2025-2026学年人教版八年级数学下学期第一阶段综合检测卷（测试范围：第一章至第二章）

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026学年八年级数学下学期第一阶段综合检测卷 全解全析 （满分：150分 测试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：人教版新教材八年级下册第一章至第二章。 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．根据我国数学典籍《周髀算经》记载，在约公元前11世纪，人们就知道了勾股定理．下列各组数中，“是勾股数”的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．若有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．如图，中，，若，则正方形和正方形的面积和为（    ） A． B． C． D． 4．下列式子中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 5．在中，，若，，则的值是（    ） A．10 B． C． D．4.8 6．下列运算正确的是（  ） A． B． C． D． 7．如图，在长方形中，，．将此长方形沿所在的直线折叠，使点D与点B重合，则的长为（   ） A．3 B． C． D．5 8．估计的值应在（   ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 9．在中，，，分别以B、C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于E、F两点，连接直线，分别交、于点M、N，连接，则的周长为（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 10．如图是一个长，宽，高分别是，，的长方体无盖盒子，已知一根木棒长为，且通过计算发现，能放入此木棒的无盖盒子的规格是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 11．已知实数p，q在数轴上对应点的位置如图所示，则化简的结果是（    ） A． B． C． D． 12．口袋公园是指面向公众开放、规模较小、具有一定游憩功能的公园绿化活动场地．为了满足市民对“推窗见绿、出门入园”美好生活的向往，佛山已建成口袋公园超300个，占全省总量的，为“绿美广东”建设贡献了力量．佛山市园林部门计划将三块小绿地整合成一个如图所示的长方形口袋公园．已知正方形和正方形的面积分别为，则该口袋公园的总面积为（    ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。 13．计算：________． 14．《九章算术》中有个关于门和竹竿的问题：今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，斜之适出．问户高几何？译文：现有一扇门，不知道门的高度和门的宽度是多少，现有一支竹竿，不知竹竿的长短是多少．横着放竹竿比门宽多出4尺，竖着放竹竿比门高多出2尺，斜着放恰好与门的对角线一样长，如图．设门的对角线长为x尺，可列方程为______． 15．已知，则代数式的值是____． 16．如图，在中，，，点D为的中点，点E为边上一点，将沿翻折，点A的对应点为，当点落在边上时，的值为________． 三、解答题：本题共9小题，共98分。其中，17题至21题10分，22题至25题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．计算： (1) (2) 18．如图所示，池底某点反射的光从水中斜射向空气时会发生偏折，人眼看去，就会感觉点的位置升高到处，即池水看起来比实际的浅，这是光的折射现象．已知，，三点共线，，，，，池水看起来变浅了多少？（即求的长度） 19．已知，求下列各式的值 (1) (2) 20．某居民小区有一块形状为矩形的绿地，绿地的长为，宽为，现要在矩形绿地中修建一个矩形花坛（即图中阴影部分），矩形花坛的长为，宽为． (1)矩形的周长是多少？ (2)除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为8元的地砖，要铺完整个通道，求购买地砖需要花费多少元？ 21．如图，四边形中，，为对角线，于点E，已知，，，． (1)请判断的形状并说明理由； (2)求线段的长． 22．如图1，把两个面积为1的小正方形沿着对角线剪开，将所得的四个直角三角形拼在一起，就得到一个大正方形． (1)求小正方形对角线的长度； (2)把正方形放在数轴上，如图2，使得C与重合，D在数轴上表示的数为m，求的值． 23．【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：； ． 【类比归纳】 (1)小华仿照小明的方法将化成了，则__________，__________． (2)请运用小明的方法化简． 24．阅读与思考 下面是小颖同学数学笔记中的内容，请认真阅读并完成相应的任务． 构造和差对偶式解决复杂代数问题对偶法，是一种通过发现和构造在代数结构上具有某种对称关系的一对或者一组式子，然后对这些式子进行恰当的运算进而获得结论的数学方法．有时，我们可以根据问题中代数式的结构，构造形如和的和差对偶形式．具体探究如下： 探究：例题：已知，求的值． 解：我们从这个式子的结构出发，构造（为实数）的对偶式． ． 应用：…… 任务： (1)材料中的例题解答过程中体现的一个数学思想是___________． A．分类讨论思想    B．转化思想    C．数形结合思想 (2)已知，请根据材料中构造和差对偶式的思路，求的值． (3)已知，求的值． 25．阅读理解：美丽的弦图中蕴含着四个全等的直角三角形．如图1，弦图中包含了一大一小两个正方形，每个直角三角形较长直角边为，较短直角边为，斜边长，用面积法得到直角三角形三边长之间的一个重要结论：． (1)如图1，已知：．求证． 下面是小颖的证明过程，请把空缺处补充完整： 证明：四个直角三角形全等，且， 正方形的边长为　　　　　， ，且（等面积法）， 　　　　　+　　　　　 ． (2)如图2，四边形是直角梯形，，其中．求证：． (3)将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的“数学风车”，若，，外围轮廓（图中实线部分）的总长度为52，求这个风车图案的面积． 试题 第1页（共4页 ） 试题 第2页（共4页 ） 试题 第1页（共4页 ） 试题 第2页（共4页 ） 学科网（北京）股份有限公司 $2026学年八年级数学下学期第一阶段综合检测卷 参考答案 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有 项是符合题目要求的。 2 3 4 8 10 11 12 B D D C A A C B B D B B 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。 13.10 14.(x-2)2+(x-4)2=x2 15.1 16.5 三、解答题：本题共9小题，共8分。其中，17题至21题10分，22题至25题12分，解 答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. 【详解】(1)解：V27-V12+V得 =35-25+ =45；(5分) (2)解： Ex5+(5+2)(5-2) 24 =+(5+2)(5-2) =贤+3-2 =5+1.(10分) 18. 【详解】解：：AB⊥OB, :∠AB0=90,(3分) 在Rt△AB0中，由勾股定理得，0B2+AB2=0A2, 1/5 0B=V0A2-AB2=V102-62=8, .00=0B-0B=15-8=7dm? 即池水看起来变浅了7dm.(10分) 19. 【详解】(1)解：“x=V5+1,y=V5-1, ∴x+y=V5+1+5-1=25, .x2+2xy+y2 =(x+y)2 =(25)2 =12:(5分) (2)解：“x=5+1,y=5-1, x+y=F+1+5-1=25,x-y=5+1-(5-1)=5+1-5+1=2, .x2-y2 =(x+y)(x-y) =2W3×2 =45.(10分) 20. 【详解】(1)解：：矩形ABCD的绿地，绿地的长BC为√162m,宽AB为V128m, :矩形ABCD的周长是2(V162+V128)=2(92+82)=342m:(5分) (2)解：由题意得购买地砖需要花费为[V162×V128-(V13+1)×(V13-1)]×8=1056 (元)， 答：购买地砖需要花费1056元.(10分) 21. 【详解】(1)解：△ACD是直角三角形. 理由：在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=8,BC=6, 2/5 所以AC2=AB2+BC2=82+62=100, 所以AC=10, 因为CD=26,AD=24, 所以CD2-AD2=262-242=100=AC2, 所以△ACD是直角三角形.(6分) (2)解：由(1)知△ACD是直角三角形，且∠CAD=90°， 因为S△4D=AC·AD=专AE·DC, 所以AB=4光=器4=罗.(10分) 26 22. 【详解】(1)解：由题意，小正方形对角线的长度为y2+1下=2；(5分) (2)解：由(1)知，正方形ABCD的边CD=V2,C与-1重合， :点D在数轴上表示的数m=-1-2, m+2=|-1-2+2=1-2=2-1.(12分) 23. 【详解】(1)解：4+23=(3+1)+2V1×3 =(5)+12+2×1×V5 =(5+1)3, ∴.X=3; :4+25=(5+1)=5+1:(6分) (2)解：V7-43 =V4+3-4V5 =V22+(5)-2×2×5 =V(2-5)月 =2-V5.(12分) 3/5 24. 【详解】(1)解：材料中的例题解答过程中体现的一个数学思想是转化思想；(3分) (2)解：我们从a+b=-8这个式子的结构出发，构造a=一4+m,b=一4-m(m为实数) 的对偶式. a2-b2-16b+22 =(-4+m)2-(-4-m)2-16×(-4-m)+22 =16-8m+m2-(16+8m+m2)+64+16m+22 =16-8m+m2-16-8m-m2+64+16m+22 =86;(8分) (3)解：我们从y+6=4这个式子的结构出发，构造V=2+m,V6=2-m (-2≤m≤2)的对偶式. a-b+86+1 =(2+m)2-(2-m)2+8(2-m)+1 =4+4m+m2-(4-4m+m2)+16-8m+1 =4+4m+m2-4+4m-m2+16-8m+1 =17.(12分) 25. 【详解】(1)证明：四个直角三角形全等，且BC=a,AC=b, .正方形CFGH的边长为a-b, :AB=C,且S正方形ABED=4S△4Bc十S正方形CFGH(等面积法)， .c2=4×ab+(a-b)2=a2+b2, ∴.a2+b2=c2;(4分) (2)证明：：∠ABD=∠C=∠E=90°， .∠ABC+∠DBE=90°， ∠ABC+∠BAC=90°， .∠DBE=∠BAC, 又∠C=∠E,AB=BD, .△ABC≌△BDE(AAS);(8分) 4/5 (3)解：解：由题意，如下图： b :外围轮廓的总长度为52， ∴AD+BD=52÷4=13, 设AD=x,则BD=13-x, 在△BCD中，BC2+CD2=BD2, .a2+(b+x)2=(13-x)2, 将a=6,b=5代入可得， 62+(5+x)2=(13-x)2, 解得x=3, .小正方形的边长为a-b=1, .风车的面积为：BC×CD×4+1×1=号×6×8×4+1×1=97.(12分) 5/5 2026学年八年级数学下学期第一阶段综合检测卷 全解全析 （满分：150分 测试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：人教版新教材八年级下册第一章至第二章。 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．根据我国数学典籍《周髀算经》记载，在约公元前11世纪，人们就知道了勾股定理．下列各组数中，“是勾股数”的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．若有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．如图，中，，若，则正方形和正方形的面积和为（    ） A． B． C． D． 4．下列式子中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 5．在中，，若，，则的值是（    ） A．10 B． C． D．4.8 6．下列运算正确的是（  ） A． B． C． D． 7．如图，在长方形中，，．将此长方形沿所在的直线折叠，使点D与点B重合，则的长为（   ） A．3 B． C． D．5 8．估计的值应在（   ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 9．在中，，，分别以B、C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于E、F两点，连接直线，分别交、于点M、N，连接，则的周长为（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 10．如图是一个长，宽，高分别是，，的长方体无盖盒子，已知一根木棒长为，且通过计算发现，能放入此木棒的无盖盒子的规格是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 11．已知实数p，q在数轴上对应点的位置如图所示，则化简的结果是（    ） A． B． C． D． 12．口袋公园是指面向公众开放、规模较小、具有一定游憩功能的公园绿化活动场地．为了满足市民对“推窗见绿、出门入园”美好生活的向往，佛山已建成口袋公园超300个，占全省总量的，为“绿美广东”建设贡献了力量．佛山市园林部门计划将三块小绿地整合成一个如图所示的长方形口袋公园．已知正方形和正方形的面积分别为，则该口袋公园的总面积为（    ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。 13．计算：________． 14．《九章算术》中有个关于门和竹竿的问题：今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，斜之适出．问户高几何？译文：现有一扇门，不知道门的高度和门的宽度是多少，现有一支竹竿，不知竹竿的长短是多少．横着放竹竿比门宽多出4尺，竖着放竹竿比门高多出2尺，斜着放恰好与门的对角线一样长，如图．设门的对角线长为x尺，可列方程为______． 15．已知，则代数式的值是____． 16．如图，在中，，，点D为的中点，点E为边上一点，将沿翻折，点A的对应点为，当点落在边上时，的值为________． 三、解答题：本题共9小题，共98分。其中，17题至21题10分，22题至25题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．计算： (1) (2) 18．如图所示，池底某点反射的光从水中斜射向空气时会发生偏折，人眼看去，就会感觉点的位置升高到处，即池水看起来比实际的浅，这是光的折射现象．已知，，三点共线，，，，，池水看起来变浅了多少？（即求的长度） 19．已知，求下列各式的值 (1) (2) 20．某居民小区有一块形状为矩形的绿地，绿地的长为，宽为，现要在矩形绿地中修建一个矩形花坛（即图中阴影部分），矩形花坛的长为，宽为． (1)矩形的周长是多少？ (2)除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为8元的地砖，要铺完整个通道，求购买地砖需要花费多少元？ 21．如图，四边形中，，为对角线，于点E，已知，，，． (1)请判断的形状并说明理由； (2)求线段的长． 22．如图1，把两个面积为1的小正方形沿着对角线剪开，将所得的四个直角三角形拼在一起，就得到一个大正方形． (1)求小正方形对角线的长度； (2)把正方形放在数轴上，如图2，使得C与重合，D在数轴上表示的数为m，求的值． 23．【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：； ． 【类比归纳】 (1)小华仿照小明的方法将化成了，则__________，__________． (2)请运用小明的方法化简． 24．阅读与思考 下面是小颖同学数学笔记中的内容，请认真阅读并完成相应的任务． 构造和差对偶式解决复杂代数问题对偶法，是一种通过发现和构造在代数结构上具有某种对称关系的一对或者一组式子，然后对这些式子进行恰当的运算进而获得结论的数学方法．有时，我们可以根据问题中代数式的结构，构造形如和的和差对偶形式．具体探究如下： 探究：例题：已知，求的值． 解：我们从这个式子的结构出发，构造（为实数）的对偶式． ． 应用：…… 任务： (1)材料中的例题解答过程中体现的一个数学思想是___________． A．分类讨论思想    B．转化思想    C．数形结合思想 (2)已知，请根据材料中构造和差对偶式的思路，求的值． (3)已知，求的值． 25．阅读理解：美丽的弦图中蕴含着四个全等的直角三角形．如图1，弦图中包含了一大一小两个正方形，每个直角三角形较长直角边为，较短直角边为，斜边长，用面积法得到直角三角形三边长之间的一个重要结论：． (1)如图1，已知：．求证． 下面是小颖的证明过程，请把空缺处补充完整： 证明：四个直角三角形全等，且， 正方形的边长为　　　　　， ，且（等面积法）， 　　　　　+　　　　　 ． (2)如图2，四边形是直角梯形，，其中．求证：． (3)将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的“数学风车”，若，，外围轮廓（图中实线部分）的总长度为52，求这个风车图案的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年八年级数学下学期第一阶段综合检测卷 全解全析 （满分：150分 测试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：人教版新教材八年级下册第一章至第二章。 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．根据我国数学典籍《周髀算经》记载，在约公元前11世纪，人们就知道了勾股定理．下列各组数中，“是勾股数”的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】先明确勾股数的定义：若三个正整数中，两个较小数的平方和等于最大数的平方，则这组数是勾股数，本题根据定义逐一验证各选项即可得到结果． 【详解】∵A选项，最大数为，且，，， ∴A不是勾股数； ∵B选项，最大数为，且，，， ∴B是勾股数； ∵C选项，最大数为，且，，， ∴C不是勾股数； ∵D选项，最大数为，且，，， ∴D不是勾股数； 综上，选B． 2．若有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】要使二次根式有意义，被开方数必须是非负数，据此列出不等式求解x的取值范围． 【详解】解：要使有意义， ∴，解得， ∴x的取值范围是． 3．如图，中，，若，则正方形和正方形的面积和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由勾股定理得，， 即正方形和正方形的面积和为． 4．下列式子中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由可知，选项中的四个式子中是最简二次根式． 5．在中，，若，，则的值是（    ） A．10 B． C． D．4.8 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理，利用勾股定理求解直角三角形的斜边长度即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴根据勾股定理， ∴， 故选A． 6．下列运算正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式的除法、二次根式的加减运算法则逐项分析即可得出结果． 【详解】解：A、，故选项计算正确，符合题意； B、和不是同类二次根式，不能直接相加，故选项计算错误，不符合题意； C、，故选项计算错误，不符合题意； D、和不是同类二次根式，不能直接相加，故选项计算错误，不符合题意． 7．如图，在长方形中，，．将此长方形沿所在的直线折叠，使点D与点B重合，则的长为（   ） A．3 B． C． D．5 【答案】C 【分析】本题考查长方形的折叠问题，利用勾股定理列方程求线段的长度；，则，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：∵长方形中，，， 设，则， 解得， 故选C． 8．估计的值应在（   ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式，原式 ，根据，可得． 【详解】原式 ． 因为， 所以． 所以． 所以原式的值在和之间． 故选：B 9．在中，，，分别以B、C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于E、F两点，连接直线，分别交、于点M、N，连接，则的周长为（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】B 【分析】根据作图痕迹可知直线是线段的垂直平分线，利用垂直平分线的性质可得的长及，进而推导出为中点，利用勾股定理求出的长，最后计算周长即可． 【详解】解：由作图可知，直线是线段的垂直平分线 ，， 在中， ， 在中， 的周长 10．如图是一个长，宽，高分别是，，的长方体无盖盒子，已知一根木棒长为，且通过计算发现，能放入此木棒的无盖盒子的规格是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】连接，根据勾股定理分别求出的长，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接， A选项，由勾股定理得：， ，故选项A不符合题意； B选项，由勾股定理得：， ，故选项B不符合题意； C选项，由勾股定理得：， ，故选项C不符合题意； D选项，由勾股定理得： ，故选项D符合题意． 11．已知实数p，q在数轴上对应点的位置如图所示，则化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数轴判断p、q的正负性以及、的正负性，再利用绝对值和二次根式的性质化简式子即可． 【详解】由数轴可知，p在原点左侧，q在原点右侧， ∴，， ∵点p离原点的距离比点q离原点的距离远，即， 对于：∵p是负数，q是正数， ∴， 对于：∵p是负数，q是正数，且， 根据有理数加法法则，异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号， ∴， ∴原式． 12．口袋公园是指面向公众开放、规模较小、具有一定游憩功能的公园绿化活动场地．为了满足市民对“推窗见绿、出门入园”美好生活的向往，佛山已建成口袋公园超300个，占全省总量的，为“绿美广东”建设贡献了力量．佛山市园林部门计划将三块小绿地整合成一个如图所示的长方形口袋公园．已知正方形和正方形的面积分别为，则该口袋公园的总面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的实际应用，因为已知两个正方形的面积，所以可利用正方形面积公式求出两个正方形的边长，再确定大长方形的长和宽，最后利用长方形面积公式求总面积． 【详解】解：∵正方形面积为， ∴； ∵正方形面积为， ∴． ∴， ∴ ． 故选：B ． 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。 13．计算：________． 【答案】 【详解】解：． 14．《九章算术》中有个关于门和竹竿的问题：今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，斜之适出．问户高几何？译文：现有一扇门，不知道门的高度和门的宽度是多少，现有一支竹竿，不知竹竿的长短是多少．横着放竹竿比门宽多出4尺，竖着放竹竿比门高多出2尺，斜着放恰好与门的对角线一样长，如图．设门的对角线长为x尺，可列方程为______． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意是解题的关键．先表示出门高和门宽，再根据勾股定理列方程即可． 【详解】解：根据题意可知，门高为尺，门宽为尺， 由勾股定理，得． 故答案为：． 15．已知，则代数式的值是____． 【答案】1 【分析】将所求代数式配方变形，再结合已知条件计算即可得到结果. 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. 16．如图，在中，，，点D为的中点，点E为边上一点，将沿翻折，点A的对应点为，当点落在边上时，的值为________． 【答案】5 【分析】连接、，根据等腰三角形的性质得，再根据勾股定理得，证明，可得，再结合等腰三角形的性质得，然后根据“等角的余角相等”得，即可求出此时的． 【详解】解：如图，连接，， ∵，点D是的中点， ∴， ∴， 根据折叠可知：， ∴， ∴ ∴， ∴． ∵点关于对称， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， 即． 三、解答题：本题共9小题，共98分。其中，17题至21题10分，22题至25题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟知相关运算法则是解题的关键． （1）先化简二次根式，再根据二次根式的加减运算法则求解即可． （2）先计算二次根式乘除法，最后计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．如图所示，池底某点反射的光从水中斜射向空气时会发生偏折，人眼看去，就会感觉点的位置升高到处，即池水看起来比实际的浅，这是光的折射现象．已知，，三点共线，，，，，池水看起来变浅了多少？（即求的长度） 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是掌握勾股定理，根据勾股定理求出，再根据，即可求解． 【详解】解： ， ， 在中，由勾股定理得，， ， ， 即池水看起来变浅了． 19．已知，求下列各式的值 (1) (2) 【答案】(1)12 (2) 【分析】（1）根据题意可求出的值，再把所求式子利用完全平方公式分解因式得到，据此代入求值即可； （2）根据题意可求出和的值，再把所求式子利用平方差公式分解因式得到，据此代入求值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴ ； （2）解：∵， ∴，， ∴ ． 20．某居民小区有一块形状为矩形的绿地，绿地的长为，宽为，现要在矩形绿地中修建一个矩形花坛（即图中阴影部分），矩形花坛的长为，宽为． (1)矩形的周长是多少？ (2)除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为8元的地砖，要铺完整个通道，求购买地砖需要花费多少元？ 【答案】(1) (2)1056元 【分析】本题考查二次根式混合运算解决实际问题，读懂题意，熟记矩形周长及面积公式是解决问题的关键． （1）根据题意，由矩形性质直接求周长即可得到答案； （2）由矩形面积公式求出铺设地砖的面积即可得到答案． 【详解】（1）解：矩形的绿地，绿地的长为，宽为， 矩形的周长是； （2）解：由题意得购买地砖需要花费为（元）, 答：购买地砖需要花费1056元． 21．如图，四边形中，，为对角线，于点E，已知，，，． (1)请判断的形状并说明理由； (2)求线段的长． 【答案】(1)直角三角形，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理和逆定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．勾股定理的逆定理：如果一个三角形的三条边a、b、c满足，那么这个三角形为直角三角形． （1）先根据勾股定理求出，再根据勾股定理逆定理判定得出是直角三角形即可； （2）根据等积法求出线段的长即可． 【详解】（1）解：是直角三角形． 理由：在中，， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以是直角三角形． （2）解：由（1）知是直角三角形，且， 因为， 所以． 22．如图1，把两个面积为1的小正方形沿着对角线剪开，将所得的四个直角三角形拼在一起，就得到一个大正方形． (1)求小正方形对角线的长度； (2)把正方形放在数轴上，如图2，使得C与重合，D在数轴上表示的数为m，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数与数轴、勾股定理、算术平方根的应用，理解题意，求出是解答的关键． （1）根据勾股定理求解即可； （2）用点C表示的数减去边的长可得m值，进而代值求解即可． 【详解】（1）解：由题意，小正方形对角线的长度为； （2）解：由（1）知，正方形的边，C与重合， ∴点D在数轴上表示的数， ∴． 23．【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：； ． 【类比归纳】 (1)小华仿照小明的方法将化成了，则__________，__________． (2)请运用小明的方法化简． 【答案】(1)3； (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的性质和完全平方公式的使用，解题的关键在于能够准确读懂题意． （1）将4看成是，则，由此求解即可； （2）将7看成是，则，由此求解即可． 【详解】（1）解： ， ∴； ∴； （2）解： ． 24．阅读与思考 下面是小颖同学数学笔记中的内容，请认真阅读并完成相应的任务． 构造和差对偶式解决复杂代数问题对偶法，是一种通过发现和构造在代数结构上具有某种对称关系的一对或者一组式子，然后对这些式子进行恰当的运算进而获得结论的数学方法．有时，我们可以根据问题中代数式的结构，构造形如和的和差对偶形式．具体探究如下： 探究：例题：已知，求的值． 解：我们从这个式子的结构出发，构造（为实数）的对偶式． ． 应用：…… 任务： (1)材料中的例题解答过程中体现的一个数学思想是___________． A．分类讨论思想    B．转化思想    C．数形结合思想 (2)已知，请根据材料中构造和差对偶式的思路，求的值． (3)已知，求的值． 【答案】(1)B (2)86 (3)17 【分析】（1）根据转化思想解答即可； （2）仿照材料中的例题解答过程解答即可； （3）仿照材料中的例题解答过程解答即可． 【详解】（1）解：材料中的例题解答过程中体现的一个数学思想是转化思想； （2）解：我们从这个式子的结构出发，构造（为实数）的对偶式． ； （3）解：我们从这个式子的结构出发，构造（）的对偶式． ． 25．阅读理解：美丽的弦图中蕴含着四个全等的直角三角形．如图1，弦图中包含了一大一小两个正方形，每个直角三角形较长直角边为，较短直角边为，斜边长，用面积法得到直角三角形三边长之间的一个重要结论：． (1)如图1，已知：．求证． 下面是小颖的证明过程，请把空缺处补充完整： 证明：四个直角三角形全等，且， 正方形的边长为　　　　　， ，且（等面积法）， 　　　　　+　　　　　 ． (2)如图2，四边形是直角梯形，，其中．求证：． (3)将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的“数学风车”，若，，外围轮廓（图中实线部分）的总长度为52，求这个风车图案的面积． 【答案】(1)、、 (2)见解析 (3)97 【分析】（1）依据题意得，再由图形是由四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，然后用两种方法表示正方形的面积，即可解题； （2）先根据角度关系，证出，随后根据“”证明即可； （3）根据题意，先得出，设，则，根据勾股定理得，代入求出的值，最终可求出风车图案的面积． 【详解】（1）证明：∵四个直角三角形全等，且，， ∴正方形的边长为， ∵，且（等面积法）， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ， ∴， 又∵，， ∴； （3）解：解：由题意，如下图： ∵外围轮廓的总长度为， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 将，代入可得， ， 解得， ∴小正方形的边长为， ∴风车的面积为：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $