专题01 用坐标描述平面内点的位置重难点题型专训（2个知识点+6大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（人教版）

本初中数学讲义聚焦“用坐标描述平面内点的位置”核心知识点，系统梳理坐标确定位置（各象限、坐标轴、角平分线点的特征）与点的坐标（有序数对、坐标系概念、坐标平面划分），构建从基础概念到特殊位置应用的学习支架。 资料通过6大题型分层训练（含经典例题与即时训练）、3个拓展训练（新定义、几何综合等），培养抽象能力、几何直观与推理意识，如“等差点”问题发展创新意识，坐标与图形综合提升模型观念，课中辅助教师系统教学，课后助力学生查漏补缺。

专题01 用坐标描述平面内点的位置重难点题型专训 （2个知识点+6大题型+3拓展训练+自我检测） 题型一 写出直角坐标系中点的坐标 题型二 求点到坐标轴的距离 题型三 判断点所在的象限 题型四 已知点所在的象限求参数 题型五 坐标系中描点 题型六 坐标与图形综合 拓展训练一 点坐标综合问题 拓展训练二 点的位置与坐标新定义问题 拓展训练三 坐标与几何综合应用 知识点一：坐标确定位置 平面内特殊位置的点的坐标特征 （1）各象限内点P（a，b）的坐标特征： ①第一象限：a＞0，b＞0；②第二象限：a＜0，b＞0；③第三象限：a＜0，b＜0；④第四象限：a＞0，b＜0． （2）坐标轴上点P（a，b）的坐标特征： ①x轴上：a为任意实数，b＝0；②y轴上：b为任意实数，a＝0；③坐标原点：a＝0，b＝0． （3）两坐标轴夹角平分线上点P（a，b）的坐标特征： ①一、三象限：a＝b；②二、四象限：a＝﹣b． 【即时训练】 1．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）在平面直角坐标系中，点一定在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】确定点的横纵坐标的符号，进行判断即可. 【详解】解：∵， ∴点在第四象限. 2．（25-26七年级上·北京海淀·期末）在平面直角坐标系中，已知点在第二象限，且点到两坐标轴的距离之和为7，写出一个符合条件的点的坐标：__． 【答案】(答案不唯一) 【分析】本题考查平面直角坐标系中第二象限内点的坐标特征及点到坐标轴距离的定义，关键是牢记：第二象限的点横坐标为负、纵坐标为正；点到轴的距离是纵坐标的绝对值，到轴的距离是横坐标的绝对值． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴点的横坐标，纵坐标； 又∵点到两坐标轴的距离之和为7，即， 不妨取，则， ∴， 又， ∴， ∴符合条件的点的坐标为； 故答案为：(答案不唯一)． 知识点二：点的坐标 （1）我们把有顺序的两个数a和b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）． （2）平面直角坐标系的相关概念 ①建立平面直角坐标系的方法：在同一平面内画；两条有公共原点且垂直的数轴． ②各部分名称：水平数轴叫x轴（横轴），竖直数轴叫y轴（纵轴），x轴一般取向右为正方向，y轴一般取象上为正方向，两轴交点叫坐标系的原点．它既属于x轴，又属于y轴． （3）坐标平面的划分 建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限． （4）坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系． 【即时训练】 1．（25-26七年级下·山西临汾·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平面直角坐标系，正确建立坐标系是解题关键．根据点、两点坐标，建立坐标系，即可得出点坐标． 【详解】解：∵点的坐标为，点的坐标为， ∴建立坐标系如下： ∴点的坐标是． 故选：A． 2．（25-26八年级上·山西晋中·期末）2026年总台马年春晚吉祥物为“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”四匹骏马．如图是马的小篆字体，将其放在平面直角坐标系中，，两点的坐标分别为，，则点的坐标为__________． 【答案】 【分析】本题考查图形与坐标，用坐标确定位置，掌握好相关知识是关键． 根据，两点的坐标建立平面直角坐标系，然后写出点的坐标即可． 【详解】解：如图，建立平面直角坐标系， ∴点的坐标为． 故答案为：． 【经典例题一 写出直角坐标系中点的坐标】 【例1】（24-25七年级下·湖北孝感·期末）在平面直角坐标系中，点，点，，且轴，则点A的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】先根据求出纵坐标，再由可求出横坐标． 【详解】解：∵点，点，轴， ∴， ∵， ∴，解得：或8， ∴ 点A的坐标为或， 故选：D． 【点睛】本题考查的是坐标与图形性质，熟知平行于#轴的直线上各点的纵坐标相同是解题的关键． 【例2】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知点A到x轴的距离为6，到y轴的距离为7． （1）若点A在第二象限，则其坐标为_______________________________； （2）若点A在x轴的下方，则其坐标为____________________________； （3）若点A在y轴的左侧，则其坐标为__________________________． 【答案】 或 或 【分析】本题考查了写出直角坐标系中点的坐标，熟练掌握点到坐标轴的距离及其所在的象限与其横纵坐标的大小及符号之间的关系是解题的关键． 按照点到坐标轴的距离及其所在的象限与其横纵坐标的大小及符号之间的关系求解即可． 【详解】解：由题意，点A到x轴的距离为6，到y轴的距离为7， 设点A坐标为，则，， （1）若点A在第二象限，则，， ，， 点A坐标为； （2）若点A在x轴的下方，则， ，， 点A坐标为或； （3）若点A在y轴的左侧，则， ，， 点A坐标为或； 故答案为：，或，或． 1．（2026·贵州·一模）如图，这是围棋棋盘的一部分，若建立平面直角坐标系后，黑棋①的坐标是，白棋③的坐标是，则黑棋②的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据黑棋①、白棋③的坐标建立平面直角坐标系，即可写出黑棋②的坐标． 【详解】解：根据题意建立平面直角坐标系得： ∴ ②的坐标是． 2．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，在边长为1的正方形网格中，点A、B、C均在格点上，若点B、C的坐标分别为、，则点A的坐标为______． 【答案】 【分析】先根据、，建立平面直角坐标系，然后根据直角坐标系写出点A的坐标． 【详解】解：∵、， ∴建立平面直角坐标系，如图所示： ∴点A的坐标为． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知点是平面直角坐标系内一点． (1)若点A在y轴上，求出点A的坐标； (2)若经过点，的直线与x轴平行，求出点A的坐标； (3)若点A到两坐标轴的距离相等，请直接写出点A的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）由点在轴上，可得，解得，则，进而可得点的坐标； （2）由过点，的直线，与轴平行，可得，解得，则，进而可得点的坐标； （3）由点到两坐标轴的距离相等，可得，解方程即可． 【详解】（1）解：点在轴上， ，解得， ， ， 点A的坐标为． （2）解：过点，的直线与轴平行， ，解得， ， ， 点A的坐标为． （3）解：点到两坐标轴的距离相等， ． 当时，解得， ； 当时，解得， ， 点的坐标为或． 【点睛】本题考查了坐标轴上点坐标的特征，平行于坐标轴的点坐标的特征，点坐标到坐标轴的距离，解一元一次方程等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 【经典例题二 求点到坐标轴的距离】 【例1】（24-25八年级上·浙江宁波·期中）在平面直角坐标系中，已知点，若点M在两坐标轴的角平分线上，则m的值为（    ） A． B． C．或 D．2或4 【答案】D 【分析】本题考查了点的坐标，分点M在第一、三和第二、四象限的角平分线上两种情况，结合角平分线上点的坐标特征求解即可． 【详解】解：当点在第一、三象限的角平分线上时， ∴， 解得，， 当点在第二、四象限的角平分线上时， ∴， 解得，， 综上，点M在两坐标轴的角平分线上时，m的值为2或4， 故选：D． 【例2】（24-25七年级下·安徽阜阳·月考）在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，将点到轴的距离记作，到轴的距离记作． （1）若，则________； （2）若点在第二象限，且（为常数），则的值为________． 【答案】 10 2 【分析】本题主要考查了点到坐标轴的距离，熟知点到坐标轴的距离的定义是解题的关键． （1）点到x轴的距离为该点纵坐标的绝对值，点到y轴的距离为该点横坐标的绝对值，则，，据此代入t的值求解即可； （2）第二象限内的点横坐标为负，纵坐标为正，据此可得，，再根据建立方程求解即可． 【详解】（1）∵点的坐标为，将点到轴的距离记作，到轴的距离记作， ，， ， ，， ， 故答案为：10． （2）点在第二象限， ，， ，， ， ， 解得， 故答案为：2． 1．（24-25七年级下·全国·期末）在平面直角坐标系中，若点到两坐标轴的距离之差的绝对值等于点到两坐标轴距离之差的绝对值，则称，两点互为“等差点”，例如和到两坐标轴距离之差的绝对值都等于，它们互为“等差点”．若点和点互为“等差点”，则的值为（　　） A．或 B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】先算出点到两坐标轴距离之差的绝对值，再根据“等差点”定义得出点到两坐标轴距离之差的绝对值表达式，通过绝对值方程求解的值．本题主要考查了平面直角坐标系中点到坐标轴距离及绝对值方程的求解，熟练掌握点到坐标轴距离的计算方法和绝对值方程的解法是解题的关键． 【详解】解：点到两坐标轴的距离之差的绝对值为，点到两坐标轴的距离之差的绝对值为， ∴， ， ∴或， 解得或 故选： 2．（24-25七年级下·河南洛阳·期中）教材在第七章复习题的“拓广探索”中，曾让同学们探索发现：在平面直角坐标系中，线段中点的横坐标（纵坐标）分别等于对应线段的两个端点的横坐标（纵坐标）和的一半，例如：点，点，则线段的中点M的坐标为，请利用以上结论解决问题：在平面直角坐标系中，点，．若线段的中点G恰好在x轴负半轴上，且到y轴的距离是3，则________． 【答案】0 【分析】根据点，，得线段的中点G的坐标为即，结合中点G恰好在x轴负半轴上，且到y轴的距离是3，得到，确定a，b的值，计算即可． 本题考查了中点坐标公式，点的位置，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】根据点，， ∴线段的中点G的坐标为即， ∵中点G恰好在x轴负半轴上，且到y轴的距离是3， ∴， 解得， ∴， 故答案为：0． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，对于、两点给出如下定义：若点到轴、轴的距离中的最大值等于点到轴、轴的距离中的最大值，则称、两点为“等距点”．下图中的、两点即为“等距点”． (1)已知点的坐标为． ①在点，，中，为点的“等距点”的是点 ； ②若点的坐标为，且、两点为“等距点”，则点的坐标为 ； (2)若，两点为“等距点”，求的值． 【答案】(1)①、；② (2)的值是1或2 【分析】本题主要考查点的坐标，读懂“等距点”的定义，而后根据概念解决问题是解答本题的关键． （1）①找到x、y轴距离最大为3的点即可；②根据等距点的定义可得，求出的值，即可得出点B的坐标； （2）根据“等距点”的定义，分和两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：①∵点到x、y轴的距离中最大值为3，点到x、y轴的距离中最大值为3，点到x、y轴的距离中最大值为3，点到x、y轴的距离中最大值为5， ∴与A点是“等距点”的点是，； 故答案为：E，F； ②∵点到x、y轴的距离中最大值为3，且， ∵点的坐标为，且、两点为“等距点”， ∴， 解得或， ∴或， ∴点的坐标为或， ∵，、两点为“等距点”， ∴点的坐标为； （2）解：∵， ∴当，两点为“等距点”时，则有： ①，且， 解得或1，且， ∴； ②，且， 解得或，且或， ∴； 综上，的值为1或2． 【经典例题三 判断点所在的象限】 【例1】（25-26八年级上·陕西安康·期中）已知在平面直角坐标系中的点，若点的纵坐标比横坐标大6，则点在(        ) A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 【答案】C 【分析】本题考查了判断点所在的象限；根据点的纵坐标比横坐标大，列出方程求解的值，再代入坐标表达式得到点的具体坐标，最后根据坐标符号判断所在象限． 【详解】解：点的纵坐标比横坐标大， ， 化简得：， ． 代入坐标表达式： 横坐标：， 纵坐标：， 点的坐标为，． 横坐标为负，纵坐标为正， 点在第二象限． 故选：C． 【例2】（2025·四川雅安·模拟预测）在平面直角坐标系中有五个点，分别是从中任选一个点恰好在第二象限的概率是_________． 【答案】 【分析】本题考查了列举法求概率，第二象限的点坐标的特征．熟练掌握列举法求概率，第二象限的点坐标的特征是解题的关键． 由题意知，在第二象限，然后求概率即可． 【详解】解：由题意知，在第二象限， ∴任选一个点恰好在第二象限的概率是， 故答案为：． 1．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）如果点在x轴正半轴上，那么点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查了点的坐标，根据轴正半轴上的点纵坐标为，横坐标大于，得到，，然后计算即可得解． 【详解】解：∵在x轴正半轴上， ∴，， 解得， ∴，， ∴所在的象限是第四象限． 故选：D． 2．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）定义 “新运算问题”：对于有序数对定义如下的运算 “”：，对于点，若，则点在第______象限． 【答案】一 【分析】本题考查了新定义运算，判断点所在的象限，读懂题目信息，理解“”的运算方法是解题的关键．根据新运算规则表示出，结合，得到和的值，从而确定点的坐标，并判断象限即可． 【详解】解：由运算定义，． ， ，， 点的坐标为， 点在第一象限． 故答案为：一． 3．（24-25七年级下·云南保山·月考）在平面直角坐标系中，对于点若点的坐标为，则称点为点A的“级牵挂点”，如点的“级牵挂点”为，即． (1)已知点的“级牵挂点”为，求点的坐标，并求出点到轴的距离； (2)已知点的“级牵挂点”为，求点的坐标及所在象限； (3)如果点的“级牵挂点”在轴上，求点的坐标； 【答案】(1)，2； (2)点的坐标为，在第四象限； (3)． 【分析】（1）根据“级牵挂点”的定义直接进行计算即可得到的坐标，根据的纵坐标即可求出点到轴的距离； （2）设点的坐标为，根据“级牵挂点”的定义建立方程组，解方程组求出点的坐标，即可判断点的坐标及所在象限； （3）先根据“级牵挂点”求出的坐标，再根据在轴上求出m的值，即可求得答案． 【详解】（1）解：点的“级牵挂点”为， ∴的横坐标为：，纵坐标为：， 即 且到轴的距离为； （2）解：∵点的“级牵挂点”为 设点的坐标为 解得 点的坐标为，在第四象限． （3）解：点的“级牵挂点”， ，， 即， 点在轴上， ， ， 则， 的坐标为． 【点睛】本题考查直角坐标系，点到坐标轴的距离，点象限的判定等，正确理解“级牵挂点”的定义是解题的关键． 【经典例题四 已知点所在的象限求参数】 【例1】（24-25八年级上·辽宁阜新·期中）已知点P在第三象限，且点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为1，则点P的坐标为（　 ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平面直角坐标系各象限坐标符号的特征和点到坐标轴的距离，熟记相关基础知识是解决本题的关键． 根据到轴的距离是纵坐标的绝对值，到轴的距离是横坐标的绝对值进行求解即可． 【详解】解：∵点到轴的距离为3，到轴的距离为1， ∴点的横坐标的绝对值为1，纵坐标的绝对值为3， ∵点在第三象限， ， 故选：B． 【例2】（24-25七年级下·河南新乡·期中）点在坐标轴上，则点P的坐标为______． 【答案】或 【分析】分点P在轴和轴上两种情况，进行讨论求解即可． 【详解】解：当点P在轴上时：，解得：， ∴， ∴； 当点P在轴上时：，解得：， ∴， ∴； 综上：点P的坐标为：或； 故答案为：或． 【点睛】本题考查坐标轴上点的特征．熟练掌握坐标轴上的点的横坐标或纵坐标为0，是解题的关键． 1．（24-25七年级下·安徽阜阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，点是被枫叶盖住的一点，则m的值可能为（   ） A． B．4 C．0 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了点的坐标，解题关键是熟练掌握平面直角坐标系中各个象限点的坐标特征．观察平面直角坐标系，根据点P的位置确定m的取值范围，然后对各个选项进行判断即可． 【详解】解：观察平面直角坐标系可知：点P在第三象限， ， ， ，C，D选项不符合题意，B选项符合题意， 故选：B． 2．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）已知平面直角坐标系中有一点． （1）若P点在x轴上，则m的值为______； （2）当点P到y轴的距离为3时，点P的坐标为______ 【答案】 3 或 【分析】（1）根据P点在x轴上，得解答即可； （2）根据点P到y轴的距离为3，得到，解答即可． 本题考查了点在x轴上，点到坐标轴的距离，熟练掌握特点是解题的关键． 【详解】解：（1）根据P点在x轴上，得， 解得， 故答案为：3； （2）解：根据点P到y轴的距离为3，得到， 得或， 解得或， 故或， 故答案为：或． 3．（25-26七年级下·全国·单元测试）（1）已知两点，，若轴，求的值，并确定的取值范围； （2）在平面直角坐标系中，点的坐标为．若点在第三象限，且到轴的距离为2，求点的坐标． 【答案】（1）， （2）点的坐标为． 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，掌握平行于轴的点纵坐标相等，第三象限点的坐标符号为，点到轴的距离为纵坐标的绝对值是解题的关键． （1）平行于轴的直线上的点纵坐标相等，且两点不重合，因此横坐标不能相等； （2）第三象限点的横纵坐标均为负，点到轴的距离为纵坐标的绝对值，据此列方程求参数． 【详解】解：（1）轴， ． 点不重合， ． （2）点在第三象限，且到轴的距离为2， ，解得， 当时，，满足点横坐标为负的条件 ， 点的坐标为． 【经典例题五 坐标系中描点】 【例1】（24-25七年级下·河北秦皇岛·期中）在平面直角坐标系中，一个长方形的三个顶点的坐标分别为，则这个长方形的面积是（   ） A．24 B．25 C．30 D．28 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形性质：利用点的坐标计算相应线段的长和图形面积，是解题的关键． 先在坐标系描出点，然后根据长方形的性质画出长方形，求出相邻两边，再求出面积． 【详解】解：如图，设， 在坐标系中描出各点，画出长方形， ∴． ∴， 故选：C． 【例2】（2025·山西晋中·模拟预测）如图是太原市杏花岭区某区域示意图，若医院所在的位置用表示，超市所在的位置用表示，则电影院所在的位置可表示为______． 【答案】 【分析】利用已知点得出原点的位置，进而得出答案． 【详解】解：如图所示， 电影院所在的位置可表示为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题的关键． 1．（25-26八年级上·广东深圳·期中）图中标明了李同学家附近的一些地方．某日早晨，李同学从家里出发，沿，的路线转了一下，又回到家里，如图，依次连接他经过的地方，你得到的图形是（　　） A．心形 B．鱼 C．帆船 D．箭头 【答案】D 【分析】本题考查坐标确定位置，在平面直角坐标系中，一定要理解点与坐标的对应关系，是解决此类问题的关键．由图形及其坐标得出具体的位置画出图形即可. 【详解】解：如下图所示，得到一个“箭头”的图形， 故选：D 2．（25-26八年级上·贵州贵阳·期中）在平面直角坐标系中，已知点，若点在第一象限，且的面积为10，则的值为___________． 【答案】6 【分析】本题考查三角形的面积、坐标与图形性质，过点C作x轴的垂线，垂足为点D，根据求解即可． 【详解】解：如图，过点C作x轴的垂线，垂足为点D， ∵ ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：6． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）在平面直角坐标系中描出下列各点，并将各组的点顺次连接起来． （1），，，； （2），，，； （3），． 观察所得的图形，你觉得它像什么？ 【答案】图形见解析，图形像帆船 【分析】先在平面直角坐标系中描出各个点，然后连接，最后判断图形即可． 【详解】解：描点连线如下图，图形像帆船． 【经典例题六 坐标与图形综合】 【例1】（24-25八年级上·重庆大渡口·期末）若点在第四象限，且到轴的距离分别为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了各象限点的坐标符号特征，点到坐标轴的距离，由点在第四象限可得点的横坐标为正数，纵坐标为负数，再根据横坐标的绝对值就是到轴的距离，纵坐标的绝对值就是到轴的距离解答即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：点在第四象限，点的横坐标为正数，纵坐标为负数， ∵点到 ∴点的纵坐标为，横坐标为， ∴点的坐标为， 故选：． 【例2】（24-25七年级下·江西上饶·期末）在平面直角坐标系中，有点，点，若在坐标轴上有一点C（不与点B重合），使三角形的面积是三角形面积的2倍，则点C的坐标为________． 【答案】 【分析】本题考查三角形的面积及坐标与图形性质，解题的关键是根据题意分两种情况进行讨论（当点C在x轴上时和当点C在y轴上时），根据三角形的面积公式求得，再得出点C的坐标，也可以适当的画草图进行分析．根据题意点C的位置可分当点C在x轴上时和当点C在y轴上时两种情况进行讨论，从而根据三角形的面积公式列式，进而求得，得出点C的坐标． 【详解】解：根据题意可知三角形AOB面积×OB， 当点C在x轴上时， ∵， ∴， 解得：， ∴点C的坐标为或； 当点C在y轴上时， ∵， ∴， ∴， ∴点C坐标为或． 综上所述，点C的坐标为． 故答案为：． 1．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）如图，线段的端点，的坐标分别为，，，，且，则点的坐标为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标以及平行线的性质． 根据已知条件求出和的长度，再结合平行线的性质确定点的坐标． 【详解】解：∵ , , ∴， ∵，， 又∵，， ∴，， ∴点横坐标为，点纵坐标为， ∴． 故选：． 2．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，，点在轴正半轴上，线段与线段交于点．若与面积相等，则到直线的距离是________． 【答案】4 【分析】本题考查平面直角坐标系中三角形面积的计算．画出相关图形，根据与面积相等，可得．进而可得点A到的距离． 【详解】解：作于点M． ∵，， ∴， ∴， ∵与面积相等， ∴． 即． 又 ∴， 即：． 解得：． 故答案为：4 3．（24-25八年级·全国·课后作业）在如图所示的平面直角坐标系中，点，，，． (1)求四边形的面积； (2)在轴上找一点，使三角形的面积等于四边形面积的一半，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了坐标与图形综合，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）分别过，两点作轴的垂线，垂足分别为，，结合题意可得，，，，，再由计算即可得解； （2）设，根据三角形的面积等于四边形面积的一半，，得出，求解即可． 【详解】（1）解：如图，分别过，两点作轴的垂线，垂足分别为，． ∵点，，，， ∴，，，，， ∴ ． （2）解：设， ∵三角形的面积等于四边形面积的一半，， ∴， 解得：或， ∴或． 【拓展训练一 点坐标综合问题】 【例1】（25-26七年级下·全国·课后作业）在一次科学探测活动中，探测人员发现一目标在如图所示的阴影区域内，则该目标的坐标可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：因为目标在第三象限， 所以其坐标的符号是， 各选项只有A符合题意． 【例2】（24-25七年级下·河北沧州·期中）在平面直角坐标系内，已知轴． （1）若点坐标为，点坐标为，则的值为___________． （2）若点坐标为，且，则点的坐标为___________． （3）若点、、的坐标分别为、、，且轴，则___________． 【答案】 或 【分析】本题考查了平行于坐标轴的点的坐标特点，解题的关键是： （1）根据平行于x轴的点的纵坐标相同求解即可； （2）根据平行于x轴的点的纵坐标相同求出点B的纵坐标，然后分B在A的左侧和右侧讨论求解即可； （3）根据平行于x轴的点的纵坐标相同，平行于y轴的点的横坐标相同分别求出a，b的值，然后代入计算即可． 【详解】解：（1）∵轴，，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵轴，， ∴B的纵坐标为7， 又， ∴当B在A的左侧时，B的横坐标为； 当B在A的右侧时，B的横坐标为； ∴B的坐标为或； （3）∵轴，、， ∴， ∴， ∵轴，，， ∴， ∴， 故答案为：． 1．（24-25七年级下·云南大理·期末）如图，点都在方格纸的格点上，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了点的坐标，正确得出原点位置是解题的关键．直接利用已知点确定平面直角坐标系，进而得出答案． 【详解】解：由题意作出平面直角坐标系， 故点的坐标是．    故选A． 2．（25-26七年级下·山西临汾·期中）临汾市某中学举办秋季田径运动会，为了保障开幕式表演的整体效果，该校在操场中标记了几个关键位置，如图是利用平面直角坐标系画出的关键位置分布图，若这个坐标系分别以正东、正北方向为轴、轴的正方向，表示点的坐标为，表示点的坐标为，则表示点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了利用坐标确定位置，利用已知点的坐标为，点的坐标为，先确定平面直角坐标系，再根据平面直角坐标系即得答案，正确建立平面直角坐标系是解题的关键． 【详解】解：根据点的坐标为，点的坐标为，建立平面直角坐标系如下， ∴， 故答案为：． 3．（25-26八年级上·广东深圳·周测）在平面直角坐标系中： (1)若点到两坐标轴的距离相等，求M的坐标为________； (2)若点，点，且轴，求M的坐标为________； (3)若点在坐标轴上，求M的坐标为________； (4)若点，点，且轴，，求M的坐标为________． 【答案】(1)或 (2) (3)或 (4)或 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的点的特征，掌握平面直角坐标系中点的特征和分类讨论是解题的关键． （1）根据点到两坐标轴的距离相等，列出关于的方程，求出的值即可解答； （2）根据轴，所以点的横坐标和点的横坐标相同，列出方程求出的值，即可解答； （3）根据点在坐标轴上，分两种情况讨论，列出关于的方程，求出的值即可解答； （4）根据轴，所以点的纵坐标和点的纵坐标相同，得，根据得到，求出的值即可解答． 【详解】（1）解：∵点到两坐标轴的距离相等， ∴， 解得或， 当时，，； 当时，，； ∴M的坐标为或； 故答案为：或； （2）解：∵点，点，且轴， ∴， 解得， 则， ∴M的坐标为； 故答案为：； （3）解：∵点在坐标轴上， ∴或， 解得或； 当时，； 当时，； ∴M的坐标为或； 故答案为：或； （4）解：∵点，点，且轴，， ∴，， 解得或， ∴M的坐标为或； 故答案为：或． 【拓展训练二 点的位置与坐标新定义问题】 【例1】（24-25八年级上·全国·课后作业）对于直角坐标平面内的任意两点，定义它们之间的一种“距离”： ．给出下列三个命题： ①若点C在线段上，则； ②在中，若，则； ③在中，．其中真命题的个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了平面直角坐标系，解题的关键是正确理解题目所给的两点之间的一种“距离”的定义． 对于①若点C在线段上，设C点坐标为然后代入验证显然成立．成立故正确． 对于②平方后不能消除，，命题不成立； 对于③在中，用坐标表示然后根据绝对值不等式可得到大于不成立，故可得到答案． 【详解】解：对于直角坐标平面内的任意两点，， 定义它们之间的一种“距离”： ． 对于①若点C在线段上，设C点坐标为，在之间，在之间， 则成立，故①正确． 对于②平方后不能消除，命题不成立； 对于③在中，， ， ∴．③不一定成立 ∴命题①成立， 故选B． 【例2】（24-25七年级下·广东广州·期末）在平面直角坐标系中取任意两点，，定义新运算“*”，得到新的点C的坐标为，即，若点在第一象限，点在第四象限，根据上述规则计算得到的点的坐标在第______象限． 【答案】二 【分析】根据每一象限内点的坐标特点可得x1＞0，y1＞0，x2＞0，y2＜0，然后求出x1y2＜0，x2y1＞0即可进行解答． 【详解】解：∵点A（x1，y1）在第一象限，点B（x2，y2）在第四象限， ∴x1＞0，y1＞0，x2＞0，y2＜0， ∴x1y2＜0，x2y1＞0， ∴点C的坐标（x1y2，x2y1）位于第二象限， 故答案为：二． 【点睛】本题主要考查了点的坐标，解题的关键的理解新定义的运算法则以及每一象限内点的坐标符号特征． 1．（25-26七年级上·湖北武汉·月考）定义：，，例如，，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查新定义，点的坐标．先求出，然后根据逐项判断，即可解答． 【详解】解：由，得：， A．，与相等，符合题意； B．，与不相等，不符合题意； C．，与不相等，不符合题意； D．，与不相等，不符合题意； 故选：A． 2．（2026七年级下·全国·专题练习）定义：在平面直角坐标系xOy中，把从点P出发沿纵或横方向到达点Q（至多拐一次弯）的路径长称为P，Q的“实际距离”．如图，若，，则P，Q的“实际距离”为5．点A，B，C的坐标分别为，，．若点M满足到点A，B，C的“实际距离”相等，则点M的坐标为________________． 【答案】 【分析】本题考查了新定义实际距离的理解与应用，掌握将新定义转化为绝对值方程，并结合图形确定坐标范围以去掉绝对值符号是解题的关键． 先理解实际距离的定义，根据点到三点的实际距离相等，先确定的坐标范围，再结合图形位置去掉绝对值符号，建立方程求解． 【详解】如图，设． 由“实际距离”的定义和点到点的“实际距离”相等，得点在矩形区域内， ∴，，． 若要使到的“实际距离”相等， 由图可知点只能在点左侧、点上方的位置， ∴， 解得，， 则． 故答案为：． 3．（24-25七年级下·湖北十堰·期末）新考向新定义在平面直角坐标系中，对于点，记，，将称为点的“横纵偏差”，记作，即，若点在线段上，将的最大值称为线段关于点的“横纵偏差”，记作． (1)点，． ①的值是 ． ②点在轴上，若，求点的坐标． (2)点在轴上，点在点的上方．若点的坐标为，点的坐标为，，求的值． 【答案】(1)①；②或 (2) 【分析】（）①根据新定义解答即可；②设点，由可得，进而得到，解方程求出即可求解； （）由题意可得点的坐标为，设点为线段上任意一点，则，可得，即可得，得到的最大值是，进而即可求解； 本题考查了坐标与图形，理解新定义是解题的关键． 【详解】（1）解：①∵点，， ∴，， ∴， 故答案为：； ②∵点在轴上， ∴设点， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴，， ∴， ∴或， 解得或， ∴点的坐标为或； （2）解：∵点在轴上，点在点的上方，点的坐标为，， ∴点的坐标为， 设点为线段上任意一点，则， ∵点的坐标为， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴的最大值是，即的值是． 【拓展训练三 坐标与几何综合应用】 【例1】（24-25七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，其中a，b满足．点M的坐标，在y轴的正半轴上有一点P，使得的面积与的面积相等，则点P的坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形，非负数的性质，先根据绝对值和平方的非负性求出的值，分别过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，相交于点，则，设，求出，根据题意得到，建立方程求解即可． 【详解】解：∵a，b满足， ∴， ∴， ∴，， 如图，分别过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，相交于点， 则， 设， ∵， ∴， ∵的面积与的面积相等， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【例2】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在中，．建立以为坐标原点，边所在直线为轴的平面直角坐标系，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】先利用勾股定理求出斜边的长度，再根据三角形的面积公式求出点到的距离（即纵坐标的长度），最后利用勾股定理求出点的横坐标． 【详解】解：①求斜边的长度： 在中，，，，根据勾股定理，可得： ． ②求点到的距离（即纵坐标）： 设点到的距离为，根据三角形面积公式，， ， ， ． ∴点的纵坐标为：． ③求点的横坐标： 设点的坐标为， ∵，根据勾股定理：， ， ． ∴点的坐标为：． 【点睛】本题考查了勾股定理和三角形面积公式的应用，解题关键是利用面积法求出点的纵坐标，再结合勾股定理求出横坐标． 1．（24-25七年级下·广东广州·期末）在平面直角坐标系xOy中，点，点，点C在y轴上，若三角形ABC的面积为3，则点C的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据题意作图得出C点的坐标即可． 【详解】解：根据题意作图如下： ∵点A（﹣1，0），点B（2，0），三角形ABC的面积为3， ∴AB＝OA+OB＝3， ∴C（0，2）或（0，﹣2） 故选：D． 【点睛】本题主要考查直角坐标系和三角形的面积，熟练掌握点的坐标和三角形的面积公式是解题的关键． 2．（24-25七年级下·江西赣州·期末）在平面直角坐标系中，点，点，若在坐标轴上有一点（不与点重合），使三角形和三角形面积相等，则点的坐标为___________． 【答案】、或 【分析】先根据三角形的面积公式求出，再分当点P在x轴上时，当点P在y轴上时，分别进行计算即可得到答案． 本题主要考查了坐标与图形，三角形面积的计算，解题的关键是采用分类讨论的思想解决问题． 【详解】解：根据题意得， 当点P在x轴上时，， ， 解得， ∴，或； 当点P在y轴上时，， ， 解得， ∴（舍去），或． 综上，点的坐标为或或， 故答案为：、或． 3．（24-25七年级下·湖南长沙·期中）在平面直角坐标系中，对于互不重合的两个点，令，若点P的坐标为，我们称点P为点A关于点B的友好点．例如：已知，则，点A关于点B的友好点为． (1)已知， ①点A关于点B的友好点的坐标为 ； ②若点B关于点C的友好点是点A，求点C的坐标． (2)已知点D在第一、三象限的角平分线上，点D关于点的友好点为点F，若点F到x轴的距离等于到y轴的距离的2倍，求点F的坐标． (3)已知点，点O为坐标原点，点M与点N为点G，O，H中任意两个点，若点K为点M关于点N的友好点，求所有可能的点K形成的图形的面积． 【答案】(1)； (2)或 (3)39 【分析】本题考查了新定义，坐标与图形等知识，理解新定义是关键． （1）①根据友好点的意义计算即可； ②设，利用友好点的意义建立方程即可求解； （2）设，由友好点的意义求得点F的坐标，根据题意求得a的值，即可求得点F的坐标； （3）分别求出所有可能的点K的坐标，所有可能点组成一个六边形，即可求出面积． 【详解】（1）解：①∵， ∴点A关于点B的友好点的坐标为， 故答案为：； ②设，则， 解得：， 即； （2）解：∵点在第一、三象限的角平分线上， ∴D点的两个坐标相等； 设，则点F的坐标为； ∵点F到x轴的距离等于到y轴的距离的2倍， ∴， 解得：或， 则点F的坐标为或； （3）解：点H关于点O的友好点的横纵坐标分别为，即的坐标为； 点O关于点H的友好点的横纵坐标分别为，即的坐标为； 同理，点H关于点G的友好点的坐标为， 点G关于点H的友好点的坐标为， 点O关于点G的友好点的坐标为， 点G关于点O的友好点的坐标为， 画图如下： 则所有可能的点K形成的图形即六边形的面积为：． A基础训练 1．（25-26八年级上·重庆·期中）若点在第一象限，则点一定在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题主要考查了判断点所在的象限，根据点所在的象限求参数．先根据第一象限内的点横纵坐标都为正得到，，进而得到，据此可得答案． 【详解】解：∵点在第一象限， ∴，， ∴， ∴点在第二象限． 故选：B． 2．（24-25七年级下·福建福州·期中）已知点，若点到轴、轴的距离相等，则点的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标特征、解绝对值方程等知识，熟练掌握平面直角坐标系中点的坐标特征是解题关键．首先根据点到轴、轴的距离相等，可解得或，然后确定点的坐标即可． 【详解】解：根据题意，点到轴、轴的距离相等， 则有， ∴或， 解得或， 当时，，，即， 当时，，，即， 所以，点的坐标为或． 故选：C． 3．（24-25八年级上·山西太原·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为4，点的坐标为，点在第二象限，点在第三象限．若轴，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正方形的性质及轴，得到轴，结合点的坐标，即可求解． 本题主要考查坐标与图形，解题的关键是：熟练掌握坐标与图形． 【详解】解：∵正方形的边长为4， ∴， ∵点的坐标为，轴， ∴轴， ∴点的横坐标为：，纵坐标为：，即：， ∴点的横坐标为：，纵坐标为：，即：， 故选：A． 4．（25-26八年级上·福建宁德·月考）在如图所示的网格中有四个点，鹏鹏在该网格中建立了一个平面直角坐标系，然后得到点的坐标为，点的坐标为，则点和点的坐标分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了坐标确定位置，建立正确的平面直角坐标系是解本题的关键． 根据与的坐标建立平面直角坐标系，确定出与的坐标即可． 【详解】解：如图建立平面直角坐标系， 则点和点的坐标分别为， 故选：D． 5．（24-25七年级下·山东青岛·期末）如图，在直角坐标系中，矩形的顶点位于坐标原点，点、坐标分别为和．若矩形与矩形关于点位似，且矩形的面积等于矩形面积的，则点的对应点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了位似图形的性质，坐标与图形，由已知可得矩形与矩形的位似比为，点的坐标为，进而即可求解，掌握位似图形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵矩形与矩形关于点位似，且矩形的面积等于矩形面积的， ∴矩形与矩形的位似比为， ∵点、坐标分别为和， ∴点的坐标为， ∴点的对应点的坐标是或，即或， 故选：． B 提高训练 6．（24-25七年级下·广东广州·月考）已知在第四象限，则在第_______象限． 【答案】二 【分析】本题考查了点的坐标，根据在第四象限，得出，再得出，，即可得出答案，熟记各象限内点的坐标的符号是解题的关键． 【详解】解：∵在第四象限， ∴， ∴，， ∴在第二象限， 故答案为：二． 7．（24-25七年级下·广东广州·期中）已知，在平面直角坐标系中，，点P在坐标轴上，，则点P的坐标为______． 【答案】或或或 【分析】本题考查了求点的坐标． 分点P在x轴上时和点P在y轴上时两种情况结合三角形面积公式计算即可． 【详解】解：当点P在x轴上时，设， 则，解得， ∴或； 当点P在y轴上时，设， 则， 解得， ∴或； 综上所述，点P的坐标为或或或． 故答案为：或或或． 8．（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点坐标分别为，，．若在第二象限内有一点，且四边形的面积是的面积的，则点P的坐标为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的面积及坐标与图形性质，先根据点A，B，C的坐标求出和的面积，再结合四边形的面积是的面积的得出的面积，据此求出a的值即可． 【详解】解：由题知， ∵的顶点坐标分别为，，， ∴，． 又∵四边形的面积是的面积的， ∴四边形的面积为， ∴， 则， 解得， 所以点P的坐标为． 故答案为：． 9．（24-25七年级下·广东广州·期末）在平面直角坐标系中，对于点若点Q的坐标为其中a为常数,则称点Q是点P的“a级关联点”．如：点的“3级关联点”即 （1）点的“2级关联点”的坐标是___________； （2）已知点的“级关联点”C到x轴、y轴的距离相等，则点C的坐标是___________． 【答案】 或 【分析】本题主要考查了点的坐标，解题关键是熟练掌握点到坐标轴的距离与坐标的关系，正确理解已知条件中的新定义的含义． （1）根据已知条件中的新定义求出答案即可； （2）先根据已知条件中的新定义求出点的“级关联点”C的坐标，再根据点C到x轴、y轴的距离相等，列出关于b的方程，解方程求出b，从而求出点C的坐标即可． 【详解】解：点， 点的“2级关联点”的坐标是，即点的“2级关联点”的坐标是， 故答案为：； 点的“级关联点”C的坐标为，即， 点的“级关联点”C到x轴、y轴的距离相等， ， ， 解得：或， 当时， ， 当时， 点C坐标为或． 故答案为：或． 10．（24-25七年级下·北京朝阳·期中）在平面直角坐标系中，我们定义，点沿着水平或竖直方向运动到达点的最短路径的长度为，两点之间的“横纵距离”．如图所示，点的坐标为，则，两点之间的“横纵距离”为． （）若点的坐标为，则，两点之间的“横纵距离”为_______； （）已知点的坐标为，，两点之间的“横纵距离”为，，两点之间的“横纵距离”为，请写出两个满足条件的点的坐标：_______，_______． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形，解答本题的关键是根据“横纵距离”的定义找到点的横坐标与纵坐标之间的关系． 点的坐标为，点的坐标为以及“横纵距离”的定义，可得，两点之间的“横纵距离”为； 根据“横纵距离”的定义可知，，方程两边同时相减可得：，探究发现只有当时，等式成立，当时，可得：，从而得到点的两个坐标． 【详解】解：点的坐标为，点的坐标为， ，两点之间的“横纵距离”为， 故答案为：； 解：设点的坐标是， ，两点之间的“横纵距离”为， ， ，两点之间的“横纵距离”为， ， 得：， 当时， 可得：， 当时，恒成立， 当时， 可得：， 解得：(不符合题意，舍去)， 当时， 可得：， 整理得：(不成立)， 当时， 可得：， 解得：， ， 点的坐标为或(答案不唯一)， 故答案为：或． C 培优训练 11．（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知是第二象限内的一个点，且点P到两坐标轴的距离之和为5，则点P的坐标是多少？ 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，熟练掌握每个象限坐标的特征是解题的关键． 根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数，点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的相反数，列方程求出a的值，再求解即可． 【详解】解：因为是第二象限内的一个点，且点到两坐标轴的距离之和为5， 所以， 解得， 所以， 所以点的坐标为． 12．（25-26八年级上·河南平顶山·期中）如图，已知长方形的长与宽分别为6，4，建立适当的平面直角坐标系，写出各个顶点的坐标： (1)如果以点C为坐标原点，分别以所在的直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则各个顶点的坐标分别为，； (2)如果以点A为坐标原点，分别以所在的直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则各个顶点的坐标分别为； (3)你还有其他不同的方案吗？请写出一种方案和各顶点坐标． 【答案】(1)；； (2)；； (3)能，方案见解析， 【分析】本题考查了图形顶点坐标．熟练掌握矩形性质，根据矩形特点建立适当坐标系，写出矩形顶点坐标，是解题的关键． （1）根据题意，建立相应的直角坐标系，表示出点A、B、D的坐标． （2）根据题意，建立相应的直角坐标系，表示出点B、C、D的坐标． （3）合理建立直角坐标系，表示出点A、B、C、D的坐标． 【详解】（1）解：以点C为坐标原点，分别以所在的直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则各个顶点的坐标分别为，. 故答案为：；；． （2）解：以点A为坐标原点，分别以所在的直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系， 则各个顶点的坐标分别为． 故答案为：；；． （3）解：以点D为坐标原点，分别以所在的直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系， 则各个顶点的坐标分别为． 13．（25-26八年级上·全国·课后作业）在如图所示的平面直角坐标系上描出下列各点，再把它们依次连接成封闭的图形，看看你得到的图形像什么？直接写出所形成的图形的面积． ，，，，，，，，，，，，，，，，． 【答案】图形见解析，所得到的图形像一只蝴蝶，其面积为22 【分析】本题考查了坐标系中描点问题，割补法求面积． 找出各坐标表示的点的位置，依次连接成封闭的图形，可知所得到的图形像一只蝴蝶，根据割补法求面积即可． 【详解】解：如图所示，即为所求： 所得到的图形像一只蝴蝶， 面积为 ． 14．（25-26八年级上·山西运城·期中）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴，轴距离的较小值称为点的“短距”．如图，当点的“短距”等于点的“短距”时，称，两点为“等距点”．已知点的坐标为． (1)在点，，中，为点的“等距点”的是点_____．（选填“”“”“”） (2)若点的坐标为，且，两点为“等距点”，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)的坐标为或或或 【分析】本题主要考查了点到坐标轴的距离，坐标与图形的性质，解题的关键是首先读懂“等距点”的定义，而后根据概念解决问题． （1）找到轴距离最小为1的点即可； （2）先分析出直线上的点到轴距离中有1的点，再根据“等距点”概念进行解答即可； 【详解】（1）解：∵点到轴的距离中最小值为 1 ， 点到轴的距离中最小值为1， 点到轴的距离中最小值为2， 点到轴的距离中最小值为1， ∴与点是“等距点”的点是，． （2）解：若，则． 当时，，此时点的坐标为． 当时，，此时点的坐标为． 若，则或． 当时，点的坐标为． 当时，点的坐标为． 综上所述，点的坐标为或或或． 15．（24-25八年级上·贵州贵阳·期中）如图，已知：在平面直角坐标系中点，，． (1)求的面积； (2)点P是y轴上一动点，当面积为面积的一半时，求点P的坐标． 【答案】(1)10 (2)或 【分析】本题考查了直角坐标系中点的坐标，三角形的面积． （1）先求出，再根据点C的坐标知点C到的距离为4，即可求的面积； （2）设点P坐标为，根据三角形面积公式得，，再根据面积为面积的一半得，解方程，进而可得点P的坐标． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 点C到的距离为4， ∴； （2）解：设点P坐标为， ，， ∵面积为面积的一半， ∴， ∴， ∴， ∴点P坐标为或． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 用坐标描述平面内点的位置重难点题型专训 （2个知识点+6大题型+3拓展训练+自我检测） 题型一 写出直角坐标系中点的坐标 题型二 求点到坐标轴的距离 题型三 判断点所在的象限 题型四 已知点所在的象限求参数 题型五 坐标系中描点 题型六 坐标与图形综合 拓展训练一 点坐标综合问题 拓展训练二 点的位置与坐标新定义问题 拓展训练三 坐标与几何综合应用 知识点一：坐标确定位置 平面内特殊位置的点的坐标特征 （1）各象限内点P（a，b）的坐标特征： ①第一象限：a＞0，b＞0；②第二象限：a＜0，b＞0；③第三象限：a＜0，b＜0；④第四象限：a＞0，b＜0． （2）坐标轴上点P（a，b）的坐标特征： ①x轴上：a为任意实数，b＝0；②y轴上：b为任意实数，a＝0；③坐标原点：a＝0，b＝0． （3）两坐标轴夹角平分线上点P（a，b）的坐标特征： ①一、三象限：a＝b；②二、四象限：a＝﹣b． 【即时训练】 1．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）在平面直角坐标系中，点一定在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（25-26七年级上·北京海淀·期末）在平面直角坐标系中，已知点在第二象限，且点到两坐标轴的距离之和为7，写出一个符合条件的点的坐标：__． 知识点二：点的坐标 （1）我们把有顺序的两个数a和b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）． （2）平面直角坐标系的相关概念 ①建立平面直角坐标系的方法：在同一平面内画；两条有公共原点且垂直的数轴． ②各部分名称：水平数轴叫x轴（横轴），竖直数轴叫y轴（纵轴），x轴一般取向右为正方向，y轴一般取象上为正方向，两轴交点叫坐标系的原点．它既属于x轴，又属于y轴． （3）坐标平面的划分 建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限． （4）坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系． 【即时训练】 1．（25-26七年级下·山西临汾·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·山西晋中·期末）2026年总台马年春晚吉祥物为“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”四匹骏马．如图是马的小篆字体，将其放在平面直角坐标系中，，两点的坐标分别为，，则点的坐标为__________． 【经典例题一 写出直角坐标系中点的坐标】 【例1】（24-25七年级下·湖北孝感·期末）在平面直角坐标系中，点，点，，且轴，则点A的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 【例2】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知点A到x轴的距离为6，到y轴的距离为7． （1）若点A在第二象限，则其坐标为_______________________________； （2）若点A在x轴的下方，则其坐标为____________________________； （3）若点A在y轴的左侧，则其坐标为__________________________． 1．（2026·贵州·一模）如图，这是围棋棋盘的一部分，若建立平面直角坐标系后，黑棋①的坐标是，白棋③的坐标是，则黑棋②的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，在边长为1的正方形网格中，点A、B、C均在格点上，若点B、C的坐标分别为、，则点A的坐标为______． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知点是平面直角坐标系内一点． (1)若点A在y轴上，求出点A的坐标； (2)若经过点，的直线与x轴平行，求出点A的坐标； (3)若点A到两坐标轴的距离相等，请直接写出点A的坐标． 【经典例题二 求点到坐标轴的距离】 【例1】（24-25八年级上·浙江宁波·期中）在平面直角坐标系中，已知点，若点M在两坐标轴的角平分线上，则m的值为（    ） A． B． C．或 D．2或4 【例2】（24-25七年级下·安徽阜阳·月考）在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，将点到轴的距离记作，到轴的距离记作． （1）若，则________； （2）若点在第二象限，且（为常数），则的值为________． 1．（24-25七年级下·全国·期末）在平面直角坐标系中，若点到两坐标轴的距离之差的绝对值等于点到两坐标轴距离之差的绝对值，则称，两点互为“等差点”，例如和到两坐标轴距离之差的绝对值都等于，它们互为“等差点”．若点和点互为“等差点”，则的值为（　　） A．或 B． C．或 D．或 2．（24-25七年级下·河南洛阳·期中）教材在第七章复习题的“拓广探索”中，曾让同学们探索发现：在平面直角坐标系中，线段中点的横坐标（纵坐标）分别等于对应线段的两个端点的横坐标（纵坐标）和的一半，例如：点，点，则线段的中点M的坐标为，请利用以上结论解决问题：在平面直角坐标系中，点，．若线段的中点G恰好在x轴负半轴上，且到y轴的距离是3，则________． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，对于、两点给出如下定义：若点到轴、轴的距离中的最大值等于点到轴、轴的距离中的最大值，则称、两点为“等距点”．下图中的、两点即为“等距点”． (1)已知点的坐标为． ①在点，，中，为点的“等距点”的是点 ； ②若点的坐标为，且、两点为“等距点”，则点的坐标为 ； (2)若，两点为“等距点”，求的值． 【经典例题三 判断点所在的象限】 【例1】（25-26八年级上·陕西安康·期中）已知在平面直角坐标系中的点，若点的纵坐标比横坐标大6，则点在(        ) A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 【例2】（2025·四川雅安·模拟预测）在平面直角坐标系中有五个点，分别是从中任选一个点恰好在第二象限的概率是_________． 1．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）如果点在x轴正半轴上，那么点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）定义 “新运算问题”：对于有序数对定义如下的运算 “”：，对于点，若，则点在第______象限． 3．（24-25七年级下·云南保山·月考）在平面直角坐标系中，对于点若点的坐标为，则称点为点A的“级牵挂点”，如点的“级牵挂点”为，即． (1)已知点的“级牵挂点”为，求点的坐标，并求出点到轴的距离； (2)已知点的“级牵挂点”为，求点的坐标及所在象限； (3)如果点的“级牵挂点”在轴上，求点的坐标； 【经典例题四 已知点所在的象限求参数】 【例1】（24-25八年级上·辽宁阜新·期中）已知点P在第三象限，且点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为1，则点P的坐标为（　 ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·河南新乡·期中）点在坐标轴上，则点P的坐标为______． 1．（24-25七年级下·安徽阜阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，点是被枫叶盖住的一点，则m的值可能为（   ） A． B．4 C．0 D． 2．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）已知平面直角坐标系中有一点． （1）若P点在x轴上，则m的值为______； （2）当点P到y轴的距离为3时，点P的坐标为______ 3．（25-26七年级下·全国·单元测试）（1）已知两点，，若轴，求的值，并确定的取值范围； （2）在平面直角坐标系中，点的坐标为．若点在第三象限，且到轴的距离为2，求点的坐标． 【经典例题五 坐标系中描点】 【例1】（24-25七年级下·河北秦皇岛·期中）在平面直角坐标系中，一个长方形的三个顶点的坐标分别为，则这个长方形的面积是（   ） A．24 B．25 C．30 D．28 【例2】（2025·山西晋中·模拟预测）如图是太原市杏花岭区某区域示意图，若医院所在的位置用表示，超市所在的位置用表示，则电影院所在的位置可表示为______． 1．（25-26八年级上·广东深圳·期中）图中标明了李同学家附近的一些地方．某日早晨，李同学从家里出发，沿，的路线转了一下，又回到家里，如图，依次连接他经过的地方，你得到的图形是（　　） A．心形 B．鱼 C．帆船 D．箭头 2．（25-26八年级上·贵州贵阳·期中）在平面直角坐标系中，已知点，若点在第一象限，且的面积为10，则的值为___________． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）在平面直角坐标系中描出下列各点，并将各组的点顺次连接起来． （1），，，； （2），，，； （3），． 观察所得的图形，你觉得它像什么？ 【经典例题六 坐标与图形综合】 【例1】（24-25八年级上·重庆大渡口·期末）若点在第四象限，且到轴的距离分别为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·江西上饶·期末）在平面直角坐标系中，有点，点，若在坐标轴上有一点C（不与点B重合），使三角形的面积是三角形面积的2倍，则点C的坐标为________． 1．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）如图，线段的端点，的坐标分别为，，，，且，则点的坐标为（   ）． A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，，点在轴正半轴上，线段与线段交于点．若与面积相等，则到直线的距离是________． 3．（24-25八年级·全国·课后作业）在如图所示的平面直角坐标系中，点，，，． (1)求四边形的面积； (2)在轴上找一点，使三角形的面积等于四边形面积的一半，求点的坐标． 【拓展训练一 点坐标综合问题】 【例1】（25-26七年级下·全国·课后作业）在一次科学探测活动中，探测人员发现一目标在如图所示的阴影区域内，则该目标的坐标可能是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·河北沧州·期中）在平面直角坐标系内，已知轴． （1）若点坐标为，点坐标为，则的值为___________． （2）若点坐标为，且，则点的坐标为___________． （3）若点、、的坐标分别为、、，且轴，则___________． 1．（24-25七年级下·云南大理·期末）如图，点都在方格纸的格点上，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标是（    ）    A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·山西临汾·期中）临汾市某中学举办秋季田径运动会，为了保障开幕式表演的整体效果，该校在操场中标记了几个关键位置，如图是利用平面直角坐标系画出的关键位置分布图，若这个坐标系分别以正东、正北方向为轴、轴的正方向，表示点的坐标为，表示点的坐标为，则表示点的坐标为______． 3．（25-26八年级上·广东深圳·周测）在平面直角坐标系中： (1)若点到两坐标轴的距离相等，求M的坐标为________； (2)若点，点，且轴，求M的坐标为________； (3)若点在坐标轴上，求M的坐标为________； (4)若点，点，且轴，，求M的坐标为________． 【拓展训练二 点的位置与坐标新定义问题】 【例1】（24-25八年级上·全国·课后作业）对于直角坐标平面内的任意两点，定义它们之间的一种“距离”： ．给出下列三个命题： ①若点C在线段上，则； ②在中，若，则； ③在中，．其中真命题的个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【例2】（24-25七年级下·广东广州·期末）在平面直角坐标系中取任意两点，，定义新运算“*”，得到新的点C的坐标为，即，若点在第一象限，点在第四象限，根据上述规则计算得到的点的坐标在第______象限． 1．（25-26七年级上·湖北武汉·月考）定义：，，例如，，那么（   ） A． B． C． D． 2．（2026七年级下·全国·专题练习）定义：在平面直角坐标系xOy中，把从点P出发沿纵或横方向到达点Q（至多拐一次弯）的路径长称为P，Q的“实际距离”．如图，若，，则P，Q的“实际距离”为5．点A，B，C的坐标分别为，，．若点M满足到点A，B，C的“实际距离”相等，则点M的坐标为________________． 3．（24-25七年级下·湖北十堰·期末）新考向新定义在平面直角坐标系中，对于点，记，，将称为点的“横纵偏差”，记作，即，若点在线段上，将的最大值称为线段关于点的“横纵偏差”，记作． (1)点，． ①的值是 ． ②点在轴上，若，求点的坐标． (2)点在轴上，点在点的上方．若点的坐标为，点的坐标为，，求的值． 【拓展训练三 坐标与几何综合应用】 【例1】（24-25七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，其中a，b满足．点M的坐标，在y轴的正半轴上有一点P，使得的面积与的面积相等，则点P的坐标为（  ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在中，．建立以为坐标原点，边所在直线为轴的平面直角坐标系，则点的坐标为________． 1．（24-25七年级下·广东广州·期末）在平面直角坐标系xOy中，点，点，点C在y轴上，若三角形ABC的面积为3，则点C的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 2．（24-25七年级下·江西赣州·期末）在平面直角坐标系中，点，点，若在坐标轴上有一点（不与点重合），使三角形和三角形面积相等，则点的坐标为___________． 3．（24-25七年级下·湖南长沙·期中）在平面直角坐标系中，对于互不重合的两个点，令，若点P的坐标为，我们称点P为点A关于点B的友好点．例如：已知，则，点A关于点B的友好点为． (1)已知， ①点A关于点B的友好点的坐标为 ； ②若点B关于点C的友好点是点A，求点C的坐标． (2)已知点D在第一、三象限的角平分线上，点D关于点的友好点为点F，若点F到x轴的距离等于到y轴的距离的2倍，求点F的坐标． (3)已知点，点O为坐标原点，点M与点N为点G，O，H中任意两个点，若点K为点M关于点N的友好点，求所有可能的点K形成的图形的面积． A基础训练 1．（25-26八年级上·重庆·期中）若点在第一象限，则点一定在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（24-25七年级下·福建福州·期中）已知点，若点到轴、轴的距离相等，则点的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 3．（24-25八年级上·山西太原·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为4，点的坐标为，点在第二象限，点在第三象限．若轴，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·福建宁德·月考）在如图所示的网格中有四个点，鹏鹏在该网格中建立了一个平面直角坐标系，然后得到点的坐标为，点的坐标为，则点和点的坐标分别为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·山东青岛·期末）如图，在直角坐标系中，矩形的顶点位于坐标原点，点、坐标分别为和．若矩形与矩形关于点位似，且矩形的面积等于矩形面积的，则点的对应点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 B 提高训练 6．（24-25七年级下·广东广州·月考）已知在第四象限，则在第_______象限． 7．（24-25七年级下·广东广州·期中）已知，在平面直角坐标系中，，点P在坐标轴上，，则点P的坐标为______． 8．（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点坐标分别为，，．若在第二象限内有一点，且四边形的面积是的面积的，则点P的坐标为________． 9．（24-25七年级下·广东广州·期末）在平面直角坐标系中，对于点若点Q的坐标为其中a为常数,则称点Q是点P的“a级关联点”．如：点的“3级关联点”即 （1）点的“2级关联点”的坐标是___________； （2）已知点的“级关联点”C到x轴、y轴的距离相等，则点C的坐标是___________． 10．（24-25七年级下·北京朝阳·期中）在平面直角坐标系中，我们定义，点沿着水平或竖直方向运动到达点的最短路径的长度为，两点之间的“横纵距离”．如图所示，点的坐标为，则，两点之间的“横纵距离”为． （）若点的坐标为，则，两点之间的“横纵距离”为_______； （）已知点的坐标为，，两点之间的“横纵距离”为，，两点之间的“横纵距离”为，请写出两个满足条件的点的坐标：_______，_______． C 培优训练 11．（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知是第二象限内的一个点，且点P到两坐标轴的距离之和为5，则点P的坐标是多少？ 12．（25-26八年级上·河南平顶山·期中）如图，已知长方形的长与宽分别为6，4，建立适当的平面直角坐标系，写出各个顶点的坐标： (1)如果以点C为坐标原点，分别以所在的直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则各个顶点的坐标分别为，； (2)如果以点A为坐标原点，分别以所在的直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则各个顶点的坐标分别为； (3)你还有其他不同的方案吗？请写出一种方案和各顶点坐标． 13．（25-26八年级上·全国·课后作业）在如图所示的平面直角坐标系上描出下列各点，再把它们依次连接成封闭的图形，看看你得到的图形像什么？直接写出所形成的图形的面积． ，，，，，，，，，，，，，，，，． 14．（25-26八年级上·山西运城·期中）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴，轴距离的较小值称为点的“短距”．如图，当点的“短距”等于点的“短距”时，称，两点为“等距点”．已知点的坐标为． (1)在点，，中，为点的“等距点”的是点_____．（选填“”“”“”） (2)若点的坐标为，且，两点为“等距点”，求点的坐标． 15．（24-25八年级上·贵州贵阳·期中）如图，已知：在平面直角坐标系中点，，． (1)求的面积； (2)点P是y轴上一动点，当面积为面积的一半时，求点P的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $