，尽量少去人员密集的场所，出门戴口罩，在室内注意通风，勤洗手，多运动，少熬夜．”某社区为了加强社区居民对新型冠状病毒肺炎防护知识的了解，通过微信群宣传新型冠状病毒肺炎的防护知识，并鼓励社区居民在线参与作答《2020年新型冠状病毒防治全国统一考试（全国卷）》试卷，社区管理员随机从甲、乙两个小区各抽取20名人员的答卷成绩，并对他们的成绩（单位：分）进行统计、分析，过程如下： 收集数据： 甲小区：85，80，95，100，90，95，85，65，75，85，90，90，70，90，100，80，80，90，95，75 乙小区：80，60，80，95，65，100，90，85，85，80，95，75，80，90，70，80，95，75，100，90 整理数据： 成绩（分） 甲小区 乙小区 分析数据： 统计量 平均数 中位数 众数 甲小区 乙小区 应用数据： （1）填空： ， ， ， ； （2）若甲小区共有人参与答卷，请估计甲小区成绩大于分的人数； （3）根据以上数据， （填“甲”或“乙”）小区对新型冠状病毒肺炎防护知识掌握得更好，理由 ． 21. 已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于点和点， （1）求这两个函数的表达式； （2）求的面积； （3）观察图象，直接写出时自变量x的取值范围； 22. 为响应国家号召，帮助农副产品走出大山，“村头”电商平台将咸蛋和豆腐乳进行网上销售．咸蛋售价为4元/袋，豆腐乳售价为5元/袋，5月份咸蛋的销量比豆腐乳的销量多1200袋，五月份咸蛋的总销售额为豆腐乳总销售额的两倍． （1）5月份咸蛋和豆腐乳的销售量分别为多少袋？ （2）6月份咸蛋售价比5月份降低了，销量比5月份增加了．豆腐乳的销量比5月份增加了，售价保持不变，结果咸蛋和豆腐乳6月份的总销售额比5月份增加，求a的值． 23. 阅读下列材料，解决材料后的问题： 【材料1】对于任意一个多位数，如果它的各位数字之和除以一个正整数n所得的余数与它自身除以这个正整数n所得的余数相同，我们就称这个多位数是n的“余同数”．例如：对于多位数2714，，且，则2714是3的“余同数”； 【材料2】对于任意两个多位数A，B，若A除以正整数n所得的余数与B除以正整数n所得的余数相同，则A与B的差一定能被n整除． （1）判断3142是否是5的“余同数”，并说明理由； （2）若一个三位数是7的“余同数”，它的百位数字与十位数字之和小于9，个位数字比百位数字大1，求所有符合条件的三位数． 24. 如图1所示，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于和两点，与轴交于点；直线经过点，． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点是抛物线上位于第二象限的一个动点，求四边形面积的最大值及此时点的坐标； （3）如图2，将原抛物线向射线方向平移个单位长度得到抛物线，点为轴上一动点，抛物线上是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 四、解答题：（本大题1个小题，共10分）解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤 25. 在中，，以点A为旋转中心，将边逆时针旋转一定角度，得到线段，使，交于点G，过点C作交于点F． （1）若，求的长； （2）求证：； （3）点M是边上一动点，在线段上存在一点N，使的值最小时，的长为m，请直接用含m的式子表示的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $