专题01 平方根重难点题型专训（3个知识点+10大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（人教版）

专题01 平方根重难点题型专训 （3个知识点+10大题型+3拓展训练+自我检测） 题型一 平方根概念理解 题型二 求一个数的平方根 题型三 求代数式的平方根 题型四 已知一个数的平方根，求这个数 题型五 利用平方根解方程 题型六 求一个数的算术平方根 题型七 利用算术平方根的非负性解题 题型八 估计算术平方根的取值范围 题型九 与算术平方根有关的规律探索题 题型十 算术平方根的实际应用 拓展训练一 平方根的化简运算 拓展训练二 平方根的非负性题型 拓展训练三 平方根的综合应用 知识点一：平方根 1.平方根：如果，那么x叫做a的平方根，也叫做二次方根. （1）在中，因为，所以； （2）检验x是不是a的平方根，只需验证是不是等于a就可以了. 2.平方根的表示：正数a的正的平方根记作，负的平方根记作，正数a的两个平方根记作，读作“正、负根号a”. 3.一个数的平方根平方后仍然等于这个数. 4.求一个非负带分数的平方根时，要先化成假分数，再求平方根. 【即时训练】 1．（25-26七年级下·江苏南京·课后作业）关于平方根的说法：①是的平方根；②的平方根是；③的平方根是；④是的平方根：⑤的平方根是．若正确的打“√”，错误的打“×”，下列判断正确的是（   ） A．①√②×③×④√⑤× B．①√②√③×④×⑤× C．①×②×③×④√⑤× D．①×②×③√④×⑤√ 2．（24-25七年级下·江苏南京·假期作业）正数有_________个平方根，它们互为_________；0的平方根是_________；负数_________平方根；平方根是它本身的数是_________；算术平方根是它本身的数是_________． 知识点二：算术平方根 1.算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根； 2.算术平方根的表示：正数a的算术平方根记作，读作“根号a”； 3.算术平方根的性质：正数的算术平方根是一个正数，0的平方根也叫做0的算术平方根，负数没有算术平方根. 4.算术平方根具有双重非负性：①被开方数a是非负数，即；②算术平方根是非负数，即. 5.平方根与算术平方根的区别与联系 平方根 算术平方根 区别 个数 一个正数的平方根有两个，它们互为相反数 一个正数的算术平方根只有一个 表示方法 非负数a的平方根表示为 非负数a的算术平方根表示为 取值范围 正数的平方根是一正一负 正数的算术平方根一定是正数 联系 包含条件 平方根包含算术平方根，算术平方根是正的平方根（0除外）0. 存在条件 平方根和算术平方根都是只有非负数才有，0的平方根和算术平方根都是0. PS：算术平方根等于它本身的数只有0和1. 【即时训练】 1．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）连续两个正整数，较大数的算术平方根是，则较小数的算术平方根是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·福建三明·期末）一个正偶数的算术平方根为，则下一个正偶数的算术平方根为_____． 知识点三：开平方 ①.定义：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，a叫做被开方数. ②.开平方和平方根的区别与联系 1)开平方时，被开方数a必须是非负数. 2)平方根是数，是开平方的结果；开平方是一种运算，是求平方根的过程. 3)平方和开平方互为逆运算，可以用平方运算来检验开平方的结果是否正确. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·河南鹤壁·期中）我国古代的数学著作《九章算术》第四章“少广”中的“开方术”特指开平方运算．将2开平方，结果是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·江苏南京·课前预习）求一个数a的平方根的运算，叫做_________．（ a叫做_________）平方与开平方互逆运算． 一个数的算术平方根等于它本身，这个数是_________． 【经典例题一 平方根概念理解】 【例1】（24-25七年级下·江苏南通·月考）下列说法错误的是（　　） A．4是16的算术平方根 B．2是4的一个平方根 C．的平方根是 D．0的平方根与算术平方根都是0 【例2】（24-25七年级下·江苏南京·课前预习）一个正数有_____个平方根，零只有_____个平方根，它是0本身；_____没有平方根． 1．（25-26八年级上·贵州毕节·期末）已知一个正数的两个平方根分别是和，则的算术平方根是（   ） A．8 B．3 C．4 D．6 2．（24-25八年级上·山东青岛·月考）将一组数，2，，，，…，下列方式进行排列： ，2，，，； ，，4，，； … 若2的位置记为，的位置记为，则这个数的位置记为______． 3．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）一个正数x的两个不同的平方根分别是和． (1)求a和x的值； (2)求的算术平方根． 【经典例题二 求一个数的平方根】 【例1】（24-25八年级上·四川眉山·月考）下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·上海青浦·期中）的平方根是__________． 1．（24-25七年级下·北京·期中）小明用计算器求了一些正数的平方，记录如下表． 下面有四个推断： ①的平方根是 ②的算术平方根位于和这两个连续的整数之间； ③对于大于的两个正数，若它们的差等于，则它们的平方的差大于 ④一定有个整数的算术平方根在之间 其中正确的序号是（    ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 2．（24-25七年级上·山东烟台·期末）若实数x的平方等于5，则实数x的值为______________ ． 3．（24-25七年级下·河北唐山·期中）如图，是一个数值转换器，原理如图所示． (1)当输入的x值为16时，求输出的y值； (2)是否存在输入的x值后，始终输不出y值？如果存在，请直接写出所有满足要求的x值；如果不存在，请说明理由． (3)输入一个两位数x，恰好经过两次取算术平方根才能输出无理数，则 ． 【经典例题三 求代数式的平方根】 【例1】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）关于x的多项式与多项式相加后不含x的二次和一次项，则平方根为（    ） A．3 B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·江苏南京·课后作业）若＝3，求2x＋5的平方根_____． 1．（24-25七年级下·重庆巴南·期中）若一个正数的平方根为和，则（    ） A．7 B．16 C．25 D．49 2．（24-25七年级下·江苏南京·期中）已知正实数x 的平方根分别是n和．若 则的平方根为__________． 3．（24-25七年级下·安徽淮南·月考）全球气候变暖导致一些冰川融化并消失.在冰川消失12年后，一种低等植物苔藓就开始在岩石上生长.每一个苔藓都会长成近似圆形，苔藓的直径和冰川消失后经过的时间近似地满足如下的关系式：.其中d代表苔藓的直径（单位：厘米）；t代表冰川消失后经过的时间（单位：年）. (1)计算冰川消失16年后苔藓的直径； (2)如果测得一些苔藓的直径是28厘米，问冰川约是在多少年前消失的？ 【经典例题四 已知一个数的平方根，求这个数】 【例1】（25-26七年级下·江苏南京·随堂练习）若m和n是10的两个平方根，则的值是（    ） A．0 B．10 C．20 D． 【例2】（25-26八年级上·广东惠州·开学考试）若与是同一个正数a的平方根，则a为______ 1．（24-25八年级上·山东青岛·月考）如果一个正数的平方根是a+3及2a﹣15，那么这个正数是(   ) A．441 B．49 C．7或21 D．49或441 2．（25-26七年级下·江苏南京·课后作业）已知与都是的平方根，则的值为_______________． 3．（25-26七年级下·江苏南京·假期作业）已知实数，不相等，且，． (1)若的算术平方根为3，求的值； (2)如果与是同一个正数的两个平方根，求这个正数． 【经典例题五 利用平方根解方程】 【例1】（24-25七年级下·重庆永川·期末）若，则的值是（　　） A．0 B．2 C．3 D．2或3 【例2】（24-25七年级下·云南昭通·月考）已知的算术平方根为3，的平方根为±5，的平方根是______． 1．（25-26八年级上·福建福州·期末）两个完全相同的长方形如图放置，每个长方形的面积为32，图中阴影部分的面积为24，则每个长方形的周长为（   ） A．12 B．18 C．24 D．36 2．（24-25七年级下·河南信阳·期末）如图1，把两个面积都为5的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到一个如图2所示的大正方形．点P是对角线上一动点，连接，则的最小值为_________． 3．（24-25七年级下·河南安阳·月考）（1）阅读理解：在七年级上册的学习中，我们已经学习了一元一次方程，如果方程中只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，且等号两边都是整式，这样的方程我们就称之为一元二次方程，请根据平方根的定义解一元二次方程； （2）知识延伸：解一元二次方程． 子涵同学把看作一个整体，利用所学平方根的知识也解出了本题，相信你也做得出来，请写出你的解题过程； （3）迁移应用：由乘方的意义可知，，请你解方程． 【经典例题六 求一个数的算术平方根】 【例1】（24-25七年级下·重庆·期中）若，则的算术平方根为（   ） A． B． C． D．3 【例2】（25-26八年级上·四川雅安·期中）的绝对值是_____，的算术平方根是____，的平方根是___ 1．（24-25七年级下·云南红河·期末）按一定规律排列的单项式：，，，，，……；第n个单项式为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·江苏泰州·月考）按如图所示的程序进行运算：若输出的数为80，且输入的数不大于20，则正整数的值为________． 3．（25-26七年级下·江苏南京·周测）（1）计算：_______，_______，_______，_______，_______． （2）根据（1）中的计算结果，解答下列问题： ①一定等于a吗？你发现其中的规律了吗？请用自己的语言描述出来：_______________________________． ②利用你总结的规律化简： 若，则_______；_______． 【经典例题七 利用算术平方根的非负性解题】 【例1】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）若，则的取值为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·宁夏银川·月考）若，则_______ ． 1．（24-25七年级下·河南周口·月考）已知，，且，则的值等于（   ） A．7 B． C．3 D．7或 2．（2025·贵州贵阳·一模）小红同学在做题的时候不小心将墨水滴到了作业本上恰好遮住了一个数字，得到一个不完整的方程，则被遮住的“？”代表的数字为______． 3．（24-25七年级下·湖北孝感·月考）已知，求的平方根． 【经典例题八 估计算术平方根的取值范围】 【例1】（2025·云南·模拟预测）已知 则以下对|x|的估算正确的是（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·山西运城·期中）观察表格中的数据： x 32 33 34 35 36 37 38 1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444 由表格中的数据可知在_________之间． 1．（2025·四川泸州·一模）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么其面积.如果某个三角形的三边长分别为2，3，3，其面积S介于整数和n之间，那么n的值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26七年级下·重庆荣昌·期末）若m为正整数，且满足，的值是_____ 3．（25-26八年级上·吉林长春·期中）【阅读理解】我们来学习利用完全平方公式近似计算算术平方根的方法． 例如求的近似值． 因为， 所以． 则可以设成以下两种形式： ①，其中； ②，其中． 小明用①的形式求的近似值的过程如下： 因为，所以． 即． 因为比较小，将忽略不计， 所以，即， 得． 所以． 【尝试探究】用②的形式求的近似值．（结果保留位小数） 【问题解决】用①、②两种形式求的近似值．（结果保留位小数） 【比较分析】用哪种形式求的近似值的精确度更高？并说明理由． 【经典例题九 与算术平方根有关的规律探索题】 【例1】（25-26八年级上·福建泉州·月考）现有一组有规律排列的数如下：0，，，1，按此规律排列后，第2025个数为（    ） A． B． C．44 D． 【例2】（25-26八年级上·山东青岛·期中）观察下表，我们可以发现被开方数和它的算术平方根的变化规律： a 1 100 10000 1000000 1 10 100 1000 根据发现的规律，若，，那么的值为________． 1．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第11行从左至右第4个数是（   ） A． B． C． D． 2．（2025七年级下·江苏南京·专题练习）观察下列等式∶； ； ； ； 根据以上规律，计算______． 3．（25-26七年级下·江苏南京·月考）为了探究被开方数的小数点与算术平方根的小数点的移动规律，数学小组设计了下表，通过观察回答问题． … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 1 100 … (1)上表中，_________，_________． (2)从表格中探究与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题． ①已知，则_________； ②已知．若，则_________（用含的代数式表示）． (3)用语言概括你所发现的规律． 【经典例题十 算术平方根的实际应用】 【例1】（24-25七年级下·福建厦门·期中）小明用计算器求了一些正数的平方，记录如表，下面有四个推断：①；②一定有3个整数的算术平方根在之间；③对于大于16的两个正数，若它们的差等于0.1，则它们的平方的差一定大于3.19；④与更接近的整数是15，所有合理推断的序号是（   ） x 15 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7 15.8 15.9 16 225 228.01 231.04 234.09 237.16 240.25 243.36 246.49 249.64 252.81 256 A．② B．②③ C．①②③ D．②③④ 【例2】（25-26七年级上·江苏泰州·月考）如图，由七排小正方形（每个小正方形的边长为1）拼成一个图案．将原图案中所有的小正方形重拼成两个正方形，则其中较大的正方形边长为________． 1．（24-25七年级下·福建福州·期中）大、中、小三个正方形摆放如图所示，若大正方形的面积为6，小正方形的面积为1，则正方形的边长可能是（    ） A．1 B．1.3 C． D． 2．（25-26八年级上·上海松江·期中）如图，分别把两个面积为的小正方形沿一条对角线裁成4个小三角形，将4个小三角形拼成一个大正方形，那么大正方形的边长是_____． 3．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）观察图1：每个小正方形的边长均是1，我们可以得到小正方形的面积为 (1)图1中阴影正方形的面积是______，并由面积求正方形的边长，可得边长 AB长为______； (2)在图2，正方形方格中，由题的解题思路和方法，设计一个方案画出长为的线段． (3)如图3，网格中每个正方形边长为1，若把阴影部分剪拼成一个正方形，则新正方形的边长是______． 【拓展训练一 平方根的化简运算】 【例1】（24-25七年级下·江苏南京·课后作业）已知，且，化简（    ）． A． B．1 C．或 D．3或1或或 【例2】（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·月考）化简：______ 1．（25-26七年级下·江苏南京·课后作业）（1）化简：________；________；________；________； （2）根据（1）的计算结果，化简，． 2．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·开学考试）先化简，再求值：，其中． 3．（24-25七年级下·安徽芜湖·月考）观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)化简：______； (2)写出第个等式（用含的式子表示）； (3)若，求的值． 【拓展训练二 平方根的非负性题型】 【例1】（25-26七年级下·山西临汾·月考）已知与互为相反数，则的值是（   ） A． B． C．9 D． 【例2】（25-26八年级上·四川达州·月考）已知，则的值是________． 1．（2026七年级下·江苏南京·专题练习）已知与互为相反数，求的值． 2．（24-25七年级下·天津和平·月考）已知：，求代数式的平方根． 3．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）若，试求的值． 【拓展训练三 平方根的综合应用】 【例1】（24-25七年级下·河北唐山·期中）已知一块面积为的正方形纸片，甲乙两名同学想沿着边的方向裁出一块长方形纸片，设计方案如下；甲方案：能裁出长宽比为，面积为的长方形；乙方案：能裁出长宽比为，面积为的长方形．对于这两个方案的判断，正确的是（     ） A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对，乙不对 D．乙对，甲不对 【例2】（25-26八年级上·上海·期中）已知是正整数，且是整数，则的最小值为_____． 1．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）求如图方格中阴影正方形的面积和边长（小正方格的边长为个单位长度）． 2．（25-26八年级上·浙江绍兴·月考）填写表格： a 0.0016 0.16 16 1600 0.04 0.4 从中观察得出被开方数a的小数点与算术平方根的小数点的移动规律． 3．（25-26八年级上·江西吉安·期末）定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例：1，4，9这三个数，=2，=3，=6，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数称为“和谐组合”，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6． (1)请证明：2，8，18这三个数是“和谐组合”，并求出最小算术平方根和最大算术平方根； (2)已知4，a，25三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的5倍，求a的值． A基础训练 1．（24-25七年级下·江苏南京·单元测试）下列说法中正确的有（  ） ①一个数的算术平方根一定是正数； ②一个正数有两个平方根，它们互为相反数； ③ 的平方根记为； ④ 表示的平方根． A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 2．（24-25八年级上·河南郑州·月考）“的平方根是”的数学表达式是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）以下是嘉琪所做的道填空题，每道分，则嘉琪实际得分为（   ）   、（精确到千位）． 、的算术平方根是（）． 、已知，求． 、，则的值是（）． A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·湖北省直辖县级单位·月考）设，，，，，则的值为（　　） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·广东惠州·期中）将图1中的长方形分成B，C两部分，恰与正方形A拼接成如图2的大正方形．正方形A的面积为4．拼接后的大正方形的面积是5，图1中原长方形的周长为（　　） A． B．4 C． D．8 B 提高训练 6．（25-26七年级下·江苏南京·课后作业）若的平方根只有一个，则x的值是_______． 7．（24-25七年级下·广东肇庆·期末）如果和互为相反数，那么的平方根是______． 8．（24-25七年级下·江苏南京·假期作业）按照如图所示的操作步骤，若输入的值为3，则输出的值为_________． 9．（24-25七年级下·湖北荆州·期中）观察下列各式：，，，，； （1）已知n为正整数，＝_____； （2）的值为 _______． 10．（24-25七年级下·四川南充·期末）下列各个图形中，“●”的个数用a表示，“○”的个数用b表示，如时，，；时，，；……根据图形的变化规律，当时，的值为________． C 培优训练 11．（25-26八年级上·福建宁德·期中）已知与是正数的两个不相等的平方根． (1)求的值； (2)求这个正数． 12．（24-25七年级下·江苏南京·课后作业）求下列各数的平方根： (1)49； (2)； (3)； (4)0.0064． 13．（25-26七年级下·江苏南京·课后作业）[核心素养]【实践与探究】 （1）计算： ， ， ， ， ； 【归纳与应用】 （2）观察（1）中的等式，发现其中的规律，并猜想与有怎样的关系，请用数学式子表示出来； （3）利用你得到的规律，计算： ①若，则 ； ② ． 14．（24-25七年级下·山东青岛·期中）（1）用两种不同方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式．如图1，用长为a，宽为b的四个相同的长方形拼成一个大正方形，用两种不同的方法计算阴影部分（小正方形）的面积，可以得到、、三者之间的等量关系式 ． （2）类似的，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个等式，如图2，观察大正方体分割，可以得到等式： （3）已知，请应用上面所得的结论，直接写出的结果 ． 15．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）如图，把图（1）中两个小正方形纸片分别沿对角线剪开，拼成一个面积为的大正方形纸片如图（2）． (1)原小正方形的边长为______； (2)如图3，把两个长为3，宽为1的长方形纸片分别沿对角线剪开，拼成一个大正方形纸片，发现大正方形内部是一个小正方形，求小正方形的面积与边长． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 平方根重难点题型专训 （3个知识点+10大题型+3拓展训练+自我检测） 题型一 平方根概念理解 题型二 求一个数的平方根 题型三 求代数式的平方根 题型四 已知一个数的平方根，求这个数 题型五 利用平方根解方程 题型六 求一个数的算术平方根 题型七 利用算术平方根的非负性解题 题型八 估计算术平方根的取值范围 题型九 与算术平方根有关的规律探索题 题型十 算术平方根的实际应用 拓展训练一 平方根的化简运算 拓展训练二 平方根的非负性题型 拓展训练三 平方根的综合应用 知识点一：平方根 1.平方根：如果，那么x叫做a的平方根，也叫做二次方根. （1）在中，因为，所以； （2）检验x是不是a的平方根，只需验证是不是等于a就可以了. 2.平方根的表示：正数a的正的平方根记作，负的平方根记作，正数a的两个平方根记作，读作“正、负根号a”. 3.一个数的平方根平方后仍然等于这个数. 4.求一个非负带分数的平方根时，要先化成假分数，再求平方根. 【即时训练】 1．（25-26七年级下·江苏南京·课后作业）关于平方根的说法：①是的平方根；②的平方根是；③的平方根是；④是的平方根：⑤的平方根是．若正确的打“√”，错误的打“×”，下列判断正确的是（   ） A．①√②×③×④√⑤× B．①√②√③×④×⑤× C．①×②×③×④√⑤× D．①×②×③√④×⑤√ 【答案】A 【分析】本题考查了对平方根的定义的理解，正数的平方根有两个，且互为相反数；负数没有平方根．根据平方根的意义与性质逐个进行判断即可． 【详解】解：①的平方根是，故是的平方根正确，即①； ②的平方根是，故的平方根是错误，即②； ③负数没有平方根，故的平方根是错误，即③； ④的平方根，故是的平方根正确，即④； ⑤的平方根是，所以的平方根是错误，即⑤； 故选：A ． 2．（24-25七年级下·江苏南京·假期作业）正数有_________个平方根，它们互为_________；0的平方根是_________；负数_________平方根；平方根是它本身的数是_________；算术平方根是它本身的数是_________． 【答案】 2 相反数 0 没有 0 0和1 【分析】本题考查了平方根的相关概念性质内容，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：正数有2个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没平方根；平方根是它本身的数是0；算术平方根是它本身的数是0和1． 故答案为：2；相反数；0；没有；0；0和1 知识点二：算术平方根 1.算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根； 2.算术平方根的表示：正数a的算术平方根记作，读作“根号a”； 3.算术平方根的性质：正数的算术平方根是一个正数，0的平方根也叫做0的算术平方根，负数没有算术平方根. 4.算术平方根具有双重非负性：①被开方数a是非负数，即；②算术平方根是非负数，即. 5.平方根与算术平方根的区别与联系 平方根 算术平方根 区别 个数 一个正数的平方根有两个，它们互为相反数 一个正数的算术平方根只有一个 表示方法 非负数a的平方根表示为 非负数a的算术平方根表示为 取值范围 正数的平方根是一正一负 正数的算术平方根一定是正数 联系 包含条件 平方根包含算术平方根，算术平方根是正的平方根（0除外）0. 存在条件 平方根和算术平方根都是只有非负数才有，0的平方根和算术平方根都是0. PS：算术平方根等于它本身的数只有0和1. 【即时训练】 1．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）连续两个正整数，较大数的算术平方根是，则较小数的算术平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了算术平方根，熟知算术平方根的定义是解题的关键．先求出这个数，然后根据算术平方根的定义再求出它的前一个数的算术平方根即可． 【详解】解：∵较大数的算术平方根是， ∴较大数为， 又这两个数是连续两个正整数， ∴较小数为， ∴较小数的算术平方根是， 故选：D． 2．（24-25七年级下·福建三明·期末）一个正偶数的算术平方根为，则下一个正偶数的算术平方根为_____． 【答案】/ 【分析】本题考查了算术平方根的定义，这个正偶数为，根据题意得到，则，易得和这个正偶数相邻的下一个偶数为，再根据算术平方根的定义易得和这个正偶数相邻的下一个偶数的算术平方根，解题的关键是熟记一个正数的正的平方根叫这个数的算术平方根． 【详解】解：设这个正偶数为，则 ， ∴， 则和这个正偶数相邻的下一个偶数为， ∴和这个正偶数相邻的下一个偶数的算术平方根为， 故答案为：． 知识点三：开平方 ①.定义：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，a叫做被开方数. ②.开平方和平方根的区别与联系 1)开平方时，被开方数a必须是非负数. 2)平方根是数，是开平方的结果；开平方是一种运算，是求平方根的过程. 3)平方和开平方互为逆运算，可以用平方运算来检验开平方的结果是否正确. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·河南鹤壁·期中）我国古代的数学著作《九章算术》第四章“少广”中的“开方术”特指开平方运算．将2开平方，结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平方根的定义直接求解即可得到答案． 【详解】解：将2开平方，结果是， 故选：D． 【点睛】本题考查平方根，熟记平方根的定义是解决问题的关键． 2．（24-25七年级下·江苏南京·课前预习）求一个数a的平方根的运算，叫做_________．（ a叫做_________）平方与开平方互逆运算． 一个数的算术平方根等于它本身，这个数是_________． 【答案】 开平方 被开方数 0或1 【解析】略 【经典例题一 平方根概念理解】 【例1】（24-25七年级下·江苏南通·月考）下列说法错误的是（　　） A．4是16的算术平方根 B．2是4的一个平方根 C．的平方根是 D．0的平方根与算术平方根都是0 【答案】C 【分析】此题考查了算术平方根、平方根，根据算术平方根、平方根的定义解答即可． 【详解】A、4是16的算术平方根，原说法正确，故此选项不符合题意； B、2是4的一个平方根，原说法正确，故此选项不符合题意； C、的平方根是，原说法错误，故此选项符合题意； D、0的平方根与算术平方根都是0，原说法正确，故此选项不符合题意； 故选：C． 【例2】（24-25七年级下·江苏南京·课前预习）一个正数有_____个平方根，零只有_____个平方根，它是0本身；_____没有平方根． 【答案】 两 一 负数 【解析】略 1．（25-26八年级上·贵州毕节·期末）已知一个正数的两个平方根分别是和，则的算术平方根是（   ） A．8 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】本题利用正数的平方根的性质解题，即正数的两个平方根互为相反数，据此列出方程求出的值，再计算的算术平方根即可得到答案． 【详解】∵ 正数的两个平方根互为相反数. ∴ 解得 则9的算术平方根是3． 2．（24-25八年级上·山东青岛·月考）将一组数，2，，，，…，下列方式进行排列： ，2，，，； ，，4，，； … 若2的位置记为，的位置记为，则这个数的位置记为______． 【答案】 【分析】每行5个数，被开方数为偶数，第n个数可表示为，，，故位于第80行，第5列的位置，故这个数的位置记为． 【详解】解：原排列即： ，，，，； ，，，，； … 每行5个数，被开方数为偶数，第n个数可表示为 ，，故为第400个数，位于第80行，第5列的位置，，，故这个数的位置记为； 故答案为： 【点睛】本题考查数字规律探索，由已知数列，得出第n个数可表示为的规律是解题的关键． 3．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）一个正数x的两个不同的平方根分别是和． (1)求a和x的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)， (2)6 【分析】本题考查平方根与算术平方根的定义和性质．解题的关键是掌握一个正数的两个平方根互为相反数． （1）根据正数的两个平方根互为相反数，列式求解即可； （2）根据算术平方根的定义，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题可知，， 解得， 则． （2）将与的值代入，得 ． 则． 故的算术平方根是6． 【经典例题二 求一个数的平方根】 【例1】（24-25八年级上·四川眉山·月考）下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方根与算术平方根，熟练掌握平方根与算术平方根是解题关键． 根据平方根与算术平方根的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、，此项错误，不符合题意； B、，此项错误，不符合题意； C、，此项正确，符合题意； D、，此项错误，不符合题意； 故选：C． 【例2】（24-25七年级下·上海青浦·期中）的平方根是__________． 【答案】 【分析】本题考查求一个数的平方根的运算，根据平方根的意义计算即可． 【详解】解：， 即的平方根是， 故答案为： 1．（24-25七年级下·北京·期中）小明用计算器求了一些正数的平方，记录如下表． 下面有四个推断： ①的平方根是 ②的算术平方根位于和这两个连续的整数之间； ③对于大于的两个正数，若它们的差等于，则它们的平方的差大于 ④一定有个整数的算术平方根在之间 其中正确的序号是（    ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查算术平方根，平方根，熟练掌握算术平方根的性质是解题的关键； 根据算术平方根，平方根的定义和性质进行判定即可求解； 【详解】解：的平方根是，故①正确； 的算术平方根位于和这两个连续的整数之间；故②正确； 对于大于的两个正数，若它们的差等于，则它们的平方的差大于，故③正确； ，， 之间有，， 一定有个整数的算术平方根在之间；故④正确； 综上所述：正确的序号是①②③④； 故选：D 2．（24-25七年级上·山东烟台·期末）若实数x的平方等于5，则实数x的值为______________ ． 【答案】 【分析】本题考查了平方根掌握以上知识是解题的关键；根据平方根的定义即可求解； 【详解】解：∵实数x的平方等于5，即， ∴解得：， 故答案为：； 3．（24-25七年级下·河北唐山·期中）如图，是一个数值转换器，原理如图所示． (1)当输入的x值为16时，求输出的y值； (2)是否存在输入的x值后，始终输不出y值？如果存在，请直接写出所有满足要求的x值；如果不存在，请说明理由． (3)输入一个两位数x，恰好经过两次取算术平方根才能输出无理数，则 ． 【答案】(1) (2)存在，或1或负数 (3)25或36或49或64 【分析】此题考查了算术平方根的计算和性质． （1）按照程序依次计算即可得到答案； （2）或1时，它们的算术平方根是本身，是有理数，不是无理数，负数没有算术平方根，据此即可进行解答； （3）根据平方根的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：由题意可得，，， 则； （2）存在， 当或1，它们的算术平方根是本身，是有理数，不是无理数；负数没有算术平方根， ∴当或1或负数时，始终输不出值， 综上所述，或1或负数． （3）或或或． 则两位数或36或49或64， 故答案为：25或36或49或64 【经典例题三 求代数式的平方根】 【例1】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）关于x的多项式与多项式相加后不含x的二次和一次项，则平方根为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】将两个多项式相加，根据相加后不含x的二次和一次项，求得m、n的值，再进行计算． 【详解】＋ ＝ 由题意知，， ， ∴，， ∴， 9的平方根是， ∴平方根为， 故选：C． 【点睛】此题考查了整式的加减−化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键，同时考查了平方根的定义，熟练掌握正数有两个平方根，0的平方根是0，负数没有平方根． 【例2】（24-25七年级下·江苏南京·课后作业）若＝3，求2x＋5的平方根_____． 【答案】 【详解】∵， ∴，解得：， ∴， ∴的平方根为：. 故答案为：. 点睛：本题解题的要点有两点：（1）式子表示“的算术平方根是3”，由此即可求得的值；（2）的值是一个正数，因此其平方根有两个. 1．（24-25七年级下·重庆巴南·期中）若一个正数的平方根为和，则（    ） A．7 B．16 C．25 D．49 【答案】D 【分析】首先根据正数的两个平方根互为相反数，列的方程：（）+（）=0，解方程即可求得a的值，代入即可求得x的两个平方根，则可求得x的值． 【详解】∵一个正数x的平方根为和， ∴（）+（）=0， 解得：a=7. ∴=7，=-7， ∴x=(±7)  =49. 故选D. 【点睛】此题考查平方根，解题关键在于求出a的值. 2．（24-25七年级下·江苏南京·期中）已知正实数x 的平方根分别是n和．若 则的平方根为__________． 【答案】 【分析】本题考查了平方根的定义，解题的关键是掌握平方根的定义进行解题． 根据平方根的定义，先求出，然后求出，最后根据平方根的定义即可得到答案． 【详解】解：正实数x 的平方根分别是n和． ， 若 则， 解得， ， ， 则的平方根为． 故答案为：． 3．（24-25七年级下·安徽淮南·月考）全球气候变暖导致一些冰川融化并消失.在冰川消失12年后，一种低等植物苔藓就开始在岩石上生长.每一个苔藓都会长成近似圆形，苔藓的直径和冰川消失后经过的时间近似地满足如下的关系式：.其中d代表苔藓的直径（单位：厘米）；t代表冰川消失后经过的时间（单位：年）. (1)计算冰川消失16年后苔藓的直径； (2)如果测得一些苔藓的直径是28厘米，问冰川约是在多少年前消失的？ 【答案】(1)冰川消失16年后苔藓的直径为14厘米 (2)冰川约是在28年前消失的 【分析】本题考查了无理数的应用，已知字母的值求代数式的值，求一个数的算术平方根，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，得，进行计算，即可作答． （2）理解题意，得，进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，， 答：冰川消失16年后苔藓的直径为14厘米． （2）解：依题意，， 解得：， 答：冰川约是在28年前消失的． 【经典例题四 已知一个数的平方根，求这个数】 【例1】（25-26七年级下·江苏南京·随堂练习）若m和n是10的两个平方根，则的值是（    ） A．0 B．10 C．20 D． 【答案】D 【分析】先根据平方根的性质得出与的关系（和与积），再代入式子计算．本题主要考查了平方根的性质（一个正数的两个平方根互为相反数，以及平方根与原数的关系），熟练掌握“正数的两个平方根互为相反数，且它们的积为原数的相反数”是解题的关键． 【详解】解： 和是的两个平方根， ， ，（或反之 ）， ∴． ． 故选：D． 【例2】（25-26八年级上·广东惠州·开学考试）若与是同一个正数a的平方根，则a为______ 【答案】4或 【分析】本题考查平方根的定义、互为相反数的两个数和为0，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先根据与是同一个正数a的平方根，所以或，解得或，即可得或，最后平方得到a的值． 【详解】由与是同一个正数a的平方根， 或， 解得或， 或， 或， 故答案为：4或． 1．（24-25八年级上·山东青岛·月考）如果一个正数的平方根是a+3及2a﹣15，那么这个正数是(   ) A．441 B．49 C．7或21 D．49或441 【答案】B 【分析】根据正数的平方根有两个，且互为相反数，由此可得a的方程，解方程即可得到a的值；进而可得这个正数的平方根，最后可得这个正数的值． 【详解】解：∵一个正数的平方根是a+3和2a﹣15， ∴a+3和2a﹣15互为相反数， 即(a+3)+(2a﹣15)＝0； 解得a＝4， 则a+3＝﹣(2a﹣15)＝7； 则这个数为＝49； 故选：B． 【点睛】本题考查了平方根的概念、解一元一次方程，注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数． 2．（25-26七年级下·江苏南京·课后作业）已知与都是的平方根，则的值为_______________． 【答案】49或441 【分析】本题考查了平方根的性质，掌握一个正数的两个平方根互为相反数的性质，以及运用分类讨论思想分析两种可能情况是解题的关键． 根据平方根的性质，分类讨论两种情况：当两个式子表示同一个平方根时，它们相等；当表示两个平方根时，它们互为相反数． 【详解】解：①当 与 是同一个平方根时， ， 解得 ， 此时 ； ②当 与 是两个平方根时， ， 解得 ， 此时 ． 故答案为：或． 3．（25-26七年级下·江苏南京·假期作业）已知实数，不相等，且，． (1)若的算术平方根为3，求的值； (2)如果与是同一个正数的两个平方根，求这个正数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了算术平方根，平方根的定义，注意二次根式与平方的联系． （1）先求出的值，再根据列出方程，求出的值； （2）一个正数的两个平方根互为相反数，和为0，列出方程，求出，然后求出，最后求出这个正数． 【详解】（1）解：的算术平方根为3， ， 即， ； （2）解：根据题意得：， 即：， ， ， 这个正数为． 【经典例题五 利用平方根解方程】 【例1】（24-25七年级下·重庆永川·期末）若，则的值是（　　） A．0 B．2 C．3 D．2或3 【答案】D 【分析】根据算术平方根的定义解答即可. 【详解】      故选：D 【点睛】本题主要考查了算术平方根的定义：如果一个正数的平方等于a，那么这个正数叫做a的算术平方根，记作．正确理解算术平方根的定义是解题的关键. 【例2】（24-25七年级下·云南昭通·月考）已知的算术平方根为3，的平方根为±5，的平方根是______． 【答案】±1 【分析】运用算术平方根和平方根的意义列出方程，解出未知数，再求的平方根即可求解． 【详解】解：由题意得， ， 解得， ∴ ， ， 的平方根是， 故答案为：． 【点睛】此题考查了运用平方根进行有关运算的能力，关键是能准确理解并运用以上知识． 1．（25-26八年级上·福建福州·期末）两个完全相同的长方形如图放置，每个长方形的面积为32，图中阴影部分的面积为24，则每个长方形的周长为（   ） A．12 B．18 C．24 D．36 【答案】C 【分析】本题考查了图形面积，平方根的运用，理解图示，正确表示出图形面积，平方根的计算是关键，根据题意设,，由此列式得到，根据周长的计算即可求解． 【详解】解：如图所示， ∴设,， ∴， 整理得，， 解得，或（负值舍去）， ∴， ∴， 故选：C ． 2．（24-25七年级下·河南信阳·期末）如图1，把两个面积都为5的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到一个如图2所示的大正方形．点P是对角线上一动点，连接，则的最小值为_________． 【答案】5 【分析】本题考查了垂线段最短、利用平方根解方程、实数的运算，熟练掌握垂线段最短是解题关键．设正方形的对角线、相交于点，则根据题意可得，，，利用三角形的面积公式、平方根解方程可得，再根据垂线段最短可知，当，即点与点重合时，取得最小值，由此即可得解． 【详解】解：如图，设正方形的对角线、相交于点， 由题意知，，，， ， 解得，或（舍去） 由垂线段最短可知，当，即点与点重合时，取得最小值， 则的最小值为． 故答案为：5． 3．（24-25七年级下·河南安阳·月考）（1）阅读理解：在七年级上册的学习中，我们已经学习了一元一次方程，如果方程中只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，且等号两边都是整式，这样的方程我们就称之为一元二次方程，请根据平方根的定义解一元二次方程； （2）知识延伸：解一元二次方程． 子涵同学把看作一个整体，利用所学平方根的知识也解出了本题，相信你也做得出来，请写出你的解题过程； （3）迁移应用：由乘方的意义可知，，请你解方程． 【答案】（1）；（2）或；（3） 【分析】本题考查了解一元二次方程，平方根的定义，乘方的意义． （1）先移项，然后根据平方根的定义直接开平方即可； （2）先移项整理得，再根据平方根的定义开平方得，再解一元一次方程即可； （3）根据乘方的意义和平方根的定义开两次平方即可得解． 【详解】解：（1）， ； （2）， ， ， ， 或； （3）， ， 或（舍去）， ． 【经典例题六 求一个数的算术平方根】 【例1】（24-25七年级下·重庆·期中）若，则的算术平方根为（   ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】本题考查非负性，求一个数的算术平方根，根据非负性求出的值，再根据算术平方根的定义，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的算术平方根为3； 故选D． 【例2】（25-26八年级上·四川雅安·期中）的绝对值是_____，的算术平方根是____，的平方根是___ 【答案】 / /0.5 【分析】根据绝对值的性质、算术平方根的定义、平方根的定义分别计算即可． 【详解】解：的绝对值是； ，算术平方根是； ，4的平方根是， 故答案为：，，． 1．（24-25七年级下·云南红河·期末）按一定规律排列的单项式：，，，，，……；第n个单项式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的探究规律，准确分析计算是解题的关键． 观察序列的根号部分和指数部分，根号下数字对应项数，的指数为奇数序列，可表示为． 【详解】第项: , 第项: , 第项: , …… 根号部分为，的指数为， 第n个单项式为； 故选． 2．（25-26七年级上·江苏泰州·月考）按如图所示的程序进行运算：若输出的数为80，且输入的数不大于20，则正整数的值为________． 【答案】或． 【分析】此题考查有理数的混合运算，解一元一次方程，掌握运算程序，理解题意是解决问题的关键． 如果一次运行结果就能输出，则时，解得：，再计算两次三次四次输出，得出x是正整数且不大于20即符合题意． 【详解】解：如果一次运行结果就能输出，则时，解得：，为正整数，符合题意；（负数不符合题意已经舍去） 如果两次运行结果输出，则时，解得：，为正整数，符合题意； 如果三次运行结果输出，则当时，解得：，不符合题意， ∴若输出结果是80，则正整数x的值为或． 故答案为：或． 3．（25-26七年级下·江苏南京·周测）（1）计算：_______，_______，_______，_______，_______． （2）根据（1）中的计算结果，解答下列问题： ①一定等于a吗？你发现其中的规律了吗？请用自己的语言描述出来：_______________________________． ②利用你总结的规律化简： 若，则_______；_______． 【答案】（1）3  ，0.5 ， 7 ， ， 0 （2）①不一定等于a，当时，；当时， ②，   【分析】（1）根据算术平方根定义进行计算即可； （2）①从（1）中可以得到规律：非负数的平方的算术平方根为其本身，负数的平方的算术平方根为其相反数；②利用①中总结的规律化简即可． 【详解】解：（1）计算：，，，，． （2）①不一定等于， 当时，； 当时，． ②， ，， ；． 【点睛】本题属于规律探究题，主要考查了算术平方根的定义、绝对值化简等知识，运用发现的规律解决问题是解决第（2）小题的关键． 【经典例题七 利用算术平方根的非负性解题】 【例1】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）若，则的取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根非负性，偶次幂非负性，有理数乘方，根据，得，求得，，然后代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 【例2】（24-25八年级上·宁夏银川·月考）若，则_______ ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质及有理数的乘方运算，解题的关键是根据二次根式和绝对值的非负性，求出字母a和b的值，再代入代数式计算． 根据二次根式的值是非负数、绝对值的值是非负数，且两者之和为0，可得每个非负数分别为；由此列出方程求出a和b的值；将a和b的值代入计算结果． 【详解】解：∵是非负数，是非负数，且， ∴． 由得，解得； 由得，解得． 将代入得：． 故答案为：． 1．（24-25七年级下·河南周口·月考）已知，，且，则的值等于（   ） A．7 B． C．3 D．7或 【答案】B 【分析】本题考查算术平方根的定义，绝对值，代数式求值，解题的关键是确定m和n的值．由，，得到，根据可得，由此确定m和n的值，代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ，． ∴； 故选：B． 2．（2025·贵州贵阳·一模）小红同学在做题的时候不小心将墨水滴到了作业本上恰好遮住了一个数字，得到一个不完整的方程，则被遮住的“？”代表的数字为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了非负数的性质，掌握平方数和绝对值的非负性是解题的关键． 根据平方数和绝对值的非负性可知，，即，，先求出的值，把的值代入，求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， 将代入得：， 解得：， 故答案为：． 3．（24-25七年级下·湖北孝感·月考）已知，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查了平方根的定义，解二元一次方程组，绝对值的性质，二次根式的非负性，根据绝对值的性质，二次根式的非负性可得，，，进而可得，利用非负数的性质列出关于x，y的方程组，解之求出x和y得值，代入求出其平方根即可． 【详解】解：由题意得， ∵且且， ∴， 即 ∴， ， ∴且， ∴， 由得， ∴， ∴， ∴， ∴． 【经典例题八 估计算术平方根的取值范围】 【例1】（2025·云南·模拟预测）已知 则以下对|x|的估算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了无理数的大小估算，求平方根，首先求出，然后估计的整数部分，然后根据选项即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故选：B． 【例2】（25-26八年级上·山西运城·期中）观察表格中的数据： x 32 33 34 35 36 37 38 1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444 由表格中的数据可知在_________之间． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的估算，解题的关键是将被开方数与表格中的数值对应，确定其对应的的范围． 将转化为，结合表格中的数值找到1269对应的范围，进而得到的范围． 【详解】解：， 由表格知，，且， 故， 两边除以10得 故答案为：． 1．（2025·四川泸州·一模）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么其面积.如果某个三角形的三边长分别为2，3，3，其面积S介于整数和n之间，那么n的值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查的是算术平方根的含义，无理数的估算，掌握无理数的估算方法是解本题的关键． 先计算三角形的面积为，再估算的范围可得：，从而可得答案． 【详解】解：三角形的三边长分别为2，3，3，则， ∴其面积 ， ∵， ∴n的值为3． 故选：C． 2．（25-26七年级下·重庆荣昌·期末）若m为正整数，且满足，的值是_____ 【答案】16 【分析】本题主要考查了无理数的估算、有理数乘方等知识点，确定m的值是解题的关键． 通过比较与相邻整数的平方，确定m的值，再计算即可解答． 【详解】解：∵ ， ，且， ∴， ∵ ∴，即． 故答案为：16． 3．（25-26八年级上·吉林长春·期中）【阅读理解】我们来学习利用完全平方公式近似计算算术平方根的方法． 例如求的近似值． 因为， 所以． 则可以设成以下两种形式： ①，其中； ②，其中． 小明用①的形式求的近似值的过程如下： 因为，所以． 即． 因为比较小，将忽略不计， 所以，即， 得． 所以． 【尝试探究】用②的形式求的近似值．（结果保留位小数） 【问题解决】用①、②两种形式求的近似值．（结果保留位小数） 【比较分析】用哪种形式求的近似值的精确度更高？并说明理由． 【答案】尝试探究：；问题解决：方法①；方法②；比较分析用②的形式求的近似值的精确度更高，理由见解析 【分析】尝试探究：根据例题方法解答即可； 问题解决：根据例题方法解答即可； 比较分析：求出两个近似值的平方，跟原数比较即可判断求解； 本题考查了算术平方根的估算，正确理解题意是解题的关键． 【详解】解：尝试探究： 因为， 所以， 即， 因为比较小，将忽略不计， 所以，即， 得． 所以； 问题解决： 因为， 所以， 则可以设成以下两种形式： ①，其中； ②，其中； 用①的形式求的近似值： 因为， 所以． 即． 因为比较小，将忽略不计， 所以，即， 得， 所以； 用②的形式求的近似值： 因为， 所以， 即， 因为比较小，将忽略不计， 所以，即， 得， 所以； 比较分析： 用②的形式求的近似值的精确度更高，理由如下： ∵，， ∴用②的形式求的近似值的精确度更高． 【经典例题九 与算术平方根有关的规律探索题】 【例1】（25-26八年级上·福建泉州·月考）现有一组有规律排列的数如下：0，，，1，按此规律排列后，第2025个数为（    ） A． B． C．44 D． 【答案】C 【分析】本题考查了数列规律的探索与应用，先分析数列规律，通过整理可以发现，数列的规律是：第n个数为，再应用规律进行求解即可得到结果． 【详解】解：将数列重写为：，，，1，， 观察规律，第n个数为， 则第2025个数为， 因此，第2025个数为44． 故选：C． 【例2】（25-26八年级上·山东青岛·期中）观察下表，我们可以发现被开方数和它的算术平方根的变化规律： a 1 100 10000 1000000 1 10 100 1000 根据发现的规律，若，，那么的值为________． 【答案】 【分析】此题考查的是算术平方根的探索规律题． 通过观察表格，发现被开方数每扩大或缩小100倍，其算术平方根相应地扩大或缩小10倍．已知和，比较可知是的倍，因此是3的 倍． 【详解】解：由表格规律可知，被开方数与算术平方根满足： 被开方数每扩大或缩小100倍，其算术平方根相应地扩大或缩小10倍． 已知，， 因为，即， 所以． 故答案为：． 1．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第11行从左至右第4个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题是数的规律问题，考查了学生归纳能力，找出规律是本题的关键． 找到数的排列规律：行数与该行数的个数相同，且所有数是从1开始的自然数的算术平方根，根据此规律可求得结果． 【详解】解：第1行到第10行共有：个数，即第10行最后一个数为， ∴第11行从开始，则此行第4个数为； 故选：D． 2．（2025七年级下·江苏南京·专题练习）观察下列等式∶； ； ； ； 根据以上规律，计算______． 【答案】 【分析】本题考查了数字类规律变化问题，由已知等式可得，进而利用规律逐个转化进行计算即可求解，找出等式的规律是解题的关键． 【详解】解：∵； ； ； ； ∴， ∴ ， 故答案为：． 3．（25-26七年级下·江苏南京·月考）为了探究被开方数的小数点与算术平方根的小数点的移动规律，数学小组设计了下表，通过观察回答问题． … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 1 100 … (1)上表中，_________，_________． (2)从表格中探究与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题． ①已知，则_________； ②已知．若，则_________（用含的代数式表示）． (3)用语言概括你所发现的规律． 【答案】（1）0.1  10 （2）①22.36  ② （3）规律：被开方数的小数点向左或向右每移动两位，开方后所得的结果相应的小数点向左或向右移动一位． 【分析】本题考查了算术平方根的小数点移动规律，熟练掌握平方根的运算是解题的关键； （1）根据算术平方根的定义计算出x、y的值； （2）根据从表格中得出的规律得出的值和a与b的关系； （3）简单概括观察得到的规律． 【详解】（1）解：由表格可知：，， 则， ． （2）解：①∵，500是5扩大100倍得到的； ∴是的10倍； ∴； ②∵264.6是2.646的100倍 ∴b是a扩大10000倍得到的 ∴． （3）解：观察表格以及前两问的计算可得：被开方数的小数点向左或向右每移动两位，开方后所得的结果相应的小数点向左或向右移动一位． 【经典例题十 算术平方根的实际应用】 【例1】（24-25七年级下·福建厦门·期中）小明用计算器求了一些正数的平方，记录如表，下面有四个推断：①；②一定有3个整数的算术平方根在之间；③对于大于16的两个正数，若它们的差等于0.1，则它们的平方的差一定大于3.19；④与更接近的整数是15，所有合理推断的序号是（   ） x 15 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7 15.8 15.9 16 225 228.01 231.04 234.09 237.16 240.25 243.36 246.49 249.64 252.81 256 A．② B．②③ C．①②③ D．②③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了算术平方根的应用，根据表格数据，逐一验证各推断的正确性． 【详解】解：推断①：由表格知，，故，①错误． 推断②：，，因此满足的整数n有241、242、243，共3个，其算术平方根在之间，②正确． 推断③：设，则．因，故，得，③正确． 推断④：由表格，，，故介于15.4与15.5之间．此时离15的距离小于离16的距离，④正确． 综上，合理推断为②③④， 故选D． 【例2】（25-26七年级上·江苏泰州·月考）如图，由七排小正方形（每个小正方形的边长为1）拼成一个图案．将原图案中所有的小正方形重拼成两个正方形，则其中较大的正方形边长为________． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的应用，解题的关键是运用面积去估算边长．根据题图可知，原图案面积为，设重拼后较小的正方形边长为，较大的正方形边长为，根据原图案和重拼后的图案面积相等可得，根据，且、均为整数进行判断，由此即可得解． 【详解】解：观察图形可知，共有个小正方形， 每个小正方形的边长为， 原图案面积为， 设重拼后较小的正方形边长为，较大的正方形边长为，其中，且、均为整数， 则有：， 当时，，则有，不是整数，故此情况不满足题意，故舍去； 当时，，则有，不是整数，故此情况不满足题意，故舍去； 当时，，则有，是整数，故此情况满足题意； 当时，，则有，故此情况不满足题意，故舍去； 综上，较大的正方形边长为． 故答案为：． 1．（24-25七年级下·福建福州·期中）大、中、小三个正方形摆放如图所示，若大正方形的面积为6，小正方形的面积为1，则正方形的边长可能是（    ） A．1 B．1.3 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根，根据正方形的面积公式求得大正方形和小正方形的边长，即可确定正方形的边长的取值范围，据此判断即可． 【详解】解：由正方形的面积公式得：大正方形的边长为，小正方形的边长为1， ∴正方形的边长x的取值范围是， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴正方形B的边长可以是． 故选：C． 2．（25-26八年级上·上海松江·期中）如图，分别把两个面积为的小正方形沿一条对角线裁成4个小三角形，将4个小三角形拼成一个大正方形，那么大正方形的边长是_____． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根，根据题意得出大正方形的面积，根据正方形的面积公式可得边长． 【详解】解：∵把两个面积为的小正方形拼成一个大正方形， ∴大正方形的面积为， ∴大正方形的边长是， 故答案为：． 3．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）观察图1：每个小正方形的边长均是1，我们可以得到小正方形的面积为 (1)图1中阴影正方形的面积是______，并由面积求正方形的边长，可得边长 AB长为______； (2)在图2，正方形方格中，由题的解题思路和方法，设计一个方案画出长为的线段． (3)如图3，网格中每个正方形边长为1，若把阴影部分剪拼成一个正方形，则新正方形的边长是______． 【答案】(1)； (2)见解析 (3) 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，算术平方根，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 利用数形结合的思想解决问题即可； 利用一个面积为的正方形，正方形的边长为所求； 求出阴影部分的面积可得结论． 【详解】（1）解：阴影正方形的面积为四个正方形面积的一半 ∴边长为 故答案为：2，； （2）如图，线段即为所求； ∵大正方形的面积为，空白部分的面积为：， 故阴影部分的面积为：， 故阴影正方形的边长为：， 故为所求； （3）阴影部分的面积， 新正方形的边长 故答案为： 【拓展训练一 平方根的化简运算】 【例1】（24-25七年级下·江苏南京·课后作业）已知，且，化简（    ）． A． B．1 C．或 D．3或1或或 【答案】C 【分析】根据绝对值的性质化简解答即可． 【详解】由题意得：，解得， ∵， ∴， ∴或， ∴=-2+1=-1，或=-2-1=-3． 故选C． 【点睛】本题考查了绝对值和有理数的加法法则，能正确去掉绝对值符号是解此题的关键． 【例2】（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·月考）化简：______ 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的性质，利用二次根式的性质化简即可，熟练掌握二次根式的非负性是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 1．（25-26七年级下·江苏南京·课后作业）（1）化简：________；________；________；________； （2）根据（1）的计算结果，化简，． 【答案】（1）0.01；25；4；7；（2）； 【分析】本题考查了算术平方根的定义，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键； （1）根据算术平方根的定义进行求解； （2）根据（1）的计算结果，归纳可得，． 【详解】（1）； ； ； ； （2）根据（1）的计算结果可得；． 2．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·开学考试）先化简，再求值：，其中． 【答案】，6 【分析】括号内根据多项式乘以多项式、平方差公式、完全平方公式进行化简，再合并同类项，再根据多项式除以单项式的运算法则进行计算即可化简，将变形为，根据非负性求出的值，代入进行计算即可． 【详解】解： ， ， ，即， ，， ，， ，， 原式． 【点睛】本题考查了整式的混合运算—化简求值、非负数的性质，熟练掌握多项式乘以多项式、平方差公式、完全平方公式以及多项式除以单项式的运算法则是解题的关键． 3．（24-25七年级下·安徽芜湖·月考）观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)化简：______； (2)写出第个等式（用含的式子表示）； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查找规律，根据题中所给的等式的结构特征，找准规律，按照题中问题，运用规律求解即可得到答案． （1）根据所给的等式即可得到答案； （2）由题中所给的等式，观察特征，即可归纳出规律； （3）根据规律，将等式中的各部分恒等变形即可得到，由算术平方根定义解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：观察： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， …… ， 故答案为：； （2）解：观察： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， …… 第个等式：； （3）解：由规律：可知， ， ， ， …… ， ， ， 即， ，则，解得． 【拓展训练二 平方根的非负性题型】 【例1】（25-26七年级下·山西临汾·月考）已知与互为相反数，则的值是（   ） A． B． C．9 D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方根的定义，非负数的性质和相反数的定义，正确掌握相关性质是解题关键．利用算术平方根和绝对值的性质及相反数和为0，列等式可得a，b的值，进而得出答案． 【详解】解：与互为相反数， ． ，． ，． 解得，． ． 故选∶ D． 【例2】（25-26八年级上·四川达州·月考）已知，则的值是________． 【答案】 【分析】本题考查非负性，求一个数的算术平方根，将原等式化为非负数的和为0的形式，求出的值，再根据算术平方根的定义进行求解即可． 【详解】解：， ， ， ∴， ∴， ∴． 1．（2026七年级下·江苏南京·专题练习）已知与互为相反数，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为时，这几个非负数都为根据互为相反数的两个数的和等于列出方程，再根据非负数的性质解答． 【详解】解：与互为相反数， ， ， 解得： ． 2．（24-25七年级下·天津和平·月考）已知：，求代数式的平方根． 【答案】 【分析】本题考查的是算术平方根的非负性，平方根，根据已知和算术平方根的非负性求出、的值，把、代入代数式进行进行求解即可． 【详解】解：由题意可知，， 则，， ∴，，则，， ∴， ∵1的平方根为， ∴代数式的平方根为． 3．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）若，试求的值． 【答案】． 【分析】本题考查了非负数的性质，根据非负数的性质列式求出的值，然后代入代数式进行计算即可得解，掌握非负数的性质：几个非负数的和为时，这几个非负数都为是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴，，， ∴． 【拓展训练三 平方根的综合应用】 【例1】（24-25七年级下·河北唐山·期中）已知一块面积为的正方形纸片，甲乙两名同学想沿着边的方向裁出一块长方形纸片，设计方案如下；甲方案：能裁出长宽比为，面积为的长方形；乙方案：能裁出长宽比为，面积为的长方形．对于这两个方案的判断，正确的是（     ） A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对，乙不对 D．乙对，甲不对 【答案】D 【分析】本题考查算术平方根的应用，理解题意列方程，利用算术平方根的概念求解是解题的关键．分别求得两个方案的长方形的长，与原正方形的边长相比较即可求解． 【详解】 解：正方形纸片的面积为， 正方形的边长为， 小明的方案：设长方形纸片的长和宽分别为：、， ，即， ， ， 不能裁剪出符合要求的纸片； 小丽的方案：设长方形纸片的长和宽分别为：、， ，即， ， ，能裁剪出符合要求的纸片． 故选：D． 【例2】（25-26八年级上·上海·期中）已知是正整数，且是整数，则的最小值为_____． 【答案】126 【分析】本题考查了算术平方根的应用，解题的关键是掌握完全平方数的特征． 首先把被开方数分解质因数，然后再确定的值，最后计算平方根． 【详解】解：， ∵是整数， ∴正整数的最小值是 21 ，． 故答案为： 126． 1．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）求如图方格中阴影正方形的面积和边长（小正方格的边长为个单位长度）． 【答案】图中阴影正方形面积为， 边长为 【分析】本题考查了算术平方根的应用，掌握算术平方根的概念是解题的关键．先计算出阴影部分的面积，然后根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：图中阴影正方形面积为：， 阴影正方形边长为． 2．（25-26八年级上·浙江绍兴·月考）填写表格： a 0.0016 0.16 16 1600 0.04 0.4 从中观察得出被开方数a的小数点与算术平方根的小数点的移动规律． 【答案】4；40；规律为：被开方数a的小数点每向左（或向右）移动两位，算术平方根的小数点相应的向左（或向右）移动一位 【分析】先根据算术平方根的定义求出16和1600的算术平方根，再对比被开方数和算术平方根的小数点位置总结规律即可． 【详解】解：，， 被开方数a的小数点与算术平方根的小数点的移动规律为：被开方数a的小数点每向左（或向右）移动两位，算术平方根的小数点相应的向左（或向右）移动一位． 3．（25-26八年级上·江西吉安·期末）定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例：1，4，9这三个数，=2，=3，=6，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数称为“和谐组合”，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6． (1)请证明：2，8，18这三个数是“和谐组合”，并求出最小算术平方根和最大算术平方根； (2)已知4，a，25三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的5倍，求a的值． 【答案】(1)见解析，最小算术平方根是4，最大算术平方根是12 (2)1或100 【分析】此题考查了算术平方根，掌握算术平方根的定义是关键． （1）根据“和谐组合”的定义分别求解算术平方根即可； （2）根据题意分3种情况讨论，然后根据最大算术平方根是最小算术平方根的5倍，分别列方程求解即可． 【详解】（1）证明：，，， ，8，18这三个数是“和谐组合”， 故最小算术平方根是4，最大算术平方根是12； （2）解：分三种情况：①当时，可得，解得：（舍去）， ②当时，可得，解得：，经检验符合题意， ③当时，可得，解得：，经检验符合题意． 综上所述，的值为1或100． A基础训练 1．（24-25七年级下·江苏南京·单元测试）下列说法中正确的有（  ） ①一个数的算术平方根一定是正数； ②一个正数有两个平方根，它们互为相反数； ③ 的平方根记为； ④ 表示的平方根． A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 【答案】B 【分析】此题考查了算术平方根和平方根，根据算术平方根和平方根的意义分别进行判断即可． 【详解】解：①0的算术平方根是0，故原说法错误； ②一个正数有两个平方根，它们互为相反数，说法正确； ③ 的平方根记为，原说法错误； ④ 表示的平方根，说法正确． 综上可知正确的是②④，共2个， 故选：B 2．（24-25八年级上·河南郑州·月考）“的平方根是”的数学表达式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一个数的平方根，对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的平方根，据此求解即可． 【详解】解：“的平方根是”的数学表达式是， 故选：A． 3．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）以下是嘉琪所做的道填空题，每道分，则嘉琪实际得分为（   ）   、（精确到千位）． 、的算术平方根是（）． 、已知，求． 、，则的值是（）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了近似数，算术平方根和平方根，根据近似数、算术平方根和平方根的定义解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解： 、精确到千位，百位数字为，故舍去，得，即，答案正确； 、，的算术平方根为，答案错误； 、由，得，，即得，，故，答案正确； 、由，得，即得或，答案错误； ∴嘉琪答对题，得分为分， 故选：． 4．（24-25七年级下·湖北省直辖县级单位·月考）设，，，，，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是算术平方根及数字算式的变化规律，观察式子的结果，得出一般规律． 【详解】解：由题意得：， ， ， ， ， ∴， ． 故选：C． 5．（24-25七年级下·广东惠州·期中）将图1中的长方形分成B，C两部分，恰与正方形A拼接成如图2的大正方形．正方形A的面积为4．拼接后的大正方形的面积是5，图1中原长方形的周长为（　　） A． B．4 C． D．8 【答案】A 【分析】本题考查列代数式，算术平方根，设C的长为x，宽为y，则B的长为，宽为y，根据小正方形面积和大正方形面积利用算术平方根找到x，y之间的关系式即可求出． 【详解】解：设C的长为x，宽为y，则B的长为，宽为y， ∵A的面积为4， ∴， ∵拼接后的大正方形的面积是5， ∴， ∴， ∴图1中原长方形的长为：，宽为， ∴图1中原长方形的周长为， 故选：A． B 提高训练 6．（25-26七年级下·江苏南京·课后作业）若的平方根只有一个，则x的值是_______． 【答案】3 【分析】本题考查平方根的性质，根据0的平方根是0，只有一个，得到，进行求解即可． 【详解】解：∵的平方根只有一个， ∴， ∴； 故答案为：3． 7．（24-25七年级下·广东肇庆·期末）如果和互为相反数，那么的平方根是______． 【答案】； 【分析】本题考查了二次根式的非负性，根据非负式子和为0，它们分别等于0直接求解即可得到答案； 【详解】解：∵，，且和互为相反数， ∴，， 解得：，， ∴， ∴的平方根是：， 故答案为：． 8．（24-25七年级下·江苏南京·假期作业）按照如图所示的操作步骤，若输入的值为3，则输出的值为_________． 【答案】 【分析】根据题意，得，当时，代入计算即可． 本题考查了程序式代数式的计算，平方根的计算，熟练掌握平方根的计算是解题的关键． 【详解】根据题意，得， 当时，． 故答案为：． 9．（24-25七年级下·湖北荆州·期中）观察下列各式：，，，，； （1）已知n为正整数，＝_____； （2）的值为 _______． 【答案】 n 46 【分析】此题考查了平方根运算规律的归纳与运用能力，关键是能通过观察、猜想准确归纳出该类问题的运算规律． （1）利用以上所得规律可得； （2）将变形为然后根据解析（1）中得出的结论进行求解即可． 【详解】解：（1） ∵ n为正整数 ∴ 故答案为：； （2） 故答案为：46. 10．（24-25七年级下·四川南充·期末）下列各个图形中，“●”的个数用a表示，“○”的个数用b表示，如时，，；时，，；……根据图形的变化规律，当时，的值为________． 【答案】4047 【分析】此题考查了与实数运算有关的规律题，解题的关键是找到变化的规律并表示出来． 【详解】解：时，，， 时，，， 时，，， …… ∴，， 当时，，， ∴， 故答案为：． C 培优训练 11．（25-26八年级上·福建宁德·期中）已知与是正数的两个不相等的平方根． (1)求的值； (2)求这个正数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了平方根，熟练掌握一个正数的两个平方根互为相反数是解题关键． （1）根据正数的两个平方根互为相反数建立方程，解方程即可求解； （2）根据（1）的结果可求出这个正数的算术平方根，由此即可求解． 【详解】（1）解：与是正数的两个不相等的平方根， ， 解得：； （2）解：由（1）得：， ， 即的值为． 12．（24-25七年级下·江苏南京·课后作业）求下列各数的平方根： (1)49； (2)； (3)； (4)0.0064． 【答案】(1)±7 (2) (3)±16 (4)±0.08 【详解】因为，所以49的平方根是±7． （2）因为，所以的平方根是． （3）因为，所以的平方根是±16． （4）因为，所以0.0064的平方根是±0.08 13．（25-26七年级下·江苏南京·课后作业）[核心素养]【实践与探究】 （1）计算： ， ， ， ， ； 【归纳与应用】 （2）观察（1）中的等式，发现其中的规律，并猜想与有怎样的关系，请用数学式子表示出来； （3）利用你得到的规律，计算： ①若，则 ； ② ． 【答案】（1）3，0.5，0，6，；（2）；（3）①；② 【分析】本题属于规律探究题，主要考查了算术平方根的定义、绝对值化简等知识，运用发现的规律是解决第（3）小问的关键． （1）根据算术平方根定义进行计算即可； （2）从（1）中可以得到规律：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值； （3）①②利用（2）中总结的规律化简即可． 【详解】解：（1）计算：，，，，． （2）观察（1）中的等式，可以发现，． （3）①．   ， ， ． ②． ， ． 14．（24-25七年级下·山东青岛·期中）（1）用两种不同方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式．如图1，用长为a，宽为b的四个相同的长方形拼成一个大正方形，用两种不同的方法计算阴影部分（小正方形）的面积，可以得到、、三者之间的等量关系式 ． （2）类似的，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个等式，如图2，观察大正方体分割，可以得到等式： （3）已知，请应用上面所得的结论，直接写出的结果 ． 【答案】（1）（2）（3）35 【分析】本题考查了根据面积以及体积列代数式，绝对值的非负性以及算术平方根的非负性： （1）根据该正方形的面积也可以用四个小长方形和一个小正方形的面积的和来表示可得到结果； （2）根据该正方体的体积以及该几何体可以拆为8个小几何体，即可得到结果； （3）根据绝对值的非负性以及算术平方根的非负性得到代数式的值，代入即可求得结果； 数形结合得到等式是解题的关键． 【详解】解：（1）由图可得：该正方形的边长为：， ∴该正方形的面积为：， 如果把该正方体看成是四个小长方形和一个小正方形的和，则该面积为：， ∴； （2）由几何体可知， 该几何体是边长为的正方体， ∴该体积为：， 该几何体还是由1个边长为a的正方体、1个边长为b的正方体，3个长宽高分别为b、b、a，3个长宽高分别为b、a、a， ∴该体积为：， ∴； （3）∵， ∴， ∴， 由（2）可得， ∴， 将代入可得：， ∴． 15．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）如图，把图（1）中两个小正方形纸片分别沿对角线剪开，拼成一个面积为的大正方形纸片如图（2）． (1)原小正方形的边长为______； (2)如图3，把两个长为3，宽为1的长方形纸片分别沿对角线剪开，拼成一个大正方形纸片，发现大正方形内部是一个小正方形，求小正方形的面积与边长． 【答案】(1) (2)小正方形的面积为，边长为 【分析】本题考查了图形的剪拼、正方形的面积、算术平方根的实际应用 （1）根据小正方形的面积是大正方形面积的一半可得小正方形的面积，即可解决问题； （2）根据图形可得大正方形的边长为，用大正方形的面积减去2个长方形的面积，即可得出小正方形的面积，进而求得其边长． 【详解】（1）小正方形的面积是大正方形面积的一半， 小正方形的面积为， 设小正方形的边长为a， 则， ∴（舍去负值）， ∴小正方形的边长为， 故答案为：． （2）解：根据图形可得大正方形的边长为， ∴小正方形的面积为 ∴小正方形的边长为． 学科网（北京）股份有限公司 $