专题2.5 相交线与平行线24道压轴题型专训（6大题型）-2025-2026学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（北师大版）

专题2.5 相交线与平行线24道压轴题型专训（6大题型） 题型一 与余角、补角有关的计算 题型二 同（等）角的余（补）角相等的应用 题型三 平行线的判定 题型四 平行线的性质 题型五 根据平行线的性质探究角的关系 题型六 根据平行线的判定与性质求角度 【经典例题一 与余角、补角有关的计算】 1．（25-26七年级下·湖北省直辖县级单位·期末）已知点是直线上一点，射线在直线上方，平分平分，，则下列说法：①；②图中互补的角共有6对；③；④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线、角的互补以及角的和差关系，通过角平分线计算角度，列举互补角对数，利用等式性质推导角相等以及角的和差关系逐项分析即可． 【详解】解：平分，平分， ，． ， 即． 故①正确． ，，，， ，， ， ． ∴图中互补的角共有9对． 故②错误． ，， ． ． 故③正确． ，， ， ． 故④正确． 故选：C． 2．（25-26七年级下·安徽安庆·月考）如图，为直线上一点，为直角，平分，平分，平分，各个小组经过讨论后得到以下结论：①与互余；②与互补；③与互补；④其中正确结论的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据角的平分线定义，平角的定义，角的和的定义，互余，互补定义解答即可． 本题考查了角的和，角的平分线，平角的定义，互余，互补，熟练掌握平角定义，角的平分线是解题的关键． 【详解】解：∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∴与互余； 故①正确； 根据题意，得， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴与互补； 故②正确； ∵， ∴， ∴与不是互补； 故③错误； ， 故④正确； 故选：C． 3．（2025七年级下·黑龙江哈尔滨·专题练习）若与均为锐角，，，求与的关系________． 【答案】互余 【分析】本题考查了角的和差，余角的定义． 通过计算与的和，发现其结果为，因此两角互余． 【详解】解：， 故与互余． 故答案为：互余． 4．（25-26七年级下·安徽合肥·期末）直线、相交于点，在的内部． (1)如图①，当时，求与的度数和； (2)在（1）的条件下，请直接写出图中与互补的角； (3)如图②，若射线平分（在内部），且满足，请判断与的大小关系并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】此题考查的是角的和差倍分的综合题，熟悉掌握角平分线、补角的性质是解题的关键． （1）根据补角的定义以及角的和差关系计算即可； （2）根据补角的定义解答即可； （3）根据角平分线的定义以及角的和差关系解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴与互补的角有； （3）解：，理由如下： ∵平分， ∴， ∴ ， ∴． 【经典例题二 同（等）角的余（补）角相等的应用】 1．（22-23七年级下·山东菏泽·期中）下列说法中正确的是（    ） A．若，则平分. B．若，则，，互为补角. C．相等的角是对顶角. D．等角的余角相等. 【答案】D 【分析】此题考查了角平分线的定义、互补的定义、对顶角、余角的性质等知识，根据相关知进行判断即可 【详解】A. 若，则不一定平分，故选项错误，不符合题意； B. 若两个角的和为，就说这两个角互为补角，互为补角是两个角之间的关系，故选项错误，不符合题意； C. 相等的角不一定是对顶角.故选项错误，不符合题意； D. 等角的余角相等.故选项正确，符合题意； 故选：D 2．（25-26七年级下·河北唐山·期末）下列说法：①数字4389用科学记数法表示为；②若，则点为线段的中点；③两点之间，直线最短；④等角的补角相等；⑤如果两个角的和等于，那么这两个角互余．其中，正确的是（    ） A．①④ B．②④⑤ C．①③ D．②③⑤ 【答案】A 【分析】本题考查科学记数法、线段中点性质、两点之间距离、补角性质以及余角和互补的概念，准确理解几何概念和科学记数法规则是解题的关键． 结合科学记数法、线段中点性质、两点之间距离、补角性质以及余角和互补的概念逐项判断正误即可． 【详解】解：对于说法①：∵，符合科学记数法定义，∴说法①正确； 对于说法②：当点P不在线段上，如等腰三角形中，但P不是中点，∴说法②错误； 对于说法③：两点之间，线段最短，而非直线，∴说法③错误； 对于说法④：由补角性质可知，等角的补角相等，∴说法④正确； 对于说法⑤：两个角和为时互补，∴说法⑤错误； ∴正确的是①④， 故选：A． 3．（23-24七年级下·湖北孝感·期末）如图，在中，，，垂足为D，则的余角是______和______，______，理由是______． 【答案】 同角的余角相等 【分析】由，得到，进而得到，的余角是，由，得到，的余角是，根据“同角的余角相等”得到， 本题考查了，垂直的定义，同角的余角相等，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的余角是， ∵， ∴， ∴的余角是， ∴（同角的余角相等）． 4．（25-26七年级下·河南驻马店·月考）如图1，与都是直角，． (1)求和的度数，并说明和的大小关系如何． (2)若的大小不确定，其他条件不变，（1）中的和的大小关系仍然成立吗？请说明理由． (3)试猜想与是相等、互余，还是互补关系，并说明你的猜想是否合理． (4)当绕点O旋转到图2的位置时，（3）中的猜想还成立吗？请说明理由． 【答案】(1)，； (2)成立，证明见解析 (3)与是互补关系，证明见解析 (4)成立，证明见解析 【分析】本题考查角度的和差计算以及余角、补角的概念，熟练掌握角度之间的计算关系是解题的关键． （1）根据直角关系，求出，，并得到二者角度相等； （2）根据同角的余角相等即可证明； （3）将直角代入计算，可证出，即二者互补； （4）同理，将直角代入计算，得出，即二者互补． 【详解】（1）解：∵与都是直角， ∴， ∵， ∴，， 故． （2）解：成立，理由如下： ∵， ∴， ∴（同角的余角相等）． （3）解：互补关系，理由如下： ∵， ， ∴， 即与是互补关系． （4）解：成立，理由如下： ∵， 结合， 上式为， 即， 故与依旧是互补关系． 【经典例题三 平行线的判定】 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，若，则下面结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定定理，掌握识别同位角的位置关系，以及利用同位角相等，两直线平行判定两直线平行是解题的关键． 先确定与的位置关系，判断它们是哪两条直线被哪条直线所截形成的同位角，再根据同位角相等，两直线平行判定平行的直线． 【详解】解：与是直线被直线所截形成的同位角， ∵ （已知）， ∴ 根据同位角相等，两直线平行，可得． 故选：B． 2．（23-22七年级下·河南郑州·月考）小颖学习了平行线的相关知识后，利用如图所示的方法，折出了“过已知直线AB外一点P和已知直线AB平行的直线MN”，下列关于MN∥AB的依据描述正确的是（    ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．以上选项均正确 【答案】D 【分析】先根据折叠的性质得到折痕都垂直于过点P的直线，根据根据平行线的判定方法求解． 【详解】解：如下图，作以下标记E： 第一步的操作可知PE⊥AB，所以∠PEA=∠PEB=90°，第二步的操作可知MN⊥PE，所以∠MPE=∠NPE=90°，所以∠PEA=∠PEB=∠MPE=∠NPE=90°，所以可依据A. 同位角相等，两直线平行、B. 内错角相等，两直线平行、C. 同旁内角互补，两直线平行判断MN∥AB，故A、B、C三个选项都对， 故选D． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，下列推理中正确的是________．（请填写序号） ①，； ②，； ③，； ④，． 【答案】①②④ 【详解】根据同位角相等、内错角相等、同旁内角互补来判断两直线是否平行． 解：①：∵，这是内错角相等，∴，推理正确； ②：∵，这是同位角相等，∴，推理正确； ③：∵，这两个角不是同旁内角，无法判定，推理错误； ④：∵，这两个角不是同旁内角，无法判定，推理正确． 综上，正确的推理是①②④． 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了知识点平行线的判定，解题关键是准确识别同位角、内错角、同旁内角，再结合判定定理进行判断． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知直线，被直线所截． (1)如图①，平分，平分（平分的是一对同位角），则与满足________时，； (2)如图②，平分，平分（平分的是一对内错角），则与满足________时，； (3)【拓展设问】如图③，平分，平分（平分的是一对同旁内角），则与满足什么条件时，？为什么？ 【答案】（1）   （2） （3）   见解析 【分析】（1）根据角平分线定义得出，，，当时，求出，根据平行线的判定推出即可； （2）根据角平分线定义得出，，，当时，求出，根据平行线的判定推出即可； （3）根据角平分线定义得出，，，当时，求出，根据平行线的判定推出即可． 【详解】（1）解：． 与满足时，， 理由如下： 平分，平分， ，， ， ， ； （2）解：． 与满足时，， 理由如下： 平分，平分， ，， ， ， ． （3）解：与满足时，． 理由如下： 平分，平分， ，． ， ， ． 【点睛】本题考查了平行线的判定，角平分线定义的应用，解题的关键是掌握平行线的判定定理：①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行． 【经典例题四 平行线的性质】 1．（2025·七年级下 福建福州）如图，一束太阳光线照射直角三角板后投射在地面上得到线段，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．设中间光线交底面于点，由平行线的性质得，再求出，最后由即可得出结论． 【详解】解：如图，设中间光线交底面于点， ，， ， ， ， 一束太阳光线照射直角三角板， ， 故选：B． 2．（24-25七年级下·贵州黔东南·月考）如图，，，点C在上，点F在上．设与相等的角的个数为m，与互补的角的个数为n，若，则的值是（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】D 【分析】本题主要考查对平行线的性质、邻补角的性质等知识点，理解和掌握平行线的性质成为解题的关键． 如图：设的延长线为，由，，根据平行线的性质得到与相等的角，因为，即可推出∠β互补的角的个数，然后求即可． 【详解】解：如图：设的延长线为， ∵，， ∴，， ∴与∠β互补的角有， ∴， ∴． 故选：D． 3．（24-25七年级下·云南昭通·期末）光线在不同介质中的传播速度不同，当光线从空气射向水中时会发生折射．在空气中平行的两条入射光线，在水中的两条折射光线也是平行的．如图，若水面和杯底互相平行，，则等于______度． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握“两直线平行，同位角相等”和“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键．由水面和杯底互相平行，利用“两直线平行，同旁内角互补”可求出的度数，由水中的两条折射光线平行，利用“两直线平行，同位角相等”可得出的度数． 【详解】解： 水面和杯底互相平行， ， ， ， 水中的两条折射光线平行， ， 故答案为：． 4．（22-23七年级下·河南周口·期中）如图所示的图形是由和长方形拼成的，在中，，，点A在长方形的边上，与相交于点，与相交于点．    (1)如图1，当时， ； ． (2)如图2，当与不垂直时，猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)；； (2)，理由见解析 【分析】（1）过点作，根据垂线的性质，得到，进而得到，，然后利用平行线的性质，求出的度数即可； （2）过点作，得到，进而得到，再利用平行线和对顶角的性质，得到，即可得出与的数量关系． 【详解】（1）解：如图，过点作， ， ， ， ，， ，， 长方形， ， ， 故答案为：；；   ; （2）解：，理由如下： 如图，过点作， ， ，，，， ， 长方形， ， ， ， ， ．   ． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，垂线的定义，对顶角，余角，解题关键是掌握两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补． 【经典例题五 根据平行线的性质探究角的关系】 1．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，已知直线，直线分别交直线，于点E，F，平分交于点M，G是射线上一动点（不与点M，F重合），平分交于点H．设．有下列四个式子：①；②；③；④．其中正确的是（   ） A．①② B．①④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，画出图形分类讨论是解题的关键． 分点在点右侧，点在和之间，根据平行线的性质和角平分线的定义，分别求出结论即可． 【详解】解：当点在点右侧时，如图示： 平分，平分， ，， ， ． ， ， 当点在和之间时，如图： 平分，平分， ，， ， ． ， ，则； 综上：①④正确，②③错误； 故选：B． 2．（24-25七年级下·四川眉山·期末）已知直线，点在直线之间，连接．下面结论正确的个数为（   ） ①如图1，若，，则； ②如图2，点在之间，当，，则； ③如图2，点在之间，当，，则； ④如图3，的角平分线交于，且，点在直线之间，连接，，，，则和的关系为（用含的式子表示，题中的角均指大于且小于的角）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质．①过点P作，则，根据平行线的性质即可求解；②过点P作，过点Q作，则，，结合，即可得到结论；③过点P作，过点Q作，则，，结合，即可得到结论；④过点P作，则，可得，过点N作，可得，即，结合，，可得，进而可得结论． 【详解】解：①过点P作，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴；①正确； ②点P作，过点Q作，则，， ∴， ∴，即， 同理：， ∵，， ∴， ∴， ∴，即，②正确； ③过点P作，过点Q作，则，， ∴， ∴，即， 同理：， ∵， ∴， ∴， ∴，即，③正确； ④过点P作，则， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴ 过点N作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，④正确． 综上，正确的有4个， 故选：D． 3．