专题2.7 二元一次方程组32道压轴题型专训（8大题型）-2025-2026学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（浙教版）

专题2.7 二元一次方程组32道压轴题型专训（8大题型） 题型一 二元一次方程组的特殊解法 题型二 已知二元一次方程组的解的情况求参数 题型三 二元一次方程组的错解复原问题 题型四 几何问题（二元一次方程组的应用） 题型五 销售、利润问题（二元一次方程组的应用） 题型六 古代问题（二元一次方程组的应用） 题型七 数字问题（二元一次方程组的应用） 题型八 其他问题（二元一次方程组的应用） 【经典例题一 二元一次方程组的特殊解法】 1．（2024·七年级下 湖南株洲）某公司用n张相同的大长方形纸板分别按如图所示进行裁剪，所得的正六边形和小长方形纸板恰好能搭配成若干个有盖直六棱柱纸盒，则n 的值可能是（   ） A．140 B．150 C．160 D．180 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程的整数解问题，根据题意列出二元一次方程是解题的关键；先设能裁剪成小长方形的纸板为x张，那么裁剪成正六边形的纸板为张，根据小长方形和正六边形正好配套列出二元一次方程即可得到答案； 【详解】解：由题可得：， 整理得：， ∵都为正整数； ∴只要取14的倍数即可； 故选：A． 2．（2025七年级下·全国）已知正整数a，b，c，d满足，且，关于这个四元方程下列说法正确的个数是（   ）． ①是该四元方程的一组解； ②连续的四个正整数一定是该四元方程的解； ③若，则该四元方程有21组解； ④若，则该四元方程有505组解． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】将，，，代入到四元方程中看等式两边是否相等即可判断①；设，然后代入四元方程即可判断②；先证明，同理得到，即可推出得到，据此即可判断③；根据③所求可以推出，由此即可判断④． 本题主要考查了因式分解的应用，二元一次方程的解，解题的关键在于能够正确理解题意，以及方程的解得含义． 【详解】解：①当时，方程左边，方程右边， ∴方程左右两边相等， 是四元方程的一组解，故①正确； ②设， ， ， ∴当，四元方程左右两边相等， ∴连续的四个正整数一定是该四元方程的解，故②正确； ③，且c、d均为正整数， ， ， 同理， ， 又， ， ， 时，或或或或或或， 同理时，或或或或或， 时，或或或或， …， 时，， ∴当，该四元方程一共有组解，故③错误； ④由③得， ， ， ， a，c都是正整数，且， ∴当时，， 当时，， …， 当时，， ∴满足题意的a、b、c、d的值有505组， ∴若，则该四元方程有505组解，故④正确； 故选C． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知关于x，y的二元一次方程的解如表： x … 0 1 … y … 4 2 … 关于x，y的二元一次方程的解如表： x … 0 1 … y … 4 1 … 则关于x，y的二元一次方程组的解是_____． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，由表格数据可得方程组的解为，再将所求二元一次方程组变形为，则，解这个二元一次方程组即可． 【详解】解：由表格数据可得方程组的解为， 关于x，y的二元一次方程组， 整理得：， 则， 解得：， 即关于x，y的二元一次方程组的解是， 故答案为：． 4．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，我们通常把未知数或变数称为元．所谓换元法，就是解题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使得复杂问题简单化．换元的实质是转化，关键是构造元和设元． 例如解方程组，令，．原方程组化为，解得，把代入，，得，解得．原方程组的解为． (1)解方程组． (2)解方程组 (3)已知关于x、y的方程组的解是，关于x、y的方程组的解是__________． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了用换元法解二元一次方程组，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）将原方程组移项整理得，令，，原方程组化为，解得，把代入，，得，解方程即可； （2）将原方程组移项整理得，令，，原方程组化为，解得，把代入，，得，解方程即可； （3）将原方程组移项整理得，令，，原方程组化为，根据题意得，把代入，，得，解方程即可． 【详解】（1）解：， 移项整理得，， 令，， 原方程组化为， 解得， 把代入，， 得，解得， 原方程组的解为； （2）解方程组， 移项整理得，， 令，，原方程组化为， 解得， 把代入，， 得，解得， 原方程组的解为； （3）将关于x、y的方程组， 移项为， 整理得， 令，，原方程组化为， 根据题意得， 把代入，， 得，解得或， 原方程组的解为或． 【经典例题二 已知二元一次方程组的解的情况求参数】 1．（25-26七年级下·重庆·期中）若关于，的方程组有正整数解，则符合条件的整数的和为（   ） A．8 B．7 C．3 D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，根据方程组的解的情况求参数，解题的关键是掌握分类讨论的思想． 通过消元法得到，由y为正整数可知为6的正约数，代入验证x是否为正整数，从而确定符合条件的a值，并求其和． 【详解】解：原方程组为： 得： 得：， ， ∵ y为正整数， ∴为6的正约数，即， ∴ a的值为：， 分别代入求x： 当时，，代入：，解得，为正整数，符合； 当时，，代入：，解得，非整数，不符合； 当时，，代入：，解得，为正整数，符合； 当时，，代入：，解得，非整数，不符合． ∴符合条件的整数a为0和2，其和为． 故选：D． 2．（22-23七年级下·重庆巴南·期末）对于x，y定义一种新运算F，规定（其中a，b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：，若，，下列结论：①；②若，则m，n有且仅有4组正整数解；③若对任意实数x，y均成立，则．正确的个数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】根据新定义运算可得，可得，可得，再根据运算法则逐一分析各说法即可． 【详解】解：∵，，， ∴，解得：， ∴， ∴，故①符合题意； ∵， ∴， 整理得：， ∴其正整数解为：，，，，故②符合题意； ∵， ∴， ∴， 上式对任意实数x，y均成立， ∴， ∴，故③符合题意； 故选A 【点睛】本题考查的是新定义运算，二元一次方程组的解法，二元一次方程的正整数解问题，含参数的二元一次方程有无数解的问题，理解题意，熟练的利用新定义的运算法则进行运算是解本题的关键． 3．（25-26七年级下·全国·课前预习）已知方程组，若方程组有非负整数解，则正整数的值是_________． 【答案】或 【分析】本题考查了二元一次方程组的特殊解，关键是参数的解方程组得到和的表达式，根据非负整数解的条件，从而确定正整数的可能取值。 【详解】解： 解方程组得：， ∵方程组有非负整数解， ∴的值为：或或， ∴的值为或或， ∴正整数的值为：或． 故答案为：或． 4．（25-26七年级下·福建莆田·期末）定义：关于的二元一次方程（其中互不相等）中的常数项与未知数系数互换，得到的方程叫“变更方程”，例如：“变更方程”为． (1)方程的“变更方程”为_____； (2)方程与它的“变更方程”组成的方程组的解为_____； (3)已知关于的二元一次方程的系数满足，且与它的“变更方程”组成的方程组的解恰好是关于、的二元一次方程的一个解，求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查二元一次方程（组）的新定义，加减消元法，代入消元法解二元一次方程组的方法，理解“变更方程”的定义，掌握解二元一次方程（组）的方法是解题的关键． （1）根据“变更方程”的定义可得方程即可； （2）联立方程组求解即可； （3）根据题意，先联立方程组，求出x，y的值，代入方程得到，代入代数式化简求值即可． 【详解】（1）解：方程的“变更方程”为， 故答案为：； （2）解：， ①②得：， 解得， 把代入①得：， 解得：， ∴方程组的解为：， 故答案为：； （3）解：∵， ∴， 方程与它的“变更方程”组成的方程组为， 解得， ∴把代入可得， 即， ∴ ． 【经典例题三 二元一次方程组的错解复原问题】 1．（25-26七年级下·河北邯郸·月考）在解关于，的方程组时，小亮解出的结果为老师看了小亮的解题过程后，对小亮说：“你方程组中的抄错了，该方程组的正确结果比大5．”则，的值分别为（    ） A．4， B．4，2 C．，2 D．， 【答案】A 【分析】先由小亮的解求出a的值，并得到关于x，y的一个二元一次方程，再根据老师的话得到关于x，y的另一个二元一次方程，由上面两个方程联立可以得到原二元一次方程组的正确解，把此解代入含有b的二元一次方程可以得到b的值，问题即得解． 【详解】解：由题意可得：-2a+10=2， ∴a=4， ∴4x+5y=2①， 又由老师的话可得x=y+5②， ②代入①可得：4y+20+5y=2， 解得：y=-2，代入②得x=3， 把x=3，y=-2代入bx-7y=8可得：3b+14=8， 解得：b=-2， ∴，的值分别为4、-2， 故选A ． 【点睛】本题考查二元一次方程（组）的应用，熟练掌握二元一次方程的有关概念及二元一次方程组的解法是解题关键． 2．（25-26七年级下·河北唐山·月考）对于代数式，小明分别计算了当时该代数式的值，得到以下四个结论，嘉淇发现其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是（   ） ①；②；③；④． A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】本题考查了代数式的求值、解方程组，通过假设每个结论错误，验证其余三个结论是否一致，找出唯一矛盾的情况． 【详解】解：假设①错误，则②、③、④正确： 联立②和③：， 解得，，代入④得，矛盾，故①不可能错误． 假设②错误，则①、③、④正确： 联立①和③：， 解得，，代入④得，④正确，代入②得，仅②错误，符合题意． 假设③错误，则①、②、④正确： 联立①和②：， 解得，，代入④得，矛盾，故③不可能错误． 假设④错误，则①、②、③正确： 联立①和②：， 解得，，代入③得，矛盾，故④不可能错误． 综上，错误的结论是②． 故选：B． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知关于x，y的方程组现甲看错了①中的a，得到方程组的解为乙看错了②中的b，得到方程组的解为则________，________． 【答案】 1 －3 【分析】本题考查了解二元一次方程组、二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值，解题关键是能正确得到，的值． 甲看错方程①中的，但其解满足方程②；乙看错方程②中的，但其解满足方程①；分别代入得到关于和的方程组，解之即可． 【详解】解：甲看错了方程①中的，得到方程组的解为，此解满足方程②， 代入得：，即． 乙看错了方程②中的，得到方程组的解为，此解满足方程①， 代入得：，即． 联立方程组： 由④得， 代入③得：，即， 解得． 代入，得， 解得： 故答案为：，． 4．（24-25七年级下·四川资阳·期末）已知关于x，y的方程组，甲由于看错了方程（1）中的a，得到方程组的解为，乙由于看错了方程（2）中的b，得到方程组的解为． 试求出方程组的正确解． 【答案】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的错解复原问题；甲看错了方程（1）中的 ，但其解满足方程（2）；乙看错了方程（2）中的 ，但其解满足方程（1）．分别代入对应方程求出 和 ，再解原方程组． 【详解】解：甲的解为 ，代入方程（2）得 解得： 乙的解为 ，代入方程（1）得 解得： 原方程组为 由 得 ， 代入另一方程得 解得： 代入 得 所以方程组的解为 【经典例题四 几何问题（二元一次方程组的应用）】 1．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）若一个长方形可以分割为几个大小不同的小正方形，则称这个长方形为完美长方形， 1925年数学家莫伦发现了第一个完美长方形， 它被分割成9个大小不同的正方形，已知最小正方形的周长为8，则最大正方形的面积为（    ）    A．1296 B．1444 C．2304 D．20736 【答案】A 【分析】本题主要考查了利用二元一次方程组解决几何问题，解题的关键是假设未知数，找准等量关系． 对各正方形进行编号，假设正方形②的边长为，正方形③的边长为，表示出所有正方形的边长，找出等量关系，列出二元一次方程组进行求解即可． 【详解】解：如图所示，对各正方形进行编号，    根据题意可得： 正方形①的边长为： 假设正方形②的边长为，正方形③的边长为，则， 则正方形④的边长为， 正方形⑥的边长为， 正方形⑦的边长为， 正方形⑤的边长为， 正方形⑧的边长为， 正方形的边长为和，则， ∴， 解得， ∴最大正方形的面积为， 故选：A． 2．（22-23七年级下·浙江）如图，若三角形面积为1，，求阴影四边形的面积（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设与交于N，与交于P，连接，，，，设的面积为x，的面积为y，求得的面积是，的面积是，设的面积为u，的面积为v，解得 ，然后即可求得阴影四边形的面积． 【详解】解：如图，设与交于N，与交于P，连接，，，，设的面积为x，的面积为y，则有的面积为2x，的面积为2y， ∵面积为1，， ∴、的面积是，的面积是， ∴，解得， ∴的面积是， 设的面积为u，的面积为v，， ∴即，即四边形的面积是， ∴阴影四边形的面积=． 故选：C． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用，找出三角形的面积关系，列出方程组是关键． 3．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）在学习完平移之后，小明、小聪、小方想利用平移设计出美丽的图案，他们用一张大正方形纸片和四张相同的小正方形纸片，分别设计了图①、图②、图③三种图案，已知图③中四个小正方形的重叠部分是三个相同的正方形，则图③两块阴影部分的周长和为______；面积和为______． 【答案】 【分析】设大正方形和小正方形的边长分别是和，根据题意列方程组得到，，设四个小正方形的重叠部分形成小正方形的边长为，根据题意列方程得到，根据正方形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：设大正方形边长，小正方形边长， 依题意得， 解得， 设重叠的小正方形边长， 依题意得， 解得， 两块阴影部分的周长和， 阴影面积 4．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图1，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在轴正半轴上，点在轴负半轴上，连接、，点在线段上，轴于点，点坐标，且、满足方程组． (1)求点和点的坐标； (2)如图2所示，点在线段上，，，连接、，求的面积； (3)在（2）的条件下，点从点出发以2个单位长度/秒的速度沿射线向终点运动．同时点从点出发以2个单位长度/秒的速度沿射线向终点运动．当一个点到达终点时，另一个点也停止运动．连接、交于点，在、运动过程中，当时，求的值，并求出点的坐标． 【答案】(1)， (2)60 (3)或，点坐标为或 【分析】（1）解关于、的方程组即可求出点和点的坐标； （2）设，根据列出关于的方程并解出，之后得出 的长，根据即可求解； （3）过分别做于点，轴于点，设，，用 ，表示，之后分两种情况：当点在线段上时，当点在线段上时，分别进行讨论即可。 【详解】（1）解：解方程组得， ，； （2）解：设，， 即， ， 解得， ， ， ； （3）解：过分别做于点，轴于点，设，． ，， 如图，当点在线段上时，， ， ，解得 ， ，， 连接、，设，；，． ， ， 可得：，解得：． ， ； ， ， 在第二象限， ； 如图，当点在线段上时， ，， ，， ，解得 ， ，， 连接、，设，；，． ， ， 可得：，解得：， ， ， ， ， 在第二象限， 综上所述：点坐标为或． 【点睛】本题主要考查解二元一次方程组，一元一次方程的应用等，根据题目条件作出辅助线进行面积之间的转化是解题的关键． 【经典例题五 销售、利润问题（二元一次方程组的应用）】 1．（25-26七年级下·浙江嘉兴·期中）小明去文具店购买了笔和本子共5件，已知两种文具的单价均为正整数且本子的单价比笔的单价贵．在付账时，小明问是不是27元，但收银员却说一共48元，小明仔细看了看后发现自己将两种商品的单价记反了．小明实际的购买情况是（    ） A．1支笔，4本本子 B．2支笔，3本本子 C．3支笔，2本本子 D．4支笔，1本本子 【答案】A 【分析】设购买了笔x件，购买了本子(5-x)件，本子的单价为a元，笔的单价为b元，分类讨论解方程即可． 【详解】解：设购买了笔x件，购买了本子(5-x)件，本子的单价为a元，笔的单价为b元，列方程组得 ， 当x=1时，原方程组为，解得，符合题意； 当x=2时，原方程组为，解得，不符合题意，舍去； 当x=3时，原方程组为，解得，不符合题意，舍去； 当x=4时，原方程组为，解得，不符合题意，舍去； 故选：A． 【点睛】本题考查了含参数的二元一次方程组的应用，解题关键是理解题意，找出等量关系，列出方程组，分类讨论解方程组． 2．（25-26七年级下·广西崇左·期末）小明在某商店购买商品A、B共三次，只有一次购买时商品A、B同时打折，其余两次均按标价购买，三次购买商品A、B的数量及费用如表： 购买商品A的数量/个 购买商品B的数量/个 购买总费用/元 第一次购买 6 5 1140 第二次购买 3 7 1110 第三次购买 9 8 1062 若A、B的折扣相同，则商店的折扣是（    ） A．5折 B．6折 C．7折 D．8折 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设A的标价为x元，B的标价为y元，根据第一次和第二次购买的总价建立方程组求出A、B的标价；然后设商店是打a折出售，由打折销售的数量关系建立方程求出其解即可． 【详解】解：设A的标价为x元，B的标价为y元， 由题意，得, 解得：， 所以，A的标价为90元，B的标价为120元． 设商店是打a折出售这两种商品，由题意得，， 解得：． 答：商店是打6折出售这两种商品的． 故选：B． 3．（23-24七年级下·江苏南京·月考）一花店将、、三种花卉包装成甲、乙、丙三种不同的礼盒进行销售；用花卉支、花卉支、花卉支包装成甲种礼盒；用花卉支、花卉支、种花卉支包装成乙种礼盒；用花卉支、花卉支、花卉支包装成丙种礼盒；包装费忽略不计，且每支花卉的成本是每支花卉成本的倍，每盒甲礼盒的总成本是每盒乙礼盒总成本的倍；该商家将三种礼盒均以利润率进行定价销售；某周末，该花店为了加大销量，将甲、乙两种礼盒打八折进行销售，且两种礼盒的销量相同，丙礼盒打九折销售；销售完毕后统计发现，三种礼盒的总成本恰好为总利润的倍，则该周末丙礼盒的总利润与三种礼盒的总利润的比值为______． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 设每支花卉成本是元，每支花卉成本是元，则每支花卉成本是元，根据每盒甲礼盒的总成本是每盒乙礼盒总成本的倍，可列出关于，的二元一次方程，解之可得出，继而可用含的代数式表示出每盒甲、乙、丙种礼盒的总成本，设该周末花店售出盒甲种礼盒，盒丙种礼盒，则售出盒乙种礼盒，根据三种礼盒的总成本恰好为总利润的倍，可列出关于，的二元一次方程，解之可得出，再用含，的代数式表示出该周末丙礼盒的总利润及三种礼盒的总利润，作比后即可得出结论． 【详解】解：设每支花卉成本是元，每支花卉成本是元，则每支花卉成本是元， 根据题意得：， ， 每盒甲种礼盒的总成本为：（元）； 每盒乙种礼盒的总成本为：（元）； 每盒丙种礼盒的总成本为：（元）． 设该周末花店售出盒甲种礼盒，盒丙种礼盒，则售出盒乙种礼盒， 根据题意得：， ， ∴， 该周末丙礼盒的总利润为：（元）， 三种礼盒的总利润为：（元）， 该周末丙礼盒的总利润与三种礼盒的总利润的比值为：， 故答案为：． 4．（2025七年级下·全国·专题练习）某校七（1）班为表彰先进，让班长小文带上一定数量的班费去文具店购买奖品．经与店家沟通，小文获知了如下表的信息： 购买方案 笔/支 大本子/本 小本子/本 剩余钱数/元 方案一 36 0 0 2 方案二 38 0 0 方案三 0 12 8 0 方案四 0 10 10 10 (1)小文所带班费为________元． (2)求大、小本子每本的售价． (3)小文原计划购买6支笔，大、小本子各6本，但店家对小文说：“如果购买的每种本子的数量达到10本，该种本子可以打九折．”小文思考并计算了一下，决定购买4支笔，大、小本子各10本．付钱时，店家说：“我现在的利润只比刚才的利润多10元．”根据以上信息求出小文实际购买文具的成本（已知1支笔的成本为4元）． 【答案】(1) (2)大、小本子每本的售价分别为元、元． (3)小文实际购买文具的成本为元． 【分析】（1），根据方案一和方案二的笔的购买数量与剩余钱数的关系求出笔的单价，进而求班费； （2）设大、小本子单价，根据方案三、四列方程组求解； （3）设大、小本子成本，结合利润关系列方程求解． 【详解】（1）解：设每支笔的售价为元 根据方案一：为班费； 方案二：为班费 所以 移项可得： 即： 解得： 则班费为（元） （2）解：设大、小本子每本的售价分别为元、元． 根据方案三： 根据方案四： 列方程组 解得 答：大、小本子每本的售价分别为元、元 （3）解：设大、小本子每本的成本分别为元、元 由（1），得1支笔的售价为（元） 由题意，得 整理，得， ∵小文实际购买文具的成本为：，， ∴实际成本为（元）， 答：小文实际购买文具的成本为元． 【点睛】本题考查了一元一次方程和二元一次方程组的应用，掌握根据表格中的购买方案，找出等量关系，列出方程（组）求解是解题的关键． 【经典例题六 古代问题（二元一次方程组的应用）】 1．（25-26七年级下·辽宁丹东·期末）《九章算术》中记载一题目，译文如下：若两人坐一辆车，则九人需要步行；若三人坐一辆车，则有两辆空车．问：人与车各多少？下列说法正确的是（   ） A．设有x辆车，则人数为 B．设有x辆车，则可列方程为 C．设有x辆车，有y人，则可列方程组为 D．设有x辆车，有y人，则可列方程组为 【答案】C 【分析】本题主要考查列二元一次方程组，根据题意，设车有x辆，人有y人． 当两人坐一车时，有九人步行，总人数y等于坐车人数加步行人数，即；当三人坐一车时，有两辆空车，坐车人数为，等于总人数y，即． 【详解】解：设车数为x，人数为y．   ∵ 两人坐一车，九人步行， ∴．   ∵ 三人坐一车，两辆空车， ∴ 实际用车辆，则．   ∴ 可列方程组为 ．   故选：C． 2．（22-23七年级下·安徽滁州·期中）增删算法统宗记载：“今有直田用较除，一百二十步无余．长阔相和该一百，问公三事几何如？”译文：有一块长方形田地，它的面积除以长与宽之差刚好步，长与宽之和等于步．试问这块田地的长、宽及长宽之差分别是多少？设这块田地的长为步，宽为步，则下面所列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由“长方形田地的面积除以长与宽之差刚好步，长与宽之和等于步”即可得出方程组，此题得解． 【详解】设这块田地的长为步，宽为步， 依题意得：． 故选：． 【点睛】此题考查了由实际问题抽象出方程组，找准等量关系，正确列出方程组是解题的关键． 3．（25-26七年级下·广东深圳·期末）幻方，中国古代称为“河图”、“洛书”，又叫“纵横图”．如图所示的幻方中，每一行、每一列及各条对角线上的三个数之和均相等，则的值为______． x 1 y 5 【答案】20 【分析】本题考查了求代数式的值，二元一次方程的应用，通过幻方的性质，利用行、列和对角线的和相等建立方程，求解出和的值，再计算，正确求出和的值是解此题的关键． 【详解】解：∵幻方中，每一行、每一列及各条对角线上的三个数之和均相等， ∴由第一行和主对角线之和相等得：， 化简得：， 解得：． 由第三列和第一行之和相等得：， 代入得：， 解得：． ∴， 故答案为：． 4．（2024七年级下·全国·专题练习）今有物不知其数，三三数之剩一，五五数之剩二，七七数之剩四，问物几何．你知道物品最少有多少个吗？ 【答案】物品最少有个 【分析】先找出满足三三数之剩一，五五数之剩二的数的表达式，再在此基础上找满足七七数之剩四的数，从而确定物品最少的个数． 【详解】解：满足“三三数之剩一”的数设为（为自然数）．满足“三三数之剩一，五五数之剩二”的数可表示为（为自然数）． 在上述数中找满足“七七数之剩四”的数，即除以余． 从开始尝试，当时，，满足条件，此时这个数是． 故物品最少有个． 【点睛】本题通过逐步分析满足不同余数条件的数，掌握利用数的整除和余数性质，逐步推导满足多个余数条件的数是解题的关键． 【经典例题七 数字问题（二元一次方程组的应用）】 1．（23-24七年级下·宁夏银川·月考）“洛书”是世界上最古老的一个三阶幻方，它有3行3列，三横行的三个数之和，三竖列的三个数之和，两对角线的三个数之和都相等，其实幻方就是把一些有规律的数填在正方形图内，使每一行、每一列和每一条对角线上各个数之和都相等，如图幻方a、b的值分别是（    ） A．11，9 B．9，11 C．8，13 D．13，8 【答案】D 【分析】本题是一道有关探究规律的题目，侧重考查知识点的应用能力，依题意，得,再解二元一次方程组即可． 【详解】解：依题意，得， 解得：， 故选：D． 2．（25-26七年级下·福建泉州·期中）如图1是2021年3月份的月历，小军同学用“”字形框在月历上框出四个数字，将该“”字形框上下左右移动，且一定要框住月历中的四个日期，若四个日期如图2所示，则下列关于，的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据日历上的数字之间的关系列方程组：，再解方程组，再分别检验四个选项即可得到答案． 【详解】解：由题意得： 由②得： 把代入①得： 故不符合题意； 故不符合题意； 故符合题意， 故不符合题意； 故选： 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，二元一次方程组的解法，掌握利用二元一次方程组解决日历问题是解题的关键． 3．（2022·七年级下 重庆）五一期间，商场为吸引顾客，每半小时进行一次现金抽奖活动，顾客只需要花a元即可购买一张奖券，奖券面值有a元，b元，c元三种（且皆为整数）．甲、乙、丙三人从下午两点至下午六点，一共参加了轮活动，每轮每人只能购买一张，且每轮三人刚好获得a元，b元，c元奖券各一张．晚饭时，甲说：我今天赚了430元；乙说：我一次也没有抽到过c元奖券，还有3次都是最小面值的，只赚了120元；丙说：我三种都抽到了，一共有360元奖券，赚了220元！则甲抽到了_______次c元奖券． 【答案】5 【分析】根据题意，求得每张奖券所赚钱数，设甲抽了次奖券，次奖券，列二元一次方程求解即可． 【详解】解：每半小时进行一次现金抽奖活动，从下午两点至下午六点，共进行了轮游戏， ∴， ∵乙抽到3次最小面值，且赚了钱， ∴， ∵丙一共有360元奖券，赚了220元，即成本为元， ∴是的倍数，即或， 当时，（元） ∵乙没有抽到过c元奖券，还有3次都是最小面值的， ∴乙抽到过3次奖券，次奖券， 则（元） ∵甲赚了430元，乙赚了120元，丙赚了220元，共赚了770元， ∴每轮赚了110元， ∴（元）， ∴每次抽到赚了元， 设甲抽了次奖券，次奖券，则，即 ∵为整数 ∴，，即甲抽到了次奖券； 当时，（元） ∵乙没有抽到过c元奖券，还有3次都是最小面值的， ∴乙抽到过3次奖券，次奖券， 则（元） ∵甲赚了430元，乙赚了120元，丙赚了220元，共赚了770元， ∴每轮赚了154元， ∴（元）， ∴每次抽到赚了元， 设甲抽了次奖券，次奖券，则， ∵为整数，∴无解，舍去； 综上，甲抽到了次奖券， 故答案为：5 【点睛】此题考查了二元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，根据量之间的关系正确求得每张奖券所赚钱数． 4．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）阅读理解，对于任意一个三位数n，如果n满足各个数位上的数字互不相同，且都不为0，那么称这个数为“相异数”．将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为． 例如：，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为，值等于666，而，所以． （1）计算：_________； （2）若，且，求n的值； （2）若s，t都是“相异数”，其中，（，，x，y都是正整数），规定：，当时，求k的最小值． 【答案】（1）13；（2）315或324；（3） 【分析】（1）根据F（n）的定义求解． （2）设n的十位数字为a，个位数字为b，表示出新三位数，根据新旧三位数的和得到方程，结合a的范围求出n值即可； （3）由s=100x+43，t=150+y结合F（s）+F（t）=20，即可得出关于x，y的二元一次方程，解出x，y的值，再根据“相异数”的定义结合F（n）的定义式，即可求出F（s），F（t）的值，将其代入k的定义式，求出最小值即可． 【详解】解：（1）对调256的任意两个数位上的数字后得到的三个相异数是：652，265，526， 这三个相异数的和为1443． ∵1443÷111=13， ∴F（n）=13． 故答案为：13． （2）若F（n）=9，则三个新三位数的和为999， ∵300＜n＜330， ∴n百位数字为3，十位数字小于3， 设n的十位数字为a，个位数字为b， 则n=300+10a+b， ∴新三位数为：300+10b+a，100b+10a+3，100a+30+b， ∴300+10b+a+100b+10a+3+100a+30+b=999， ∴a+b=6， ∵十位数字0＜a＜3， ∴a=1，b=5或a=2，b=4， ∴n=315或324． 故答案为：315或324． （3）∵s，t都是“相异数”，其中s=100x+43，t=150+y， ∴F（s）=（403+10x+340+x+100x+34）÷111=x+7， F（t）=（510+y+100y+51+105+10y）÷111=y+6， ∵F（s）+F（t）=20， ∴x+7+y+6=20，得 x+y=7， ∵1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整数， 又∵“相异数”定义，x≠4，x≠3，y≠1，y≠5， ∴或， ∴或， ∴或， ∴k的最小值是． 【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，新定义的阅读理解能力，解题的关键是理解相异数的定义． 【经典例题八 其他问题（二元一次方程组的应用）】 1．（2024七年级下·全国）某中学生运动会男、女运动员比例为，组委会决定增加女子艺术体操项目，这样男、女运动员比例变为；后来又决定再增加男子象棋项目，于是这个比例又变为．已知男子象棋运动员比女子艺术体操运动员多30人，那么运动员最后的总人数为（    ）． A．6280人 B．6370人 C．6450人 D．6615人 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，理清题意、确定等量关系列出方程组是解题的关键． 设原来男、女运动员的人数分别为人、人，女子艺术体操运动员人，男子象棋运动员人；再根据运动员男女比例变化列方程组求得男、女人数，最后求和即可． 【详解】设原来男、女运动员的人数分别为人、人，女子艺术体操运动员人，男子象棋运动员人， 则，解得：． 最后运动员的总人数为：（人）． 故选B． 2．（2023·七年级下 黑龙江齐齐哈尔）中国减贫方案和减贫成就是史无前例的人类奇迹，联合国秘书长古特雷斯表示，“精准扶贫”方略帮助贫困人口实现2030年可持续发展议程设定的宏伟目标的唯一途径，中国的经验可以为其他发展中国家提供有益借鉴，为了加大“精准扶贫”力度，某单位将19名干部分成甲、乙、丙三个小组到村屯带领50个农户脱贫，若甲组每人负责4个农户，乙组每人负责3个农户，丙组每人负责1个农户，则分组方案有（　　） A．6种 B．5种 C．4种 D．30种 【答案】B 【分析】设甲组有名干部，乙组有名干部，则丙组有名干部，根据将19名干部分成甲、乙、丙三个小组到村屯带领50个农户脱贫，若甲组每人负责4个农户，乙组每人负责3个农户，丙组每人负责1个农户，列二元一次方程，求解即可． 【详解】设甲组有名干部，乙组有名干部，则丙组有名干部，由题意得 ， 化简得， ∴， ∴当时，，即甲组有名干部，乙组有名干部，则乙组有名干部， 当时，，即甲组有名干部，乙组有名干部，则乙组有名干部， 当时，，即甲组有名干部，乙组有名干部，则乙组有名干部， 当时，，即甲组有名干部，乙组有名干部，则乙组有名干部， 当时，，即甲组有名干部，乙组有名干部，则乙组有名干部， 综上，有5种方案， 故选：B． 【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，准确理解题意，熟练掌握解二元一次方程的方法是解题的关键． 3．（24-25七年级下·重庆·期末）簪花在我国已有两、三千年的历史．热爱传统文化的涵涵购买了若干支丁香花、海棠花、玉兰花用于手工制作三款簪花头饰各一套（每款均用到三种花）．已知每款簪花中海棠花的用量等于玉兰花用量．A款丁香花用量为3枝，B款丁香花用量比C款丁香花用量少2枝；A款中玉兰花的用量为2枝，B款玉兰花的用量是它的丁香花用量的3倍；制作完成后统计发现，三款簪花丁香花的总用量与玉兰花总用量比为．已知每款簪花成本等于所用花朵成本之和．若每枝丁香花、海棠花、玉兰花的成本分别是元、元、元，则C款簪花的成本是________元（用含、、的代数式表示）．若A款簪花的成本为49元，B款簪花的成本为63元，则C款簪花的成本是________元． 【答案】 79 【分析】本题考查了二元一次方程的整数解，二元一次方程组的应用，正确求解二元一次方程的整数解及利用整体思想求解二元一次方程组是解题的关键． 设B款玉兰花的用量为x枝，C款玉兰花的用量为y枝，则可求出每种款式簪花各种花的用量，再根据三款簪花丁香花的总用量与玉兰花总用量比为，可列出方程，化简得，可求得x与y的值，即可进一步求得答案； 若A款簪花的成本为49元，B款簪花的成本为63元，可列方程组，求解方程组得，将此解代入计算，即得答案． 【详解】解：设B款玉兰花的用量为x枝，C款玉兰花的用量为y枝， 则三款簪花的用量可列表为： A款 B款 C款 丁香花（枝） 3 x 海棠花（枝） 2 y 玉兰花（枝） 2 y 所以， 化简，得， ，， 可求得方程的正整数解为， 故C款簪花的成本是（元）； 故答案为：； 同时，A款簪花的成本是（）元，B款簪花的成本是（）元， 若A款簪花的成本为49元，B款簪花的成本为63元， 则， ，得， ， 将代入①，得， 解得， ， 故C款簪花的成本是79元． 故答案为：  79． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）有A，B两瓶浓度不同的酒精，A瓶有酒精溶液，B瓶有酒精溶液．从A瓶倒出15%，B瓶倒出30%，混合后测得浓度为27.5%．把混合后的酒精再倒回A，B瓶，使得它们恢复原来的质量，然后再从A瓶倒出40%，B瓶也倒出40%，混合后测得浓度为26%．求A，B两瓶酒精原来的酒精浓度． 【答案】两瓶酒精原来的酒精浓度分别为． 【分析】本题考查了利用方程思想列方程组，熟练掌握用方程思想解决问题是解题的关键； 先求得A瓶倒出15%，B瓶倒出30%后瓶内余量，然后设A瓶、B瓶酒精原来的浓度为，根据题意列方程组，求解即可, 【详解】解：， ， ． 设两瓶酒精原来的酒精浓度分别为． 由题意，得， 整理，得 解得 答：两瓶酒精原来的酒精浓度分别为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.7 二元一次方程组32道压轴题型专训（8大题型） 题型一 二元一次方程组的特殊解法 题型二 已知二元一次方程组的解的情况求参数 题型三 二元一次方程组的错解复原问题 题型四 几何问题（二元一次方程组的应用） 题型五 销售、利润问题（二元一次方程组的应用） 题型六 古代问题（二元一次方程组的应用） 题型七 数字问题（二元一次方程组的应用） 题型八 其他问题（二元一次方程组的应用） 【经典例题一 二元一次方程组的特殊解法】 1．（2024·七年级下 湖南株洲）某公司用n张相同的大长方形纸板分别按如图所示进行裁剪，所得的正六边形和小长方形纸板恰好能搭配成若干个有盖直六棱柱纸盒，则n 的值可能是（   ） A．140 B．150 C．160 D．180 2．（2025七年级下·全国）已知正整数a，b，c，d满足，且，关于这个四元方程下列说法正确的个数是（   ）． ①是该四元方程的一组解； ②连续的四个正整数一定是该四元方程的解； ③若，则该四元方程有21组解； ④若，则该四元方程有505组解． A．1 B．2 C．3 D．4 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知关于x，y的二元一次方程的解如表： x … 0 1 … y … 4 2 … 关于x，y的二元一次方程的解如表： x … 0 1 … y … 4 1 … 则关于x，y的二元一次方程组的解是_____． 4．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，我们通常把未知数或变数称为元．所谓换元法，就是解题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使得复杂问题简单化．换元的实质是转化，关键是构造元和设元． 例如解方程组，令，．原方程组化为，解得，把代入，，得，解得．原方程组的解为． (1)解方程组． (2)解方程组 (3)已知关于x、y的方程组的解是，关于x、y的方程组的解是__________． 【经典例题二 已知二元一次方程组的解的情况求参数】 1．（25-26七年级下·重庆·期中）若关于，的方程组有正整数解，则符合条件的整数的和为（   ） A．8 B．7 C．3 D．2 2．（22-23七年级下·重庆巴南·期末）对于x，y定义一种新运算F，规定（其中a，b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：，若，，下列结论：①；②若，则m，n有且仅有4组正整数解；③若对任意实数x，y均成立，则．正确的个数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 3．（25-26七年级下·全国·课前预习）已知方程组，若方程组有非负整数解，则正整数的值是_________． 4．（25-26七年级下·福建莆田·期末）定义：关于的二元一次方程（其中互不相等）中的常数项与未知数系数互换，得到的方程叫“变更方程”，例如：“变更方程”为． (1)方程的“变更方程”为_____； (2)方程与它的“变更方程”组成的方程组的解为_____； (3)已知关于的二元一次方程的系数满足，且与它的“变更方程”组成的方程组的解恰好是关于、的二元一次方程的一个解，求代数式的值． 【经典例题三 二元一次方程组的错解复原问题】 1．（25-26七年级下·河北邯郸·月考）在解关于，的方程组时，小亮解出的结果为老师看了小亮的解题过程后，对小亮说：“你方程组中的抄错了，该方程组的正确结果比大5．”则，的值分别为（    ） A．4， B．4，2 C．，2 D．， 2．（25-26七年级下·河北唐山·月考）对于代数式，小明分别计算了当时该代数式的值，得到以下四个结论，嘉淇发现其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是（   ） ①；②；③；④． A．① B．② C．③ D．④ 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知关于x，y的方程组现甲看错了①中的a，得到方程组的解为乙看错了②中的b，得到方程组的解为则________，________． 4．（24-25七年级下·四川资阳·期末）已知关于x，y的方程组，甲由于看错了方程（1）中的a，得到方程组的解为，乙由于看错了方程（2）中的b，得到方程组的解为． 试求出方程组的正确解． 【经典例题四 几何问题（二元一次方程组的应用）】 1．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）若一个长方形可以分割为几个大小不同的小正方形，则称这个长方形为完美长方形， 1925年数学家莫伦发现了第一个完美长方形， 它被分割成9个大小不同的正方形，已知最小正方形的周长为8，则最大正方形的面积为（    ）    A．1296 B．1444 C．2304 D．20736 2．（22-23七年级下·浙江）如图，若三角形面积为1，，求阴影四边形的面积（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）在学习完平移之后，小明、小聪、小方想利用平移设计出美丽的图案，他们用一张大正方形纸片和四张相同的小正方形纸片，分别设计了图①、图②、图③三种图案，已知图③中四个小正方形的重叠部分是三个相同的正方形，则图③两块阴影部分的周长和为______；面积和为______． 4．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图1，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在轴正半轴上，点在轴负半轴上，连接、，点在线段上，轴于点，点坐标，且、满足方程组． (1)求点和点的坐标； (2)如图2所示，点在线段上，，，连接、，求的面积； (3)在（2）的条件下，点从点出发以2个单位长度/秒的速度沿射线向终点运动．同时点从点出发以2个单位长度/秒的速度沿射线向终点运动．当一个点到达终点时，另一个点也停止运动．连接、交于点，在、运动过程中，当时，求的值，并求出点的坐标． 【经典例题五 销售、利润问题（二元一次方程组的应用）】 1．（25-26七年级下·浙江嘉兴·期中）小明去文具店购买了笔和本子共5件，已知两种文具的单价均为正整数且本子的单价比笔的单价贵．在付账时，小明问是不是27元，但收银员却说一共48元，小明仔细看了看后发现自己将两种商品的单价记反了．小明实际的购买情况是（    ） A．1支笔，4本本子 B．2支笔，3本本子 C．3支笔，2本本子 D．4支笔，1本本子 2．（25-26七年级下·广西崇左·期末）小明在某商店购买商品A、B共三次，只有一次购买时商品A、B同时打折，其余两次均按标价购买，三次购买商品A、B的数量及费用如表： 购买商品A的数量/个 购买商品B的数量/个 购买总费用/元 第一次购买 6 5 1140 第二次购买 3 7 1110 第三次购买 9 8 1062 若A、B的折扣相同，则商店的折扣是（    ） A．5折 B．6折 C．7折 D．8折 3．（23-24七年级下·江苏南京·月考）一花店将、、三种花卉包装成甲、乙、丙三种不同的礼盒进行销售；用花卉支、花卉支、花卉支包装成甲种礼盒；用花卉支、花卉支、种花卉支包装成乙种礼盒；用花卉支、花卉支、花卉支包装成丙种礼盒；包装费忽略不计，且每支花卉的成本是每支花卉成本的倍，每盒甲礼盒的总成本是每盒乙礼盒总成本的倍；该商家将三种礼盒均以利润率进行定价销售；某周末，该花店为了加大销量，将甲、乙两种礼盒打八折进行销售，且两种礼盒的销量相同，丙礼盒打九折销售；销售完毕后统计发现，三种礼盒的总成本恰好为总利润的倍，则该周末丙礼盒的总利润与三种礼盒的总利润的比值为______． 4．（2025七年级下·全国·专题练习）某校七（1）班为表彰先进，让班长小文带上一定数量的班费去文具店购买奖品．经与店家沟通，小文获知了如下表的信息： 购买方案 笔/支 大本子/本 小本子/本 剩余钱数/元 方案一 36 0 0 2 方案二 38 0 0 方案三 0 12 8 0 方案四 0 10 10 10 (1)小文所带班费为________元． (2)求大、小本子每本的售价． (3)小文原计划购买6支笔，大、小本子各6本，但店家对小文说：“如果购买的每种本子的数量达到10本，该种本子可以打九折．”小文思考并计算了一下，决定购买4支笔，大、小本子各10本．付钱时，店家说：“我现在的利润只比刚才的利润多10元．”根据以上信息求出小文实际购买文具的成本（已知1支笔的成本为4元）． 【经典例题六 古代问题（二元一次方程组的应用）】 1．（25-26七年级下·辽宁丹东·期末）《九章算术》中记载一题目，译文如下：若两人坐一辆车，则九人需要步行；若三人坐一辆车，则有两辆空车．问：人与车各多少？下列说法正确的是（   ） A．设有x辆车，则人数为 B．设有x辆车，则可列方程为 C．设有x辆车，有y人，则可列方程组为 D．设有x辆车，有y人，则可列方程组为 2．（22-23七年级下·安徽滁州·期中）增删算法统宗记载：“今有直田用较除，一百二十步无余．长阔相和该一百，问公三事几何如？”译文：有一块长方形田地，它的面积除以长与宽之差刚好步，长与宽之和等于步．试问这块田地的长、宽及长宽之差分别是多少？设这块田地的长为步，宽为步，则下面所列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·广东深圳·期末）幻方，中国古代称为“河图”、“洛书”，又叫“纵横图”．如图所示的幻方中，每一行、每一列及各条对角线上的三个数之和均相等，则的值为______． x 1 y 5 4． （2024七年级下·全国·专题练习）今有物不知其数，三三数之剩一，五五数之剩二，七七数之剩四，问物几何．你知道物品最少有多少个吗？ 【经典例题七 数字问题（二元一次方程组的应用）】 1．（23-24七年级下·宁夏银川·月考）“洛书”是世界上最古老的一个三阶幻方，它有3行3列，三横行的三个数之和，三竖列的三个数之和，两对角线的三个数之和都相等，其实幻方就是把一些有规律的数填在正方形图内，使每一行、每一列和每一条对角线上各个数之和都相等，如图幻方a、b的值分别是（    ） A．11，9 B．9，11 C．8，13 D．13，8 2．（25-26七年级下·福建泉州·期中）如图1是2021年3月份的月历，小军同学用“”字形框在月历上框出四个数字，将该“”字形框上下左右移动，且一定要框住月历中的四个日期，若四个日期如图2所示，则下列关于，的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2022·七年级下 重庆）五一期间，商场为吸引顾客，每半小时进行一次现金抽奖活动，顾客只需要花a元即可购买一张奖券，奖券面值有a元，b元，c元三种（且皆为整数）．甲、乙、丙三人从下午两点至下午六点，一共参加了轮活动，每轮每人只能购买一张，且每轮三人刚好获得a元，b元，c元奖券各一张．晚饭时，甲说：我今天赚了430元；乙说：我一次也没有抽到过c元奖券，还有3次都是最小面值的，只赚了120元；丙说：我三种都抽到了，一共有360元奖券，赚了220元！则甲抽到了_______次c元奖券． 4．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）阅读理解，对于任意一个三位数n，如果n满足各个数位上的数字互不相同，且都不为0，那么称这个数为“相异数”．将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为． 例如：，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为，值等于666，而，所以． （1）计算：_________； （2）若，且，求n的值； （2）若s，t都是“相异数”，其中，（，，x，y都是正整数），规定：，当时，求k的最小值． 【经典例题八 其他问题（二元一次方程组的应用）】 1．（2024七年级下·全国）某中学生运动会男、女运动员比例为，组委会决定增加女子艺术体操项目，这样男、女运动员比例变为；后来又决定再增加男子象棋项目，于是这个比例又变为．已知男子象棋运动员比女子艺术体操运动员多30人，那么运动员最后的总人数为（    ）． A．6280人 B．6370人 C．6450人 D．6615人 2．（2023·七年级下 黑龙江齐齐哈尔）中国减贫方案和减贫成就是史无前例的人类奇迹，联合国秘书长古特雷斯表示，“精准扶贫”方略帮助贫困人口实现2030年可持续发展议程设定的宏伟目标的唯一途径，中国的经验可以为其他发展中国家提供有益借鉴，为了加大“精准扶贫”力度，某单位将19名干部分成甲、乙、丙三个小组到村屯带领50个农户脱贫，若甲组每人负责4个农户，乙组每人负责3个农户，丙组每人负责1个农户，则分组方案有（　　） A．6种 B．5种 C．4种 D．30种 3．（24-25七年级下·重庆·期末）簪花在我国已有两、三千年的历史．热爱传统文化的涵涵购买了若干支丁香花、海棠花、玉兰花用于手工制作三款簪花头饰各一套（每款均用到三种花）．已知每款簪花中海棠花的用量等于玉兰花用量．A款丁香花用量为3枝，B款丁香花用量比C款丁香花用量少2枝；A款中玉兰花的用量为2枝，B款玉兰花的用量是它的丁香花用量的3倍；制作完成后统计发现，三款簪花丁香花的总用量与玉兰花总用量比为．已知每款簪花成本等于所用花朵成本之和．若每枝丁香花、海棠花、玉兰花的成本分别是元、元、元，则C款簪花的成本是________元（用含、、的代数式表示）．若A款簪花的成本为49元，B款簪花的成本为63元，则C款簪花的成本是________元． A款 B款 C款 丁香花（枝） 3 x 海棠花（枝） 2 y 玉兰花（枝） 2 y 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）有A，B两瓶浓度不同的酒精，A瓶有酒精溶液，B瓶有酒精溶液．从A瓶倒出15%，B瓶倒出30%，混合后测得浓度为27.5%．把混合后的酒精再倒回A，B瓶，使得它们恢复原来的质量，然后再从A瓶倒出40%，B瓶也倒出40%，混合后测得浓度为26%．求A，B两瓶酒精原来的酒精浓度． 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