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图，，点，在直线上（在的右侧），点在直线上，，为线段上的一点，连接与的角平分线交于点，且点在直线之间，下列结论：①；②；③若，则；④若，则．其中正确的结论是___________．    【答案】①②③ 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义等知识点，作辅助线求得，是解此题的关键．①过点作，利用平行线的性质以及已知即可证明；②利用角平分线的性质以及平行线的性质得到，，结合①的结论即可证明；③由已知得到，结合①的结论即可证明；④由已知得到，结合①的结论即可证明． 【详解】解：①过点作，如图：   ，， ，， ，即， ，故①正确； ②∵，平分，平分，   ，， ， ， 即， ， ， ， ，故②正确； ③， ， ； ，故③正确； ④， ，即， ， ，故④不正确． 综上，①②③正确，， 故答案为：①②③． 4．（24-25七年级下·湖北宜昌·期末）如图，直线，直线分别交，于点，，，中，，点 在直线上，点在 ，构成区域内且点始终在 的右下方，点在直线上且始终在直线右侧，，的平分线交直线于点． (1) 用含的式子表示； (2)如图1，若点E在直线右侧，，求的度数； (3)当时，若射线交直线于点，试探究和之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键； （1）过点作，则，根据，，得出，根据平行线的性质得出，则，即可求解； （2）根据题意得出，根据角平分线的定义可得，又，，则，解方程，即可求解； （3）分两种情况讨论，当在之间时，当在的下方时，分别画出图形，根据平行线的性质以及角平分线的定义得出和之间的数量关系． 【详解】（1）解：如图，过点作， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． （2）解：∵中，， ∴ ∴ ∴ ∵的平分线交直线于点 ∴ ∵， ∴ 又∵，， ∴ ∴ 解得： （3）解：如图，当在之间时， 由（2）可得 ∵的平分线交直线于点 ∴ 过点作 ∵ ∴ ∴， ∴ ∴ ∴ 当在的下方时，如图 同理可得 ∴ 综上所述，或 【经典例题六 根据平行线的判定与性质求角度】 1．（24-25七年级下·湖北黄石·月考）如图，点在的延长线上，，交于点，且，，，为线段上一动点，为上一点，且满足，为的平分线，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由得，推出，进一步推出，得，继而得到，根据角平分线的定义得，再根据可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的平分线， ∴， ∴， 即的度数是． 2．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，，M是平面内一点，连接MB，MC，的平分线与的平分线交于点N．若，则的度数为（   ） A．30° B．40° C．50° D．60° 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的性质，解题的关键是过拐点作平行线转化角的关系． 过点作，过点作，证明，，再根据角平分线得出从而得出答案． 【详解】解：解：如图，过点作，过点作， ∵； ∴， ∴，， ∴， 同理可得：， ∵， ∴ ∵的平分线与的平分线交于点N． ，， ∴ ∴， 故选：D． 3．（24-25七年级下·安徽宿州·期中）如图，两块不同的三角板按如图1所示摆放，AC边与边重合，，接着如图2，三角板绕着点点C不动按逆时针如图标示方向旋转，旋转速度为秒；三角板绕着点点C不动按顺时针如图标示方向旋转，旋转速度为秒，且a、b满足，在旋转的过程中，逐渐增大，当第一次等于时，停止旋转，在此旋转过程中，旋转______秒时，三角板有一条边与三角板的一条边恰好平行． 【答案】10或15或25 【分析】易得，，分别判断出，，时的度数，根据的度数，列出方程求得t的值即可．画出相关图形，得到三角板有一条边与三角板的一条边恰好平行时的情形是解决本题的易错点． 【详解】解：， ，， 设旋转t秒时，三角板有一条边与三角板的一条边恰好平行， ①，如图2： 由题意得：， ， ， ， 解得：； ②，如图3： 由题意得：， ， ， ， 解得：； ③，如图4， 作， ， ， ， ， ， ， 解得：； ④若继续旋转，，如图5，此时超过，这种情况不存在． 综上：t的值为10或15或 故答案为：10或15或 4．（24-25七年级下·辽宁大连·月考）综合与实践 【问题背景】 数学活动课上，同学们用一副三角尺展开了探究活动，同学们发现可以用平行线的知识计算三角尺摆放过程中出现的一些角度，和探究一些角之间的数量关系． 【准备材料】如图，①三角尺中，，； ②三角尺中，，，． 【活动前提】已知：直线． 【活动一】 （1）“飞腾小组”选择三角尺按图1放置，当恰好平分时，则的度数是 ． 【活动二】 （2）“卓越小组”选择三角尺，三角尺按图2放置，点E、C、F、A在同一条直线上，则的度数是可求的，请你帮助他们求出答案并说明理由； 【活动三】 （3）“创新小组”将“卓越小组”的想法进行创新继续变化，将图2中三角尺固定不动，三角尺中的点A位置不动，重新摆放三角尺． 摆放方法①：当线段所在直线与线段所在直线垂直时，请求出的度数． 摆放方法②：当线段与三角尺的直角边平行时，请直接写出的度数． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）摆放方法①：或；摆放方法②：或或或 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，熟知平行线的性质与判定定理是解题的关键． （1）根据角平分线的定义可得的度数，根据平行线的性质得到的度数，据此可得答案； （2）过点E作，则，由平行线的性质得到，据此求出的度数即可得到答案； （3）摆放方法①：如图3所示，当时，延长交于点H，由平行线的性质可得；可证明，得到，则；如图3-1所示，当时，延长交于点H，证明，根据平行线的性质可求出，则； 摆放方法②：当，即时，由摆放方法①可知，此时的度数为或；如图3-2所示，当时，过点A作，延长交于点H，由平行线的性质可得，则；如图3-3所示，当时，过点A作，延长交于点H，由平行线的性质可得，则． 【详解】解：（1）∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2），理由如下： 如图所示，过点E作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）摆放方法①：如图3所示，当时，延长交于点H， 由（2）可得， ∵， ∴， ∴； ∵，即， ∴， ∴， ∴； 如图3-1所示，当时，延长交于点H， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或； 摆放方法②：当，即时，由摆放方法①可知，此时的度数为或； 如图3-2所示，当时，过点A作，延长交于点H， 则， ∴， ∴； 如图3-3所示，当时，过点A作，延长交于点H， 则， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或或或． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.5 相交线与平行线24道压轴题型专训（6大题型） 题型一 与余角、补角有关的计算 题型二 同（等）角的余（补）角相等的应用 题型三 平行线的判定 题型四 平行线的性质 题型五 根据平行线的性质探究角的关系 题型六 根据平行线的判定与性质求角度 【经典例题一 与余角、补角有关的计算】 1．（25-26七年级下·湖北省直辖县级单位·期末）已知点是直线上一点，射线在直线上方，平分平分，，则下列说法：①；②图中互补的角共有6对；③；④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（25-26七年级下·安徽安庆·月考）如图，为直线上一点，为直角，平分，平分，平分，各个小组经过讨论后得到以下结论：①与互余；②与互补；③与互补；④其中正确结论的个数为（    ） A． B． C． D． 3．（2025七年级下·黑龙江哈尔滨·专题练习）若与均为锐角，，，求与的关系________． 4．（25-26七年级下·安徽合肥·期末）直线、相交于点，在的内部． (1)如图①，当时，求与的度数和； (2)在（1）的条件下，请直接写出图中与互补的角； (3)如图②，若射线平分（在内部），且满足，请判断与的大小关系并说明理由． 【经典例题二 同（等）角的余（补）角相等的应用】 1．（22-23七年级下·山东菏泽·期中）下列说法中正确的是（    ） A．若，则平分. B．若，则，，互为补角. C．相等的角是对顶角. D．等角的余角相等. 2．（25-26七年级下·河北唐山·期末）下列说法：①数字4389用科学记数法表示为；②若，则点为线段的中点；③两点之间，直线最短；④等角的补角相等；⑤如果两个角的和等于，那么这两个角互余．其中，正确的是（    ） A．①④ B．②④⑤ C．①③ D．②③⑤ 3．（23-24七年级下·湖北孝感·期末）如图，在中，，，垂足为D，则的余角是______和______，______，理由是______． 4．（25-26七年级下·河南驻马店·月考）如图1，与都是直角，． (1)求和的度数，并说明和的大小关系如何． (2)若的大小不确定，其他条件不变，（1）中的和的大小关系仍然成立吗？请说明理由． (3)试猜想与是相等、互余，还是互补关系，并说明你的猜想是否合理． (4)当绕点O旋转到图2的位置时，（3）中的猜想还成立吗？请说明理由． 【经典例题三 平行线的判定】 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，若，则下面结论正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-22七年级下·河南郑州·月考）小颖学习了平行线的相关知识后，利用如图所示的方法，折出了“过已知直线AB外一点P和已知直线AB平行的直线MN”，下列关于MN∥AB的依据描述正确的是（    ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．以上选项均正确 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，下列推理中正确的是________．（请填写序号） ①，； ②，； ③，； ④，． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知直线，被直线所截． (1)如图①，平分，平分（平分的是一对同位角），则与满足________时，； (2)如图②，平分，平分（平分的是一对内错角），则与满足________时，； (3)【拓展设问】如图③，平分，平分（平分的是一对同旁内角），则与满足什么条件时，？为什么？ 【经典例题四 平行线的性质】 1．（2025·七年级下 福建福州）如图，一束太阳光线照射直角三角板后投射在地面上得到线段，若，则（ ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·贵州黔东南·月考）如图，，，点C在上，点F在上．设与相等的角的个数为m，与互补的角的个数为n，若，则的值是（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 3．（24-25七年级下·云南昭通·期末）光线在不同介质中的传播速度不同，当光线从空气射向水中时会发生折射．在空气中平行的两条入射光线，在水中的两条折射光线也是平行的．如图，若水面和杯底互相平行，，则等于______度． 4．（22-23七年级下·河南周口·期中）如图所示的图形是由和长方形拼成的，在中，，，点A在长方形的边上，与相交于点，与相交于点．    (1)如图1，当时， ； ． (2)如图2，当与不垂直时，猜想与的数量关系，并说明理由． 【经典例题五 根据平行线的性质探究角的关系】 1．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，已知直线，直线分别交直线，于点E，F，平分交于点M，G是射线上一动点（不与点M，F重合），平分交于点H．设．有下列四个式子：①；②；③；④．其中正确的是（   ） A．①② B．①④ C．①③④ D．②③④ 2．（24-25七年级下·四川眉山·期末）已知直线，点在直线之间，连接．下面结论正确的个数为（   ） ①如图1，若，，则； ②如图2，点在之间，当，，则； ③如图2，点在之间，当，，则； ④如图3，的角平分线交于，且，点在直线之间，连接，，，，则和的关系为（用含的式子表示，题中的角均指大于且小于的角）． A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图，，点，在直线上（在的右侧），点在直线上，，为线段上的一点，连接与的角平分线交于点，且点在直线之间，下列结论：①；②；③若，则；④若，则．其中正确的结论是___________．    4．（24-25七年级下·湖北宜昌·期末）如图，直线，直线分别交，于点，，，中，，点 在直线上，点在 ，构成区域内且点始终在 的右下方，点在直线上且始终在直线右侧，，的平分线交直线于点． (1) 用含的式子表示； (2)如图1，若点E在直线右侧，，求的度数； (3)当时，若射线交直线于点，试探究和之间的数量关系． 【经典例题六 根据平行线的判定与性质求角度】 1．（24-25七年级下·湖北黄石·月考）如图，点在的延长线上，，交于点，且，，，为线段上一动点，为上一点，且满足，为的平分线，则的度数是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，，M是平面内一点，连接MB，MC，的平分线与的平分线交于点N．若，则的度数为（   ） A．30° B．40° C．50° D．60° 3．（24-25七年级下·安徽宿州·期中）如图，两块不同的三角板按如图1所示摆放，AC边与边重合，，接着如图2，三角板绕着点点C不动按逆时针如图标示方向旋转，旋转速度为秒；三角板绕着点点C不动按顺时针如图标示方向旋转，旋转速度为秒，且a、b满足，在旋转的过程中，逐渐增大，当第一次等于时，停止旋转，在此旋转过程中，旋转______秒时，三角板有一条边与三角板的一条边恰好平行． 4．（24-25七年级下·辽宁大连·月考）综合与实践 【问题背景】 数学活动课上，同学们用一副三角尺展开了探究活动，同学们发现可以用平行线的知识计算三角尺摆放过程中出现的一些角度，和探究一些角之间的数量关系． 【准备材料】如图，①三角尺中，，； ②三角尺中，，，． 【活动前提】已知：直线． 【活动一】 （1）“飞腾小组”选择三角尺按图1放置，当恰好平分时，则的度数是 ． 【活动二】 （2）“卓越小组”选择三角尺，三角尺按图2放置，点E、C、F、A在同一条直线上，则的度数是可求的，请你帮助他们求出答案并说明理由； 【活动三】 （3）“创新小组”将“卓越小组”的想法进行创新继续变化，将图2中三角尺固定不动，三角尺中的点A位置不动，重新摆放三角尺． 摆放方法①：当线段所在直线与线段所在直线垂直时，请求出的度数． 摆放方法②：当线段与三角尺的直角边平行时，请直接写出的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $